ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231 CEP 05508-900 São Paulo SP Telefone: (011) 818.5337 Fax (011) 813.1886
Departamento de Engenharia Mecânica PMC 2100 – MECÂNICA A Primeira Prova – 21 de setembro de 2001 – Duração: 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras) Questão 1 (3,0 pontos) Dado o sistema de forças e o H H momento ( M = Fak ) aplicado sobre a placa quadrada de peso desprezível e lado a da figura, pede-se: (a) calcular a resultante; (b) calcular o momento do sistema em relação ao pólo O; (c) verificar se o sistema é redutível a uma única força; (d) reduzir o sistema a uma força aplicada em G e um binário.
z M O
(
G
a A x
B
F
)
H H H H M O = Fai − Fak + M H H M O = Fai H H R ⋅ M O = −F 2a ≠ 0 logo não é redutível a uma única força!
H
H
(R , G ) ; M H M
G
H M
G
G
H H a H H H H H + (O − G ) ∧ R = Fa i + (− i − j ) ∧ F − i − j + k 2 H H H H H a = Fa i + F k + j−k −i 2
H = M
(
O
H a H H M G = F (i + j ) 2
(
)
y C
H H H H H R = å Fi = − Fi − Fj + Fk H H H H R = F −i − j +k
a
)
F F
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Departamento de Engenharia Mecânica Questão 2 (3,0 pontos) O arame da figura tem peso específico (linear) γ e área de seção transversal S. O trecho reto AB tem comprimento L e forma um ângulo reto com o plano que contém o trecho BCD de raio R. Pede-se o ângulo que o trecho AB forma com a vertical na posição de equilíbrio.
A
L θ
C
x
B D
R
L/2 θ GAB PAB GBCD
L/2
θ R
PBCD Ou: L senθ ⋅ L − (R cosθ − Lsenθ )2πR 2 =0 xG = 2πR + L L2 2πR 2 cosθ − 2πRLsenθ − senθ = 0 2 2 æ L ö 2πR 2 − çç 2πRL + ÷÷ tan θ = 0 2ø è tan θ =
2πR 2 æ L2 ö çç 2πRL + ÷÷ 2ø è
θ = arctan
2πR 2 æ L2 ö çç 2πRL + ÷÷ 2 ø è
åM PBCD
æL ö = 0 ∴ PBCD ⋅ (R cosθ − Lsenθ ) = PAB ⋅ ç senθ ÷ è2 ø = 2πRγ PAB = γL ; zA
2πR 2 cosθ − 2πRLsenθ =
θ = arctan
2πR 2
æ L2 ö çç 2πRL + ÷÷ 2 ø è
L2 senθ 2
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Departamento de Engenharia Mecânica Questão 3 (4,0 pontos)
A barra AD tem peso P e está na vertical. O vínculo em D é um apoio simples e em A existe atrito. A esfera tem peso P e está apoiada sem atrito nos pontos B e C. (a) Desenhe o diagrama de corpo livre da barra AD e o diagrama de corpo livre da esfera. (b) Calcule a reação vertical do solo sobre a barra no ponto A, a força de atrito e a reação em D. (c) Sabendo que o coeficiente de atrito é µ, determine o maior valor de α tal que ainda existe equilíbrio.
ο
0 <α<90
ο
D
C B
ND
a
α A P
P NC
NC
NB α
Fat NA
Na esfera: å Fy = 0 ∴ N B cosα = P
åF
x
Na barra: å Fy = 0 ∴
åM åF
x
Lei de Coulomb:
= 0 ∴ N C = N B senα Þ N C = P tan α
zA
NA = P
= 0∴ N D ⋅ L = NC ⋅ a Þ N D = P
= 0 ∴ Fat = N C − N D Þ
a tan α L
aö æ Fat = P tan α ç1 − ÷ è Lø
L
Fat ≤ µ N A æ aö P tan α ç1 − ÷ ≤ µ P è Lø µ tan α ≤ a 1− L µ α máx = arctan a 1− L
