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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
17 de Junho de 2003, a` s 10:30 a.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´ısica Te´orica Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo 26 Potencial El´etrico 26.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 26.2.1 O potencial el´etrico . . . . . . . 26.2.2 C´alculo do potencial a partir do campo . . . . . . . . . . . . . . 26.2.3 Potencial criado por uma carga puntiforme . . . . . . . . . . . 26.2.4 Potencial criado por um dipolo el´etrico . . . . . . . . . . . . .
2 2 3 3 3 6 7
26.2.5 Potencial criado por distribuic¸a˜ o cont´ınua de cargas . . . . .
8
26.2.6 C´alculo do campo a partir do potencial . . . . . . . . . . . .
8
26.2.7 Energia potencial el´etrica de um sistema de cargas puntiformes .
10
26.2.8 Um condutor isolado . . . . . .
12
26.2.9 O acelerador de van de Graaff .
13
26.2.10 Problemas da terceira edic¸a˜ o do livro-texto . . . . . . . . . . . .
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Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para
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26 Potencial El´etrico Na Fig. 26-2 do Halliday, o campo el´etrico do lado esquerdo ou do lado direito?
26.1 Quest˜oes Q 26-1.
Podemos considerar o potencial da Terra igual a Volts em vez de igual a zero? Que efeito ter´a esta escolha nos valores medidos para: (a) potenciais e (b) diferenc¸as de potencial? Sim. O potencial el´etrico num ponto pode assumir qualquer valor. Somente a diferenc¸a de potencial e´ que possui sentido f´ısico determinado. Por raz˜oes de comodidade, podemos admitir que o potencial da Terra (ou de qualquer outro referencial eq¨uipotencial ) seja igual a zero. Qualquer outro valor escolhido tamb´em serve, pois o que ser´a fisicamente relevante e´ a diferenc¸a de potencial.
Q 26-2. O que aconteceria a uma pessoa, de p´e sobre uma plataforma isolada, se o seu potencial fosse aumentado Volts em relac¸a˜ o a Terra?
N˜ao aconteceria nada de grave: como a pessoa est´a isolada, ela apenas teria seu potencial aumentado em Volts. Mas caso a pessoa resolvesse descer da tal plataforma deveria faze-lo com muito cuidado...
e´ maior
O m´odulo do campo el´etrico pode ser estimado da a raz˜ao , onde e´ a distˆancia entre duas superf´ıcies eq¨uipotenciais. Note que do lado esquerdo da figura 26-2 a distˆancia entre duas superf´ıcies eq¨uipotenciais e´ menor do que a distˆancia entre duas superf´ıcies eq¨uipotenciais do lado direito. Sendo assim, conclu´ımos que o valor de na extremidade esquerda da figura 26-2 e´ maior do que na extremidade direita da figura 26-2. Lembre que e´ proporcional a` densidade de linhas de forc¸a (as quais s˜ao ortogonais a` s superf´ıcies eq¨uipotenciais em cada um dos pontos destas superf´ıcies eq¨uipotenciais).
Q 26-24. Vimos na sec¸a˜ o 26-10 que o potencial no interior de um condutor e´ o mesmo que o da sua superf´ıcie. (a) E no caso de um condutor com uma cavidade irregular no seu interior? (b) E no caso da cavidade ter uma pequena “brecha” ligando-a com o lado de fora? (c) E no caso da cavidade estar fechada mas possuir uma carga puntiforme suspensa no seu interior? Discuta o potencial no interior do material condutor e em diferentes pontos dentro das cavidades.
Q 26-3.
(a) Teria o mesmo valor
.
Por que o el´etron-volt e´ freq¨uentemente uma unidade (b) Se o condutor est´a isolado e carregado, ter´ıamos igualmente e constante no interior e mais convencional para energia do que o joule? na superf´ıcie, mas n˜ao poder´ıamos determinar o valor Espac¸o reservado para a SUA resposta..... num´erico da constante.
Q 26-13.
(c) Idem ao item (b), inclusive dentro da cavidade irregular.
O fato de s´o conhecermos , num dado ponto torna poss´ıvel o c´alculo de neste mesmo ponto? Se n˜ao, A carga puntiforme ir´a induzir cargas de sinal contr´ario que informac¸o˜ es adicionais s˜ao necess´arias? e de mesmo valor absoluto na superf´ıcie da cavidade e, conseq¨ uentemente, de mesmo valor na superf´ıcie exterN˜ao. De acordo com a Eq. 26-8, para se calcular uma na do s´ olido irregular. No s´olido, neste caso, devido a diferenc¸a de potencial, torna-se necess´ario o conhecipresenc ¸ a da carga , o potencial mudar´a de valor mas mento de E ao longo de um dado percurso ligando os ainda ser´ a constante e o campo el´etrico nulo, pois tratadois pontos tomados para o c´alculo desta diferenc¸a de se de um condutor carregado e isolado. potencial.
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26.2 Problemas e Exerc´ıcios
(b) Igualando a energia solicitada no item (a) com a energia cin´etica do carro, encontramos: e, portanto,
(RTS
UWV=X "
26.2.1 O potencial el´etrico
Y " S Z ZA[ & $ \ m/s
U L fornece o calor ] necess´ario para fundir uma certa massa ^ de gelo. Fazendo ]_QO e usando a Eq. 5 do Cap. 20, encontramos o seguinte valor para a massa ^ : $& ' J 2 `8$& ( H ^T O H H $& J J/kg kg
V E 26-1. A diferenc¸a de potencial el´etrico entre pontos de descar #"%$& ' (c) A energia ( ga durante uma determinada tempestade e´ de V. Qual e´ o m´odulo da variac¸a˜ o na energia potencial el´etrica de um el´etron que se move entre estes pontos?
Use o conceito de potencial e, subseq¨uentemente, uma convers˜ao de unidades, de Joules para eV, conforme o Apˆendice F, para obter a resposta do livro:
)(
*+ , -$&/. ' C01, "%$& ' V0 23"4$&/. 65 J , 2"$78 . 95 J0:, -/ #"<;="4$& 6> 2 ?$78 > eV @ #" GeV
E 26-2.
P 26-5. eV/J
8" B
?A;
0
Uma bateria de carro de Volts e´ capaz de fornecer uma carga de Amp`eres hora. (a) Quantos Coulombs de carga isto representa? (b) Se toda esta carga for descarregada a Volts, quanta energia estar´a dispon´ıvel? (a) Como A C/s, encontramos:
8" !CDFEG, ?A; 0:,IH - G0 H 3"<;$& J C
a
b
Quando um el´etron se move de at´e ao longo da linha de campo el´etrico mostrado na Fig. 26-24 (pg. 82), o campo el´etrico realiza um trabalho de J sobre ele. Quais s˜ao as diferenc¸as de potencial el´etrico (a) , (b) e (c) ?
dPecgf
ghceif
H 2 ;%$c8 . ' ghceid
(a)
K
2A;$78 . ' d ei f e ! fjd ke H -%$78 . ' e "l ;- V
5 K Nota: ! e´ uma carga-teste positiva e fjd o trabalho 5 feito pelo campo el´etrico. Observe das linhas de campo na figura que o ponto a est´a mais pr´oximo de cargas negativas do que o ponto b . (O vetor campo E aponta
(b) Usando a Eq. 4, encontramos para a energia solicitada o seguinte valor: para as cargas negativas.) (b) A ddp e´ a mesma que a do item anterior. MJ (c) Zero, pois os pontos e est˜ao sobre uma equipotencial.
K !ALH "A;$&J$7M" @NH -3"
b
m
P 26-3. Em um relˆampago t´ıpico, a diferenc¸a de potencial entre 26.2.2 C´alculo do potencial a partir do campo pontos de descarga e´ cerca de V e a quantidade de carga transferida e´ cerca de C. (a) Quanta energia e´ liberada? (b) Se toda a carga que foi liberada pudes- E 26-9. se ser usada para acelerar um carro de kg a partir A densidade de carga de um plano infinito, carregado e´ do repouso, qual seria a sua velocidade final? (c) Que C/m . Qual e´ a distˆancia entre as superf´ıcies quantidade de gelo a C seria poss´ıvel derreter se toda eq¨uipotenciais cuja diferenc¸a de potencial e´ de Volts? a energia liberada pudesse ser usada para este fim? O De acordo com a Tabela 1, para um plano infinito calor de fus˜ao do gelo e´ J/kg. uniformemente carregado, podemos escrever a seguinte (a) Usando a Eq. 4, encontramos o seguinte valor para relac¸a˜ o: a energia:
H
5
'
OPLH H $78 J
(QN!ALH %$& ' J
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n / oqp
X
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nsr L 5 e " t
5
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r
Donde se conclui que para duas superf´ıcies eq¨uipotenV entre eles, calcule o campo el´etrico na superf´ıcie: ciais separadas por uma distˆancia , a diferenc¸a de (a) do fio e (b) do cilindro. (Sugest˜ao: Use o resultado energia potencial e´ dada por: do Problema 24, Cap. 25.)
n ke " t r
5
Portanto considerando apenas o m´odulo de tramos a resposta:
r
"At 5 n /? ? [
mm
r
Usando o resultado do problema 25-24, pag. 58, encontramos para o campo el´etrico entre o fio e o cilin. Usando a Eq. 26-11, , encon- dro a express˜ao pag. 68, encontramos para a diferenc¸a de potencial entre o fio e o cilindro a seguinte express˜ao:
yl, " C
De acordo com a Terceira Lei de Newton, esta forc¸a e´ a Qual e´ a carga sobre uma esfera condutora de raio mesma (em m´odulo) para as duas esferas. Portanto, as m sabendo-se que seu potencial e´ Ve magnitudes das acelerac¸o˜ es s˜ao dadas por que no infinito?
ï
Ê Uï ÊX U X
; [ " "/ [
m/s
X
m/s
X
(c) Muito tempo depois do fio ser cortado, as esferas est˜ao suficientemente afastadas de modo que a energia potencial e´ igual a zero. Neste caso, pela Lei da Conservac¸a˜ o de energia, temos:
P 26-79.
Duas esferas met´alicas tˆem raio de H cm e cargas de %$ 8 . > C e eªH $ . > C. Suponha que estas car ( final " U V X " U X V XX
gas estejam distribu´ıdas de maneira uniforme e que os Da conservac¸a˜ o do momento linear sabemos que U V e U X V X e, como temos U U X " , segue que centros das esferas estejam afastados " metros um do V " V X . Substituindo-se este valores outro. Sendo assim, calcule: (a) o potencial do ponto de V e U express˜ao da energia final ( na acima encontramos fi- situado a` meia distˆancia entre os centros das esferas e final
(b) o potencial de cada esfera.
nalmente que
( final H" U X V XX ¡ ( Portanto,
V X LH ? AZ H
m/s
"" [
inicial
V " V X LZ Z ;
m/s
P 26-70.
(a) No ponto situado a` meia distˆancia, o potencial e´ dado por
$78 . > eªH $78 . > ;wt m m £ 5¢ 2$& ' $ ,³e " 0 $&/. >ªQe 8? V
v
(b) Como e´ muito maior que , para calcular o poConsidere a energia potencial como sendo zero quan- tencial de cada esfera podemos desprezar a influˆencia do o el´etron que se move estiver muito distante dos m´utua entre as esferas. Portanto, http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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! ;wt v 5 X ;wt ! v X 5
17 de Junho de 2003, a` s 10:30 a.m.
O potencial da esfera e´ dado por eo campo el´etrico nas vizinhanc¸as da superf´ıcie externa da esfera e´ dado por . Portanto, . Para um valor V/m, e´ necess´ario que
. > 0 2$78 ' , $& $ . X & H V H 2$78 ' ,6eªH $7$&8 . . > 0 X 2e V H
Î v ó , 2$&¶ 0:, l. >0} / 2
(b)
Donde se conclui que
, -$& . ' C01, $& ¶ V0 -$& . X J
" (c) Como Só UsV=X , temos Y Y V " U S " !AU
SóNÊl%
cm
à K N 3] " Z W "/ Z kW
E E (c) Sendo n a densidade superficial de cargas e ¼ o com
primento da correia, encontramos ] n aÒ n , í ¼y0 Com isto =] n ¼ n íÂV
E E
" , -%$78 . ' C :0 , $& ¶ V0 H #"%$& . X J
S¦ " Êl
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P 26-84. (a)
m
(b) O trabalho realizado pela forc¸a externa para carregar a esfera com uma carga total e´ dado por . Portanto, a potˆencia fornecida para o gerador eletrost´atico deve ser dada por
26.2.9 O acelerador de van de Graaff
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