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3. Equações Algébricas 3.1 Introdução Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há necessidade de se determinar um número ξ para o qual um número ξ para o qual uma função f(x) seja zero, ou seja, f(ξ) = 0. Este número ξ é chamado de raiz da equação f(x) = 0 ou zero da função f(x). As equações algébricas de 10 e 20 grau, certas classes de 30 e 40 graus e algumas equações transcendentes podem ter suas raízes computadas exatamente através de métodos analíticos, mas para polinômios de grau superior a quatro e para a grande maioria das equações transcendentes o problema só pode ser resolvido por métodos que aproximam as soluções. Embora esses métodos não forneçam raízes exatas, elas podem ser calculadas com a exatidão que o problema requeira, desde que certa condições sobre f sejam satisfeitas. Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas: i) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0. ii) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido.
3.2 Isolamento de Raízes Segue um importante teorema da álgebra para o isolamento de raízes. Teorema 3.1: Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto é, f(a) . f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0, em outras palavras haverá, no mínimo, um número ξ (a, b) tal que f(ξ) = 0.
3.2.1 Equações Algébricas 3.2.1.1 Propriedades Gerais Seja uma equação algébrica de grau n (n ≥ 1): P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0 = 0 onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 Teorema 3.2: (teorema fundamental da algébra) uma equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contado de acordo com sua multiplicidade.
Teorema 3.3: se os coeficientes da equação algébrica são todos reais, então as raízes complexas desta equação são complexos conjugados em pares, isto é, se ξ1 = α + βi é uma raiz, então o número ξ2 = α – βi também é raiz desta equação e tem a mesma multiplicidade de ξ1.
Corolário 3.1: uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais tem, no mínimo, uma raiz real.
3.2.1.2 Valor Numérico de um Polinômio
Dado um polinômio P(x), um problema que se coloca é o de calcular o valor de P(x) para x = x0, ou seja, P(x0). Este problema aparece, por exemplo, quando se quer isolar uma raiz. Para calcular P(x0) sendo P(x) de grau n, será necessário n.(n + 1)/2 multiplicações e n adições. Se o grau de P(x) for muito grande (vamos supor n = 20), o cálculo de P(x0), além de se tornar muito laborioso, é também, ineficientes em termos computacionais. Avaliando em P(x) = 3x9 + 2x8 – 10x7 + 2x6 – 15x5 – 3x4 + 2x3 – 16x2 + 3x – 5 Para
P(2) = 3.29 + 2.28 – 10.27 + 2.26 – 15.25 – 3.24 + 2.23 – 16.22 + 3.2 – 5 P(2) = 321
Número de operações:
multiplicações = 9.(9 + 1)/2 = 45 Adições = 9
3.2.1.3 Método de Briot-Ruffini Seja uma equação algébrica de grau n (n ≥ 1), tal que, P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0 = 0 onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 Para calcularmos um valor numérico de P(x) podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, assim:
3.2.1.4 Método de Horner Seja uma equação algébrica de grau n (n ≥ 1), tal que, P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0 = 0 onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 O Método Horner para o cálculo do valor numérico de um Polinômio, consiste em reescrever o polinômio de forma a evitar as potências, assim:
Outro exemplo: Calcular o valor numérico para x = 2 no polinômio P(x) = 3x9 + 2x8 – 10x7 + 2x6 – 15x5 – 3x4 + 2x3 – 16x2 + 3x – 5.
3.2.1.5 Os limites das raízes reais
Consideremos o polinômio P(x), tal que: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0 = 0 onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 Será visto a seguir, um teorema que permite delimitar as raízes da equação P(x) = 0. Teorema 3.4: (teorema de Lagrange) Sejam an>0, a0 ≠ 0 e sendo k (0 ≤ k ≤n-1) o maior índice escolhido dentre os índices dos coeficientes negativos do polinômio P(x), então o limite superior das raízes positivas LSRP de P(x) = 0 pode ser dado por:
Onde B é o valor absoluto do maior coeficiente negativo, em módulo. Assim, se ξp é a maior das raízes positivas, então ξp ≤ L. Se os coeficientes de P(x) forem todos negativos, então P(x) não terá raízes positivas.
ou seja, a partir de x = 4,46 o polinômio não tem raízes (ou zeros).
Limite Inferior das Raízes Positivas LIRP Sejam ξ1, ξ2, ..., ξn as raízes de P(x) = 0. Logo: P(x) = an(x – ξ1).(x – ξ2) ... (x – ξn) = 0 Para determinarmos o limite inferior das raízes positivas de P(x) = 0, basta substituirmos x por 1/x em P(x) = 0 e aplicarmos o Teorema de Lagrange à equação resultante. O inverso do limite obtido será, então, o limite inferior das raízes positivas de P(x) = 0. Mais especificamente, seja a equação auxiliar P1(x) = xnP(1/x) = 0.
Limite Inferior das Raízes Negativas (LIRN)
Limite Superior das Raízes Negativas (LSRN)
Dispositivo prático: n=5 a0 a1 a2 a3 a4 a5
P(x) – 12 20 –1 –9 3 1
P1(x) –1 –3 9 1 – 20 12
P2(x) 12 20 1 –9 –3 1
P3(x) 1 –3 9 1 – 20 12
k n–k B Li Lξ
3 2 12 4,46 4,46
4 1 20 2,66 1/2,66 = 0,37
4 1 9 10 – 10
4 1 20 2,66 – 1/2,66 = – 0,37
