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˜ ˆ INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC ¸ AO, CIENCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA ´ CAMPUS VITORIA DA CONQUISTA . PER´IODO:
CURSO: ´ DISCIPLINA: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I.
. SEMESTRE: 2013-2 .
TURNO:
PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS. ALUNO (a):
. Lista de Exerc´ıcios - Derivadas
1. Ache uma equa¸c˜ ao da reta tangente `a curva y = 2x2 + 3 que ´e paralela `a reta 8x − y + 3 = 0. 2. Ache uma equa¸c˜ ao da reta tangente `a curva y = 2 − 31 x2 que ´e perpendicular `a reta x − y = 0. 3. Se
f 0 (x + ∆x) − f 0 (x) ∆x→0 ∆x
f 00 (x) = lim ache f 00 (x) se f (x) = ax2 + bx.
4. Seja f uma fun¸c˜ ao definida por f (x) = ln x. Fa¸ca um esbo¸co cuidadoso do gr´afico de f e abaixo dele esboce o gr´ afico de f 0 . Observando os gr´aficos, vocˆe pode sugerir uma f´ormula para f 0 (x)? 5. Usando a defini¸c˜ ao, determine a fun¸c˜ao primeira derivada e as derivadas nos pontos indicados. (a) f (x) = x2 − 1, f 0 (0) e f 0 (1) (b) f (x) = x2 − 3x + 6, f 0 (−1) e f 0 (2) 1 1 0 (c) f (x) = , f e f 0 (3) x 3 π (d) f (x) = sen (x), f 0 (0), f 0 e f 0 (π) 2 6. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) depois de t segundos ´e dada por y = 10t − 4, 9t2 . Encontre a velocidade quando t = 2. 7. O deslocamento (em metros) de uma part´ıcula movendo-se ao longo de uma reta ´e dado pela equa¸c˜ao do movimento s = 1/t2 , onde t ´e medido em segundos. Encontre a velocidade da part´ıcula nos instantes t = a, t = 1, t = 2 e t = 3. 8. Determine se existe ou n˜ ao f 0 (0). x sen 1 x (a) f (x) = 0
9. Seja f (x) =
√ 3
, se
x 6= 0
, se
x=0
x2 sen 1 x (b) f (x) = 0
, se
x 6= 0
, se
x=0
x.
(a) Se a 6= 0, usando a defini¸c˜ao de derivada no ponto, encontre f 0 (a). (b) Mostre que f 0 (0) n˜ ao existe. √ 3 (c) Mostre que y = x tem uma reta tangente vertical em (0 , 0). 10. Mostre que a fun¸c˜ ao f (x) = |x − 6| n˜ao ´e diferenci´avel em 6. Encontre uma f´ormula para f 0 e esboce seu gr´ afico.
11. Seja f (x) = x|x|. (a) Para quais valores de x f ´e diferenci´avel? (b) Encontre uma f´ ormula para f 0 . (c) Esboce o gr´ afico da fun¸c˜ ao f . 12. Usando a defini¸c˜ ao, verifique se as fun¸c˜oes a seguir s˜ao deriv´aveis em a e, em caso afirmativo, determine f 0 (a). (a) f (x) = 2x − 3, a = 1
(c) f (x) =
(b) f (x) = 2x2 − 5, a = −1
√
x − 1, a = 1
(d) f (x) = x2 · |x| − 1, a = 0
13. Em que ponto da curva y = x2 + 8 a inclina¸c˜ao da tangente ´e 16? Escreva a equa¸c˜ao dessa reta tangente. 14. Se f (x) = 2x2 − x3 , encontre f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x) e f (4) (x). Trace f, f 0 , f 00 e f 000 em uma u ´nica tela. Os gr´ aficos s˜ ao consistentes com as interpreta¸c˜oes geom´etricas destas derivadas? 15. As derivadas ` a esquerda e ` a direita de f em um valor x0 s˜ao definidas por 0 f− (x0 ) = lim− h→0
f (x0 + h) − f (x0 ) h
e f (x0 + h) − f (x0 ) h se esses limites existirem. Ent˜ao f 0 (x0 ) existe se, e somente se, essas derivadas unilaterais existirem 0 f+ (x0 ) = lim
h→0+
e forem iguais. 0 0 (4) para a fun¸c˜ao (4) e f+ (a) Encontre f− 0 , se 5 − x , se f (x) = 1 , se 5−x
x≤0 0
