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Módulo 2
Cálculo Integral
Função primitiva
1RHVWXGRGDGHULYDGDSULPLWLYDWtQKDPRVXPDIXQomRHREWLYHPRVDSDUWLUGHODXPDRXWUDDTXHFKDPDPRV de derivada1HVWDVHomRIDUHPRVRFDPLQKRLQYHUVRLVWR é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma IXQomRRULJLQDOTXHFKDPDUHPRVGHSULPLWLYD9RFrGHYH REVHUYDUTXHpLPSRUWDQWHFRQKHFHUEHPDVUHJUDVGH derivação e as derivadas de várias funções, estudadas no Capítulo 5, para determinar as primitivas. O que acabamos GHPHQFLRQDUQRVPRWLYDDVHJXLQWHGHÀQLomR
Nesta unidade, passaremos a nos preocupar com o teorema mais importante do cálculo diferencial, que é o Teorema Fundamental do Cálculo. É importante TXHYRFrFRPSUHHQGDHVWD temática antes de prosseguir seus estudos. Não esqueça TXHYRFrQmRHVWiVR]LQKR conte com o Sistema de $FRPSDQKDPHQWRSDUD auxiliar-lo nas suas dúvidas.
Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I , se para todo x DI , tem-se F '(x) f (x) .
Vejamos alguns exemplos. x5 Exemplo 7.1 A função F (x) é uma primitiva da função f (x) x 4 , 5 pois 4 5x F '(x) x 4 f (x) , x D° 5 x5 x5 Exemplo 7.2 As funções T (x)
9 , H (x) < 2 também são 5 5 4 primitivas da função f (x) x , poisT '(x) H '(x) f (x) . 281
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Exemplo 7.3 A função F (x) f (x) e < 3x , pois
e <3 x é uma primitiva da função <3
<3 = e <3x F '(x) e <3x 1 f (x) , x D° . <3 Exemplo 7.4 A função F (x) x x 2 é uma primitiva da função 1 f (x) , pois 2 x 1 1 < 1 <1 1 1 1 1 F '(x) x 2 = x 2 = 1 f (x) , x 0 . 2 2 2 2 x x2 Observação Seja I um intervalo em ° . Se F : I A ° é uma primitiva de f : I A ° , então para qualquer constante real k , a função G(x) dada por G(x) F (x) k é também uma primitiva de f (x) . Se F ,G : I A ° são primitivas de f : I A ° , então existe uma constante real k , tal queG(x) F (x) k , para todo x DI .
Exemplo 7.5 Sabemos que sen x ' cos x . Assim, F (x) sen x é uma primitiva da função f (x) cos x e toda primitiva da função f (x) cos x é do tipo G(x) sen x k para k D ° . 3 Assim,G1 (x) sen x 10 , G2 (x) sen x < 50 e G3 (x) sen x < são 4 todas primitivas da função f (x) cos x , pois G1` (x) G2` (x) G3` (x) cos x f (x) . Exemplo 7. 6 E n c o n t ra r u m a p r i m it iva F (x) , d a f u n ç ã o f (x) 2x 3 < 4x 2 5x < 1, para todo x D° , que satisfaça a seguinte condição F (1) 4 . Resolução:3HODGH¿QLomRGHIXQomRSULPLWLYDWHPRVF '(x) f (x) para todo x D ° , assim, F (x) será uma função cuja derivada será a função f (x) dada. Logo, 2 x3 x2 F (x) x 4 < 4 5 < x k , 4 3 2 pois 2 x2 x 3 F '(x) u 4x < 4 u 3 5 u 2 < 1 0 3 4 2
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2x 3 < 4x 2 5x < 1 f (x) , ou seja, 1 4 x3 x2 x <4 5
