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C3 10032005

Aula 4 de Cálculo 3 do professor Stavros Christodoulou (Arquivo LaTeX das notas de aula incompletas - este documento pode ser melhorado)

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\documentclass[a4paper]{article},,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \usepackage[latin1]{inputenc},,,,,,,,,,,,, \usepackage[brazil]{babel},,,,,,,,,,,,, \usepackage{amsmath},,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \title{C lculo III - Aula 4},,,,,,,,,,,,, \author{Prof. Stavros Christodoulou},,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \date{\small S o Paulo, 10 de Mar o de 2005},,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \begin{document},,,,,,,,,,,,, \maketitle,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \small Transcri o das aulas ministradas pelo professor Stavros Christodoulou na Escola Polit cnica da USP no primeiro semestre de 2005. Este material resultado de trabalho volunt rio e o seu \emph{uso comercial proibido}. Todo o material est dispon vel no website \verb+www.lsi.usp.br/~felipe/calculo.html+ C pias XEROX s o permitidas desde que o pre o cobrado seja apenas o pre o de custo do servi o (tipicamente de 10 a 15 centavos por folha de papel). Pr ticas abusivas podem levar descontinuidade deste projeto volunt rio.,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \section{Mudan a de Vari veis},,,,,,,,,,,,, Decida quais integrais existem:,,,,,,,,,,,,, $$1.\;\;\; \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]} \frac{x-y}{x^2 + y^2}\,dx\,dy$$,,,,,,,,, $$2.\;\;\; \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]} \frac{xy}{x^2 + y^2}\,dx\,dy$$,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, Observe que tanto $f(x,y)=\frac{x-y}{x^2 + y^2}$, quanto $g(x,y)=\frac{xy}{x^2 + y^2}$ n o est o definidas em $(0,0)$; e nem existem os limites delas quando $(x,y) \longrightarrow (0,0)$. f cil ver (?!) que $f(x,y)$ N O LIMITADA nas proximidades de $(0,0)$; Logo, $\iint\limits_{[0,1]\times [0,1]} \frac{x-y}{x^2 + y^2}\,dx\,dy$ n o existe (como integral ``n o-pr pria'')! ,,,,,,,,,,,,, Por outro lado:,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, $$0 \leq (x-y)^2 = x^2 +2xy + y^2 \text{, portanto } 2xy \leq x^2 + y^2$$,,,,,,,,,,,, $$0 \leq \frac{xy}{x^2 +y^2} \leq \frac{1}{2} \forall (x,y) \in [0,1]\times [0,1] \neq (0,0)$$,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, Assim, $g(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ limitada em $[0,1]\times [0,1]$ e descont nua apenas no ponto $(0,0)$ [ou seja, num conjunto de conte do nulo].,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, $$\text{Logo, } \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]} \frac{xy}{x^2 + y^2}\,dx\,dy \;\;\;\; \text{existe.}$$,,,,,,,, $$\int_0^1 \left[ \int_0^1 g(x,y)\,dx \right]\,dy =\int_0^1 \left[ \int_0^1 g(x,y)\,dy \right]\,dx$$,,,,,,, ...\\,,,,,,,,,,,,, ...\\,,,,,,,,,,,,, ...\\,,,,,,,,,,,,, \section{DEFINI O},,,,,,,,,,,,, Seja $\phi (u,v) = (\phi_1 (u,v), \phi_2 (u,v))$ onde $\phi_1(u,v)$ e $\phi_2(u,v)$ s o n meros reais. O Jacobiano de $\;\phi$ define-se como:,,,,,,, $$,,,,,,,,,,,,, \boxed{,,,,,,,,,,,,, J(\phi )(u,v) = ...,,,,,,,,,,,, },,,,,,,,,,,,, $$,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, Costuma-se (com um pouco de ``abuso de nota o'') escrever para $\phi$ :\\,,,,,,,,,,,,, $$\phi (u,v)=(x(u,v),y(u,v))$$,,,,,,,,, e, para o Jacobiano:,,,,,,,,,,,, $$J(\phi)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$$,,,,,,,,,,, Assim,$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}= ...$,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, Observe que o Jacobiano de $\phi$ uma fun o real(``escalar'') de duas vari veis; enquanto que $\phi$ uma fun o ``vetorial'' de duas vari veis.,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \section{Teorema da Mudan a de vari veis},,,,,,,,,,,,, Sejam $B$ um conjunto fechado e limitado (compacto) do plano xy, com fronteira de conte do nulo e $f(x,y)$ uma fun o real definida e cont nua em $B$ \footnote{conseq entemente limitada e integr vel}. Sejam tamb m $\phi (u,v) = (x(u,v),y(u,v))$ uma fun o definida num aberto $\Omega$ do plano $xy$, de classe C1; e suponhamos que $B_{uv}$ um subconjunto de $\Omega$ cuja imagem por $\phi$ e $B$ tal que $B_{uv}$ fechado, limitado, com fronteira de conte do nulo e que $\phi$ injetora no interior de $B_{uv}$ e $J(\phi )(u,v) \neq 0$ para todo $(u,v)$ no interior de $B_{uv}$,\\, Ent o:,,,,,,,,,,,,, $$\iint\limits_B f(x,y)\,dx\,dy=$$,,,,,,,,,, $$=\iint\limits_{B_{uv}} f(\phi (u,v)) "J(\phi )(u,v)"\,du\,dv =$$,,,,,,,,, $$=\iint\limits_{B_{uv}} f(x(u,v),y(u,v))\left" \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}(u,v) \right"\,du\,dv$$,,,,, ,,,,,,,,,,,,, \subsection{Exemplo} ,,,,,,,,,,,,, Calcular: $$\iint\limits_B e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$, onde $B$ o c rculo $x^2 + y^2 \leq a^2$, usando a mudan a: $\phi (u,v)=(u \cos v,u\sin v)$,,,,,,, $$x=x(u,v)=u\cos v$$,,,,,,,,,,,, $$y=y(u,v)=u\sin v$$,,,,,,,,,,,, $$\text{Jacobiano de} \;\phi = ...=..=u\cos^2 v+u\sin^2 v$$,,,,,,,,,,,,, $$B_{uv}=\{(u,v):0\leq u\leq a\text{ e } 0\leq v\leq 2\pi\}$$,,,,,,,,,,,, \end{document},,,,,,,,,,,,,