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SISTEMAS DE ODE DE 1a. ORDEM ACOPLADAS
Muitos exemplos em engenharia química são modelados por um conjunto de
ODE´S , tais como: Reator CSTR e bateladas não isotérmicos, destilador
diferencial, comportamento transiente de um sistema de controle
multivariável, etc.
Seja o seguinte sistema de equações de primeira ordem:
Onde (y1,y2,...,yn) e para um valor de " x" todos os valores
de yi são conhecidos.
Por outro lado, a taxa de rigidez é dada por :
e a estabilidade da taxa de rigidez ( Stiffness) deverá ser calculada
pelo maior valor de . Um método conveniente para se estimar cada λi
é dado por:
O método de Euler explícito pode ser extendido para resolver um
sistema de ODE´S. O algoritmo desse método é :
Onde (y1,j ,y2,j,... yn,j). Por exemplo, yi,j é o valor de yi em
Jth valor de x ( i.e., se a condição inicial for especificada em x=0, o
valor de x será: J x)
Obs : o tamanho do passo deverá ser escolhido de modo a tornar o
sistema estável. Nesse método o tamanho do passo será: 2 / (((
Exemplo : Considere o seguinte reator em batelada não istérmico.
Onde CA =1,0 e T= 300 K inicialmente. Determine a concentração e
temperatura depois de 100 s,
sabendo-se que: E/R= 300 K e K1= - 0.1/sec e K2 = 1,0 K-litro/gmol-seg
A relação de recorrência será :
Onde T0= 300 K e CA0= 1,0gmol/litro
Portanto, λ0,1 > λ0,2 e dessa forma, λ0,1 determina o valor do passo ,
nesse caso
, o que significa um problema não stiff.
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 4a. ORDEM
Da mesma forma que o método de Euler explícito, o método de runge
Kutta pode ser aplicado na solução de um sistema de ODE´S. Considere o
método de Rung-Kutta de 4a. ordem. O valor de K1 é determinado para cada
variável dependente, e então, esses valores são usados para calcular K2, e
assim sucessivamente. A relação de recorrência do método é :
Onde YI,J é o valor da variável YI depois de " J" passos na variável
independente x.
Nesse método, o tamanho do passo pode ser 40% maior do que o do método
explícito de Euler (i.e., 2,8/ ((( comparado com 2/ ((( ).
Por outro lado, nos métodos explícito, o tamanho do passo pode ser
facilmente ajustado durante o processo de integração. Considere a seguinte
expansão em série de Taylor:
Deseja-se limitar " YI " em %P com relação a troca no tamanho do passo
x. Então,
e como FI (x,y)= dyI /dx tem-se então:
Para nenhuma variável dependente exceder a P por cento em ralação a troca
de seu valor, deve-se selecionar o menor valor de x, isto é :
I = 1,2,...,n
Dessa forma, quando a variável dependente varia rapidamente, pequenos
passos são usados, e quando ela varia lentamente, grandes passos são
tomados. O valor de P é tomado entre 1 e 20 %.
EXEMPLO: Considere o seguinte sistema de ODE´S
Com y1(0)=y2(0)=y3(0)=1
Determine y1, y2 e y3 em x=0,3 usando o método de runge Kutta de 4a. ordem,
com x = 0,1
Solução : em x=0 y1=y2=y3=1
Para calcular os k2,i,0 utiliza-se os valores de k1,i,o
OBS: O VALOR DE K2,3,0 ESTÁ ERRADO FAZER CORREÇÃO COM OS ALUNOS
Para calcular os k3,i,0 procede-se da mesma forma:
e para calcular os k4,i,0 tem-se :
Agora calcula-se os valores de y1, y2 e y3 em x=0,1 usando-se a formula
de Runge-Kutta
Esses valores são usados para o cálculo do passo seguinte.
Exemplo : Agora aplique o método de Runge-Kutta na solução do reator em
batelada não isotérmico . Obtenha os resultados com três casas decimais e
compare com o método de Euler.
MÉTODO TRAPEZOIDAL
Aplicando-se o método trapezoidal para um sistema de ODE´S resulta na
seguinte equação:
Onde (y1,j,y2,j,y3,j,...,yn,j)
Os métodos implícitos são mais difíceis de implementar que os métodos
explícitos, pois muitas vezes, faz-se necessário a resolução de um sistemas
de equações algébricas não lineares em cada iteração. Dessa forma, muitas
vezes é utilizado o método preditor corretor nesse esquema de integração.
Os métodos implícitos, como o trapezoidal , são indicados para solução de
sistemas de ODE stiff. Quando um método explícito é aplicável a um sistema
stiff , passos muito pequenos são necessários para manter a estabilidade do
método, dessa forma, um grande número de passos são necessários para
completar a integração. Portanto, um grande erro de arredondamento pode
afetar a precisão do método. Enquanto que nos métodos implícitos não
precisam diminuir o passo para manter a estabilidade do método.
EXEMPLO: aplique o método trapezoidal no seguinte sistema:
Determine y1 e y2 em x=0,2 com x=0,1
Aplicando o método trapezoidal nesse problema fica:
Substituindo-se os valores e simplificando fica:
Resolvendo simultaneamente fica:
y1,1=0,0995 e y2,1=-0,1005
Então ,
Que resolvendo simultaneamente fica:
y1,2= 0,1970 e y2,2=-0,2030 em x=0,2
EXEMPLO: analise o seguinte sistema de ODE stiff (rígido) com relação a
estabilidade e precisão do método o Euler explícito e o trapezoidal.
Neste caso, o sistema será integrado até x=40
Solução: Considerando o método de Euler explícito, tem-se que o tamanho do
passo deverá ser menor que 2/ ((( ( neste caso λi é aproximadamente
-100000) e dessa forma x deverá ser menor ou igua a 2 x 10-5 .Nesse caso o
número de passos será: 40/10-5=4 x 106 passos. Dessa forma, o erro de
truncamento em cada passo afetará o processo de integração. Considerando a
aplicação do método de Euler na segunda equação fica:
Portanto, o tamanho do passo só pode ser reduzido até onde o erro de
truncamento torna-se significante. Como o tamanho do passo não é limitação
para o método trapezoidal, tomando-se um passo igual a 0,01, o sistema é
integrado com uma boa precisão e com um menor número de passos.
CONVERTENDO-SE UMA ODE DE ORDEM "N" NUM SISTEMA
DE "N" ODE´S DE PRIMEIRA ORDEM
Considere a seguinte ODE de segunda ordem e condições iniciais :
Como as condições são dadas no mesmo valor de "x" , esse problema é de
valor inicial. Então, faz-se a seguinte substituição:
Z1=y e Z2=
Dessa forma,
Agora esse sistema pode ser integrado conforme anteriormente.
EXEMPLO: a tragetória de uma bola é dada pela seguinte equação:
Solução: Tomando-se a seguinte transformação, tem-se que :
Z1= e Z2= , então
Que pode ser integrado pelos métodos descritos anteriormente.
O IMSL (International Matematical Software Library) contém o pacote
de integração numérica Gear. Vários métodos implícitos são usados no Gear.
O pacote Gear, otimiza o tamanho dos passos de integração no decorrer do
processo. Deve ser informado que essa é uma biblioteca do fortran, e que o
programa LSODE está contido nessa biblioteca.
Segundo seminário
Desenvolva um sistema de engenharia que resulte num problema de valor
inicial. Em seguida, aplique um método de Runge-Kutta na solução do
problema verificando se uma diminuição ou aumento no tamanho do passo
alterará o resultado do problema ( Consulte o livro " the art of Modeling
in science and engeneering) e
Reproduza um artigo que possua um sistema de ODE'S ou uma ODE como
problema de valor inicial. Para Isso, vá no portal capes, e encontre um
sistema de engenharia química que utiliza essa metodologia, e reproduza os
seus resultados.
