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MATEMÁTICA PARA CEF PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Aula 4 – Parte 1 1
Sistemas de Amortização ................................................................................................................. 2 1.1
Conceito .......................................................................................................................................... 2
1.2
Sistema Francês de Amortização .......................................................................................... 2
1.2.1
Tabela Price ........................................................................................................................... 4
1.2.2
Descrição das parcelas no Sistema Francês ............................................................. 4
1.2.3
Exercícios Resolvidos ......................................................................................................... 5
1.3
Sistema de Amortização Constante (SAC)...................................................................... 21
1.3.1 1.4
Sistema de Amortização Misto (SAM) ............................................................................... 34
1.4.1 1.5
Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 27
Exercício Resolvido ........................................................................................................... 34
Sistema Americano de Amortização .................................................................................. 36
1.5.1
Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 37
2
Relação das questões comentadas...........................................................................................................40
3
Gabaritos ..................................................................................................................................................47
4
Tabelas Financeiras ...........................................................................................................................48
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Olá pessoal! De acordo com a nossa programação, hoje vamos estudar os Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos. 1 1.1
Sistemas de Amortização Conceito
A amortização de um empréstimo é o processo de sua liquidação por meio de pagamentos periódicos (anuidades). Há vários processos para amortizar o capital emprestado de modo que, para efeito deste concurso, estudaremos os seguintes: Sistema Francês (Tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema Americano (SA). Ao estudar um sistema de amortização tem-se como principal objetivo a descrição do estado da dívida ao longo do tempo: a decomposição de cada prestação (juros + quota de amortização) e o saldo devedor após o pagamento de cada prestação. Em suma, as prestações são compostas de duas parcelas: as amortizações, que correspondem ao pagamento da dívida; os juros que correspondem à remuneração do capital emprestado. 1.2
Sistema Francês de Amortização
Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. A quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o capital. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado.
Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro.
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Já que a prestação é constante, à medida que são pagas as parcelas, a quota de amortização vai aumentando enquanto a quota de juros vai diminuindo.
Esse sistema corresponde à sequência de anuidades periódicas postecipadas e esquematizadas da seguinte forma: D
1
2
3
4
5
6
7
8
n
P
P
P
P
P
P
P
P
P
0
Onde D é o valor do empréstimo na data 0 e P é o valor de cada prestação. Trata-se na realidade do cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de capitais. Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir:
Onde
ani é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
Utilizaremos esta expressão caso a questão forneça a tabela financeira. Caso contrário, utilizaremos o fato de que:
Podemos também escrever a prestação em função do valor da dívida:
Ou ainda:
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Onde o número
é chamado de Fator de Recuperação de Capital.
1.2.1 Tabela Price Sabemos que, para aplicar as fórmulas de Matemática Financeira, a unidade da taxa de juros deve ser a mesma do número de períodos. Se por acaso isso não acontecer, isto é, estivermos trabalhando com taxas nominais, o Sistema Francês será chamado de Sistema Price ou Tabela Price, em homenagem ao teólogo, filósofo e especialista em finanças e seguros Richard Price. Trata-se apenas de um caso particular do Sistema Francês. Em suma, o Sistema Price tem as mesmas características do Sistema Francês. O único detalhe é que a taxa de juros será dada em termos nominais. O enunciado da questão será idêntico, a taxa que poderá ser escrita assim, por exemplo: - 24% ao ano com capitalização mensal - 24% ao ano, Tabela Price Ao informar “Tabela Price” já estará indicada que a capitalização será na mesma unidade que o número de parcelas. Por exemplo: 20 parcelas bimestrais, a uma taxa de 24% ao ano, Tabela Price. Isso significa que a taxa será 24% ao ano com capitalização bimestral. 1.2.2 Descrição das parcelas no Sistema Francês Descrever as parcelas no Sistema Francês significa indicar qual o juro pago e qual a quota de amortização em cada parcela. No Sistema Francês de Amortização as parcelas são calculadas a partir das seguintes expressões:
Vamos aprender agora a calcular a quota de amortização em cada prestação e, consequentemente, o juro pago em cada prestação. O primeiro passo é calcular o juro pago na primeira prestação. Para isso, basta calcular Prof. Guilherme Neves
D i .
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A prestação P (constante) do primeiro período compreende uma parcela de amortização do capital (A1), somada aos juros do primeiro período (J1 = D.i). Logo, P = A1 + J1 Feito isso, calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An A1 (1 i)n1 Para calcular o juro, basta efetuar P = An + Jn. 1.2.3 Exercícios Resolvidos 01. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação descrita foi (A) Amortização Constante. (B) Amortização Francês (Tabela Price). (C) Amortização Americano. (D) Amortização Misto. (E) Amortizações Variáveis. Resolução A situação descreve perfeitamente o Sistema de Amortização Francês, já que as prestações são constantes. Letra B 02. (FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização – Tabela Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de 1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da dívida, depois de paga a 19a prestação, em reais, é (A) 16.234,29 (B) 16.226,01 (C) 15.570,53 (D) 15.562,25 Prof. Guilherme Neves
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(E) 15.398,27 Resolução Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Como a taxa é de 1% ao mês, então a quota de juros na próxima prestação será igual a:
A prestação é igual a R$ 1.000,00. Destes R$ 1.000,00, R$ 163,98 são referentes aos juros da transação. Qual é a cota de amortização?
O que diminui a dívida é a quota de amortização. A dívida antes era de R$ 16.398,27. Ao pagar a próxima prestação, esta dívida diminuirá R$ 836,02 e passará a ser reais. Letra D 03. (AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$ 300,00 b) R$ 240,00 c) R$ 163,00 d) R$ 181,00 e) R$ 200,00 Resolução Já que as prestações são mensais e iguais, a questão trata sobre o Sistema Francês de Amortização. O juro pago na primeira prestação é dado por:
J1 D i J1 15.000 0,02
J1 300 Prof. Guilherme Neves
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Para calcular as quotas de amortização, precisamos saber qual o valor da prestação.
D P ani São 18 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês.
15.000 P a182%
15.000 P 14,992031 P 1.000,00 E como sabemos que
J1 300 , então a quota de amortização da primeira prestação será:
P A1 J1
A1 P J1
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A1 1.000 300 A1 700 Estamos interessados na décima prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An A1 (1 i)n1 Assim, a quota de amortização da 10ª prestação será:
A10 A1 (1 i)101 A10 700 1,029 O valor de 1,029 foi dado na tabela abaixo.
A10 700 1,195092
A10 836,56 Como a prestação é constante e igual a R$ 1.000,00, o juro pago na décima prestação é igual a 1.000 – 836,56 = 163,44. Letra C 04. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Prof. Guilherme Neves
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Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 Resolução Temos nessa questão um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 para ser quitado em 10 prestações mensais iguais. A taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal deverá ser transformada em uma taxa efetiva. Já que a capitalização é mensal, a taxa de juros efetiva mensal será 24% / 12 = 2% ao mês. Temos uma novidade nessa questão: “para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111.” O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta:
1 ani Para começar, vamos calcular o valor de cada prestação.
D P ani
P P 15.000
D 1 D ani ani
1 a102%
15.000 0,111 1.665
Calculemos o juro da primeira prestação.
J1 D i J1 15.000 0,02 Prof. Guilherme Neves
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J1 300 Como as prestações são constantes e iguais a R$ 1.665,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 300,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 1.665,00 – 300,00 = 1.365,00. Ou seja, já que
P A1 J1
A1 P J1 A1 1.665 300 1.365 Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An A1 (1 i)n1 Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A2 A1 (1 i)21 A2 1.365 1,021 A2 1.392,30 Já que
P A2 J 2
J 2 P A2 J 2 1.665 1.392,30 272,70 Letra B 05. (AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação. a) R$ 75.560,00. b) R$ 76.120,00. Prof. Guilherme Neves
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Aucilene Felix Marinho06317788456
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c) R$ 78.220,00. d) R$ 77.440,00. e) R$ 76.400,00. Resolução Trata-se novamente da quitação de um financiamento pelo Sistema Francês. O valor do financiamento é de R$ 82.000,00 e será feito em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre. O grande problema é que nessa prova não foi fornecida a tabela financeira. O valor da parcela será calculado com o auxílio da seguinte expressão:
Onde i = 0,10 e n = 18. O problema surge aqui. A questão foi anulada porque alguns candidatos receberam a tabela financeira e outros candidatos não receberam. Quem recebeu a tabela financeira fez apenas uma divisão. Quem não recebeu, teve que calcular na mão, o que não deve ter sido agradável.
O juro pago na primeira parcela é
J1 D i 82.000 0,10 8.200
Assim a quota de amortização da primeira parcela é A1 = 10.000 – 8.200 = 1.800 Ou seja, dos R$ 82.000,00 (valor da dívida), foram pagos R$ 8.200,00 de juros e amortizados R$ 1.800 da dívida. Assim, o saldo devedor é igual a 82.000 – 1.800 = 80.200. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
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An A1 (1 i)n1 Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A2 A1 (1 i)21 A2 1.800 1,101 A2 1.980 Ao efetuar o pagamento da 1ª prestação (R$ 10.000,00) o saldo devedor foi de R$ 80.200,00. Ao efetuar o pagamento da 2ª prestação (também de R$ 10.000,00) foram amortizados mais R$ 1980,00. Assim, o saldo devedor é igual a 80.200 – 1.980 = 78.220,00. Letra C (questão anulada) 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ 37.473,15 b) R$ 36.828,85 c) R$ 35.223,70 d) R$ 35.045,85 e) R$ 34.868,15 Resolução Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ 40.000,00 para ser quitado em 20 prestações mensais iguais. Calculemos o valor de cada prestação.
D P ani
P Prof. Guilherme Neves
D 1 D ani ani
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Vamos calcular agora o juro da primeira prestação.
J1 D i
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago na primeira prestação é igual a R$ 1.000,00, então a quota de amortização da primeira prestação é igual a 2.566,00 – 1.000,00 = 1.566,00. Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação. Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
An A1 (1 i)n1 Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A2 A1 (1 i)21
O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será D – A1 – A2 = 40.000 – 1.566,00 – 1.605,15 = 36.828,85 Letra B 07. (ACE – MDIC – 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ 300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que: • a taxa é nominal de 12% ao ano, • o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência • os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$ 37,134.00 b) US$ 39,253.00 c) US$ 40,564.00 d) US$ 43,740.00 e) US$ 45,175.00 Prof. Guilherme Neves
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Resolução As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres). A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral. Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado. 300.000,00
1
2
3
4
5
6
P
P
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
P
P
0 P
P
P
P
P
P
P
P
Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir:
D P ani Onde
(1)
ani é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
Tem-se que
ani
(1 i) n 1 . (1 i) n i
Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. Em suma, não pode haver carência. Carência é o período compreendido entre a tomada do empréstimo e o pagamento da 1ª parcela. A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre. Lembre-se sempre: a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. Prof. Guilherme Neves
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Assim, devemos transportar o empréstimo de US$ 300.000,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Assim, devemos multiplicar 300.000,00 por (1 0,06)4 Dessa forma, US$ 300.000,00 na data 0 equivale a 4 300.000 1,06 378.743,10 no 4º semestre. O desenho da questão ficará assim:
Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês.
D P ani
378.743,10 P a126%
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378.743,10 P 8,383844
P
378.743,10 45.175,35 8,383844
Letra E 08. (Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ 20.330,00 b) R$ 18.093,00 c) R$ 16.104,00 d) R$ 15.431,00 e) R$ 14.000,00 Resolução As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres). A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral. Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre. Temos o seguinte desenho do enunciado.
Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela fórmula a seguir:
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D P ani Onde
ani é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”. Tem-se que
ani
(1 i) n 1 . (1 i) n i
Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga exatamente uma data após a realização do empréstimo. A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4 semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre. Assim, devemos transportar o empréstimo de R$ 100.000,00 para o 4º semestre. Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 i)n . Assim, devemos multiplicar 100.000,00 por (1 0,06)4 Assim, R$ 100.000,00 na data 0 equivale a 100.000 1,064 126.247,70 no 4º semestre. O desenho da questão ficará assim:
Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês.
D P ani 126.247,70 P a86%
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126.247,70 P 6, 209794
P
126.247, 70 20.330, 42 6, 209794 Letra A
09. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de: a) R$ 14.000,00. b) R$ 14.147,53. c) R$ 14.198,84. d) R$ 14.213,05. e) R$ 14.322,01. Resolução A próxima prestação é composta pelo juro e pela quota de amortização. O juro pago na próxima prestação é igual a:
Como a parcela é constante e igual a R$ 777,00, então a quota de amortização é igual a:
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O saldo devedor ao final do 12º mês era de R$ 14.696,13 e com o pagamento da próxima prestação foram amortizados R$ 483,08. Assim, o saldo devedor após este pagamento será de:
Letra D 10. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em 12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 51.492,10 b) $ 58.492,10 c) $ 62.492,52 d) $ 66.492,10 e) $ 68.234,52 Resolução O primeiro passo é calcular o valor da prestação P.
Infelizmente a FEPESE não forneceu as tabelas financeiras.
Para saber o saldo devedor no 6º mês, basta calcular o valor na data 6 de todas as parcelas que ainda faltam ser pagas. Precisamos pagar ainda 6 prestações (pois são 12 prestações). Logo,
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Letra A 11. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a a) R$ 3.168,00. b) R$ 3.232,00. c) R$ 3.264,00. d) R$ 3.368,00. e) R$ 3.374,00. Resolução No sistema de amortização francês, temos a seguinte relação entre o valor da dívida e as prestações.
O número
é o chamado Fator de Recuperação de Capital.
O juro pago na primeira prestação é dado por:
Portanto, a quota de amortização da primeira prestação é igual a
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Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a fórmula abaixo:
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a
Letra B
1.3
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros. Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são formadas por duas parcelas: - as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital emprestado. - os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado. P=A+J Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro. Como o próprio nome já indica, as quotas de amortização do SAC são constantes. Logo, as prestações não serão constantes. É óbvio que à medida que vamos pagando as prestações, cada vez mais amortizamos a dívida, de modo que os juros pagos em cada prestação vão diminuindo.
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O juro pago em cada prestação é calculado incidindo a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. Vejamos um simples exemplo para entender o funcionamento do SAC. Exemplo: Construa o plano de amortização de um empréstimo de R$ 96.000,00 que deve ser pago em 6 prestações trimestrais pelo SAC, à taxa de 9% ao trimestre. Construir o plano de amortização é dizer quanto será a prestação em cada período, discriminando em cada período a quota de amortização, o juro pago e qual o saldo devedor após o pagamento. O SAC caracteriza-se por obrigar a quota de amortização ser constante em cada prestação. Dessa forma, se o empréstimo de R$ 96.000,00 será quitado em seis prestações, de modo que em cada prestação o valor de amortização seja o mesmo, devemos dividir R$ 96.000,00 por 6 para saber quanto será amortizado em cada prestação. Chamando de
a quota de amortização:
A
96.000 16.000 6
Chamando o valor da dívida de D, então A
D n
Ou seja, em cada prestação foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida. Assim para calcular o valor da prestação, devemos saber quanto será o juro devido ao saldo devedor do período anterior. Vejamos passo a passo: A primeira prestação será paga ao fim do primeiro trimestre. Assim, como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então na primeira prestação serão pagos 0,09 96.000 8.640 referentes aos juros. Dessa forma, a primeira prestação será a quota de amortização R$ 16.000,00 mais o juro relativo ao saldo devedor – R$ 8.640,00.
P1 16.000 8.640 24.640,00 E qual o novo saldo devedor? Para calcular o saldo devedor devemos efetuar a seguinte diferença: Prof. Guilherme Neves
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(Saldo devedor anterior) – (quota de amortização). Assim, como antes o saldo devedor era de R$ 96.000,00 e foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida, então o novo saldo devedor é de R$ 80.000,00. Observe que juros não amortizam dívida. Eis o início da planilha para esse empréstimo. Trimestre
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital total amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00 24.640,00
16.000,00
Vejamos a segunda prestação: o saldo devedor é de R$ 80.000,00 e como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então o juro pago no próximo trimestre será igual a 0,09 80.000 7.200 . Como a quota de amortização é igual a R$ 16.000,00, então a prestação será igual a R$ 16.000,00 + R$ 7.200,00 = R$ 23.200,00. Como o saldo devedor era de R$ 80.000,00 e foram amortizados R$ 16.000,00, então o novo saldo devedor é igual a R$ 80.000,00 – R$ 16.000,00 = R$ 64.000,00. Trimestre
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital total amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00
24.640,00
16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00
23.200,00
32.000,00
Terceira prestação: O saldo devedor é de R$ 64.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos
0,09 64.000 5.760 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização Prof. Guilherme Neves
é
constante,
a
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dívida
de 23
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R$ 64.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 48.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 5.760,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital total amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00
24.640,00
16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00
23.200,00
32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00
21.760,00
48.000,00
Quarta prestação: O saldo devedor é de R$ 48.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos
0,09 48.000 4.320 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 48.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 32.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 4.320,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital total amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00
24.640,00
16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00
23.200,00
32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00
21.760,00
48.000,00
4
32.000,00
16.000,00
4.320,00
20.320,00
64.000,00
Quinta prestação: O saldo devedor é de R$ 32.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos Prof. Guilherme Neves
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0,09 32.000 2.880 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 32.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$ 16.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 2.880,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital total amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00
24.640,00
16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00
23.200,00
32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00
21.760,00
48.000,00
4
32.000,00
16.000,00
4.320,00
20.320,00
64.000,00
5
16.000,00
16.000,00
2.880,00
18.880,00
80.000,00
Sexta prestação: O saldo devedor é de R$ 16.000,00. Como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos
0,09 16.000 1.440 referentes aos juros. Como no SAC a quota de amortização é constante, a dívida de R$ 16.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O saldo devedor é R$ 0,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) + R$ 1.440,00 (juro do período). A planilha ficará assim: Trimestre
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital total amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00
24.640,00
16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00
23.200,00
32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00
21.760,00
48.000,00
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4
32.000,00
16.000,00
4.320,00
20.320,00
64.000,00
5
16.000,00
16.000,00
2.880,00
18.880,00
80.000,00
6
-
16.000,00
1.440,00
17.440,00
96.000,00
Vejamos alguns fatos interessantes na planilha do SAC. Já havia comentado que as prestações são decrescentes (isso porque os juros pagos nas prestações vão diminuindo). Observe que a prestação foi diminuindo. E o valor subtraído de uma parcela par outra foi um valor constante. A cada período a prestação diminuiu R$ 1.440,00. O mesmo aconteceu com o juro de cada período. Dessa forma, os juros pagos em cada período formam uma Progressão Aritmética de razão 1.440 . Assim, se o empréstimo fosse quitado em 200 prestações não precisaríamos construir a planilha passo a passo como o fizemos aqui. Basta utilizar os conceitos de Progressão Aritmética. Os passos que seguiremos serão os seguintes: i) Calcular a quota de amortização. Para isso, basta dividir o valor da dívida original pelo número de prestações. Assim, A nosso exemplo, A
D . No n
96.000 16.000 . 6
ii) Calculamos o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, J1 i D . No nosso exemplo,
J1 0,09 96.000 8.640 . iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. P1 A J1 . Assim, No nosso exemplo, temos
P1 16.000 8.640 24.640 . iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A . No nosso exemplo, r 0,09 16.000 1.440 . Prof. Guilherme Neves
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Observação: o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. No caso, o módulo de 1.440 é igual a 1.440 , que é justamente o juro pago na última prestação. v) O saldo devedor após o pagamento da prestação no período n é igual a Sn D n A . Por exemplo, o saldo devedor após o pagamento da quarta prestação será igual a S4 D 4 A . No nosso exemplo, o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação será
S3 D 3 A 96.000 3 16.000 48.000 É importantíssimo observar o seguinte fato: se fizermos uma comparação entre os dois sistemas de amortização estudados – Sistema Francês (Price) e SAC – a primeira prestação será maior no SAC (mantendo a mesma taxa e o mesmo número de prestações).
1.3.1 Exercícios Resolvidos 12. (Economista BNDES 2009/CESGRANRIO) Um investidor está decidindo como vai repagar um financiamento que obteve. Poderá escolher o Sistema Price ou o Sistema de Amortização Constante (SAC), ambos com o mesmo número de prestações, o mesmo prazo total e a mesma taxa de juros. Comparando os dois, o investidor observa que (A) o valor presente líquido do SAC é menor do que o do Price. (B) a prestação, pelo SAC, é constante ao longo do tempo. (C) a prestação, pelo Price, é declinante ao longo do tempo. (D) a primeira prestação do SAC é maior do que a do Price. (E) as prestações do SAC são sempre maiores que as do Price. Resolução Vamos analisar cada um dos itens de per si. A alternativa A fala em valor presente líquido. Valor presente líquido é quando você transporta todas as prestações para a data 0 e calcula o somatório. Não há como dizer qual deles é maior e qual deles é menor. Cada caso é um caso. A alternativa B é falsa. As prestações, pelo SAC, são decrescentes.
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A alternativa C é falsa. Pelo Price, as prestações são constantes (Sistema Francês). A alternativa D é verdadeira. A primeira prestação sempre é maior no SAC (mantendo a mesma taxa de juros e prazo). A alternativa E é falsa. Já que as prestações do SAC são decrescentes, é possível que elas em algum momento sejam menores que a do sistema francês. Letra D 13. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de (A) 90,00. (B) 100,00. (C) 110,00. (D) 120,00. (E) 125,00. Resolução No SAC, a quota de amortização é constante. Assim, um financiamento de R$ 1.000,00 em 10 prestações tem a seguinte quota de amortização:
No pagamento da primeira parcela, a pessoa deve pagar 1% de juros.
Assim, a primeira parcela será igual a R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00. Letra C 14. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de: a) R$ 5.000,00. b) R$ 1.000,00. c) R$ 1.666,00. Prof. Guilherme Neves
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d) R$ 500,00. e) R$ 1.500,00. Resolução As prestações são formadas por duas parcelas: i) As quotas de amortizações (a quota de amortização é constante no SAC). ii) Os juros. Ou seja,
Para calcular a quota de amortização no SAC, basta dividir o valor da dívida pelo número de prestações. Assim:
O juro pago na primeira prestação corresponde a 2% da dívida.
Dessa forma,
Letra E 15. (Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de: a) R$ 3.020,00 b) R$ 3.160,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 3.300,00 e) R$ 3.450,00 Resolução Calculemos o valor da quota de amortização.
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O juro pago na primeira prestação corresponde a 1% da dívida.
Desta forma, a primeira prestação é de:
Como a primeira prestação é paga em fevereiro de 2010, a prestação referente a junho de 2010 é a quinta. Lembremos que as prestações no SAC formam uma progressão aritmética decrescente de razão .
Queremos calcular a quinta prestação. Utilizemos a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética.
Letra C 16. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em (A) R$ 3.625,00. (B) R$ 3.687,50. (C) R$ 3.750,00. (D) R$ 3.812,50. (E) R$ 3.875,00. Resolução Queremos calcular a diferença O primeiro passo é calcular a quota de amortização.
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As prestações no SAC formam uma progressão aritmética de razão razão é negativa porque as prestações são decrescentes.
.A
São 60 prestações. Queremos calcular a 59ª prestação. Já que se trata de uma progressão aritmética, a relação entre a 59ª prestação e a 1ª prestação é a seguinte.
Que é justamente o que queríamos calcular. Letra A 17. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de a) R$ 2.260,00 b) R$ 1.350,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.750,00 e) R$ 1.800,00 Resolução O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Basta dividir a dívida pelo número de prestações. No caso, a quota de amortização
D 3.600 450 . O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta n 8 prestação S4 D 4 A S4 3.600 4 450 1.800 .
será A
Letra E 18. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a Prof. Guilherme Neves
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taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser a) R$ 2 950,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 3 050,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 150,00 Resolução i)
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais.
A
D 50.000 2.500 n 20
ii)
Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, J1 i D J1 0,02 50.000 1.000 .
iii)
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim,
P1 A J1 P1 2.500 1.000 P1 3.500 . iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, r i A . No nosso exemplo, r 0,02 2.500 50 . Vamos calcular a décima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão r 50 e primeiro termo igual a R$ 3.500,00. Assim, P10 P1 9 r P10 3.500 9 (50) 3.500 450 3.050 Letra C 19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será Prof. Guilherme Neves
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a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 Resolução Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. i)
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais.
ii)
Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, .
iii)
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, .
iv)
Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é decrescente. Assim, . Dessa forma, , . Vamos calcular a terceira prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão e primeiro termo igual a R$ 70,00.
v)
Assim,
.
Letra C 20. (AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a a) R$ 3.700,00 b) R$ 3.650,00 Prof. Guilherme Neves
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c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.550,00 e) R$ 3.500,00 Resolução Vimos anteriormente que o valor do juro pago na última prestação é igual ao módulo da razão das progressões. Ou seja, o juro pago na última prestação é igual a . Sabemos que as prestações são iguais aos juros correspondentes do período mais a quota de amortização. Assim, a última prestação é igual a
E a razão da progressão é dada por Temos a 48ª prestação e estamos querendo calcular a 26ª prestação.
Isso porque 26 – 48 = - 22.
Letra B 1.4
Sistema de Amortização Misto (SAM)
A prestação do Sistema de Amortização Misto (SAM) é obtida pela média aritmética entre as prestações do Sistema de Amortização Constante (SAC) e do Sistema Francês (Tabela Price). 1.4.1 Exercício Resolvido 21. (Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização Prof. Guilherme Neves
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misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo.
O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a a) R$ 3.320,00 b) R$ 3.360,00 c) R$ 3.480,00 d) R$ 4.140,00 e) R$ 4.280,00 Resolução Trabalharemos separadamente com os dois sistemas – SAC e Price. i) Sistema Francês (Price) A principal característica do Sistema Price é que as prestações são constantes. Vamos calcular o valor de cada prestação.
ii) Sistema de Amortização Constante (SAC) Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente. i)
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o valor da dívida pelo número de prestações mensais.
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v)
ii)
Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor original da dívida. Assim, .
iii)
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim, .
iv)
Vamos calcular a razão da progressão aritmética (formada pelas prestações do SAC). Sabemos que . Dessa forma, .
Vamos calcular a trigésima prestação. A sequência de prestações é uma progressão aritmética de razão e primeiro termo igual a R$ 4.400,00.
Assim,
.
Sistema de Amortização Misto – a parcela de um período qualquer é a média aritmética entre a parcela do SAC e a parcela do Sistema Francês. Parcela pelo Sistema Price: R$ 3.480,00 Parcela pelo Sistema SAC : R$ 3.240,00 Parcela pelo Sistema Misto
Letra B 1.5
Sistema Americano de Amortização
O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Exemplo: Construa a planilha de um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 deve ser quitado pelo Sistema Americano de Amortização, à taxa de juros de Prof. Guilherme Neves
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10% ao mês. Considere uma carência de 3 meses e que os juros são pagos durante o período de carência. Resolução O juro pago em cada período da carência é de 10% ao mês. Logo, o juro pago em cada período é igual a:
Mês
Amortização
Juros
Prestação
0 1 2 3
0 0 0 100.000
0 10.000 10.000 10.000
0 10.000 10.000 110.000
Saldo Devedor 100.000 100.000 100.000 0
1.5.1 Exercícios Resolvidos 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente. II. No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00. III. O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante. Assinale a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução I. Verdadeiro. Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o período de amortização. II. A quota de amortização é de R$ 80.000,00/5 = R$ 16.000,00. Prof. Guilherme Neves
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Trimestre
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
80.000,00
-
-
-
1
64.000,00
16.000,00
0,2 x 80.000 = 16.000,00
32.000,00
2
48.000,00
16.000,00
0,2 x 64.000 = 12.800,00
28.800,00
Portanto, a proposição II é verdadeira. III. Verdadeiro. O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento. Letra E 23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00. II. No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes. III. No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00. Assinale: a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. Resolução Analisemos cada uma das alternativas de per si. I. Falso A quota de amortização é dada por: Prof. Guilherme Neves
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O juro pago na primeira prestação é igual a 5% de 50.000.
Portanto, a primeira prestação é igual a:
As prestações formam uma progressão aritmética decrescente de razão
Desta forma:
O valor acumulado das três primeiras prestações é igual a:
II. Falso As prestações no Sistema Francês são constantes. III. Verdadeiro No Sistema Americano de Amortização, apenas os juros são pagos durante o período de carência, de forma que a dívida é liquidada de uma vez no último pagamento. Durante o período de carência, a quota de amortização é 0, de forma que a prestação é composta apenas pelo juro do período. Em cada período, o juro corresponde a 5% da dívida.
O valor total pago pelas três primeiras prestações é igual a:
Letra C
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2 Relação das questões comentadas 01. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação descrita foi (A) Amortização Constante. (B) Amortização Francês (Tabela Price). (C) Amortização Americano. (D) Amortização Misto. (E) Amortizações Variáveis. 02. (FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização – Tabela Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de 1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da dívida, depois de paga a 19a prestação, em reais, é (A) 16.234,29 (B) 16.226,01 (C) 15.570,53 (D) 15.562,25 (E) 15.398,27 03. (AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. a) R$ 300,00 b) R$ 240,00 c) R$ 163,00 d) R$ 181,00 e) R$ 200,00 04. (BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Prof. Guilherme Neves
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Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 05. (AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda prestação. a) R$ 75.560,00. b) R$ 76.120,00. c) R$ 78.220,00. d) R$ 77.440,00. e) R$ 76.400,00. 06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00 deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um valor de a) R$ 37.473,15 b) R$ 36.828,85 c) R$ 35.223,70 d) R$ 35.045,85 e) R$ 34.868,15 07. (ACE – MDIC – 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$ 300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos, seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que:
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• a taxa é nominal de 12% ao ano, • o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência • os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$ 37,134.00 b) US$ 39,253.00 c) US$ 40,564.00 d) US$ 43,740.00 e) US$ 45,175.00 08. (Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ 20.330,00 b) R$ 18.093,00 c) R$ 16.104,00 d) R$ 15.431,00 e) R$ 14.000,00 09. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$ 19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de: a) R$ 14.000,00. b) R$ 14.147,53. c) R$ 14.198,84. d) R$ 14.213,05. e) R$ 14.322,01. 10. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em 12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a alternativa que indica a resposta correta. a) $ 51.492,10 b) $ 58.492,10 c) $ 62.492,52 d) $ 66.492,10 Prof. Guilherme Neves
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e) $ 68.234,52 11. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da primeira prestação e da segunda prestação é igual a a) R$ 3.168,00. b) R$ 3.232,00. c) R$ 3.264,00. d) R$ 3.368,00. e) R$ 3.374,00. 12. (Economista BNDES 2009/CESGRANRIO) Um investidor está decidindo como vai repagar um financiamento que obteve. Poderá escolher o Sistema Price ou o Sistema de Amortização Constante (SAC), ambos com o mesmo número de prestações, o mesmo prazo total e a mesma taxa de juros. Comparando os dois, o investidor observa que (A) o valor presente líquido do SAC é menor do que o do Price. (B) a prestação, pelo SAC, é constante ao longo do tempo. (C) a prestação, pelo Price, é declinante ao longo do tempo. (D) a primeira prestação do SAC é maior do que a do Price. (E) as prestações do SAC são sempre maiores que as do Price. 13. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de (A) 90,00. (B) 100,00. (C) 110,00. (D) 120,00. (E) 125,00. 14. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de: a) R$ 5.000,00. b) R$ 1.000,00. c) R$ 1.666,00. d) R$ 500,00. e) R$ 1.500,00. 15. (Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem Prof. Guilherme Neves
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entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de: a) R$ 3.020,00 b) R$ 3.160,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 3.300,00 e) R$ 3.450,00 16. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em (A) R$ 3.625,00. (B) R$ 3.687,50. (C) R$ 3.750,00. (D) R$ 3.812,50. (E) R$ 3.875,00. 17. (CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de a) R$ 2.260,00 b) R$ 1.350,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.750,00 e) R$ 1.800,00 18. (CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser a) R$ 2 950,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 3 050,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 150,00 Prof. Guilherme Neves
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19. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 20. (AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a a) R$ 3.700,00 b) R$ 3.650,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.550,00 e) R$ 3.500,00 21. (Agente Fiscal de Rendas/FCC/2006) Um plano de pagamentos referente à aquisição de um imóvel foi elaborado com base no sistema de amortização misto (SAM) e corresponde a um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, a ser liquidado em 60 prestações mensais, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo.
O valor da 30ª (trigésima) prestação é igual a a) R$ 3.320,00 b) R$ 3.360,00 c) R$ 3.480,00 Prof. Guilherme Neves
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d) R$ 4.140,00 e) R$ 4.280,00 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos diversos sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. No Sistema Francês de Amortização as prestações são constantes, com amortização crescente. II. No Sistema de Amortização Constante, a segunda prestação anual, para um empréstimo de R$ 80.000, a ser amortizado em 5 anos, com uma taxa de juros de 20% ao ano, é de R$ 28.800,00. III. O Sistema Americano de Amortização se caracteriza por ser um sistema de pagamentos em que são pagos somente os juros devidos, com o principal da dívida mantendo-se constante. Assinale a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. 23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes sistemas de amortização, analise as afirmativas a seguir: I. Segundo o Sistema de Amortização Constante, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 12.700,00. II. No Sistema Francês de Amortização as prestações são crescentes, com juros decrescentes. III. No Sistema Americano de Amortização, para um empréstimo de R$ 50.000,00, a ser amortizado em 25 vezes a uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor acumulado das três primeiras prestações é de R$ 7.500,00. Assinale: a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se somente a afirmativa III estiver correta. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas.
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3 Gabaritos 01. B 02. D 03. C 04. B 05. C 06. B 07. E 08. A 09. D 10. A 11. B 12. D 13. C 14. E 15. C 16. A 17. E 18. C 19. C 20. B 21. B 22. E 23. C
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4
Tabelas Financeiras
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