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Aula 21 - Cederj - Introdução à Quântica

Exercícios

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AULA Exercícios 21 Meta da aula objetivo Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de uma série de exercícios. • Esperamos que, após o término desta aula, você tenha consolidado os conhecimentos adquiridos no Módulo 3 (Aulas 17 a 20). Pré-requisito Ter completado o estudo dos assuntos indicados no encabeçamento de cada grupo de exercícios. Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios PARTÍCULA LIVRE E CAIXA DE POTENCIAL EM TRÊS DIMENSÕES (AULA 17) eikr é autofunção da r Hamiltoniana para a partícula livre, e encontre o valor de E correspondente. r 1.1. (a) Verifique se a função de onda ψ (r ) = Sugestão: use a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas. (b) Verifique se a função de onda do item anterior é autofunção do momento linear. Sugestão: use a expressão do gradiente em coordenadas esféricas. (c) Interprete fisicamente esse estado quântico. RESPOSTA COMENTADA r eikr (a) Para verificar se a função de onda ψ (r ) = é autofunção da r equação de Schrödinger para a partícula livre com energia E, h2 2 ∇ ψ = Eψ , consideramos o operador laplaciano em coorde2m 1 ∂ 1 ∂  ∂f  1 ∂2 f nadas esféricas, ∇ 2 f = rf ) + 2  senθ + 2 2 2 ( r ∂r r senθ ∂θ  ∂θ  r sen θ ∂ϕ 2 − eikr na equação de onda, r h2 1 ∂ 2 h2 1 ∂ 2 ikr h2 k2 eikr h2 k2 − r ψ = − e = ψ = ( ) 2m r ∂r 2 2m r ∂ r 2 2m r 2m r e substituímos ψ (r ) = Portanto, a função de onda descreve uma partícula livre com energia E= h 2 k2 . 2m r (b) O gradiente em coordenadas esféricas é ∇f = rˆ ∂f + θˆ 1 ∂f + ϕˆ ∂r r ∂θ 1 ∂f . r senθ ∂ϕ Assim, aplicando o operador momento à função de onda, temos r  ikeikr eikr  . ∂ψ − i h∇ψ = i hrˆ − 2  i hrˆ  ∂r r   r Deste modo, como o resultado desta operação não é proporcional à função de onda, esta não é uma autofunção do momento. 148 CEDERJ MÓDULO 1 21 (c) Vemos que a função de onda representa uma onda esférica, podendo AULA então representar partículas quânticas emergentes de uma fonte pontual. Tais funções de onda são muito úteis em problemas de espalhamento, por exemplo. Como a onda esférica se propaga em todas as direções a partir da fonte, a função de onda não tem um vetor momento linear bem definido. PARTÍCULA NUMA CAIXA CÚBICA E NUM POTENCIAL HARMÔNICO TRIDIMENSIONAL (AULA 18) 2.1. Considere 20 elétrons em uma caixa inicialmente cúbica de volume V = L3, como na Atividade Final 1 da Aula 18. Suponha que um agente externo realize uma deformação uniaxial, ou seja, reduz apenas um dos lados da caixa (digamos, ao longo do eixo x) por uma fração ∆L/L. Qual a variação da energia total dos elétrons no limite ∆L< e para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio, expressando sua resposta em termos do raio de Bohr a. (b) Determine e no estado fundamental, usando o resultado do item anterior e as simetrias do estado fundamental (não é preciso calcular outras integrais). (c) Determine no estado n = 2, l = 1, m = 1. Note que esse estado não é esfericamente simétrico. CEDERJ 157 Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios RESPOSTA COMENTADA (a) A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio, obtida a partir da Tabela 20.2 da Aula 20, usando Z = 1, é dada por ψ 100 (r,θ , ϕ ) = 1 a 32 π e−r a O valor esperado de r é 2π π 0 0 r = 1 a3π = ∞ 2 * ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r ψ 100 (r,θ ,ϕ) rψ 100 (r,θ ,ϕ) 0 2π π ∞ 0 0 0 3 − 2r a ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r e = ∞ 4 dr r 3e − 2 r a a3 ∫0 4 3 4 6a = a 3 a 16 2 = Já o valor esperado de r2 é dado por 2π r2 = π 0 = = 1 a3π ∞ 2 * 2 ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r ψ 100 (r,θ ,ϕ) r ψ 100 (r,θ ,ϕ) 0 2π 0 π ∞ 0 0 4 − 2r a ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r e = 0 ∞ 4 dr r 4 e − 2 r a 3 ∫ a 0 5 4 24a = 3a2 a3 32 Ambos os resultados reforçam a idéia de que o raio de Bohr é uma boa medida do tamanho do átomo de hidrogênio. (b) Como a distribuição de probabilidades associada ao estado 1s do átomo de hidrogênio é esfericamente simétrica, e levando-se em conta que x é uma função ímpar, temos: x = ∫ d 3r x ψ 100 (r,θ , ϕ ) = 0 , 2 2 pois o produto x ψ 100 (r,θ , ϕ ) será também uma função ímpar, cuja integal no espaço todo é nula. Para calcular o valor esperado de x2, podemos novamente usar a propriedade de simetria esférica do estado 1s, que nos leva ao seguinte resultado: x 2 = y 2 = z 2 = r2 3 . Assim, usando o resultado do item (a), obtemos x 2 = a 2. (c) A função de onda do estado n = 2, l = 1, m = 1, segundo os dados da Tabela 20.2 (novamente com Z = 1), é dada por: 158 CEDERJ MÓDULO 1 21 1 r senθ e − r 2 a eiϕ 32 64π a a AULA 1 ψ 211 (r,θ , ϕ ) = Sabendo que x = r senθ cos ϕ , podemos calcular o valor de : 2π x2 = π 0 = = ∞ 2 * ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r ψ 211(r,θ ,ϕ) ( r senθ cosϕ ) ψ 211(r,θ ,ϕ) 0 2 0 1 64a5π 2π π 0 0 1 64a5π 2π π ∞ 0 0 0 ∞ 6 2 2 −r a ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r sen θ cos ϕ e 0 2 3 6 −r a ∫ dϕ cos ϕ ∫ dθ sen θ ∫ dr r e 1 4 = × π × × 720a7 = 15a2 5 3 64a π 4.4. Vamos calcular a probabilidade P de que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo. (a) Calcule primeiro a resposta exata. Denote o raio do núcleo por R. (b) Expanda o seu resultado como uma série de potências em R/a, e mostre que o termo de ordem mais baixa é da forma: P ≈ (4/3)(R/a)3. Este termo já deveria ser uma boa aproximação, pois R<< a. (c) Alternativamente, poderíamos pensar que a função de onda do elétron é essencialmente constante sobre o pequeno volume do núcleo, de modo que P ≈ (4/3)πR3 |ψ100 (0) |2. Verifique que essa aproximação reproduz o resultado do item anterior. (d) Use R ≈ 10–15 m , a ≈ 10–10 m , para uma estimativa numérica de P. Esse valor representa a fração do tempo em que o elétron se encontra dentro do núcleo. CEDERJ 159 Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios RESPOSTA COMENTADA (a) A probabilidade de encontrarmos o elétron no estado 1s dentro de uma esfera de raio R é 2π P= π 0 = = R ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r 1 a3π 0 2π 2 ψ 100 (r,θ , ϕ ) 0 π R ∫ dϕ ∫ dθ senθ ∫ dr r e 0 2 0 2 −2r a 0 R = 4 dr r 2 e − 2 r a 3 ∫ a 0 2  2R a 2  a3  4  a −2 R a  2 −2 R a  2R = + 1 − e + 1 + − aR + + e R      2 3 a a  2 2  4  a   (b) Para expandir o resultado do item anterior em potências de R/a, lembramos que e x ≈ 1 + x + x 2 x3 + + O (x 4 ) , de modo que 2 6  2R2 2R    4R3 2R 2R2 4R3   2R2 2R P = 1 − e −2 R a  2 + + 1 ≈ 1 −  1 − + 2 − 3 . 2 + + 1 = 3 a a a 3a   a a  a    3a (c) Supondo que a função de onda é constante na região do núcleo e que tem o valor ψ 100 (0) , a probabilidade é dada pelo produto do volume do núcleo pela densidade de probabilidade: P= 1 4R3 4 4 2 π R3 ψ 100 (0) = π R3 × 3 = 3 , 3 3 πa 3a reproduzindo o resultado do item anterior. (d) Usando os valores aproximados R ≈ 10–15 m e a ≈ 10–10 m, obtemos P≈ 4R3 ≈ 10−15 , 3a3 ou seja, um elétron passa uma fração ínfima do seu tempo dentro do núcleo. Para se ter uma idéia desse tempo, um elétron necessitaria estar ligado a um núcleo por cerca de 30 milhões de anos para estar, em média, um segundo dentro dele. Ainda assim, a presença, ainda que furtiva, do elétron dentro do núcleo, dá origem um efeito físico mensurável, conhecido como interação hiperfina de contato. 160 CEDERJ