Transcript
1 1.1
Aproximações Lineares e Polinômios de Taylor Aproximações Lineares
Começamos por um exemplo já discutido anteriormente: Example 1 Seja C (x) = 920 + 2x − 0, 02x2 + 0, 00007x3 o custo total de produzir x Kg de um certo produto. Pede-se: a) Calcular o custo marginal C´(x) C´(x) = 2 − 0, 04x + 0, 00021x2 b) Calcule C (100) e C´(100) C (100) = 920 + 200 − 200 + 70 = 990 C´(100) = 2 − 4 + 2, 1 = 0, 1 c) Encontre a reta tangente ao gráfico de C (x) em x = 100 y − y0 = m (x − x0 ) y − C (100) = C´(100) (x − 100) y = C (100) + C´(100) (x − 100) (neste caso em particular, y = 990 + 0, 1 (x − 100) — nem vale a pena simplificar mais!) d) Use a reta tangente para estimar C (99), C (101) e C (102) Seja L (x) = 990 + 0, 1 (x − 100). Note que L (99) = 990 − 0, 01 = 989, 99 ≈ C (99) L (101) = 990 + 0, 01 = 990, 01 ≈ C (101) L (102) = 990 + 0, 02 = 990, 02 ≈ C (102) 1005 1000 995 990 985 980 60
80
100 x
120
140
C (x) e sua aproxima ção linear L (x) no ponto x = 100 Definition 2 A função L (x) é chamada de APROXIMAÇÃO LINEAR DE C (x) em x = 100 ou LINEARIZAÇÃO DE C (x) em x = 100. Em geral: L (x) = f (x0 ) + f´(x0 ) (x − x0 ) Exercise 3 Estime e0,03 . Solution 4 Seja f (x) = ex . A aproximação linear de f (x) no ponto x = 0 é L (x) = f (0) + f´(0) (x − 0) Como f (0) = 1 e f´(x) = ex (portanto f´(0) = 1), temos L (x) = 1 + x 1
Assim, L (0, 03) = 1, 03 ≈ e0,03 . Compare com o valor de e0,03 tirado do MatLab: e0,03 = 1, 030454534 Esta aproximação simples já acertou 3 casas decimais!
-1
2.5
12
2
11
1.5
10
1
9
0.5
8
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2
0.4 x 0.6
0.8
7
1
60
f (x) = ex e L (x) = 1 + x
f (x) =
√ 100, 04. √ Solution 6 Seja f (x) = x. Então f´(x) = de f (x) em x = 100 é
80
100 x
120
√ x e L (x) = 10 +
1 20
140
(x − 100)
Exercise 5 Estime
1 √ 2 x
e portanto f (100) = 10 e f´(100) =
L (x) = 10 + Assim, L (100, 04) = 10 +
Nada mal!
1.2
0,04 20
= 10, 002 ≈
1 20 .
Assim, a linearização
1 (x − 100) 20
√ 100, 04. De fato, o MatLab diz que p 100, 04 = 10, 0019998
Diferencial
Por uma questão de notação, é comum definir as variáveis dx = x − x0 dy = L (x) − L (x0 ) ∆y = f (x) − f (x0 ) Usando estas variáveis, a aproximação linear de f em x = x0 pode ser expressa como dy = f´(x0 ) .dx Note: dx e dy representam quantidades medidas na reta tangente, enquanto ∆y é medido usando a função original f . O que fizemos nos itens anteriores foi estimar ∆y calculando, em seu lugar, dy. Exercise 7 Se o lado L de um quadrado é medido com um erro relativo de 5%, qual o erro relativo em sua área A = L2 . Solution 8 Note que não sabemos qual é o lado L do quadrado, e portanto não temos como calcular dL. No entanto, uma aproximação via reta tangente nos dá: dA = 2L.dL
2
Interprete isto! Isto nos dá a relação entre o erro no cálculo da Área e o erro na medição do Lado, para ESTE lado desconhecido L, e mesmo assim tudo isto é apenas uma aproximação via reta tangente! De qualquer forma, esta aproximação nos dá dA dL 2LdL =2 = A L2 L dL Note que não sabemos dA nem dL, mas L é exatamente o erro relativo (máximo) na medida do lado, isto é, dL L = 5%. Assim dA = 10% A é o erro relativo (máximo, aproximado) no cálculo da área. Exercise 9 Você tem de produzir uma esfera metálica de um certo raio. Infelizmente, medir diretamente o raio de uma esfera sólida é complicado (pense nisso). Medir o volume é mais simples: você pode mergulhá-la num tanque cheio de água e medir o volume da água que transbordou, e daí tirar o raio via V =
4 3 πR 3
Pergunta-se: se o erro relativo no cálculo do volume é de 9%, qual é o erro relativo que você estima para o cálculo do raio? Solution 10 Pela aproximação linear, temos dV = 4πR2 .dR Portanto
Isto é, se
dR 4πR2 dV = 4 3 dR = 3 V R πR 3 dV V
= 9%, tem-se
dR = 3% R Então não só é mais fácil calcular o raio assim, mas o erro relativo é
1.3
1 3
do erro relativo no cálculo do volume!
Polinômios de Taylor
Note que a linearização L (x) = f (x0 ) + f´(x0 ) (x − x0 )
é a única função afim (isto é, polinômio de grau ≤ 1) que concorda com a função f (x) e com sua derivada no ponto x0 , isto é L (x0 ) = f (x0 ) L´(x0 ) = f´(x0 ) Perguntamos: seria possível fazer com que L (x) também ”conocordasse” com a segunda derivada de f (x) no ponto x0 (isto é, fazer com que L (x) ”curve” também como f )? É fácil ver que isto não é possível usando uma aproximação linear do tipo L (x) = Ax + B, pois então L´(x) = 0... Mas e se usássemos uma quadrática? PERGUNTA: Dada uma função f (x) e um ponto a, poderíamos encontrar uma função quadrática T2 (x) = Ax2 + Bx + C tal que T2 (a) = f (a) T2´(a) = f´(a) T2´(a) = f´´(a) 3
Vejamos... isto significa que Aa2 + Ba + C = f (a) 2Aa + B = f´(a) 2A = f´´(a) Hmmmm... lembre que as incógnitas aqui são A, B e C! Podemos achar A da última equação, substituir na de cima, achar B, substituir de novo, achar C. Não vamos fazer estas contas, mas acho que está claro que a resposta é SIM. Fizemos as contas para você, completamos quadrados, rearrumamos tudo... O polinômio ficou assim T2 (x) = f (a) + f´(a) (x − a) +
f´´(a) (x − a)2 2
Este é o chamado polinômio de Taylor de grau 2 de f (x) no ponto a. Tente convencer-se a partir desta fórmula de que as primeira e segunda derivadas de T2 no ponto a são iguais às de f de fato. Viu? Example 11 Estime e0,03 usando uma aproximação quadrática em x = 0. Como antes, tomamos f (x) = ex e a = 0. Então f´(x) = ex , f´´(x) = ex e f (0) = f´(0) = f´´(0). Em suma T2 (x) = 1 + x + Portanto
x2 2
0, 0009 = 1, 03045 2 = 1, 030454534? Uau! Temos 5 casas decimais corretas! T2 (0, 03) = 1 + 0, 03 +
Você ainda se lembra de e0,03
2.5 2 1.5 1 0.5
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2
0.4 x 0.6
0.8
1
x
f (x) = e , L (x) = 1 + x e T2 (x) (este está pontilhado)
1.4
Por que parar em grau 2? Por que não grau n?
De fato (tente adivinhar...) Tn (x) = f (a) + f´(a) (x − a) +
f´´(a) f´´(a) f (n) (a) 2 3 n (x − a) + (x − a) + ... + (x − a) 2! 3! n!
é o único polinômio de grau menor ou igual a n que satisfaz Tn (a) = f (a) Tn´(a) = f´(a) Tn´(a) = f´´(a) ... Tn(n) (a) = f (n) (a) (convença-se disto olhando a fórmula acima). Ele é chamado polinômio de Taylor de f de grau n em x = a. 4
Example 12 Seja f (x) = ex e tome a = 0. Como f (n) (0) = e0 = 1 para todo n, o polinômio de Taylor de grau n será x2 x3 xn Tn (x) = 1 + x + + + ... + 2! 3! n! Usando ordem 3, já temos 7 casas decimais corretas para e0,03 : T3 (0, 03) = 1 + 0, 03 +
0, 0009 0, 000027 + = 1, 0304545 2 6
Comentário final: é verdade que, em geral, quanto mais termos colocarmos no polinômio de Taylor melhor será a aproximação... mas aí o polinômio de Taylor pode ficar tão complicado que talvez seja melhor calcular a função f diretamente (com auxílio de calculadora, talvez)! Por outro lado... Pense bem: como é que a sua calculadora calcula e0,03 ??? Pense.... Como? Digo a você: sua calculadora usa um polinômio de Taylor (com muitos termos, suficientes para conseguir a precisão de 8 ou 10 casas decimais de sua calculadora)!!!! Afinal, calculadoras e computadores só sabem originalmente multiplicar e somar — que são as operações que você vê num polinômio! Pense.... Como a calculadora faz sin (1, 23)? Desenha uma figurinha com 1, 23 radianos no ângulo medidos com um bom transferidor e calcula o seno no círculo trigonométrico?? Não! Sua calculadora usa um polinômio de Taylor para o seno (o veremos em breve), com muitos termos, suficientes para a precisão desejada!!! Legal, né?
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