Apostila Mundofisico 2009

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC v il u n do m . f w . j o o c i in is . le ude s c . br w w Aline Felizardo Gol¸calves Andr´ e Alexandre Silveira Andr´ e Antˆ onio Bernardo C´ esar Manchein Fl´ abio Esteves Cordeiro Gisele Maria Leite Dalmˆ onico Marcio Rodrigo Loos Priscila Fischer Ricardo Fernandes da Silva Sidinei Schaefer Professores Luciano Camargo Martins Coordenador Revis˜ ao 1.3 (11pt) de 11 de novembro de 2009 MUNDO F´ISICO Nossa Apostila A edi¸c˜ao dessa apostila, concretiza os esfor¸cos feitos desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de Licenciatura Plena em F´ısica da UDESC mobilizaram-se por for¸ca e vontade pr´ oprias no projeto, desenvolvimento e apresenta¸c˜ ao de um Curso Pr´eVestibular aberto `a comunidade, gratuito, que preparasse melhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centro de Ciˆencias Tecnol´ ogicas (CCT) da UDESC-Joinville. Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pr´eVestibular n˜ ao chegou a se realizar, por raz˜ oes puramente burocr´ aticas, apesar dos esfor¸cos gastos na prepara¸c˜ao das aulas e do material did´ atico inicial. Nessa revis˜ao atual, foi feito um grande esfor¸co pessoal no sentido de rever todo o material apresentado, textos e gr´ aficos, e incluir o t˜ao solicitado gabarito de respostas aos exerc´ıcios existentes no final de cada aula, inclu´ıdo ao final da apostila, junto com uma tabela peri´ odica dos elementos qu´ımicos. A apostila apresenta Disciplina F´ısica Qu´ımica Matem´atica L´ıngua Portuguesa Hist´oria de SC N o de aulas 59 26 37 18 1 Nos anos que se seguiram, a id´eia original foi abra¸cada totalizando 141 aulas e 894 exerc´ıcios propostos. por um projeto de extens˜ ao oficial, e s´ o ent˜ ao pode ser realizada com relativo sucesso, j´a tendo atendido Toda a apostila foi diagramada automaticamente em LATEX(www.latex-project.org), os gr´ aficos focentenas de alunos at´e agora. ram gerados com Xfig (www.xfig.org) e GNUPlot Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, espe- (www.gnuplot.info), todos softwares livres e rodando ramos que esse material seja minimamente suficiente num sistema operacional aberto e livre: o Linux! Maipara a revis˜ao dos conte´ udos exigidos nas provas de ores informa¸c˜oes em http://br-linux.org. ingresso aos seus bancos acadˆemicos. Convidamos a todos para que visitem o nosso site, e Extrapolando o objetivo inicial do projeto, moldado eventualmente, nos ajude na divulga¸c˜ao desse projeto pela nossa vis˜ao local de ensino e extens˜ ao, as vers˜ oes maior chamado de Mundo F´ısico! on line dessa apostila ganharam os quatro cantos do Envie suas sugest˜oes, cr´ıticas ou coment´arios. pa´ıs, e tem auxiliado muitos alunos e escolas como material did´ atico inicial, especialmente u ´til para aqueles alunos de cidades pequenas e locais isolados, que tanto Endere¸co na Internet: nos incentivam com suas perguntas e sugest˜oes diariamente recebidas e respondidas por correio eletrˆ onico http://www.mundofisico.joinville.udesc.br ou convencional. A julgar pelas impress˜ oes que ficaonico: ram desses contatos breves com os internautas, muitos Contato por correio eletrˆ parecem ainda n˜ ao dispor de acesso aos materiais mais [email protected] sofisticados e completos existentes na internet, que n˜ ao s˜ ao poucos, por´em nem todos s˜ ao de uso livre e gratuito; e outros tantos parecem carecer completamente de livros pr´ oprios e professores qualificados. ´ a essas pessoas, os internautas que nos procuram E diariamente, que dedico essa revis˜ ao ampliada e um pouco melhorada do material precedente, no sentido de oferecer um material simples e compacto, que auxilie especialmente `aqueles que almejam o ingresso na universidade, ou mesmo ` aqueles que por outras raz˜ oes queiram aprender coisas novas ou simplesmente rever alguns dos conte´ udos do Ensino M´edio brasileiro. Porto Alegre-RS, 11 de novembro de 2009 Professor Luciano Camargo Martins Sum´ ario F´ ISICA 3 Mecˆanica – Aula 1: Grandezas F´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mecˆanica – Aula 2: Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mecˆanica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Mecˆanica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Mecˆanica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Mecˆanica – Aula 6: Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Mecˆanica – Aula 7: Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Mecˆanica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Mecˆanica – Aula 9: Dinˆ amica do Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Mecˆanica – Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Mecˆanica – Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Mecˆanica – Aula 12: Conserva¸c˜ ao da Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Mecˆanica – Aula 13: Colis˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Mecˆanica – Aula 14: Lei da A¸c˜ ao e Rea¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Mecˆanica – Aula 15: For¸ca de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Gravita¸c˜ao – Aula 1: As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Gravita¸c˜ao – Aula 2: Gravita¸c˜ ao Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Gravita¸c˜ao – Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Gravita¸c˜ao – Aula 4: Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ´ ´ Otica – Aula 1: Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ´ Otica – Aula 2: Espelhos Esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ´ Otica – Aula 3: Refra¸c˜ ao da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ´ Otica – Aula 4: Lentes Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ´ ´ Otica – Aula 5: Otica da Vis˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Fluidos – Aula 1: Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ii Fluidos – Aula 2: Hidrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Cinem´atica – Aula 1: Cinem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Cinem´atica – Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Cinem´atica – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Cinem´atica – Aula 4: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Cinem´atica – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ondas – Aula 1: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Ondas – Aula 2: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Ondas – Aula 3: Ondas e Interferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ondas – Aula 4: Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ondas – Aula 5: Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Termodinˆ amica – Aula 1: Termodinˆ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Termodinˆ amica – Aula 2: Dilata¸c˜ ao T´ermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Termodinˆ amica – Aula 3: Transforma¸c˜ oes Gasosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Termodinˆ amica – Aula 4: Lei de Avogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Termodinˆ amica – Aula 5: Modelo Molecular de um G´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Termodinˆ amica – Aula 5: Modelo Molecular de um G´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Termodinˆ amica – Aula 7: Capacidade T´ermica (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Termodinˆ amica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinˆ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Termodinˆ amica – Aula 9: M´aquinas T´ermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Termodinˆ amica – Aula 10: Mudan¸cas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Termodinˆ amica – Aula 11: Sublima¸c˜ ao e Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Eletricidade – Aula 1: Carga El´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Eletricidade – Aula 2: Eletrosc´opio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Eletricidade – Aula 3: Campo El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Eletricidade – Aula 4: Potencial El´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Eletricidade – Aula 5: Superf´ıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Eletricidade – Aula 7: Capacidade El´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Eletricidade – Aula 8: Associa¸c˜ ao de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Eletricidade – Aula 9: Corrente El´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Eletricidade – Aula 10: Resistˆencia Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Eletricidade – Aula 12: Geradores e For¸ca Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 iii QU´ IMICA 123 Qu´ımica – Aula 1: Estrutura Atˆ omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Qu´ımica – Aula 2: Modelos Atˆ omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Qu´ımica – Aula 3: Liga¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Qu´ımica – Aula 4: Liga¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Qu´ımica – Aula 5: A Estrutura da Mat´eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Qu´ımica – Aula 6: Teoria Cin´etica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ´ Qu´ımica – Aula 7: Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Qu´ımica – Aula 8: Solu¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Qu´ımica – Aula 9: Equil´ıbrio Iˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ´ Qu´ımica – Aula 10: Equil´ıbrio Iˆonico da Agua e pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Qu´ımica B – Aula 1: O que ´e Qu´ımica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Qu´ımica B – Aula 2: Mat´eria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Qu´ımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Qu´ımica B – Aula 4: Propriedades Peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Qu´ımica B – Aula 5: Liga¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Qu´ımica B – Aula 6: Liga¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Qu´ımica B – Aula 7: Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Qu´ımica B – Aula 8: Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Qu´ımica B – Aula 9: Solu¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Qu´ımica B – Aula 10: Fun¸c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Qu´ımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Qu´ımica B – Aula 12: Eletroqu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 1: Introdu¸c˜ ao ` a Qu´ımica Orgˆ anica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 3: Pol´ımeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 4: Isomeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ´ MATEMATICA 191 Matem´atica A – Aula 1: Rela¸c˜ oes e Fun¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Matem´atica A – Aula 2: Fun¸c˜ oes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Matem´atica A – Aula 3: Fun¸c˜ oes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 iv Matem´atica A – Aula 4: Fun¸c˜ oes Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Matem´atica A – Aula 5: Polinˆ omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Matem´atica A – Aula 6: Equa¸c˜ oes Alg´ebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Matem´atica A – Aula 7: Geometria Anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Matem´atica A – Aula 8: Geometria Anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Matem´atica A – Aula 9: Circunferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Matem´atica A – Aula 10: Circunferˆencia - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Matem´atica B – Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Matem´atica B – Aula 2: Opera¸c˜ oes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Matem´atica B – Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Matem´atica B – Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Matem´atica B – Aula 5: Discuss˜ao de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Matem´atica B – Aula 6: Progress˜ ao Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Matem´atica B – Aula 7: Progress˜ ao Geom´etrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Matem´atica C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Matem´atica C – Aula 2: Conjuntos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Matem´atica C – Aula 3: N´ umeros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Matem´atica C – Aula 4: Raz˜ oes e Propor¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Matem´atica C – Aula 5: Regras de Trˆes Simples e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Matem´atica C – Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Matem´atica C – Aula 7: An´alise Combinat´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Matem´atica C – Aula 8: An´alise Combinat´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Matem´atica C – Aula 9: Binˆ omio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Matem´atica C – Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Matem´atica C – Aula 11: Inequa¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Matem´atica C – Aula 12: Equa¸c˜ oes Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Matem´atica C – Aula 13: Introdu¸c˜ ao ` a Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Matem´atica C – Aula 14: Triˆ angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Matem´atica C – Aula 15: Quadril´ateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Matem´atica C – Aula 16: Circunferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Matem´atica C – Aula 17: Pol´ıgonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Matem´atica C – Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Matem´atica C – Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Matem´atica C – Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 v L´ INGUA PORTUGUESA 285 L´ıngua Portuguesa – 01: Variantes Lingu´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 L´ıngua Portuguesa – 02: Acentua¸c˜ ao Gr´ afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 L´ıngua Portuguesa – 03: Concordˆancia Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 L´ıngua Portuguesa – 04: Concordˆancia Verbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 L´ıngua Portuguesa – 05: Coloca¸c˜ ao Pronominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 L´ıngua Portuguesa – 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 L´ıngua Portuguesa – 07: Interpreta¸c˜ ao de Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 L´ıngua Portuguesa – 08: Sinˆ onimos, Antˆ onimos e etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 L´ıngua Portuguesa – 09: Classes de Palavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 L´ıngua Portuguesa – 10: Verbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 L´ıngua Portuguesa – 11: Adv´erbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 L´ıngua Portuguesa – 12: Interpreta¸c˜ ao de Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 L´ıngua Portuguesa – 13: Textos e Linguagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Literatura – Aula 14: Nur na Escurid˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Literatura – Aula 15: A colina dos suspiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Literatura – Aula 16: No Tempo das Tangerinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Literatura – Aula 17: O menino no espelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Literatura – Aula 18: Sucupira, ame-a ou deixe-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 ´ HISTORIA 313 Hist´oria – Aula 1: Hist´oria de Santa Catarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Tabela Peri´ odica 317 Gabarito de respostas aos exerc´ıcios... 319 Referˆ encias Bicliogr´ aficas 329 Parte I F´ısica ˆnica – Aula 1 Meca 3 Grandeza ´area Mecˆ anica Aula 1 for¸ca Unidade metro quadrado metro c´ ubico quilograma por metro c´ ubico metro por segundo metro por segundo ao quadrado newton press˜ ao trabalho, energia, calor potˆencia carga el´etrica diferen¸ca de potencial resistˆencia el´etrica pascal joule watt coulomb volt ohm volume densidade Grandezas F´ısicas velocidade Apesar de existirem muitas grandezas f´ısicas, s˜ ao estabelecidos padr˜oes e definidas unidades para que tenhamos um n´ umero m´ınimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas. A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade ´e o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como a ´rea (m2 ) 3 e volume (m ). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelera¸ca ˜o (m/s2 ). Sistema Internacional(SI) At´e o final do s´eculo XV III era muito grande a quantidade de padr˜oes existentes. Cada regi˜ ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos hist´ oricos, os pa´ıses de l´ıngua inglesa utilizam at´e hoje os seus padr˜oes regionais. O elevado aumento nos intercˆ ambios econˆ omicos e culturais levou ao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema m´etrico. acelera¸ca˜o S´ımbolo m2 m3 kg/m3 m/s m/s2 N = Kg m/s2 P a = N/m2 J W = J/s C = As V = J/C Ω = V /A Tabela de algumas unidades derivadas do SI. Prefixo pico nano micro mili centi deci deca hecto quilo mega giga tera S´ımbolo Potˆencia de dez p 10−12 n 10−9 µ 10−6 m 10−3 c 10−2 d 10−1 D 101 H 102 k 103 M 106 G 109 T 1012 Prefixos, s´ımbolos e potˆencias de dez. Nota¸c˜ ao Cient´ıfica Grandeza Unidade comprimento metro massa quilograma tempo segundo corrente el´etrica amp`ere temperatura kelvin quantidade de mat´eria mol intensidade luminosa candela Tabela de unidades fundamentais do S´ımbolo m kg s A K mol cd SI. A medida de uma determinada grandeza f´ısica pode resultar em um n´ umero que seja extremamente grande ou extremamente pequeno, por exemplos temos: • distˆancia da Terra `a Lua: 384.000.000 m. • diˆametro de um 0, 000 000 000 1 m. ´atomo de hidrogˆenio: Para manipular tais n´ umeros, utilizamos a nota¸ca˜o cient´ıfica, fazendo uso das potˆencias de 10. O m´odulo de qualquer n´ umero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ´e uma potˆencia de dez: Em 1971, a 14a Conferˆencia Geral de Pesos e Medidas g = a × 10n , escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Al´em das grandezas, definiu-se onde devemos ter 1 ≤ a < 10. tamb´em os s´ımbolos, unidades derivadas e prefixos. A tabela acima mostra as unidades fundamentais do SI e Exemplos a tabela abaixo apresenta algumas unidades derivadas do SI. • 243 = 2, 43 × 100 = 2, 43 × 102 4 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC • 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103 — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios Complementares • 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4 4. (UFPI) A nossa gal´ axia, a Via L´ actea, cont´em cerca de 400 bilh˜oes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas possuam um sistema planet´ ario onde exista um planeta semelhante `a Terra. O n´ umero de planetas semelhantes `a Regra Pr´ atica Terra, na Via L´ actea, ´e: • N´ umeros maiores que 1: deslocamos a v´ırgula para a) 2 × 104 a esquerda, at´e atingir o primeiro algarismo do n´ umero. b) 2 × 106 O n´ umero de casas deslocadas para a esquerda corres- c) 2 × 108 ponde ao expoente positivo da potˆencia de 10. d) 2 × 1011 e) 2 × 1012 • N´ umeros menores do que 1: deslocamos a v´ırgula para a direita, at´e o primeiro algarismo diferente de 5. Transforme em quilˆ ometros: zero. O n´ umero de casas deslocadas para a direita a) 3600 m corresponde ao expoente negativo da potˆencia de 10. b) 2.160.000 cm c) 0, 03 m d) 5.780 dm Pense um Pouco! e) 27.600 m f) 5.800 mm • Quais s˜ao as unidades de Peso e de massa? por que 6. (Unifor-CE) Um livro de F´ısica tem 800 p´ aginas e 4, 0 cm elas n˜ ao s˜ao iguais? de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em • Um analg´esico deve ser inserido na quantidade de mil´ımetros: 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada a) 0, 025 n˜ ao pode exceder 200 mg. Cada gota cont´em 5 mg b) 0, 050 do rem´edio. Quantas gotas devem ser prescritas a um c) 0, 10 paciente de 80 kg? d) 0, 15 e) 0, 20 • 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10−3 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 7. Escreva os seguintes n´ umeros em nota¸ca˜o cient´ıfica: a) 570.000 b) 12.500 1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimens˜oes e as c) 50.000.000 unidades, no sistema internacional, d) 0, 0000012 e) 0, 032 Grandeza Dimens˜ ao Unidades SI f) 0, 72 Comprimento L m (metro) g) 82 × 103 Massa M kg (quilograma) h) 640 × 105 Tempo T s (segundo) i) 9.150 × 10−3 j) 200 × 10−5 das grandezas mecˆanicas prim´ arias: k) 0, 05 × 103 a) Sabendo que for¸ca = massa · acelera¸ca˜o, expresse a uni- l) 0, 0025 × 10−4 dade de for¸ca em unidades de grandezas prim´ arias. b) Determine os valores de n e p, se a express˜ao M Ln T n−p corresponde `a dimens˜ao de energia cin´etica. Mecˆ anica Aula 2 2. (FGV-SP) A dimens˜ao de potˆencia em fun¸ca˜o das grandezas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) ´e: a) M L2 T −2 b) M L2 T −1 c) M L2 T 2 d) M L2 T −3 e) M LT −2 Algarismos Significativos A precis˜ao de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medi¸ca˜o. Uma medida igual a 2, 00 cm n˜ ao deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm. Denominamos algarismos significativos todos os algarismos conhecidos com certeza, acompanhados de um u ´ ltimo duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza, 3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, ou seja: todos os algarismos que representam a medida de o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em uma grandeza s˜ao algarismos significativos, sendo chamados segundos, ´e de: de corretos, com exce¸ca˜o do u ´ ltimo, que recebe o nome de 2 a) 3, 0 × 10 algarismo duvidoso. 3 b) 3, 0 × 10 O algarismo duvidoso de uma medida ser´a sublinhado para c) 3, 6 × 103 destac´ a-lo, quando for preciso. d) 6, 0 × 103 e) 7, 2 × 103 Exemplos ˆnica – Aula 2 Meca 5 1. A medida 2, 35 cm apresenta trˆes algarismos significa- c = 2, 998 × 108 m/s 4 significativos tivos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) c = 3, 00 × 108 m/s 3 significativos e um algarismo duvidoso (5). 8 c = 3, 0 × 10 m/s 2 significativos 2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algarismos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e um duvidoso (7). Observe que os zeros a ` esquerda REGRAS n˜ ao s˜ao algarismos significativos, pois servem apenas • Se o algarismo a ser eliminado ´e menor que 5, ele ´e para posicionar a v´ırgula no n´ umero. Nesse caso, ´e simplesmente eliminado. √ aconselh´ avel escrever a medida em nota¸ca˜o cient´ıfica: Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414 5, 7 × 10−4 mm. • Se o algarismo a ser eliminado ´e igual ou maior que 3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos signi5, ele ´e eliminado, mas acrescentamos uma unidade no ficativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o u ´ ltimo algarismo anterior. zero ´e o algarismo duvidoso. Em nota¸ca˜o cient´ıfica es2 Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416 crevemos: 1, 5000 × 10 km. Note que ao escrevermos um n´ umero usando as potˆencias de 10 mantemos a quantidade de algarismos significativos deste n´ umero, Opera¸c˜ oes com Algarismos Significativos ou seja, mantemos sua precis˜ao. c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao 4. Considere a medida do comprimento de uma haste com Adi¸ r´egua com divis˜oes em cent´ımetros: O resultado da adi¸ca˜o e subtra¸ca˜o de dois n´ umeros n˜ ao pode ter maior n´ umero de casas decimais, do que a parcela mais 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 pobre (em casas decimais). Procede-se a opera¸ca˜o normalmente e arredonda-se o resultado. Qual das op¸co˜es abaixo melhor representa o compri- Exemplos mento da haste? • 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m a) 5, 0 cm • 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m b) 5, 40 cm c) 5 cm d) 5, 5 cm e) 5, 2 cm Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a seguir procedermos o arredondamento. 5. Considere a figura: 0 cm 1 2 Multiplica¸ c˜ ao e Divis˜ ao 3 4 5 6 7 O resultado de uma multiplica¸ca˜o e divis˜ao n˜ ao pode ter maior n´ umero de algarismos significativos do que o fator mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se a A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com opera¸ca˜o normalmente e arredonda-se o resultado. uma r´egua milimetrada: Exemplos a) 5, 2 cm • 4, 23 m × 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2 b) 5, 240 cm • 4, 98 cm ÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s c) 5, 45 cm d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm 6. Indique o n´ umero de algarismos significativos de cada n´ umero abaixo: a) 7, 4 2 significativos b) 0, 0007 1 significativo c) 0, 034 2 significativos −10 d) 7, 40 × 10 3 significativos Rela¸c˜ oes entre Grandezas F´ısicas Muitos fenˆomenos f´ısicos podem ser reduzidos ao estudo da rela¸ca˜o entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados obtidos das medi¸co˜es podem ser expressos por uma representa¸ca˜o gr´afica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendiculares entre si. Atrav´es da representa¸ca˜o gr´afica da rela¸ca˜o entre duas grandezas pertencentes a um determinado fenˆomeno f´ısico, podemos obter algumas conclus˜oes sobre o comportamento de Crit´ erios de Arredondamento uma das grandezas (vari´avel dependente) em rela¸ca˜o a outra (vari´avel independente). Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . × 108 m/s. Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi Como devemos proceder para escrever “c” com um n´ umero medicada, ingerindo uma dose do medicamento `as 8 horas menor de algarismos significativos? Devemos utilizar os e uma outra dose `as 12 horas da manh˜a. A temperatura da crit´erios de arredondamento. pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos Podemos escrever: s˜ao mostrados abaixo. 6 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Tempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Temperatura (◦ C) 39,0 39,0 38,5 38,0 38,5 37,5 37,0 36,5 36,5 36,5 • antes de iniciar a constru¸ca˜o de um gr´afico deve-se verificar a escala a ser usada levando em considera¸ca˜o os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assumido por ambas as vari´aveis do gr´afico. Dividese ent˜ ao o espa¸co dispon´ıvel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais; • o teste final para saber se as escalas est˜ ao boas ´e feito verificando-se se ´e f´acil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas. • A fun¸ca˜o da posi¸ca˜o x em rela¸ca˜o ao tempo t de um ponto material em movimento retil´ıneo, expressa em unidades do SI, ´e x = 10 + 5, 0t 38.0 Determine: a) a posi¸ca˜o do ponto material no instante 5, 0 s; b) o instante em que a posi¸ca˜o do ponto material ´e x = 50 m; c) esboce o gr´afico x × t do movimento. o T( C) Pense um Pouco! medidas ajuste 39.0 www.mundofisico.joinville.udesc.br • as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de baixo para cima; Podemos representar os dados da tabela acima em um gr´ afico. A representa¸ca˜o gr´ afica das vari´aveis temperatura (vari´avel dependente: eixo vertical) e tempo (vari´avel independente: eixo horizontal) est´ a mostrada na Figura 1. 40.0 — 37.0 36.0 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 35.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 t(h) 1. Determine o comprimento de cada haste: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 O gr´ afico cartesiano mostrado anteriormente, al´em de facilitar a visualiza¸ca˜o do comportamento da temperatura da b) pessoa durante as 9 horas de observa¸ca˜o, permite tamb´em, 0 cm 1 algumas conclus˜oes. 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 Figura 1: Um gr´ afico da temperatura em fun¸ca ˜o do a) tempo Como Construir um Gr´ afico c) Para que gr´aficos sejam constru´ıdos de forma objetiva e clara ´e necess´ario respeitar algumas regras simples: d) • O eixo vertical ´e chamado de eixo das abscissas e o horizontal de eixo das coordenadas; • a vari´avel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a vari´avel independente no eixo horizontal; e) • os eixos devem se encontrar no canto inferior esf) querdo do papel, ou espa¸co (retˆangulo) reservado para o gr´afico; 2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divis˜ao, • as escalas s˜ao independentes e devem ser constru´ıdas o mil´ımetro. Essa trena ´e utilizada para se medir a distˆancia entre dois tra¸cos paralelos, muito finos, feitos por um estilete independentemente; sobre uma superf´ıcie plana e lisa. Considerando que n˜ ao • as divis˜oes num´ericas das escalas (lineares) devem ser houve erro grosseiro, o resultado de uma s´o medi¸ca˜o, com regulares; o n´ umero correto de algarismos significativos, ´e mais bem • o valor zero (0) n˜ ao precisa estar em nenhuma das es- representado por: a) 2 m calas; ˆnica – Aula 3 Meca b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m 7 Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de opera¸co˜es alg´ebricas comuns, arredondando-se quando necess´ario. Grandezas Vetoriais Exerc´ıcios Complementares Dada a velocidade instantˆ anea de um m´ovel qualquer (por exemplo, um avi˜ ao a 380 km/h), constatamos que apenas essa indica¸ca˜o ´e insuficiente para dizermos a dire¸ca˜o em que o m´ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ´e uma grandeza vetorial. Para uma grandeza f´ısica vetorial ficar totalmente caracterizada, ´e necess´ario saber n˜ ao apenas a sua intensidade ou m´ odulo mas tamb´em a sua dire¸ c˜ ao e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial ´e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v ) e o m´odulo ou intensidade, por |~v | ou simplesmente por v. 3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. N˜ ao dispondo de r´egua, decide utilizar um toco de l´apis como padr˜ ao de comprimento. Verifica ent˜ ao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de l´apis. Chegando ao col´egio, mede com uma r´egua o comprimento do seu toco de l´apis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa ser´a corretamente expresso por: a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1 × 102 cm A grandeza f´ısica vetorial pode ser representada graficad) 1, 2 × 102 cm mente por um segmento de reta (indicando a dire¸ca˜o da e) 102 cm grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (in4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, ap´os realizar a me- dica¸ca˜o de seu m´odulo ou intensidade). Tal representa¸ca˜o ´e dida necess´aria, que o volume de um dado ´e 2, 36 cm3 . denominada vetor. Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume No exemplo anterior do avi˜ ao, poder´ıamos dizer, por exemtotal de cinco dados, idˆenticos ao primeiro, ser´a corretaplo, que ele se movimenta num certo instante com velocimente expresso por: dade ~v , de m´odulo v = 380 km/h, na dire¸ca˜o norte-sul a) 6, 8 cm3 e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial ins3 b) 7 cm tantˆ anea pode ser representada por um vetor, como mostra c) 13, 8 cm3 a figura 1. d) 16, 80 cm3 e) 17, 00 cm3 5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura m´edia de uma folha ´e: a) 10−1 mm b) 10−2 mm c) 10−3 mm d) 10−4 mm e) 10−5 mm Mecˆ anica Aula 3 380 km/h N L O S Figura 1: Exemplo de representa¸ca ˜o vetorial Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais ´e preciso indicar, al´em do m´odulo, a dire¸ca˜o e Grandezas Escalares e Vetoriais o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indica¸ca˜o utilizando um vetor (veja a figura 2). O vetor pode ser repreNa F´ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as sentado por um segmento de reta orientado cujo tamanho grandezas escalares e grandezas vetoriais. intensidade - ´e proporcional `a intensidade da grandeza que representa. Grandezas Escalares Para melhor entendermos o significado e a representa¸ca˜o de um vetor, observe a figura 3. A grandeza escalar ´e aquela que fica perfeitamente caS racterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza f´ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura em o vetor, indica a (por exemplo 36 o C), o volume (5 m3 , por exemplo), a den- Figura 2: A reta s, que cont´ ca ˜o e a seta indica o sentido sidade (para a ´agua, 1000 kg/m3 ), a press˜ ao (105 N/m2 ), a dire¸ energia (por exemplo 100 J) e muitas outras. 8 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — C b N z a www.mundofisico.joinville.udesc.br v O L d d c S d2 q g w f e r A B d1 Figura 3: Representa¸ca ˜o de alguns vetores Figura 5: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 . Portanto d~ = d~1 + d~2 . Na figura de cima os vetores representados possuem mesma ~ de A para C. Desta forma, o deslocamento d~ ´e a soma dire¸ca ˜o e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam d, a mesma dire¸ca ˜o e sentidos opostos. Portanto, podemos vetorial ou resultante dos deslocamentos d~1 e d~2 , ou seja, notar que vetores de mesma dire¸ca˜o s˜ao paralelos, o que d~ = d~1 + d~2 n˜ ao garante que tenham o mesmo sentido. Este resultado ´e v´alido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 6. Soma de Vetores Paralelos Quando os vetores tem a mesma dire¸ca˜o, podemos determinar o m´odulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus m´odulos. Observe: c b b a a b c b a −c d Figura 6: O vetor ~c ´e a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b. Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. ´ crucial notar que a coloca¸ca˜o do vetor ~b na origem ou na E extremidade do vetor ~a n˜ ao altera o vetor soma ~c. DeveFigura 4: De acordo com a conven¸ca ˜o adotada, o se observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triˆangulo m´ odulodo vetor ser´ a d = a + b − c. retˆ angulo, em que ~c ´e a hipotenusa ~a e ~b s˜ao catetos. Para obtermos o m´odulo do vetor resultante, basta aplicar o teOs vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma dire¸ca˜o (horizontal). orema de Pit´ agoras: Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores ~a e ~b s˜ao positivos e o vetor ~c ´e negativo. c2 = a 2 + b 2 ~ ´e dado por O m´odulo do vetor soma, d, d=a+b−c ~ isso significa que seu Se obtermos um valor positivo para d, sentido ´e positivo, ou seja, o vetor ´e horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido ´e negativo, isto ´e, o vetor ´e horizontal para a esquerda. Vetores Perpendiculares Imaginaremos agora, que um m´ovel parte de um ponto A e sofre um deslocamento d~1 no sentido leste, atingindo um ponto B e, em seguida, um deslocamento d~2 no sentido norte, atingindo um ponto C (veja a figura 5) Podemos notar facilmente que o deslocamento d~1 , de A para B, e o d~2 , de B para C, equivalem a um u ´ nico deslocamento, Soma de Vetores A soma de vetores perpendiculares entre si ou de dire¸co˜es quaisquer n˜ ao apresenta muita diferen¸ca. Para um m´ovel, partir de A e atingir B num deslocamento d~1 e, em seguida, atingir C num deslocamento d~2 equivale a partir de A e atingir C num deslocamento d~ (veja figura 7). Desta forma, d~ = d~1 + d~2 Na determina¸ca˜o do m´odulo do vetor d~ resultante, n˜ ao podemos aplicar o teorema de Pit´ agoras, tendo em vista que o ˆangulo entre d~1 e d~2 n˜ ao ´e reto (90o ). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 8. Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal ´e o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo, ˆnica – Aula 3 Meca 9 C d a d2 A ay B d1 ay α Figura 7: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 . b c c b α α α a α ax Figura 10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay formam um triˆ angulo retˆ angulo, onde ~a ´e a hipotenusa e ~ax e ~ay s˜ ao os catetos. a trigonometria ao triˆangulo retˆ angulo, podemos determinar Figura 8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados s˜ ao o m´odulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) ~ os vetores ~a e b, ´e o vetor resultante ~c. Podemos deslo- de ~a em fun¸ca˜o do ˆangulo α. Desta forma, no triˆangulo hachurado da figura 10, temos car o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo cateto adjacente ax a figura anterior. cos α = hipotenusa ⇒ cos α = a ax = a · cos α se ~a e ~b formam entre si um ˆ angulo α, o m´odulo do vetor resultante ~c ser´a dado pela express˜ao: onde ax ´e o m´odulo da componente horizontal ~ax do vetor ~ a . Temos ainda c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α ~ay cateto oposto ⇒ sin α = sin α = hipotenusa a Decomposi¸ c˜ ao de Vetores Ao somarmos dois vetores, podemos obter um u ´ nico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor ~a, obt´em-se outros dois vetores ~ax e ~ay tal que ~ax + ~ay = ~a (veja a figura 9). ay = a · sin α onde ay ´e o m´odulo da componente vertical ~ay do vetor ~a. Podemos relacionar o m´odulo do vetor e o m´odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pit´ agoras no triˆangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay : a2 = a2 x + a2 y y Pense um Pouco! • Qual a condi¸ca˜o para que a soma de dois vetores seja nula? a ay • O m´odulo da soma de dois vetores pode ser igual `a soma de seus m´odulos? Quando? α x ax • O m´odulo de um vetor pode ser negativo? Por quˆe? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Um m´ovel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em Figura 9: O vetor ~a pode ser decomposto em um com- seguida, 50 m no sentido norte-sul. ponente horizontal, ~ax , e outro vertical, ~ay . a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o m´odulo do deslocamento resultante. O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e 2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o m´odulo da ~ay formem um triˆangulo retˆ angulo (figura 10). Aplicando a resultante de F1 e F2 . Dado: cos(120◦ ) = −0, 50. 10 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC F2 — www.mundofisico.joinville.udesc.br 7. Um avi˜ ao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoestenordeste. a) Fa¸ca um esquema gr´afico representando a velocidade do avi˜ ao e do vento. b) Determine o m´odulo da velocidade resultante. Dado: cos(45◦ ) = 0, 71. o 120 F1 3. Um proj´etil ´e atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ˆangulo de 45◦ com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do proj´etil. Mecˆ anica Aula 4 A Primeira Lei de Newton O Conceito de For¸ca Geralmente utilizamos uma for¸ca com o objetivo de empurrar, puxar ou levantar objetos. Essa id´eia ´e correta, por´em incompleta. A id´eia de puxar ou empurrar est´ a quase semExerc´ıcios Complementares pre associada a id´eia de contato, o que exclui uma caracter´ıstica fundamental da no¸ca˜o de for¸ca: a a¸ca ˜o a ` distˆ ancia. A atra¸ca˜o gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, 4. Na figura abaixo est˜ ao representadas duas for¸cas: F~1 , de ´e exercida a milh˜ oes de quilˆ ometros de distˆancia. m´odulo F1 = 5, 0 N e F~2 , de m´odulo F2 = 3, 0 N , formando A palavra for¸ca n˜ ao possui uma defini¸ca˜o u ´ nica, expressa em entre si um ˆangulo α = 60◦ . Determine a for¸ca resultante palavras. A F´ ısica moderna admite a existˆ encia de quatro F~R para o sistema de for¸cas mostrado. tipos de for¸ca na natureza, chamadas mais adequadamente de intera¸co ˜es: gravitacional, eletromagn´etica, e as for¸cas nucleares forte e fraca. Em rela¸ca˜o ao estudo dos movimentos e de suas causas, pode-se dizer que for¸ca ´e a a¸ca ˜o capaz de modificar a veloF1 cidade de um corpo. Como muitas outras grandezas em F´ısica, a for¸ca ´e uma o grandeza vetorial, ou seja, possui m´odulo dire¸ca˜o e sentido. α = 60 Podemos resumir, ent˜ ao a defini¸ca˜o de for¸ca da seguinte forma: F2 For¸ ca ´ e uma grandeza vetorial que caracteriza a a¸ c˜ ao de um corpo sobre outro e que tem como efeito a deforma¸ c˜ ao ou a altera¸ c˜ ao da velocidade do corpo sobre o qual 5. Um vetor velocidade ´e decomposto em dois outros, perela est´ a sendo aplicada. pendiculares entre si. Sabendo que o m´odulo do vetor ´e 10, 0 m/s e que um dos componentes tem m´odulo igual a 8, 0 m/s, determine o m´odulo do vetor correspondente ao A Primeira Lei de Newton outro componente. 6. Um proj´etil ´e lan¸cado do solo segundo uma dire¸ca˜o que forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o m´odulo dos componentes horizontal, ~vx , e vertical, ~vy , dessa velocidade. Dados: sin(53◦ ) = 0, 80 e cos(53◦ ) = 0, 60 v α = 53 o Figura 1: Isaac Newton (1642-1727). Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pensar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer for¸ca?” Essa pergunta pode ˆnica – Aula 4 Meca ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da inexistˆencia de for¸cas sobre o corpo em repouso: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistˆencia de for¸cas sobre o corpo em movimento: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo em movimento, ele continua em movimento. Mas que tipo de movimento? J´a que n˜ ao existem for¸cas atuando sobre o corpo, sua velocidade n˜ ao varia de m´odulo ou dire¸ca˜o. Desta forma, o u ´ nico movimento poss´ıvel do corpo na ausˆencia de qualquer for¸ca atuando sobre ele ´e o movimento retil´ıneo uniforme. 11 Pense um Pouco! • Qual a rela¸ca˜o entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de seguran¸ca? e o encosto para a cabe¸ca no banco do carro? • Por que quando um ˆonibus freia repentinamente, os passageiros s˜ao “arremessados” para a frente? e o que ocorre quando o ˆonibus ´e acelerado? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao A Primeira Lei de Newton re´ une as duas respostas anteriores em um u ´ nico enunciado: 1. (UFMG) Um corpo de massa m est´ a sujeito `a a¸ca˜o de uma for¸ca F~ que o desloca segundo um eixo vertical em senTodo corpo tende a manter seu estado de tido contr´ario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com repouso ou de movimento retil´ıneo e univelocidade constante ´e porque: forme, a menos que for¸ cas externas provoa) a for¸ca F~ ´e maior do que a da gravidade. quem varia¸ c˜ ao na sua velocidade. b) a for¸ca resultante sobre o corpo ´e nula. ~ De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar c) a for¸ca F ´e menor do que a gravidade. d) a diferen¸ ca entre os m´odulos das for¸cas ´e diferente de que na ausˆencia de for¸cas, todo corpo tende a ficar como zero. est´ a: parado se estiver parado, em movimento retil´ıneo uniao est´ a errada, pois qualquer que forme, se estiver em movimento (retil´ıneo uniforme). Por e) a afirma¸ca˜o da quest˜ ~ a acelerado porque sempre existe a aceeste motivo essa lei tamb´em ´e chamada de Princ´ıpio da seja F o corpo estar´ lera¸ca˜o da gravidade. In´ercia. Figura 2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seu movimento pra frente... 2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enunciado da Lei da In´ercia, tamb´em conhecida como primeira Lei de Newton. a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma ´orbita el´ıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos. b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma for¸ca proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia entre eles. c) Quando um corpo exerce uma for¸ca sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma for¸ca de mesma intensidade e dire¸ca˜o, mas de sentido contr´ario. d) A acelera¸ca˜o que um corpo adquire ´e diretamente proporcional `a resultante das for¸cas que nele atuam, e tem mesma dire¸ca˜o e sentido dessa resultante. e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo for¸cas com resultante n˜ ao nula. 3. (UNESP-SP) As estat´ısticas indicam que o uso do cinto de seguran¸ca deve ser obrigat´orio para prevenir les˜oes mais O que ´ e In´ ercia? graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a fun¸ca˜o do cinto est´ a relacionada com a: Todos os corpos apresentam a tendˆencia de se manter em a) primeira Lei de Newton. repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme. Essa proprieb) lei de Snell. dade dos corpos ´e chamada in´ ercia. A palavra in´ercia ´e dec) lei de Amp`ere. rivada do latim inertia, que significa indolˆencia ou pregui¸ca. d) lei de Ohm. Os corpos tˆem uma esp´ecie de resistˆencia ` as modifica¸co˜es de e) primeira Lei de Kepler. sua velocidade. Equil´ıbrio de uma Part´ıcula Dizemos que uma part´ıcula se encontra em equil´ıbrio, quando a resultante das for¸cas atuando sobre ela for nula. Se a resultante ´e nula, n˜ ao ocorre altera¸ca˜o na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil´ıbrio de est´ atico; se ele estiver em movimento retil´ıneo e uniforme, o equil´ıbrio ser´a chamado de dinˆ amico. Exerc´ıcios Complementares 4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo, presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda. Pela Lei da In´ercia, conclui-se que: a) a pedra se mant´em em movimento circular. b) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸ca˜o perpendicular `a corda no instante do corte. 12 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC c) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸ca˜o da corda no instante do corte. d) a pedra p´ ara. e) a pedra n˜ ao tem massa. — www.mundofisico.joinville.udesc.br est˜ ao apoiados n˜ ao apresenta atrito. Analisando a equa¸ca˜o m = F/a, percebemos facilmente que: - Quanto maior m → menor a 5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme re- - Quanto maior m → maior a dificuldade de alterar a velocidade do corpo. til´ıneo, s´o pode estar sob a a¸ca˜o de uma: a) for¸ca resultante n˜ ao-nula na dire¸ca˜o do movimento. Podemos concluir que b) u ´ nica for¸ca horizontal. c) for¸ca resultante nula. Quanto maior ´ e a massa de um corpo, d) for¸ca nula de atrito. maior ser´ a sua in´ ercia (dificuldade de ter e) for¸ca vertical que equilibre o peso. sua velocidade alterada), isto ´ e, a massa representa a medida de in´ ercia de um corpo. 6. (Fiube-MG) Uma part´ıcula se desloca ao longo de uma reta com acelera¸ca˜o nula. Nessas condi¸co˜es, podemos afir- As conclus˜oes anteriormente, explicam porque um caminh˜ao mar corretamente que sua velocidade escalar ´e: vazio (quando sujeito a uma for¸ca F) adquire uma acea) nula. lera¸ca˜o maior do que quando esta cheio, por exemplo. b) constante e diferente de zero. c) inversamente proporcional ao tempo. A Segunda Lei de Newton d) diretamente proporcional ao tempo. e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo. De acordo com o princ´ıpio da in´ercia, um corpo s´o pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo com velocidade constante se sobre ele atuar uma for¸ ca resultante externa. Neste momento, poder´ıamos perguntar: “O que acontece se existir uma for¸ca resultante externa agindo no corpo?” Nesta situa¸ca˜o, o corpo fica sujeito a uma aceA Segunda Lei de Newton lera¸ c˜ ao, ou seja, um corpo sujeito a uma for¸ca resultante ´ muito comum encontrarmos a defini¸ca˜o de massa de um externa movimenta-se com velocidade vari´ avel. E corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo representa a quantidade de mat´eria que ele possui”. Em cursos elementares de ciˆencias, esta defini¸ca˜o pode ser aceita como uma id´eia inicial da no¸ca˜o de massa, embora n˜ ao possa ser F considerada uma defini¸ca˜o precisa dessa grandeza. De fato, a defini¸ca˜o apresentada n˜ ao ´e adequada, pois pretende definir um novo conceito – massa – por meio de uma id´eia vaga, que n˜ ao tem significado f´ısico preciso – quantidade de mat´ eria. Mecˆ anica Aula 5 11 00 1 0 00000000000000 11111111111111 Experimentalmente os f´ısicos constataram que entre a for¸ca F aplicada a um corpo e a acelera¸ca˜o a, que ele adquire, existe uma propor¸ca˜o direta. Desta forma, o quociente F/a ´e constante para um certo objeto. Este quociente, que ´e intr´ınseco a cada corpo, foi denominado pelos f´ısicos de massa do corpo. Desta forma, podemos afirmar: A massa m de um corpo ´ e o quociente entre o m´ odulo da for¸ ca que atua num corpo e o valor da acelera¸ c˜ ao a que ela produz neste corpo. Assim, m= F a No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa ´e o quilograma: ´ f´acil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por E exemplo, desde o repouso at´e 30 km/h em um intervalo de tempo de 30 s, a intensidade da for¸ca que teremos de aplicar depender´a da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um carro, ´e evidente que a for¸ca necess´aria ser´a muito menor do que se tratasse de um caminh˜ao. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever´a ser a intensidade da for¸ca necess´aria para que ele alcance uma determinada acelera¸ca˜o. Foi Isaac Newton quem obteve essa rela¸ca˜o entre massa e for¸ca, que constitui a segunda lei de Newton ou princ´ıpio fundamental da dinˆ amica. Temos, ent˜ ao que A acelera¸ c˜ ao de um corpo submetido a uma for¸ ca resultante externa ´ e inversamente proporcional ` a sua massa, e diretamente proporcional a intensidade da for¸ ca. 1 quilograma = 1 kg = 1000 g Assim, para uma dada for¸ca resultante externa F, quanto maior a massa m do corpo tanto menor ser´a a acelera¸ca˜o Massa e In´ ercia a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton ´e Suponhamos que uma for¸ca F foi aplicada a trˆes corpos dada por: de massa diferentes, como trˆes blocos de ferro, com volumes diversos. Imaginaremos que a superf´ıcie na qual estes blocos F~ = m~a ˆnica – Aula 5 Meca 13 Esta equa¸ca˜o vetorial imp˜oe que a for¸ca resultante e a acelera¸ca˜o tenham a mesma dire¸ca˜o e o mesmo sentido. No SI a unidade de for¸ca ´e o newton ou (N ): Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Na figura abaixo os blocos A, B e C est˜ ao sobre um plano horizontal sem atrito. 1 N = 1 kg · m/s2 Por defini¸ca˜o, o newton ´e a for¸ca que produz uma acelera¸ca˜o de 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg. B A Diagrama de Corpo Livre Antes de resolver qualquer problema de dinˆ amica, ´e de fundamental importˆ ancia a identifica¸ca˜o de todas as for¸cas relevantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualiza¸ca˜o destas for¸cas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um diagrama de corpo livre ou diagrama de for¸ cas para cada corpo, que ´e um esquema simplificado envolvendo todas as massas e for¸cas do problema. Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano inclinado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre para o bloco: N Fat m θ P Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg, determine: a) a acelera¸ca˜o do conjunto; b) a tra¸ca˜o nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C). Admitir a massa dos fios desprez´ıvel. 2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe acelerado a 2 m/s2 . Considerando g = 10 m s2 , a tra¸ca˜o no cabo que o sustenta, ´e de: a) 6000 N b) 5000 N c) 4000 N d) 3000 N e) 2000 N Exerc´ıcios Complementares 3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa Figura 1: Diagrama de corpo livre para um bloco es- 0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, est´a sobre o plano sem atrito. corregando num plano inclinado. Observe F Nesse exemplo, o bloco ´e tratado como uma part´ıcula, A B C por simplifica¸ca˜o, n˜ ao sendo relevante suas dimens˜oes ou o ponto de aplica¸ca˜o das for¸cas, colocadas todas no seu centro geom´etrico, por conveniˆencia. Desprezou-se a for¸ca de empuxo do ar, a for¸ca de resistˆencia viscosa ao movimento do Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextens´ıvel de massa desbloco, tamb´em causada pelo ar, e outras for¸cas irrelevantes prez´ıvel como a massa da polia, determine: ao problema. a) a acelera¸ca˜o do conjunto; b) a tra¸ca˜o no fio. 4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB = 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se ap´oia num plano sem atrito. S˜ ao desprez´ıveis as massas da polia e do ´ muito comum nos depararmos com a situa¸ca˜o na qual • E fio, que ´e inextens´ıvel. um carro e um caminh˜ao est˜ ao emparelhados aguardando o sinal verde do sem´aforo. Vocˆe sabe por quˆe, quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminh˜ao ter um motor mais posB sante? Pense um Pouco! • Se o peso de um corpo ´e proporcional ` a sua massa, ent˜ ao podemos afirmar que todos os corpos ter˜ ao a mesma acelera¸ca˜o, em queda livre? C A 14 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Admitindo g = 10 m/s2 , determine: a) a acelera¸ca˜o do conjunto; b) a tra¸ca˜o TAB entre os blocos A e B; c) a tra¸ca˜o TBC entre os blocos B e C. 5. Na figura, a for¸ca F~ tem intensidade 90 N . Despreze os atritos e as in´ercias do fio e da roldana. Quais os valores da acelera¸ca˜o do conjunto e da for¸ca que traciona o fio? F 4 kg 6 kg 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 6. (UEL-PR) Os trˆes corpos, A, B e C, representados na figura tˆem massas iguais, m = 3, 0 kg — www.mundofisico.joinville.udesc.br energia qu´ımica, a combust˜ ao da gasolina libera energia t´ermica, energia el´etrica ´e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho. Trabalho O significado da palavra trabalho, na F´ısica, ´e diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O trabalho, na F´ısica ´e sempre relacionado a uma for¸ca que desloca uma part´ıcula ou um corpo. Dizemos que uma for¸ca F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que est´ a em movimento. A partir dessa descri¸ca˜o podemos dizer que s´o h´ a trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr´ario o trabalho realizado ser´a nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloc´ a-lo, ela n˜ ao est´ a realizando nenhum trabalho sobre o corpo. Quando uma for¸ca F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela est´ a favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho realizado pela for¸ca. Uma For¸ca Constante A B Quando a for¸ca F atua no sentido contr´ ario ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho realizado pela for¸ca ´e considerado negativo. C F 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 01 01 11 00 01 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 d F O plano horizontal, onde se ap´oiam A e B, n˜ ao fornecem atrito, a roldana tem massa desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o local da gravidade pode ser considerada g = 10 m/s2 . A tra¸ca˜o no fio que une os blocos A e B tem m´odulo: a) 10 N b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N 7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra-se sobre uma balan¸ca no piso de um elevador. Se o elevador sobe com acelera¸ca˜o igual, em m´odulo, ` a metade da acelera¸ca˜o da gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balan¸ca: a) ser´a de 25 N b) permanece inalterada c) ser´a de 75 N d) ser´a de 100 N e) ser´a de 200 N Mecˆ anica Aula 6 Energia Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma for¸ca horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d ´e: W = ±F d (1) onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante e d ´e o deslocamento (em m´odulo). O sinal + ´e usado quando a for¸ca e o deslocamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando possuem sentidos contr´arios. Importante Observe que o trabalho ´e uma grandeza escalar, apesar de ser definida a partir de dois vetores (F e d). Unidades 1 N · m = 1 J = 1 joule = 107 erg 1 kJ = 103 J Quando a for¸ca for aplicada ao corpo formando um ˆangulo φ com a horizontal, temos a seguinte f´ormula mais geral: W = F d cos φ (2) onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante, d ´e o deslocamento A energia se apresenta de diversas formas na natu- (em m´odulo) e φ o ˆangulo entre os vetores F e d, ou seja, reza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam entre a dire¸ca˜o da for¸ca e o deslocamento. ˆnica – Aula 6 Meca 15 F F 00 11 0 1 0 1 00 11 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 00 11 0 1 0 1 00 11 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 d φ φ Potˆ encia P Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realiza¸ca˜o desse trabalho, tem de fazer um esfor¸co maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma potˆencia maior. Podemos tamb´em calcular o trabalho W realizado pela for¸ca F atrav´es da ´area sob a curva do gr´ afico F × x: F Area = Trabalho O x X Figura 1: James Watt (1736-1819) ´ W ≡ Area sob a curva Um carro ´e mais potente que o outro quando ele “arranca”mais r´apido e atinge uma dada velocidade num inObserve que neste caso deveremos descobrir o sinal do tra- tervalo de tempo menor do que o outro carro.. balho atrav´es da an´alise do gr´ afico, e do sentido relativo Um aparelho de som ´e mais potente que o outro quando ele entre a for¸ca e o deslocamento (ou do ˆ angulo φ). ele transforma mais energia el´etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m´aquina ´e caracterizada n˜ ao s´o pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode Uma For¸ca Vari´ avel efetuar em determinado tempo. Ent˜ ao podemos concluir que potˆencia ´e o trabalho realizado 0 gr´ afico abaixo representa a a¸ca˜o de uma for¸ca vari´avel que durante um determinado tempo, ou seja: age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, desde o ponto x′ at´e o ponto x′′ . P = W/t Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na equa¸ca˜o acima temos F(x2) P= F(x1) j´a que v = d/t. Unidade de Potˆ encia Area = Trabalho O x1 W F dt = = Fv . t t x2 X 1 J/s = 1 watt = 1 W Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela ´ area sob Energia cin´ etica a curva, desenhando-se o gr´ afico em papel quadriculado, ou de forma aproximada pela ´ area de um trap´ezio: Para variar a velocidade de um corpo em movimento ´e preciso o concurso de for¸cas externas, as quais realizam certo   F1 + F2 trabalho. Esse trabalho ´e uma forma de energia que o corpo W = Fd = (x2 − x1 ) absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em 2 rela¸ca˜o a um dado sistema de referˆencia. Observe que essa f´ormula considera a for¸ca m´edia (aproxi- Chamamos essa energia de movimento de energia de mada) multiplicada pelo deslocamento. cin´etica. Para uma part´ıcula de massa m e velocidade v a energia cin´etica ´e: Tipos de For¸cas Ec = 1 mv 2 2 Existem diversos tipos de for¸cas que podem atuar em um corpo: for¸ca el´astica, for¸ca peso, for¸ca el´etrica, for¸ca de e assim como o trabalho, mede-se a energia cin´etica em contato, etc... joules. 16 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Teorema Trabalho-Energia b) trabalho e potˆencia se expressam com a mesma unidade. c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade. Suponhamos que FR seja a resultante das for¸cas que atuam d) potˆencia ´e a capacidade de realizar trabalho. sobre uma part´ıcula de massa m. O trabalho dessa resul- e) trabalho ´e a rela¸ca˜o energia-tempo. tante ´e igual `a diferen¸ca entre o valor final e o valor inicial 4. O produto da for¸ca pelo deslocamento do corpo em que da energia cin´etica da part´ıcula: ela atua est´ a associado com: 1 1 2 2 a) trabalho W = ∆Ec = mvf − mvi 2 2 b) potˆencia c) distˆancia Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho- d) acelera¸ca˜o energia indica que o trabalho da resultante das for¸cas que e) velocidade atua sobre uma part´ıcula modifica sua energia cin´etica. Pense um Pouco! Exerc´ıcios Complementares • Que trabalho realizamos sobre um corpo que ´e levan- 5. (UFSC) O gr´afico a seguir representa a resultante das tado a uma determinada altura? Esse trabalho seria for¸cas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a 10, 0 kg, em fun¸ca˜o do deslocamento total em metros. Supositivo ou negativo? pondo que a sua velocidade inicial ´e de 14 1 m/s, determine, • Se vocˆe pudesse segurar um elefante a uma determi- em m/s, a velocidade do corpo depois de 2percorrer 40, 0 m. nada altura, vocˆe estaria realizando trabalho? Por quˆe? • Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um barbante. F(N) 1. H´ a algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho? Por quˆe? O trabalho ´e positivo ou negativo. 20 2. O menino desenvolve alguma potˆencia? Por quˆe? 15 3. O carrinho tem energia cin´etica? Por quˆe? 10 5 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (ESAL-MG) Um homem est´ a em repouso com um caixote tamb´em em repouso ` as costas. a) Como o caixote tem um peso, o homem est´ a realizando trabalho. b) O homem est´ a realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando c) O homem est´ a realizando trabalho pelo fato de estar fazendo for¸ca. d) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de n˜ ao estar se deslocando. e) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito `a acelera¸ca˜o da gravidade. 2. (UFSE) Um corpo est´ a sendo arrastado por uma superf´ıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as afirma¸co˜es a seguir: I. O trabalho da for¸ca de atrito ´e nulo. II. O trabalho da for¸ca peso ´e nulo. III. A for¸ca resultante que arrasta o corpo ´e nula. Dentre as afirma¸co˜es: ´ correta a I, somente. a) E ´ correta a II, somente. b) E ´ c) E correta a III, somente. d) S˜ ao incorretas I, II, III. e) S˜ ao corretas II e III. 3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potˆencia e energia, pode-se afirmar que: a) potˆencia e energia s˜ao sinˆ onimos. 0 0 10 20 30 40 x(m) 6. Um proj´etil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma t´ abua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a for¸ca com que a t´ abua exerce sobre o proj´etil. m = 10 g F vo = 100 m/s vf = 90 m/s x = 1,0 cm 7. Um m´ovel de massa 2, 90 kg ´e submetido `a uma for¸ca constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule: a) o trabalho W realizado pela for¸ca; b) a potˆencia P desenvolvida pela for¸ca; Mecˆ anica Aula 7 ˆnica – Aula 7 Meca 17 Energia Potencial Atrav´es a equa¸ca˜o acima, pode-se ver que a unidade SI da constante el´astica deve ser N/m. Na pr´atica, a constante ˇZ ˇ da mola: quanto maior o valor de k, Um corpo possui energia quando ´e capaz de realizar traba- k mede a “durezaZ mais dif´ ıcil ser´ a a sua deforma¸ca˜o, ou seja, mais for¸ca ser´a lho. Suponha, ent˜ ao, um corpo situado a uma certa altura necess´ a ria para deform´ a-la uma certa quantidade x. acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, ´e f´acil perceber que ser´a capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se Energia Potencial El´ astica pois concluir que aquele corpo possu´ıa energia na posi¸ca˜o elevada. Quando aplicamos uma for¸ca e deformamos uma mola estaA energia que um corpo possui, em virtude de estar situado mos transferindo a ela uma energia, essa energia fica armaa uma certa altura acima da superf´ıcie da Terra, ´e denomi- zenada na mola. Definimos que a energia armazenada em nada energia potencial gravitacional. H´ a outras situa¸co˜es, uma mola comprimida ou distendida ´e chamada de energia semelhantes a essa, nas quais um corpo tamb´em possui ener- potencial el´ astica, atrav´es de gia em virtude da posi¸ca˜o que ele ocupa. Por exemplo, um 1 corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou Ep = kx2 2 esticada) possui energia em virtude de sua posi¸ca˜o. Se um corpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele ser´a empurrado pela mola e poder´ a realizar trabalho. Neste caso, Pense um Pouco! a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada ´e denominada energia potencial el´ astica. • A energia potencial gravitacional depende da acelera¸ca˜o da gravidade, ent˜ ao em que situa¸co˜es essa energia ´ e positiva, nula ou negativa? Energia Potencial Gravitacional Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso referencial usual de energia zero, podemos definir a energia potencial gravitacional Ep como Ep = mgh onde g ´e a acelera¸ca˜o da gravidade. No SI, g vale aproximadamente 9, 8 m/s2 . For¸ ca El´ astica Chamamos de corpos el´ asticos aqueles que, ao serem deformados, tendem a retornar ` a forma inicial. • A for¸ca el´astica depende da massa da mola? Por quˆe? • Se uma mola ´e comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola n˜ ao consegue se mover, o que acontece com a energia potencial el´astica? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue. a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue? b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua altura m´axima? c) Existe energia no estilingue depois do lan¸camento? Comente. 2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois de um certo tempo de queda. a) O que acontece com sua energia potencial Ep ? b) Sua energia cin´etica est´ a variando? Comente. 3. Um indiv´ıduo encontra-se sobre uma balan¸ca de mola, pisando sobre ela com seus dois p´es. Se ele levantar um dos p´es e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador completamente fechado, quando observa que o peso indicado na balan¸ca ´e zero. Ent˜ ao, conclui que: a) est´ a descendo com velocidade constante Figura 1: Robert Hooke (1635-1703) b) o elevador est´ a em queda livre c) a for¸ca de atra¸ca˜o gravitacional exercida sobre ele ´e anuUma mola helicoidal, feita geralmente de a¸co, como carac- lada pela rea¸ca˜o normal do elevador ter´ıstica pr´opria uma constante el´ astica k, que define a d) a balan¸ca est´ a quebrada, visto que isto ´e imposs´ıvel proporcionalidade entre a intensidade for¸ca F aplicada e a respectiva deforma¸ca˜o x causada na mola. A lei de Hooke 4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, est˜ ao relaciona essas quantidades na forma a 500 m de altura em rela¸ca˜o ao solo. Vocˆe diria que: a) ambas as pedras tˆem igual energia potencial; F = −kx b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos afirmar com rela¸ca˜o `a energia potencial Observe que x mede a deforma¸ca˜o linear da mola a partir das pedras d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar do seu tamanho de equil´ıbrio (sem for¸ca). 18 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br trabalho e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial Para elevar um corpo em equil´ıbrio do solo at´e uma altura h, devemos aplicar uma for¸ca que realizar´a um trabalho (positivo) de mesmo m´odulo que o trabalho realizado pela 5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprez´ıvel, for¸ca peso do corpo (negativo). est´ a suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deforma¸ca˜o de 2, 0 cm para Fext. = −P o sistema em equil´ıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil´ıbrio, a deforma¸ca˜o total 00000 11111 ser´a de: 00000 00 11 m 11111 00 11 00000 11111 a) 3, 0 m 00000 11111 b) 2, 5 cm 00000 11111 P c) 2, 0 m d) 1, 5 cm e) 1, 0 m Exerc´ıcios Complementares Figura 2: Um corpo sendo suspenso em equil´ıbrio. O trabalho realizado pela for¸ca externa Fext. , ´e armazenado 6. Uma mola cuja constate el´ astica ´e 1000 N/m encontra-se no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gracomprimida em 10 cm. vitacional Ep , e vale: a) Determine a energia potencial el´ astica armazenada na mola. Ep = mgh b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para impulsionar um bloco de 100 g, qual ´e a velocidade se definirmos o valor zero (Ep = 0) no ch˜ ao, onde h = 0. m´axima adquirida pelo bloco? J´a para o sistema massa-mola, temos uma for¸ca externa 7. Qual o trabalho necess´ario para se comprimir uma mola, sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma deforma¸ca˜o, sendo essa for¸ca cuja constante el´astica ´e 500 N/m, em 10, 0 cm? 8. Um menino situado no alto de um edif´ıcio, segura um F = −kx corpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo. o trabalho W externo necess´ario para esticar a mola uma a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela quantidade x ser´a posi¸ca˜o? 1 W = kx2 b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo, 2 quando situado a 6, 0 m do ch˜ ao? e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de energia potencial el´ astica. Mecˆ anica Aula 8 Trabalho e Energia Potencial F=0 O F=−kx O x>0 F=−k(−x)=kx x<0 O Figura 1: James Prescott Joule (1818-1889). A energia potencial gravitacional est´ a relacionada ` a posi¸ca˜o Figura 3: O sistema massa-mola em equil´ıbrio, estide um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando cado e comprimido. movemos o corpo, alteramos sua energia potencial. ˆnica – Aula 8 Meca For¸ cas Conservativas e Dissipativas 19 • Compare a energia necess´aria para elevar de 10 m uma massa na Terra e a energia necess´aria para elevar de 10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferen¸ca. Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso, ou for¸ca el´astica exercida por uma mola, a energia mecˆanica desse corpo se conserva. Por este motivo, as for¸cas citadas s˜ao denominadas for¸ cas conservativas. Exemplo: Exerc´ ıcios de Aplica¸ c˜ ao ao dar corda em um rel´ogio, vocˆe est´ a armazenando energia potencial el´astica numa mola, e essa energia estar´ a dispon´ıvel para fazer com que o rel´ogio trabalhe durante um 1. Quais as transforma¸co˜es de energia que ocorrem quando certo tempo. Isso s´o ´e poss´ıvel porque a energia el´ astica foi um jogador chuta uma bola? armazenada (conservada). 2. Quais as principais diferen¸cas entre energia potencial e Por outro lado, se existissem for¸cas de atrito atuando du- energia cin´etica? rante o deslocamento do corpo, sua energia mecˆanica n˜ ao se conserva, por que parte dela (ou at´e ela toda) se dissipa sob 3. Uma for¸ca ´e dita conservativa quando: ao realiza trabalho forma de calor. Por isso dizemos que as for¸cas de atrito s˜ao a) n˜ b) o trabalho por ela realizado n˜ ao depende da trajet´oria de for¸cas dissipativas. Exemplo: se vocˆe arrastar um caixote seu ponto de aplica¸ c a ˜ o pelo ch˜ ao horizontal, durante um longo percurso, ver´a que todo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma parte c) realiza apenas trabalhos positivos ao depende da massa do dessa energia gasta foi armazenada, ou est´ a dispon´ıvel no d) o trabalho por ela realizado n˜ corpo em que est´ a aplicada caixote. e) dissipa energia t´ermica 4. Um sistema f´ısico tem energia quando: a) est´ a sujeito apenas a a¸co˜es de for¸cas conservativas; Um sistema mecˆanico no qual s´o atuam for¸cas conservativas b) est´ a sujeito a for¸cas conservativas e dissipativas; ´e dito sistema conservativo, pois a sua energia mecˆ anica c) est´ a capacitado a realizar trabalho; (E) se conserva, isto ´e, mant´em-se com o mesmo valor em d) possui grande quantidade de ´atomos qualquer momento ou posi¸ca˜o, podendo alternar-se nas suas e) perde calor formas cin´etica e potencial (gravitacional ou el´ astica): A Conserva¸c˜ ao da Energia Mecˆ anica E = Ec + Ep Exerc´ıcios Complementares Degrada¸c˜ ao da Energia 5. O princ´ıpio da conserva¸ca˜o da energia afirma que: a) a energia cin´etica de um corpo ´e constante A energia est´ a constantemente se transformando, mas n˜ ao b) a energia potencial el´astica mais a energia cin´etica ´e sempode ser criada nem destru´ıda. pre constante c) a energia n˜ ao pode ser criada nem destru´ıda, mas apenas • Em uma usina hidrel´etrica, a energia mecˆanica da transformada em calor devido aos atritos queda d’´agua ´e transformada em energia el´etrica. d) a energia total de um sistema, isolado ou n˜ ao, permanece • Em uma locomotiva a vapor, a energia t´ermica ´e trans- constante formada em energia mecˆanica para movimentar o trem. e) a energia n˜ ao pode ser criada nem destru´ıda, mas apenas transformada de uma modalidade para outra • Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fiss˜ ao dos n´ ucleos atˆomicos se transforma em energia el´etrica. 6. A energia mecˆanica de um corpo: • Em um coletor solar, a energia das radia¸co˜es proveni- a) ´e a soma da sua energia potencial e cin´etica entes do sol se transforma em energia t´ermica para o b) depende apenas do referencial c) depende da acelera¸ca˜o do corpo aquecimento de ´agua. d) ´e sempre constante, independente do tipo de for¸cas atuantes sobre ele e) depende apenas da velocidade do corpo Pense um Pouco! 7. Para esticar uma mola em 40 cm, ´e necess´aria uma for¸ca de 20 N . Determine: a) A constante el´astica da mola; b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola; • Indique algumas fontes de energia e explique a forma de c) O trabalho realizado pela mola; aproveit´ a-las para a realiza¸ca˜o de trabalho mecˆanico. d) O trabalho que seria necess´ario para deformar a mola em 80 cm; • Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como e) A for¸ca necess´aria para esticar a mola em 80 cm. se realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente por uma corda, na vertical, ou transportando-o atrav´es 8. Um corpo de massa 5, 0 kg ´e elevado do solo a um ponto de um plano inclinado (sem atrito) at´e a altura dese- situado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2 . Deterjada? Por quˆe? mine: • Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa mola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maior do que aquela de que foi abandonado? Por quˆe? 20 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br a) o trabalho realizado pela for¸ca peso do corpo nesse des- Na figura temos: locamento; ~at = acelera¸ca˜o tangencial b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo. ~ac = acelera¸ca˜o centr´ıpeta onde 9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partir ~a = ~a + ~a , sendo t c do repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito. ~a = acelera¸ca˜o total(resultante) Veja a figura. Na base da pista, o corpo comprime a mola de constante el´astica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as acelera¸co˜es que atuam no corpo devem ter a mesma dire¸ca˜o e 10 m/s2 , qual a deforma¸ca˜o m´axima sofrida pela mola? o mesmo sentido da for¸ca. Portanto, existem for¸cas perpendiculares `a trajet´oria e for¸cas tangentes `a trajet´oria. A for¸ca resultante que tem a mesma dire¸ca˜o e o mesmo sentido da acelera¸ca˜o centr´ıpeta, isto ´e, dirigida para o centro da curva ´e denominada for¸ca centr´ıpeta (F~cp ), e a que tem a mesma dire¸ca˜o e o mesmo sentido da acelera¸ca˜o tangencial, isto ´e, tangente `a trajet´oria, ´e denominada for¸ca tangencial (F~t ). o A h at Figura 4: Quest˜ ao 9. Ft ac Fc a R Mecˆ anica Aula 9 O Dinˆ amica do Movimento Circular F Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma circunferˆencia de raio R, com movimento n˜ ao uniforme. Na figura temos: F~t = m · ~a F~c = m · ~ac onde F~t = for¸ca tangencial F~c = for¸ca centr´ıpeta F~ = F~t + F~c , sendo F~ = for¸ca resultante v cas no Movimento Circular Sabemos que a velocidade do corpo ´e um vetor que, em cada As For¸ instante, ´e tangente `a trajet´oria e que, no movimento circuPodemos expressar a for¸ca centr´ıpeta da seguinte maneira: lar n˜ ao uniforme, o corpo est´ a sujeito a duas acelera¸co˜es. Fc = mac ou Fc = m at ac v2 = mω 2 R R A for¸ca tangencial ´e dada por: a Ft = mat R O Observe que: • A for¸ca tangencial faz variar o m´odulo do vetor velocidade, isto ´e, produz acelera¸ca˜o tangencial. • A for¸ca centr´ıpeta faz variar a dire¸ca˜o do vetor velocidade, obrigando o corpo a descrever uma trajet´oria curva. ˆnica – Aula 9 Meca 21 Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno da Terra. Terra Lua FC Figura 1: A Lua em sua o ´rbita ao redor da Terra (fora de escala). A for¸ca que mant´em a Lua em ´ orbita ´e uma for¸ca de origem gravitacional exercida pela Terra. Tal for¸ca ´e centr´ıpeta, isto ´e, dirigida para o centro da Terra. 3. Um autom´ ovel faz uma curva circular, plana e horizontal, de raio 50 m. Sabendo-se que o coeficiente de atrito est´ atico entre os pneus e a pista ´e µe = 0, 80, qual a m´axima velocidade com que esse autom´ ovel pode fazer a curva sem derrapar? (Use g = 10 m/s2 ). a) v = 10 m/s b) v = 15 m/s c) v = 20 m/s d) v = 25 m/s e) v = 30 m/s Exerc´ıcios Complementares 4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra, num plano vertical, parte dos trilhos do percurso circular de uma montanharussa de um parque de divers˜oes. Pense um Pouco! (Fuvest-SP) A melhor explica¸ca˜o para o fato de a Lua n˜ ao cair sobre a Terra ´e que: a) a gravidade terrestre n˜ ao chega at´e a Lua b) a Lua gira em torno da Terra c) a Terra gira em torno do seu eixo d) a Lua tamb´em ´e atra´ıda pelo Sol e) a gravidade da Lua ´e menor que a da Terra g r = 8,0 m Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UEL-Pr) Num pˆendulo cˆ onico, a massa m gira numa circunferˆencia horizontal, estando submetida ` as for¸cas peso P~ vetorial e tra¸ca˜o T~ vetorial, conforme a figura: θ T m v P Nestas condi¸co˜es a intensidade da for¸ca centr´ıpeta ´e: a) nula, pois o movimento ´e uniforme. b) dada pelo componente da tra¸ca˜o, T · sen θ c) dada pelo componente da tra¸ca˜o, T · cos θ d) dada pela resultante T − P · cos θ e) dada pela resultante T − P · sen θ A velocidade m´ınima que o carrinho deve ter, ao passar pelo ponto mais alto da trajet´oria, para n˜ ao desgrudar dos trilhos vale, em metros por segundo: √ a) √20 b) √ 40 c) √80 d) √ 160 e) 320 5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subir ou descer) e equilibrada o piloto de um avi˜ ao deve inclin´a-lo com respeito `a horizontal (` a maneira de um ciclista em uma curva) um ˆangulo θ. Se θ = 60o , a velocidade da aeronave ´e 100 m/s e a acelera¸ca˜o local da gravidade ´e de 9, 5 m/s2 , qual ´e aproximadamente o raio de curvatura? a) 200 m b) 350 m c) 600 m d) 750 m e) 1000 m 6. (Fuvest-SP) Um caminh˜ao, com massa total de 10000 kg, est´ a percorrendo uma curva circular plana e horizontal a 72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha 2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa de ´oleo na pista e perde completamente a aderˆencia. O por um fio de 0, 80 m de comprimento, fazendo com que caminh˜ao encosta ent˜ ao no muro lateral que acompanha a ela descreva c´ırculos verticais com velocidade constante de curva e que o mant´em em trajet´oria circular de raio igual 4, 0 m/s. Admitindo g = 10 m/s2 , determine a tra¸ca˜o no a 90 m. O coeficiente de atrito entre o caminh˜ao e o muro fio quando o corpo passa pelo ponto: vale 0, 30. Podemos afirmar que, ao encostar no muro, o a) mais alto da trajet´oria caminh˜ao come¸ca a perder velocidade `a raz˜ ao de, aproxib) mais baixo da trajet´oria madamente: 22 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC a) 0, 07 m · s−2 b) 1, 3 m · s−2 c) 3, 0 m · s−2 d) 10 m · s−2 e) 67 m · s−2 — www.mundofisico.joinville.udesc.br Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nela uma for¸ca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s, o impulso transferido para a bola ser´a I = F ∆t = (50 N )(0, 12 s) = 6, 0 N · s Mecˆ anica Aula 10 Quantidade de Movimento e esse impulso far´a com que a bola entre em movimento. Unidade SI do Impulso Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, movimento: ´e f´ acil perceber que h´ a uma diferen¸ca na a¸ca˜o que ela deve 1 N · s = 1 kg · m/s desenvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena: a bola mais r´apida, para ser parada, exige um esfor¸co maior e de maior dura¸ca˜o. Uma diferen¸ca semelhante tamb´em seria percebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com Pense um Pouco! a mesma velocidade, mas de massas diferentes: o maior ´ mais f´acil parar uma bola que tenha uma quantidade esfor¸co, atuando durante um tempo maior, seria necess´ario • E para fazer parar a bola de maior massa. de movimento grande ou pequena? Por quˆe? Essas observa¸co˜es levam ` a defini¸ca˜o de uma nova grandeza • Qual a influˆencia da massa na quantidade de movif´ısica vetorial relacionada com a massa e a velocidade de mento? uma part´ıcula, denominada quantidade de movimento. Podemos escrever que quantidade de movimento de um • Por que um carro se deforma numa colis˜ao? ponto material como ~ = m~v Q onde m ´e a sua massa e ~v sua velocidade. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Unidade SI 1. (UFMS) Com rela¸ca˜o `a quantidade de movimento de Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internaci- uma part´ıcula, ´e correto afirmar (marque V ou F): a) ( ) ´e uma grandeza vetorial onal (SI) na unidade b) ( ) tem a mesma dire¸ca˜o e sentido do vetor velocidade Kg · m/s da part´ıcula c) ( ) ´e uma grandeza inversamente proporcional `a massa da part´ıcula Exemplo d) ( ) sua unidade no SI pode ser kg · m/s Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com ve- e) ( ) permanece constante mesmo que a part´ıcula seja locidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento ser´a, acelerada em m´odulo, 2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escrito como o .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4 × 104 kg · m/s as op¸co˜es completem corretamente as lacunas ou F caso contr´ario. Lembre-se Para transformar a velocidade dada em km/h para a uni- a) ( ) produto; for¸ca aplicada ao corpo; tempo que o corpo fica em movimento dade SI (m/s) fazemos: b) ( ) produto; for¸ca aplicada ao corpo; tempo durante o qual a for¸ca atua 1000 m 72 v = 72 km/h = 72 × = m/s = 20 m/s c) ( ) quociente; for¸ca aplicada ao corpo; velocidade que ele 3.600 s 3, 6 adquire d) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquire e) ( ) produto; massa do corpo; acelera¸ca˜o que ele adquire Impulso Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando um tenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma for¸ca que age num curto espa¸co de tempo que faz a bola ser impulsionada. Define-se o impulso I~ de uma for¸ca como grandeza vetorial dada pelo produto da for¸ca F~ pelo intervalo de tempo ∆t durante o qual ela atuou: I~ = F~ ∆t 3. Considere um corpo que est´ a se deslocando em movimento retil´ıneo uniforme. a) A quantidade de movimento deste corpo est´ a variando? Explique. b) Tendo em vista a resposta do ´ıtem anterior, o que vocˆe conclui sobre o impulso que atua no corpo? c) Ent˜ ao, qual o valor da resultante das for¸cas aplicadas no corpo? ˆnica – Aula 11 Meca 23 Exerc´ıcios Complementares 4. Uma for¸ca de 20 N ´e aplicada em um corpo durante 10 s. Qual ´e o impulso que a for¸ca transmite ao corpo? 5. Determine a quantidade de movimento de um objeto de massa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s? 6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, A B C D E quantidade de movimento Q e energia cin´etica E. Uma for¸ca F , na mesma dire¸ca˜o e no mesmo sentido de v, ´e aplicada no corpo, at´e que a velocidade dele triplique. As novas quantidades de movimento e energia cin´etica s˜ao, respectiSistemas de Part´ıculas vamente: a) 3Q e 3E Para um sistema contendo N part´ıculas a quantidade de b) 3Q e 6E movimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma: c) 3Q e 9E d) 6Q e 6E ~ T OT AL = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mN ~vN Q e) 6Q e 9E 7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longo de um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s at´e chocar-se contra um p´ ara-choque fixo na extremidade do trilho. Supondo que o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choque tenha dura¸ca˜o de 0, 10 s, calcule em newtons, o valor absoluto da for¸ca m´edia exercida pelo p´ ara-choque sobre o carrinho. Mecˆ anica Aula 11 CURIOSIDADE ´ poss´ıvel um astroA luz tem quantidade de movimento? E nauta mover-se no espa¸co sideral acendendo sua lanterna? Por mais intrigante que seja, a reposta ´e sim. Mas por que isso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movimento. Normalmente n˜ ao percebemos isso, pois a quantidade de movimento da luz ´e pequena e, assim, os seus efeitos s˜ao, em geral, impercept´ıveis. Mas quando o astronauta acende sua lanterna, a situa¸ca˜o ´e an´aloga `aquela em que um garoto sobre patins consegue mover-se atirando uma melancia. De acordo com a Mecˆanica Quˆ antica, a luz ´e formada por pequenos ”pacotes”de energia, denominados f´otons, os quais, no v´acuo, movem-se `a velocidade c = 3, 0 × 108 m/s. Cada um desses f´otons, al´em de possuir energia, tem quanTeorema do Impulso-Momento tidade de movimento. Por´em ela n˜ ao pode ser calculada ~ pela express˜ a o Q = m~ v , uma vez que os f´otons n˜ ao tˆem Consideremos uma for¸ca resultante constante F~ atuando massa. Para que o Princ´ ıpio da Conserva¸ c a ˜ o da Quantisobre uma part´ıcula de massa m, durante um intervalo de dade de Movimento seja mantido, os f´ısicos conclu´ıram que tempo ∆t, temos a quantidade de movimento (q) de um f´oton de energia E deve ser calculada por ~ ~ I = F ∆t Impulso e Momento q = E/c ou seja ~ I~ = m~a∆t = m∆~v = ∆Q ou ~f − Q ~ i = m(~vf − ~vi ) I~ = Q E concluimos que: O impulso determinado pela resultante de todas as for¸ cas externas que agem durante certo intervalo de tempo sobre um ponto material ´ e igual a varia¸ c˜ ao da quantidade de movimento do ponto durante o mesmo intervalo. Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a uma distˆancia de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emita luz com potˆencia de 1500 W . Suponha ainda que a massa total do astronauta juntamente com o traje espacial e a lanterna seja 80 kg. Se o astronauta s´o pudesse aproximar-se da nave acendendo sua lanterna, quanto tempo ele gastaria? Utilizando a express˜ao acima e os modelos simplificados da Mecˆanica, encontraremos um valor aproximado de 3,3 horas. Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primeiras evidˆencias experimentais de que a luz tem quantidade de movimento foram obtidas em 1899, pelo f´ısico russo P. Lebedev, e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em 1901. 24 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Pense um Pouco! • Colidindo-se frontalmente duas esferas idˆenticas, sobre uma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra inicialmente parada, observa-se que a esfera que estava em movimento fica parada e a outra, inicialmente padara, entra em movimento ap´os a colis˜ao. Explique esse fenˆomeno sob o ponto de vista dos conceitos de impulso e momento. — www.mundofisico.joinville.udesc.br • recuo das armas de fogo; • explos˜ao de uma bomba (fragmentos); • propuls˜ao a jato. Exerc´ıcios Complementares For¸cas Impulsivas 1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise e muda sua dire¸ca˜o de movimento em 90◦ . Determine o A for¸ca de intera¸ca˜o que ocorre durante uma colis˜ao, em geral tem grande intensidade e curta dura¸ca˜o, como descrito impulso aplicado sobre a bola na colis˜ao. no gr´afico abaixo. For¸cas como essa, que atuam durante um 2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h em intervalo pequeno comparado com o tempo de observa¸ca˜o queda-livre, o observa-se o seu movimento at´e o solo. do sistema, s˜ao chamadas de for¸ cas impulsivas. a) Determine o impluso que o peso do corpo produz at´e que ele atinja o solo. b) Determine a varia¸ca˜o do momento do corpo, desde o instante em que foi solto, at´e atingir o solo. F(t) c) Compara os resultados dos itens anteriores. Comente. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 g a 1, 25 m de altura acima do ch˜ ao (piso) e observa-se que ela retorna (pula) at´e uma altura de apenas 0, 80 m, ap´os o primiro salto. a) Determine o impulso total sobre a bola at´e que ela toque a primeira vez no ch˜ ao. b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante em que ela deixa o solo at´e atingir a altura de 0, 80 m. Mecˆ anica Aula 12 Conserva¸ c˜ ao da Quantidade de Movimento Num sistema isolado, onde o impulso das for¸cas externas seja nulo, a quantidade de movimento final ´e igual a inicial. ~f − Q ~ i = ~0 =⇒ Q ~f = Q ~i I~ = Q Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conserva¸ca˜o da Quantidade de Movimento: ´ constante a quantidade de movimento de um conE junto de pontos materiais que constituem um sistema isolado. Exemplos ti ∆t tf t Algumas vezes ´e mais interessante considerar o valor m´ edio da for¸ca impulsiva que o seu valor a cada instante. Por defini¸ca˜o, o valor m´edio de uma for¸ca impulsiva ´e o valor da for¸ca constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz o mesmo impulso sobre um dado corpo. Pense um Pouco! • Como podemos analisar as for¸cas envolvidas em uma colis˜ao entre duas part´ıculas? • Imagine-se no meio da superf´ıcie lisa de um lago. Lembrando n˜ ao ser poss´ıvel caminhar sobre a superf´ıcie, em raz˜ ao da total ausˆencia de atrito, sugira um procedimento que permita alcan¸car a margem do lago. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) a com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto Fenˆomenos que encontram explica¸ca˜o no teorema da quan- est´ a canoa como o pescador repousam em rela¸ca˜o `a ´agua que, tidade de movimento: por sua vez, n˜ ao apresenta qualquer movimento em rela¸ca˜o • choque mecˆanico; `a Terra. Atritos da canoa com a ´agua s˜ao desprez´ıveis e, no ˆnica – Aula 13 Meca local, n˜ ao h´ a ventos. Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente a sua zagaia de massa 2, 0 kg que sai com velocidade de 10 m/s. Calcule o m´odulo da velocidade do conjunto pescador/canoa, de massa igual a 150 kg, imediatamente ap´os o disparo. 25 FAB FBA 2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um proj´etil de 0, 02 kg, a uma velocidade de 600 m/s. Qual ´e a velocidade de recuo dessa arma? A B 3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg est´ a nadando ` a velocidade de 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa 0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua dire¸ca˜o, Considerando as duas esferas da figura A e B, deslocandoa 6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois de se ao longo de uma mesma reta, inicialmente em sentidos contr´arios. Ap´os a colis˜ao, as esferas passam a se mover em ter engolido o pobre peixinho. sentidos opostos. 4. Um canh˜ ao de 800 kg, montado sobre rodas e n˜ ao freado, dispara uma bala de 6 kg com velocidade inicial de 500 m/s. Determine a velocidade de recuo do canh˜ ao. v1I Exerc´ıcios Complementares 5. Um remador e seu barco tˆem juntos massa de 150 kg. O barco est´ a parado e o remador salta dele com velocidade de 8 m/s. O barco afasta-se com velocidade contr´aria de 7 m/s. Calcule as massas do remador e do barco. m1 m2 F21 F12 6. (PUC-PR) Dois patinadores, um de massa 100 kg e outro de massa 80 kg, est˜ ao de m˜aos dadas em repouso sobre uma v1F v2F pista de gelo, onde o atrito ´e desprez´ıvel. Eles empurram-se mutuamente e deslizam na mesma dire¸ca˜o, por´em em sentidos opostos. O patinador de 100 kg adquire uma velocidade de 4 m/s. A velocidade relativa de um dos patinadores em rela¸ca˜o ao outro ´e, em m´odulo, igual a: a) 5 m/s b) 4 m/s Como as part´ıculas que constituem o sistema trocam for¸cas c) 1 m/s entre si, essas for¸cas s˜ao consideradas internas e a resultante d) 9 m/s ´e sempre nula. Isso ocorre em colis˜oes ou em explos˜oes. e) 20 m/s 7. Um astronauta de massa 70 kg encontra-se em repouso numa regi˜ao do espa¸co em que as a¸co˜es gravitacionais s˜ao desprez´ıveis. Ele est´ a fora de sua nave, a 120 m da mesma, mas consegue mover-se com auxilio de uma pistola que dispara proj´eteis de massa 100 g, os quais s˜ao expelidos com velocidade 1, 4 × 103 m/s. Dando um u ´ nico tiro, qual o tempo que o astronauta leva para atingir sua nave, supostamente em repouso? Responda tamb´em qual o princ´ıpio utilizado para responder ` a pergunta. Mecˆ anica Aula 13 Colis˜ oes An´ alise de uma Colis˜ ao Uma das aplica¸co˜es mais importantes do conceito de quantidade de movimento ´e encontrada no estudo de intera¸co˜es de curta dura¸ca˜o, entre as partes de um sistema (ou conjunto) de corpos, como ocorre em uma explos˜ ao ou em uma colis˜ao. Pense um Pouco! • Choques mecˆanicos podem ser considerados sistemas isolados. Assim, pode-se afirmar que, em qualquer tipo de choque, h´ a conserva¸ca˜o da quantidade de movimento e da energia cin´etica? • A seguinte declara¸ca˜o foi extra´ıda de uma prova realizada por um estudante de f´ısica de uma universidade: “a colis˜ao entre dois ´atomos de h´elio ´e perfeitamente el´astica, de forma que a quantidade de movimento se conserva”. A afirma¸ca˜o ´e logicamente correta? Explique. 26 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UFAL) Um peda¸co de massa de modelar de 200 g ´e atirado horizontalmente com velocidade de 12 m/s contra um carrinho de massa 600 g, inicialmente parado sobre uma superf´ıcie horizontal. Se a massa se chocar contra o carrinho e nele permanecer grudada, a velocidade com que o conjunto passa a mover-se ´e, em metros por segundo: a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12 — www.mundofisico.joinville.udesc.br Lei da A¸ c˜ ao e Rea¸ c˜ ao Provavelmente vocˆe j´a assistiu a um jogo de sinuca. Nele, ocorrem colis˜oes entre as bolas. Durante essas colis˜oes, h´ a uma rea¸ca˜o m´ utua, uma intera¸ca˜o, que ´e respons´ avel pela mudan¸ca na velocidade das bolas. Este mudan¸ca produz ~ = m · ~v ) das altera¸ca˜o na quantidade de movimento (Q bolas. 2. (UDESC) Considere a colis˜ao frontal perfeitamente el´ astica entre um nˆeutron, de massa relativa igual a 1, deslocando-se com velocidade constante v0 , e um dˆeuteron, de massa relativa igual a 2, em repouso. a) Calcule a velocidade de ambas as part´ıculas ap´os a colis˜ao. b) Se a colis˜ao fosse inel´astica, com as part´ıculas se movendo juntas ap´os colidirem, os resultados para as velocidade calculadas permaneceriam os mesmos? Justifique a resposta. 3. Dois corpos A e B de massa iguais a 300 g e 150 g deslocam-se em sentidos contr´ arios com velocidades respectivamente iguais a 1, 5 m/s e 1, 2 m/s. Determine a velocidade do corpo B ap´os o choque, sabendo que a velocidade do corpo A ´e de 0, 1 m/s e seu sentido ´e o mesmo da velocidade inicial. Figura 1: Nos choques, h´ a uma intera¸ca ˜o, que provoca mudan¸ca na velocidade das bolas. Se durante o tempo de intera¸ca˜o h´ a varia¸ca˜o da quantidade de movimento, significa que existe uma for¸ca atuando em cada bola, como explica a 2a Lei de Newton. Mas quem exerce essa for¸ca? 4. Observa-se uma colis˜ao el´ astica e unidimensional, no Enquanto ocorre a intera¸ca˜o, cada bola exerce uma for¸ca referencial do laborat´orio, de uma part´ıcula de massa m e sobre a outra. Em um parque de divers˜oes, ocorre a mesma velocidade de m´odulo 5 m/s com outra part´ıcula de massa coisa com os carrinhos “bate-bate”: cada carro exerce e rea que podemos afirmar m/4, inicialmente em repouso. Quais os valores dos m´odulos cebe uma for¸ca durante a colis˜ao. Ser´ que isso tamb´ e m ocorre quando um caminh˜ ao colide com um das velocidades das part´ıculas ap´os a colis˜ao? carro? Exerc´ıcios Complementares 5. (Unicamp-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior distˆancia poss´ıvel. No chute, o p´e do goleiro fica em contato com a bola durante 0, 10 s, e a bola, de 0, 5 kg, atinge o campo a uma distˆancia de 40 m. Despreze a resistˆencia do ar. a) Qual o ˆangulo em que o goleiro deve chutar a bola? b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola? c) Qual o impulso da for¸ca do p´e do goleiro na bola? 6. (UEL-PR) Um pequeno caminh˜ao, de massa 4 toneladas, colide frontalmente com um trator de 8 toneladas que estava a 36 km/h, e logo ap´os a colis˜ao, os dois ve´ıculos permanecem parados. Imediatamente antes da colis˜ao, a velocidade do caminh˜ao era, em m/s, de: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 Mecˆ anica Aula 14 Figura 2: Cada carro exerce e recebe uma for¸ca durante a colis˜ ao. Neste caso, durante a intera¸ca˜o entre o caminh˜ao e o carro, uma for¸ca de mesma intensidade atua sobre cada um deles, o que n˜ ao implica que o dano causado seja o mesmo para ambos. Podemos afirmar que o efeito causado ser´a diferente, uma vez que a massa e a rigidez da lataria do carro e do caminh˜ao s˜ao diferentes. Isaac Newton estudou a intera¸ca˜o entre objetos. Ele formulou o princ´ıpio da a¸ c˜ ao e rea¸ c˜ ao, ou lei da a¸ c˜ ao e ˆnica – Aula 14 Meca Figura 3: O carro aplica no caminh˜ ao uma for¸ca resultante de mesma intensidade daquela que o caminh˜ ao aplica no carro. rea¸ c˜ ao, que posteriormente ficou conhecida como terceira Lei de Newton. De acordo com esta lei, as for¸cas resultantes da intera¸ca˜o entre dois objetos sempre aparecem aos pares, tˆem mesmo m´odulo, mesma dire¸ca˜o, sentidos opostos e s˜ao denominadas a¸ c˜ ao e rea¸ c˜ ao: a for¸ca de a¸ca˜o ´e aplicada num objeto e a de rea¸ca˜o, no outro. Atualmente a 3a Lei de Newton costuma ser enunciada da seguinte forma: 27 Figura 5: Movimento de um foguete. outra? ´ poss´ıvel se caminhar sobre um ch˜ • E ao sem atrito? Explique. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Para toda a¸ c˜ ao existe uma rea¸ c˜ ao, de igual intensidade, na mesma dire¸ c˜ ao e sentido contr´ ario. 1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton ´e o princ´ıpio da a¸ca˜o e rea¸ca˜o. Esse princ´ıpio descreve as for¸cas que participam na intera¸ca˜o entre dois corpos. Podemos afirmar que: cas iguais em m´odulo e de sentidos opostos s˜ao a a) duas for¸ Os movimentos dos corpos tamb´em est˜ ao embasados na 3 for¸ c as de a¸ c a˜o e rea¸ca˜o; Lei de Newton. Uma pessoa, ao andar, empurra o ch˜ ao b) enquanto a a¸ca˜o est´ a aplicada num dos corpos, a rea¸ca˜o para tr´ as (a¸ca˜o) e a rea¸ca˜o que o ch˜ ao aplica na pessoa a est´ a aplicada no outro; empurra para frente. Um avi˜ ao, com suas h´elices ou turbinas, empurra o ar para tr´ as e este aplica uma for¸ca no c) a a¸ca˜o ´e maior que a rea¸ca˜o; ao aplicadas no mesmo corpo; avi˜ ao, deslocando-o para frente. Se um foguete lan¸ca uma d) a¸ca˜o e rea¸ca˜o est˜ e) a rea¸ c a ˜ o, em alguns casos, pode ser maior que a a¸ca˜o. massa de g´ as para fora, exerce uma for¸ca sobre o g´ as (a¸ca˜o) e, simultaneamente, recebe do g´ as uma for¸ca igual e oposta 2. (VUNESP - SP) As estat´ısticas indicam que o uso do (rea¸ca˜o). Desta forma, podemos chamar a for¸ca do g´ as sobre cinto de seguran¸ca deve ser obrigat´orio para prevenir les˜oes o foguete de “a¸ca˜o”e a do foguete sobre o g´ as de “rea¸ca˜o”. mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a fun¸ca˜o do cinto est´ a relacionada com a: a) 1a Lei de Newton; b) Lei de Snell; c) Lei de Amp`ere; d) Lei de Ohm; e) 1a Lei de Kepler. 3. Um lutador de boxe atinge o advers´ario com um murro no rosto. a) Na intera¸ca˜o luva-rosto, quem exerce maior for¸ca, a luva sobre o rosto ou o rosto sobre a luva? Por quˆe? b) Ent˜ ao por que a m˜ao do pugilista que aplica o golpe n˜ ao sofre os mesmos “estragos”que o rosto do advers´ario? Figura 4: O avi˜ ao acelera gases para tr´ as e sofre uma rea¸ca ˜o para frente. Pense um Pouco! • Se a¸ca˜o e rea¸ca˜o possuem a mesma intensidade e sentidos contr´arios, por que uma n˜ ao anula o efeito da Exerc´ıcios Complementares 4. Um autom´ ovel bate contra um caminh˜ao, exercendo nele uma for¸ca de 20.000 N . a) Qual o m´odulo da rea¸ca˜o desta for¸ca, sabendo-se que a massa do carro ´e dez vezes menor que a do caminh˜ao? b) Quem exerce a rea¸ca˜o? c) Em que corpo est´ a aplicada a rea¸ca˜o? 28 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC 5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoiados sobre uma superf´ıcie horizontal perfeitamente lisa, s˜ao empurrados por uma for¸ca F de 20 N , conforme indica a figura abaixo. Determine a acelera¸ca˜o do conjunto. F A — www.mundofisico.joinville.udesc.br Deve-se notar que a for¸ca de atrito atuando sobre cada corpo tem sentido oposto ao movimento do corpo em rela¸ca˜o ao outro corpo. O atrito ´e provocado pela aspereza existente nas superf´ıcies em contato. As superf´ıcies tendem a se interpenetrarem quando s˜ao esfregadas uma na outra e isto oferece resistˆencia ao movimento relativo. B De Onde Vem o Atrito? 6. De que modo vocˆe explica o movimento de um barco a Uma das hip´oteses mais aceitas para a existˆencia do atrito ´e que ele prov´em da coes˜ao das mol´eculas situadas nas suremo, utilizando a terceira lei de Newton? perf´ıcies que se acham em contato. Essa ades˜ao superficial 7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kg ocorre porque nos pontos de contato as mol´eculas de cada ao t˜ ao pr´oximas que passam a exercer for¸cas est˜ ao interligados por um fio ideal. A superf´ıcie de apoio ´e superf´ıcie est˜ intermoleculares entre si. horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma for¸ca horizontal de 30 N . Determine: A for¸ca de atrito que se op˜oe a um corpo que rola ´e menor a) a acelera¸ca˜o do conjunto; que no movimento de deslizamento. O atrito pode ser reb) a for¸ca de tra¸ca˜o no fio. duzido com o polimento das superf´ıcies em contato e com o uso de lubrificantes 8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e flecha dois concorrentes discutem sobre a f´ısica que est´ a contida no O atrito esta presente em quase todos os movimentos e ele ´ til ou nocivo. Se n˜ ao existisse o atrito entre o arco do arqueiro. Surge ent˜ ao a seguinte d´ uvida: quando o pode ser u sapato e o solo, uma pessoa n˜ ao poderia andar; o p´e da arco est´ a esticado, no momento do lan¸camento da flecha, a pessoa empurra a Terra para tr´ as e a Terra empurra o p´e for¸ca exercida sobre a corda pela m˜ao do arqueiro ´e igual a`: da pessoa para frente (a¸ c a ˜ o e rea¸ ca˜o), quando ela anda. I) for¸ca exercida pela sua outra m˜ao sobre a madeira do Sem o atrito os ve´ ıculos n˜ a o poderiam iniciar o seu moviarco. mento, pois, as rodas come¸ c ariam a girar sem sair do lugar. II) tens˜ao na corda. O objetivo das saliˆ e ncias em pneus ´ e aumentar o atrito. III) for¸ca exercida sobre a flecha pela corda no momento em que o arqueiro larga a corda. Neste caso: a) todas as afirmativas s˜ao verdadeiras. b) todas as afirmativas s˜ao falsas. c) somente I e III s˜ao verdadeiras. d) somente I e II s˜ao verdadeiras. e) somente II ´e verdadeira. Mecˆ anica Aula 15 For¸ ca de Atrito Ao lan¸carmos um corpo sobre uma superf´ıcie horizontal, verificamos que o corpo acaba parando. v 1 2 Figura 1: Quando uma estrada de terra torna-se escorregadia, colocam-se correntes nas rodas dos autom´ oveis para aumentar o atrito. Isto significa que, enquanto o corpo se movimenta, ele adquire uma acelera¸ca˜o cujo sentido ´e oposto ao do seu movimento. H´ a portanto uma for¸ca que se op˜oe ao deslocamento do bloco: a for¸ca de atrito F~at . Tipos de Atrito Sempre que a superf´ıcie de um corpo escorrega sobre a de atico e o cin´etico outro corpo, um exerce sobre o outro (princ´ıpio da a¸ca˜o e Existem dois tipos de atrito: o est´ amico). Vamos estudar estes dois casos separadamente, rea¸ca˜o) uma for¸ca de atrito tangente ` as superf´ıcies de con- (dinˆ pois existem diferen¸cas importantes a serem ressaltadas. tato. ˆnica – Aula 15 Meca For¸ cas de Atrito Est´ atico (FAE ) Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre superf´ıcies em repouso. Um exemplo comum ´e o de um autom´ovel estacionado em uma ladeira. Este s´o consegue permanecer parado gra¸cas ao atrito entre os freios e as rodas. Em situa¸co˜es como esta, dizemos que existe a chamada for¸ca de atrito est´ atico (FAE ). A for¸ca de atrito est´ atico ´e aquela que atua enquanto n˜ ao h´ a deslizamento, e o seu m´odulo m´aximo ´e dado por: 29 Mesmo existindo valores tabelados para uma grande quantidade de materiais, ´e muito dif´ıcil conhecˆe-los com precis˜ao, pois dependem das condi¸co˜es das superf´ıcies em contato. N˜ ao s˜ao apenas os materiais das superf´ıcies em contato que interferem no valor da for¸ca de atrito cin´etico. A for¸ca normal entre os corpos tamb´em ´e de fundamental importˆ ancia. Quanto maior a for¸ca normal mais intensa a for¸ca de atrito cin´etico. O m´odulo da for¸ca de atrito cin´etico ´e dado pela express˜ ao: FAC = µc · N FAE ≤ µe · N Na pr´atica o coeficiente de atrito est´ atico ´e sempre maior Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes pro- que o coeficiente de atrito cin´etico. priedades gerais para o atrito est´ atico: • a intensidade da for¸ca de atrito est´ atico varia de zero at´e o valor m´aximo FAE ; Pense um Pouco! • o coeficiente de atrito est´ atico (µe ) depende do estado de polimento e da natureza das duas superf´ıcies em contato; 1. Por que nos dias de chuva ´e mais dif´ıcil frear um carro? • a intensidade da for¸ca de atrito est´ atico ´e independente da ´area de contato entre as superf´ıcies s´olidas. 3. A m´axima acelera¸ca˜o de um carro depende de alguma for¸ca de atrito? Explique. For¸ cas de Atrito Cin´ etico (FAC ) 2. Por que o gelo ´e muito deslizante e quase n˜ ao apresenta atrito? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Quando um carro ´e freado inesperadamente, ´e comum as rodas do autom´ ovel travarem e os pneus deslizarem no asfalto. 1. (UFES) O bloco da figura est´ a em movimento em uma Antigamente isso era ainda mais frequente, mas hoje, nos superf´ıcie horizontal em virtude da aplica¸ca˜o de uma for¸ca ve´ıculos equipados com os chamados freios ABS, as rodas F~ paralela `a superf´ıcie: n˜ ao travam mais. O ABS (Antiblocking System) ´e um avan¸cado sistema de freios desenvolvido para evitar o travamento das rodas nas freadas bruscas em velocidade. Sensores fixados a cada uma das rodas enviam sinais eletrˆ onicos para um m´odulo de coF = 60,0 N mando computadorizado que reduz, em fra¸co˜es de segundo, m =2,0 kg a press˜ ao sobre as rodas prestes a se travarem. Com as rodas desbloqueadas, o carro permanece sob controle e tem menos possibilidade de derrapar ou deslizar, at´e em pistas molhadas. Mas, qual a diferen¸ca entre o carro escorregar ou O coeficiente de atrito cin´etico entre o bloco e a superf´ıcie ´e n˜ ao na pista? igual a 0, 2. Sendo g = 10 m/s2 , a acelera¸ca˜o do objeto ´e: Analise a figura a seguir; ela mostra o deslizamento entre a) 20, 0 m/s2 b) 28, 0 m/s2 duas superf´ıcies. c) 30, 0 m/s2 d) 32, 0 m/s2 . . . . . e) 36, 0 m/s2 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . 2. (UFMG) Um bloco ´e lan¸cado no ponto A, sobre uma superf´ıcie horizontal com atrito, e desloca-se para C: B Figura 2: Corpo deslizando sobre superf´ıcie a ´spera. A C As irregularidades microsc´opicas apresentadas pelas superf´ıcies fazem com que a movimenta¸ca˜o do bloco sofra uma resistˆencia denominada for¸ca de atrito cin´etico. Obviamente, quanto maior a aspereza das superf´ıcies, maior a O diagrama que melhor representa as for¸cas que atuam soa passando pelo ponto B intensidade dessa for¸ca. Para medir a rugosidade das par- bre o bloco quando esse bloco est´ tes em contato criou-se o coeficiente de atrito cin´etico (µc ). ´e: 30 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC a) d) b) e) — www.mundofisico.joinville.udesc.br Podemos afirmar que o valor da for¸ca de atrito ´e: a) 20 N b) 10 N c) 100 N d) 60 N e) 40 N 6. (UFMG) Na figura a seguir, est´ a representado um bloco de 2, 0 kg sendo pressionado contra a parede por uma for¸ca F~ . O coeficiente de atrito est´ atico entre esses corpos vale 0, 5, e o cin´etico vale 0, 3. Considere g = 10 m/s2 . c) F 3. (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A, de massa 3, 0 kg, est´ a em movimento uniforme. A massa do corpo B ´e de 10 kg. Adote g = 10 m/s2 . B A O coeficiente de atrito dinˆ amico entre o corpo B e o plano sobre o qual se ap´oia vale: a) 0,15 b) 0,30 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,70 Exerc´ıcios Complementares 4. (Fuvest-SP) As duas for¸cas que agem sobre uma gota de chuva, a for¸ca peso e a for¸ca devida ` a resistˆencia do ar, tˆem mesma dire¸ca˜o e sentidos opostos. A partir da altura de 125 m acima do solo, estando a gota com uma velocidade de 8 m/s, essas duas for¸cas passam a ter mesmo m´odulo. A gota atinge o solo com a velocidade de: a) 8 m/s b) 35 m/s c) 42 m/s d) 50 m/s e) 58 m/s 5. (Fuvest-SP) O sistema indicado na figura a seguir, onde as polias s˜ao ideais, permanece em repouso gra¸ca´s `a for¸ca de atrito entre o corpo de 10 kg e a superf´ıcie de apoio. Se F = 50 N , ent˜ ao a rea¸ca˜o normal e a for¸ca de atrito que atuam sobre o bloco valem, respectivamente: a) 20 N e 6, 0 N b) 20 N e 10 N c) 50 N e 20 N d) 50 N e 25 N e) 70 N e 35 N Gravita¸c˜ ao Aula 1 As Leis de Kepler ´ A Lei das Orbitas (1609) A ´orbita de cada planeta ´e uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como consequˆencia da ´orbita ser el´ıptica, a distˆancia do Sol ao planeta varia ao longo de sua ´orbita. Lembre-se, a elipse ´e uma linha plana, com focos no seu mesmo plano. Isso implica em que o movimento dos planetas ocorre sobre um plano bem definido, e cada planeta tem o seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem ter pelo menos um ponto em comum, o Sol. Planeta Sol f f’ 10 kg 4 kg 6 kg Figura 1: 1a Lei de Kepler. ˜ o – Aula 1 Gravitac ¸a 31 ´ A Lei da Areas (1609) Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao A reta unindo o planeta ao Sol varre ´ areas iguais em tempos iguais. O significado f´ısico desta lei ´e que a velocidade orbital n˜ ao ´e uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta est´ a do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areolar (referente a ´ area) ´e constante. v’ Sol Planeta A’ A f v Figura 2: 2a Lei de Kepler. A Lei dos Per´ıodos (1618) O quadrado do per´ıodo orbital dos planetas ´e diretamente proporcional ao cubo de sua distˆancia m´edia ao Sol. Esta lei estabelece que planetas com ´ orbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a for¸ca entre o Sol e o planeta decresce com a distˆancia ao Sol. Sendo P o per´ıodo orbital do planeta, a o semi-eixo maior da ´orbita, que ´e igual ` a distˆancia m´edia do planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressar a 3a lei como: P2 =K a3 1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Kepler para os planetas vis´ıveis a olho n´ u. Complete os dados que est˜ ao faltando. Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P2 Merc´ urio 0,387 0,241 0,058 0,058 Vˆenus 0,723 0,615 0,378 Terra 1,000 1,000 1,000 1,000 Marte 1,524 1,881 3,537 J´ upiter 5,203 11,862 140,700 Saturno 9,534 29,456 2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravita¸ca˜o Universal (lei das ´orbitas): a) As ´orbitas planet´ arias s˜ao curvas quaisquer, desde que fechadas; b) As ´orbitas planet´ arias s˜ao espiraladas; c) As ´orbitas planet´ arias n˜ ao podem ser circulares; d) As ´orbitas planet´ arias s˜ao el´ıpticas, com o Sol ocupando o centro da elipse; e) As ´orbitas planet´ arias s˜ao el´ıpticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse. ´ 3. A 2a lei de Kepler (Lei das Areas) permite concluir que um planeta possui: a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol; b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol; c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol; d) velocidade constante em toda sua trajet´oria; e) n.r.a. 4. Assinale a alternativa que est´ a em desacordo com as Leis de Kepler da Gravita¸ca˜o Universal: a) O quociente do cubo do raio m´edio da ´orbita pelo quadrado do per´ıodo de revolu¸ca˜o ´e constante para qualquer planeta de um dado sistema solar; b) quadruplicando-se o raio m´edio da ´orbita de um sat´elite em torno da Terra, seu per´ıodo de revolu¸ca˜o fica 8 vezes maior; Se medimos P em anos (o per´ıodo orbital da Terra), e a em c) Quanto mais pr´oximo de uma estrela (menor raio m´edio unidades astronˆomicas (1 u.a. = distˆancia m´edia da Terra da ´orbita) gravita um planeta, menor ´e o seu per´ıodo de ao Sol), ent˜ ao K = 1, e podemos escrever a 3a lei como: revolu¸ca˜o; d) Sat´elites diferentes gravitando em torno da Terra, na P2 mesma ´orbita tˆem per´ıodos de revolu¸ca˜o iguais; =1 a3 e) Devido `a sua maior distˆancia do Sol (maior raio m´edio da ´orbita) o ano de Plut˜ao tem dura¸ca˜o menor que o da Terra. e podemos concluir que, para os planetas internos (a < 1 u.a.) o per´ıodo orbital (ano) ser´a menor do que o ano terrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o Exerc´ıcios Complementares per´ıodo ´e maior do que o terrestre. Pense um Pouco! • Se um novo planeta for descoberto a meia distˆancia entre o Sol e a Terra, qual o seu per´ıodo orbital. • Um sat´elite em ´orbita na Terra, passando pelo ponto mais pr´oximo da Terra, est´ a mais r´apido ou mais lento se comparado ao ponto em que est´ a mais afastado da Terra? 5. Com rela¸ca˜o `as leis de Kepler, podemos afirmar que: a) N˜ ao se aplicam ao estudo da gravita¸ca˜o da Lua em torno da Terra; b) s´o se aplicam ao nosso Sistema Solar; c) aplicam-se `a gravita¸ca˜o de quaisquer corpos em torno de uma grande massa central; d) contrariam a mecˆanica de Newton; e) n˜ ao prevˆeem a possibilidade da existˆencia de ´orbitas circulares. 32 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC 6. Considere dois sat´elites de massas ma e mb , sendo ma = 2mb , descrevendo a mesma ´ orbita em torno da Terra. Com rela¸ca˜o `a velocidade dos dois teremos: a) va > vb b) va < vb c) va = vb d) va = vb /2 e) n.r.a 7. Um planeta descreve uma ´ orbita el´ıptica em torno do Sol. O ponto A ´e o ponto da ´ orbita mais pr´oximo do Sol; o ponto B ´e o ponto mais distante. No ponto A: a) a velocidade de rota¸ca˜o do planeta ´e m´axima; b) a velocidade de transla¸ca˜o do planeta se anula; c) a velocidade de transla¸ca˜o do planeta ´e m´axima; d) a for¸ca gravitacional sobre o planeta se anula; e) n.r.a — www.mundofisico.joinville.udesc.br F21 F12 m2 m1 Figura 1: Duas part´ıculas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a um par de for¸cas F12 e F21 . Ap´os a formula¸ca˜o da lei da Gravita¸ca˜o, com o desenvolvimento do c´ alculo integral, Newton tamb´em mostrou que a for¸ca gravitacional entre esferas homogˆ eneas tamb´em segue a mesma forma estabelecida para as part´ıculas. E tamb´em vale a mesma for¸ca para uma part´ıcula e uma esfera homogˆenea. Esse resultado foi t˜ ao surpreendente para o pr´oprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou no que havia provado matematicamente! Gravita¸ c˜ ao Universal Aplicando-se a lei de gravita¸ca˜o para um corpo de massa m ao A lei da gravita¸ c˜ ao universal, proposta por Newton, foi na superf´ıcie da Terra, temos ent˜ um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a intera¸ca˜o MT m GMT entre massas, pois ´e capaz de explicar desde o mais simples F =G 2 = m = mg = P RT RT2 fenˆomeno, como a queda de um corpo pr´oximo ` a superf´ıcie da Terra, at´e, o mais complexo, como as for¸cas trocadas entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas ´orbitas onde RT e MT s˜ao o raio e a massa da Terra, respectivae os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao mente, e `a for¸ca obtida chamamos peso. observar a queda de uma ma¸ca, concebeu a id´eia que ela Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e seria causada pela atra¸ca˜o exercida pela terra. A natureza RT = 6, 37 × 106 m. A constante g que aparece acima ´e jusdesta for¸ca atrativa ´e a mesma que deve existir entre a Terra tamente a acelera¸ca˜o da gravidade na superf´ıcie da Terra. e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atra¸ca˜o Experimente calcular g com os dados fornecidos! entre as massas ´e, com certeza, um fenˆomeno universal. Gravita¸c˜ ao Aula 2 ˜ OBSERVAC ¸ OES Uma For¸ca Elementar Sejam duas part´ıculas de massas m1 e m2 , separadas por uma distˆancia r. Segundo Newton, a intensidade da for¸ca F de atra¸ca˜o entre as massas ´e dada por F =G m1 m2 r2 onde G ´e uma constante, a constante da gravita¸ca˜o universal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por G = 6, 67 × 10−11 N · m2 /kg 2 As for¸cas F12 e F21 ´e a da reta que une as part´ıculas, e o sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, com mesma intensidade de for¸ca, ou seja F12 = F21 Podemos, ainda, enunciar a lei da gravita¸ca˜o universal do seguinte modo: Dois corpos se atraem gravitacionalmente com for¸ca cuja intensidade ´e diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia entre seus centros de massa. 1. A for¸ca gravitacional ´e sempre de atra¸ca˜o; 2. A for¸ca gravitacional n˜ ao depende do meio onde os corpos se encontram imersos; 3. A constante da gravita¸ca˜o universal G teve seu valor determinado experimentalmente por Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balan¸ca de tor¸ca˜o e esferas de chumbo. Pense um Pouco! • Qual a dire¸ca˜o e o sentido da for¸ca de atra¸ca˜o gravitacional exercida pela Terra sobre os corpos que est˜ ao pr´oximos `a superf´ıcie? • A acelera¸ca˜o da gravidade na Lua ´e 6 vezes menor do que a acelera¸ca˜o da gravidade pr´oxima `a superf´ıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua? • O valor da acelera¸ca˜o da gravidade ´e relevante para os esportes? ˜ o – Aula 3 Gravitac ¸a 33 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao d) GM/v 2 e) GM m/v 2 1. Duas part´ıculas de massas respectivamente iguais a M e m est˜ ao no v´acuo, separadas por uma distˆancia d. A respeito das for¸cas de intera¸ca˜o gravitacional entre as part´ıculas, podemos afirmar que: a) tˆem intensidades inversamente proporcional a d; b) tˆem intensidades diretamente proporcional ao produto Mm; c) n˜ ao constituem entre si um par a¸ca˜o e rea¸ca˜o; d) podem ser atrativas ou repulsivas; e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar. 7. Sabe-se que no interior de uma nave em ´orbita circular em torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se n˜ ao tivesse peso. Esse fato ocorre porque: a) a nave est´ a fora do campo gravitacional da Terra; b) h´ a ausˆencia de atmosfera; c) a atra¸ca˜o exercida pela Lua ´e maior do que a atra¸ca˜o exercida pela Terra; d) ambos, astronauta e nave, est˜ ao em queda livre no seu movimento circular; e) h´ a uma redu¸ca˜o na massa dos corpos. 2. A raz˜ ao entre os diˆametros dos planetas Marte e Terra ´e 1/2 e entre as respectivas massas ´e 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte ser´a de: a) 160 N Peso b) 80 N c) 60 N O peso de um corpo ´e a for¸ca de atra¸ca˜o exercida pela terra d) 32 N sobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que ´e e) 64 N atra´ıdo pela Terra. 3. Uma menina pesa 400 N na superf´ıcie da Terra, onde se adota g = 10m/s2 . Se a menina fosse transportada at´e uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu peso seriam, respectivamente: a) 40 kg e 100 N b) 40 kg e 200 N c) 40 kg e 400 N d) 20 kg e 200 N e) 10 kg e 100 N Gravita¸c˜ ao Aula 3 4. Um corpo ´e colocado na superf´ıcie terrestre ´e atra´ıdo por esta com uma for¸ca F . O mesmo corpo colocado na superf´ıcie de um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezes menor ser´a atra´ıdo pelo planeta com uma for¸ca cujo m´odulo ´e: Figura 1: Paraquedista. a) 4F b) 2F Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livre c) F perto da superf´ıcie da Terra. d) F/2 e) F/4 Peso e Massa Exerc´ıcios Complementares Se o corpo cai em queda livre ele possui acelera¸ca˜o ~a igual `a da gravidade ~g . Desta forma, podemos usar o princ´ıpio fundamental da Dinˆ amica (2a Lei de Newton) para obter a 5. Se a massa da Terra n˜ ao se alterasse, mas o seu raio fosse for¸ca que age sobre esse corpo. Esta for¸ca ´e chamada de reduzido `a metade, o nosso peso seria: for¸ca peso P~ e ´e dada por: a) reduzido `a quarta parte b) reduzido `a metade c) o mesmo d) dobrado e) quadruplicado P~ = m~g Essa express˜ao mostra que o peso do corpo ´e diretamente proporcional `a sua massa: quanto maior a massa, maior o 6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em ´orbita peso. Entretanto massa e peso s˜ao conceitos inteiramente circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a diferentes. Massa ´e uma propriedade intr´ınseca do corpo, constante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da isto ´e, depende apenas do pr´oprio corpo, enquanto peso ´e a for¸ca de atra¸ca˜o gravitacional que atua sobre ele, variando trajet´oria descrita pelo corpo ser´a: de acordo com o valor da acelera¸ca˜o da gravidade. Por isso a) G/M v 2 o peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, ´e sempre b) G/mv 2 a mesma em qualquer lugar do universo. c) Gm/v 2 34 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Peso e Gravita¸c˜ ao O peso de um corpo ´e uma grandeza vetorial que tem dire¸ca˜o vertical e sentido para o centro da Terra. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Pense um Pouco! • Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos mais altos do que na Terra? A for¸ca peso ´e uma for¸ca que atua ` a distˆancia. Por isso, dizemos que em torno da Terra h´ a uma regi˜ ao chamada campo gravitacional, na qual todos os corpos sofrem sua • Quando algu´em diz que “pesa”75 kg o que isso quer influˆencia. dizer? Estando sob a a¸ca˜o deste campo, os corpos s˜ao atra´ıdos por essa for¸ca peso e sofrem varia¸co˜es de velocidade, uma vez • Quando uma pessoa salta em queda-livre o que aconque adquirem acelera¸ca˜o. tece com o seu peso? Como a acelera¸ca˜o da gravidade num ponto ´e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia desse ponto ao centro da Terra, e como os pontos de sua superf´ıcie n˜ ao est˜ ao `a mesma distˆancia ao centro da terra, conclu´ımos que no topo Exerc´ ıcios de Aplica¸ c˜ ao de uma montanha um corpo pesar´ a menos do que ao n´ıvel ´ importante lembrar que existem varia¸co˜es que do mar. E v˜ao desde 393 m abaixo do n´ıvel do mar (Mar morto), a 1. Na superf´ıcie da Terra a acelera¸ca˜o da gravidade vale 8.848 m acima do n´ıvel do mar (Monte Everest). 9, 8 m/s2 e, na superf´ıcie da Lua, 1, 6 m/s2 . Para um corpo Como a Terra ´e achatada nos p´ olos, um homem pesar´a mais de massa igual a 4 kg, calcule: no P´ olo Norte que no Equador. a) o peso na superf´ıcie da Terra. Em torno de qualquer planeta ou sat´elite existe um campo b) o peso na superf´ıcie da Lua. gravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo em J´ upiter, Saturno ou Marte, por exemplo. 2. Peso e massa s˜ao a mesma coisa? quando vocˆe sobe numa balan¸ca de uma farm´acia e permanece em repouso sobre ela, por exemplo, vocˆe esta medindo sua massa ou seu peso? Exerc´ıcios Complementares Figura 2: J´ upiter e alguns de seus sat´elites naturais. Unidades SI 3. (MACK - SP) Uma das observa¸co˜es cient´ıficas mais interessantes, noticiada pelas emissoras de TV, foi a do astronauta russo que, a bordo da esta¸ca˜o espacial MIR, borrifou leite l´ıquido contido numa embalagem tradicional e, este, sob a falta de gravidade, adentrou a boca do cientista como uma “bola flutuante”. Considerando totalmente desprez´ıvel a gravidade no local dessa experiˆencia, duas “bolas”de leite de massas respectivamente iguais a m e 2m ter˜ ao seus pesos: a) iguais a zero b) na propor¸ca˜o PA /PB = 1/3 c) na propor¸ca˜o PA /PB = 1/2 d) na propor¸ca˜o PA /PB = 2 e) na propor¸ca˜o PA /PB = 3 A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) ´e o newton ou N . Outra unidade, muito utilizada na ind´ ustria, ´e o quilograma-for¸ca ou kgf . 4. (UFSM - RS) Uma for¸ca F de m´odulo igual a 20 N ´e aplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em re1 kgf ´ e o peso de um corpo de 1 kg de massa pouso sobre uma superf´ıcie horizontal. O m´odulo (em N ) num local em que a acelera¸ c˜ ao da gravidade da for¸ca normal sobre o corpo, considerando o m´odulo da ´ e igual a 9, 8 m/s2 . acelera¸ca˜o gravitacional como 10 m/s2 ´e: a) 120 Podemos relacionar newton e quilograma-for¸ca: b) 100 c) 90 P = mg → 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2 d) 80 e) 0 1 kgf = 9, 8 kg · m/s2 5. Durante uma brincadeira, B´arbara arremessa uma bola de vˆolei verticalmente para cima, como mostrado nesta fi1 kgf = 9, 8 N gura: ˜ o – Aula 4 Gravitac ¸a 35 centro de gravidade de um corpo ´ e o ponto de aplica¸ c˜ ao da for¸ ca peso A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse localizada no centro de gravidade. Para corpos homogˆeneos, isto ´e, de massa uniformemente distribu´ıda, que admitem um eixo de simetria, seus centros de gravidade est˜ ao sobre esse eixo. Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s) for¸ca(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de sua trajet´oria. a) b) c) d) Nenhuma força atua sobre a bola neste ponto 6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padr˜ ao for transportado de Paris, onde a acelera¸ca˜o da gravidade vale g (valor normal), para uma altitude onde a acelera¸ca˜o da gravidade vale G, pergunta-se: a) o peso do quilograma padr˜ ao vai se modificar? b) havendo modifica¸ca˜o, qual o seu novo peso? c) qual ser´a a massa do corpo no novo local? G G G P P P Se o corpo tiver forma irregular e n˜ ao for homogˆeneo, utilizase a regra pr´atica explicada abaixo. Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qualquer e, quando ele estiver em repouso, tra¸ca-se um vertical sobre o ponto em que ele est´ a suspenso. Como o objeto est´ a em equil´ıbrio, seu peso e a for¸ca exercida sobre ele pelo suporte que o sustenta tˆem mesmo m´odulo, mesma dire¸ca˜o e sentidos opostos. Logo, a dire¸ca˜o da reta que cont´em o centro de gravidade ´e essa vertical. Agora pendura-se o objeto por outro ponto e tra¸ca-se uma nova vertical; a intersec¸ca˜o dessa vertical com a anterior determina o centro de gravidade (CG). T T CG CG P P 7. A acelera¸ca˜o da gravidade na superf´ıcie de J´ upiter ´e de 30 m/s2 . Qual a massa de um corpo que na superf´ıcie de J´ upiter pesa 120 N ?. Gravita¸c˜ ao Aula 4 Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a defini¸ca˜o de ponto material e corpo extenso. Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando de Joinville `a Blumenau. O comprimento do carro ´e muito peCentro de Gravidade queno se comparado com a distˆancia Jvlle - Bnu, ≃ 90 km, e suas dimens˜oes, ent˜ ao, n˜ ao precisar˜ao ser consideradas Os corpos materiais podem ser considerados como um sisao analisarmos o seu movimento. Em situa¸co˜es como essa, tema de part´ıculas, cada uma das quais atra´ıda pela Terra nas quais o objeto apresenta dimens˜oes consideradas descom uma for¸ca igual ao peso da part´ıcula. prez´ıveis, diante do fenˆomeno observado, podemos consider´ a-lo como um ponto material. P1 P2 P3 P4 G P No caso do movimento de um ˆonibus, de 20 m de comprimento, deslocando-se entre duas paradas (pontos) distantes entre si 500 m, por exemplo, ´e necess´ario que levemos em conta as suas dimens˜oes ao analisarmos alguns aspectos do seu movimento. E ele estar´ a se comportando como um corpo extenso. A resultante de todas essas for¸cas parciais ´e o peso total do Equil´ ıbrio de um Ponto Material corpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicado todo o peso do corpo. O ponto G ´e denominado centro de Um ponto material pode estar em equil´ıbrio est´ atico ou gravidade do corpo. Resumindo, temos: dinˆ amico. No equil´ıbrio est´ atico, o ponto material est´ a em 36 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Figura 1: Situa¸ca ˜o de equil´ıbrio. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Consideramos que o eixo de rota¸ca˜o ´e o que cont´em as dobradi¸cas. Analisando os casos anteriores, notamos que h´ a uma rela¸c˜ao entre a for¸ca aplicada e a distˆancia do ponto de aplica¸ca˜o dessa for¸ca at´e o eixo de rota¸ca˜o. A grandeza f´ısica que relaciona essas duas grandezas ´e chamada momento de uma for¸ca ou torque. repouso (~v = 0). No equil´ıbrio dinˆ amico o ponto material est´ a em movimento retil´ıneo uniforme (~v = constante 6= 0). Analisando os dois tipos de equil´ıbrio, notas uma semelhan¸ca: em ambos a acelera¸ca˜o ´e nula (~a = 0). Utilizando a Segunda Lei de Newton, temos F~R F~R F~R = = = O momento de uma for¸ ca ´ e a capacidade dessa for¸ ca em fazer girar um objeto. Para definirmos a grandeza momento, consideremos uma for¸ca F~ e um ponto O, chamado p´ olo. d m · ~a m·0 0 O Assim, conclu´ımos que F Para que um ponto material esteja em equil´ıbrio ´ e necess´ ario e suficiente que a resultante de todas as for¸ cas que nele agem seja nula. O momento da for¸ca F~ em rela¸ca˜o ao ponto O ´e dado por: ~ F,O = F~ d M Unidade SI Momento de uma For¸ca Considere uma pessoas tentando girar uma porca com uma chave. F Centro O F B A A unidade de momento n˜ ao tem nome espec´ıfico. Ela ´e dada pelo produto da unidade da for¸ca, em newtons, pela unidade de distˆancia, em metro. Portanto a unidade de momento ´e newton · metro, ou N · m. Observa¸ c˜ ao Sabemos que o produto N · m ´e chamado de joule J. Entretanto, o joule n˜ ao ´e uma unidade utilizada para medir o momento de uma for¸ca, porque momento ´e uma grandeza de natureza diferente de trabalho e energia. Dire¸ c˜ ao e Sentido O momento ou torque de uma for¸ca ´e uma grandeza vetorial. A partir do sentido de rota¸ca˜o (hor´ario ou anti-hor´ario) que uma ou mais for¸cas tendem a produzir, podemos determinar a dire¸ca˜o e o sentido do torque. Por exemplo, um saca-rolhas, ao girar, produz efeitos contr´arios: no sentido hor´ ario, entra na rolha (avan¸ca verticalmente para baixo); no sentido anti-hor´ario, sai dela (retorna verticalmente para O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Se cima). O sentido do deslocamento do saca-rolhas coincide ~ F,O ), e sua dire¸ca˜o est´ a exercemos a for¸ca em A a facilidade ´e maior do que se exer- com o sentido do vetor momento (M sempre paralela ao eixo de rota¸ca˜o. cermos a for¸ca em B. Utilizando for¸cas de mesmo valor, ser´a mais f´ acil girar a porca em torno de seu centro O se a for¸ca aplicada no ponto A, ao inv´es de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for a distˆ ancia do ponto de aplica¸ca˜o da for¸ca at´e o centro O da porca, maior vai ser a facilidade de girarmos a porca usando a chave. ˜ o – Aula 4 Gravitac ¸a Outra maneira pr´atica de determinar a dire¸ca˜o e o sentido do vetor torque ´e utilizar a regra da m˜ ao direita. Os quatro dedos dessa m˜ao devem acompanhar o sentido da rota¸ca˜o do objeto. O polegar indicar´ a a dire¸ca˜o e o sentido do vetor momento. O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a seguinte convers˜ao: rota¸ca˜o no sentido anti-hor´ario → momento positivo rota¸ca˜o no sentido hor´ ario → momento negativo 37 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Uma lumin´ aria cujo peso ´e 100 N est´ a suspensa por dois fios leves, AC e BC, conforme indica a figura. 111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 o o A τ B 30 60 C Determine a for¸ca de tra¸ca˜o em cada fio. eixo de rotaçao Figura 2: Regra da m˜ ao direita: o vetor indica o sentido do momento. A dire¸ca ˜o ´e sempre paralela ao eixo de rota¸ca ˜o do objeto. 2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se em repouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra a figura. Considerando as polias e os fios ideais e tomando g = 10 m/s2 : a) mostre em um diagrama todas as for¸cas que agem no bloco A. 1111111111111 0000000000000 B A Equil´ıbrio de um Corpo Extenso As condi¸co˜es necess´arias e suficientes para que um corpo se mantenha em equil´ıbrio s˜ao: 1. A resultante de todas as for¸ cas que nele agem seja nula. 2. A soma alg´ ebrica dos momentos de todas as for¸ cas que nele atuam, em rela¸ c˜ ao ao mesmo ponto, seja nula. Pense um Pouco! Como vocˆe explicaria a situa¸ca˜o abaixo? 60 o C 1111111111111 0000000000000 Sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema ´e 2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B. Exerc´ıcios Complementares 3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, est´ a sobre uma t´ abua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do apoio A, conforme indica a figura. Desprezando os pesos da t´ abua e da vara de pescar e considerando g = 10 m/s2 , determine a intensidade das rea¸co˜es nos apoios A e B. 38 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br ´ Otica A Luz O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela F´ısica elementar, uma vez que a luz ´e uma onda eletromagn´etica. Desta forma, pode-se ent˜ ao exemplificar as ondas eletromagn´eticas de maior importˆ ancia nas pesquisas e nas aplica¸co˜es pr´aticas, em fun¸ca˜o do comprimento de onda (propriedade que fornece uma das principais caracter´ısticas 4. (UFMT) A barra xy ´e homogˆenea, de 100 kg de massa, da onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas e est´ a apoiada em suas extremidades, suportando as massas (faixa de 1 at´e 400 mm), o espectro de luz vis´ıvel (faixa de de 50 kg e 150 kg, como na figura. calcule as rea¸co˜es dos 400 at´e 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm at´e 1 mm) e faixas de radiofrequˆencia que variam de 20 cm apoios. (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2 ). at´e 105 m. Todas as ondas eletromagn´eticas se propagam no v´acuo com a mesma velocidade c com o valor de 3, 0 × 108 m/s (velocidade da luz). 3,0 m 0,5 m 0,5 m Reflex˜ ao da Luz 50 kg 150 kg 5. Calcule o momento de cada uma das for¸cas indicadas na figura, em rela¸ca˜o ao ponto O. Dados: F1 = 20 N , F2 = 30 N e F3 = 40 N Quando a luz atinge uma superf´ıcie separadora S de dois meios de propaga¸ca˜o (A e B), ela sofrer´a reflex˜ ao se retornar ao meio no qual estava se propagando. A quantidade de luz refletida depende do material que ´e feita a superf´ıcie S, do seu polimento entre outros fatores. Tipos de Reflex˜ ao Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma superf´ıcie. Ocorrer´a reflex˜ ao especular ou regular se os raios refletidos forem tamb´em paralelos entre si. Em caso contr´ario, a reflex˜ ao ´e chamada difusa ou irregular. A reflex˜ ao regular ser´a predominante quando a superf´ıcie refletora for plana e bem polida como, por exemplo, um espelho. A reflex˜ ao difusa ocorre em superf´ıcies irregulares e porosas. ´ a difus˜ao (ou espalhamento) da luz, pelo pr´oprio ar, pela E 6. A barra AB da figura tem peso desprez´ıvel. Sabendo que poeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambiente F1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultante iluminado. dessas for¸cas em rela¸ca˜o aos pontos: a) A b) B Leis da Reflex˜ ao c) C 1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz refletido e a reta normal `a superf´ıcie pelo ponto de incidˆencia da luz est˜ ao num mesmo plano (coplanares). Temos: RI = Raio Incidente; RR = Raio Refletido; N = Reta Normal; i = ˆangulo de incidˆencia; r = ˆangulo de reflex˜ ao. 2a Lei: O ˆangulo de incidˆencia ´e igual ao ˆangulo de reflex˜ ao. ´ Otica Aula 1 i=r ´ Otica – Aula 1 39 atr´ as do espelho (virtual). Logo, o objeto e a imagem s˜ao de naturezas opostas. N θ raio incidente i θ raio refletido 4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem possuem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento relativo ao espelho, possuir˜ao iguais velocidades. r Campo Visual superfície refletora plana Campo Visual de um espelho plano ´e a regi˜ao do espa¸co que pode ser vista por um observador atrav´es de um espelho. Para determinarmos o campo visual, basta tomar o ponto O′ , sim´etrico de O, e uni-lo `as extremidades do espelho plano E. Veja a figura. [fig:ot013] Figura 1: Reflex˜ ao Planar. Espelho Plano O O’ Espelho plano ´e a superf´ıcie plana polida onde ocorre predominantemente a reflex˜ ao da luz. Forma¸ c˜ ao de Imagens nos Espelhos Planos campo visual Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um espelho plano enviando luz em todas as dire¸co˜es, conforme indica a figura. E espelho plano Figura 3: eixo otico objeto real imagem virtual Pense um Pouco! o i 1. Por que n˜ ao enxergamos no escuro? 2. Para que serve o espelho retrovisor dos carros? Figura 2: Forma¸ca ˜o de imagens em um espelho plano. Repare que a parte de tr´ as do espelho (` a direita neste exemplo) ´e marcada pelas hachuras. A imagem encontrada ´e fruto do prolongamento dos raios refletidos, isso caracteriza uma imagem virtual. Propriedades dos Espelhos Planos 3. Por que as ambulˆancias geralmente trazem escrito na frente ? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. A estrela Vega est´ a situada a cerca de 26 anos-luz (ano luz ´e a distˆancia que a luz percorre em 1 ano) da Terra. Determine a ordem de grandeza da distˆancia de Vega at´e a Terra, em metros. 1. Se chamarmos de x ` a distˆancia do objeto ao espelho, a distˆancia entre o espelho e a imagem ser´a tamb´em x. Isto significa que o objeto e a imagem s˜ao sim´etricos 2. Um observador nota que um edif´ıcio projeta no solo uma em rela¸ca˜o ao espelho. sombra de 30 m de comprimento, no instante em que um 2. As imagens formadas num espelho plano s˜ao enanti- muro de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm. omorfas, ou seja, existe uma invers˜ao ”direita para a Determine a altura do edif´ıcio. esquerda”, mas n˜ ao de ”baixo para cima”. Assim a imagem especular da m˜ao esquerda ´e a m˜ao direita, 3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme, incide sobre um disco de 10 cm de diˆametro. Sabendo que mas a imagem dos p´es n˜ ao est´ a na cabe¸ca. a distˆancia da fonte ao disco ´e 1/3 da distˆancia deste ao 3. Ainda pelas figuras anteriores, percebe-se que um ob- anteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparo jeto localizado na frente do espelho (real) nos fornece s˜ao paralelos, determine o raio da sombra projetada sobre uma imagem que nos d´ a a impress˜ao de estar situada o anteparo. 40 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios Complementares 4. Considere um raio luminoso incidindo num espelho plano. Determine o ˆangulo formado entre o raio incidente e o espelho, sabendo que o ˆ angulo formado entre o raio incidente e o raio refletido ´e igual a 700 . — www.mundofisico.joinville.udesc.br Côncavo N θi θr Convexo eixo ótico C F θi θr V V F C N 5. Um rapaz est´ a sentado na cadeira de uma barbearia de frente para um espelho plano, tendo atr´ as de si o barbeiro em p´e. A distˆancia entre o rapaz e o espelho ´e D e entre o rapaz e o barbeiro ´e d. Qual ´e a distˆancia x (horizontal) Figura 2: Espelhos cˆ oncavo (` a esquerda) e Convexo entre o rapaz e a imagem do barbeiro ? (direita). 6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ficou completamente desconcertada quando, ao chegar em frente do espelho de seu arm´ario, vestindo uma blusa onde havia seu nome escrito, viu a imagem de seu nome refletida, desenhe essa imagem? ´ Otica Aula 2 Espelhos Esf´ ericos Os espelhos esf´ericos s˜ao superf´ıcies refletoras que tem forma de uma calota esf´erica. Calota Esferica Condi¸c˜ oes de Nitidez de Gauss • Os raios de luz devem ser pouco inclinados em rela¸ca˜o ao eixo ´optico principal; • os raios de luz devem incidir pr´oximos ao v´ertice do espelho; A partir de agora estaremos, apenas considerando os espelhos esf´ericos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem as condi¸co˜es de Gauss. Raios Not´ aveis de Luz Os Raios Not´ aveis n˜ ao s˜ao os u ´ nicos que ocorrem num sistema ´optico, mas como o pr´oprio nome diz, eles se destacam dos outros pela facilidade de tra¸ca´-los. Nosso objetivo ser´a desenhar pelo menos dois deles em cada situa¸ca˜o. Vejamos quais s˜ao estes raios: 1. Todo raio que incide numa dire¸ c˜ ao que passa pelo centro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo. V C eixo ótico C F V V (a) Figura 1: Calota esf´erica. Temos dois tipos de espelho esf´erico: Cˆ oncavo: a superf´ıcie refletora ´e interna. Convexo: a superf´ıcie refletora ´e externa. Esquematicamente: Temos: R = Raio de Curvatura; F = Foco do Espelho (ponto m´edio do eixo principal no trecho entre o V´ertice e o Centro); C = Centro; V = V´ertice; A = reta que passa por C e V ´e o eixo ´ optico principal. F C (b) Figura 3: Raio not´ avel passando pelo centro de curvatura C de um espelho esf´ericos cˆ oncavo (a) e convexo (b). 2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal reflete-se numa dire¸ c˜ ao que passa pelo foco principal do espelho. 3. Todo raio que incide numa dire¸ c˜ ao que passa pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo principal. Importante • O foco F do espelho cˆ oncavo ´e Real; • O foco F do espelho convexo ´e virtual. ´ Otica – Aula 2 41 eixo ótico C F V V F C eixo ótico C (a) F V (b) Figura 4: Raio not´ avel incidindo paralelo ao eixo principal de um espelho esf´ericos cˆ oncavo (a) e convexo (b). Figura 7: Objeto sobre o centro de curvatura C. eixo ótico C F V V F C eixo ótico (a) C (b) F V Figura 5: Raio not´ avel passando pelo foco F de um espelho esf´ericos cˆ oncavo (a) e convexo (b). Figura 8: Objeto entre o centro de curvatura C e o foco F . Forma¸c˜ ao de Imagens Para formarmos imagens, basta tra¸carmos dois raios quaisquer de luz entre os not´ aveis que acabamos de aprender. Usaremos a nota¸ca˜o i e O significando, respectivamente, a (4) Objeto situado sobre o foco F : medida da imagem e do objeto. Espelho Cˆ oncavo eixo ótico (1) Objeto situado antes do centro de curvatura C: C F V eixo ótico C F Figura 9: Objeto sobre o foco F . V Imagem: Impr´ opria. (5) Objeto situado entre o foco F e o v´ertice: Imagem:Virtual, Direita e Maior. Figura 6: Objeto antes do centro de curvatura C. Imagem: Real, Invertida e Menor. Espelho Convexo Neste caso temos apenas um caso: Imagem:Virtual, Direita e Menor. (2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C: Imagem: Real, Invertida e Igual. (3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F: Imagem: Real, Invertida e Maior. Observa¸ c˜ ao O espelho convexo ´e usado como espelho retrovisor de motocicletas e em portas de garagens devido ao maior campo visual que oferece. Conclus˜ oes: 42 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Conven¸ c˜ ao de Sinais Objeto Imagem Espelho h∗ C F V eixo ótico Real p > 0 Real p′ > 0 Cˆonc. R > 0 f >0 Direita i > 0 Virtual p < 0 Virtual p′ < 0 Conv. R < 0 f <0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0. Pense um Pouco! 1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores do que somos? Por quˆe? Figura 10: Objeto entre o foco F e o V´ertice. 2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que s˜ao espelhos esf´ericos. 3. Por que os caminh˜oes e ˆonibus usam um pequeno espelho convexo colado no canto do retrovisor plano? V F eixo ótico C Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Um objeto real de altura 5 cm est´ a a 3 m diante de um espelho esf´erico cˆ oncavo, de distˆancia focal 1 m. a) Determine, graficamente, as caracter´ısticas da imagem. b) Determine, analiticamente, a posi¸ca˜o e o tamanho da imagem. 2. Diante de um espelho esf´erico convexo, de raio de curvatura de 60 cm, ´e colocado, perpendicularmente ao eixo principal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto dista 40 cm do espelho. Determine: • Uma imagem real est´ a localizada na frente do espelho a) a posi¸ca˜o da imagem; e poder´ a ser projetada sobre um anteparo (uma tela) b) o tamanho da imagem. colocada na posi¸ca˜o em que ela se forma, pois ´e cons3. Mediante a utiliza¸ca˜o de um espelho esf´erico cˆ oncavo, de titu´ıda pela intersec¸ca˜o dos pr´oprios raios de luz; distˆancia focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo • Uma imagem virtual est´ a localizada atr´ as do espelho uma imagem trˆes vezes maior que o objeto. Determine: e, embora possa ser visualizada, n˜ ao ´e constitu´ıda por a) a posi¸ca˜o do objeto; luz e, sim pelos prolongamentos dos raios. b) a posi¸ca˜o da imagem. Figura 11: Espelho convexo. Determina¸c˜ ao Anal´ıtica da Imagem Exerc´ıcios Complementares Agora procuraremos expressar de forma matem´atica algumas express˜oes que nos permita determinar a posi¸ca˜o e o 4. Um espelho esf´erico fornece, de um objeto real, uma imatamanho da imagem. gem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo Equa¸ c˜ ao Conjugada de Gauss que a distˆancia do objeto ao espelho ´e de 60 cm, determine: a) a posi¸ca˜o da imagem; 1 1 1 = + ′ b) a distˆancia focal do espelho. f p p 5. Deseja-se obter a imagem de uma lˆampada, ampliada Temos que a distˆancia focal f ´e dada por: 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distˆancia. Quais as caracter´ısticas e a posi¸ca˜o do espelho esf´erico que f = R2 se pode utilizar ? Ele dever´a ser: a) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lˆampada; b) cˆ oncavo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lˆampada; Aumento Linear Transversal c) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lˆampada; Por defini¸ca˜o, o aumento linear transversal A ´e a raz˜ ao entre d) cˆ oncavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lˆampada; a altura da imagem i e a altura do objeto o. e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lˆampada; A= i P′ = O P 6. Mediante a utiliza¸ca˜o de um espelho esf´erico cˆ oncavo, de distˆancia focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo ´ Otica – Aula 3 43 uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine: a) a posi¸ca˜o do objeto; b) a posi¸ca˜o da imagem. ´ Otica Aula 3 Refra¸ c˜ ao da Luz Dioptro Plano Os dois meios de propaga¸ca˜o, A e B, e a superf´ıcie de separa¸ca˜o S constituem o que chamamos de DIOPTRO. Nos dioptros reais, o fenˆomeno da refra¸ca˜o ´e acompanhado pela reflex˜ ao da luz. Assim, o raio de luz incidente na superf´ıcie S divide-se em dois raios, um refratado e outro refletido. raio incidente A velocidade de uma dada luz monocrom´ atica assume valores diferentes em diferentes meios de propaga¸ca˜o tais como: v´acuo, ar, ´agua, vidro, etc. A luz sofre refra¸ca˜o quando passa de um meio para outro, modificando sua velocidade. Em geral, a refra¸ca˜o ´e acompanhada por um desvio na trajet´oria da luz, consequˆencia da mudan¸ca de velocidade. O u ´ nico caso de refra¸ca˜o no qual a luz n˜ ao sofre desvio ´e quando incide perpendicularmente a` superf´ıcie de separa¸ca˜o dos meios S. raio refletido N meio A S meio B raio refratado N Figura 3: Todos os raios luminosos presentes na refra¸ca ˜o. meio A S meio B ´ importante tamb´em dizer que ocorre em S o fenˆomeno da E absor¸ca˜o da luz, onde parcela da energia luminosa ´e transformada em energia t´ermica, por exemplo. No dioptro ideal s´ o ocorre refra¸ c˜ ao da luz. ´Indice de Refra¸c˜ ao Absoluto Figura 1: Refra¸ca ˜o da luz, com desvio de sua trajet´ oria. Seja c a velocidade da luz no v´acuo e v a velocidade da luz em um meio qualquer, definimos ´ındice de refra¸ca˜o absoluto n de um meio a raz˜ ao entre as velocidades da luz no v´acuo e no meio considerado: n= c v O ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do v´acuo ´e naturalmente igual a 1 (v = c). Como a velocidade da luz no v´acuo ´e uma velocidade limite, em qualquer outro meio ela ser´a inferior: v < c =⇒ n > 1 meio A S meio B Conclus˜ oes 1. O ´ındice de refra¸ca˜o absoluto de qualquer meio material ´e sempre maior que 1; 2. Quanto maior for o ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do meio, menor ´e a velocidade da luz nesse meio. ´Indice de Refra¸c˜ ao Relativo Figura 2: Raio entrando perpendicular a superf´ıcie S, Se n e n s˜ao, respectivamente, os ´ındices de refra¸ca˜o abA B sem desvio de sua trajet´ oria. solutos dos meios A e B para uma dada luz monocrom´ atica, ent˜ ao definimos o ´ındice de refra¸ca˜o relativo do meio A em 44 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC rela¸ca˜o ao meio B, nA,B como sendo a raz˜ ao dos ´ındices de refra¸ca˜o absolutos do meio A e B: nA,B nA = nB Leis de Refra¸c˜ ao Considerando um raio de luz monocrom´ atico incidente numa superf´ıcie separadora de dois meios de propaga¸ca˜o e o correspondente raio de luz refratado. Tracemos a reta normal `a superf´ıcie pelo ponto de incidˆencia da luz. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Podemos concluir que: – Quando a luz passa de um meio menos refringente (menor ´ındice de refra¸ca˜o) para um meio mais refringente (maior ´ındice de refra¸ca˜o), o raio de luz se aproxima da normal e a velocidade de propaga¸ca˜o diminui. – Reciprocamente, quando a luz passa de um meio mais refringente para um meio menos refringente, o raio de luz se afasta da normal e a velocidade de propaga¸ca˜o da luz aumenta. θi θi N N meio A θi S N meio B meio C S θr meio A S meio D θr Figura 5: Aproxima¸ca ˜o e afastamento da normal. meio B 0.0.1 θr Pense um pouco! 1. Se vocˆe vˆe um peixe sob a superf´ıcie da ´agua e tenta acert´ a-lo com uma flecha, mirando a imagem do peixe, provavelmente n˜ ao ir´ a captur´ a-lo. Explique. 2. As lentes utilizam a refra¸ca˜o da luz? Como? Figura 4: Raio entrando perpendicular a superf´ıcie S, sem desvio em sua trajet´ oria. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao RI = Raio Incidente; RR = Raio Refratado; N = Reta Normal; i=ˆ angulo de incidˆencia; r=ˆ angulo de refra¸ca˜o. 1. Passando do v´acuo para o interior de um certo meio transparente, o valor da velocidade de propaga¸ca˜o de uma luz monocrom´ atica diminui de 20%. Determine o ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do meio para essa luz monocrom´ atica. As Leis 2. A velocidade de propaga¸ca˜o da luz em certo l´ıquido mede 1/2 da velocidade de propaga¸ca˜o da luz no v´acuo. Determine o ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do l´ıquido. • 1a Lei: O raio de luz incidente RI, a reta normal N e o raio de luz refratado RR est˜ ao situados num mesmo ´ importante notar que plano, ou seja, s˜ao coplanares. E os raios de luz incidente e refratado ficam em lados opostos em rela¸ca˜o ` a reta normal; ´ constante a • 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: “E rela¸ca˜o entre os senos dos ˆ angulos de incidˆencia e refra¸ca˜o”. Podemos escrever que: sen(i) = constante sen(r) e essa constante ´e o ´ındice de refra¸ca˜o relativo do meio B em rela¸ca˜o ao meio A, assim: nA sen(i) = sen(r) nB ou: Lei de Snell-Descartes nA sen(i) = nB sen(r) 3. O ´ındice de refra¸ca˜o absoluto da ´agua ´e 4/3 e o vidro ´e 3/2. Determine: a) o ´ındice de refra¸ca˜o da ´agua em rela¸ca˜o ao vidro; b) a rela¸ca˜o entre a velocidade de propaga¸ca˜o da luz no vidro e a velocidade de propaga¸ca˜o da luz na ´agua; c) comente os resultados obtidos. Exerc´ıcios Complementares 4. Sob um ˆangulo de incidˆencia de 60◦ , faz-se incidir sobre uma superf´ıcie de um material transparente um raio de luz monocrom´ atica. Observa-se que o raio refratado ´e perpendicular ao raio refletido. Qual o ´ındice de refra¸ca˜o do material ? (O 1o meio onde a luz se propaga ´e o ar) 5. Um observador, quando colocado numa posi¸ca˜o adequada, pode no m´aximo ver o canto do recipiente, como representado na figura abaixo. Enchendo o recipiente com um l´ıquido, o observador passa a ver a moeda que est´ a colocada no centro: ´ Otica – Aula 4 45 C1 e C2 = Centros de Curvatura; R1 e R2 = Raios de Curvatura; V1 e V2 = V´ertices; e = espessura da lente; e.p. = eixo ´optico principal. 1m 1m Observa¸ c˜ ao √ Qual o ´ındice de refra¸ca˜o do l´ıquido? dado sen(45◦ ) = 2/2 Uma lente ´e delgada quando a sua espessura e for desprez´ıvel 6. Um raio de luz monocrom´ atica passa de um meio A para em rela¸ca˜o aos raios de curvatura, ou seja, quando e << R. um meio B. Veja a figura e responda: a) Qual ´e o meio mais refringente ? Justifique. b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justifique. Classifica¸c˜ ao das Lentes Podemos classificar as lentes quanto a dois aspectos: tipos de faces e comportamento ´optico. A B Quanto ` as faces ´ Otica Aula 4 BORDOS FINOS Lentes Esf´ ericas As lentes esf´ericas constituem sistemas ´ opticos de amplas aplica¸co˜es na atualidade. Elas desempenham um papel um papel important´ıssimo, desde os sofisticados LASERS at´e os mais simples pares de ´ oculos. Podemos defini-las como sendo um meio transparente e homogˆeneo, limitado por duas superf´ıcies curvas, ou por uma curva e outra plana. A lente ser´a denominada esf´erica, quando pelo menos uma de suas faces for esf´erica. biconvexa plano−convexa concavo−convexa BORDOS GROSSOS Elementos Geom´ etricos biconcava plano−concava convexo−concava Vejamos os principais elementos geom´etricos de uma lente esf´erica: Figura 2: Classifica¸ca ˜o de uma lente esf´erica quanto a `s suas faces. R2 R1 Observa¸ c˜ ao e. p. C1 V2 e V1 C2 Os nomes das lentes segue a conven¸ca˜o de que devemos citar em primeiro lugar a face de maior raio de curvatura. ´ Quanto ao Comportamento Optico Figura 1: Elementos geom´etricos de uma lente esf´erica. Temos: Nessas figuras consideramos que as lentes s˜ao de vidro e est˜ ao imersas no ar (nvidro ¿ na r), que ´e o caso mais comum na pr´atica. Nessas condi¸co˜es, as lentes de bordas finas s˜ ao convergentes e as lentes de bordas grossas s˜ ao divergentes. 46 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Lente Convergente — www.mundofisico.joinville.udesc.br Esquema F Lente Divergente F Esquema Figura 5: Lente divergente. F F Figura 3: Classifica¸ca ˜o de uma lente esf´erica quanto ao seu comportamento o ´ptico. Tipos de Foco Vamos considerar neste estudo, lentes delgadas e raios de luz dentro das condi¸co˜es de Gauss, como vimos no estudo de espelhos esf´ericos. Figura 6: Lente convergente. Observa¸ c˜ ao Na lente convergente o foco ´ e real, na Lente divergente Foco Imagem o foco ´ e virtual. ´ o ponto imagem que a lente conjuga de um objeto E impr´ oprio, definido por raios de luz paralelos ao eixo principal. Raios Not´ aveis Lente Convergente & Lente Divergente Assim como foi feito para os espelhos esf´ericos, iremos agora descrever alguns raios que s˜ao f´aceis de serem utilizados na determina¸ca˜o da imagem numa lente esf´erica. Todo raio que incide no centro ´ optico atravessa a lente sem sofrer desvio. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal F emerge numa dire¸ c˜ ao que passa pelo foco imagem. Todo raio que incide sob o foco objeto emerge paralelo ao eixo principal. Figura 4: Lente convergente. Determina¸c˜ ao Gr´ afica da Imagem De maneira an´aloga ao que fizemos para espelhos esf´ericos iremos proceder agora para lentes. Observa¸ c˜ ao Na lente Convergente o foco ´ e real, e na lente divergente o foco ´ e virtual. Foco Objeto ´ o ponto objeto associado pela lente, a uma imagem E impr´ opria, definida por raios de luz paralelos ao eixo principal. Lente Convergente & Lente Divergente Lentes Convergentes 1) Objeto situado antes do Centro de Curvatura: Imagem: Real, Invertida e Menor. 2) Objeto situado no Centro de Curvatura: Imagem: Real, Invertida e Igual. 3) Objeto situado entre o Centro de Curvatura e o Foco: Imagem: Real, Invertida e Maior. ´ Otica – Aula 4 47 F F Figura 9: Incidˆencia paralela ao eixo principal. Figura 7: Lente divergente. eixo ótico F Figura 8: Incidˆencia sobre o centro o ´ptico. Este caso corresponde ` a imagem produzida por projetores, tanto de slides como de filmes. 4) Objeto situado no Foco: Imagem: Impr´ opria. ´ 5) Objeto situado entre o Foco e o Centro Optico: Imagem: Virtual, Direita e Maior. Este ´e o caso da lupa. Figura 10: Incidˆencia Paralela. Temos: A = aumento linear transversal; o = altura do objeto; i = altura da imagem; Conven¸ c˜ ao de Sinais Lente Divergente Existe apenas um caso que devemos considerar: Imagem: Virtual, Direita e Menor. Objeto Imagem Espelho Determina¸c˜ ao Anal´ıtica da Imagem h∗ As equa¸co˜es que utilizaremos para a determina¸ca˜o da posi¸ca˜o e tamanho da imagem s˜ao an´alogas ` as utilizadas no estudo de espelhos esf´ericos. Equa¸ c˜ ao de Gauss 1 1 1 = + ′ f p p Temos: f = distˆancia focal; p = posi¸ca˜o do objeto; p′ = posi¸ca˜o da imagem; Virtual p < 0 Virtual p′ < 0 Conv. R < 0 f <0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0. Vergˆ encia V de uma Lente Verifica-se que, quanto menor a distˆancia focal de uma lente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa ”potˆencia”da lente de convergir ou divergir a luz ´e caracterizada por uma grandeza denominada Vergˆencia, que ´e comumente chamada de grau do ´oculos. A vergˆencia V de uma lente de distˆancia focal f ´e definida como: V = Equa¸ c˜ ao do Aumento Linear Transversal A A= Real p > 0 Real p′ > 0 Cˆonc. R > 0 f >0 Direita i > 0 p′ i = o p 1 f Se f ´e medido em metros (m), a unidade de V ´e m−1 , que recebe o nome de dioptria (di), que popularmente ´e chamado de grau. 1 di = 1 m−1 = 1 grau 48 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br F C C eixo ótico F eixo ótico F Figura 13: Objeto situado antes do centro de curvatura C. eixo ótico C F F C Figura 11: Incidˆencia sob o foco objeto. Figura 14: Objeto situado no centro de curvatura C. Exerc´ıcios Complementares eixo ótico F 4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura est´ a a 5 cm de uma lente convergente de 10 cm de distˆancia focal. a) Qual a posi¸ca˜o da imagem? b) Fa¸co tra¸cado dos raios. Figura 12: Incidˆencia sob o foco objeto. Pense um Pouco! 1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo (grau) de lente dever´ a usar? 5. As lentes dos ´oculos de um m´ıope s˜ao de -5 graus”. a) Qual ´e a distˆancia focal das lentes? b) Qual o tipo de lentes usadas (convergente ou divergente)? 6. Uma pessoa m´ıope s´o ´e capaz de ver nitidamente objetos situados a uma distˆancia m´axima de 20 cm dos seus olhos. a) Qual o tipo de lente adequada para a corre¸ca˜o da miopia: convergente ou divergente? b) Qual deve ser a distˆancia focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito? 2. O antigos ´oculos “fundo de garrafa”tinham esse nome por quˆe? Pra que serviam? ´ Otica Aula 5 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao ´ Otica da Vis˜ ao 1. Um objeto ´e colocado a 60 cm de uma lente divergente de O olho humano assemelha-se a uma filmadora (ou a uma distˆancia 20 cm. Determine, graficamente e analiticamente, m´aquina fotogr´ afica) de grande sofistica¸ca˜o. E o c´erebro as caracter´ısticas da imagem. tem a fun¸ca˜o de reprojetar a imagem obtida pelo olho fornecendo a vis˜ao real do objeto. 2. Um objeto de 2 cm de altura est´ a disposto frontalmente Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do a 60 cm de uma lente delgada de vergˆencia +2, 5 di. olho humano e utilizaremos uma representa¸ca˜o mais simples a) determine, graficamente, as caracter´ısticas da imagem; – o olho reduzido. b) determine, analiticamente, a posi¸ca˜o e o tamanho da imagem. Elementos do Olho Humano 3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para olhar uma flor que est´ a a 4 cm da lente. Determine de Analisaremos algumas partes que consideramos de grande quanto a lente aumenta a flor. importˆ ancia em nosso olho reduzido. ´ Otica – Aula 5 49 eixo ótico C F F C eixo ótico C F F C Figura 15: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F . eixo ótico C F F Figura 17: Objeto situado entre o Foco F e o Centro ´ Optico. C C F eixo ótico F C Figura 16: Objeto situado no foco F . ´ Iris Anel colorido de forma circular, que se comporta como um Figura 18: Lente divergente. diafragma, controlando a quantidade de luz que penetra no olho. Na sua parte central existe um orif´ıcio de diˆametro 1, 5 cm. Composta por c´elulas nervosas chamadas bastonevari´avel, chamado pupila. tes (vis˜ ao preto e branco) e cones (vis˜ ao a cores), a retina possui uma ´area mais sens´ıvel `a luz sob condi¸co˜es normais. Cristalino Esta ´area consiste uma depress˜ao na parte posterior do olho ´ uma lente convergente de material flex´ıvel, do tipo bi- no eixo do cristalino, e ´e denominada f´ovea. E convexa. Fornecer´a de um objeto real uma imagem real, invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentes Ponto Pr´ oximo e Ponto Remoto formas em fun¸ca˜o da distˆancia do objeto ao olho. A menor distˆancia do globo ocular segundo a qual uma pessoa, de vis˜ao normal, pode ver nitidamente a imagem M´ usculos Ciliares de um objeto qualquer denomina-se Ponto Pr´oximo (PP ). usculos ciliares est˜ ao em sua maior conS˜ ao respons´ aveis pela mudan¸ca na forma do cristalino, Neste caso, os m´ tra¸ c a ˜ o, realizando esfor¸ c o m´ a ximo de acomoda¸ca˜o. Logo, o comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar sua ponto pr´ o ximo correspondente ` a distˆ a ncia m´ınima de vis˜ao distˆancia focal e permitir uma melhor acomoda¸ca˜o da imadistinta, a ` qual se atribui um valor m´ edio convencional de gem sobre a retina. 25 cm. Quando o objeto est´ a infinitamente afastado, os m´ usculos ciliares e o cristalino est˜ ao relaxados, ou seja, o olho n˜ ao rea- O ponto mais afastado do olho humano, corresponde a ` medida que o objeto uma imagem n´ıtida forma sem esfor¸co de acomoda¸ca˜o viliza nenhum esfor¸co de acomoda¸ca˜o. A se aproxima, os m´ usculos ciliares v˜ao se contraindo, dimi- sual, denomina-se Ponto Remoto (PR ). Esta ´e a m´axima nuindo a distˆancia focal do cristalino e mantendo a imagem distˆancia de vis˜ao distinta que, teoricamente, permite a uma pessoa uma vis˜ao normal de enxergar objetos no infinito. acomodada na retina. Intervalo de vis˜ao distinta ou zona de acomoda¸ca˜o ´e a regi˜ao Em S´ıntese do espa¸co compreendida entre os dois pontos (PR e PP ) Objeto Pr´ oximo = Menor Distˆ ancia Focal; figurados anteriormente. Objeto Distante = Maior Distˆ ancia Focal. O trabalho realizado pelos m´ usculos ciliares, fazendo variar ao a distˆancia focal do cristalino ´e chamado de acomoda¸ca˜o Problemas da Vis˜ visual. Miopia A deficiˆencia de um olho m´ıope est´ a na visualiza¸ca˜o de objetos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR ) n˜ ao est´ a no ´ a parte sens´ıvel `a luz, onde deve se formar a imagem para infinito e sim a uma distˆancia finita (dP R ). Isso ocorre, pelo E ser n´ıtida. A distˆancia do cristalino a retina ´e da ordem de fato da imagem do objeto distante recair antes da retina. Retina 50 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Olho simplificado Imagem sobre a RETINA eixo ótico C F F f o C Entrada da LUZ f i Figura 19: Elementos de uma lente. Lente CONVERGENTE Figura 2: O olho simplificado. ´ Cornea ´ Nervo Optico PP ´ Macula Lente 25 cm PR Zona de Acomodaçao ´ Iris Conjuntiva Figura 3: Esquema. Retina Anatomia do Olho Figura 1: O olho humano. Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho m´ıope menos convergente. Para tanto, associamos a ele uma lente divergente: Hipermetropia uso de lentes bifocais, que tˆem uma parte para ver objetos distantes e outra para ver objetos pr´oximos. Astigmatismo ´ um defeito determinado pela forma n˜ E ao esf´erica da c´ ornea ou do cristalino, causando uma deforma¸ca˜o na imagem. A corre¸ca˜o ´e feita mediante o uso de lentes cil´ındricas, que compensam a falta de simetria do sistema ´optica ocular. Estrabismo A deficiˆencia de um olho hiperm´etrope est´ a na visualiza¸ca˜o de objetos pr´oximos. Ou seja, o seu ponto pr´oximo (PP ) Consiste na incapacidade de se dirigir a vis˜ao de ambos os astica est´ a mais afastado do que o olho normal. Logo a distˆancia olhos para um mesmo ponto. A corre¸ca˜o ´e feita por gin´ ocular para recuperar os m´ u sculos, ou atrav´ e s de cirurgia, do ponto pr´oximo ´e maior que 25 cm. ou atrav´es de lentes prism´aticas. No olho hiperm´etrope, a imagem de um objeto recai ap´os a retina. Para corrigir este defeito demos tornar o olho hiperm´etrope Daltonismo mais convergente, associando a ele uma lente convergente. ´ ao A lente corretora dever´ a, de um objeto colocado a 25 cm E um defeito gen´etico que faz com que seu portador n˜ consiga distinguir certas cores. N˜ a o existe, ainda, corre¸ c a˜o do olho, fornecer uma imagem no ponto pr´oximo (PP ) do poss´ ıvel para esse defeito. hiperm´etrope, ou seja, a uma distˆancia dP P do olho. Assim a distˆancia focal da lente corretiva da hipermetropia ´e calculada da seguinte forma: 1 1 1 1 1 1 = = + ′ = + f p p fc 25cm dpp O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pela lente corretora, ser virtual. Presbiopia Pense um Pouco! • Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixo da ´agua de uma piscina, mas n˜ ao fora da ´agua. Isso ´e poss´ıvel? H´ a algum problema com a vis˜ao dessa pessoa? Qual? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao ´ um defeito determinado pela fadiga dos m´ E usculos que efetuam a acomoda¸ca˜o e por um aumento na rigidez do cristalino. Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomoda 1. As lentes dos ´oculos de um m´ıope s˜ao de -5 graus”. Qual mal para objetos pr´oximos e, em consequˆencia, a distˆancia ´e a m´axima distˆancia de seus olhos, sem ´oculos, que ele vˆe m´ınima da vis˜ao distinta aumenta. A corre¸ca˜o ´e feita com com imagem n´ıtida? 51 Fluidos – Aula 1 Unidades SI lente DIVERGENTE MIOPIA 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 i i m: massa em quilogramas (kg) V : volume em metro c´ ubico (m3 ) ρ: massa espec´ıfica em quilogramas por metro c´ ubico (kg/m3 ) Observa¸ c˜ ao Figura 4: Corre¸ca ˜o da miopia. lente CONVERGENTE HIPERMETROPIA i 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 i Figura 5: Corre¸ca ˜o da Hipermetropia. No caso da ´agua, cuja massa espec´ıfica vale 1 g/cm3 , observamos que cada cm3 de ´agua tem massa de 1 g. Assim ´e que, numericamente, massa e volume ser˜ao iguais para a ´agua, desde que medidos em gramas e em cent´ımetros c´ ubicos respectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3 , no caso da ´agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro c´ ubico equivale a 1000 litros, teremos tamb´em para a ´agua, a densidade 1000 kg/m3 . Press˜ ao Press˜ao p ´e a for¸ca normal, por unidade de ´area, que um fluido em equil´ıbrio exerce em contato com uma parede. 2. O ponto pr´oximo de um indiv´ıduo A e o ponto remoto Podemos representar matematicamente por: de um indiv´ıduo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo e F a vergˆencia das lentes corretoras para esses indiv´ıduos. p= A 3. Uma lente esf´erica de vidro, cujo ´ındice de refra¸ca˜o ´e 1, 5, tem uma face plana e outra cˆ oncava, com raio de curvatura Unidades SI 50 cm. Sabendo-se que a lente est´ a imersa no ar, determine p: press˜ ao em N/m2 = pascal = P a sua vergˆencia em dioptrias. F : for¸ca normal (ortogonal) em newtons ou N 4. Uma pessoa m´ıope s´o ´e capaz de ver nitidamente objetos 2 situados a uma distˆancia m´axima de 20 cm dos seus olhos. A: ´area onde ´e exercida a for¸ca, em metros quadrados m a) Qual o tipo de lente adequada para a corre¸ca˜o da miopia: convergente ou divergente ? Press˜ ao Atmosf´ erica b) Qual deve ser a distˆancia focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito Press˜ao exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a superf´ıcie da Terra. Ao n´ıvel do mar, `a temperatura de ? 0 ◦ C ´e igual a 1 atm. ´ comum o uso de unidades de press˜ E ao n˜ ao pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e mil´ımetros de merc´ urio (mmHg): Fluidos Aula 1 Fluidos 1 atm = 760 mmHg = 1, 01 × 105 P a ao Hidrost´ atica Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos Press˜ fluidos, para isso falaremos de temas como densidade, press˜ ao, empuxo e outros temas que nos levar˜ ao a um apro- No estudo da hidrost´atica, que faremos a seguir, vamos considerar o l´ıquido ideal, isto ´e, incompress´ıvel e sem viscosifundamento da Hidrost´ atica. dade. Suponhamos um recipiente cil´ındrico de ´area de base A, Densidade e Massa espec´ıfica contendo um l´ıquido de massa espec´ıfica ρ. Qual a press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente ? Massa espec´ıfica ρ de uma substˆ ancia ´e a raz˜ ao entre deterDa defini¸ca˜o de massa espec´ıfica, temos: minada massa desta substˆ ancia e o volume correspondente. m Temos ent˜ ao: ρ= m v ρ= v Para um corpo homogˆeneo, ρ ser´a a pr´opria densidade do material. Para um corpo n˜ ao homogˆeneo, como por exemplo uma corpo oco, a express˜ao acima resulta na densidade m´edia do corpo. V = Ah ρ= m Ah 52 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC h ρ A Figura 1: Vaso cil´ındrico de a ´rea A e altura h, cheio de um l´ıquido de densidade ρ. e portanto: m = ρAh Por outro lado, a for¸ca que o l´ıquido exerce sobre a ´area A ´e o seu pr´oprio peso: F = P = mg mas como m = ρAh ent˜ ao temos F = ρAhg e finalmente, pela defini¸ca˜o de press˜ ao, p= F = ρgh . A — www.mundofisico.joinville.udesc.br for menor do que a press˜ ao atmosf´erica externa. Exemplos: quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um v´acuo parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante, baixamos a press˜ ao interna da boca, criando uma “press˜ao negativa”. Pense um Pouco! • Porque n˜ ao sentimos a press˜ ao atmosf´erica normal, j´a que ela ´e t˜ ao grande? • Um barco flutua no mar. Quais as for¸cas relevantes para que isso ocorra? • Como ´e poss´ıvel se deitar numa cama de pregos sem se machucar? • Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Uma massa de 1 kg de ´agua ocupa um volume de 1 litro a 40◦ C. Determine sua massa espec´ıfica em g/cm3 , kg/m3 e kg/l. 2. Determine a massa de um bloco c´ ubico de chumbo que tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo ´e igual 11, 2 g/cm3 . 3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume A press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente dede uma esfera de raio R ´e dado por V = 43 πR3 . Usando pende da massa espec´ıfica do l´ıquido (ρ), da acelera¸ca˜o da π = 3, 14, determine: gravidade local (g) e da altura (h) do l´ıquido acima do ponto a) a densidade m´edia da esfera; considerado. Na pr´atica esse resultado e geral, e pode ser b) a densidade do material de que ´e feita a esfera. usado para a determina¸ca˜o da press˜ ao hidrost´ atica em qualquer fluido (l´ıquido ou g´ as) em equil´ıbrio. 4. Um cubo maci¸co com densidade igual a 2, 1 g/cm3 , de Observe que a press˜ ao total dentro de um fluido homogˆeneo 50 cm de aresta, est´ a apoiado sobre uma superf´ıcie horizonem equil´ıbrio ser´a ent˜ ao: tal. Qual ´e a press˜ ao, em P a e em atm, exercida pelo cubo sobre a superf´ıcie? p = patm + ρgh onde patm ´e a press˜ ao atmosf´erica, que atua sobre todos os corpos imersos no ar. Exerc´ıcios Complementares 5. Existe uma unidade inglesa de press˜ ao – a libra-for¸ca por polegada quadrada – que se abrevia lbf /pol2, a qual ´e A press˜ ao absoluta ´e a press˜ ao total exercida em uma indevidamente chamada de libra. Assim, quando calibram ovel, algumas pessoas dizem que codada superf´ıcie, incluindo a press˜ ao atmosf´erica, quando for os pneus de um autom´ locaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda: o caso. A press˜ ao absoluta ser´a sempre positiva ou nula. ovel se coloca mais ou meEm muitos casos, como na calibra¸ca˜o de um pneu, estamos a) por que num pneu de autom´ 2 nos 25lbf /pol enquanto que no de uma bicicleta de corinteressados apenas na diferen¸ca entre a press˜ ao interna de rida (cujos pneus s˜ a o bem finos) se coloca aproximadamente um reservat´orio (o pneu) e a press˜ ao externa (o ar, que est´ a 2 70 lbf /pol na press˜ ao atmosf´erica local). A essa diferen¸ca chamamos 2 ao t´ıpica (em press˜ ao manom´ etrica, e os aparelhos que a medem cha- b) Sendo 1 lbf /pol = 0, 07 atm, qual a press˜ atm) no pneu de um carro? mamos de manˆ ometros. c) A press˜ ao que nos interessa, neste caso do pneu, ´e a press˜ ao manom´etrica ou a press˜ ao absoluta. Por quˆe? pman. = pint. − patm. Press˜ ao Manom´ etrica e Absoluta A press˜ ao manom´etrica pode ser negativa, positiva ou nula. Ser´ a negativa quando a press˜ ao interna de um reservat´orio Fluidos Aula 2 53 Fluidos – Aula 2 Hidrost´ atica Lei de Stevin Consideremos um recipiente contendo um l´ıquido homogˆeneo de densidade ρ, em equil´ıbrio est´ atico. As press˜ oes que o l´ıquido exerce nos pontos A e B s˜ao, respectivamente: hy y hx x pa = ρgha e pb = ρghb 11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 hA hB A ∆h Figura 2: Vasos comunicantes, com dois l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis em equil´ıbrio. B hx ρy = ρx hy 111111111111111 000000000000000 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 Figura 1: Cilindro de a ´rea de base A e altura h A lei de Stevin ou princ´ıpio hidrost´ atico afirma que a diferen¸ca de press˜ ao entre os pontos A e B ser´a: pb − pa = ρg(hb − ha ) = ρg∆h 4. a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos dentro do flu´ıdo, depende apenas do seu desn´ıvel vertical (∆h), e n˜ ao da profundidade dos pontos. Princ´ıpio de Pascal Pascal fez estudos em flu´ıdos e enunciou o seguinte princ´ıpio: A press˜ ao aplicada a um flu´ıdo em Ou seja, a diferen¸ca entre dois n´ıveis diferentes, no interior equil´ıbrio transmite-se integral e instantade um l´ıquido, ´e igual ao produto da sua massa espec´ıfica neamente ` a todos os pontos do flu´ıdo e ` as pela acelera¸ca˜o da gravidade local e pela diferen¸ca de n´ıvel paredes do recipiente que o cont´ em. entre os pontos considerados. Na realidade, temos que dividir a press˜ ao num determinado ponto do l´ıquido em dois tipos: i) press˜ ao hidrost´atica: A Prensa Hidr´ aulica aquela que s´o leva em considera¸ca˜o o l´ıquido: Uma das aplica¸co˜es deste princ´ıpio ´e a prensa hidr´aulica como mostramos a seguir: p = ρgh hid e ii) press˜ ao absoluta: aquela que leva em considera¸ca˜o o l´ıquido e o ar sobre o l´ıquido: F1 pabs = patm + ρgh A1 A2 F2 Consequˆ encias da Lei de Stevin No interior de um l´ıquido em equil´ıbrio est´ atico: 1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma press˜ ao; 2. a superf´ıcie de separa¸ca˜o entre l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis ´e um plano horizontal; Figura 3: A prensa hidr´ aulica. 3. em vasos comunicantes quando temos dois l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis temos que a altura de cada l´ıquido ´e inversa- Observe que: mente proporcional ` as suas massas espec´ıficas (densidades); py = px patm + ρy ghy = patm + ρx ghx ρy h y = ρx h x p1 = p2 F2 F1 = A1 A2 A1 F1 = F2 A2 Isso mostra que uma for¸ca pequena F1 ´e capaz de suportar, no outro ˆembolo, um peso muito grande (F2 ), isso ´e muito utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina. 54 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC A prensa hidr´aulica ´e o equivalente hidr´aulico do princ´ıpio ´ bom da alavanca, de Arquimedes, usado na Mecˆ anica. E lembrar que estas “engenhocas”multiplicam realmente a for¸ca, mas n˜ ao a energia. O trabalho m´ınimo necess´ario para elevar um carro ´e o mesmo, independente da m´aquina que se utilize (Wmin = mgh). Na prensa mostrada na Fig. 3, uma for¸ca −F~2 (para baixo) dever´a ser feita no ˆembolo da direita, para manter o equil´ıbrio do sistema. Em geral, usa-se o ˆembolo maior para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto do ch˜ ao (macaco hidr´aulico). — www.mundofisico.joinville.udesc.br ou seja P =E Pode-se mostrar tamb´em que se um corpo tiver uma densidade m´edia ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido, ele n˜ ao poder´ a flutuar nesse flu´ıdo, e acabar´ a afundando se for solto na sua superf´ıcie. Pense um Pouco! • A press˜ ao atmosf´erica varia com a altitude? Por quˆe? Princ´ıpio de Arquimedes Arquimedes, h´ a mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo ´e devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num l´ıquido, como a agua, por exemplo. ´ Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo uma for¸ ca vertical, de baixo para cima, de intensidade igual ao peso do fluido deslocado, denominada empuxo. Ou seja, se um corpo est´ a mergulhado num fluido de densidade ρf e desloca volume Vf d do fluido, num local onde a acelera¸ca˜o da gravidade ´e g, temos: Pf = mf g e como ρf = mf Vf d a massa do fluido deslocado ser´a mf = ρf Vf d e portanto Pf = ρf Vf d g e, de acordo com o Princ´ıpio de Arquimedes • Como pode um navio de ferro flutuar na ´agua, j´a que ρF e > ρH2O ? • Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela (fechada) balan¸ca. Explique. • Mergulhando na ´agua um objeto suspenso por um fio, vocˆe observa que a tra¸ca˜o no fio muda. Explique. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UFRJ) O impacto de uma part´ıcula de lixo que atingiu a nave espacial Columbia produziu uma press˜ ao da 100 N/cm2 . Nessas condi¸co˜es e tendo a part´ıcula 2 cm2 , a nave sofreu uma for¸ca de: a) 100 N b) 200 N c) 400 N d) 800 N e) 1600N 2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade est´ a cheia com a´gua. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 P a e determine: a) a press˜ ao hidrost´atica a 3, 0 m de profundidade; b) a press˜ ao absoluta no fundo da piscina; c) a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos separados, verticalmente, por 80 cm. E = ρf Vf d g 3. (Cl´assico) Para determinar a press˜ ao atmosf´erica, Torricelli fez a seguinte experiˆencia: um tubo de vidro, de 1 m ou simplesmente de comprimento, foi cheio de merc´ urio e depois emborcado E = ρV g num recipiente contendo merc´ urio; constatou que, ao n´ıvel urio no tubo mant´em uma altura de 760 mm ficando a nosso cargo a interpreta¸ca˜o correta dos termos do mar, o merc´ acima da sua superf´ ıcie livre (no recipiente). Se a densidade envolvidos. do merc´ urio ´e 13, 6 g/cm3 e a acelera¸ca˜o da gravidade local ´e de 9, 8 m/s2 , qual a press˜ ao atmosf´erica constatada por Flutua¸ c˜ ao Torricelli? Segundo o princ´ıpio de Arquimedes, quando temos um corpo na superf´ıcie de um flu´ıdo cujo peso (do corpo) ´e anulado (igual em m´odulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completamente submerso, o corpo ir´ a flutuar sobre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplica¸ca˜o s˜ao constru´ıdos todos os tipos de barcos e navios. Para um corpo de peso P flutuando, a condi¸ca˜o de equil´ıbrio deve ser satisfeita: X Fy = +E − P = 0 4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um autom´ ovel de massa 1.000 kg, o mesmo ´e erguido a uma certa altura. O sistema utilizado ´e uma prensa hidr´aulica. Sendo os ˆembolos de ´areas 10 cm2 e 2.000 cm2 , e a acelera¸ca˜o da gravidade local de 10 m/s2 , pergunta-se: a) em qual ˆembolo deve-se apoiar o carro? b) em qual ˆembolo deve-se pressionar para se sustentar o carro? c) qual a for¸ca aplicada no ˆembolo para equilibrar o autom´ovel? ´tica – Aula 1 Cinema 0.1 55 Exerc´ıcios Complementares uma bala de canh˜ ao, um m´ıssil etc. Por que ponto e por que material? Ponto, porque, na resolu¸ca˜o de problemas, estaremos desprezando as dimens˜oes do corpo em movimento, ´ 5. Agua e ´oleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, sempre que as distˆancias envolvidas forem muito grandes em s˜ao colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm a rela¸ca˜o `as dimens˜oes do corpo. Material, porque, embora altura da coluna de ´oleo, determine a altura da coluna de as dimens˜oes do corpo sejam desprezadas, sua massa ser´a agua medida acima do n´ıvel de separa¸ca˜o entre os l´ıquidos. considerada. ´ 6. Os icebergs s˜ao grandes blocos de gelo que vagam em Repouso, Movimento e Referencial latitudes elevadas, constituindo um s´erio problema para a navega¸ca˜o, sobretudo porque deles emerge apenas uma pe- Examine as seguintes situa¸co˜es: quena parte, ficando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade do • Quando estamos dentro de um ve´ıculo em movimento, gelo, determine a porcentagem do iceberg que fica acima da a paisagem circundante ´e fundamental para estabelesuperf´ıcie livre da ´agua, considerada com densidade igual a cermos os conceitos de movimento e repouso ρf = 1, 0 g/cm3 . • Quando observamos o movimento do sol atrav´es da 7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade m´edia esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movide 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente menta ao redor do Sol. que cont´em ´agua, atrav´es de um fio conforme a figura. Determine a intensidade da tra¸ca˜o T no fio que segura a bola • Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado, (Considere g = 10 m/s2 ). sem janelas, n˜ ao saindo dali durante toda a sua existˆencia. Nesse caso, pode ser que essa pessoa n˜ ao tenha condi¸co˜es de afirmar se aquele ambiente est´ a em repouso ou em movimento. 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 T Cinem´ atica Aula 1 Cinem´ atica A Cinem´atica ´e a parte da Mecˆ anica que estuda e descreve o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas (for¸cas). Em todos esses casos, percebemos que o movimento ´e determinado a partir de um referencial: a paisagem ´e o referencial do carro e o Sol ´e o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado, n˜ ao ter´ a referencial para perceber qualquer movimento, a n˜ ao ser o de seu pr´oprio corpo. Trajet´ oria Este ´e outro conceito importante no estudo do movimento. Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esfera abandonada de um avi˜ ao que voa com velocidade constante: A8−132 Movimento Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma id´eia do que s˜ao os estados de movimento e repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) s˜ao relativos: ao dormir vocˆe pode estar em repouso em rela¸ca˜o `as paredes de seu quarto; entretanto, em rela¸c˜ao ao sol, vocˆe ´e um viajante espacial. A parte da F´ısica que trata do movimento ´e a Mecˆ anica. Ela procura compreender as causas que produzem e modificam os movimentos. A se- Em rela¸ca˜o ao solo, a trajet´oria da esfera ´e um arco de guir, vamos estudar uma subdivis˜ao da Mecˆ anica chamada par´ abola; e em rela¸ca˜o ao avi˜ ao, a trajet´oria ´e um segmento Cinem´ atica, que trata do movimento sem se referir ` as causas de reta vertical. que o produzem. Ent˜ ao, podemos concluir que a trajet´oria: Ponto Material Em determinadas situa¸co˜es, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avi˜ ao, um carro, • ´e a linha descrita ou percorrida por um corpo em movimento; • depende do referencial adotado. 56 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Deslocamento × Distˆ ancia Percorrida Isso n˜ ao significa que o ve´ıculo andou sempre na mesma velocidade, pois o ve´ıculo pode ter parado em um posto de A distˆancia percorrida por um corpo durante um movimento combust´ıvel para abastecer. ´e a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do N´ os sabemos apenas a distˆancia total e o tempo total da visegmento que representa a trajet´oria descrita pelo corpo agem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma. neste movimento, em rela¸ca˜o ao referencial adotado. O Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e andeslocamento de um corpo ´e uma grandeza vetorial, cujo dando sempre na mesma velocidade ele deveria andar semm´odulo equivale ao comprimento do segmento de reta, com´ a velocidade escalar m´edia. Normalmente pre a 50 km/h. E preendidos entre os pontos inicial e final do movimento. n˜ ao usaremos o termo distˆancia e sim deslocamento escalar Na figura, uma part´ıcula, saindo do ponto A, percorre a tra- (∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos interjet´oria ABC. A distˆancia percorrida pela part´ıcula ´e a soma valo de tempo (∆t). Dessa maneira: dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7 metros. J´a o deslocamento ´e representado pela distˆancia s − s0 ∆s = Vm = entre o ponto A e ponto C, que ´e igual a 5 metros. ∆t t − t0 A unidade de velocidade no SI ´e o m/s. A Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos: 5m 3m 1 km/h = B C 1 1000 m = m/s 3600 s 3, 6 e tamb´em 4m 1 m/s = 3, 6 km/h Velocidade Escalar Observa¸ co ˜es • O deslocamento foi representado por um segmento de Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido reta orientado que denominamos de vetor; os vetores do movimento. representam as grandezas vetoriais. • O deslocamento ´e a menor distˆancia entre o ponto de sa´ıda e o ponto de chegada do corpo. • Numa trajet´oria retil´ınea a distˆancia percorrida e o deslocamento podem ser iguais. Deslocamento Escalar ∆s ´ a varia¸ca˜o de espa¸co s. E ´ medido em metros, quilˆ E ometros, cent´ımetros, etc. Ou seja: Exemplos 1. Va = +10 m/s: a cada segundo o m´ovel anda 10 m e indica movimento no sentido da orienta¸ca˜o da trajet´oria. 2. Vb = −10 m/s: a rapidez ´e a mesma do m´ovel anterior e o movimento ´e no sentido oposto ao da orienta¸ca˜o da trajet´oria. Acelera¸c˜ ao ∆s = s − s0 Mede a rapidez da mudan¸ca da velocidade, ´e a varia¸ca˜o da velocidade em fun¸ca˜o do tempo. Imagine um movimento O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo. com a velocidade mudando a cada segundo: Quando ∆s > 0 o movimento ´e a favor da orienta¸ca˜o da trajet´oria; quando ∆s < 0 o movimento ´e contra a orienta¸ca˜o t(s) 0 1 2 3 da trajet´oria, mas se ∆s = 0 a posi¸ca˜o final ´e igual a inicial. v(km/h) 10,0 13,6 17,2 21,8 onde s0 ´e o espa¸co inicial s ´e o espa¸co final. Importante H´ a duas possibilidades para ∆s = 0: • o corpo pode n˜ ao ter se movimentado; • o corpo pode ter se movimentado mas retornado a posi¸ca˜o inicial; Velocidade Escalar M´ edia A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja, a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso ´e, a acelera¸ca˜o ´e: a=+ 1, 0 m/s 3, 6 km/h = = 1 m/s2 s s Aqui temos uma acelera¸ca˜o positiva, pois a velocidade vai aumentando (em m´odulo) com o tempo. Quando falamos que um ve´ıculo percorreu 100 km em 2 h Outro Exemplo ´e f´ acil determinar que em m´edia ele 50 km a cada 1 h. N´ os dividimos a distˆancia total e o tempo total da viagem. Imagine o seguinte movimento: ´tica – Aula 2 Cinema t(s) v(m/s) 0 50 57 1 45 2 40 3 35 360 km/h em 25 segundos. Qual o valor da acelera¸ca˜o, em m/s2 ? a) 9,8 A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s, b) 7,2 ou seja: c) 6,0 −5 m/s d) 4,0 2 = −5 m/s a= s e) 2,0 Nesse caso a acelera¸ca˜o ´e negativa, pois a velocidade vai diminuindo (em m´odulo) com o tempo. 5. (PUC) Um trem est´ a com velocidade escalar de 72 km/h quando freia com acelera¸ca˜o escalar constante de m´odulo igual a 0, 40 m/s2 . O intervalo de tempo que o trem gasta para parar, em segundos, ´e de: Acelera¸c˜ ao Escalar M´ edia (am ) a) 10 ´ E a varia¸ca˜o total da velocidade em rela¸ca˜o ao intervalo b) 20 c) 30 total de tempo. d) 40 e) 50 ∆v v − v0 am = = ∆t t − t0 6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista observa que o ponteiro do veloc´ımetro marca 72 km/h. Sabendo que a travessia dura 5, 0 segundos, a acelera¸ca˜o do No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos carro durante a travessia ´e de: (s), e a acelera¸ca˜o em m/s2 . a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao d) 4 m/s2 e) n.d.a Unidades SI 1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de 1 min e 40 s. A velocidade escalar m´edia do atleta ´e de: a) 8, 0 km/h b) 28, 8 m/s c) 28, 8 km/h d) 20, 0 m/s e) 15, 0 km/h Cinem´ atica Aula 2 Movimento Uniforme (MU) Suponhamos que vocˆe esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do veloc´ımetro fique sempre na mesma 2. (UEL) Um m´ovel percorreu 60, 0 m com velocidade de posi¸ca˜o, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa 15, 0 m/s e os pr´oximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade condi¸ca˜o, vocˆe ir´ a percorrer 80 km a cada hora de viagem, m´edia durante as duas fases foi de: em duas horas percorrer´a 160 km, e assim por diante. O moa) 15, 0 m/s vimento descrito nessa situa¸ca˜o ´e denominado movimento b) 20, 0 m/s uniforme (MU). c) 22, 5 m/s Vocˆe j´a deve ter notado, ent˜ ao, que no movimento uniforme d) 25, 0 m/s o valor do m´odulo da velocidade ´e constante e n˜ ao nulo, isto e) 30, 0 m/s ´e, o m´ovel percorre espa¸cos iguais em intervalos de tempo 3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodo- iguais. Se, al´em da velocidade apresentar valor constante e via, um motorista vˆe um an´ uncio com a inscri¸ca˜o “ABAS- a trajet´oria for retil´ınea, o movimento ´e dito movimento TECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Con- retil´ıneo uniforme (MRU). siderando que esse posto de servi¸cos se encontra junto ao marco “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anun- Equa¸ c˜ ao Hor´ aria do MU ciante prevˆe, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade m´edia, em km/h, de: Ao longo de um movimento, a posi¸ca˜o de um m´ovel varia no ´u a) 80 decorrer do tempo. E ´ til, portanto, encontrar uma equa¸ca˜o b) 90 que forne¸ca a posi¸ca˜o de um m´ovel em um movimento unic) 100 forme no decorrer do tempo. A esta equa¸ca˜o denominamos d) 110 equa¸ca˜o hor´ aria do movimento uniforme. e) 120 Considere ent˜ ao, o nosso amigo corredor percorrendo com velocidade constante v a trajet´oria da figura. Onde: x0 ´e a sua posi¸ca˜o inicial no instante t0 = 0 e x ´e a Exerc´ıcios Complementares sua nova posi¸ca˜o no instante t posterior. A velocidade do corredor no intervalo de tempo ∆t = t − t0 = t ´e 4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avi˜ ao percorre a v − v0 ∆x = v= pista com acelera¸ca˜o constante e atinge a velocidade de ∆t t 58 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC t t x x 0 www.mundofisico.joinville.udesc.br v 0 O — X ∆ x = vt = Área O t Figura 1: Movimento uniforme (MU). Figura 3: O deslocamento ´e igual a a ´rea sob a curva e se v ´e sempre constante, para qualquer instante t, ent˜ ao do gr´ afico v × t. temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a trajet´oria do movimento ´e retil´ınea, temos um movimento Gr´ afico da Posi¸c˜ ao retil´ıneo uniforme (MRU). Invertendo-se a equa¸ca˜o acima, podemos escrever a equa¸ c˜ ao hor´ aria do movimento: x×t Como a equa¸ca˜o hor´ aria no movimento uniforme ´e uma equa¸ca˜o do primeiro grau, podemos dizer que, para o movimento uniforme, todo gr´afico x × t ´e uma reta inclinada em x(t) = x0 + vt rela¸ca˜o aos eixos. Quando o movimento ´e progressivo (para que nos d´ a a posi¸ca˜o x(t) em cada instante t > 0, para todo a direita) a reta ´e inclinada para cima, indicando que os valores da posi¸ca˜o aumentam no decorrer do tempo; quando o o movimento. movimento ´e retr´ogrado (para a esquerda), a reta ´e inclinada para baixo indicando que os valores da posi¸ca˜o diminuem Gr´ afico da Velocidade v × t no decorrer do tempo. aria, a No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em Observe no gr´afico que, de acordo com a equa¸ca˜o hor´ velocidade pode ser dada pela inclina¸ c a ˜ o da reta, ou seja fun¸ca˜o do tempo v × t x ´e uma reta paralela ao eixo dos tempos, uma vez que a velocidade ´e constante e n˜ ao varia ∆x ao longo do tempo. v = tan θ = ∆t v A inclina¸ca˜o da reta tamb´em denominada ´e chamada de declividade ou coeficiente angular da reta. v v v>0 v=0 O t O t O t v<0 Figura 2: Gr´ afico v ×t para o MU: para a direita v > 0 (a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c). Importante θ ∆x ∆t Figura 4: A inclina¸ca ˜o de uma reta no gr´ afico x × t ´e a pr´ opria velocidade no MU. • Quando o movimento ´e na dire¸ca˜o positiva do eixo orientado (o sentido positivo usual ´e para a direita) a Lembre-se de que a tangente de um ˆangulo, num triˆangulo velocidade do m´ovel ´e positiva (v > 0). Neste caso x retˆ angulo, ´e dada pela rela¸ca˜o entre cateto oposto e o cateto cresce com o tempo; adjacente: • Quando o movimento ´e na dire¸ca˜o negativa do eixo Para o movimento progressivo temos o seguinte gr´afico: orientado (sentido negativo usual ´e para a esquerda) a E para o movimento retr´ogrado observa-se que: velocidade do m´ovel ´e negativa (v < 0), e neste caso, x decresce com o tempo. Neste caso como a velocidade est´ a abaixo do eixo das abscissas, esta possui valor negativo, ou seja est´ a em sentido contr´ario ao da trajet´oria. ´ importante notar que a velocidade corresponde a al• E tura da reta horizontal no gr´ afico v × t. • A ´area de um retˆ angulo ´e dada pelo produto da base pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo. Pense um Pouco! • Um trem com 1 km de extens˜ao viaja `a velocidade de 1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar um t´ unel de 2 km de comprimento? • Como seria o gr´afico x × t para um objeto em repouso? • No gr´afico x × t, qual a interpreta¸ca˜o f´ısica da intersec¸ca˜o da reta com o eixo do tempo t? ´tica – Aula 3 Cinema x 59 Exerc´ıcios Complementares v>0 xo O t 4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com velocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar totalmente uma ponte. O comprimento da ponte ´e: a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 80 m e) nenhuma resposta ´e correta Figura 5: Gr´ afico x × t para o movimento uniforme 5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em (MU) progressivo. um radar da pol´ıcia a 108 km/h. Se uma viatura est´ a, x logo adiante a uma distˆancia de 300 m do radar, em quanto tempo o motorista passar´a pela viatura? a) 7 s b) 13 s c) 20 s d) 10 s e) 16 s v<0 xo O t Figura 6: Gr´ afico x × t para o movimento uniforme (MU) retr´ ogrado. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UEL) Um autom´ ovel mant´em uma velocidade escalar constante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma distˆancia igual a: a) 79, 2 km b) 80, 8 km c) 82, 4 km d) 84, 0 km e) 90, 9 km 6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as fun¸co˜es hor´ arias de posi¸ca˜o x1 (t) = 100 + 4t e x2 (t) = 5t, com unidades do SI, o encontro dos m´oveis se d´ a no instante: a) 0 s b) 400 s c) 10 s d) 500 s e) 100 s Cinem´ atica Aula 3 Movimento Uniformemente Variado (MUV) Analisando um movimento de queda livre, podemos verificar que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia com o tempo. Trata-se ent˜ ao de um movimento variado. Galileu j´a havia descoberto esse movimento e concluiu que, desprezando a resistˆencia do ar, quando abandonamos do repouso os corpos pr´oximos a superf´ıcie da terra caem com ve´ 2. (ITAUNA-RJ) A equa¸ca˜o hor´ aria de um certo movi- locidades crescentes, e que a varia¸ca˜o da velocidade ´e consmento ´e x(t) = 40 − 8t no SI. O instante t, em que o m´ovel tante em intervalos de tempos iguais. Podemos ent˜ ao conpassa pela origem de sua trajet´oria, ser´a: cluir que este ´e um movimento uniformemente variado a) 4 s (MUV). b) 8 s Observamos um MUV quando o m´odulo da velocidade de c) 32 s um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de temd) 5 s pos iguais, isto ´e, apresenta acelera¸ca˜o constante e diferente e) 10 s de zero. 3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e 5 m/s, caminhando na mesma dire¸ca˜o e no mesmo sentido. Depois de meio minuto, qual a distˆancia entre elas? a) 1, 5 m b) 60, 0 m c) 150, 0 m d) 30, 0 m e) 90, 0 m No caso da trajet´oria ser retil´ınea, o movimento ´e denominado movimento retil´ıneo uniformemente variado (MRUV). Portanto em um movimento retil´ıneo uniforme. Acelera¸c˜ ao e Velocidade no MRUV a = constante 6= 0 Como a acelera¸ca˜o escalar ´e constante, ela coincide com a acelera¸ca˜o escalar m´edia: 60 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC a = am = x v − v0 ∆v = ∆t t − t0 fazendo t0 = 0, podemos escrever a equa¸ca˜o hor´ aria da velocidade, ou seja — www.mundofisico.joinville.udesc.br x a>0 vo = 0 O t x a>0 vo < 0 xo = 0 O t a>0 vo < 0 xo < 0 O t xo = 0 v = v0 + at v v MRUV O a>0 vo > 0 O t v MRUV a>0 vo < 0 t Figura 3: x × t para o MRUV com a > 0. MRU O a=0 vo > 0 x a<0 vo = 0 xo = 0 O t t x x O a<0 vo > 0 xo = 0 t O a<0 vo = 0 xo > 0 t Figura 1: v × t para o MRUV com a ≥ 0. v MRUV O v a<0 vo > 0 MRUV a<0 vo = 0 O t v t MRU O Figura 2: v × t para o MRUV com a ≤ 0. Posi¸ c˜ ao versus tempo no MRUV Figura 4: x × t para o MRUV com a < 0. a=0 vo < 0 A Equa¸c˜ ao de Torricelli t O f´ısico italiano Evangelista Torricelli estudou matem´atica em Roma. Nos u ´ ltimos meses de vida de Galileu, Torricelli se tornou seu aluno e amigo ´ıntimo, o que lhe proporcionou a oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma das consequˆencias disso foi a unifica¸ca˜o que Torricelli fez das fun¸co˜es hor´ arias estabelecidas por Galileu para o movimento uniformemente variado. Torricelli eliminou o tempo da fun¸ca˜o Analisando o gr´afico de v×t, podemos obter a fun¸ca˜o hor´ aria dos espa¸co calculando o deslocamento escalar desde t = 0 obtendo at´e um instante t qualquer. Como: ∆s = ´ area ∆s = como:  v + v0 2  t ∆s = s − s0 v = v0 + at t = (v − v0 )/a e substituindo o valor de t na fun¸ca˜o hor´ aria dos espa¸cos, temos    v − v0 v + v0 s = s0 + vm t = s0 + 2 a onde vm ´e a velocidade m´edia do movimento. Finalmente, obtemos a equa¸ca˜o de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s e v = v0 + at temos s − s0 = s − s0 = 1 (v0 + at + v0 )t 2 1 1 (2v0 + at)t = v0 t + at2 2 2 logo, 1 s(t) = s0 + v0 t + at2 2 ´e a fun¸ca˜o hor´ aria dos espa¸cos s(t). Pense um Pouco! • Imagine que vocˆe est´ a no interior de um autom´ ovel em movimento. O autom´ ovel ´e suficientemente silencioso e macio para que vocˆe n˜ ao perceba sua velocidade e varia¸co˜es de velocidade. Apenas olhando para o veloc´ımetro do autom´ ovel, sem olhar pelas janelas e p´ ara-brisas, ´e poss´ıvel classificar o movimento do autom´ovel? • Pode-se usar a equa¸ca˜o de Torricelli para se determinar a altura atingida por um proj´etil lan¸cado verticalmente para cima? Como? ´tica – Aula 4 Cinema Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 61 d) 169 s e) 14 s 1. (UEL) Uma part´ıcula parte do repouso e, em 5 segundos percorre 100 metros. Considerando o movimento retil´ıneo uniformemente variado, podemos afirmar que a acelera¸ca˜o da part´ıcula ´e de: a) 8, 0 m/s2 Queda Livre b) 4, 0 m/s2 c) 20 m/s2 Um corpo ´e dito em queda livre quando esta sob a¸ca˜o exclud) 4, 5 m/s2 siva da gravidade terrestre (ou da gravidade de outro corpo e) n.d.a. celeste). Cinem´ atica Aula 4 2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de 15 m/s, tem, seu freio acionado. A desacelera¸ca˜o produzida pelo freio ´e de 10 m/s2 . O carro p´ ara ap´os percorrer: a) 15, 5 m b) 13, 35 m c) 12, 15 m d) 11, 25 m e) 10, 50 m Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez, a queda livre de corpos. Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto ´e, livres do efeito da resistˆencia do ar, tem uma propriedade comum; Corpos em queda livre tˆem a mesma acelera¸ca˜o quaisquer que sejam suas massas. Esta acelera¸ca˜o de queda livre ´e denominada acelera¸ c˜ ao da gravidade e, nas proximidades da terra, ´ e suposta cons3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movi2 pratimento retil´ıneo ´e dada pela express˜ao v(t) = 10 − 2t, no SI. tante e com m´odulo g = 9.8 m/s , valor este que por 2 cidade, ´ e usualmente aproximado para g = 10 m/s . Calcule o espa¸co percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s Na realidade, a acelera¸ca˜o da gravidade, embora seja indee 3 s. pendente da massa do corpo em queda livre, varia com o a) 3 m local, dependendo da latitude e da altitude do lugar. b) 5 m c) 8 m Se o corpo em queda livre tiver uma trajet´oria retil´ınea, d) 16 m seu movimento ser´a uniformemente variado; neste caso, a e) 21 m acelera¸ca˜o escalar do corpo ser´a constante e valer´a sempre a = −g, independente do sentido do movimento. Desta forma, se um objeto for lan¸cado para cima (v0 > 0), ele ir´ a Exerc´ıcios Complementares frear (desacelerar) at´e parar (v = 0) e depois seu sentido de movimento ser´a invertido (v > 0). 4. (CEFET) Na decolagem, um certo avi˜ ao partindo do repouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua acelera¸ca˜o constante, a velocidade com que o avi˜ ao levanta vˆoo ´e: a) 100 m/s b) 200 m/s c) 125 m/s d) 50 m/s e) 144 m/s 5. (UNESP) Um m´ovel descreve um movimento retil´ıneo obedecendo a fun¸ca˜o hor´ aria x(t) = 8 + 6t − t2 no SI. Esse movimento tem invers˜ao de seu sentido no instante: a) 8 s b) 3 s c) 6 s d) 2 s e) 4/3 s Conven¸ c˜ oes • o sentido positivo do eixo vertical ´e debaixo para cima; • quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento ´e acelerado (v cresce em m´odulo); • quando a e v possuem o sinais contr´ arios, o movimento ´e desacelerado, freado ou ent˜ ao dito tamb´em retardado (v diminui em m´odulo); Velocidade Escalar Final Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o da gravidade ´e constante e com m´odulo g, um corpo ´e abandonado a partir do repouso de uma altura h acima do solo. Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto (v0 = 0), atingir o solo. Pela equa¸ca˜o de Torricelli: 6. (UNESP) No instante em que o sinal de trˆ ansito autoriza a passagem, um caminh˜ao de 24 m de comprimento v 2 = v02 + 2a∆s = v02 + 2a(s − s0 ) que estava parado come¸ca atravessar uma ponte de 145 m de comprimento, movendo-se com uma acelera¸ca˜o constante sendo s0 = h e s = 0, temos: de 2, 0 m/s2 . O tempo que o caminh˜ao necessita para atrav 2 = 0 + 2(−g)(0 − h) = 2gh vessar completamente a ponte ´e: a) 12 s ent˜ ao b) 145 s p c) 13 s v = − 2gh 62 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br ser´a a sua velocidade escalar ao atingir o ch˜ ao. Escolhemos proj´etil ´e lan¸cado verticalmente para cima com velocidade o sinal negativo (−) porque o corpo est´ a descendo, contra o de m´odulo igual a v0 . sentido crescente do eixo vertical (que ´e para cima). Estudemos as propriedades associadas a este movimento: Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a ve1 s(t) = s0 + v0 t − gt2 locidade final v, como era de se esperar, mas que v n˜ ao ´e 2 proporcional a h. e v(t) = v0 − gt Tempo de Queda Observa-se que: Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpo ´e solto (v0 = 0) de uma altura h, at´e atingir o solo. Pela equa¸ca˜o hor´ aria da velocidade do MRUV, temos: v(t) = v0 + at v a = −g vo = 0 tq 0 t • o movimento do proj´etil ´e uniformemente variado porque a acelera¸ca˜o escalar ´e constante e diferente de zero; • como foi lan¸cado para cima, a velocidade inicial do proj´etil ´e positiva (v0 > 0); • orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, a acelera¸ca˜o escalar vale −g; • A partir do ponto mais alto da trajet´oria, o proj´etil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade ´e nula no ponto mais alto (ponto de invers˜ao); • O tempo de subida ts do proj´etil ´e calculado como se segue: se v(t) = v0 − gt e v(ts ) = 0 para a posi¸ca˜o mais alta, temos Figura 1: v × t para a queda livre. 0 = v0 − gts e finalmente ts = e para a queda livre ser´a Pode-se mostrar que o tempo de descida ´e igual ao tempo de subida. Mostre vocˆe mesmo. v(t) = v0 − gt √ e sendo v0 = 0 e v = − 2gh temos p − 2gh = 0 − gt e finalmente t= √ 2gh = g s • a velocidade escalar de retorno ao solo ´e calculada como se segue: como o tempo total de vˆoo ´e 2ts , temos   2v0 v(2ts ) = v0 − g(2ts ) = v0 − g g 2h g ou seja, a velocidade de retorno ser´a h a = −g vo = 0 xo = h 0 tq x v0 g t v = −v0 A mesma acelera¸ca˜o que retarda a subida do proj´etil ´e a que o acelera na descida e tem m´odulo constante g, portanto conclu´ımos que que ao retornar ao solo, o proj´etil chaga com a mesma velocidade inicial de lan¸camento, em m´odulo. • A altura m´axima atingida pelo proj´etil ´e calculada a partir da equa¸ca˜o de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s Figura 2: x × t para a queda livre. Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo de queda t, como tamb´em era de se esperar, e que t tamb´em n˜ ao ´e proporcional a h. e como v = 0 e ∆s = h, temos 0 = v02 + 2(−g)h donde h= Lan¸ camento Vertical Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o da gravidade ´e constante e com m´odulo igual a g, um v02 2g Observe que quanto maior a velocidade inicial v0 , maior a altura h atingida pelo proj´etil, como era de se esperar, e que h n˜ ao ´e proporcional a v0 . ´tica – Aula 5 Cinema 63 Pense um Pouco! • • • • 5. (UNICAMP) Uma atra¸ca˜o que est´ a se tornando muito popular nos parques de divers˜ao consiste em uma plataPor que uma folha inteira e outra amassada n˜ ao che- forma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de gam juntas ao ch˜ ao, quando soltas simultaneamente de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, ela passa a ser freada por uma for¸ca constante uma mesma altura? e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da Um corpo pode ter acelera¸ca˜o a 6= 0 e v = 0? Como? plataforma quando o freio ´e acionado ´e dada por : Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando a) 10 m/s para baixo (a < 0)? Como? b) 30 m/s c) 75 m/s por que n˜ ao se deve dar um tiro para cima com uma d) 20 m/s arma de fogo? e) 40 m/s 6. (CEFET-PR) Um bal˜ ao meteorol´ogico est´ a subindo com velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o aparelho leva para chegar ao solo ´e: 1. (UFAL) Uma pedra ´e abandonada de uma altura de a) 2 s 2 7, 2 m, adotando g = 10 m/s e desprezando-se a resistˆencia do ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir b) 4 s c) 5 s o solo ser´a: d) 3 s a) 12 m/s e) 7 s b) 36 m/s Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao c) 360 m/s d) 18 m/s e) 180 m/s 2. (FUVEST) Um corpo ´e solto, a partir do repouso, do topo de um edif´ıcio de 80 m de altura. Despreze a resistˆencia do ar e adote g = 10 m/s2 . O tempo de queda at´e o solo e o m´odulo da velocidade com que o corpo atinge o solo s˜ao: a) 4, 0 s e 72 km/h b) 2, 0 s e 72 km/h c) 2, 0 s e 144 km/h d) 4, 0 s e 144 km/h e) 4, 0 s e 40 km/h 3. (FUVEST) Um corpo ´e disparado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de m´odulo igual a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistˆencia do ar e adotando g = 10 m/s2 , a altura m´axima alcan¸cada pelo proj´etil e o tempo necess´ario para alcan¸ca´-la s˜ao respectivamente: a) 4, 0 km e 40 s b) 2, 0 km e 40 s c) 2, 0 km e 10 s d) 4, 0 km e 20 s e) 2, 0 km e 20 s Cinem´ atica Aula 5 Movimento (MCU) Circular Uniforme Em um movimento onde a trajet´oria ´e uma circunferˆencia (ou arco de uma circunferˆencia) e a velocidade escalar ´e constante, este ´e denominado como movimento circular uniforme (MCU). Neste movimento a part´ıcula ´e localizada pela sua posi¸ca˜o angular θ, que varia uniformemente com o tempo. v2 v1 R θ v3 O v4 Exerc´ıcios Complementares Figura 1: O movimento circular uniforme (MCU). 4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um m´etodo interessante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas – o caranguejo. Consiste em suspendˆe-lo a uma determinada altura e a´ı abandonar sua v´ıtima para que chegue ao solo com uma velocidade de m´odulo igual a 30 m/s, suficiente para que se quebre por inteiro. Despreze a resistˆencia do ar e adote g = 10 m/s2 . A altura de eleva¸ca˜o utilizada por essas aves ´e: a) 15 m b) 45 m c) 90 m d) 30 m e) 60 m No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o tempo todo, por´em mant´em fixo o seu m´odulo (velocidade escalar). Movimento Peri´ odico Um movimento ´e chamado peri´odico quando todas as suas caracter´ısticas (posi¸ca˜o, velocidade e acelera¸ca˜o) se repetem em intervalos de tempo iguais. O movimento circular e uniforme ´e um exemplo de movimento peri´odico, pois, a cada volta, o m´ovel repete a posi¸ca˜o, a velocidade e a acelera¸ca˜o. 64 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Per´ıodo (T ) — www.mundofisico.joinville.udesc.br Unidades SI Define-se como per´ıodo (T ) o menor intervalo de tempo A velocidade angular ω ´e medida em rad/s no SI. para que haja repeti¸ca˜o das caracter´ısticas do movimento. No movimento circular e uniforme, o per´ıodo ´e o intervalo Rela¸ c˜ ao entre v e ω de tempo para o m´ovel dar uma volta completa. Como ´e uma medida de tempo, a unidade SI do per´ıodo ´e Como a velocidade escalar no MCU ´e v = 2πRf e ω = 2πf , o segundo. ent˜ ao v = ωR Frequˆ encia (f ) Ou seja, a velocidade escalar v ´e proporcional `a velocidade Define-se a frequˆencia (f ) de qualquer movimento peri´odico angular ω. como o n´ umero de vezes que as caracter´ısticas do movimento se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s. No movimento circular uniforme, a frequˆencia ´e o n´ umero de voltas realizadas na unidade de tempo. Se o m´ovel realiza n voltas em um intervalo de tempo t, a frequˆencia f ´e dada por: n f= t Vetores no MCU J´a vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem m´odulo constante, por´em dire¸ca˜o vari´avel e, portanto o vetor v ´e vari´avel. Sendo a velocidade vetorial vari´avel, vamos analisar a acelera¸ca˜o vetorial a. e por defini¸ca˜o, como no MCU o tempo de uma volta com- Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at pleta (n = 1) ´e o pr´oprio per´ıodo do movimento, temos que da acelera¸ca˜o vetorial ´e nula: f= 1 T at = ∆v =0 ∆t A unidade SI da frequˆencia f ´e s−1 ou tamb´em chamado Sendo a trajet´oria curva, a componente normal an da aceao de hertz, cuja abrevia¸ca˜o ´e Hz. Pode-se tamb´em medir a lera¸ca˜o, ou tamb´em chamada de acelera¸ca˜o centr´ıpeta n˜ ´ e nula (a = 6 0). n frequˆencia em rota¸ co ˜es por minuto ou rpm. O m´odulo da acelera¸ca˜o centr´ıpeta pode ser calculado pela seguinte express˜ao: Exemplo 2v sin(∆θ/2) ∆v = ac = Se um movimento tem frequˆencia de 2, 0 Hz, ent˜ ao s˜ao da∆t ∆t das duas voltas completas por segundo, ou seja, o per´ıodo do movimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 e como ∆θ = ω∆t, e o ˆangulo ∆θ ´e pequeno para ∆t pesegundos, esse movimento ter´ a uma frequˆencia de 120 rpm. queno, temos ∆θ ∆θ sin ≃ 2 2 Velocidade Escalar v e 2ωR∆θ/2 Para uma volta completa, em uma circunferˆencia de raio R, ac = = ω2R ∆θ/ω temos que ∆s 2πR v= = ou ent˜ ao, como v = ωR ∆t T logo, para o MCU temos ac = v = 2πRf Velocidade Angular ω Define a velocidade angular ω de forma semelhante `a defini¸ca˜o de velocidade v, s´o que nesse caso estamos interessados na varia¸ca˜o da posi¸ca˜o angular ocorrida no MCU. Ent˜ ao: θ − theta0 ∆θ = ω= ∆t t Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular ser´a 2π e t = T , temos ω= 2π = 2πf T v2 R v(t) v (t +∆ t) ac ∆v v(t) v (t +∆ t) ∆θ=ω ∆t θ=ω t ∆θ=ω ∆t R Figura 2: A acelera¸ca ˜o centr´ıpeta (normal). 65 Ondas – Aula 1 Pense um Pouco! d) 6/π Hz e) 10/π Hz • Certos fenˆomenos da natureza, como a trajet´oria da Terra em torno do Sol e o movimento dos sat´elites 5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de apresentam movimento circular uniforme? Dˆe exem- 500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s. A acelera¸ca˜o do ciclista ´e: plos. a) 0, 5 m/s2 • Imagine um disco girando em torno do seu centro. b) 0, 8 m/s2 As velocidades de todos os seus pontos s˜ao iguais em c) 1, 4 m/s2 m´odulo? Explique. d) 0, 6 m/s2 e) 1, 2 m/s2 • Como s˜ao os vetores de velocidade de diferentes pontos de uma mesma roda (disco) que gira? Fa¸ca um esbo¸co 6. (CEFET-PR) A ´orbita da Terra em torno do Sol, em dos vetores. raz˜ ao da sua baixa excentricidade, ´e aproximadamente uma circunferˆencia. Sabendo-se que a terra leva um ano para re• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de alizar uma volta completa em torno do Sol e que a distˆancia um rel´ogio mecˆanico? m´edia da Terra ao Sol ´e 150 milh˜ oes de km, os m´odulos dos vetores da velocidade e acelera¸ca˜o em km/s e m/s2 s˜ao respectivamente: Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao a) 10 e 2, 0 × 10−3 b) 20 e 2, 0 × 10−3 −3 1. (FCC) Uma part´ıcula executa um movimento uniforme c) 30 e 6, 0 × 10 −3 sobre uma circunferˆencia de raio 20 cm. Ela percorre me- d) 20 e 6, 0 × 10 −3 tade da circunferˆencia em 2, 0 s. A frequˆencia, em hertz, e e) 10 e 6, 0 × 10 o per´ıodo do movimento, em segundos, valem, respectivamente : a) 4,0 e 0,25 b) 1,0 e 1,0 c) 0,25 e 4,0 Ondas d) 2,0 e 0,5 e) 0,5 e 2,0 Ondas Aula 1 Movimento Harmˆ onico Simples 2. (UFES) Uma pessoa est´ a em uma roda-gigante que tem raio de 5 m e gira em rota¸ca˜o uniforme. A pessoa passa pelo ponto mais pr´oximo do ch˜ ao a cada 20 segundos. Podemos afirmar que a frequˆencia do movimento dessa pessoa, em rpm, ´e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 O movimento harmˆonico simples (MHS) ´e um movimento repetitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observamos um peso suspenso por uma mola bastante flex´ıvel (movimento na vertical); ou ent˜ ao suspenso por um fio longo (movimento na horizontal - pˆendulo simples). Todo MHS pode ser pensado como sendo a proje¸ca˜o de um movimento circular e uniforme num dos diˆametros da circunferˆencia percorrida. Para isto, admita um eixo cartesiano com origem no centro da circunferˆencia correspondente ao movimento circular. 3. (ITA) Um autom´ ovel percorre uma trajet´oria com velo- Vocˆe poder´ a estudar a proje¸ca˜o sobre o eixo dos x, obtendo cidade escalar constante. A roda do autom´ ovel, cujo raio uma equa¸ca˜o do tipo ´e 30 cm, d´ a 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular da roda ´e, em rad/s: x(t) = R cos(ωt + θ0 ) a) 20π rad/s ou sobre o eixo dos y, obtendo a equa¸ca˜o an´aloga b) 30π rad/s c) 40π rad/s y(t) = Rsen (ωt + θ0 ) d) 50π rad/s e) 60π rad/s Para o movimento circular sabemos que R ´e o raio da circunferˆencia, ω a velocidade angular do objeto em movimento circular e uniforme, e θ0 ´e a posi¸ca˜o angular inicial ocuExerc´ıcios Complementares pada pelo objeto no instante t0 = 0 (θ0 equivale, em termos angulares, ao s0 dos movimentos estudados ao longo de tra4. (ACAFE) Um autom´ ovel percorre uma estrada com ve- jet´orias). locidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodas possuem raio R = 0, 40 m. A frequˆencia de rota¸ca˜o da roda ´e: a) 5/π Hz b) 8/π Hz c) 12/π Hz Assim, podemos entender o significado das constantes do MHS: R = A ´e a amplitude do movimento a partir do centro de oscila¸ca˜o; ω recebe tamb´em a denomina¸ca˜o de frequˆ encia angular , em que T ´e o per´ıodo do (´e f´acil demonstrar que w = 2π T 66 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC MHS; ωt + θ0 , o argumento do seno (ou cosseno), ´e a chamada fase do movimento, e depende do tempo t e, desta forma, quando t = 0 temos (ωt + θ0 ) = θ0 ; θ0 ´e a fase inicial. Depois desse entendimento, podemos reescrever as equa¸co˜es anteriores em termos das amplitudes A ao inv´es do raio R, ent˜ ao: x(t) = A cos(ωt + θ0 ) y(t) = Asen (ωt + θ0 ) — www.mundofisico.joinville.udesc.br sobre o qual fixamos o eixo x, com origem onde a vertical tirada do ponto de suspens˜ ao do pˆendulo corta esse eixo. Ent˜ ao, fazendo x sen θ = , L o m´odulo da for¸ca resultante sobre a part´ıcula fica: F (x) = − mg x L An´ alise dos Sinais O sinal negativo indica que a for¸ca resultante aponta na mesma dire¸ca˜o que aquela escolhida como positiva para o Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observa eixo x quando a elonga¸ca˜o ´e negativa e na dire¸ca˜o oposta em um pˆendulo simples. O pˆendulo simples consiste em uma quanto a elonga¸ca˜o ´e positiva. Ou seja, a for¸ca ´e restaupart´ıcula de massa m suspensa por um fio inextens´ıvel, de radora, pois quando a part´ıcula vai para a direita (x > 0) massa desprez´ıvel e comprimento L, que oscila num plano a for¸ca horizontal “puxa”ela para a esquerda (F < 0), e vertical, fixo na extremidade superior do fio, como vemos quando ela vai para a esquerda (x < 0), a for¸ca a “empurra”de volta par a direita (F > 0). Atrav´es desse tipo de na figura abaixo: for¸ca ´e que se obt´em o MHS. Pˆ endulo Simples 1111111111111111 0000000000000000 Observe que a for¸ca dada acima tem a forma geral F (x) = −kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa for¸ca lembra alguma outra lei ou sistema f´ısico j´a estudado? Qual? L Dica de Vestibular θ T x mg cos θ mg sen θ O DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem em vestibulares s˜ao o per´ıodo (T ) e a frequˆencia (f ) de um pˆendulo simples, n˜ ao que as outras grandezas n˜ ao tenham importˆ ancia e sim pela sua simplicidade matem´atica e conte´ udo te´orico, ent˜ ao, resumidamente em termos do per´ıodo temos: 2π T = ω T = 2πf mg T = T = 2π Figura 1: Pˆendulo Simples. Esse problema pode ser considerado um problema de MHS somente para pequenos ˆ angulos de abertura, ou seja, afastase o pˆendulo ligeiramente de sua posi¸ca˜o de equil´ıbrio, e solta-se. Observa-se que a part´ıcula executa um movimento circular de raio L, por´em de vai-e-vem, portanto com velocidade vari´avel. Ignorando a resistˆencia do ar, as for¸cas que atuam sobre a part´ıcula s˜ao a for¸ca peso, exercida pela Terra, e a tens˜ ao, exercida pelo fio. Como o fio ´e inextens´ıvel, a componente do peso ao longo do fio cancela a for¸ca de tens˜ao. A resultante das for¸cas que atuam sobre a part´ıcula ´e, portanto, a componente do peso na dire¸ca˜o do movimento da part´ıcula, cujo m´odulo vale mgsen (θ). A part´ıcula do pˆendulo descreve um arco de circunferˆencia. Mas, se a amplitude do movimento ´e muito menor que o comprimento L do fio, ou seja, se o ˆ angulo θ ´e pequeno, podemos aproximar o arco por um segmento de reta horizontal 1 f s L g E em termos da frequˆencia temos: f= w 2π f= f= 1 2π 1 T r g L Pense um Pouco! 1. Como podemos determinar a acelera¸ca˜o da gravidade com um pˆendulo Simples? 2. O movimento de transla¸ca˜o da terra em torno do sol ´e um MHS? 67 Ondas – Aula 2 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Onda Mecˆ anica Precisa de um meio mecˆanico natural para se propagar (n˜ao 1. Um pˆendulo oscila, na Terra com per´ıodo igual a 4 sese propaga no v´acuo). gundos. Determinar o per´ıodo desse mesmo pˆendulo em um planeta onde a acelera¸ca˜o da gravidade ´e quatro vezes maior Exemplos Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na suque a da Terra. perf´ıcie da ´agua ou numa membrana esticada (tambor). 2. Um MHS (movimento harmˆ onico simples) ´e descrito pela fun¸ca˜o hor´ aria x(t) = 5cos(πt/2 + 3π/2), com x em metros ´ correto afirmar que: e t em segundos. E Onda Eletromagn´ etica a) a amplitude do movimento ´e 10 m. b) a velocidade angular ´e 5π/2 rad/s. N˜ ao necessita de um meio mecˆanico para se propagar, e pode c) a frequˆencia do movimento ´e 0, 25 Hz. se propagar no v´acuo ou tamb´em em meios mecˆanicos. d) o per´ıodo do movimento ´e 0, 50 s. Exemplos e) a fase inicial ´e 3π radianos. Ondas de r´adio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor, 3. Um pˆendulo simples de massa m executa oscila¸co˜es de como aquelas que vem do Sol at´e a Terra pelo v´acuo intepequena abertura angular e realiza um MHS. Ent˜ ao o seu restelar. per´ıodo de oscila¸ca˜o: a) independe do comprimento do pˆendulo. b) ´e proporcional ao comprimento do pˆendulo. Classifica¸c˜ ao das Ondas c) independente do valor da acelera¸ca˜o da gravidade local. d) ´e inversamente proporcional ao valor da acelera¸ca˜o da Quanto ao tipo de perturba¸ca˜o propagada pela onda, elas gravidade local. s˜ao classificadas em transversais ou longitudinais. e) independe da massa m. Exerc´ıcios Complementares 4. Fa¸ca testes num´ericos para estimar at´e onde vale a rela¸ca˜o sen θ ≈ θ, para ˆ angulos theta dados em rad, com a precis˜ao de at´e duas casas decimais. Ondas Transversais S˜ ao aquelas em que a dire¸ca˜o das oscila¸co˜es ´e perpendicular (ou transversal) `a dire¸ca˜o da propaga¸ca˜o da onda. Vibraçao corda Propagaçao T T 5. Para dobrar a frequˆencia de oscila¸ca˜o de um pˆendulo simples ´e suficiente: a) transport´ a-lo para um planeta de acelera¸ca˜o da gravidade duas vezes maior. b) transport´ a-lo para um planeta de acelera¸ca˜o da gravidade quatro vezes. Figura 1: Onda transversal. c) dobrar o comprimento do fio. d) reduzir `a quarta parte o comprimento do fio. Exemplos e) dobrar a massa pendular. Nas ondas eletromagn´eticas, um campo el´etrico e um 6. Ache a rela¸ca˜o entre o comprimento de dois pˆendulos magn´etico oscilam em planos perpendiculares `a dire¸ca˜o ao, por exemplo, para que um realize nove oscila¸co˜es enquanto o outro realiza de propaga¸ca˜o da onda. Por esta raz˜ convencionou-se posicionar as antenas de r´adio em p´e, para dezesseis oscila¸co˜es. que o campo el´etrico seja emitido verticalmente, enquanto 7. Determine o comprimento de um pˆendulo simples que a onda se propaga horizontalmente, e desta forma possa ser possui per´ıodo igual a 1, 0 s. Use g = 10 m/s2 . captado pelas antenas receptoras. Ondas Aula 2 Ondas Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por uma perturba¸ca˜o que se propaga atrav´es de um meio. Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada, ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um pulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longo da dire¸ca˜o da corda, horizontalmente. Se observarmos de perto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenas sobe e desce, quando o pulso passa pela corda. N˜ ao h´ a um deslocamento horizontal da corda (meio mecˆanico). Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondulat´ orio causado pelos espectadores, a “ˆ ola”. Num movimento coordenado, os espectadores levantam e sentam, proTipos de Ondas vocando a propaga¸ca˜o de uma onda pelas arquibancadas, Quanto `a necessidade ou n˜ ao de um meio mecˆanico, as ondas que tamb´em ´e uma onda transversal. Observe que, se todos se classificam em dois grandes grupos: as ondas mecˆ anicas levantassem e sentassem ao mesmo tempo, nenhuma onda e as ondas eletromagn´ eticas. seria observada. 68 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Ondas Longitudinais No caso de ondas na superf´ıcie de uma piscina ou lago, ou mesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temos Como o pr´oprio nome diz, a onda longitudinal transporta ondas bidimensionais. oscila¸co˜es (vibra¸co˜es) cuja dire¸ca˜o coincide com a dire¸ca˜o da propaga¸ca˜o, ou seja, ao longo da dire¸ca˜o de propaga¸ca˜o. Ondas Tridimensionais propagação da onda compressões empurrar para a ponta fixa S˜ ao aquelas que se propagam em todas as trˆes dire¸co˜es do espa¸co, tornando a sua descri¸ca˜o, bastante trabalhosa. Exemplos Na explos˜ao de uma “bombinha”, aquelas que a gente soltava quando moleque, s˜ao produzidas ondas sonoras que se propagam a partir de um ponto (pequena regi˜ao do espa¸co) para todas as dire¸co˜es, formando verdadeiras ondas Figura 2: Onda longitudinal. esf´ericas, que poder˜ ao ser percebidas por pessoas no ch˜ ao, ou mesmo p´ assaros no ar, pois se propagam tridimensionalExemplos As ondas sonoras s˜ao ondas de press˜ ao que se propagam mente. longitudinalmente em meios s´olidos, l´ıquidos ou gasosos. Quando vocˆe d´ a uma martelada na extremidade de uma Energia Transmitida longa barra de ferro (de constru¸ca˜o), a compress˜ ao causada na dire¸ca˜o da barra se propaga, fazendo os pontos da barra Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, pode´ claro que uma barra de oscilarem na dire¸ca˜o da barra. E mos classific´a-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas ferro pode propagar, ao mesmo tempo, tanto ondas longi- t´ermicas, etc. tudinais quanto ondas transversais. Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com uma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos Elementos de uma Onda verificar que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremiodicas dade livre, batendo verticalmente, um pulso de compress˜ao Ondas Peri´ ser´a propagado longitudinalmente, subindo na mola. S˜ ao aquelas que recebem pulsos peri´odicos, ou seja, recebem Quando um pescador convencional estica sua linha (espera pulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam por ou espinhel) para pescar, ele percebe a “beliscada”do peixe um mesmo ponto com a mesma frequˆencia. pelas ondas longitudinais transportadas at´e a sua m˜ao, pela linha tensa. Quando usa uma b´ oia, ou rolha, ele vˆe as ondas transversais causadas na superf´ıcie da ´ agua pelas beliscadas Unidades SI dos peixes. Em ambos os casos, as ondas est˜ ao sendo usadas As ondas peri´odicas possuem alguns elementos b´ asicos, que para transmitir informa¸ c˜ ao, compreendeu? s˜ao: o per´ıodo P (ou T ), medido em s; Ondas no Espa¸co o comprimento de onda λ, medido em m; a frequˆencia f , medida em s−1 ou Hz (hertz); Quanto ao tipo de propaga¸ca˜o e a complexidade do movia amplitude y, medida em m; mento espacial das ondas, podemos classific´a-las em unidique podem ser verificados na figura abaixo. mensionais, bidimensionais ou tridimensionais. puchar oscilações rarefações Comprimento de Onda Ondas Unidimensionais Amplitude Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda se propaga de forma unidimensional, pois simplificamos a sua descri¸ca˜o reduzindo o movimento ondulat´ orio `a uma dimens˜ao mais relevante. Exemplo Por exemplo, ao estudar a propaga¸ca˜o de uma onda sonora dentro de um tubo longo, podemos considerar a onda unidimensional, dentro do tubo. x Figura 3: Elementos de uma onda senoidal. Rela¸ c˜ ao Matem´ aticas Ondas Bidimensionais v = λf Em outros casos, ´e evidente que o movimento ondulat´ orio onde n˜ ao pode ser restrito `a uma dire¸ca˜o (dimens˜ ao), pois ocorre v ´e = velocidade de propaga¸ca˜o da onda no meio sobre uma superf´ıcie bidimensional. λ ´e o comprimento da onda f ´e a frequˆencia da onda. Exemplos 69 Ondas – Aula 3 Pense um Pouco! d) apenas II e III e) I, II e III • Uma pessoa toca numa corda de um viol˜ ao uma nota e vocˆe ouve o som. Identifique os v´arios tipos de ondas 6. A onda sonora ´e classificada como ........ pois a sua propaga¸ca˜o ocorre somente em meio ........, que vibra com envolvidos no processo completo. Comente. a onda deslocando-se na dire¸ca˜o ......... `a sua dire¸ca˜o de • N´ os enxergamos usando luz. Seria poss´ıvel se enxergar propaga¸ca˜o. com outro tipo de ondas como o som, por exemplo? a) mecˆanica – material – paralela Justifique. b) mecˆanica – gasoso – paralela c) mecˆanica – s´olido – perpendicular d) eletromagn´etica – material – perpendicular Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao e) eletromagn´etica – material – paralela 7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada 1. A distˆancia entre o n´ıvel de repouso da ´ agua e a num lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movi“crista”de uma onda, ´e chamada de: mento sobe-e-desce. Ele conclui que a frequˆencia das ondas a) timbre ´e: b) per´ıodo a) 1 41 s c) amplitude b) 1, 25 m d) ressonˆancia c) 0, 80 s−1 e) comprimento de onda d) 1, 25 Hz e) 20/s 2. Ondas que oscilam na mesma dire¸ca˜o em que se propagam s˜ao chamadas de ondas: a) transversais b) eletromagn´eticas c) tensoriais d) gravitacionais Ondas e Interferˆ encia e) longitudinais Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma regi˜ao do 3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranquilo, espa¸co d´ a-se o que chamamos de interferˆ encia. O resulformam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cir- tado da interferˆencia entre duas ondas depende da diferen¸ca culares ´e uma evidˆencia de que: de fase entre elas. a) as ondas transportam energia Para se entender o efeito combinado de duas ou mais onb) as ondas transportam mat´eria c) a velocidade de propaga¸ca˜o das ondas ´e a mesma em to- das se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante, assumimos como v´alido o princ´ıpio de superposi¸ c˜ ao: das as dire¸co˜es “Os deslocamentos causados no meio pela presen¸ c a de duas d) a velocidade de propaga¸ca˜o das ondas depende da densiou mais ondas s˜ a o somados, ou seja, superpostos, como se dade da pedra cada onda continuasse se propagando como se as outras n˜ a o e) a pedra afundou depois de atingir a ´ agua. existissem.” Ondas Aula 3 Exerc´ıcios Complementares 4. As ondas eletromagn´eticas, como as ondas luminosas, propagam-se independentemente do meio. No v´acuo, todas as ondas eletromagn´eticas possuem: a) a mesma amplitude b) a mesma frequˆencia c) a mesma velocidade d) o mesmo comprimento de onda e) a mesma energia 5. Considere as afirma¸co˜es abaixo: I. As ondas luminosas s˜ao constitu´ıdas pelas oscila¸co˜es de um campo el´etrico e de um campo magn´etico. II. As ondas sonoras precisam de um meio material para se propagar III. As ondas eletromagn´eticas n˜ ao precisam de um meio material para se propagar. Quais delas s˜ao corretas? a) apenas I b) apenas I e II c) apenas I e III Ou seja, uma n˜ ao afeta as outras, mas o que observamos ´e o efeito conjunto de todas as ondas. Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso simples, os deslocamentos do meio ser˜ao somados algebricamente, podendo-se obter interferˆencia destrutiva e construtiva. Interferˆ encia Destrutiva Na figura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coincidentes. As duas tˆem a mesma amplitude, o mesmo comprimento e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento m´aximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferen¸ ca de fase entre elas ´e zero. Ou seja, as ondas est˜ ao em fase. Nesse caso, a interferˆencia ´e chamada de construtiva, pois uma onda soma-se `a outra, refor¸cando-a, e o resultado ´e uma u ´ nica onda cuja amplitude ´e a soma das duas amplitudes. Interferˆ encia Destrutiva Quando superpomos duas ondas, sendo que um deslocamento m´aximo positivo de uma corresponde com o deslo- 70 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Figura 1: Interferˆencia construtiva. Figura 3: Interferˆencia geral. camento m´aximo negativo da outra, os efeitos (amplitude resultante) tendem a se cancelar. Na outra figura abaixo, as duas ondas tˆem uma diferen¸ca de fase de “meia onda”. Isso faz com que um alto de uma delas coincida com um baixo da outra. Acontece, ent˜ ao, uma interferˆencia destrutiva entre elas. O resultado ´e que ¯ uma anula completamente o efeito da outra. Nessa regi˜ao n˜ ao haver´a mais onda nenhuma. coloca uma m´ usica num volume bem alto num aparelho de som potente, todos os outros ir˜ ao ouvi-la. Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tipos de ondas) tem a capacidade de contornar obst´aculos. A esta habilidade definiu-se o nome de difra¸ c˜ ao, que ocorre devido ao fato do comprimento de onda dos sons variarem de alguns cent´ımetros a v´arios metros, de forma que estas ondas s˜ao ”grandes”em compara¸ca˜o com as aberturas e obst´aculos frequentemente encontrados na natureza. Um crit´erio simples para saber se a difra¸ca˜o ser´a observada numa onda, ao passar por um obst´aculo ou abertura de tamanho D, ´e o de que o comprimento de onda λ usado seja da ordem aproximada do tamanho D, ou seja: λ≈D Figura 2: Interferˆencia destrutiva. Quando partes de uma onda s˜ao atrapalhadas pela presen¸ca de obst´aculos, sua propaga¸ca˜o no meio considerado torna-se bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio d’´agua com ondas planas se propagando em sua superf´ıcie. Veja figura abaixo: Caso Geral de Interferˆ encia Em geral, podemos observar num mesmo meio a propaga¸ca˜o de ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, n˜ ao sendo poss´ıvel a observa¸ca˜o da interferˆencia construtiva e nem da destrutiva, mas a onda resultante ´e resultado da interferˆencia geral entre as ondas, chamadas de componentes. Na figura a seguir, as duas ondas tˆem uma diferen¸ca de fase gen´erica. A interferˆencia entre elas n˜ ao ´e totalmente construtiva nem totalmente destrutiva. O resultado ´e uma onda u ´ nica cuja amplitude tem qualquer valor entre zero e a soma das amplitudes das ondas, dependendo da diferen¸ca de fase entre elas. Difra¸ c˜ ao ´ poss´ıvel ouvir o som produzido por uma explos˜ E ao que se situa atr´ as de um muro delimitador, mesmo que este tenha grande espessura de tal forma que as ondas sonoras n˜ ao consigam atravess´a-lo. Da mesma forma, se algum membro da sua fam´ılia que est´ a trancado sozinho num dos quartos Figura 4: Difra¸ca ˜o de ondas na a ´gua. O estudo da difra¸ca˜o ´e importante nos dias de hoje para estudar a natureza de defeitos pontuais, intersticiais e mesmo a cristalinidade em materiais, possibilitando desta maneira estudar se um material ´e ou n˜ ao adequado ao emprego em pesquisas, experimentos ou mesmo em ind´ ustrias. 71 Ondas – Aula 3 Para Saber Mais! frequˆencia muito baixa) com comprimento de milh˜ oes de quilˆ ometros, da ordem de 101 2 metros (terametros). Como vimos na se¸ca˜o anterior, sempre que a diferen¸ca de Dentro desta enorme faixa, apenas uma estreita janela comfase entre duas ondas for zero, 1 comprimento de onda, 2 porta os comprimentos de onda que sensibilizam nossos comprimentos de onda etc, as ondas interferem construtivaolhos ´e a denominada luz vis´ıvel. Esta faixa vai desde mente e suas amplitudes se somam. Mas, se a diferen¸ca de o violeta (4 × 10−7 m) ao vermelho (7 × 10−7 m). Entre fase for de meio comprimento de onda, trˆes meios compri- estes dois valores est˜ ao as cores do espectro vis´ıvel, onde mentos de onda etc, elas interferem destrutivamente e suas operam os telesc´opios ´opticos, por exemplo. amplitudes se subtraem. Imagine ent˜ ao que um feixe de raios-X incida sobre um cristal. Como o espa¸camento entre os ´ atomos do cristal tem um valor compr´ avel com o comprimento de onda do raio-X, o feixe se refletir´ a nos planos dos ´ atomos como em um espelho. Veja o se passa com dois raios que incidem em planos vizinhos. Os m´aximos (”altos”) de cada onda s˜ao assinalado com uns tracinhos.Um dos raios, incide no plano de baixo e percorre uma distˆancia um pouco maior que o outro. A diferen¸ca entre os dois caminhos ´e mostrada. Nesse desenho, essa diferen¸ca ´e exatamente um comprimento de onda. Portanto, os raios refletidos (ou ”difratados”, no caso) saem ´ claro que isso s´o em fase e ter˜ ao interferˆencia construtiva. E acontece para um ˆangulo de incidˆencia bem determinado. Raio X incidente Raio X difratado ’ Atomos Figura 6: Espectro eletromagn´etico. O tamanho reduzido da “janela vis´ıvel”nos mostra a importˆ ancia dos instrumentos sens´ıveis a outros comprimentos de onda. Radiotelesc´opios operando na faixa das microondas conseguiram mapear a nossa gal´ axia, enquanto telesc´opios sens´ıveis a raios X est˜ ao em ´orbita localizando quasares. ´ interessante observar que o Sol irradia ondas eletroE magn´eticas em todos os comprimentos de onda, por´em o m´aximo de energia emitida (cor amarela) est´ a justamente dentro da pequena faixa do nosso espectro vis´ıvel. Os cientistas acreditam que a vis˜ao tenha evolu´ıdo durante milh˜ oes de anos de adapta¸co˜es e otimiza¸co˜es, deslocando a nossa capacidade visual em dire¸ca˜o ao ponto ´otimo, pr´oximo ao pico de radia¸ca˜o solar, correspondente `a cor do amarelo. Alguns animais, como o gato e outros predadores de vida noturna, podem perceber visualmente radia¸ca˜o infravermelhas, as chamadas radia¸co˜es t´ermicas, e localizam mam´ıferos (de sangue quente) enxergando-os no escuro, j´a que emitem ondas t´ermicas, que para n´ os s˜ao invis´ıveis. Figura 5: Difra¸ca ˜o de raio-X. Se vocˆe sabe um pouco de trigonometria pode ver, na figura, que a diferen¸ca de caminhos ´e 2dsen θ, onde ´e o ˆ angulo entre a dire¸ca˜o dos raios-X e o plano de ´ atomos do cristal. A interferˆencia ser´a construtiva e, portanto, haver´ a um feixe difratado apenas no caso em que essa diferen¸ca de caminhos for um n´ umero inteiro de comprimentos de onda do raio-X. Isto ´e, se 2dsen(θ) = nλ com n ∈ N, haver´a um feixe difratado. Essa ´e a famosa lei de Bragg. Vocˆ e Sabia? Natureza Ondulat´ oria da Luz Pense um Pouco! • Quando uma banda de rock toca, observa-se o fenˆomeno da interferˆencia? Explique. • Se a luz difratasse em qualquer condi¸ca˜o, quais fenˆomenos do nosso cotidiano seriam alterados? • Porque n˜ ao conseguimos sintonizar as r´adios FM atr´ as de morros, e as r´adios AM sim? Determine o comprimento de onda t´ıpico de cada uma dessas faixas de r´adio, compare e explique. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Observa-se a interferˆencia de duas ondas quando: a) elas possuem a mesma frequˆencia O que ´e a luz? A luz ´e uma radia¸ca˜o eletromagn´etica dual, b) elas possuem a mesma amplitude que se comporta, ora como onda, ora como mat´eria, e viaja c) elas se propagam em sentidos opostos a cerca de 300.000 km/s no v´acuo. ` d) elas s˜ao transversais Na verdade, as radia¸ co ˜es eletromagn´ eticas cobrem uma e) elas se propagam no mesmo meio e no mesmo instante extensa faixa de comprimentos de onda, desde os raios ao fenˆomenos ondulat´ orios comuns `a qualquer tipo de c´ osmicos, com comprimentos de onda menores que 10−18 2. S˜ metros (attometros), at´e as VLF (ondas de r´adio de onda: 72 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC a) interferˆencia – aniquila¸ca˜o – transporte b) difra¸ca˜o – amortecimento – in´ercia c) interferˆencia – difra¸ca˜o – reflex˜ ao d) refra¸ca˜o – dispers˜ao – simetria e) energia – momento – ressonˆancia — www.mundofisico.joinville.udesc.br Som Aud´ıvel Se a frequˆencia da onda sonora pertence ao intervalo de, 16 Hz a 20 kHz, esse som ´e aud´ıvel para o ser humano. 3. Um apito produz um som de frequˆencia igual a 1.360 Hz no ar, onde as ondas se propagam com velocidade de 340 m/s. Ent˜ ao, o comprimento das ondas geradas ´e: a) 4 m b) 25 m c) 40 cm d) 25 cm e) 0, 25 km Exerc´ıcios Complementares Ultra-som e Infra-som Ondas longitudinais de frequˆencias superiores a 20 kHz, caracterizam sons inaud´ıveis para n´ os e denominam-se ultra4. O ouvido humano normal pode perceber sons de sons. Aquelas de frequˆencias inferiores a 16 Hz, tamb´em frequˆencia no intervalo de 20 Hz a 20 kHz – a chamada inaud´ıveis, s˜ao ditas infra-sons. faixa aud´ıvel. Assinale a u ´ nica alternativa correta: a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hz Velocidade de Propaga¸c˜ ao do Som b) o som ´e uma onda mecˆanica longitudinal c) o som ´e uma onda longitudinal O som possui velocidades de propaga¸ca˜o definidas para cada d) o som ´e uma onda eletromagn´etica meio de propaga¸ca˜o, podendo este ser o ar, ´agua, metais e) todo som na faixa aud´ıvel se propaga no v´acuo entre outros, a velocidade de propaga¸ca˜o do som no ar nas ao ´e a mais conhe5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes igual condi¸co˜es normais de temperatura e press˜ cida de todas: a 30 cm e 40 cm, um em dire¸ca˜o ao outro. No instante em que eles se superp˜ oem, pode-se dizer que: vsom = 343 m/s = 1234 km/h a) ocorrer´a interferˆencia destrutiva b) a amplitude observada ser´a 70 cm A velocidade do som foi ultrapassada por um avi˜ ao h´ a muic) ocorrer´a interferˆencia destrutiva tos anos atr´ as, quando quebrou-se a chamada “barreira do d) a amplitude resultante dever´ a estar no intervalo som”pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997, [10 cm, 70 cm] ela foi ultrapassada por um autom´ ovel. e) n. d. a. Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais: 6. Um motor el´etrico desbalanceado gira a 1.800 rpm e provoca um ru´ıdo grave e cont´ınuo, que ´e amplificado pelo mesa onde est´ a fixo e pode ser ouvido claramente. Pode-se afirmar que: a) a frequˆencia do ru´ıdo ´e cerca de 30 Hz b) o motor est´ a com os rolamentos gastos c) a mesa n˜ ao ´e de boa qualidade d) ´e melhor desligar o motor e chamar a CELESC e) a mesa come¸car´ a a “andar”por trepida¸ca˜o Ondas Aula 4 Meio ar hidrogˆenio oxigˆenio ´agua pura chumbo alum´ınio cobre ferro granito borracha Temperatura (◦ C) 0 0 0 15 20 20 20 20 0 0 Velocidade (m/s) 331 1.286 317 1.450 1.230 5.100 3.560 5.130 6.000 54 Pense um Pouco! Som Fontes Sonoras Em geral, ao estudo da produ¸ca˜o (fontes sonoras), propaga¸ca˜o e fenˆomenos correlatos sofridos pela onda mecˆanica sonora ou aud´ıvel, denomina-se Ac´ ustica, denominaremos por som `a toda onda mecˆanica sonora (intensidade suficiente e frequˆencia limitada num certo intervalo). • Porque n˜ ao escutamos o som que os morcegos emitem para “enxergar”? • Porque os ´ındios norte-americanos colocavam o ouvido no ch˜ ao? • Ao observarmos um pedreiro de longe, martelando algo, percebemos que sua imagem n˜ ao est´ a sincronizada com os sons que ele produz (com as marteladas). Por quˆe? 73 Ondas – Aula 5 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Ao observar uma grande explos˜ ao em uma pedreira, de longe, uma pessoa percebe, nessa ordem: a) a luz - o ru´ıdo - as oscila¸co˜es do ch˜ ao b) o ru´ıdo - a luz - as oscila¸co˜es do ch˜ ao c) as oscila¸co˜es do ch˜ ao - o ru´ıdo - a luz d) as oscila¸co˜es do ch˜ ao - a luz - o ru´ıdo e) a luz - as oscila¸co˜es do ch˜ ao - o ru´ıdo 2. Um m´etodo antigo de se determinar a profundidade de um po¸co fundo e escuro ´e soltar-se uma pedra na sua boca, disparar-se um rel´ogio (ou cronˆometro) e medir-se o intervalo de tempo at´e que se ou¸ca o barulho. Sendo vsom a velocidade do som no ar, h a profundidade do po¸co e g a acelera¸ca˜o da gravidade, o intervalo de tempo medido no rel´ogio ser´a: a) ∆t = 2h/v √ som b) ∆t = p2gh + h/vsom c) ∆t = p2h/g + h/vsom d) ∆t = 2h/g e) n. d. a. 3. Um m´etodo popular para determinar-se a que distˆancia x, em kilˆometros, caiu um raio ´e, observar-se o relˆampago e medir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar para ouvimos o estrondo. Pode-se afirmar que: a) x ≈ t/2 b) x ≈ t/3 c) x ≈ t/4 d) x ≈ t/5 e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares 4. O ditado popular de que “as paredes tem ouvidos”est´a relacionado diretamente com o fenˆomeno ondulat´ orio chamado: a) ressonˆancia b) reflex˜ ao c) difra¸ca˜o d) absor¸ca˜o e) n. d. a. 5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de onda de 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meio onde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimento de onda? a) 2/3 m b) 3/2 m c) 1/2 m d) 1/6 m e) n. d. a. 6. Uma certa esp´ecie de morcego utiliza ultra-sons de 33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu vˆoo noturno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s, pode-se afirmar que: a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimento b) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimento c) ele usa ondas com 100 mm de comprimento d) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimento e) n. d. a. Ondas Aula 5 Efeito Doppler Qualidades Fisiol´ ogicas do Som A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essa diferen¸cas que nossos ouvidos percebem se devem `as qualidades fisiol´ ogicas do som: altura, intensidade e timbre. Altura Mesmo sem conhecer m´ usica, ´e f´acil distinguir o som agudo (ou fino) de um violino, do som grave (ou grosso) de um violoncelo. Essa qualidade que permite distinguir um som grave de um som agudo se chama altura. Assim, costuma-se dizer que o som do violino ´e alto e o do violoncelo ´e baixo. A altura de um som depende da frequˆ encia, isto ´e, do n´ umero de vibra¸co˜es por segundo. Quanto maior a frequˆencia mais agudo ´e o som e vice-versa. Por sua vez, a frequˆencia depende do comprimento do corpo que vibra e de sua elasticidade. Quanto maior a tens˜ao (tra¸ca˜o) e mais curta for uma corda de viol˜ ao, por exemplo, mais agudo vai ser´a o som por ela emitido. Vocˆe pode constatar tamb´em a diferen¸ca de frequˆencias usando um pente que tenha dentes finos e grossos. Passando os dentes do pente na bosta de um cart˜ao vocˆe ouvir´a dois tipos de som emitidos pelo cart˜ao: o som agudo, produzido pelos dentes finos (maior frequˆencia), e o som grave, produzido pelos dentes mais grossos (menor frequˆencia). Intensidade ´ a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso) E de um som fraco (suave). A intensidade depende da amplitude de vibra¸ca˜o: quanto maior a amplitude mais forte ´e o som e vice-versa. Quanto mais energia pudermos captar de uma onda sonora, com mais intensidade ela ser´a percebida. Por exemplo, quando o m´edico vai ouvir o cora¸ca˜o de um paciente, ele precisa concentrar mais energia para aumentar a intensidade do som a ser ouvido, e por isso ele usa aquele famoso aparelho que capta e canaliza o som direto para o seu ouvido. Na pr´atica n˜ ao interessa aos nossos ouvidos diretamente a intensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim o n´ıvel sonoro, uma grandeza relacionada `a intensidade sonora e `a forma como o nosso ouvido reage a essa intensidade. Essas unidades s˜ao o bel e o seu subm´ ultiplo o decibel (dB), que vale 1 d´ecimo do bel. O ouvido humano ´e capaz de suportar sons de at´e 120 dB, como num show de rock, por exemplo. O ru´ıdo produzido por um motor de avi˜ ao `a jato a poucos metros do observador produz um som de cerca de 140 dB, e ´e capaz de causar est´ımulos dolorosos ao ouvido humano. A agita¸ca˜o das grandes cidades provocam a chamada polui¸ca˜o sonora composta dos mais variados ru´ıdos: motores e 74 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC buzinas de autom´ oveis, martelos de ar comprimido, r´adios, televisores e etc. J´a foi comprovado que uma exposi¸ca˜o prolongada a n´ıveis maiores que 80 dB pode causar dano permanente ao ouvido. — www.mundofisico.joinville.udesc.br agudo (carro se aproximando de n´ os) `a grave (se afastando de n´ os). Qualquer crian¸ca sabe disso, e quando brinca de carrinho imita o famoso som da f´ormula I: “uu´oo´o´o´mmmm”. Eis o efeito Doppler! A intensidade de uma onda sonora diminui ` a medida que o som se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte, Observador em Movimento menos intenso ´e o som. Timbre Imagine a seguinte situa¸ca˜o: um ouvinte que n˜ ao entende de m´ usica est´ a numa sala, ao lado da qual existe outra sala onde se encontram um piano e um violino. Se uma pessoa tocar a nota d´ o no piano e logo a seguir outra pessoa tocar a mesma nota d´ o no violino, ambas com a mesma “for¸ca”, os dois sons ter˜ ao a mesma altura (frequˆencia) e a mesma intensidade. Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra sala saber´ a distinguir facilmente um som de outro, porque cada instrumento tem seu som caracterizado, ou seja, seu timbre. Podemos afirmar, portanto, que timbre ´e a qualidade que nos permite perceber a diferen¸ca entre dois sons de mesma altura e intensidade produzidos por fontes sonoras diferentes. Efeito Doppler Suponha que uma fonte estacion´ aria est´ a gerando ondas sonoras com frequˆencia f0 = 240Hz e comprimento de onda ario a uma certa distˆancia λ0 = fv0 . Um observador estacion´ da fonte ouvir´a um som com frequˆencia f0 = 240 Hz, e 240 vezes por segundo seu t´ımpano ser´a empurrado e puxado, para dentro e para fora, `a medida que os m´aximos e m´ınimos da press˜ ao alcan¸cam o ouvido. O per´ıodo de tempo entre 1 s. dois m´aximos consecutivos ´e T = f10 = 240 Suponha que o observador suba em uma motocicleta e dirija no sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1 um m´aximo de press˜ ao alcan¸ca o seu ouvido na posi¸ca˜o x. O pr´oximo m´aximo estar´ a na posi¸ca˜o x no tempo t1 + T . Mas, o ouvido n˜ ao estar´ a mais nesta posi¸ca˜o. O observador se moveu. O m´aximo tem que percorrer uma distˆancia extra antes de alcan¸car o ouvido. Esta distˆancia extra toma um tempo extra ∆t. O intervalo de tempo entre m´aximos sucessivos que alcan¸ca o ouvido do observador ´e agora T + ∆t. O per´ıodo aumentou, a frequˆencia aparente da onda diminui. Este ´e um exemplo do efeito Doppler. Se o observador estiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo entre os m´aximos alcan¸cando o ouvido ser´a mais curto que T. Suponha que no tempo t1 um m´aximo de press˜ ao alcance o ouvido na posi¸ca˜o x. O pr´oximo m´aximo chegar´a na posi¸ca˜o x no tempo t1 + T . Mas, ele chegar´a ao ouvido antes de ele alcan¸car a posi¸ca˜o x, j´a que o observador se move no sentido da fonte. Na figura abaixo os an´eis simbolizam os m´aximos da onda sonora. O intervalo de tempo entre as emiss˜ oes sucessivas ´e T , o per´ıodo da onda. Quanto maior o c´ırculo, mais tempo faz que a emiss˜ao foi feita. Todos os c´ırculos expandem com a mesma velocidade. Se um observador estiver estacion´ ario, ent˜ ao o intervalo de tempo entre a chegada dos c´ırculos sucessivos ao ouvido ´e T . A frequˆencia aparente do som que alcan¸ca o observador ´e Fonte Sonora em repouso f = f0 v + v0 v onde v ´e a velocidade do som, e v0 ´e a componente da velocidade do observador na dire¸ca˜o da fonte (v0 ´e negativo se o observador estiver se movendo para longe da fonte). Normalmente n˜ ao observamos o efeito Doppler quando nos movemos a p´e, j´a que a velocidade do som ´e muito maior do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a 90 km/h = 25 m/s na dire¸ca˜o de uma fonte, temos que Observador em repouso f = f0 340 + 25 = 1, 07 · f0 340 Figura 1: Fonte e observador em repouso: n˜ ao h´ a Movendo-se para longe da fonte d´a efeito Doppler. 340 − 25 f = f0 O efeito Doppler ´e um fenˆomeno observado com todo o tipo de onda, e possui o nome do cientista austr´ıaco Christian Doppler (1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que a frequˆencia com que uma onda ´e percebida depende tamb´em do movimento relativo da fonte sonora e do observador, o que pode ocasionar uma mudan¸ca significativa entre a frequˆencia emitida e a percebida por um detector ou pessoa. Por exemplo, numa corrida de f´ ormula I, quando um carro passa por n´ os, percebe-se claramente que o som passa de 340 = 0, 93 · f0 Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa ent˜ ao uma varia¸ca˜o de frequˆencia da ordem de 0, 14 · f0 , ou seja, de 14%, uma varia¸ca˜o razo´avel e bem percept´ıvel. S´ o para compara¸ca˜o, as teclas vizinhas de um piano geram sons com aproximadamente 6% de diferen¸ca na frequˆencia – os chamados intervalos de semi-tom. Um tom completo sendo ent˜ ao de cerca de 12%, por exemplo, a distˆancia de d´ o at´e r´e. ˆmica – Aula 1 Termodina Fonte em Movimento A frequˆencia observada de uma onda sonora tamb´em varia se o observador estiver se movendo. A frequˆencia aparente neste caso ´e dada por 75 • Se as ondas sonoras se propagam no ar, ent˜ ao o vento pode carreg´a-las e distorcˆe-las? Explique. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao v f = f0 v − vs 1. Um trem apita com frequˆencia de 400 Hz. Vocˆe ´e um ario e ouve o apito, mas o ouve com onde vs ´e a componente da velocidade da fonte na dire¸ca˜o observador estacion´ do observador (vs ´e negativo se a fonte se mover para longe frequˆencia de 440 Hz. a) Qual ´e a velocidade do trem? do observador). Nesta figura a fonte est´ a se movendo para o observador. O b) Ele se aproxima ou se afasta de vocˆe? centro de cada c´ırculo est´ a na posi¸ca˜o da fonte no momento c) Qual a varia¸ca˜o percentual no comprimento de onda que em que ela emite o m´aximo. Como a fonte est´ a se movendo vocˆe percebe, em rela¸ca˜o ao som emitido pelo trem? para a direita, o centro dos c´ırculos sucessivos move-se para 2. O efeito Doppler est´ a relacionado com: a direita. Se o observador estiver parado, ent˜ ao o intervalo a) a intensidade do som de tempo entre a chegada dos c´ırculos sucessivos ao ouvido b) a altera¸ca˜o da frequˆencia do som ´e menor do que T , e portanto, ele percebe f > f0 . c) o n´ıvel sonoro d) o timbre do som Fonte Sonora se aproximando e) n. d. a. do observador 3. Um apito para c˜ aes emitem um som de 25 kHz, e ´e inaud´ıvel para n´ os, pois s´o percebemos sons de at´e 20 kHz. a) Seria poss´ıvel testar se um tal apito est´ a funcionando, utilizando o efeito Doppler? Explique. b) Fa¸ca os c´ alculos necess´arios e verifique se isto ´e vi´ avel/poss´ıvel. v Observador em repouso Exerc´ıcios Complementares Figura 2: Fonte se aproximando do observador em re4. Se dois carros andam numa auto estrada reta, com a pouso: f > f0 . mesma velocidade, um logo atr´ as do outro por um certo Nesta figura a fonte est´ a movendo-se para longe do observador. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro dos c´ırculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observador est´ a estacion´ ario, ent˜ ao o intervalo de tempo ente a chegada dos c´ırculos sucessivos ´e maior do que T , ou seja, f <0 . Fonte Sonora se afastando do observador v Observador em repouso tempo, e o de tr´as aciona a buzina frequˆencia f0 , podemos afirmar que, o motorista do carro da frente: a) escuta um som mais agudo ainda b) escuta um som mais grave ainda c) ambos escutam a mesma frequˆencia f0 d) ningu´em escuta nada e) n. d. a. 5. Uma avi˜ ao se move com velocidade igual a 1/4 da velocidade do som, passando numa demonstra¸ca˜o sobre uma cidade num vˆoo rasante. Um observador parado no ch˜ ao perceber´a, na frequˆencia dos sons emitidos pelo avi˜ ao que se aproxima: a) Um aumento de cerca de 25% b) Uma redu¸ca˜o de cerca de 25% c) Um aumento de cerca de 33% d) Uma redu¸ca˜o de cerca de 33% e) n. d. a. 6. Um avi˜ ao militar desgovernado, voa em dire¸ca˜o a um pared˜ a o vertical de pedra que est´ a `a sua frente, em rota Figura 3: Fonte se afastando do observador em rede colis˜ a o frontal. O piloto percebe que o som emitido pelo pouso: f < f0 . avi˜ ao e refletido no rochedo tem a sua frequˆencia aumentada em 50%. Qual a velocidade do avi˜ ao? a) 1/2 da velocidade do som no ar Pense um Pouco! b) 1/3 da velocidade do som no ar c) 1/4 da velocidade do som no ar • O que um bom violonista faz para produzir sons de d) 1/5 da velocidade do som no ar diferentes intensidades, timbres e alturas? e) n. d. a. 76 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Termodinˆ amica Aula 1 — www.mundofisico.joinville.udesc.br temperatura. A parede da haste ´e graduada convenientemente, para indicar a temperatura correspondente a cada comprimento da coluna de merc´ urio. Termodinˆ amica As escalas termom´etricas mais importantes s˜ao a C´elsius, a Fahrenheit e a Kelvin, e s˜ao atribu´ıdos aos pontos fixos A Termodinˆamica ´e a parte da F´ısica Cl´assica que estuda os (ponto de fus˜ao PF e ponto de ebuli¸ca˜o da ´agua PE ), os sistemas t´ermicos, os processos de transforma¸co˜es f´ısicas que valores abaixo: ocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia, calor e o trabalho mecˆanico. Temperatura ~ Ebulicao , ’ da Agua o 212 F 100 oC 373 K Temperatura e calor s˜ao grandezas b´ asicas no estudo da TF TC T termof´ısica e tanto a sua compreens˜ ao como a sua perfeita distin¸ca˜o s˜ao de importˆ ancia vital para o entendimento de toda a termof´ısica. De maneira simplificada pode-se definir ~ o o Fusao 32 F 0 C 273 K que temperatura como uma grandeza que permite avaliar o do Gelo n´ıvel de agita¸ca˜o das mol´eculas de um corpo. De acordo com a teoria cin´etica dos gases, as mol´eculas de um g´ as movem-se livre e desordenadamente em seu interior, separadas umas das outras, e apenas interagindo entre si durante colis˜oes o o −459 F 0K −273 C Zero eventuais. A medida que se aquece o g´ as, a velocidade com que suas mol´eculas se movem aumenta, caracterizando um Absoluto aumento na energia cin´etica dessas mol´eculas, da mesma forma um resfriamento do g´ as provoca a diminui¸ca˜o da veFahrenheit Celsius Kelvin locidade e da energia cin´etica de suas mol´eculas. Como a velocidade e consequentemente a energia cin´etica de cada atomo que constitui uma mol´ecula n˜ ´ ao ´e a mesma, o estado t´ermico de um corpo ´e avaliado pela energia cin´etica m´edia encia nas diferentes escade seus ´atomos: quanto maior for a energia cin´etica m´edia Figura 1: Os pontos de referˆ las. das part´ıculas que comp˜oem um corpo, maior ser´a a sua temperatura. Calor Convers˜ ao de Temperaturas Embora usualmente se empregue o grau c´elsius (◦ C) como unidade pr´atica de temperatura, a convers˜ao entre escalas ´e muito importante, pois o kelvin ´e a unidade de temperatura do SI, e o grau Fahrenheit (◦ F ) ainda ´e bastante utilizado em livros e filmes de l´ıngua inglesa. A rela¸ca˜o entre as escalas termom´etricas pode ser obtida facilmente atrav´es de propor¸co˜es matem´aticas. Imagine-se trˆes termˆ ometros de Portanto o calor ´e a energia em trˆ ansito do corpo mais constru¸ca˜o idˆentica, cada um graduado em uma das escalas quente para o corpo mais frio por causa da diferen¸ca de (C´elsius , Fahrenheit e Kelvin), em equil´ıbrio t´ermico com temperatura dos corpos em contato t´ermico. Ent˜ ao, a uni- um mesmo corpo. Obviamente, os trˆes termˆ ometros estar˜ ao dade de medida de calor ´e a mesma unidade de energia. indicando o mesmo estado t´ermico e, portanto, apresentar˜ ao urio no mesmo n´ıvel. Observando-se os No Sistema Internacional, a unidade de energia ´e o joule as colunas de merc´ ou J, e na Qu´ımica se usa a caloria ou cal. A equivalˆencia pontos fixos j´a definidos para cada escala, e chamando de TC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas escalas C´elsius, entre as unidades ´e: Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabelecer as propor¸co˜es: 1 cal = 4, 186 J Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em contato t´ermico, observamos o mais quente esfriar e o mais frio esquentar. O corpo mais quente perde calor e o corpo mais frio ganha calor. Os corpo trocar˜ ao calor at´e a atingirem a mesma temperatura, neste caso estar˜ ao em equil´ıbrio t´ermico. Essa ´e a chamada lei zero da Termodinˆ amica. Escalas Termom´ etricas TF − 32 ◦ F T − 273 K TC − 0 ◦ C = = ◦ ◦ ◦ ◦ 100 C − 0 C 212 F − 32 F 373 K − 273 K Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas terlogo: mom´etricas a partir do termˆ ometro de merc´ urio, o mais ´ constitu´ıdo de uma haste oca de visimples e comum. E TC TF − 32 ◦ F T − 273 K dro, ligada a um bulbo contendo merc´ urio. Ao ser colocado = = ◦C ◦F 5 9 5K em contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura se quer medir, o merc´ urio se dilata ou contrai, de forma que Observe que ambas as escalas C´elsius e Kelvin s˜ao cada comprimento de sua coluna corresponde a um valor de cent´ıgradas, pois o intervalo e calibra¸ca˜o (do ponto de fus˜ao ˆmica – Aula 2 Termodina do gelo ao de ebuli¸ca˜o da ´ agua) ´e dividido em 100 graus, ou 100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo ´e subdividido em 180 partes (graus frahrenheit). Intervalos de Temperatura Converter temperaturas de uma escala para a outra n˜ ao ´e o mesmo que converter intervalos de temperatura entre as escalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 ◦ C corresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo de 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente ser´a de 18 ◦ F , pois para cada grau c´elsius, temos 1,8 grau fahrenheit. A menor temperatura que existe na natureza ´e o chamado zero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin ´e dita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos arbitrariamente, n˜ ao levando em conta a possibilidade de haver uma menor temperatura poss´ıvel na natureza, o que s´o foi descoberto depois da cria¸ca˜o das primeiras escalas t´ermicas. Pense um Pouco! 77 Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL) Um termˆ ometro foi graduado, em graus C´elsius, incorretamente. Ele assinala 1 ◦ C para o gelo em fus˜ao e 97 ◦ C para a ´agua em ebuli¸ca˜o, sob press˜ ao normal. Podese afirmar que a u ´ nica temperatura que esse termˆ ometro assinala corretamente, em graus C´elsius ´e: a) 12 b) 49 c) 75 d) 25 e) 64 5. (CENTET-BA) Num termˆ ometro de escala X, 20 ◦ X ◦ correspondem a 25 C, da escala C´elsius, e 40 ◦ X correspondem a 122 ◦ F , na escala Fahrenheit. Esse termˆ ometro apresentar´ a, para a fus˜ao do gelo e a ebuli¸ca˜o da ´agua, os respectivos valores, em ◦ X: a) 0 e 60 b) 0 e 80 c) 20 e 60 d) 20 e 80 e) 60 e 80 6. (PUC) Uma revista cient´ıfica publicou certa vez um ar• Qual a temperatura normal do corpo humano, em ◦ F ? tigo sobre o planeta Plut˜ao que, entre outras informa¸co˜es, dizia “...sua temperatura atinge −380 ◦ ...”. Embora o au• A temperatura ideal da cerveja ´e em torno de 4 ◦ C, an- tor n˜ ao especificasse a escala termom´etrica utilizada, certates de beber. Se dispomos apenas de um termˆ ometro mente se refere `a escala: com escala Kelvin, qual a temperatura absoluta corres- a) Kelvin pondente ao mesmo estado t´ermico da cerveja ideal? b) C´elsius c) Fahrenheit d) Kelvin ou C´elsius Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao e) Fahrenheit ou C´elsius Termodinˆ amica Aula 2 1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um m´edico s´o dispunha de um termˆ ometro graduado na escala Fahrenheit. Se o paciente estava com febre de 42 ◦ C, a leitura feita pelo m´edico no termˆ ometro por ele utilizado foi de : Dilata¸c˜ ao T´ ermica a) 104 ◦ F b) 107, 6 ◦ F Quando aquecemos um s´olido, geralmente suas dimens˜oes c) 72 ◦ F aumentam. Quando esfriamos, geralmente suas dimens˜oes ◦ d) 40 F diminuem. A esse aumento e a essa diminui¸ca˜o de dimens˜oes ◦ e) 106, 2 F de um s´olido, devido ao aquecimento ou ao resfriamento, ˜o t´ermica. 2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termˆ ometro chamamos de dilata¸ca C´elsius marca 120◦C. Um termˆ ometro Fahrenheit e um Para os s´olidos, temos trˆes tipos de dilata¸ca˜o: Kelvin marcariam na mesma situa¸ca˜o, respectivamente: • Dilata¸ca˜o linear (ou unidimensional) a) 248 ◦ F e 393 K ◦ b) 198 F e 153 K • Dilata¸ca˜o superficial (ou bidimensional) c) 298 ◦ F e 153 K d) 393 ◦ F e 298 K • Dilata¸ca˜o volum´etrica (ou tridimensional) e) nenhuma resposta ´e correta 3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de ´ agua est´ aa uma temperatura de 55 ◦ C. Essa temperatura corresponde a: a) 55 ◦ F b) 328 ◦ F c) 459 ◦ K d) 131 ◦ F e) 383 ◦ K Dilata¸c˜ ao Linear Para observarmos a dilata¸ca˜o de um s´olido, imaginemos uma barra de comprimento inicial L0 na temperatura inicial T0 , que passa a ter o comprimento final L quando aquecida a temperatura final T , sofrendo um aumento de comprimento: ∆L = L − L0 78 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br e ´area do l´ıquido, o que n˜ ao tem significado. Neste caso estuda-se apenas a dilata¸ca˜o c´ ubica. Para tanto, usamos a mesma rela¸ca˜o definida para os s´olidos, j´a que a lei ´e a mesma para ambos: L0 T0 L T > T0 V = V0 (1 + γ∆T ) ∆L Os l´ıquidos s´o podem ser estudados dentro de recipientes ´ pois, imposs´ıvel estudar dilata¸ca˜o dos l´ıquidos s´olidos. E Verifica-se experimentalmente que ∆L ´e proporcional ao sem considerar a dilata¸ca˜o dos recipientes que os cont´em. comprimento inicial L0 e a varia¸ca˜o de temperatura ∆T , Isso implica dois tipos de dilata¸ca˜o para um l´ıquido; uma podendo se expressar essa rela¸ca˜o por: dilata¸ca ˜o real, que depende apenas do l´ıquido, e a outra aparente, que leva em conta a dilata¸ca˜o do frasco que o ∆L = αL0 ∆T cont´em. em que α ´e um coeficiente de proporcionalidade carac- Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de um ter´ıstico do material que constitui a barra, chamado de co- l´ıquido, numa temperatura inicial T0 . Ao levarmos o coneficiente dilata¸ca ˜o linear. junto (l´ıquido mais frasco) para uma temperatura final T , com T > T0 , notamos que ocorre um extravasamento parAssim, o comprimento final da barra ser´a cial do l´ıquido. O volume extravasado fornece a dilata¸ca˜o L = L0 + ∆L = L0 (1 + α∆T ) aparente ∆Vap. do l´ıquido, pois como o frasco tamb´em dilatou, o volume que esta no interior do frasco no final ´e maior que no in´ıcio. Portanto a dilata¸ca˜o real do l´ıquido ´e a soma Dilata¸c˜ ao Superficial e Volum´ etrica da sua dilata¸ca˜o aparente e a do frasco: Para essas dilata¸co˜es, valem considera¸co˜es an´alogas a`s vistas na dilata¸ca˜o linear, ou seja: ∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vf rasco como ∆V = V0 γ∆T ent˜ ao ∆A = βA0 ∆T V0 γr ∆T = V0 γa ∆T + V0 γf ∆T e logo ∆V = γV0 ∆T γr = γa + γf onde β ´e o coeficiente de dilata¸ca ˜o superficial e γ ´e o coeficiente de dilata¸ca ˜o volum´etrica. Ent˜ ao, devemos observar que a dilata¸ca˜o do l´ıquido compensou a dilata¸ca˜o do frasco e ainda nos forneceu a dilata¸ca˜o aparente. ∆L L0 ´ Dilata¸ c˜ ao Anˆ omala da Agua antes de aquecer 2 A0=L0 e depois 2 A = L = A 0 + ∆A 2 L0 A = L 0 + 2L 0 ∆L + (∆L) e como ∆ L = α L 0 ∆T temos que 2 2 2 2 2 2 A = L 0 + 2α L 0 ∆T +α L0 (∆ T) e finalmente 0 2 2 2 A = L 0 [1 + 2 α ∆ T + α (∆ T) ] A = A 0 (1 + 2 α∆ T) e ∆ A = A 0 2α∆ T ∆L Pode-se mostrar que estes novos coeficientes β e γ podem ser escritos em fun¸ca˜o do coeficiente de dilata¸ca˜o linear α como: β = 2α e γ = 3α Dilata¸c˜ ao dos l´ıquidos A dilata¸ca˜o t´ermica de um l´ıquido corresponde ao aumento ou a diminui¸ca˜o de volume desse l´ıquido quando este ´e aquecido ou resfriado. Ao estudar a dilata¸ca˜o dos l´ıquidos, j´a que n˜ ao possuem forma pr´opria, n˜ ao se definem comprimento A ´agua possui um comportamento anˆomalo em sua dilata¸ca˜o. A 4 ◦ C o volume da ´agua ´e m´ınimo e a sua densidade ´e m´axima. Isto ocorre devido ao fortalecimento das pontes de hidrogˆenio, abaixo de 4 ◦ C, quando as mol´eculas de H2 O come¸cam a se reorganizar para a forma¸ca˜o dos cristais de gelo, onde ir˜ ao ocupar um volume maior do que no estado l´ıquido. Esse comportamento da ´agua explica por que num lago, quando a temperatura cai a valores extremamente baixos, a ´agua se solidifica apenas na superf´ıcie. Isto ocorre porque at´e 4 ◦ C, no resfriamento, a ´agua da superf´ıcie torna-se mais densa e afunda, subindo a ´agua mais quente do fundo que ´e menos densa. Ao atingir uma temperatura abaixo de 4 ◦ C, a ´agua da superf´ıcie se expande, diminuindo a sua densidade, assim essa ´agua fria n˜ ao desce mais e ao atingir 0 ◦ C se solidifica. No fundo fica ´agua mais quente, numa ´ isto que preserva a vida animal e temperatura de 4 ◦ C. E vegetal existente no fundo do lago. Pense um Pouco! • Os m´ usicos geralmente deixam para afinar seus instrumentos no local da apresenta¸ca˜o, a diferen¸ca de temperatura entre o ambiente que est˜ ao , e o local do show, podem desafinar seus instrumentos? ˆmica – Aula 3 Termodina 79 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao dessa barra ´e, em ◦ C −1 : a) 6 × 10−5 b) 5 × 10−5 1. (Fuvest) Caf´e fervente ´e despejado em um copo de vidro. c) 4 × 10−5 O corpo parte-se. Uma poss´ıvel explica¸ca˜o seria: d) 3 × 10−5 a) A dilata¸ca˜o das v´arias partes do copo n˜ ao ´e uniforme. e) 2 × 10−5 b) O ponto de fus˜ao do vidro ´e pr´oximo ao de ebuli¸ca˜o do caf´e. c) Sendo o vidro transparente, o calor passa atrav´es dele com facilidade d) A capacidade T´ermica do vidro ´e menor que a do caf´e e) O calor espec´ıfico do vidro ´e menor que o do caf´e Transforma¸c˜ oes Termodinˆ amica Aula 3 2. (PUC) Um fio de cobre de 100 m sofre aumento de temperatura de 10 ◦ C. O coeficiente de dilata¸ca˜o linear do cobre ´e 17 × 10−6 ◦ C −1 . A varia¸ca˜o do comprimento foi de: a) 17 mm b) 17 m c) 100, 17 m d) 17 cm e) 1, 7 m 3. (UNITAU) Um orif´ıcio numa panela de ferro, a 0 ◦ C tem 5 cm2 de ´area. Se o coeficiente de dilata¸ca˜o linear do ferro ´e de 1, 2 × 10−5 ◦ C −1 , a ´ area desse orif´ıcio a 300 ◦ C ser´a, 2 em cm : a) 5,018 b) 10,072 c) 4,964 d) 10,036 e) 5,036 Gasosas Considera¸c˜ oes iniciais G´as Perfeito (ou ideal) ´e um modelo te´orico de g´ as que obedece, em seu comportamento, as leis estabelecida por Robert Boyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac e Paul Emile Clapeyron. Um G´as real tem seu comportamento tanto mais pr´oximo do ideal quanto mais elevada for sua temperatura e quanto mais baixa for sua press˜ ao. Vari´ aveis de estado de um g´ as Algumas grandezas que definem e caracterizam o estado termodinˆ amico de uma dada massa de g´ as s˜ao chamadas vari´ aveis de estado. S˜ ao por exemplo, a temperatura, a press˜ ao, o volume, a energia interna, etc. Destas, as que nos interessam, por enquanto, s˜ao a temperatura, a press˜ ao e o volume. Exerc´ıcios Complementares Volume (V ) 4. (UNESP-SP) A dilata¸ca˜o t´ermica dos s´olidos ´e um fenˆomeno importante em diversas aplica¸co˜es de engenharia, como constru¸co˜es de pontes, pr´edios e estradas de ferro. Considere o caso dos trilhos de trem serem de a¸co, cujo coeficiente de dilata¸ca˜o ´e 11 × 10−6 ◦ C −1 . Se a 10 ◦ C o comprimento de um trilho ´e de 30 m, de quanto aumentaria o seu comprimento se a temperatura aumentasse para 40 ◦ C? a) 11 × 10−4 m b) 33 × 10−4 m c) 99 × 10−4 m d) 132 × 10−4 m e) 165 × 10−4 m Os gases n˜ ao tem volume nem forma pr´oprios. Por defini¸ca˜o, volume de um g´ as ´e o volume do recipiente ocupado por ele. As unidades usuais de volume s˜ao: L (litro), cm3 e m3 . Press˜ ao (P ) A press˜ ao exercida por um g´ as ´e devida aos choques das suas part´ıculas contra as paredes do recipiente. As unidades usuais de press˜ ao s˜ao: N/m2 , P a, atm e mmHg, onde valem as seguintes rela¸co˜es: 1 N/m2 = 1 P a 1 atm = 105 N/m2 1 atm = 760 mmHg 5. (UFLA-MG) O tanque de combust´ıvel de um carro de f´ ormula 1 tem capacidade de 120 litros e s˜ao colocados 100 litros de combust´ıvel a 5, 0 ◦ C. Considerando o coeficiente Temperatura (T ) de dilata¸ca˜o volum´etrica do combust´ıvel 1, 2 × 10−3 ◦ C −1 e a varia¸ca˜o de volume do tanque desprez´ıvel, ent˜ ao a 45 ◦ C Mede o estado de movimento das part´ıculas do g´ as. Na o volume colocado ter´ a um acr´escimo, em litros, de: teoria dos gases perfeitos, ´e usada a temperatura absoluta a) 4,8 litros (escala Kelvin). b) 3,6 litros c) 2,4 litros Transforma¸c˜ oes de um G´ as d) 1,2 litros e) 20,0 litros Dizemos que uma dada massa de g´ as sofre uma trans6. (MACKENZIE) Uma barra met´alica, ao variar sua tem- forma¸ca˜o quando h´ a varia¸ca˜o de pelo menos uma de suas peratura em 80 ◦ C, sofre um aumento de comprimento de vari´aveis de estado. Entre as transforma¸co˜es de um g´ as, 0,16%. O coeficiente de dilata¸ca˜o volum´etrica do material devemos destacar as seguintes: 80 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br • Isot´ ermicas: s˜ao as que ocorrem a temperatura cons- onde R ´e uma constante de proporcionalidade, igual para tante; todos os gases, denominada constante universal dos gases perfeitos e no SI temos • Isob´ aricas: s˜ao as que ocorrem a press˜ ao constante; R = 8, 31 J/mol · K • Isom´ etricas (ou Isoc´ oricas): s˜ao as que ocorrem a volume constante. Quando a press˜ ao p ´e dada em atm, o volume V ´e dado em • Adiab´ aticas: s˜ao as que ocorrem sem troca de calor litros (L), o n´ umero de moles n ´e dado em mol, a temperacom o meio externo. tura T ´e dada em kelvin, a constante R ser´a dada por: R = 0, 0831 atm · L/mol · K Leis dos Gases j´a que a unidade de energia As leis f´ısicas dos gases s˜ao leis de car´ ater experimental que regem as principais transforma¸co˜es gasosas. atm · L = (105 N/m2 ) × (10−3 m3 = 100 J ou seja, Lei de Boyle e Mariotte Rege as transforma¸co˜es Isot´ermicas e pode ser enunciada assim: “Quando uma dada massa de g´ as perfeito ´e mantida a temperatura constante, a press˜ ao ´e inversamente proporcional ao volume” ou seja, 1 J = 0, 01 atm · L Pense um Pouco! • Por que n˜ ao devemos incineram latas de spray vazias? • Por quem um bal˜ ao de g´ as abandonado explode ao subir na atmosfera? pV = constante Lei de Gay -Lussac Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao ao de volume 8, 3 litros Rege as transforma¸co˜es Isob´ aricas e pode ser enunciada as- 1. (UFU-MG) Uma panela de press˜ ´e dotada de uma v´alvula de seguran¸ca, cuja abertura ocorre sim: ao interna ultrapassa 20 atm. Se no recipi“Quando uma dada massa de g´ as perfeito ´e mantida a quando a press˜ ente existem 5, 0 mol de um g´ as perfeito, qual a m´axima press˜ ao constante, o volume ´e diretamente proporcional a temperatura poss´ ıvel, em graus Celsius, para que o g´ as n˜ ao temperatura absoluta” escape pela v´alvula? ou seja, a) 200 V = constante × T b) 300 c) 400 d) 500 Lei de Charles e) 600 Rege as transforma¸co˜es Isom´etricas e pode ser enunciada assim: “Quando uma dada massa de g´ as perfeito ´e mantida a volume constante, a press˜ ao ´e diretamente proporcional a temperatura absoluta” ou seja, p = constante × T Equa¸ c˜ ao de Clapeyron Das leis de Boyle e Mariotte e de Charles, observamos que a press˜ ao exercida por um g´ as perfeito ´e inversamente proporcional ao seu volume e diretamente proporcional a sua ´ f´ temperatura absoluta. E acil observar tamb´em que essa press˜ ao ´e proporcional ao n´ umero de part´ıculas de g´ as existente no recipiente. Convertendo esse n´ umero de part´ıculas em n´ umero de moles (n) , podemos equacionar tudo isso, obtendo a seguinte rela¸ca˜o: pV = nRT 2. (MACKENZIE) Um pesquisador transferiu uma massa de g´ as perfeito a temperatura de 27 ◦ C para outro recipiente de volume 20% maior. Para que a press˜ ao do g´ as nesse novo recipiente seja igual a inicial, o pesquisador teve de aquecer o g´ as de: a) 60 ◦ C b) 50 ◦ C c) 40 ◦ C d) 30 ◦ C e) 20 ◦ C 3. (USC-BA) Certa massa de uma g´ as ocupa o volume de 100 L sob press˜ ao de 3, 0 atm e temperatura de 27 ◦ C. A constante universal dos gases perfeitos vale R = 0, 0831 atm · L/mol · ◦ C. A massa do g´ as, sabendo que a sua mol´ecula grama ´e de 27, 7 g, ´e: a) 111, 1 g b) 222, 2 g c) 333, 3 g d) 444, 4 g e) 555, 5 g ˆmica – Aula 4 Termodina 81 Exerc´ıcios Complementares H2 O e N H3 , sob a forma gasosa, a mesma press˜ ao e temperatura. De acordo com a Lei de Avogrado, as trˆes amostras dos gases considerados devem Ter o mesmo n´ umero 4. (CESGRANRIO) No SI, a constante universal dos gases N de mol´eculas. Decompondo estes gases e recolhendo o perfeitos ´e expressa em: hidrogˆenio liberado em cada amostra, dever´ıamos, ent˜ ao, a) (l · atm)/(K · mol) obter: b) cal/(g · ◦ C) Para o HCl: N ´atomos de H c) J/(kg · K) para o H2 O: 2N ´atomos de H d) J/(mol · K) e para o N H3 : 3N ´atomos de H. e) J/kg A experiˆencia confirma este resultado pois, enquanto se re5. (FUVEST) Certa massa de um g´ as ideal sofre uma trans- colhe uma massa m de hidrogˆenio na decomposi¸ca˜o do HCl, forma¸ca˜o na qual a sua press˜ ao ´e triplicada e seu volume ´e verifica-se que uma massa 2m ´e recolhida na decomposi¸ca˜o reduzido a metade. A temperatura absoluta final do g´ as do H2 O e uma massa 3m na decomposi¸ca˜o do N H3 . ser´a: a) 1/3 do seu valor inicial b) 2/3 do seu valor inicial O N´ umero de Avogrado (NA ) c) 3/2 do seu valor inicial d) 2 vezes o seu valor inicial Uma vez conhecida a lei de Avogrado, precisamos medir e) 3 do seu valor inicial qual ´e o n´ umero de mol´eculas que existe em uma dada massa do g´ as. Suponha, por exemplo, que se tome 1 mol de v´arios 6. (PUC) Uma amostra com 5, 0 mol de um g´ as perfeito gases diferentes (2 g de H2 , 32 g de O2 , 28 g de N2 , etc...). est´ a num recipiente de volume constante 8, 3 L. Se o g´ as De seus conhecimentos de qu´ımica, vocˆe j´a deve saber que se encontra numa temperatura de 127 ◦ C, podemos afirmar o n´ umero de mol´eculas, em cada uma dessas amostras, ´e o que a press˜ ao a que o g´ as est´ a submetido ser´a aproximadamesmo. Este n´ umero ´e denominado N´ umero de Avogrado e mente : ´e representado por NA . a) 40 atm O cientista Perrin, no in´ıcio do s´eculo, realizou uma s´erie b) 12 atm de experiˆencias, procurando determinar o valor de NA , conc) 18 atm cluindo que este valor estaria compreendido entre 6, 5 × 1023 d) 20 atm 23 e 7, 2 × 10 mol´eculas em cada mol. Por esta medida, Pere) 24 atm rin recebeu o Prˆemio Nobel de F´ısica, em 1926. Posteriormente, medidas mais precisas mostraram que o valor NA ´e mais pr´oximo de Termodinˆ amica Aula 4 Lei de Avogrado At´e o in´ıcio do s´eculo passado, os cientistas j´ a haviam adquirido uma razo´avel quantidade de informa¸co˜es sobre as rea¸co˜es qu´ımicas observadas entre gases. O cientista italiano Amedeo Avogrado, baseando-se nestas informa¸co˜es e em resultados de experiˆencias realizadas por ele pr´oprio, formulou em 1811 uma hip´ otese muito importante, relacionando o n´ umero de mol´eculas existentes em duas amostras gasosas. Segundo Avogrado, se tomarmos dois recipientes, de mesmo volume, contendo gases diferentes, ambos a mesma temperatura e press˜ ao, o n´ umero de mol´ eculas contidas em cada recipiente deveria ser o mesmo. NA = 6, 02 × 1023 mol´eculas/mol Densidade e Massa Molecular Define-se a densidade ρ volum’etrica de uma amostra de volume V e massa m de qualquer substˆancia homogˆenea como m ρ= V e a unidade SI da densidade ´e o kg/m3 . Tomemos duas amostras gasosas A e B, ambas ocupando o mesmo volume, a mesma press˜ ao e temperatura. Pela lei de Avogrado, sabemos que estas amostras contem o mesmo umero de mol´eculas. Supondo que a massa molecular de Posteriormente, um grande n´ umero de confirma¸co˜es experi- n´ mentais desta afirmativa fizeram com que ela passasse a ser A, MA , seja o dobro da massa molecular de B, MB , evidentemente a massa da amostra A, mA , tamb´em ser´a o conhecida como a lei de Avogrado: dobro da massa sa amostra B, mB . Mas, como as amosVolumes iguais, de gases diferentes, ` a mesma temtras tem volumes iguais, concluimos que a densidade de A, peratura e press˜ ao, contem o mesmo n´ umero de ρA , ser´a o dobro da densidade de B, ρB . Do mesmo modo, mol´ eculas. se tiv´essemos MA = 3MB , ter´ıamos, tamb´em, ρA = 3ρB . Ent˜ ao, podemos concluir que Confirma¸c˜ oes Experimentais ρA MA = A lei de Avogrado ´e amplamente confirmada pela exρB MB periˆencia. Uma das verifica¸co˜es desta lei pode ser feita as ´e diretamente proporcional a quando analisamos, no laborat´orio, a decomposi¸ca˜o de al- isto ´e, a densidade de um g´ guns gases. Tomemos, por exemplo, volumes iguais de HCl, sua massa molecular. 82 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Pense um Pouco! • Escreva o n´ umero de avogadro por extenso, com os seus 23 zeros, e observe como ele ´e enorme! — www.mundofisico.joinville.udesc.br b) 2, 2 × 1025 mol´eculas c) 3, 2 × 1025 mol´eculas d) 4, 2 × 1025 mol´eculas e) 5, 2 × 1025 mol´eculas • Quando um g´ as ´e comprimido, o que aontece com a sua densidade? 6. (UFES) Trˆes recipientes, A, B e C, de volumes iguais, contˆem respectivamente, HCl, H2 O e N H3 , todos no esao e temperatura. Suponha que • O que aconteceria com a hip´ otese de Avogrado em tado gasoso, a mesma press˜ o recipiente A contenha 1, 0 × 1024 mol´eculas de HCl. Pocondi¸co˜es que n˜ ao fossem as CNTP? demos afirmar que o n´ umero de mol´eculas de vapor de H2 O existentes no recipiente B ´e: a) 1, 0 × 1024 mol´eculas Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao b) 6, 02 × 1023 mol´eculas c) 2, 0 × 1024 mol´eculas 1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mes- d) 3, 0 × 1024 mol´eculas mas condi¸co˜es de temperatura e press˜ ao, 3 volumes de hi- e) 4, 0 × 1024 mol´eculas drogˆenio reagem com um volume de ozˆonio, produzindo 3 volumes de vapor de ´ agua. Essa informa¸ca˜o nos permite deduzir - a partir da Lei de Avogrado - que o n´ umero de atomos na mol´ecula de ozˆonio ´e igual a: ´ a) 2 Modelo Molecular de um G´ as b) 3 c) 4 As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram d) 5 obtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar e) 6 estas leis com o comportamento das part´ıculas que cons2. (UCS-BA) Sob as mesmas condi¸co˜es de temperatura e tituem o g´ as, isto ´e, seus ´atomos ou suas mol´eculas. Os press˜ ao, o volume de qualquer g´ as ´e diretamente propor- cientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura mocional ao seu n´ umero de mol´eculas. Essa ´e uma forma de lecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposi¸co˜es: enunciar a Lei de: 1. um g´ as ´e constituido de pequenas part´ıculas, ´atomos a) Avogrado ou mol´eculas; b) Gay-Lussac c) Lavoisier 2. o n´ umero de mol´eculas existentes em uma dada massa d) Faraday gasosa ´e muito grande; e) Einstein 3. a distˆancia m´edia entre as mol´eculas ´e muito maior do 3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um g´ as perfeito que as dimens˜oes de uma mol´ecula; a temperatura de 17 ◦ C e press˜ ao de 50 P a. Dado R = 4. as mol´eculas de um g´ as est˜ ao em constante movimento, 8, 31 J/mol·K, podemos afirmar que o n´ umero de mol´eculas e este movimento ´e inteitamente ao acaso, isto ´e as nesse recipiente ´e de: mol´eculas se movimentam em qualquer dire¸ca˜o. a) 2, 7 × 107 mol´eculas b) 3, 7 × 107 mol´eculas Ao estabelecerem estas hip´oteses, os cientistas estavam tenc) 5, 0 × 107 mol´eculas 18 tando descrever o comportamento de um g´ as atrav´es do mod) 2, 7 × 10 mol´eculas vimento de suas mol´ e culas, isto ´ e , estavam supondo que as e) n.d.a. leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da Mecˆanica ao movimento das mol´eculas, tratando-as como se fossem part´ıculas. Desta maneira, os cientistas estrutuExerc´ıcios Complementares raram um modelo para descrever o comportamento de um g´ as. 4. (FUVEST) A 25 ◦ C e 1 atm, o volume de 1 mol de Este modelo ´e denominado modelo cin´ etico em virtude de atomos de n´ıquel (massa atˆomica: A = 59 e ρ = 8, 9 g/cm3) se basear no movimento das mol´eculas do g´ ´ as. ´e aproximadamente igual a: a) 33 cm3 C´ alculo Cin´ etico da Press˜ ao (p) b) 26 cm3 c) 20 cm3 Como vimos, no modelo cin´etico de um g´ as, o n´ umero de d) 6, 6 cm3 3 mol´ e culas ´ e muito grande e elas est˜ a o em constante movie) 13 cm mento. Em conseq¨ uˆencia disto, as mol´eculas colidem conti5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para nuamente contra as paredes do recipiente que cont´em o g´ as, ”matar”a sua sede, teve que tomar 20 moles de ´agua, o exercendo uma press˜ ao nessas paredes. Como o n´ umero de outro estudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculou colis˜oes ´e muito grande, n˜ ao se percebe o efeito do choque o n´ umero de mol´eculas ingerida pelo seu colega, que foi de: de cada part´ıcula. O que se observa ´e o efeito m´edio da a) 1, 2 × 1025 mol´eculas frequente sucess˜ao de colis˜oes, que ocasiona o aparecimento Termodinˆ amica Aula 5 ˆmica – Aula 5 Termodina 83 de uma for¸ca cont´ınua, sem flutua¸co˜es, pressionando as pa- e com este valor de N na igualdade anterior, vir´a redes do recipiente. Portanto, a press˜ ao que um g´ as exerce nNA mv 2 sobre as paredes do recipiente que o cont´em ´e devida as = nRT 3 incessantes e cont´ınuas colis˜oes das mol´eculas do g´ as contra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecˆanica ou, simplificando e reescrevendo as colis˜oes das mol´eculas contra as paredes do recipiente, os f´ısicos do s´eculo passado obtiveram uma express˜ao mamv 2 = 3(R/NA )T tem´atica, relacionando a press˜ ao exercida por um g´ as com e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos as seguintes grandezas: N - n´ umero de mol´eculas do recipiente V - volume do recipiente m - massa de cada mol´ecula v 2 - m´edia dos quadrados das velocidades das mol´eculas A express˜ao a que chegaram foi a seguinte: p= 1 (N/V )mv 2 3 Analisando esta express˜ao vemos que: 1 3 mv 2 = (R/NA )T 2 2 Observe que o primeiro membro desta express˜ao representa a energia cin´ etica m´ edia das mol´eculas. Esta energia cin´etica m´edia ser´a representada por EC . O quociente R/NA que aparece no segundo membro, ´e constante, pois, como j´a sabemos, tanto R quanto NA s˜ao constantes. Este quociente ´e muito importante, ´e representado por kB e ´e a famosa constante de Boltzmann: • p ∝ N : este resultado ´e intuitivo pois, quanto maior for o n´ umero total de mol´eculas, maior ser´a o n´ umero kB = 1, 38 × 10−23 J/K de colis˜oes contra as paredes e, portanto, maior ser´a a press˜ ao exercida pelo g´ as; Desta maneira, chegamos a seguinte express˜ao: • p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior 3 EC = kB T ser´a a distˆancia que uma mol´ecula ter´ a que percor2 rer para colidir contra as paredes e, consequentemente, menor ser´a o n´ umero de colis˜oes, isto ´e, menor ser´a a que mostra ser a energia cin´etica m´edia das mol´eculas de um g´ as diretamente proporcional a sua temperatura absopress˜ ao exercida pelo g´ as; luta, isto ´e, quanto maior for a energia cin´etica m´edia das • p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior mol´eculas, maior ser´a a temperatura do g´ as. Destacamos, for a massa de um mol´ecula, maior ser´a a sua quan- ent˜ ao que: a temperatura absoluta, T de um g´ as est´ a relatidade de movimento (~ q = m~v ) e assim, maior ser´a cionada com a energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas. a for¸ca que ela exerce ao colidir contra a parede do Em uma amostra, podemos dizer que a u ´ nica energia exirecipiente; tente ´e a energia de cada part´ıcula, sendo N o n´ umero de • p ∝ v 2 : realmente, quanto maior for v 2 , mais rapida- part´ıculas, a energia mecˆanica total da amostra ´e E = N EC . ´ f´acil Essa energia mecˆanica total ´e por defini¸ca˜o a energia inmente as mol´eculas estar˜ ao se movimentando. E perceber que, nestas condi¸co˜es, maior ser´a a for¸ca que terna Eint. da amostra. Logo, substituindo essa rela¸ca˜o na cada mol´ecula exercer´a ao colidir contra a parede e, express˜ao da energia cin´etica temos: al´em disso, maior ser´a o n´ umero de colis˜oes. 3 Eint. = N kB T 2 Interpreta¸c˜ ao Cin´ etica da Temperatura (T ) Como j´a mencionamos em outra ocasi˜ ao, a temperatura de um corpo se relaciona com a energia de agita¸ca˜o dos ´atomos e mol´eculas deste corpo. Mostraremos agora como os f´ısicos do s´eculo passado, baseados no modelo cin´etico de um g´ as, chegaram a esta conclus˜ao. A express˜ao p = N mv 2 /3V , que havia sido obtida baseando-se no modelo cin´etico, pode ser escrita como pV = N mv 2 3 ou, como N = nNA e kB = R/NA , temos Eint. = 3 nRT 2 Pense um Pouco! • Quando um g´ as absorve calor e seu volume ´e mantido fixo, para onde vai a energia ganha? Explique. • Se um g´ as num pist˜ao isolado se expande e realiza um trabalho mecˆanico, o que acontece com sua temperatura? Explique. Comparando-a com a equa¸ca˜o de estado de um g´ as ideal, pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente, conclui-se que N mv 2 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao = nRT 3 Mas sendo NA (o n´ umero de Avogrado) o n´ umero de ◦ mol´eculas que existe em 1 mol e sendo n o n´ umero de moles 1. (ACAFE) Um recipiente cont´em H2 a 27 C. Podemos afirmar que a energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas ´e: que corresponde a N mol´eculas, ´e claro que a) 2, 2 × 10−21 J N = nNA b) 3, 2 × 10−21 J 84 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC c) 6, 2 × 10−21 J d) 7, 1 × 10−21 J e) n.d.a 2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de h´elio a 17 ◦ C. Adimtindo que nessas condi¸co˜es o h´elio se comporta como um g´ as ideal, a energia mecˆanica (interna) do sistema ´e dada por: a) 6, 2 × 103 J b) 7, 2 × 103 J c) 2, 4 × 103 J d) 2, 2 × 103 J e) 1, 5 × 103 J 3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma temperatura de 36 ◦ C, podemos afirmar que a energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas ´e de: a) 6, 4 × 10−21 J b) 1, 2 × 10−21 J c) 2, 5 × 10−21 J d) 4, 3 × 10−21 J e) 5, 3 × 10−21 J Exerc´ıcios Complementares — www.mundofisico.joinville.udesc.br estas leis com o comportamento das part´ıculas que constituem o g´ as, isto ´e, seus ´atomos ou suas mol´eculas. Os cientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura molecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposi¸co˜es: 1. um g´ as ´e constituido de pequenas part´ıculas, ´atomos ou mol´eculas; 2. o n´ umero de mol´eculas existentes em uma dada massa gasosa ´e muito grande; 3. a distˆancia m´edia entre as mol´eculas ´e muito maior do que as dimens˜oes de uma mol´ecula; 4. as mol´eculas de um g´ as est˜ ao em constante movimento, e este movimento ´e inteitamente ao acaso, isto ´e as mol´eculas se movimentam em qualquer dire¸ca˜o. Ao estabelecerem estas hip´oteses, os cientistas estavam tentando descrever o comportamento de um g´ as atrav´es do movimento de suas mol´eculas, isto ´e, estavam supondo que as leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da Mecˆanica ao movimento das mol´eculas, tratando-as como se fossem part´ıculas. Desta maneira, os cientistas estruturaram um modelo para descrever o comportamento de um g´ as. Este modelo ´e denominado modelo cin´ etico em virtude de as. 4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um se basear no movimento das mol´eculas do g´ g´ as ´e correto afirmar que: a) a velocidade de suas mol´eculas permanece constante C´ alculo Cin´ etico da Press˜ ao (p) b) a velocidade de suas mol´eculas aumenta c) a velocidade de suas mol´eculas diminui Como vimos, no modelo cin´etico de um g´ as, o n´ umero de d) nada podemos afirmar a respeito da velocidade mol´eculas ´e muito grande e elas est˜ ao em constante movie) a energia cin´etica das mol´eculas diminui mento. Em conseq¨ uˆencia disto, as mol´eculas colidem conti◦ nuamente contra as paredes do recipiente que cont´em o g´ as, 5. (UFCE) Um recipiente A cont´em 5 mol de H2 a 32 C, exercendo uma press˜ a o nessas paredes. Como o n´ u mero de e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 ` a mesma temcolis˜ o es ´ e muito grande, n˜ a o se percebe o efeito do choque peratura. Podemos afirmar que: a) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas ´e a mesma nos de cada part´ıcula. O que se observa ´e o efeito m´edio da frequente sucess˜ao de colis˜oes, que ocasiona o aparecimento dois recipientes b) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e de uma for¸ca cont´ınua, sem flutua¸co˜es, pressionando as paredes do recipiente. Portanto, a press˜ ao que um g´ as exerce maior do que as do recipiente B sobre as paredes do recipiente que o cont´ e m ´ e devida as c) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e incessantes e cont´ ınuas colis˜ o es das mol´ e culas do g´ a s conmenor do que as do recipiente B tra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecˆanica d) depende do tamanho dos recipientes e) n˜ ao ´e possivel determinar nada a respeito das energias as colis˜oes das mol´eculas contra as paredes do recipiente, os f´ısicos do s´eculo passado obtiveram uma express˜ao macin´eticas das mol´eculas tem´atica, relacionando a press˜ ao exercida por um g´ as com 6. (UEM-PR) As mol´eculas de um certo g´ as possuem uma as seguintes grandezas: energia cin´etica m´edia de 20, 7 × 10−23 J, podemos afirmar N — n´ umero de mol´eculas do recipiente que a temperatura em ◦ C desse g´ as: V — volume do recipiente a) ´e 243 m — massa de cada mol´ecula b) est´ a acima de 243 c) ´e 200 v 2 — m´edia dos quadrados das velocidades das mol´eculas d) ´e zero A express˜ao a que chegaram foi a seguinte: e) est´ a abaixo de −243 1 p = (N/V )mv 2 3 Termodinˆ amica Aula 5 Modelo Molecular de um G´ as As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram obtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar Analisando esta express˜ao vemos que: • p ∝ N : este resultado ´e intuitivo pois, quanto maior for o n´ umero total de mol´eculas, maior ser´a o n´ umero de colis˜oes contra as paredes e, portanto, maior ser´a a press˜ ao exercida pelo g´ as; ˆmica – Aula 5 Termodina 85 • p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior Desta maneira, chegamos a seguinte express˜ao: ser´a a distˆancia que uma mol´ecula ter´ a que percor3 rer para colidir contra as paredes e, consequentemente, E C = kB T 2 menor ser´a o n´ umero de colis˜oes, isto ´e, menor ser´a a press˜ ao exercida pelo g´ as; que mostra ser a energia cin´etica m´edia das mol´eculas de as diretamente proporcional a sua temperatura abso• p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior um g´ luta, isto ´e, quanto maior for a energia cin´etica m´edia das for a massa de um mol´ecula, maior ser´a a sua quanmol´ e culas, maior ser´a a temperatura do g´ as. Destacamos, tidade de movimento (~ q = m~v ) e assim, maior ser´a ent˜ a o que: a temperatura absoluta, T de um g´ as est´ a relaa for¸ca que ela exerce ao colidir contra a parede do cionada com a energia cin´ e tica m´ e dia de suas mol´ e culas. recipiente; Em uma amostra, podemos dizer que a u ´ nica energia exi• p ∝ v 2 : realmente, quanto maior for v 2 , mais rapidatente ´ e a energia de cada part´ ıcula, sendo N o n´ umero de ´ f´acil mente as mol´eculas estar˜ ao se movimentando. E part´ıculas, a energia mecˆanica total da amostra ´e E = N EC . perceber que, nestas condi¸co˜es, maior ser´a a for¸ca que Essa energia mecˆanica total ´e por defini¸ca˜o a energia incada mol´ecula exercer´a ao colidir contra a parede e, terna Eint. da amostra. Logo, substituindo essa rela¸ca˜o na al´em disso, maior ser´a o n´ umero de colis˜oes. express˜ao da energia cin´etica temos: Interpreta¸c˜ ao Cin´ etica da Temperatura (T ) 3 Eint. = N kB T 2 Como j´a mencionamos em outra ocasi˜ ao, a temperatura de ou, como N = nN e k = R/N , temos A B A um corpo se relaciona com a energia de agita¸ca˜o dos ´atomos e mol´eculas deste corpo. 3 Eint. = nRT 2 Mostraremos agora como os f´ısicos do s´eculo passado, baseados no modelo cin´etico de um g´ as, chegaram a esta conclus˜ao. A express˜ao p = N mv 2 /3V , que havia sido obtida Pense um Pouco! baseando-se no modelo cin´etico, pode ser escrita como pV = N mv 2 3 • Quando um g´ as absorve calor e seu volume ´e mantido fixo, para onde vai a energia ganha? Explique. • Se um g´ as num pist˜ao isolado se expande e realiza um Comparando-a com a equa¸ca˜o de estado de um g´ as ideal, trabalho mecˆanico, o que acontece com sua temperapV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente, tura? Explique. conclui-se que N mv 2 = nRT 3 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Mas sendo NA (o n´ umero de Avogrado) o n´ umero de mol´eculas que existe em 1 mol e sendo n o n´ umero de moles 1. (ACAFE) Um recipiente cont´em H2 a 27 ◦ C. Podemos que corresponde a N mol´eculas, ´e claro que afirmar que a energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas ´e: a) 2, 2 × 10−21 J N = nNA b) 3, 2 × 10−21 J e com este valor de N na igualdade anterior, vir´ a c) 6, 2 × 10−21 J d) 7, 1 × 10−21 J nNA mv 2 e) n.d.a = nRT 3 2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de h´elio a 17 ◦ C. ou, simplificando e reescrevendo Adimtindo que nessas condi¸co˜es o h´elio se comporta como um g´ as ideal, a energia mecˆanica (interna) do sistema ´e dada mv 2 = 3(R/NA )T por: 3 e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos a) 6, 2 × 10 3 J b) 7, 2 × 10 J c) 2, 4 × 103 J 3 1 mv 2 = (R/NA )T d) 2, 2 × 103 J 2 2 e) 1, 5 × 103 J Observe que o primeiro membro desta express˜ao representa a energia cin´ etica m´ edia das mol´eculas. Esta energia 3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma tem◦ cin´etica m´edia ser´a representada por EC . O quociente peratura de 36 C, podemos afirmar que a energia cin´etica m´ e dia de suas mol´ eculas ´e de: R/NA que aparece no segundo membro, ´e constante, pois, −21 a) 6, 4 × 10 J como j´ a sabemos, tanto R quanto NA s˜ao constantes. Este −21 J quociente ´e muito importante, ´e representado por kB e ´e a b) 1, 2 × 10 −21 c) 2, 5 × 10 J famosa constante de Boltzmann: d) 4, 3 × 10−21 J −23 kB = 1, 38 × 10 J/K e) 5, 3 × 10−21 J 86 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios Complementares — www.mundofisico.joinville.udesc.br nece constante durante o seu aquecimento ou resfriamento, desde que n˜ ao ocorra mudan¸ca de estado f´ısico. 4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um g´ as ´e correto afirmar que: Calor Espec´ıfico (c) a) a velocidade de suas mol´eculas permanece constante Analisando-se o comportamento de corpos diferentes, mas b) a velocidade de suas mol´eculas aumenta constitu´ıdos do mesmo material, quando submetidos a um c) a velocidade de suas mol´eculas diminui aquecimento, observa-se que a quantidade de calor absord) nada podemos afirmar a respeito da velocidade vida ´e diretamente proporcional a sua massa. Pode-se cone) a energia cin´etica das mol´eculas diminui cluir, portanto, que a capacidade t´ermica de um corpo ´e 5. (UFCE) Um recipiente A cont´em 5 mol de H2 a 32 ◦ C, diretamente proporcional a sua massa. Assim, a rela¸ca˜o ene um outro recipiente B possui 6 mol de O2 ` a mesma tem- tre a capacidade t´ermica C de um corpo e sua massa ´e uma peratura. Podemos afirmar que: constante m, denominada calor espec´ıfico (c) a) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas ´e a mesma nos dois recipientes c = C/m b) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e maior do que as do recipiente B c) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e Unidade SI menor do que as do recipiente B No SI, o calor espec´ıfico ´e medido em J/kg · K, embora na d) depende do tamanho dos recipientes pr´atica se use cal/g · ◦ C. e) n˜ ao ´e possivel determinar nada a respeito das energias O calor espec´ıfico de um corpo depende do material que o cin´eticas das mol´eculas constitui, do seu estado f´ısico e da sua temperatura, esta avel no estudo. O conheci6. (UEM-PR) As mol´eculas de um certo g´ as possuem uma por´em, sem influˆencia consider´ ancia funenergia cin´etica m´edia de 20, 7 × 10−23 J, podemos afirmar mento do valor do calor espec´ıfico tem importˆ damental na f´ısica, pois identifica a quantidade de calor que a temperatura desse g´ as ´e: necess´aria para elevar de um grau a temperatura de uma a) ´e 243 ◦ C unidade de massa do material. b) est´ a acima de 243 ◦ C c) ´e 200 ◦ C d) ´e 0 ◦ C e) est´ a abaixo de −243 ◦ C Substˆancia c(cal/g · ◦ C) Substˆancia c(cal/g · ◦ C) Termodinˆ amica Aula 7 Capacidade T´ ermica (C) Nem todos os corpos variam sua temperatura da mesma forma ao receberem calor. Ao se esquentar ´ agua na chama de um fog˜ao, por exemplo, observa-se que, quanto maior a massa de ´agua a aquecer, maior a quantidade de calor necess´ aria para produzir a mesma varia¸ca˜o de temperatura. Do mesmo modo, materiais diferentes necessitam de quantidades de calor diferentes para sofrerem a mesma varia¸ca˜o de temperatura. Uma colher de metal, por exemplo, necessita de menos calor do que a mesma massa de ´agua, para o mesmo aumento de temperatura. A grandeza que mede a quantidade de calor Q necess´aria para produzir determinada varia¸ca˜o de temperatura ∆T num corpo ´e a capacidade t´ermica ou capacidade calor´ıfica, definida como a quantidade de calor necess´aria para variar de 1 ◦ C a sua temperatura. C≡ Unidade SI Q ∆T Amˆ onia ´ Alcool Vapor d’´agua Alum´ınio Ferro Prata Ouro 1,13 0,58 0,48 0,22 0,11 0,056 0,032 ´ Agua Gelo Madeira Vidro Cobre Merc´ urio Chumbo 1,00 0,55 0,42 0,16 0,092 0,033 0,031 Tabela do calor espec´ıfico c de algumas substˆ ancias. O elevado calor espec´ıfico da ´agua, comparado ao de outras substˆancias ´e importante, pois faz com que seja necess´aria elevada quantidade de energia para variar sua temperatura. Por essa raz˜ ao, a ´agua demora mais para esquentar e tamb´em para esfriar, o que explica a estabilidade do clima das regi˜oes pr´oximas a grandes concentra¸co˜es de ´agua, como as litorˆaneas. Em contra-partida , a amplitude t´ermica de regi˜oes des´erticas pode ultrapassar os 60 ◦ C em menos de 12 horas. Calorimetria Das defini¸co˜es de capacidade t´ermica e calor espec´ıfico, podemos escrever: Q C= ∆T logo Q = C∆T No SI, a capacidade t´ermica ´e medida em J/K, embora na pr´atica se use cal/◦ C. ( 1 ) e como A capacidade t´ermica de um corpo depende da sua massa e da natureza do material de que ´e constituido. Ela perma- c= C =⇒ C = mc m ˆmica – Aula 7 Termodina 87 temos Q = mc∆T Ad = Vf − Vi , logo W = p(Vf − Vi ) = p∆V Essa equa¸ca˜o permite calcular a quantidade de energia na forma de calor, necess´aria para variar a temperatura de uma Portanto esta express˜ao nos permite calcular o trabalho que as realiza, ao sofrer uma varia¸ca˜o de volume a press˜ ao determinada massa de qualquer substˆ ancia, desde que n˜ ao um g´ constante. ocorra nenhuma mudan¸ca de estado no processo. Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e aumenta (diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-se Trabalho realizado numa COMPRESSAO ˜ de calor sens´ıvel. Numa compress˜ao, o procedimento para o c´ alculo do trabalho ´e o mesmo do caso da expans˜ao, mudando apenas o Convens˜ ao sinal final do trabalho, j´a que for¸ca que o g´ as exerce sobre o pist˜ a o ´ e no sentido contr´ a rio ao seu deslocamento. • Quando um sistema absorve calor num processo qual- Como no caso de uma compress˜ao o volume final Vf do g´ as ser´a menor do que o seu volume inicial Vi , ent˜ ao a varia¸ca˜o • Quando um sistema perde calor num processo qual- de volume ser´a negativa e o trabalho pode ser obtido pela quer, associamos ao processo um calor Q < 0; mesma f´ormula da expans˜ao, de onde obteremos j´a o sinal • Quando um sistema n˜ ao troca calor (n˜ao ganha e correto. ao nem perde) num processo qualquer, associamos ao pro- Convens˜ cesso um calor Q = 0. • Quando um g´ as se expande num processo qualquer, dizemos que o g´ as realiza um trabalho W > 0; Esquematicamente: quer, associamos ao processo um calor Q > 0; Calor (Q) Absorvido Perdido Sinal + - Trabalho • Quando um g´ as ´e comprimido num processo qualquer, dizemos que o g´ as realiza um trabalho W < 0; • Quando um g´ as permanece com volume constante num processo qualquer, dizemos que o trabalho que o g´ as realiza no processo ´e nulo, W = 0. Esquematicamente: Um sistema pode trocar energia com sua vizinhan¸ca na forma de calor ou pela realiza¸ca˜o de trabalho. Realmente, Trabalho do G´as (W ) Sinal se h´ a uma diferen¸ca de temperatura entre o sistema e a viExpans˜ao + zinhan¸ca, uma certa quantidade de calor poder´ a ser transCompress˜ao ferida de um para o outro. Al´em disso, o sistema pode se expandir, vencendo uma press˜ ao e portanto, realizando tra- Unidade SI balho sobre a vizinhan¸ca ou, ainda, o sistema poder´ a ter o Sendo uma forma de energia, assim como o calor o trabavolume reduzido, com a realiza¸ca˜o de um trabalho da vizilho realizado por um g´ as ´e medido em joule ou J no SI. nhan¸ca sobre ele. Lembrando: 1J =1N ·m ˜ Trabalho realizado numa EXPANSAO Consideremos como sistema termodinˆ amico um g´ as ideal, Pense um Pouco! encerrado em um cilindro provido de um ˆembolo (pist˜ ao) que pode se deslocar livremente. Suponha que o g´ as se • A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, ´e a encontre em um estado inicial i, ocupando um volume Vi . mesma registrada nos alimentos? Em virtude da press˜ ao do g´ as, ele exerce uma for¸ca F sobre • Qual a rela¸ca˜o existente entre a caloria alimentar e o o pist˜ao que, estando livre, desloca-se de uma distˆancia d. estudo do calor? Assim, o g´ as se expandiu at´e o estado final f , onde o seu volume ´e Vf , e realizou um trabalho W . Se a press˜ ao p do g´ as permanecer constante, o valor da for¸ca F tamb´em ser´a ıcios de Aplica¸ c˜ ao constante durante a expans˜ao e o trabalho W , realizado pelo Exerc´ g´ as, pode ser facilmente calculado. De fato, para este caso, temos: 1. (UNIFOR-CE) Um corpo absorveu 500 cal de calor para W = Fd aumentar sua temperatura de 20 ◦ C para 40 ◦ C. A capacidade t´ermica desse corpo em cal/◦C ´e: Mas sendo F = pA, onde A ´e a ´ area da se¸ca˜o reta do pist˜ao, a) 10 temos b) 12 W = pAd c) 20 Mas observe que Ad ´e o volume varrido pelo pist˜ao durante d) 25 a expans˜ao, que ´e igual a varia¸ca˜o do volume do g´ as, isto ´e, e) 30 88 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC 2. (USF-SP) Uma amostra de 50 g de determinada substˆ ancia sofre um acr´escimo de temperatura de 20 ◦ C, quando absorve 200 calorias. O calor espec´ıfico dessa substˆ ancia, em cal/g · ◦ C, ´e: a) 1,2 b) 1,0 c) 0,5 d) 0,4 e) 0,2 3. (UEPB) A massa de um corpo ´e igual a 2 kg. Recebendo 10 kcal, a sua temperatura passa de 40 ◦ C para 90 ◦ C. O calor espec´ıfico desse corpo ´e: a) 0, 1 ◦ C b) 0, 2 ◦ C c) 0, 3 ◦ C d) 0, 4 ◦ C e) 0, 5 ◦ C — www.mundofisico.joinville.udesc.br destru´ıda dentro do sistema, mas apenas transformada de uma forma em outra. Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de dar conta desta energia, ou se ele cede energia, esta energia tem de ter sa´ıdo de algum lugar. Por exemplo, admitamos que um sistema receba 100 J de calor. Estes 100 J de energia n˜ ao podem desaparecer e nem serem destru´ıdos no sistema. Eles tem de ir para algum lugar. Admitamos, em continua¸ca˜o, que o sistema realiza 80 J de trabalho. Notamos que o sistema recebeu 100 J e 80 J. Onde estar˜ ao os 20 J restantes? Estes joules restantes ficaram dentro do sistema, armazenados sob a forma de energia interna. Portanto, a energia interna do sistema aumentou em 20 J. Podemos fazer um esquema desta troca de energia Meio Externo Exerc´ıcios Complementares Sistema 4. (ITA) A capacidade t´ermica de uma caneca de alum´ınio ´e de 16 cal/◦ C. Sabendo-se que o calor espec´ıfico do alum´ınio ∆U = +20 J int ´e de 0, 2 cal/g · ◦ C, pode-se afirmar que a massa dessa caneca, em gramas, ´e: a) 3,2 b) 32 Q = +100 J W = +80 J c) 90 d) 160 Sendo: e) 800 Calor recebido pelo sistema (Q): ´e energia que entra no 5. (FURG) Uma fonte calor´ıfica fornece calor, com potˆencia sistema e a representamos por uma seta entrando, pois o constante, para 600 g de ´ agua durante 10 min e observa-se calor ´ı absorvido Q > 0. a temperatura desta elevar-se em 15 ◦ C. Substituindo-se a agua por 300 g de outro l´ıquido, verifica-se que a tempera- Trabalho cedido pelo sistema (W ): ´e energia que sai do ´ tura deste se eleva tamb´em de 15 ◦ C, por´em em 2 min. O sistema na forma de trabalho e o representamos por uma seta para fora, j´a que ´e uma energia perdida pelo sistema calor espec´ıfico do l´ıquido ´e de : ◦ (W > 0). a) 0,1 cal/g · C ◦ b) 0,2 cal/g · C Aumento de energia interna (∆Uint ): representamos por c) 0,3 cal/g · ◦ C uma quantidade ∆Uint > 0, quando ela aumenta, ou po d) 0,4 cal/g · ◦ C uma quantidade ∆Uint < 0, quando ela diminui. e) 0,5 cal/g · ◦ C Temos: 6. (ACAFE) A capacidade t´ermica de um corpo homogˆeneo depende: a) s´o de sua massa b) de sua massa e de seu volume c) s´o de sua massa e do calor espec´ıfico do material que o constitui d) de sua massa e de sua temperatura e) s´o do calor espec´ıfico do material que o constitui Termodinˆ amica Aula 8 Primeira Lei da Termodinˆ amica Q = W + ∆Uint Para obtermos esta rela¸ca˜o entre Q, W e ∆Uint , basta impormos que “a soma das energia entram (sinal positivo) com as energias que saem (sinal negativo) do sistema ´ e igual a varia¸ c˜ ao da energia interna do sistema”. Esta ´e a primeira lei da Termodinˆamica. Aplica¸c˜ oes da Primeira Lei Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termodinˆamicos particulares. Dizemos que um sistema t´ermico A primeira lei da Termodinˆ amica nada mais ´e que o passa por um processo de equil´ıbrio, ou quase-est´ atico, princ´ıpio da Conserva¸ca˜o da energia aplicado ` a termo- quando evolui fisicamente de forma lenta, fazendo com as dinˆ amica. O princ´ıpio da conserva¸ca ˜o da energia, em linhas vari´aveis que o descrevem (p, V , T , Uint , etc) mudem suagerais, diz que num sistema isolado a energia total ´e con- vemente, fazendo o sistema evoluir de forma cont´ıa de um servada, ou seja ´e constante, e jamais pode ser criada ou estado inicial i, digamos, para um estado final f . ˆmica – Aula 8 Termodina Transforma¸ c˜ ao Isot´ ermica (T = cte) 89 Segunda Lei da Termodinˆ amica Para um processo termodinˆ amico em que a temperatura n˜ ao A segunda lei da Termodinˆamica, a exemplo da primeira, varia, a varia¸ca˜o de energia interna do g´ as ´e nula. Ou seja, tem diferentes enunciados que se equivalem. O mais comum deles decorre da conclus˜ao das aulas anteriores e da pela primeira lei concluimos que aceita¸ca˜o da irreversibilidade das transforma¸co˜es da natureza: Q=W Nenhuma m´ aquina t´ ermica, operando em ciclos, ou seja, numa transforma¸ca˜o isot´ermica, o calor trocado pode retirar calor de uma fonte e transform´ a-lo inpelo g´ as com o exterior ´e igual ao trabalho realizado no tegralmente em trabalho. mesmo processo. ou noutra forma mais moderna Transforma¸ c˜ ao Isob´ arica (p = cte) O calor flui expontaneamente de um corpo mais quente para um corpo mais frio, sempre neste sentido. No processo isob´arico de um g´ as ideal, o volume V ´e di- Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplica¸co˜es mais adiretamente proporcional a temperatura T . Portanto, numa ante. expans˜ao isob´arica, o volume e a temperatura aumentam, ocorrendo tamb´em aumento da energia interna do g´ as: Pense um Pouco! ∆Uint > 0 e pela primeira lei concluimos que para uma expans˜ao isob´arica Q>W ou seja, numa expans˜ao isob´arica, a quantidade de calor recebida ´e maior que o trabalho realizado. • Ao ser comprimido, um g´ as ganha ou perde energia interna? • Fa¸ca uma analogia da compress˜ao de um g´ as e de uma mola, observando o trabalho e a energia. • Um moto perp´etuo de primeira esp´ecie seria uma m´aquina que realizasse trabalho indefinidamente, sem utilizar nenhuma fonte de energia. Futuramente ser´a poss´ıvel a constru¸ca˜o de uma tal m´aquina? Transforma¸ c˜ ao Isom´ etrica (V = cte) Como n˜ ao h´ a varia¸ca˜o de volume nesse tipo de processo, o trabalho realizado ´e nulo e, pela primeira lei: Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve a primeira lei da termodinˆamica. a) O aumento de energia interna de um g´ as ´e dado pela diou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz com feren¸ca entre o calor recebido e o trabalho realizado. que a energia interna do sistema aumente (diminua). b) O trabalho realizado ´e dado pela soma do calor recebido Numa transforma¸ca˜o isom´etrica, a varia¸ca˜o de energia in- com o aumento de energia interna. terna do g´ as ´e igual a quantidade de calor trocada com o c) O calor recebido ´e dado pela diferen¸ca entre o trabalho realizado e o aumento de energia interna. meio exterior. ao A transforma¸ca˜o `a volume constante tamb´em ´e chamada de d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna n˜ se altera. isovolum´ etrica, isoc´ orica ou isom´etrica. ¯ e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna diminui. ∆Uint = Q Transforma¸ c˜ ao Adiab´ atica (Q = 0) 2. (FATEC) Haver´a trabalho realizado sempre que uma massa gasosa: Um g´ as sofre uma transforma¸ca˜o adiab´atica quando n˜ ao a) sofrer varia¸ca˜o em sua press˜ ao troca calor com o meio exterior, ou seja, quando b) sofrer varia¸ca˜o em seu volume c) sofrer varia¸ca˜o em sua temperatura Q=0 d) receber calor de fonte externa e) sofrer varia¸ca˜o de energia interna Aplicando a primeira lei temos neste caso 3. (FATEC) Uma fonte t´ermica cede 100 J de calor a um ∆Uint = −W sistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalho mecˆanico de 20 J. Durante esse processo, n˜ ao ocorrem ouNuma transforma¸ca˜o adiab´atica, a varia¸ca˜o de energia in- tras trocas de energia com o meio externo. A varia¸ca˜o da terna ´e igual em m´odulo e sinal contr´ ario ao trabalho re- energia interna do sistema, medida em joules, ´e igual a: alizado na transforma¸ca˜o. Ou seja, se um sistema realiza a) zero trabalho adiabaticamente, ter´ a de consumir sua energia in- b) 20 terna, j´a que n˜ ao absorveu calor. c) 80 90 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br d) 100 e) 120 Fonte Quente Q 1 Exerc´ıcios Complementares Máquina Térmica W 4. (MACK) Um g´ as mantido a volume constante, recebe Q 2 240 J de calor do meio ambiente. O trabalho realizado pelo g´ as e sua varia¸ca˜o da energia interna ser˜ao, respectivamente; Fonte Fria a) 240 J e 0 J b) 0 J e 240 J c) 120 J e 120 J d) 0 J e 120 J Para o caso das m´aquinas t´ermicas, a Segunda Lei da Tere) −240 J e 240 J modinˆamica assume a forma: ´ imposs´ıvel um dispositivo operando em ciclos conE ´ 5. (UFLA-MG) Assinale a resposta correta. E poss´ıvel ce- verter integralmente calor em trabalho. der calor a um g´ as sem que sua temperatura aumente? Assim, podemos definir o rendimento ǫ de uma m´aquina a) N˜ ao, porque sempre que um corpo recebe calor sua tem- t´ermica como W peratura aumenta ǫ= b) N˜ ao , porque o calor ´e uma forma de energia e sempre se Q1 conserva e como W = Q1 − Q2 temos: c) Sim, porque o calor pode ser transformado em energia interna do g´ as Q2 ǫ=1− d) Sim, porque o calor pode resultar num aumento da Q1 agita¸ca˜o t´ermica das mol´eculas do g´ as e) Sim , basta que o g´ as realize trabalho igual ao calor que Ciclo de Carnot recebeu Estudando as m´aquinas t´ermicas, o cientista Sadi Carnot os, em 1824, um ciclo te´orico composto de quatro trans6. (ACAFE) Numa expans˜ao adiab´atica, a temperatura de propˆ forma¸ co˜es revers´ıveis - duas isot´ermicas e duas adiab´aticas, um mol de g´ as perfeito diminui de 200 K. Podemos afirmar que proporciona o m´aximo rendimento para uma m´aquina que a quantidade de calor trocada com o ambiente ´e de: t´ e rmica, entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quente a) 73 cal e fria. O desenho a seguir representa o ciclo de Carnot. b) 200 cal c) 20 cal d) 0 J e) n˜ ao pode ser determinado p a isotérmico Termodinˆ amica Aula 9 b adiabático T 1 adiabático d isotérmico M´ aquinas T´ ermicas c T2 O Va Vd Vb Vc V Uma m´aquina t´ermica opera em ciclos entre duas fontes t´ermicas de temperaturas diferentes, uma chamada de fonte quente e a outra, de fonte fria. A m´aquina retira calor da fonte quente Q1 , transforma parte desse calor em trabalho W e rejeita a outra parte Q2 para a fonte fria, assim Figura 1: Figura do Ciclo de Carnot. W = Q1 − Q2 Processo A → B: o g´ as sofre uma expans˜ao isot´ermica, recebendo calor da fonte quente Q1 e realizando trabalho. ˆmica – Aula 10 Termodina A energia interna do g´ as se mant´em constante nesta transforma¸ca˜o. 91 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (ACAFE) Uma m´aquina t´ermica, que opera segundo o ciclo de Carnot, absorve 200 calorias da fonte quente em cada ciclo e abandona 120 calorias para a fonte fria. A alternativa, abaixo que representa o rendimento desta m´aquina t´ermica ´e: a) 100 % b) 80 % c) 60 % d) 40 % e) 20 % Sadi Carnot Processo B → C: o g´ as sofre uma expans˜ao adiab´atica. Sua temperatura diminui, mas n˜ ao ocorre troca de calor com o meio. O g´ as realiza trabalho as custas de redu¸ca˜o na sua energia interna. Processo C → D: o g´ as sofre uma compress˜ ao isot´ermica , o meio exterior realiza trabalho sobre o g´ as, sem que haja varia¸ca˜o na sua energia interna. Durante essa transforma¸ca˜o, o g´ as rejeita a quantidade de calor Q2 para a fonte fria. Processo D → A: ocorre uma compress˜ ao adiab´atica, completando-se o ciclo. A temperatura do sistema aumenta, mas n˜ ao ocorre troca de calor com o meio. O trabalho realizado contra o sistema, provoca aumento na sua energia interna. Carnot demonstrou que, para uma m´aquina que executasse o ciclo por ele proposto, as quantidades de calor trocadas com as fontes t´ermicas s˜ao diretamente proporcionais as temperaturas absolutas dessas fontes, ou seja: T2 Q2 = Q1 T1 2. (ACAFE) Complete o enunciado que segue, com a alternativa verdadeira, dentre as relacionadas abaixo. O ciclo de Carnot ´e constitu´ıdo de transforma¸co˜es: a) adiab´aticas e isot´ermicas b) adiab´aticas e isob´aricas c) isovolum´etrica e isot´ermicas d) isovolum´etricas e isob´aricas e) isovolum´etricas e adiab´aticas 3. (ACAFE) Uma m´aquina de Carnot, cuja fonte quente est´ a a 300 K, absorve 100 cal de calor desta fonte, em cada ciclo, e abandona 70 cal para a fonte fria. A temperatura da fonte fria ´e de : a) 210 K b) 190 K c) 150 K d) 120 K e) 100 K Exerc´ıcios Complementares 4. (Mackenzie) Uma m´aquina t´ermica executa um ciclo entre as temperaturas 500 K (fonte quente) e 400 K (fonte Q2 ǫ=1− fria). O m´aximo rendimento que essa m´aquina poderia ter Q1 ´e: ent˜ ao o rendimento ǫC de uma m´aquina de Carnot ´e dado a) 10 % por: b) 20 % T2 c) 25 % ǫC = 1 − T1 d) 30 % Da´ı tiramos uma importante conclus˜ao: e) 80 % O rendimento da m´ aquina de Carnot n˜ ao depende da substˆ ancia de trabalho utilizada (g´ as): ´ e fun¸ c˜ ao 5. (UEL) O rendimento de certa m´aquina t´ermica de Car◦ exclusiva das temperaturas absolutas das fontes not ´e de 25% e a fonte fria ´e a pr´opria atmosfera a 27 C. A temperatura da fonte quente ´e: quente e fria. a) 5, 4 ◦ C Estabelece o Teorema de Carnot que, entre duas tempera- b) 52 ◦ C turas T1 e T2 das fontes quente e fria, a m´aquina de Car- c) 104 ◦ C not ´e a que apresenta o m´aximo rendimento. Portanto, d) 127 ◦ C nenhuma m´aquina t´ermica, entre as mesmas temperatu- e) 227 ◦ C ras, pode apresentar rendimento superior ao previsto para a m´aquina de Carnot. 6. (Osec-SP) Um g´ as perfeito realiza um ciclo de Carnot. A temperatura da fonte fria ´e 127 ◦ C e a da fonte quente ´e 427 ◦ C. O rendimento do ciclo ´e: Pense um Pouco! a) 3,4 % b) 70 % • O que aconteceria com uma m´aquina t´ermica se o ren- c) 43 % dimento alcan¸cado fosse de 100%? Ser´ a que no futuro, d) 57 % teremos uma m´aquina assim? e) n.d.a Como 92 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Termodinˆ amica Aula 10 Mudan¸cas de Fase — www.mundofisico.joinville.udesc.br A ebuli¸ca˜o e a liquefa¸ca˜o se processam na mesma temperatura, chamada temperatura (ou ponto) de ebuli¸ca˜o ou de liquefa¸ca˜o (TE ). Por exemplo, sob press˜ ao atmosf´erica normal, a ´agua sempre entra em ebuli¸ca˜o e se liquefaz a 100 ◦ C. Calor Latente A mat´eria pode se apresentar-se nos estados s´olido, l´ıquido e gasoso. Estes estados se distinguem pelo seguinte: Seja Q a quantidade de calor latente necess´aria para provocar uma dada mudan¸ca de estado na massa m de um S´ olido tˆem forma pr´opria e volume bem definido. L´ıquido n˜ ao tem forma pr´opria (assume a forma do recipi- substˆancia S, sem varia¸ca˜o de temperatura. Verifica-se experimentalmente que Q ´e proporcional `a massa ente que os cont´em), mas tem volume bem definido. G´ as n˜ ao tem forma pr´opria nem volume definido. Tomam a m, podendo-se escrever: forma e o volume do recipiente que os cont´em, dependendo da press˜ ao externa. Q = mL Sendo L um coeficiente de proporcionalidade chamado calor espec´ıfico latente da referida mudan¸ca de estado da substˆancia S. Tipos No nosso estudo estaremos sempre nos referindo a substˆ ancias puras, e faremos algumas defini¸co˜es: Sendo LF o calor espec´ıfico latente de fus˜ao ou de solidifica¸ca˜o, temos QF = mLF • Fus˜ao: ´e a passagem de uma substˆ ancia do estado E sendo LV o calor espec´ıfico latente de vaporiza¸ca˜o ou de s´olido para o estado l´ıquido. liquefa¸ca˜o, temos: • Solidifica¸ca˜o: ´e a passagem de uma substˆ ancia do esQV = mLV tado l´ıquido para o estado s´olido . • Vaporiza¸ca˜o: ´e a passagem de uma substˆ ancia do es- Observamos que o calor espec´ıfico latente de uma substˆancia ´e uma caracter´ıstica da substˆancia que n˜ ao depende da tado liquido para o estado de vapor. massa. Conforme a maneira de se processar, a vaporiza¸ca˜o recebe nomes diferentes. Assim ela pode tomar o nome Observamos tamb´em que o calor espec´ıfico latente de fus˜ao e de solidifica¸ca˜o ´e o mesmo, porque a quantidade de calor de: que um corpo recebe para se fundir ´e a mesma que cede – Evapora¸ca˜o: ocorre mediante um processo lento ao se solidificar. O mesmo se pode dizer do calor espec´ıfico ´ que se verifica apenas na superf´ıcie do l´ıquido. E latente de vaporiza¸ca˜o e de liquefa¸ca˜o. o que acontece com a ´ agua de um tanque , ou de uma bacia ao ar livre. A evapora¸ca˜o pode ocorrer a qualquer temperatura que estiver o l´ıquido. Pense um Pouco! – Ebuli¸ca˜o: ocorre mediante a um processo turbulento que se verifica em toda a massa l´ıquida. Isso • Quando deixamos uma pedrinha de Naftalina no ocorre quando a press˜ ao de vapor do l´ıquido se guarda-roupas ,depois de algum tempo ela some. iguala a press˜ ao externa, a´ı o vapor escapa proComo se chama esse processo? ´ duzindo o borbulhar caracter´ıstico da ebuli¸ca˜o. E • O que acontece com o calor absorvido por uma o que ocorre com a ´ agua de uma chaleira quando substˆancia durante uma mudan¸ca de fase, j´a que sua esta ´e colocada ao fogo e come¸ca a fervura. A temperatura n˜ ao muda? ebuli¸ca˜o s´o ocorre em uma determinada temperatura, caracter´ıstica do l´ıquido, chamada temperatura (ou ponto) de ebuli¸ca˜o, que depende d a press˜ ao exercida em sua superf´ıcie. – Calefa¸ca˜o: ocorre ap´os um aquecimento muito brusco. Por exemplo quando uma por¸ca˜o de ´agua ´e jogada na chapa quente de um fog˜ao, h´ a um aquecimento brusco da ´ agua, seguido do fenˆomeno de calefa¸ca˜o . Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Temperatura de Mudan¸ca de Estado 1. (FUVEST) Para fundir 50 gramas de uma substˆancia, sem varia¸ca˜o de temperatura, foram necess´arias 1, 4 kcal. Qual o calor espec´ıfico latente de fus˜ao dessa substˆancia em cal/g? a) 12 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30 A fus˜ao e a solidifica¸ca˜o se processam na mesma temperatura chamada temperatura (ou ponto) de fus˜ao ou de solidifica¸ca˜o (TF ). Por exemplo, a ´ agua, sob press˜ ao atmosf´erica normal, sempre se funde e solidifica a 0 ◦ C. 2. (ACAFE) Sendo o calor latente espec´ıfico de fus˜ao do gelo igual a 80 cal/g, a quantidade de calor necess´aria para fundir 100 gramas de gelo a 0 ◦ C ´e: a) 8 kcal • Liquefa¸ca˜o (condensa¸ca˜o): ´e a passagem de uma substˆancia do estado de vapor para o estado l´ıquido. ˆmica – Aula 11 Termodina 93 b) 4 kcal c) 125 cal d) 80 cal e) 1, 25 cal submetida. O estudo do diagrama de fases, que faremos a seguir, nos permitir´a definir em que condi¸co˜es a sublima¸ca˜o de um substˆancia poder´ a ocorrer. 3. (PUC) Um bloco de gelo, inicialmente a −10 ◦ C, tem massa de 500 g. Qual a quantidade de calor necess´aria para transform´a-lo em igual quantidade de ´ agua, a 20 ◦ C? ◦ Dados : cGELO = 0, 5 cal/g · C, cAGUA = 1, 0 cal/g · ◦ C e LF = 80 cal/g. a) 0, 05 kcal b) 0, 52 kcal c) 5, 25 kcal d) 525 kcal e) 52, 5 kcal Diagrama de Fases 4. (CEFET) Tˆem-se 200 g de ´ agua a 20 ◦ C. A quantidade de calor, em cal, que dela se deve retirar para se ter gelo a 0 ◦ C, ´e (dados : cGELO = 0, 5 cal/g · ◦ C, cAGUA = 1, 0 cal/g · ◦ C e LF = 80 cal/g): a) 4000 b) 16000 c) 20000 d) 20100 e) 12000 Pressao (atm) Exerc´ıcios Complementares Em um laborat´orio ´e poss´ıvel determinar, para cada substˆancia, os valores da press˜ ao p e da temperatura T correspondentes a cada um dos seus poss´ıveis estados. Com estes valores podemos construir um gr´afico, denominado diagrama de fases, que tem aspecto semelhante ao da figura abaixo: 1,0 Liquida Solida 0,0006 Ponto triplo Vapor 0,01 100 Temperatura ( C) 5. (ACAFE) Qual a quantidade de calor que se deve fornecer a 50 g de gelo a 0 ◦ C para transform´ a-lo em vapor de agua a 100 ◦ C? Sabe-se que LV = 539 cal/g. ´ a) 35950 cal b) 26170 cal c) 20130 cal d) 15310 cal e) 9000 cal Observa-se que este diagrama est´ a dividido em trˆes regi˜oes, indicando a fase S´ olida, L´ıquida e Vapor. Se nos forem fornecidos os valores da press˜ ao e da temperatura em que uma substˆancia se encontra, o seu diagrama de fases nos permitir´a determinar se ela esta s´olida, l´ıquida ou gasosa. Para isto, devemos localizar, neste diagrama, o ponto correspondente ao par de valores de p e T fornecidos. Se este ponto estiver localizado na regi˜ao S´ olida, a substˆancia es6. (UNIJU´I) A vantagem do uso da panela de press˜ ao tar´ a na fase s´olida, se estiver na regi˜ao L´ıquida, estar´ a na em rela¸ca˜o as panelas comuns para cozinhar alimentos fase l´ıquida e se estiver na regi˜ao Vapor, na fase gasosa. relaciona-se com: a) a ´ agua demora mais a ferver e atinge uma temperatura menor b) a ´ agua ferve rapidamente e atinge maior temperatura c) a ´ agua ferve rapidamente e atinge menor temperatura d) a ´ agua demora mais a ferver e atinge maior temperatura e) n.d.a Termodinˆ amica Aula 11 Sublima¸ c˜ ao e Diagrama de Fases Se colocarmos uma bola de naftalina em uma gaveta, sabemos que ela passa pelo estado de vapor, sem passar pelo estado l´ıquido, isto ´e, ocorre a sublima¸ c˜ ao da naftalina. Este fato tamb´em ocorre com o CO2 s´olido e, por isto, ele ´e denominado ”gelo seco”. Embora sejam poucas as substˆancias que se sublimam nas condi¸co˜es ambientes, verifica-se que este fenˆomeno pode ocorrer com qualquer substˆ ancia, dependendo da temperatura e da press˜ ao a que ela estiver Figura 1: Estrutura da a ´gua l´ıquida. Ponto Triplo As linhas que aparecem no diagrama de fases e que os dividem nas regi˜oes S´ olida, L´ıquida e Vapor correspondem a valores de p e T nos quais podemos encontrar a substˆancia, simultaneamente, em dois estados. Assim, qualquer ponto da linha T M corresponde a um par de valores de p e T no 94 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC qual a substˆancia se apresenta, simultaneamente, nos estados s´olido e l´ıquido. A linha T N corresponde ao equil´ıbrio entre l´ıquido e vapor e a linha OT , entre s´olido e vapor. O ponto de encontro dessas trˆes linhas (ponto T da figura) nos fornece os valores da press˜ ao e da temperatura nos quais a substˆancia pode se apresentar, simultaneamente, nos trˆes estados. Este ponto ´e denominado ponto triplo da substˆ ancia. A ´agua, por exemplo, a press˜ ao de 4, 6 mmHg e a uma temperatura de 0, 01 ◦ C, pode ser encontrada, simultaneamente, nos estados s´olido, l´ıquido e gasoso e, portanto, estes valores correspondem ao seu ponto triplo. — www.mundofisico.joinville.udesc.br c) est´ a necessariamente em processo de fus˜ao. d) est´ a necessariamente evaporando. e) est´ a sofrendo uma mudan¸ca de fase. 2. (UFV) Utilizando-se uma fonte de fornecimento cont´ınuo de calor, aquece-se, `a press˜ ao constante de 1 atmosfera, 100 g de gelo, que s˜ao transformados em vapor superaquecido. A figura seguinte ilustra a varia¸ca˜o da temperatura do sistema com o tempo. a) Em que intervalo de tempo ocorre a fus˜ao? b) Em que intervalo de tempo ocorre a vaporiza¸ca˜o? c) Considerando o calor espec´ıfico do gelo igual a 0, 55 cal/g· ◦ C e o calor latente de fus˜ao igual a 80 cal/g, qual ´e a quantidade de calor absorvida pelo sistema, do instante inicial ao instante t2 ? T(oC) Figura 2: Estrutura da a ´gua s´ olida (gelo). 0 t1 t2 t3 t4 t(s) −40 G´ as Real Um g´ as real pode n˜ ao se comportar como um g´ as ideal, j´a que o modelo de g´ as ideal ´e uma aproxima¸ca˜o bem simplificada de um g´ as real. Exerc´ıcios Complementares Para isto, suponha que um g´ as real esteja encerrado em um cilindro provido de um pist˜ao e de um manˆ ometro que nos 3. (UFV-MG) Sejam dois s´olidos A e B, de massas respecpermite ler os valores de sua press˜ ao. tivamente a mA e mB , em equil´ıbrio t´ermico. Cedendo-lhes a mesma quantidade de calor, observa-se que a temperatura Mantendo constante a temperatura do g´ as, vamos do corpo A torna-se maior que a temperatura do corpo B. comprimi-lo desde uma posi¸ca˜o inicial aonde a press˜ ao do N˜ a o se observa mudan¸ca de fase. Sobre essa situa¸ca˜o s˜ao g´ as ´e ainda, relativamente baixa. Durante a compress˜ao, feitas trˆes afirmativas: verifica-se que, inicialmente, o g´ as real se comporta como I Se os corpos forem feitos do mesmo material, certamente um g´ as ideal, isto ´e, os valores de p,V e T do g´ as satisfazem m > m a equa¸ca˜o pV = nRT . A B. II Se m ıfico de A ´e maior A = mB , certamente o calor espec´ Entretanto, ap´os o pist˜ao atingir uma certa posi¸ca˜o, na qual que o calor espec´ ıfico de B. a press˜ ao j´a ´e um pouco mais elevada, observa-se que o g´ as real deixa de se comportar como um g´ as ideal. Seu compor- III - Esta situa¸ca˜o s´o foi poss´ıvel porque os corpos possuem tamento torna-se mais complexo, exigindo, para descrevˆe-lo, capacidades t´ermicas diferentes. ao CORRETAS: equa¸co˜es mais sofisticadas do que a equa¸ca˜o de estado de um Est˜ a) I e II g´ as ideal. b) apenas II c) apenas III d) I, II e III Pense um Pouco! e) ˜ ¸ AO • Todas as substˆancias possuem o chamado ponto triplo? SOLUC • Quanto tempo leva uma naftalina para sumir completamente? A solu¸ca˜o desse item ´e uma an´alise das rela¸co˜es abaixo: 1) Q = mc∆t 2) C = mc 3) Q = C∆T Onde: Q - quantidade de calor; C - capacidade t´ermica; c - calor espec´ıfico m - massa; 1. (PUC-RS) Se, ao fornecermos calor a um sistema, sob ∆T - varia¸ca˜o da temperatura. press˜ ao constante, observarmos que a temperatura permaAnalisemos as afirma¸co˜es: nece inalterada, podemos afirmar que o sistema: I - Pela equa¸ca˜o 1), mesmo material =¿ mesmo calor esa) ´e totalmente s´olido. pec´ıfico; como A sofreu maior varia¸ca˜o de temperatura, a b) ´e totalmente l´ıquido. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 95 Eletricidade – Aula 1 massa de A ´e menor que a de B. Afirmativa falsa. n˜ ao sofrem a influˆencia de quaisquer outros corpos, as cargas el´etricas cedidas por um s˜ao exatamente as adquiridas II - Pela equa¸ca˜o 1), massas iguais =¿ sofre maior varia¸c˜ao pelo outro: de temperatura o corpo de menor calor espec´ıfico. Portanto QA = −QB o calor espec´ıfico de A ´e menor que o de B, pois A sofreu maior varia¸ca˜o de temperatura. Afirma¸ca˜o falsa. Isto ´e, A e B adquirem quantidades de carga el´etrica iguais III - Pela equa¸ca˜o 3) verifica-se que quantidades de calor em m´odulo, mas de sinais contr´arios. A figura representa iguais, as varia¸co˜es de temperaturas ser˜ao diferentes se as o que acontece quando um peda¸co de metal ´e atritado com capacidades t´ermicas forem diferentes. Afirma¸ca˜o correta. um pano de l˜a. Portanto, apenas III ´e correta. Eletricidade Aula 1 Carga El´ etrica La La + + + + + + + + + ++ + No s´eculo XVIII, Benjamin Franklin verificou experimentalmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as batizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nesta (a) (b) ´epoca os cientistas pensavam que a carga era um flu´ıdo que podia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para outro. Quando esfregamos as m˜aos, n˜ ao eletrizamos nenhuma deAtualmente, dizer-se que carga el´ etrica ´e uma propriedade las. Para que haja eletriza¸ca˜o por atrito, uma condi¸ca˜o neintr´ınseca de algumas part´ıculas. Assim como massa, a cess´aria ´e que os corpos sejam de materiais diferentes, isto carga ´e uma propriedade elementar das part´ıculas. ´e, eles n˜ ao podem ter a mesma tendˆencia de ganhar ou perder el´ e trons. Em Qu´ımica, essa tendˆencia ´e traduzida por A experiˆencia realizada por Harvey Fletcher e Robert Miluma grandeza denominada de eletroafinidade. Os materilikan demonstrou que a quantidade de carga el´etrica ´e uma ais podem ser classificados de acordo com essa tendˆencia, grandeza quantizada, ou seja, n˜ ao pode assumir qualquer elaborando-se a chamada s´ e rie tribo-el´etricas: valor. Essa descoberta levou ` a conclus˜ao de que a quantidade de carga el´etrica Q ´e sempre um n´ umero inteiro n + + + Vidro → Mica → L˜ a → Seda → Algod˜ ao → ˆ vezes a quantidade de carga elementar e: Madeira → Ambar → Enxofre → Metais − − − Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma s´erie triboQ = ne el´etrica, o que estiver posicionado `a esquerda ficar´a eletrizado positivamente; o que estiver `a direita ficar´a eletrizado −19 onde e = 1, 60 × 10 C. A unidade SI da carga el´etrica ´e negativamente. Na eletriza¸ca˜o por atrito, pelo menos um o coulomb ou C. dos corpos deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores, eles n˜ ao v˜ao manter a eletriza¸ca˜o. Atrito Tipos de Materiais Em rela¸ca˜o `a eletricidade, os materiais s˜ao classificados como condutores ou isolantes. Para que um material seja condutor de energia el´etrica, ´e necess´ario que ele possua portadores de carga el´etrica livres (el´etrons, ´ıons positivos ou ´ıons negativos) e mobilidade para esses portadores. Os metais s˜ao bons condutores de eletricidade, pois possuem el´etrons ”livres”e mobilidade para esses el´etrons; o mesmo acontece com as solu¸co˜es eletrol´ıticas, que apresentam os ´ıons como portadores de carga el´etrica, e com os gases ionizados, que possuem el´etrons e ´ıons como portadores de carga el´etrica. Eletriza¸c˜ ao por Contato A eficiˆencia nessa forma de eletriza¸ca˜o depende de os corpos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for isolante, a eletriza¸ca˜o ser´a local, isto ´e, restrita aos pontos de contato. Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outro neutro - e colocados em contato, poderemos imagin´a-los como um u ´ nico corpo eletrizado. A separa¸ca˜o entre eles resultar´a em dois corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal. Na figura, um dos condutores est´ a inicialmente neutro (a eletriza¸ca˜o por contato pode ocorrer tamb´em com O vidro, a ´agua pura, a madeira e os pl´asticos de modo geral dois condutores inicialmente eletrizados). s˜ao bons isolantes de eletricidade. Al´em dos condutores e dos isolantes, existem os materiais semi-condutores, como o sil´ıcio e o germˆ anio. Depois Antes + + + + + + + Eletriza¸ c˜ ao por Atrito + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (a) + + + + + + + + + + + + (b) + + + + + + + + + + (c) Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos fornecendo energia e pode haver transferˆencia de el´etrons de um Generalizando, podemos afirmar que, na eletriza¸ca˜o por para o outro. Se os corpos atritados est˜ ao isolados, ou seja, contato: 96 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC • os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargas de mesmo sinal; • quando o sistema ´e formado por corpos isolados das influˆencias externas, a quantidade de carga el´etrica total final ´e igual `a quantidade de carga el´etrica total inicial (princ´ıpio da conserva¸ca ˜o de carga el´etrica): + + — + www.mundofisico.joinville.udesc.br + + + + + + + + + + + + + + QA + QB = Q′ A + Q′ B + + + + + B1 + + B2 (a) (b) Na express˜ao acima, Q representa a quantidade de carga el´etrica inicial e Q′ , a quantidade de carga el´etrica final. Em particular, se os corpos A e B fo- O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas rem iguais: el´etricas negativas do induzido (b). Assim, na face do induzido mais pr´oxima do indutor, temos ac´ umulo de cargas negativas, que n˜ ao chegam ao indutor porque o ar entre eles Q′ A = Q′ B = (QA + QB)/2 ´e isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastada Podemos ainda observar que: do indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos pera eletrizado. Ele n˜ ao est´ a, pois o 1. se os corpos colocados em contato s˜ao de tama- guntar se o corpo (b) est´ umero de pr´otons no corpo continua igual ao n´ umero de nhos diferentes, a divis˜ao de cargas ´e proporcio- n´ el´etrons. Dizemos que o corpo (b) est´ a induzido, porque nal `as dimens˜oes de cada um; 2. quando um corpo eletrizado ´e colocado em con- houve apenas uma separa¸ca˜o das cargas. Quando retiratato com a Terra, ele se torna neutro, uma vez mos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e ele que sua dimens˜ao ´e desprez´ıvel se comparada com volta `a situa¸ca˜o neutra. Para eletrizar o induzido, devemos, `a da Terra. Simbolicamente, a liga¸ca˜o ` a Terra ´e na presen¸ca do indutor, estabelecer o contato do induzido (corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esse representada conforme a figura. terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, at´e mesmo o planeta Terra. + + + + + + + + Terra B (a) (b) + + + + Em (a), o corpo est´ a isolado da Terra e, portanto, mant´em sua carga el´etrica. Quando o contato com a Terra ´e estabelecido (b), o corpo se neutraliza Eletriza¸ c˜ ao por Indu¸ c˜ ao Nesse tipo de eletriza¸ca˜o n˜ ao h´ a contato entre os corpos. Vejamos como acontece. + + + + + + + + + + + + + + + (a) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + A − Indutor (a) (b) Na presen¸ca do indutor, desfazemos o contato entre b e a Terra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica eletrizado com carga oposta `a do indutor a. Pense um Pouco! + + + + + + + + + + + + + • Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer de um carro num dia seco. Explique. • Atritando-se dois materiais diferentes criamos carga el´etrica? Por quˆe? + (b) Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), chamado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois n˜ ao ter´ a contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser eletrizado, chamado de induzido, dever´ a ser condutor, podendo ser uma solu¸ca˜o eletrol´ıtica ou dois corpos B1 e B2 ligados eletricamente. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Disp˜oe-se de trˆes esferas met´alicas idˆenticas e isoladas uma da outra. Duas delas, A e B, est˜ ao neutras, enquanto a esfera C cont´em uma carga el´etrica Q. Faz-se a esfera C tocar primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desse procedimento, qual a carga el´etrica das esferas A, B e C, respectivamente? 97 Eletricidade – Aula 2 2. ”S´erie tribo-el´etrica ´e um conjunto de substˆ ancias ordenadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamente quando atritada com qualquer uma que a antecede e positivamente quando atritada com qualquer uma que a sucede. Exemplo: vidro - mica - l˜a - seda - algod˜ ao - cobre.”Baseado na informa¸ca˜o acima, responda: a) Atrita-se um pano de l˜a numa barra de vidro, inicialmente neutros. Com que sinais se eletrizam? b) E se o pano de l˜a fosse atritado numa esfera de cobre, tamb´em inicialmente neutro? 3. Uma esfera met´alica neutra encontra-se sobre um suporte isolante e dela se aproxima um bast˜ao eletrizado positivamente. Mant´em-se o bast˜ao pr´oximo ` a esfera, que ´e ent˜ ao ligada ` a terra por um fio met´alico. Em seguida, desliga-se o fio e afasta-se o bast˜ao. a) A esfera ficar´a eletrizada positivamente. b) A esfera n˜ ao se eletriza, pois foi ligada ` a terra. c) A esfera sofrer´a apenas separa¸ca˜o de suas cargas. d) A esfera ficar´a eletrizada negativamente. e) A esfera n˜ ao se eletriza, pois n˜ ao houve contato com o bast˜ao eletrizado. 4. Disp˜oe-se de uma esfera condutora eletrizada positivamente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontramse inicialmente neutras. Os suportes das trˆes esferas s˜ao isolantes. Utilizando os processos de eletriza¸ca˜o por indu¸ca˜o e por contato, descreva procedimentos pr´aticos que permitam obter: a) as trˆes esferas eletrizadas positivamente II. A eletrizada positivamente e B negativamente III. A eletrizada negativamente e B positivamente Exerc´ıcios Complementares 5. (U. Fortaleza-CE) Um bast˜ao ´e atritado com um pano. A seguir, repele uma esfera eletrizada negativamente. Podese afirmar corretamente que o bast˜ao foi eletrizado a) positivamente, por contato com o pano. b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera. c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera. d) negativamente, por atrito com o pano. e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera b) Q c) 2Q d) 0 e) −Q Eletricidade Aula 2 Eletrosc´ opio de Folhas ´ constitu´ıdo de duas folhas met´alicas, finas e flex´ıveis, ligaE das em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem de cargas el´etricas da haste para a esfera. Normalmente, as folhas met´alicas s˜ao mantidas dentro de um frasco transparente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade. ++ + +++ Eletrostato (a) (b) Figura 1: O eletrosc´ opio de folhas (a) na presen¸ca de um bast˜ ao eletrizado negativamente (b) Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, se ele estiver eletrizado, ocorrer´a a indu¸ca˜o eletrost´atica, ou seja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repele os el´etrons livres da esfera para as lˆaminas, fazendo com que elas se abram devido `a repuls˜ao; se o corpo estiver com cargas positivas, ele atrai os el´etrons livres das lˆaminas, fa6. (PUCC-SP) Disp˜oe-se de uma barra de vidro, um pano zendo tamb´em com que elas se abram, novamente, devido `a de l˜a e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadas repuls˜ao. em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atritase a barra de vidro com o pano de l˜a; a seguir coloca-se a barra de vidro em contato com a esfera A e o pano com a ++ esfera B. Ap´os essas opera¸co˜es: ++ a) o pano de l˜a e a barra de vidro estar˜ ao neutros. b) a barra de vidro repelir´ a a esfera B. + + c) o pano de l˜a atrair´a a esfera A. + + d) as esferas A e B se repelir˜ ao. e) as esferas A e B continuar˜ ao neutras. 7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera met´alica, sustentada por uma haste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena carga el´etrica Q. Uma segunda esfera idˆentica e inicialmente descarregada aproxima-se dela, at´e toc´ a-la. Ap´os o contato, a carga el´etrica adquirida pela segunda esfera ´e: a) Q/2 Figura 2: Na presen¸ca de um bast˜ ao eletrizado positivamente 98 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br A determina¸ca˜o do sinal da carga do corpo em teste, que no v´acuo. Se a carga q ′ for substitu´ıda por outra −3q ′ e a j´ a se sabe estar eletrizado, ´e obtida carregando-se anterior- distˆancia entre as cargas for duplicada, como se modifica a mente o eletrosc´opio com cargas de sinal conhecido. Dessa for¸ca de intera¸ca˜o el´etrica entre elas? forma, as lˆaminas ter˜ ao uma determinada abertura inicial. 3. Considere um eletrosc´opio de folhas descarregado. Explique o que acontece quando um corpo eletrizado negatiA Lei de Coulomb vamente ´e: a) aproximado da esfera do eletrosc´opio; Esta lei diz respeito `a intensidade das for¸cas de atra¸ca˜o ou b) encostado na esfera do eletrosc´opio. de repuls˜ao, que agem em duas cargas el´etricas puntiformes (cargas de dimens˜oes desprez´ıveis), quando colocadas em presen¸ca uma da outra. Exerc´ıcios Complementares Considere duas cargas el´etricas puntiformes, q1 e q2 , separadas pela distˆancia r. Sabemos que, se os sinais dessas 4. Duas part´ıculas eletrizadas com cargas el´etricas de cargas forem iguais, elas se repelem e, se forem diferentes, mesmo valor absoluto mas sinais contr´arios atraem-se no se atraem. Isto acontece devido ` a a¸ca˜o de for¸cas de natureza v´acuo com for¸ca de intensidade 4, 0 × 10−3 N , quando situel´etrica sobre elas. adas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas, Essas for¸cas s˜ao de a¸ca˜o e rea¸ca˜o e, portanto, tˆem a mesma sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . intensidade, a mesma dire¸ca˜o e sentidos opostos. Deve-se notar tamb´em que, de acordo com o princ´ıpio da a¸ca˜o e 5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletrosc´opio de rea¸ca˜o, elas s˜ao for¸cas que agem em corpos diferentes e, folhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S e as folhas F s˜ao met´alicos. Inicialmente, o eletrosc´opio est´ a portanto, n˜ ao se anulam. eletricamente descarregado. Uma esfera met´ a lica, positivaCharles de Coulomb verificou experimentalmente que: mente carregada, ´e aproximada, sem encostar, da esfera do eletrosc´opio. Em qual das seguintes alternativas melhor se As for¸cas de atra¸ca˜o ou de repuls˜ao entre duas representa a configura¸ca˜o das folhas do eletrosc´opio (e suas cargas el´etricas puntiformes s˜ao diretamente procargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esporcionais ao produto das cargas e inversamente fera? proporcionais ao quadrado da distˆancia que as separa. b) a) c) A express˜ao matem´atica dessa for¸ca ´e: F =k q1 q2 r2 onde q1 e q2 s˜ao os m´odulos das cargas el´etricas envolvidas, e k uma constante eletrost´atica que, no SI, para as cargas situadas no v´acuo ´e E S F d) e) blindagem metalica k = 9 × 109 N · m2 /C 2 Pense um Pouco! 6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µC est˜ ao sobre o eixo horizontal, separadas por uma distˆancia r. Assinale a alternativa correta: • Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona o a) As cargas se repelem mutuamente eletrosc´opio; b) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2 • Se dobrarmos a distˆancia r entre duas cargas dadas, o c) o sistema forma um dipolo que acontece com a for¸ca el´etrica entre elas? d) As cargas se atraem eletricamente • Se colocarmos muitos el´etrons no centro de uma chapa e) A for¸ca sobre as cargas s˜ao verticais met´alica quadrada, o que acontecer´ a com essa carga? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Eletricidade Aula 3 Campo El´ etrico 1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas dimens˜ oes, atraem-se mutuamente no v´acuo com for¸ca de intensidade F ao estarem separadas por certa distˆancia r. Como se modifica intensidade da for¸ca quando a distˆancia entre as esferas ´e aumentada para 4r? Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre ela uma certa for¸ca. N˜ ao ´e dif´ıcil imaginar de que forma essa for¸ca foi transmitida `a caixa, pois de imediato associamos `a aplica¸ca˜o da for¸ca o contato travado com a caixa. Pensemos agora na intera¸ca˜o entre cargas el´etricas: conforme 2. As cargas el´etricas −q e +q ′ , puntiformes, atraem-se com estudamos anteriormente, se aproximarmos de uma carga for¸ca de intensidade F , estando ` a distancia r uma da outra Q uma outra carga q, que denominaremos carga de prova, 99 Eletricidade – Aula 3 verificaremos a a¸ca˜o de uma for¸ca F~ (atrativa ou repulsiva, conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso, n˜ ao h´ a contato entre os corpos, o que torna mais dif´ıcil a compreens˜ao da forma de transmiss˜ao da for¸ca. Durante muito tempo afirmou-se que a for¸ca eletrost´atica era uma intera¸ca˜o direta e instantˆ anea entre um par de part´ıculas eletrizadas, conceito este denominado a¸ca˜o a distˆancia. Consideremos P um ponto gen´erico de um campo el´etrico gerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de prova q1 , q2 , q3 , ..., q. A intensidade da for¸ca el´etrica atuante nas cargas de prova ir´ a variar, mas a dire¸ca˜o da for¸ca ser´a a mesma, conforme indicamos na sequˆencia de figuras seguintes: P m P F q q 1 2 (a) Se trabalh´assemos apenas com cargas em repouso, a a¸ca˜o a distˆancia nos bastaria para que resolvˆessemos a maioria dos problemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de cargas em movimento n˜ ao pode ser deixado de lado e nesse caso a teoria da a¸ca˜o a distˆancia ´e falha, sendo necess´ario buscarmos outra forma de explicar a intera¸ca˜o el´etrica. E foi com Faraday (1791-1867) que nasceu a id´eia que constitui hoje um dos mais importantes recursos em F´ısica: a no¸ca˜o de campo. P F 1 q F F 2 (b) (c) Conclu´ımos que a rela¸ca˜o entre a for¸ca e a carga em que ela atua ´e uma caracter´ıstica do ponto P considerado, denominada vetor campo el´etrico. Assim, teremos: ~ = F~ /q E ~ distinguimos dois casos: Quanto ao sentido do vetor E, ~ e F~ tˆem o mesmo sentido; a) q ´e positiva: E ~ e F~ tˆem sentidos contr´arios. b) q ´e negativa: E Podemos concluir, da equa¸ca˜o, que as unidades de intensidade do vetor campo el´etrico ser˜ao unidades de for¸ca por unidades de carga. Assim, no sistema internacional de unidades, teremos: Dizemos que a presen¸ca da carga Q afeta a regi˜ ao do espa¸co pr´oxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhan¸cas uma “propriedade”que d´ a a essa regi˜ ao “algo”mais que atributos geom´etricos, “algo”que transmitir´ a a qualquer carga de prova colocada nessa regi˜ ao a for¸ca el´etrica exercida pela carga Q. Designamos por campo el´etrico tal propriedade. Assim, a for¸ca F~ ´e exercida sobre q pelo campo el´etrico criado por Q. Esquematicamente teremos: ~ ser´a Por defini¸ca˜o, a unidade de de campo el´etrico ´e E newton/coulomb, ou seja N/C. A¸ca˜o ` a distˆancia: carga ⇐⇒ carga Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga Linhas de Campo A no¸ca˜o de campo ´e utilizada em muitas outras situa¸co˜es f´ısicas, como por exemplo a intera¸ca˜o gravitacional. Na figura a seguir, em vez de pensarmos numa atra¸ca˜o direta da Terra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra cria em torno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a presen¸ca da Terra faz com que todos os pontos de sua vizinhan¸ca possuam uma propriedade segundo a qual todo corpo colocado nesse local sofrer´a a a¸ca˜o de uma for¸ca atrativa. Unidade SI A denomina¸ca˜o linhas de campo ou linhas de for¸ca designa uma maneira de visualizar a configura¸ca˜o de um campo el´etrico. Esse artif´ıcio foi empregado por Faraday e mesmo hoje pode ser conveniente seu uso. E E E Uma observa¸ca˜o muito importante deve ser feita: o campo E E el´etrico num ponto P qualquer da vizinhan¸ca da carga Q, E assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nas vizinhan¸cas da Terra, existe independentemente da presen¸ca da carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam Apresentamos a seguir a significa¸ca˜o das linhas de for¸ca: a existˆencia dos campos el´etrico e gravitacional nos pontos 1. S˜ ao linhas tra¸cadas de forma que a tangente a cada considerados. ~ S˜ ponto nos fornece a dire¸ca˜o de E. ao orientadas no sentido do vetor campo. O Vetor Campo El´ etrico O campo el´etrico ´e melhor caracterizado em cada ponto do ˆ denominado vetor campo el´etrico. espa¸co por um vetor E, A defini¸ca˜o do vetor campo el´etrico ´e tal, que por seu interm´edio poderemos estudar muitas caracter´ısticas do campo el´etrico, a partir do estuco desse vetor num ponto. 2. As linhas de campo s˜ao tra¸cadas de forma que o n´ umero de linhas que atravessa a unidade de ´area de uma sec¸ca˜o perpendicular `as mesmas ´e proporcional ~ Dessa forma, onde elas estiverem ao m´odulo de E. ~ ´e maior; onde elas estiverem mais mais pr´oximas, |E| ~ ´e menor. afastadas, |E| 100 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC E menos intenso E mais intenso — www.mundofisico.joinville.udesc.br 3. Observe que, por defini¸ca˜o, o campo el´etrico ´e u ´ nico em cada ponto do espa¸co, e portanto, duas linhas de campo nunca se cruzam. C´ alculo do Campo El´ etrico Campo de uma Carga Puntiforme As figuras seguintes mostram linhas de campo de al- O campo el´etrico devido a uma carga puntiforme Q fixa ´e facilmente determinado analisando-se a figura seguinte: guns campos el´etricos particulares: • campo gerado por uma carga puntiforme positiva. P Q No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, o vetor campo el´etrico no ponto P tem intensidade dada por: E = F/q. O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto P qualquer do espa¸co tem intensidade dada por: As linhas de campo “nascem”nas cargas positivas. • carga puntiforme negativa: E= Q F =k 2 q r Utilizando uma linguagem n˜ ao muito rigorosa, podemos dizer que as cargas positivas geram campos de afastamento e as cargas negativas geram campos de aproxima¸ca˜o. Campo El´ etrico para V´ arias de Cargas Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no ponto P um campo el´etrico devido `a sua presen¸ca individual. Dado o efeito aditivo da for¸ca el´etrica, o campo el´etrico devido `a presen¸ca de n cargas puntiformes ser´a a soma vetorial dos campos produzidos individualmente por cada uma das cargas, isto ´e: ~ =E ~1 + E ~2 + E ~3 + . . . = E n X ~i E i=1 As linhas de campo “morrem”nas cargas negatiImportante: esta soma deve ser feita usando-se a soma de vas vetores. • duas cargas de sinais iguais: E4 E2 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 E3 P E5 E1 101 Eletricidade – Aula 4 Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha 3. (USP-SP) Uma carga el´etrica puntiforme q = 2 × 10−6 C reta, que tamb´em cont´em o ponto P , ent˜ ao a intensidade e de massa 10−5 kg ´e abandonada em repouso num campo do campo em P ser´a el´etrico uniforme de intensidade 104 N/C. a) Qual ´e a acelera¸ca˜o adquirida por q? n X Q2 Q3 Q1 b) Qual a velocidade da part´ıcula no instante 8, 0 s? kQi ri2 E = k 2 + k 2 + k 2 + ... = r1 r2 r3 i=1 Esta ´e uma soma escalar, mais f´ acil de fazer do que a necess´ aria no caso anterior. Exerc´ıcios Complementares Por exemplo, para uma pequena regi˜ ao do espa¸co, muito longe de uma carga puntiforme, o campo el´etrico se torna quase uniforme. Pr´oximo ` a superf´ıcie da Terra, existe um campo el´etrico vertical, de cima para baixo de intensidade E ≈ 100 N/C. Este campo ´e quase uniforme, visto em pequena escala (alguns metros), sobre o ch˜ ao plano. Pense um Pouco! E (N/C) 4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representa a intensidade do campo el´etrico gerado por uma carga punCampo El´ etrico Uniforme tiforme fixa no v´acuo, em fun¸ca˜o da distˆancia d `a carga. Trata-se de um campo el´etrico em que o vetor campo el´etrico a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo. ´e o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que em b) Determine a intensidade do campo el´etrico em um ponto ~ ser˜ao que dista 30 cm da carga fixa. cada ponto o m´odulo, a dire¸ca˜o e o sentido do vetor E os mesmos. Em consequˆencia dessa defini¸ca˜o, conclu´ımos 1000 que as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas todas com o mesmo sentido. 800 600 400 200 0 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 r (m) 0.16 0.18 0.20 • Qual as semelhan¸cas e diferen¸cas entre a for¸ca el´etrica e a gravitacional? Fa¸ca um paralelo. 5. (PUC-SP) Numa certa regi˜ao da terra, nas proximidades 2 • Num sistema de cargas puntiformes ´e poss´ıvel se encon- da superf´ıcie, a acelera¸ca˜o da gravidade vale 9, 8 m/s e o trar algum ponto P onde o campo el´etrico seja nulo? campo eletrost´atico do planeta (que possui carga negativa na regi˜ao) vale 100 N/C, e ´e na dire¸ca˜o vertical, sentido Dˆe exemplos. de cima para baixo. Determine o sinal e o valor da carga • Um dipolo ´e formado por um par de cargas +q e −q. el´etrica que uma bolinha de gude, de massa 50 g, deveria Esboce as linhas de campo de um dipolo. ter para permanecer suspensa em repouso, acima do solo. Considere o campo el´etrico praticamente uniforme no local e despreze qualquer outra for¸ca atuando sobre a bolinha. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao ~ apontando 6. (Mackenzie-SP) Existe um campo el´etrico E para baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade 1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espa¸co existe um campo m´edia de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campo ~ horizontal de 5×104 N/C, voltado para a direita. uma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (m´ odulo e sinal) el´etrico E a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, ´e colocada precisa ter a esfera? em P , qual ser´a o valor da for¸ca el´etrica que atua sobre ela? b) Em que sentido a carga de prova tender´ a a se mover, se for solta? c) Responda `as quest˜ oes a) e b) supondo que a carga de prova seja negativa. 2. (ITA-SP) Uma placa vertical isolante, de dimens˜oes muito grandes, est´ a uniformemente carregada. Sabendo-se que o campo el´etrico por ela gerado ´e o mesmo em todos os pontos pr´oximos `a placa e que uma pequena esfera de massa 25 gramas, presa por um fio leve na placa forma o angulo de afastamento entre a esfera e a placa ´e de 30◦ ?, ˆ determinar: a) a for¸ca el´etrica que atua na esfera, supondo que ela se encontre em equil´ıbrio; b) o campo el´etrico da placa, sabendo-se que a carga na esfera vale −5 µC. Eletricidade Aula 4 Potencial El´ etrico Diferen¸ca de Potencial Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para B, em equil´ıbrio, ou seja, faz-se uma for¸ca externa F~ext. tal que anule a for¸ca el´etrica F~E sobre a carga: F~ext. = −F~E Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidade de carga que se desloca de A para B, denominamos diferen¸ca de potencial ou tens˜ao el´etrica de A para B, habitualmente representada por VB − VA ou simplesmente VAB . 102 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC www.mundofisico.joinville.udesc.br Potencial dentro de um Campo El´ etrico Assim, matematicamente teremos: VB − VA = — A→B Wext. W A→B =− E q q Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobre uma linha de for¸ca do campo uniforme mostrado na figura seguinte: Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferen¸ca de potencial tamb´em ser´a uma grandeza escalar. O trabalho WEA→B independe da trajet´oria escolhida entre os pontos A e B, e isso ´e um resultado decorrente do fato de a for¸ca el´etrica ser conservativa. E Fext FE B A1111111 11 00 0000000 000 111 11 00 11 00 00 11 0000000 1111111 000 111 +q Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de difeComo o campo ´e uniforme, a for¸ca el´etrica que atua na carga ren¸ca de potencial (d.d.p.) ser´a o joule/ coulomb, que ´e q ´e constante e ter´ a intensidade dada por: denominada volt ou V . Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que o F = qE campo (for¸ca el´etrica) realiza um trabalho de 110 J sobre cada l C de carga que se desloca de um ponto para outro. Sabemos, da mecˆanica, que o trabalho realizado por uma Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar vocˆe reali- for¸ca constante e paralela ao deslocamento e dado por zando o movimento de uma carga de prova entre os pontos A→B Wext. = −FE · d A e B, e observe os sentidos da for¸ca externa e do deslocamento. Por exemplo, se vocˆe deslocar uma carga positiva, ao a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, ser´a: contra o campo el´etrico numa determinada regi˜ ao, observar´a Ent˜ que ser´a realizado um trabalho externo positivo, e o potenVB − VA = −E · d cial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocada para uma regi˜ao de maior potencial. e neste caso dizemos que a tens˜ao cai de A para B. Em geral, a d.d.p. ´e negativa na dire¸ca˜o e sentido do campo Potencial El´ etrico Gerado por uma Carga Pun- el´etrico. A rela¸ca˜o obtida acima ´e de grande utilidade, uma vez que, conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmente a ser Para calcularmos o trabalho WEA→B realizado sobre a carga o campo el´etrico. Observe que o campo el´etrico poder´ +q, sendo deslocada pr´oximo ` a uma carga puntiforme Q, de- expresso tamb´em em volt/metro. Procure demonstrar que vemos utilizar conceitos matem´aticos que o estudante ver´a l N/C = l V /m. em seu curso superior: trata-se do c´ alculo integral, que, utilizado neste caso, nos fornecer´ a como resultado: Rigidez Diel´ etrica   1 1 Sabe-se que o ar ´e isolante, por´em quando submetido a − WEA→B = −kQq rB rA um grande campo el´etrico, algumas mol´eculas s˜ao ionizadas e o ar se torna condutor. A esse limite de campo Dessa maneira a diferen¸ca de potencial no caminho de A el´etrico m´aximo que um isolante suporta chamamos de ripara B ser´a: gidez diel´ etrica ou Emax . Para o ar de Jonville, sempre   muito u ´ mido, temos Emax ≈ 800 v/mm. 1 1 W A→B − VA→B = VB − VA = − ext. = kQ q rB rA tiforme Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, por exemplo, B, fa¸camos rA tender ao infinito, onde supomos que o potencial seja nulo. Quando isso acontece VB = k Q rB  Q2 Qn Q1 + + ... + r1 r2 rn • Vocˆe saberia responder o valor da d.d.p. (diferen¸ca de potencial) entre o ch˜ ao e uma nuvem, num raio? • Qual a d.d.p. m´axima entre dois fios paralelos, separados por uma distˆancia de 10 cm, em Joinville? Essa equa¸ca˜o fornece o potencial de B em rela¸ca˜o a um ponto no infinito. Se nos depararmos com uma configura¸ca˜o de n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa regi˜ ao ser´a a soma alg´ebrica dos potenciais devidos a cada carga, isto ´e: VP = k Pense um Pouco!  =k n X Qi i=1 ri • Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de uma tomada ´e de 200 V . O que significa isso fisicamente? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de uma carga positiva de campo cujo valor ´e 4, 0 × l0−6 C? 103 Eletricidade – Aula 5 2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2 , de valores −2 µC e +2 µC, respectivamente, est˜ ao separadas por uma distˆancia de 40 cm. a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do segmento que une as cargas Q1 e Q2 . b) Calcule o m´odulo, a dire¸ca˜o e o sentido do vetor campo el´etrico em P . c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com esses c´ alculos? iguais ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde uma energia armazenada no sistema sob a forma de energia potencial el´etrica. Assim, definiremos a energia potencial el´etrica de um sistema de cargas el´etricas puntiformes como sendo o trabalho externo realizado para trazˆe-las em equil´ıbrio de uma separa¸ca˜o infinita at´e a configura¸ca˜o atual. equipotencial linha de campo 3. (UFSC-SC) O campo el´etrico no interior de um sistema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais contr´ arios ´e um bom exemplo de campo el´etrico uniforme. Na figura seguinte, a distˆancia entre os pontos A e B vale 5 cm e a intensidade do campo el´etrico uniforme E ´e 2, 0 × 1O5 N/C. a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura? E V1 V2 b) Se o ponto A for tomado como n´ıvel de referˆencia para o potencial (V = 0), qual ser´a o potencial do ponto B? A V3 V4 B E Exerc´ıcios Complementares O potencial el´etrico que uma carga q1 origina no ponto P , a uma distˆancia r da carga, ´e dado por: V1 = kq1 r 4. (ACAFE-SC) No v´acuo, um pequeno corpo eletrizado com carga el´etrica Q cria um potencial igual a +3000 V Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida num ponto A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 109 N · do infinito at´e o ponto P . O trabalho realizado para tal ´e, m2 /C 2 , determine: segundo a defini¸ca˜o de potencial el´etrico: a) o valor da carga Q; W2 = q2 V1 b) a intensidade do vetor campo el´etrico no ponto A. 5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1 , Q2 e Q3 dispostas nos v´ertices de um retˆ angulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencial el´etrico total no v´ertice A, que n˜ ao cont´em nenhuma carga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC e k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . 6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das for¸cas do campo el´etrico de uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A a outro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectivamente. Esse trabalho ´e positivo ou negativo? Explique. Dado: k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . Eletricidade Aula 5 Superf´ıcies Equipotenciais Como o trabalho ´e a pr´opria energia potencial el´etrica Epot do sistema de cargas {q1 , q2 }, ent˜ ao Epot = kq1 q2 r12 onde r12 ´e a distˆancia entre as cargas q1 e q2 . Pense um Pouco! • Como seriam as superf´ıcies equipotenciais de uma carga puntiforme? • Qual o trabalho necess´ario para se deslocar uma carga q ′ em torno de uma carga fixa q, mantendo-se a distˆancia fixa entre elas? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Denomina-se superf´ıcie equipotencial ao lugar geom´etrico dos pontos que tˆem mesmo potencial el´etrico. Nenhum tra- 1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do pr´oton ´e igual em balho ´e realizado no deslocamento de uma carga de prova valor absoluto `a do el´etron, tendo no entanto sinal contr´ ario entre dois pontos de uma mesma superf´ıcie equipotencial. ao da referida carga. Um pr´oton tem velocidade relativa Para aumentar a separa¸ca˜o entre as cargas, ´e preciso que zero em rela¸ca˜o a um el´etron. Quando eles estiverem sepaum agente externo realize um trabalho, cujo sinal poder´ a rados pela distˆancia 10−13 cm, calcule a energia potencial ser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais do sistema. 104 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC V (volts) 0 100 -50 50 -100 0 -150 -0.5 0.0 x (m) 0.5 www.mundofisico.joinville.udesc.br V (volts) 150 -1.0 — 1.0 1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0 Figura 1: O potencial el´etrico em torno de uma carga puntual positiva q = +1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, indicando no c´ırculo maior onde V = +10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V . -1.0 -0.5 0.0 x (m) 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0 Figura 2: O potencial el´etrico em torno de uma carga puntual positiva q = −1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, indicando no c´ırculo maior onde V = −10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V . equipotencial linha de campo E 2. (IME-RJ) Trˆes cargas q1 , q2 e q3 est˜ ao dispostas, uma em cada v´ertice de um triˆangulo equil´atero de lado a. Qual a energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC, q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm. V1 V2 V3 V4 3. No esquema abaixo representamos as superf´ıcies equipotenciais e as linhas de for¸ca no campo de uma carga el´etrica puntiforme Q. Considere que o meio ´e o v´acuo. Sendo V1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga at´e V2 a distˆancia r = 0, 30 m. Determine: a) o valor de Q; Exerc´ıcios Complementares b) a d.d.p. encontrada no caminho da superf´ıcie com V1 at´e a outra com V2 ; c) o trabalho da for¸ca el´etrica que atua sobre uma carga de 4. (USP-SP) Uma part´ıcula de massa m e carga el´etrica q > 0 est´ a em equil´ıbrio entre duas placas planas, paralelas prova q ′ = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3 . 105 Eletricidade – Aula 6 e horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A distˆancia entre as placas ´e d, e a acelera¸ca˜o local da gravidade ´e g. a) Determine a diferen¸ca de potencial entre as placas em fun¸ca˜o de m, g, q e d. b) Qual placa tem o maior potencial? Explique. 5. (FEI-SP) Uma part´ıcula da massa m = 200 mg e carga q = +1µC ´e abandonada num ponto A e se dirige a outro B. Sendo de −100 V a diferen¸ca de potencial de A e B, a velocidade com que a part´ıcula alcan¸ca B ´e: a) 5, 0 m/s b) 4, 0 m/s c) 3, 0 m/s d) 2, 0 m/s e) 1, 0 m/s 6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do el´etron ´e 9, 1 × 10−31 kg, que sua carga el´etrica vale −1, 6×10−19 C e que a diferen¸ca de potencial entre os ponto A at´e B ´e 100 V . Um el´etron ´e abandonado em B sob a a¸ca˜o exclusiva do campo el´etrico. O m´odulo da velocidade do el´etron ao atingir o ponto A ´e um valor mais pr´oximo de: a) 36 × 1012 m/s b) 6, 0 × 1012 m/s c) 6, 0 × 106 m/s d) 35 × 106 m/s e) 6, 0m/s Eletricidade Aula 6 +++ metal eletrizado + +++ + + + + E tangente ‘a + + A superficie + + + + ++ + + linha de campo + C + + B + + + + + + Figura 1: Um condutor carregado com carga positiva. O Campo Interno No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato, o campo el´ etrico ´ e nulo em todos os pontos, ou seja, ~ = ~0. E Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se houvesse campo el´etrico no interior do condutor, ele agiria nos el´etrons livres, os quais teriam um movimento ordenado sob sua influˆencia, contrariando o conceito de condutor em equil´ıbrio eletrost´atico. O Campo Externo Contudo, da sua superf´ıcie para fora, o campo el´etrico n˜ ao ~ ser´ a nulo. Por´ e m, nesses pontos, o vetor campo el´ e trico E Condutores em Equil´ıbrio deve ser normal `a superf´ıcie, como em A, na Fig. 1. Se o ~ ′ no ponto B da mesma figura, ele vetor campo fosse como E Vamos estudar o campo el´etrico e o potencial el´etrico de teria uma componente tangencial `a superf´ıcie do condutor, uma distribui¸ca˜o de cargas em um condutor em equil´ıbrio o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo eletrost´atico. da superf´ıcie. Para estudar os campos el´etricos, vamos usar n˜ ao sistemas de cargas puntiformes e sim distribui¸co˜es de cargas em condutores. Deve-se considerar que estes est˜ ao em equil´ıbrio eletrost´ atico, ou seja, nenhuma carga est´ a sendo colocada O Poder das Pontas ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de Nas regi˜oes pontiagudas de um condutor carregado (regi˜ ao cargas j´a cessou. C da Fig. 1), a densidade de carga, isto ´e, a concentra¸ca˜o de cargas el´etricas por unidade de ´area superficial ´e mais elevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhan¸cas o campo Equil´ıbrio Eletrost´ atico el´etrico ´e mais intenso. Um condutor est´ a em equil´ıbrio eletrost´atico quando nele n˜ ao ocorre movimento ordenado de cargas el´etricas. Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig. 1, uma a carga el´etrica Q, a repuls˜ao m´ utua das cargas elementares que constituem Q faz com que elas fiquem t˜ ao longe uma da outra quanto poss´ıvel. O maior afastamento poss´ıvel corresponde a uma distribui¸ca˜o de cargas na superf´ıcie externa do condutor, situa¸ca˜o, ali´as, que destacamos nas figuras de condutores que at´e agora apareceram em nossas aulas. Nessa configura¸ca˜o de cargas, todas na superf´ıcie, o condutor possui a sua menor energia potencial el´etrica. Quando o campo el´etrico nas vizinhan¸cas da ponta atinge determinado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor se descarrega atrav´es da ponta. Esse fenˆomeno recebe o ´ nele que se baseia, por nome de “poder das pontas”. E exemplo, o funcionamento dos p´ ara-raios. Condutor Oco Evidentemente, n˜ ao importa se o condutor ´e maci¸co ou oco (Fig. 2): o campo el´etrico no interior do metal ´e sempre nulo e as cargas se distribuem na sua superf´ıcie externa. 106 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC +++ + +++ + + + + + + ++ + C + + + + + www.mundofisico.joinville.udesc.br A + + + — + + + + + + Figura 2: Um condutor oco. Figura 3: A blindagem eletrost´ atica. de um avi˜ ao, de um autom´ ovel e de um pr´edio constituem blindagens eletrost´aticas. Potencial El´ etrico O potencial el´etrico em todos os pontos, internos e superficiais, de um condutor em equil´ıbrio eletrost´atico, ´e constante. Assim, para o condutor da Fig. 1, temos VA = VB = VC = VD . Condutor Esf´ erico Para se determinar o vetor campo el´etrico e o potencial el´etrico em pontos externos a um condutor esf´ erico eletrizado, sup˜oe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no centro: Q Eext = k 2 r e Q Vext = k r O potencial el´etrico do condutor esf´erico de raio R ´e o po- Como Funciona o P´ ara-Raios? tencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado pelo valor fixo: O p´ ara-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais Q eficiente para as descargas el´etricas, protegendo casas, Vint, sup = k R edif´ıcios, dep´ositos de combust´ıveis, linhas de transmiss˜ao de energia el´etrica, etc. Blindagem Eletrost´ atica Considere um condutor oco A em equil´ıbrio eletrost´atico e, em seu interior, o corpo C (Fig. 3). Como o campo el´etrico no interior de qualquer condutor em equil´ıbrio eletrost´atico ´e nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de qualquer a¸ca˜o el´etrica externa. Mesmo um corpo eletrizado B externo induz cargas em A, mas n˜ ao em C. Desse modo, o condutor A constitui uma blindagem eletrost´atica para o corpo C. Uma tela met´alica envolvendo certa regi˜ ao do espa¸co tamb´em constitui uma blindagem satisfat´ oria – a chamada “gaiola de Faraday”. A blindagem eletrost´atica ´e muito utilizada para a prote¸ca˜o de aparelhos el´etricos e eletrˆ onicos contra efeitos externos perturbadores. Os aparelhos de medidas sens´ıveis est˜ ao acondicionados em caixas met´alicas, para que as medidas n˜ ao sofram influˆencias externas. As estruturas met´alicas Saiba Mais O p´ ara-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l7061790). pol´ıtico, escritor e cientista norte-americano. Atualmente, ´e constitu´ıdo essencialmente de uma haste condutora disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma ou mais pontas de material com elevado ponto de fus˜ao, a outra extremidade da haste ´e ligada, atrav´es de condutores met´alicos, a barras met´alicas que se encontram cravadas, profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver sobre as pontas do p´ ara-raios, induz nelas cargas el´etricas intensificando o campo na regi˜ao j´a ionizada pela descarga l´ıder. Produz-se a descarga principal atrav´es do p´ ara-raios. 107 Eletricidade – Aula 7 a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera n˜ ao se eletriza. b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza. c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, ap´os um contato interno ficaria neutra. d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera eletrizada, a carga el´etrica da pequena esfera aumenta. e) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, a distribui¸ca˜o de cargas na esfera oca se altera. 3. (Efei-MG) Um condutor esf´erico de raio R = 30 cm est´ a eletrizado com carga el´etrica Q = 6, 0 nC. O meio ´e o v´acuo (k = 9, 0 × 109 N · m2 /C 2 ). Determine: a) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico no centro da esfera; b) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico num ponto externo e situado a 50 cm do centro da esfera. Exerc´ıcios Complementares 4. (Efei-MG) Duas esferas met´alicas, A e B, de raios R e 3R, est˜ ao eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente. As esferas est˜ ao separadas de modo a n˜ ao haver indu¸ca˜o • Como funciona um p´ ara-raios? Que ´ area ele protege? entre elas e s˜ao ligadas por um fio condutor. • Por que durante uma tempestade para se proteger das a) Quais as novas cargas ap´os o contato? chuvas ´e mais seguro ficar dentro do carro que debaixo b) Qual o potencial el´etrico de cada esfera, depois do contato? de uma ´arvore? Pense um Pouco! 5. (ACAFE-SC) Duas esferas met´alicas, A e B, de raios 10 cm e 20 cm, est˜ ao eletrizadas com cargas el´etricas 5, 0 nC Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao e −2, 0 nC, respectivamente. As esferas s˜ao postas em contato. Determine, ap´os atingir o equil´ıbrio eletrost´atico: 1. (Cefet-BA) Considere um condutor met´alico com a forma a) as novas cargas el´etricas das esferas; indicada na figura. O condutor est´ a eletrizado positiva- b) o potencial el´etrico que as esferas adquirem. mente e em equil´ıbrio eletrost´atico. Observe os pontos A, c) Houve passagem de el´etrons de A para B ou de B para B e C. Quais s˜ao as afirma¸co˜es corretas? A? Explique. a) ( ) O campo el´etrico em A ´e nulo. b) ( ) A densidade de cargas el´etricas ´e maior em C do que 6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas met´alicas idˆenticas, A e B, de cargas el´etricas 5, 0 × 10−6 C e em B. −6 C, respectivamente. As esferas s˜ao colocadas c) ( ) O campo el´etrico em B ´e mais intenso do que em C. 3, 0 × 10 d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial em contato. a) Determine o n´ umero de el´etrons que passou de um conel´etrico. e) ( ) As cargas el´etricas em excesso distribuem-se na su- dutor para outro. b) Qual das esferas recebe el´etrons? perf´ıcie externa do condutor. + + + + + + B + + + + A + + + + + + + C + 7. Sabendo-se que existe um campo el´etrico na superf´ıcie da Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio da Terra R = 6.400 km, determine: a) O potencial el´etrico da Terra (do ch˜ ao); b) A carga el´etrica total da Terra. Eletricidade Aula 7 Capacidade El´ etrica 2. Considere uma esfera met´alica oca provida de um orif´ıcio e eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera met´alica neutra ´e colocada em contato com a primeira. Quais s˜ao as afirma¸co˜es corretas? Denomina-se capacidade el´etrica ou capacitˆancia de um corpo condutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas. Da mesma forma que a quantidade de moles de um g´ as que um bal˜ ao pode conter depende da press˜ ao a que o g´ as estiver submetido e tamb´em das dimens˜oes e forma 108 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC do bal˜ ao, a capacidade el´etrica depender´a das dimens˜oes e forma do condutor. A experiˆencia mostra que, se fornecemos a um condutor cargas Q1 , Q2 , Q3 , ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo ser´a V1 , V2 , V3 , ..., V , sempre proporcionais ` a carga Q fornecida. Isso quer dizer que o quociente Q/V ´e constante (Fig. 1). + ++ + + + + + + ++ + + + — www.mundofisico.joinville.udesc.br Capacitores Planos O capacitor plano ´e constitu´ıdo por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um diel´etrico qualquer (ar, mica, papel, pol´ımeros, etc.) Q + + + + Placa Condutora V + Material Isolante − Placa Condutora Seja A a ´area de cada armadura e d a distˆancia entre as Figura 1: Capacitor met´ alico carregado com carga po- mesmas. Consideremos inicialmente que haja v´acuo entre as ´ poss´ıvel demonstrar, mediante a aplica¸ca˜o da lei placas. E sitiva +Q. de Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas Essa constante de proporcionalidade C ´e denominada ca- ´e dado por: Q pacitˆ ancia do condutor. E= ǫ0 A Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos: 1 F = 1 f araday = 1 coulomb/1 volt = 1 F arad onde ǫ0 ´e a constante de permissividade el´ etrica do v´acuo, ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m no SI. A capacitˆancia de um condutor que recebe uma carga de Rela¸ c˜ ao Entre k e ǫ0 l coulomb, adquirindo um potencial de l volt, ´e igual a l F . Na pr´atica, os capacitores tem capacitˆancia da ordem t´ıpica As constantes k, a constante el´etrica da lei de Faraday, e de µF arad. ǫ0 , a permissividade el´etrica do v´acuo, est˜ ao intimamente relacionadas, e pode-se mostrar que: Capacitores k= 1 4πǫ0 Na pr´atica, ´e imposs´ıvel obter condutores de capacitˆancia elevada, sem que suas dimens˜oes sejam extraordinariamente e como ǫ ´e dado em F/m, ent˜ ao pode-se escrever a cons0 grandes. No entanto, ´e poss´ıvel obtermos dispositivos, de tante k em m/F , j´a que estas constantes s˜ao inversamente dimens˜oes pequenas, capazes de armazenar uma razo´avel proporcionais. quantidade de cargas com diferen¸cas de potencial n˜ ao muito grandes. Esses dispositivos s˜ao denominados capacitares + + + + ou condensadores. + + ++ + + + +A + + + +Q Um capacitor ´e um par de condutores, separados por um + ++ + + + d + + + + isolante (diel´etrico). Os condutores que constituem o capacitor s˜ao denominados armaduras do capacitor. A classifica¸ca˜o dos capacitores ´e dada em fun¸ca˜o da forma de suas armaduras e da natureza do diel´etrico que existe entre as mesmas. −Q A Em todo capacitor, existe uma rela¸ca˜o constante entre o Conforme j´a estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as m´odulo da carga (que ´e a mesma em valor absoluto nas placas vale V = Ed. Assim: duas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa Qd rela¸ca˜o ´e denominada capacitˆancia do condensador. V = ǫ0 A C = Q/V A capacitˆancia do capacitor plano ´e dada por: Num circuito, os capacitores ser˜ao representados por duas barras paralelas. C= ǫ0 A d 109 Eletricidade – Aula 8 Observe que a capacitˆancia obtida ´e diretamente proporcional ` a a´rea A das placas, e inversamente proporcional `a sua distˆancia d. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Trˆes condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF , Se, em vez de ar ou v´acuo, houver entre as armaduras um est˜ ao eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC, diel´ etrico de constante diel´etrica b, a capacitˆancia de um respectivamente. condensador plano ser´a maior, dada por: a) Determine os potenciais el´etricos desses corpos. bǫ0 A C= 2. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capad citˆ ancia C. Entre suas armaduras h´ a uma distˆancia d. Qual Para que o diel´etrico tenha efeito sobre a capacitˆancia, ele ser´a sua capacidade se a distˆancia entre suas placas for audeve ser colocado na regi˜ ao de campo el´etrico do capaci- mentada para 2d? tor. Alguns diel´etricos como a mica e poli´ester chegam a aumentar a capacitˆancia em at´e 100 vezes o seu valor no 3. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C = v´acuo (sem diel´etrico). 100 pF , ´area das armaduras A = 100 cm2 , e diel´etrico com κ = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual a 50V , calcule a intensidade do campo el´etrico no interior Capacitor Esf´ erico Simples do diel´etrico. Dado: ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m. Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condutora de raio R, sua capacitˆancia ser´a C= Q R Q = = = 4πǫ0 R V kQ/R k Exerc´ıcios Complementares ou seja, a capacitˆancia da esfera ´e diretamente proporcional 4. (UFPR) Uma part´ıcula de massa 2, 0 × 10−10 kg com carga positiva e igual a 2, 0×1O−6 C penetra atrav´es de um ao seu raio R. orif´ıcio, com velocidade de 1, 0 × 104 m/s, numa regi˜ao onde existe um campo el´etrico uniforme de m´odulo 4 × 105 N/C. + + + Q A distˆancia entre as placas vale 10 cm. Determine a ener+ + + + gia cin´etica com que a part´ıcula atinge a segunda placa, + + + R andando contra o campo el´etrico. + + + + + + + + + + + + + Capacitor Esferico ´ + + Exemplo Vamos calcular a capacitˆancia de uma esfera condutora de raio igual a 1, 0 m. 5. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seus terminais, uma diferen¸ca de potencial V . A carga el´etrica armazenada nesse capacitor ´e dada por: a) C/V b) V /C c) C 2 V d) CV 2 e) CV 6. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F ´e sujeito a uma diferen¸ca de potencial de 30 V . A carga que ele acumulou vale: a) 1, 2 × 10−4 C Qual seria ent˜ ao o raio da esfera com capacitˆancia de 1, 0 F ? b) 2, 4 × 10−4 C Como C = R/k ent˜ ao c) 2, 7 × 10−7 C 9 9 d) 3, 7 × 106 C R = kC = (9, 0 × 10 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0 × 10 m e) 7, 4 × 106 C Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de 6.4 × 106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio 7. (UF-ES) Um equipamento el´etrico cont´em duas pilhas de com aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra! 1, 5 V em s´erie, que carregam um capacitor de capacitˆancia 6, 0 × 10−5 F . Qual a carga el´etrica que se acumula no capacitor, em coulombs? R 1, 0 m C= = ≈ 0, 11 nF k 9, 0 × 109 m/F Pense um Pouco! • Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano? • Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capacitor carregado, realizaremos algum trabalho? Eletricidade Aula 8 Associa¸ c˜ ao de Capacitores • Se conectarmos duas esferas met´alicas idˆenticas de capacitˆancia C cada uma, qual a capacitˆancia do conAssim como os aparelhos em geral, os capacitores podem junto? Comente. ser associados de v´arios modos, sendo os principais em s´erie • A capacitˆancia de um corpo met´alico depende dele ser e em paralelo. Se numa associa¸ca˜o encontramos ambos os oco ou maci¸co? Explique. tipos, chamaremos de associa¸ca˜o mista. 110 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Associa¸c˜ ao de Capacitores em S´ erie C1 C1 C2 a b a Série a C3 Cada capacitor adquire uma carga parcial: b Q = Q1 + Q2 C2 C2 Paralelo Misto (a) www.mundofisico.joinville.udesc.br Observamos que a mesma d.d.p. V ´e aplicada aos capacitores da associa¸ca˜o. V = V1 = V2 C1 b — (b) A capacidade equivalente ´e dada por: (c) Cpar. = C1 + C2 Figura 1: Associa¸ca ˜o de capacitores em s´erie (a), em Propriedades paralelo (b) e mista (c). Na associa¸ca˜o em s´erie, ver Fig. 1 (a), quando uma fonte bateria de tens˜ao V ´e ligada nos terminais a e b, as cargas removidas de um terminal ser˜ao deslocadas para o outro, ou seja, as cargas em ambos os terminais s˜ao de mesmo m´odulo: Q1 = Q2 = Q . Ent˜ ao Q Q e V2 = V1 = C1 C2 Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2 , respectivamente, tal que V = V1 + V2 e assim Q Q Q = + Cser. C1 C2 • Na associa¸ca˜o em paralelo, a capacitˆancia equivalente do conjunto, Cpar. ser´a maior do que a maior das capacitˆancias utilizadas; • Como as tens˜oes s˜ao iguais nos dois capacitores em paralelo, a carga do maior capacitor ser´a a maior das cargas; • Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C1 = C2 = C, a carga de ambos ser´a a mesma e a capacitˆancia equivalente ser´a Cpar. = 2C, o dobro da capacitˆancia de um dos capacitores; • Para uma associa¸ca˜o em paralelo de n capacitores teremos Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn = Cser. = 1 1 + C1 C2 Ci i=1 e ent˜ ao a capacidade equivalente ´e dada por: 1 n X Energia de um Capacitor Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suas armaduras por um fio condutor: as cargas negativas v˜ao Propriedades fluir para a outra armadura at´e que ambas se neutralizem. O tempo necess´ario para isso ´e muito pequeno, e muitas ve• Na associa¸ca˜o em s´erie, a capacitˆancia equivalente do zes a descarga vem acompanhada de uma fa´ısca que salta conjunto, Cser. ser´a menor do que a menor das capa- dos extremos do condutor que une as armaduras. Conforme citˆ ancias utilizadas; j´a estudamos anteriormente, o transporte de cargas el´etricas • Como as cargas s˜ao iguais nos dois capacitores em s´erie, entre pontos que possuem diferentes potenciais el´etricos implica aparecimento de energia el´etrica. Quando uma carga a d.d.p. do maior capacitor ser´a a menor; el´etrica ´e transportada entre dois pontos, entre os quais • Se os capacitores ligados em s´erie forem iguais C1 = existe uma diferen¸ca de potencial V qualquer, o trabalho C2 = C, a d.d.p. de ambos ser´a igual a V /2 e a ca- realizado ´e W = qV pacitˆancia equivalente ser´a Cser. = C/2, a metade da Na descarga do capacitor, por´em, a d.d.p. varia, diminuindo capacitˆancia de um dos capacitores; `a medida que uma parcela da carga vai se transferindo para • Para uma associa¸ca˜o em s´erie de n capacitores teremos a outra armadura. Como a carga total do capacitor ´e Q = CV , e a d.d.p. varia n X 1 1 1 1 1 de V at´e zero durante o processo de descarga, podemos = + + ...+ = Cser. C1 C2 Cn C tomar o valor m´edio da tens˜ao como sendo V /2 e calcular o i i=1 trabalho 1 V = CV 2 W = qV = CV · Associa¸c˜ ao de Capacitores em Paralelo 2 2 (Veja a Fig. 1(b) ). Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores s˜ao ligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateria de tens˜ao V , a placa positiva de cada capacitor est´ a ligada `a placa positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placas negativas. e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, podemos supor que essa energia estava armazenada no capacitor, como energia potencial el´etrica. Assim, definimos a energia do capacitor como E= 1 CV 2 2 111 Eletricidade – Aula 9 Observe que a express˜ao anterior pode ser reescrita de duas outras formas equivalentes: E= 1 Q2 QV = 2 2C Pense um Pouco! • Cite duas aplica¸co˜es direta dos capacitores. • Algu´em disse que os fios usados em circuitos el´etricos servem para igualar o potencial el´etrico nas partes conectadas nas suas duas pontas. O que vocˆe acha disso? • Na figura 1, imagine que se conecte nos terminais a e b, os terminais (p´olos) de uma bateria de tens˜ao V . Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes que tem o mesmo potencial el´etrico de a, e de outra cor as partes que tem o mesmo potencial de b. Observe o conclua vocˆe mesmo. d) 3, 9 J e) 2, 8 J Eletricidade Aula 9 Corrente El´ etrica Num material condutor, mesmo descarregado do ponto de vista el´etrico, existem alguns el´etrons chamados livres que podem se deslocar dentro do material, passando de um ´atomo para outro. Mesmo havendo equil´ıbrio de cargas dentro de um condutor, os el´etrons livres ficam o tempo o todo em movimento aleat´ orio dentro do material, mantendo em m´edia, o equil´ıbrio de cargas de cada ´atomo. Quando todos os el´etrons livres forem for¸cados a se deslocar numa dada dire¸ca˜o espec´ıfica, ao longo de um fio condutor, por exemplo, ent˜ ao teremos uma corrente el´etrica i. + + + Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao + + 1. (UERJ) Uma associa¸ca˜o de l.000 capacitores de 10 µF cada um, associados em paralelo, ´e utilizada para armazenar energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto at´e 50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o pre¸co do kW · h? +Q R + + + + + + + i . 2. (FAAP-SP) Associam-se em s´erie trˆes capacitores neutros com capacitˆancias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF e Figura 1: O sentido da corrente i, e o movimento dos C3 = 100 µF . Calcule a capacitˆancia equivalente do sis- el´ etrons num fio. tema. Por conven¸ca˜o, indica-se num fio o sentido da corrente i 3. Calcule a capacitˆancia equivalente da associa¸ca˜o mista por uma flecha, no sentido contr´ ario ao movimento dos mostrada na Fig. 1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF , el´etrons! Isto porque, historicamente, as cargas foram batiC2 = 10 µF e C3 = 40 µF . zadas por Benjamin Franklin no s´ec. XVIII, como positivas e negativas, e se acreditava que as cargas positivas ´e que se moviam dentro de um fio com corrente. Exerc´ıcios Complementares Do ponto de vista f´ısico, ´e equivalente se pensar em el´etrons se movendo num sentido, ou pr´otons se movendo no sentido 4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num con- contr´ario. junto de capacitores com capacitˆancia total de 2.000 µF e sob tens˜ao de 900 V . Unidade de Corrente 5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitˆancia C1 = 6, 0 µF e C2 = 3, 0 µF s˜ao associados em paralelo e a associa¸ca˜o ´e No Sistema Internacional, medimos a corrente em amp`eres submetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitˆancia C1 ou A: 1 A = 1 coulomb/s = 1 C/s se eletriza com carga el´etrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o de capacitˆancia C2 , com carga el´etrica Q2 . Determine V e Q2 . ou seja, para uma corrente de 1 amp`ere, h´ a um fluxo de carga de 1 coulomb por segundo, atravessando a sec¸ca˜o reta de um condutor. 6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um capacitor, de capacitˆancia 2, 0 µF , a fim de que armazene Lei de Ohm energia potencial el´etrica de 2, 5 × 10−3 J? 7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televis˜ao tem uma capacitˆancia de 1, 2 µF . Sendo a diferen¸ca de potencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele armazena ´e de: a) 6, 7 J b) 5, 4 J c) 4, 6 J Define-se a resistˆencia el´etrica R de um condutor, ligando suas extremidades numa diferen¸ca de potencial V e medindo a corrente el´etrica que o atravessa. Segundo a lei de Ohm, quanto menor a corrente el´etrica obtida, maior a resistˆencia do condutor, e vice-versa: R = V /i 112 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Se a resistˆencia R assim definida for independente da tens˜ao e da corrente usada, ou seja, se for constante, o resistor ´e chamado de ˆ ohmico. Para os materiais considerados bons condutores, como os metais, a resistˆencia el´etrica ser´a baixa, em geral pr´oxima de zero. Para os materiais isolantes, como a borracha, a resistˆencia el´etrica ser´a muito alta, tendendo ao infinito. A resistˆencia de um resistor depende de sua forma f´ısica, de suas dimens˜oes e do material de que ´e feito. Em geral, quanto mais fino e longo um fio, maior sua resistˆencia el´etrica. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios Complementares 1. Um fio condutor transporta uma carga de 30 C em dois minutos. Qual a corrente m´edia no fio, durante esse processo? a) 0, 2 A b) 4, 0 A c) 1/4 A d) 0, 3 mA e) 0, 25 mA 2. Durante um banho de chuveiro, utilizou-se uma corrente de 10 A durante 15 minutos. Qual a carga el´etrica total Unidade de Resistˆ encia utilizada neste banho? No Sistema Internacional, medimos a resistˆencia el´etrica em a) 150 C b) 9 C ohms ou Ω: c) 1, 5 C 1 Ω = 1 volt/amp`ere = 1 V /A d) 9.000 C e) 9 mC ou seja, se para uma tens˜ao de 1 volt se obt´em uma corrente de 1 amp`ere, ent˜ ao o resistor tem resistˆencia de 1 ohm. 3. Uma pilha de 1, 5 V ´e conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente el´etrica de 3 mA. Qual a resistˆencia el´etrica do LED? Circuitos Simples a) 500 Ω Quando ligamos uma bateria de d.d.p. E num circuito sim- b) 50 Ω ples com uma resistˆencia el´etrica total R, a corrente na ba- c) 5 Ω d) 0, 5 Ω teria ser´a, pela lei de Ohm: e) n. d. a. E i= R Exerc´ıcios Complementares Exemplo Considere o circuito abaixo, onde uma lˆampada de re- 4. A resistˆencia el´etrica de um fio condutor depende: sistˆencia R = 5 Ω est´ a conectada numa fonte (bateria) de a) apenas da corrente aplicada 12 V atrav´es de fios ideais, de resistˆencia nula. b) da tens˜ao aplicada c) de suas dimens˜oes e do material de que ´e feito R d) da corrente m´axima que ele suporta e) da tens˜ao e da corrente m´aximas ε + i 5. Um fus´ıvel ´e um resistor preparado para se romper quando a corrente nele excede um determinado valor. Para um fus´ıvel de carro que suporta at´e 2, 0A, e opera em 12 V , qual a sua resistˆencia interna m´ınima? a) 24 Ω b) 12 Ω c) 4 Ω d) 0, 17 Ω e) n. d. a. Figura 2: Um circuito simples. 6. Uma lˆampada de 60 W , constru´ıda para operar em 110 V onde ela conduz 2, 0 A de corrente, ´e ligada por engano em Resolu¸ca˜o: 220 V e queima depois de 5, 0 s. Qual a quantidade de carga E 12 V i= = = 2, 4 A que ela conduz, at´e queimar? R 5Ω a) 5 C b) 10 C Pense um Pouco! c) 15 C d) 20 C • Se dobrarmos a tens˜ao aplicada a ` um resistor ˆ ohmico, e) n. d. a. o que acontecer´ a com sua corrente? • Para um resistor ˆ ohmico, que tipo de gr´ afico V × i ter´ıamos? Eletricidade Aula 10 113 Eletricidade – Aula 10 Resistˆ encia Equivalente 12 Ω Em geral, um circuito pode conter mais de um resistor, e at´e outros elementos como bobinas, fios, chaves, LEDs, etc., todos eles ligados a uma fonte, por exemplo. Para um circuito qualquer com apenas uma fonte (ou bateria) de f. e. m., a determina¸ca˜o da corrente el´etrica i na fonte ´e poss´ıvel atrav´es do c´ alculo da resistˆ encia equivalente Req. a todos os elementos do circuito. Ou seja, determinamos qual o valor Req. da resistˆencia que, substituindo o circuito todo, conduz a mesma corrente. Pela lei de Ohm: E i= Req. 6Ω a b 4Ω Figura 2: Trˆes resistores ligados em paralelo. ou seja Req. = 2 Ω Associa¸ c˜ ao de Resistores Observe que quando mais resistores ligarmos em paralelo, Para um circuito com uma fonte e v´arios resistores, podemos menor ser´a a resistˆencia equivalente. calcular facilmente a resistˆencia equivalente, a corrente que passa na fonte e, a seguir, as correntes e tens˜oes em cada Todos os objetos que ligamos na tomada de nossa casa s˜ao ligados em paralelo, por exemplo. um dos resistores. Resistores em S´ erie Associa¸c˜ oes Mistas Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ohmicos em s´erie, R1 , R2 , R3 , etc., a resistˆencia equivalente ˆ ser´a a soma das resistˆencias, ou seja: X Ri Req. = R1 + R2 + R3 + . . . = Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ˆohmicos, alguns em s´erie e outros em paralelo, devemos ir calculando as resistˆencias equivalentes das partes em s´erie e em paralelo, at´e se chegar numa resistˆencia equivalente geral para todo o circuito. i 12 Ω 6Ω a 6Ω 4Ω b 4Ω 12 Ω a b Passo 1 6Ω Figura 1: Trˆes resistores ligados em s´erie. 3Ω a b Passo 2 Na associa¸ca˜o em s´erie da figura acima, a resistˆencia equivalente ´e Req. = 12 Ω + 6 Ω + 4 Ω = 22 Ω 9Ω a b Quando mais resistores ligarmos em s´erie, maior ser´a a resistˆencia equivalente. Figura 3: Trˆes resistores em liga¸ca ˜o mista. Resistores em Paralelo Na associa¸ca˜o mista de resistores mostrada na figura acima, Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores a resistˆencia equivalente ´e calculada em dois passos: ohmicos em paralelo, R1 , R2 , R3 , etc., o inverso da re- Passo 1) Observa-se que os resistores de 4 e 12 Ω est˜ ˆ ao em sistˆencia equivalente ser´a a soma dos inversos das re- paralelo, logo a resistˆencia R′ equivalente a estes resistores sistˆencias, ou seja: ser´a: 1 1 1 4 X 1 1 1 1 1 = + = =⇒ R′ = 3 Ω ′ = + + + ... = R 12 Ω 4 Ω 12 Ω Req. R1 R2 R3 Ri i Passo 2) Substituindo-se ent˜ ao os resistores de 4 e 12 Ω por Na associa¸ca˜o em paralelo da figura acima, a resistˆencia um equivalente de 3 Ω, temos uma associa¸ca˜o em s´erie, entre equivalente ´e resistores agora de 6 e 3 Ω, e a resistˆencia final equivalente R′′ ser´a: 1 1 1 1 6 = + + = R′′ = 6 Ω + 3 Ω = 9 Ω Req. 12 Ω 6 Ω 4 Ω 12 Ω 114 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exemplo Completo Curto-circuito e Circuito Aberto Determinar a corrente e a tens˜ao el´etrica em cada um dos resistores do circuito misto da se¸ca˜o anterior, quando uma fonte de 45 V for ligada nos pontos a e b. Quando um fio de um circuito se rompe, como no caso de um fus´ıvel queimar, dizemos que o circuito est´ a aberto, e nenhuma corrente ser´a conduzida pela parte do fio que est´ a “aberta”. Esta situa¸ca˜o ´e equivalente ao uso de um resistor infinito, na pr´atica, uma grande resistˆencia ´e equivalente ao circuito aberto. Quando um fio fio condutor perfeito, ou seja, que n˜ ao possui resistˆencia, for ligado num circuito no lugar de um resistor normal, teremos o que se chama de “curto-circuito”. Se nos extremos desse fio houver uma tens˜ao qualquer, teremos uma corrente enorme passando pelo fio, j´a que i = V /R, e para R pr´oximos de zero a corrente se torna muito alta. Normalmente h´ a algum problema com o circuito quando um curto-circuito ´e formado. Nunca fa¸ca isso! Mesmo uma pilha de bolso pode produzir correntes enormes por um curto intervalo de tempo, se seus p´ olos forem conectados com um fio bom condutor. i´ 4Ω 6Ω c a i 12 Ω d b + − 45 V i´´ Figura 4: Exemplo completo. Se numa associa¸ca˜o em paralelo, um dos resistores entrar Resolu¸ca˜o: em curto-circuito, por aquecimento ou outra raz˜ ao qualComo a resistˆencia equivalente desta associa¸ca˜o mista ´e 9 Ω, quer, ent˜ ao a resistˆencia equivalente do conjunto todo de a corrente i que passa na fonte ser´a: resistores ser´a nula. E 45 V i= = =5A Req. 9Ω 12 Ω Esta ´e a corrente que sai da fonte e passa pelo resistor de 6 Ω, e aplicando-se a lei de Ohm para este resistor, achamos 6Ω a tens˜ao Vac entre os pontos a e c, onde o resistor est´ a conectado: a b Vac = Ri = (6 Ω)(5 A) = 30 V Ao chegar ao n´ o c, vemos que a corrente se divide em duas partes, na associa¸ca˜o em paralelo: uma que passa pelo resistor de cima i′ e outra no resistor de baixo i′′ . curto J´a numa associa¸ca˜o em s´erie, havendo curto num resistor, Como o resistor equivalente a essa parte em paralelo ´e de a resistˆencia equivalente do conjunto ser´a a soma das re3 Ω, conforme calculado anteriormente, a queda de tens˜ao sistˆencias dos os outros resistores. Vcd , entre os pontos c e d, que ´e a mesma tens˜ao entre os pontos c e b, ser´a, pela lei de Ohm: i´ = 0 Vcd = R′ i = (3 Ω)(5 A) = 15 V → Observe que a queda de tens˜ao no primeiro resistor somada a` queda de tens˜ao no conjunto em paralelo d´ a exatamente a tens˜ao da fonte: 12 Ω a 6Ω i E = Vac + V cb Finalmente, como a tens˜ao Vcd = 15 V , temos as correntes nos outros dois resistores: 15 V = 3, 75 A i′ = 4Ω e 15 V = 1, 25 A i′′ = 12 Ω que s˜ao as correntes nos resistores de 4 e 12 Ω, respectivamente. → Observe que a soma das correntes el´etricas no conjunto em paralelo, ´e igual a corrente total que passa na fonte: i = i′ + i′′ 4Ω curto b i Pense um Pouco! • Se conectarmos N resistores idˆenticos de resistˆencia R em s´erie, qual a resistˆencia equivalente do conjunto? • Quantas resistˆencias diferentes podemos formar, se dispomos de apenas trˆes resistores: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω e R3 = 4 Ω? Exerc´ıcios Complementares → Observe tamb´em que, como ambos os resistores em paralelo est˜ ao ligados na mesma tens˜ao, o resistor de menor 1. Sobre associa¸co˜es de resistores ˆohmicos, considere as seresistˆencia conduz a maior corrente, e vice-versa. guintes afirmativas: 115 Eletricidade – Aula 11 I. A m´axima resistˆencia equivalente de um conjunto de resistores ´e obtida quando todos est˜ ao em paralelo; II. A resistˆencia equivalente para uma associa¸ca˜o em s´erie ´e sempre menor do que a menor das resistˆencias usadas; III. Se um resistor estiver em curto e a resistˆencia equivalente do conjunto de resistores n˜ ao se anular, ´e porque a associa¸ca˜o ´e do tipo mista; IV. Se a corrente for a mesma em todos os resistores, a associa¸ca˜o deve ser em s´erie. a) est˜ ao corretas I e III b) est˜ ao corretas I, III e III c) est˜ ao corretas II, III e IV d) est˜ ao corretas III e IV e) n. d. a. 6. Liga-se os terminais de uma bateria de 12; V aos pontos a e b de um conjunto de 3 resistores em paralelo, conforme a figura: 1Ω 2Ω a b 3Ω Pode-se afirmar que: a) a corrente el´etrica em R1 ´e de 10 A 2. Ligou-se em s´erie num circuito: uma bateria de 1, 5 V , b) a tens˜ao el´etrica em R2 ´e de 6 V um resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tens˜ao c) a corrente el´etrica em R3 ´e de 4 A no resistor de 5 Ω ser˜ao, respectivamente: d) a tens˜ao el´etrica em R1 ´e maior do que em R3 a) 0, 1 A e 1, 5 V e) n. d. a. b) 0, 5 A e 0, 1 V c) 0, 1 A e 0, 5 V 7. A resistˆencia el´etrica entre os pontos a e b da associa¸ca˜o d) 3, 0 A e 0, 5 V de seis resistores ˆohmicos iguais a R: e) n. d. a. R 3. Ligou-se em paralelo numa mesma bateria de 1, 5 V , um resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tens˜ao no resistor de 10 Ω ser˜ao, respectivamente: a) 0, 45 A e 1, 5 V b) 0, 15 A e 1, 5 V c) 0, 15 A e 0, 5 V d) 0, 45 A e 0, 5 V e) n. d. a. 4. Uma pilha de 1, 5 V ´e conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente el´etrica de 3 mA. Qual a resistˆencia el´etrica do LED? a) 500 Ω b) 50 Ω c) 5 Ω d) 0, 5 Ω e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares R R R a b R R ´e: a) R b) 2R c) 6R d) 3R/2 e) 3R/4 Eletricidade Aula 11 Instrumentos de Medida 5. A corrente el´etrica i3 no resistor R3 do circuito da figura Dois instrumentos b´ asicos s˜ao utilizados para a medi¸ca˜o de correntes el´etricas e tens˜oes nos elementos de um circuito: o amper´ımetro e o volt´ımetro. R = 4Ω R1= 1 Ω + − ´e: a) 2/3 A b) 4/3 A c) 8/3 A d) 5, 0 A e) 1, 0 A 12 V 2 Na maioria dos medidores modernos, v´arios medidores est˜ ao dispon´ıveis num aparelho s´o, os chamados mult´ımetros. R 3 = 12Ω O Amper´ımetro Para a medi¸ca˜o do valor de uma corrente el´etrica que atravessa um fio, num circuito, liga-se em s´erie nesse fio um amper´ımetro, a fim de que a corrente atravesse tamb´em o amper´ımetro. Para que o amper´ımetro n˜ ao altere o valor da corrente no pr´oprio fio onde ser´a ligado, ele deve ter uma resistˆencia interna muito pequena, no caso ideal, nula. 116 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC − + ε i + — www.mundofisico.joinville.udesc.br mais agita¸ca˜o nestas part´ıculas, ou seja, a energia cin´etica se transforma em calor e faz com que a temperatura do resistor suba. No caso das lˆampadas de filamento, usa-se esse calor para produzir luz, atingindo-se a incandescˆencia do metal con− dutor, em geral, o tungstˆenio W , que possui um alt´ıssimo ponto de fus˜ao. No chuveiro el´etrico comum, usa-se uma resistˆencia para produzir calor e aquecer a ´agua do banho R que passa pelo no seu interior. Existem muitas aplica¸co˜es desse tipo, e vocˆe mesmo pode fazer uma lista delas. A esse efeito de libera¸ca˜o de calor pela passagem de uma corrente el´etrica num resistor se chama de efeito Joule. O Volt´ımetro Em alguns casos o efeito Joule ´e um problema, pois colabora na perda de energia em linhas de transmiss˜ao e motores, por Para a medi¸ca˜o do valor da d.d.p. entre dois pontos num exemplo, transformando parte da energia el´etrica em calor, circuito, liga-se em paralelo nesses pontos um volt´ımetro, a que ´e perdido para o meio ambiente (polui¸ca˜o t´ermica). fim de que os seus terminais atinjam os mesmos potenciais A quantidade de calor gerada dentro de um resistor, por uniel´etricos dos pontos do circuito, e a diferen¸ca de potencial dade de tempo, define a potˆencia com que o resistor converte entre eles possa ser medida. energia el´etrica em calor, e ´e dada pela lei de Joule: Para que o volt´ımetro n˜ ao altere o valor da tens˜ao entre os pontos onde ele ´e conectado, o que se quer medir, ele P = iV deve ter uma resistˆencia interna muito alta, no caso ideal, infinita. Com isso, a corrente desviada para o amper´ımetro ou seja, como i = V /R, podemos reescrevˆe-la como ser´a muito menor do que a que possa haver entre os pontos V2 do circuito onde ele est´ a conectado. Isto mesmo, para medir P = R a tens˜ao entre os seus terminais o volt´ımetro usa uma pequena corrente. Na verdade este aparelho ´e um amper´ımetro ou ainda, como V = Ri, adaptado para medir tens˜oes. A P = Ri2 ε + i Unidades SI − A potˆencia dissipada num resistor ´e medida em watts no SI, onde 1 watt = 1 W = 1 J/s R + − V Lei de Joule Quando uma corrente el´etrica atravessa um condutor de resistˆencia el´etrica R, haver´ a uma queda de tens˜ao dada pela lei de Ohm V = Ri no sentido da corrente, ou seja, a corrente sempre ocorre no sentido do maior para o menor potencial el´etrico. Vale aqui o an´alogo hidr´aulico, pois a correnteza de um rio sempre ´e no sentido do maior potencial gravitacional (ponto mais alto do terreno) para o de menor (ponto mais baixo). E quando a ´ agua desce uma cascata, converte sua energia potencial em cin´etica e pode gerar calor, se for dissipada, ou mover uma roda, por exemplo. No caso el´etrico, a resistˆencia faz com que as cargas percam energia cin´etica, atrav´es das colis˜oes que ocorrem entre os el´etrons livres e os ´ atomos do material, produzindo Pense um Pouco! • Num chuveiro normalmente temos uma chave inverno/ver˜ao, que muda a resistˆencia do chuveiro, e pode ser usada para esquentar mais/menos a ´agua. Qual das resistˆencia deve ser maior, a usada no inverno, para esquentar mais, ou a usada no ver˜ao, para esquentar menos? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Qual a corrente el´etrica num chuveiro el´etrico que ligado em 220 V produz calor a uma potˆencia de 6.000 W ? a) 15 A b) 10 A c) 5 A d) 0, 5 A e) n. d. a. 2. Um resistor de 10 Ω transposta uma corrente de 200 mA. A quantidade de energia que ele dissipa na forma de calor em 15 min de funcionamento ´e: a) 3.600 J 117 Eletricidade – Aula 12 b) 360 J c) 36 J d) 3, 6 J e) n. d. a. 3. Dois resistores, um de resistˆencia R1 = 2 Ω e outro de resistˆencia R2 = 8 Ω est˜ ao ligados em s´erie com uma bateria de f.e.m. E = 24 V . A tens˜ao no resistor R1 e a potˆencia dissipada no resistor R2 s˜ao, respectivamente: a) 2 V e 16 W b) 16 V e 32 W c) 8 V e 3, 2 W d) 4 V e 32 W e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares energia potencial gravitacional `a massa d’´agua movimentada. Imagine que a ´agua cai da caixa d’´agua por um cano na parte inferior desta, diretamente dentro de um barril, transformando sua energia potencial em cin´etica e essa, finalmente, em calor, aquecendo a ´agua no barril. Nessa analogia, o barril seria um resistor el´etrico. A seguir, a ´agua do barril ´e captada pela bomba e rebombeada para a caixa d’´agua. A bomba d’´agua nesse caso, realiza um trabalho cont´ınuo sobre a ´agua, transformando energia el´etrica em trabalho e, atrav´es deste, aumentando a energia potencial gravitacional da ´agua. No caso el´etrico, define-se a for¸ca eletromotriz (f.e.m.) de um gerador, ou bateria, como sendo a energia qu´ımica consumida, por unidade de carga deslocada, desde o p´ olo negativo at´e o p´ olo positivo do gerador. Como se vˆe, a f.e.m. n˜ ao ´e uma for¸ca, mas sua defini¸ca˜o ´e muito parecida com a defini¸ca˜o de diferen¸ca de potencial el´etrico entre dois pontos, lembra? Definimos a diferen¸ca de potencial el´etrico entre dois pontos como o trabalho realizado por um agente externo, por unidade de carga, para deslocar em equil´ıbrio uma pequena carga de prova +q desde um ponto A at´e outro ponto B, dentro de uma regi˜ao do espa¸co onde existe um campo el´etrico (apenas). 4. No circuito da figura abaixo, as chaves CH1 e CH2 est˜ ao abertas e o amper´ımetro A indica que existe passagem de corrente. Quando as duas chaves est˜ ao fechadas, a indica¸ca˜o do amper´ımetro A n˜ ao se altera. Dados: Bateria 1: f.e.m. E1 = 12 V e resistˆencia interna r1 = 1 Ω; Bateria 2: f.e.m. E2 = 12 V e resistˆencia interna r2 = 1 Ω; Resistˆencia do amper´ımetro A: r3 = 2 Ω; Relembrando: R1 = 9 Ω. Determinar: WE Wext. =− VA→B = VB − VA = a) o valor da resistˆencia R2 ; +q +q b) a potˆencia dissipada por efeito Joule na resistˆencia R2 onde WE ´e o trabalho realizado pela for¸ca el´etrica, j´a que, quando CH1 e CH2 est˜ ao fechadas. para o equil´ıbrio da carga q ′ , segundo a Primeira Lei de Newton, Fext. = −FE . E1 + R2 − A CH1 + E2 − CH2 Assim, por analogia, a f.e.m. de uma bateria ser´a f.e.m. = E ≡ R1 Equim. q e por defini¸ca˜o, esta nova grandeza ser´a tamb´em medida em volts ou V no Sistema Internacional (SI). Eletricidade Aula 12 Geradores e For¸ ca Eletromotriz Geradores ou baterias de tens˜ao cont´ınua s˜ao dispositivos capazes de converter energia qu´ımica em energia el´etrica, deslocando cargas entre seus p´ olos de forma a aumentar a energia potencial el´etrica dispon´ıvel para que as cargas el´etricas possam circular por um circuito, mantendo uma corrente de cargas em movimento. Essas cargas, ou seja, a corrente, ao passar por um resistor, por exemplo, perde energia e tende a cessar o seu movimento, a menos que um agente externo – o gerador – realimente essas cargas e mantenha-as circulando. ´ bom destacar o fato de que o gerador n˜ E ao “cria”ou “gera”cargas, mas apenas transfere energia para que elas mantenham seu movimento, formando uma corrente el´etrica num circuito. Simbologia Nos esquemas simplificados usados nos circuitos, indicamos uma bateria pelo s´ımbolo ε + − ou ε + − Convenciona-se que, a placa maior representada na fonte o potencial el´etrico ´e maior (+) e na placa menor, e mais espessa, o potencial seja menor (-). Quando ligada a um resistor ˆohmico, por exemplo, a fonte produzir´a uma corrente (positiva) no sentido indicado pela seta ao lado do s´ımbolo da f.e.m (E), ou seja, da placa posiUsando uma analogia com os sistemas hidr´aulicos, podemos tiva em dire¸ca˜o ao resistor e retornando pela placa negativa. pensar num gerador como sendo equivalente a uma bomba Pela parte interna da fonte, a dire¸ca˜o da corrente ´e da placa d’´agua, que eleva a ´agua at´e uma caixa d’´agua, fornecendo negativa (-) para a positiva (+), sendo este o sentido normal 118 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br da corrente dentro da fonte. Sendo assim, a fonte transfere Fontes energia para as cargas, elevando o seu potencial el´etrico de → se passarmos por uma fonte uma quantidade +E. negativa (-) para a positiva (+) → se passarmos por uma fonte Circuito com V´ arias Fontes positiva (+) para a negativa (-) de f.e.m. E, indo da placa temos ∆V = +E. de f.e.m. E, indo da placa temos ∆V = −E. Um circuito pode ter mais de uma fonte (bateria ou gera´ como nos r´adios ` dor), claro. E a pilha, onde se usa, por Resistores exemplo, quatro baterias de 1, 5 V cada. Normalmente se usa v´arios geradores num mesmo circuito para se obter uma → se passarmos por um resistor R, indo no sentido da suf.e.m. total grande, quando elas s˜ao ligadas em s´erie e com posta corrente i temos ∆V = −Ri. as suas f.e.m. na mesma dire¸ca˜o. → se passarmos por um resistor R, indo em sentido contr´ario ao da suposta corrente i temos ∆V = +Ri. N ε1 ε2 Σε εN ε3 i=1 i − + ..... − + − + − + + − Fios, Chaves e Conectores N geradores em´serie Fios, chaves, soldas e outros conectores ideais n˜ ao possuem resistˆencia el´etrica e portanto n˜ ao apresentam queda de tens˜ao, ou seja, ∆V = 0 para esses elementos. N˜ ao conFigura 1: Geradores em s´erie, aumentando-se a f.e.m. tribuem para o somat´orio geral das tens˜oes. total. Assim, tendo-se todos os ∆Vi no circuito, somam-se todos os termos e iguala-se a zero. Se a corrente encontrada for Para se obter mais carga dispon´ıvel, e fazer um circuito negativa, o sentido escolhido arbitrariamente par ela est´ a funcionar por mais tempo, v´arias baterias de mesma f.e.m. trocado. O sentido f´ısico correto da corrente ent˜ ao ser´a o s˜ao ligadas em paralelo, resultando num gerador de mesma sentido contr´ario ao sentido arbitrado. f.e.m. das baterias usadas. + ε + − ε + − ..... ε + ε − + − − N geradores em paralelo Figura 2: Geradores de mesma f.e.m. em paralelo. Lei de Ohm-Pouillet Com base na lei das malhas, podemos ver que todo circuito de uma s´o malha, mesmo com v´arias fontes de tens˜ao cont´ınua (baterias) e v´arios resistores, todos eles em s´erie portanto, pode ser reduzido a um circuito simples do tipo: uma ateria e um resistor. Para isso, devemos encontrar a f.e.m. total E no circuito e a resistˆencia equivalente Req. , e da´ı, obteremos a corrente i no circuito: a Lei das Malhas – 1 lei de Kirchhoff Definimos como uma malha, qualquer caminho fechado dentro de um circuito el´etrico, que possa ser percorrido passando-se uma s´o vez em cada ponto. O circuito el´etrico mais simples possui apenas uma malha, ou seja, s´o um caminho poss´ıvel para a corrente, que portanto, dever´a ser a mesma em todos os elementos do circuito: resistores, fontes, bobinas, etc. O circuito de uma malha mais simples poss´ıvel, ´e aquele j´ a visto, com apenas uma fonte e um resistor. circulando-se a malha de um circuito, o somat´ orio das varia¸ co ˜es de tens˜ ao ao longo da malha deve ser nulo. ou seja i= E lei de Ohm-Pouillet Req. Biografia Gustav Rupert Kirchhoff, (1824 – 1861), foi um dos maiores f´ısicos alem˜ aes de seu tempo. Realizou uma obra vast´ıssima. Viveu numa ´epoca em que a F´ısica estava tendo desenvolvimento extraordin´ario em v´arios setores diferentes, pois na segunda metade do s´eculo passado a mecˆanica, elasticidade, teoria dos gases, eletricidade, magnetismo e termodinˆamica tiveram grande impulso. Kirchhoff, que desde muito jovem esteve em contacto com f´ısicos bastante experimentados, teve oportunidade de trabalhar em assuntos muito variados. Al´em de um n´ umero muito grande de trabalhos isolados, h´ a X trˆ e s ramos da F´ ısica nos quais os trabalhos de Kirchhoff ∆Vi = 0 se tornaram fundamentais: ´otica, termodinˆamica e eletricii dade. Em ´otica, foi grande conhecedor de espectroscopia, incluindo todos os elementos do circuito: fontes e resistores. tendo sido um dos fundadores da an´alise espectral. Em terPara fazer-se o somat´orio acima, precisamos escolher um modinˆamica, foi o primeiro f´ısico a estabelecer leis sˆobre a sentido qualquer para a corrente na malha e outro, n˜ ao ne- energia radiante. Em eletricidade estabeleceu as leis funcessariamente o mesmo, para circularmos a malha, sentido damentais das malhas el´etricas, leis que estudamos neste u ´ ltimo cap´ıtulo. hor´ ario ou anti-hor´ario, e observar as seguintes regras: Eletricidade – Aula 12 Pense um Pouco! • Ligando-se duas pilhas comuns, com os p´ olos trocados, a um pequena lˆampada o que se observa? ´ poss´ıvel que a corrente (positiva) entre pelo p´ • E olo positivo de uma fonte e saia pelo negativo? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UEPR) Um gerador funcionar´ a em regime de potˆencia u ´ til m´axima, quando sua resistˆencia interna for igual: a) ` a metade da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; b) ao dobro da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; c) ao qu´adruplo da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; d) ` a resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; e) ` a quarta parte da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta. Exerc´ıcios Complementares 2. (PUC-SP) Cinco geradores, cada um de f.e.m. igual a 4, 5 V e corrente de curto-circuito igual a 0, 5 A, s˜ao associados em paralelo. A f.e.m.e a resistˆencia interna do gerador equivalente tˆem valores respectivamente iguais a: a) 4, 5 V e 9, 0 Ω b) 22, 5 V e 9, 0 Ω c) 4, 5 V e 1, 8 Ω d) 0, 9 V e 9, 0 Ω e) 0, 9 V e 1, 8 Ω 119 120 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Parte II Qu´ımica Qu´ımica – Aula 1 123 Qu´ımica Aula 1 sitivamente de n´ ucleo atˆ omico. As part´ıculas carregadas positivamente s˜ao chamadas pr´ otons. Estrutura Atˆ omica As part´ıculas carregadas negativamente continuam sendo chamadas de el´ etrons. Assim, o modelo de Rutherford consta de n´ ucleo denso, diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendo esse n´ ucleo, uma regi˜ao rarefeita e proporcionalmente muito grande chamada eletrosfera, com el´etrons, de carga negativa. Modelos Atˆ omicos A primeira abordagem sobre a constitui¸ca˜o da mat´eria data de ± 400 anos a.C. Os fil´osofos gregos Dem´ocrito e Leucipo conceberam o ´atomo como a menor part´ıcula constituinte da mat´eria e supunham que essa part´ıcula era indivis´ıvel. Lavoisier: em 1780, ´e considerado o pai da Qu´ımica por ter criado o m´etodo cient´ıfico: as leis surgem da observa¸ca˜o da Resumo do Modelo de Rutherford regularidade das teorias, como tentativas de explica¸ca˜o desEste foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente sas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria, tinha os seguintes fundamentos: nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa transforma¸ca˜o qu´ımica da mat´eria, a massa se conserva. • O ´atomo ´e dividido em duas regi˜oes, n´ ucleo e eletrosJohn Dalton: em 1808, criou a Teoria Atˆ omica Cl´assica (bafera, no n´ ucleo encontramos os pr´otons e os nˆeutrons, seado em modelos experimentais), considerando os ´atomos na eletrosfera encontramos os el´etrons; como esferas maci¸cas (Modelo da Bola de Bilhar), indi• Os pr´otons apresentam carga positiva, os el´etrons aprevis´ıveis. sentam carga negativa e os nˆeutrons apresentam carga J. J. Thomson: em 1897, atrav´es de experimentos sobre nula; descargas el´etricas em gases rarefeitos, admitiu a existˆencia • A massa de um pr´oton e de um nˆeutron equivalem a 1 de cargas negativas, os el´etrons, e de cargas positivas, os u.m.a enquanto a massa do el´etron ´e 1836 vezes menor pr´ otons. Propˆos um modelo em que o ´ atomo seria uma que a massa do pr´oton ou do nˆeutron. esfera de eletricidade positiva, incrustada de el´etrons com carga negativa (Modelo do Pudim de Passas). O n´ umero de pr´otons em um n´ ucleo atˆomico ´e chamado de n´ umero atˆ omico, Z, do elemento. O n´ umero total (soma) de pr´otons e nˆeutrons no n´ ucleo ´e chamado de n´ umero de massa, A, do elemento. Folha de ouro Substancia radioativa fonte de particulas α Colimador do feixe A=Z +N Tela sintilante para detecçao das particulas desviadas Representa¸c˜ ao ZX A Mas, o modelo planet´ ario de Rutherford apresenta duas falhas cruciais: • Uma carga negativa colocada em movimento ao redor de uma carga positiva estacion´ aria, adquire movimento espiral at´e colidir com ela; Figura 1: Aparato Experimental de Rutherford. • Essa carga perde energia emitindo radia¸ca˜o, violando o Princ´ıpio da Conserva¸ca˜o de Energia. Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma lamina met´alica delgada com um feixe de part´ıculas α. Estas part´ıculas eram positivas. A maior parte das part´ıculas Pense um Pouco! atravessava a lamina met´alica sem sofrer desvio detect´ avel, algumas part´ıculas atravessavam sofrendo desvio e um 1. Vocˆe sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”? n´ umero ´ınfimo de part´ıculas refletiam. Se os ´ atomos fos2. O que significa Fiss˜ao Nuclear e Fus˜ao Nuclear? sem bolhas de gel´eia carregados positivamente as part´ıculas α deveriam passar facilmente atrav´es das folhas com uma ligeira deflex˜ao ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se ıcios de Aplica¸ c˜ ao que algumas destas part´ıculas defletiam mais de 90◦ e umas Exerc´ poucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Ver a Fig. 1. 1. A palavra ´atomo ´e origin´aria do grego e significa “indiEstes resultados sugerem um modelo de ´ atomo no qual h´ a vis´ıvel”, ou seja, segundo os fil´osofos gregos, o ´atomo seria uma densa carga positiva central circundada por um grande a menor part´ıcula da mat´eria que n˜ ao poderia ser mais divolume vazio. Rutherford chamou esta regi˜ ao carregada po- vidida. atualmente essa id´eia n˜ ao ´e mais aceita. A respeito 124 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br dos ´ atomos, ´e verdadeiro afirmar que: d) diferentes n´ umeros atˆomicos; a) ( ) N˜ ao podem ser desintegrados; e) diferentes n´ umeros de pr´otons e el´etrons; b) ( ) S˜ ao formados por pelo menos trˆes part´ıculas fundamentais; c) ( ) Possuem part´ıculas positivas denominadas el´etrons; d) ( ) Apresentam duas regi˜ oes distintas, n´ ucleo e eletrosfera; Modelos Atˆ omicos e) ( ) Apresentam el´etrons cuja carga el´etrica ´e negativa; f) ( ) Cont´em part´ıculas sem carga el´etrica, os nˆeutrons. Qu´ımica Aula 2 O Modelo Atˆ omico de Bohr 2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale como V ou F: a) ( ) O primeiro modelo atˆomico baseado em resultados experimentais, ou seja, com base cient´ıfica foi proposto por Dalton; b) ( ) Segundo Dalton, a mat´eria ´e formada de part´ıculas indivis´ıveis chamadas ´ atomos; c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o ´atomo n˜ ao era indivis´ıvel; d) ( ) O modelo atˆomico proposto por Thomson ´e o da bola de bilhar; e) ( ) O modelo atˆomico de Dalton teve como suporte experimental para a sua cria¸ca˜o a interpreta¸ca˜o das leis das rea¸co˜es qu´ımicas. Com o objetivo de solucionar estas limita¸co˜es do modelo de Rutherford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr. Niels Bohr: em 1913, propˆ os que o ´atomo ´e constitu´ıdo por um n´ ucleo positivo, onde se concentra praticamente toda massa do ´atomo, e por el´etrons que giram ao seu redor em ´orbitas circulares bem definidas, formando camadas, designadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q. _ ~ eletron _ ~ eletron excitado _ _ _ _ foton absorvido foton emitido 3. (UFSC) Assinale a alternativa correta: a) Os a´tomos s˜ao part´ıculas fundamentais da mat´eria; b) Os ´atomos s˜ao quimicamente diferentes quando tˆem n´ umeros de massa diferentes; c) Os el´etrons s˜ao as part´ıculas de carga el´etrica positiva; d) Os pr´otons e os el´etrons possuem massas iguais e cargas Figura 1: O modelo Atˆ omico de Bohr. el´etricas diferentes; e) Os a´tomos apresentam part´ıculas de carga nula denomiAtrav´es de processos experimentais Bohr, concluiu que: nados nˆeutrons; f) Os ´ atomos s˜ao part´ıculas inteiramente maci¸cas. • Um el´etron s´o pode ter certas energias espec´ıficas, e cada uma destas energias corresponde a uma ´orbita particular. Quanto mais afastado do n´ ucleo maior a Exerc´ıcios Complementares energia do el´etron; 4. (ACE) Assinale a alternativa falsa: a) o n´ umero de massa de um ´ atomo ´e dado pela soma do n´ umero de pr´otons e de nˆeutrons existentes no n´ ucleo; b) um elemento qu´ımico deve ter seus ´ atomos sempre com o mesmo n´ umero de nˆeutrons; c) o n´ umero de pr´otons permanece constante, mesmo que os n´ umeros de massa dos ´ atomos de um elemento variem; d) o n´ umero atˆomico ´e dado pelo n´ umero de pr´otons existentes no n´ ucleo de um ´ atomo; e) n.d.a 5. (UEL) O urˆanio-238 difere do urˆanio-235 por que o primeiro possui: a) 3 el´etrons a mais; b) 3 pr´otons a mais; c) 3 pr´otons e 3 nˆeutrons a mais; d) 3 pr´otons e 3 el´etrons a mais; e) 3 nˆeutrons a mais. 6. (FUVEST) As seguintes representa¸co˜es: 4 atomos com: 2 X , referem-se a ´ a) igual n´ umero de nˆeutrons; b) igual n´ umero de pr´otons; c) diferente n´ umero de el´etrons; 2X 2 , 2X 3 e • Se o el´etron receber energia ele pula para uma ´orbita mais afastada do n´ ucleo; • Como esta ´orbita n˜ ao ´e natural ele tende a retornar para sua ´orbita de maior estabilidade, assim sendo, ocorre libera¸ca˜o de energia; • Para calcular a energia emitida pelo el´etron, Max Planck estabeleceu que a energia se propaga em “pacotes”de quantidades m´ınimas e descont´ınuas. A essa quantidade m´ınima chamou de f´ oton ou quantum. O valor do quantum ´e proporcional a frequˆencia da onda ν, cuja magnitude pode ser calculada por E = hν onde h ´e a famosa constante de Planck, que tem valor de 6, 63 × 10−34 J · s. Se os ´atomos oscilantes transferem uma energia E para a vizinhan¸ca, radia¸ca˜o de frequˆencia ν = E/h ser´a de´ importante notar que a intensidade da ratectada. E dia¸ca˜o ´e uma indica¸ca˜o do n´ umero de pacotes de energia gerados, enquanto E ´e a medida de energia de cada pacote. Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os el´etrons descrevem ´orbitas circulares e el´ıpticas em torno do n´ ucleo. Qu´ımica – Aula 2 125 de nˆeutrons, ou seja s˜ao ´atomos de mesmo n´ umero atˆomico e diferentes n´ umero de massa. 6C 12 6C 13 6C 14 Is´otopos de Carbono 8O 16 8O 17 8O 17 Is´otopos de Oxigˆenio Is´ obaros: s˜ao ´atomos de elementos qu´ımicos diferentes mas com mesmo n´ umero de massa. 20 Ca 40 1840 Ar Is´ otonos: s˜ao ´atomos de elementos qu´ımicos diferentes, mas com mesmo numero de nˆeutrons. Figura 2: Modelo Atˆ omico de Sommerfeld. O Modelo Atˆ omico Atual 5B 11 6C 12 Isoeletrˆ onicos: s˜ao ´atomos ou ´ıons que apresentam o mesmo n´ umero de el´etrons. 2+ 1+N e 1− 3− 12 M g 11 N a 9F 7N 10 Louis de Broglie: em 1924, foi quem lan¸cou as as bases de uma nova mecˆanica chamada ondulat´ oria ou quˆantica, atrav´es do Princ´ıpio da Dualidade mat´eria-onda para o N´ıveis e Sub-n´ıveis de Energia el´etron: “Toda part´ıcula em movimento, o el´etron, no caso, tem associado a si uma onda”. A eletrosfera do ´atomo est´ a dividida em 7 regi˜oes denominadas de n´ ıveis de energia ou camadas eletrˆ onicas. A mecˆanica cl´assica prevˆe, para cada corpo, sua trajet´oria, conhecendo sua posi¸ca˜o e velocidade. S˜ ao as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelos umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de n´ umeros quˆanticos A mecˆanica quˆantica, que trata do universo microsc´opico n´ principais e representados pela letra n. das part´ıculas, n˜ ao se descreve perfeitamente o ´ atomo. umero m´aximo de el´etrons em cada camada ´e calculado Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Princ´ıpio da Incerteza, O n´ segundo o qual “n˜ao ´e poss´ıvel predizer, ao mesmo tempo, pela equa¸ca˜o a posi¸ca˜o e a quantidade de movimento de um el´etron” e = 2 · n2 sendo que Tudo que n´ os podemos conhecer sobre o movimento de um sistema de part´ıculas se reduz a uma fun¸ca˜o complexa Ψ de K(2), L(8), M (18), N (32), O(50), P (72), Q(98) coordenadas (x, y, z) das part´ıculas e do tempo t. Esta fun¸ca˜o ´e chamada Fun¸ca˜o de Onda, criada por Schr¨odinger (1927). Mas para os 112 elementos qu´ımicos existentes temos: K(2), L(8), M (18), N (32), O(32), P (18), Q(2) Existem 7 sub-n´ıveis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que est˜ ao dentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes n˜ ao s˜ao ocupados todos os sub-n´ıveis de energia e sim somente quatro, s, p, d, f , que s˜ao representados pela letra l que significa n´ umero quˆantico secund´ario e s˜ao n´ umeros que v˜ao de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os sub-n´ıveis s, p, d, f , cada sub-n´ıvel comporta um n´ umero m´aximo de el´etrons Schr¨odinger deduziu matematicamente regi˜ oes com proba- s(2), p(6), d(10), f (14). bilidades de se encontrar o el´etron, simplificadas por meio de modelos geom´etricos que chamamos de orbitais. O quadrado do m´odulo da fun¸ca˜o de onda |Ψ|2 representa a probabilidade de se encontrar no instante t a determinada part´ıcula. Na concep¸ca˜o cl´assica, uma part´ıcula se encontra ou n˜ ao num determinado instante em um dado ponto do espa¸co. Pela mecˆanica quˆantica n´ os s´o podemos conhecer a probabilidade de encontrar a part´ıcula no ponto considerado. Sommerfeld, de Broglie e Schr¨odinger formaram a Mecˆanica Quˆ antica, que nos levou ao modelo atˆomico atual. O ´atomo possui n´ ucleo denso com el´etrons em orbitais. Orbital ´e a regi˜ao, em torno do n´ ucleo, com maior probabilidade de se encontrar o el´etron. O el´etron move-se em torno do n´ ucleo. Is´ otopos, Is´ obaros, Is´ otonos e Isoeletrˆ onicos Is´ otopos: s˜ao ´atomos de um mesmo elemento qu´ımico que apresentam diferentes n´ umero de massa e diferentes n´ umero Configura¸ c˜ ao Eletrˆ onica Diagrama de Linus Pauling K(2) 1s2 L(8) 2s2 2p6 M(18) 3s2 3p6 3d10 N(32) 4s2 4p6 4d10 4f 14 O(32) 5s2 5p6 5d10 5f 14 P(18) 6s2 6p6 6d10 Q(2) 7s2 Representamos a distribui¸ca˜o eletrˆ onica de duas formas: 126 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 1. ordem energ´etica, seguindo as diagonais do diagrama valores permitidos para a fun¸ca˜o de spin s˜ao − 21 e 21 , e s˜ao de Pauling: de spins opostos. 1s2 , 2s2 , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 4s2 , 3d10 , 4p6 , 5s2 , 4d10 , Dois el´ etrons podem ocupar um mesmo 5p6 , 6s2 , 4f 14 , 5d10 , 6p6 , 7s2 , 5f 14 , 6d10 orbital desde que possuam spins opostos. 2. ordem geom´etrica, agrupando os sub-n´ıveis em camadas: Este enunciado ´e conhecido por “Princ´ıpio de Exclus˜ao, de Wolfgang Pauli”. 1s2 K 2 Cada sub-n´ıvel comporta um n´ umero m´aximo de el´etrons 2s2 , 2p6 L 8 (como visto anteriormente). Se cada orbital comporta no 3s2 , 3p6 , 3d10 M 18 m´aximo dois el´etrons, temos ent˜ ao: 2 4s , 4p6 , 4d10 , 4f 14 N 32 5s2 , 5p6 , 5d10 , 5f 14 O 32 Representa¸ca˜o do Orbital 6s2 , 6p6 , 6d10 P 18 2 s ↑↓ 1 orbit. 7s2 Q 2 p6 ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 orbit. d10 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 5 orbit. Orbitais Atˆ omicos f 14 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 7 orbit. Como vimos, orbital ´e a regi˜ ao, em torno do n´ ucleo, com m´axima probabilidade de se encontrar el´etrons. As formas dessas regi˜oes s˜ao calculadas matematicamente e tˆem o n´ ucleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z. Pense um Pouco! 1. Vocˆe sabe quais s˜ao os tipos de radia¸co˜es existentes e quais as caracter´ısticas particulares de cada uma? 2. Quais s˜ao os efeitos causados pelas radia¸co˜es? E quais as principais aplica¸co˜es das rea¸co˜es nucleares? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Figura 3: Orbitais atˆ omicos. As formas dos orbitais mais importantes s˜ao: 1. esf´ erica - chamado orbital s: 2. halter - chamado orbital p: 1. (ACAFE-99) A vitamina B12 , anti-anˆemica, cont´em ´ıons de cobalto Co+2 . Dado: Co(Z = 27). A configura¸ca˜o eletrˆ onica nos orbitais 4s e 3d do Co+2 , ´e: a) 4s0 , 3d8 b) 4s2 , 3d7 c) 4s2 , 3d5 d) 4s1 , 3d6 e) 4s0 , 3d7 2. (UDESC) Uma ´atomo com n´ umero atˆomico igual a 38, apresentar´ a em seu antepen´ ultimo n´ıvel: a) 8 el´etrons b) 18 el´etrons c) 16 el´etrons d) 10 el´etrons e) 6 el´etrons + Exerc´ıcios Complementares 3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr ´e correto afirmar que: a) ( ) Os el´etrons se movem ao redor do n´ ucleo em ´orbitas bem definidas, que s˜ao denominadas ´orbitas estacion´ arias; b) ( ) Movendo-se numa ´ o rbita estacion´ a ria, o el´ e tron n˜ ao Princ´ıpio de Exclus˜ ao emite nem absorve energia; Certas experiˆencias, em particular a a¸ca˜o de um campo c) ( ) Ao saltar de uma ´orbita mais pr´oxima do n´ ucleo para magn´etico, mostram que as fun¸co˜es de onda constru´ıdas uni- outra ´orbita mais afastada, o el´etron absorve energia; camente sobre as coordenadas de espa¸co n˜ ao s˜ao aptas para d) ( ) Quando o el´etron de um ´atomo salta de uma caexplicar totalmente os fenˆomenos, o que levou a se introdu- mada mais externa para outra mais pr´oxima do n´ ucleo, h´ a zir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de uma emiss˜ao de energia; coordenada suplementar associada ` a rota¸ca˜o do el´etron. Os e) ( ) No n´ ucleo de um ´atomo existem pr´otons e nˆeutrons. Figura 4: Representa¸ca ˜o do Orbital p. Qu´ımica – Aula 3 127 ´ 4. (UEL) Atomos neutros e ´ıons de um mesmo elemento qu´ımico tem, necessariamente, o mesmo n´ umero: a) atˆomico b) de massa c) de oxida¸ca˜o d) de carga e) de isˆ omeros ´ o caso do na u ´ ltima camada, como o h´elio (Z = 2) : 1s2 . E hidrogˆenio e do l´ıtio. 5. Sejam dois ´atomos A de n´ umero atˆomico 2x+4 e n´ umero de massa 5x e B de m´ umero atˆomico 3x − 6 e n´ umero de massa 5x − 1. Determine quantos nˆeutrons tem A e B, sabendo que eles pertencem ao mesmo elemento qu´ımico. a) NA = 25 e NB = 26 b) NA = 26 e NB = 25 c) NA = 27 e NB = 26 d) NA = 26 e NB = 27 e) NA = 25 e NB = 25 Metais: S˜ ao elementos que possuem menos de quatro el´etrons na camada de valˆencia. Doam el´etrons quando fazem liga¸co˜es qu´ımicas; N˜ ao-Metais: S˜ ao elementos que possuem mais de quatro el´etrons na camada de valˆencia. Recebem el´etrons quando fazem liga¸co˜es qu´ımicas; Semi-metais: S˜ ao alguns elementos que ora comportam-se como metais ora como n˜ ao-metais, independente do n´ umero de el´etrons na camada de valˆencia; Qu´ımica Aula 3 Liga¸c˜ oes Qu´ımicas ´ Estabilidade dos Atomos Os gases nobres s˜ao os u ´ nicos encontrados na natureza na forma mono-atˆ omica, ou seja, n˜ ao se ligam se, apresentam na forma de ´atomos. Isto significa que o ´ atomo ´e totalmente est´ avel. Classifica¸c˜ ao dos Elementos Quanto `a Configura¸ca˜o Eletrˆ onica, podemos classificar os elementos qu´ımicos como: Hidrogˆ enio: N˜ ao tem classifica¸ca˜o, por´em sua tendˆencia ´e de ganhar um el´etron. Os elementos que possuem quatro el´etrons na camada de valˆencia podem ceder ou receber el´etrons nas liga¸co˜es. O carbono por exemplo, ter´ a comportamento de n˜ ao-metal, recebendo el´etrons. O sil´ıcio e o germˆ anio s˜ao semi-metais: ora cedem el´etrons, ora recebem. Estruturas de Lewis Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Peri´odica), com Um s´ımbolo de Lewis ´e um s´ımbolo no qual os el´etrons da exce¸ca˜o do h´elio, apresentam oito el´etrons na camada de camada de valˆencia de um ´atomo ou de um ´ıon simples s˜ao representados por pontos colocados ao redor do s´ımbolo do valˆencia. elemento. Cada ponto representa um el´etron. Por exemplo: Gases Nobres He(Z=2) 2 Ne(Z=10) 2 8 (a) (b) Ar(Z=18) 2 8 18 8 Xr(Z=36) 2 8 18 18 8 Xe(Z=54) 2 8 18 32 18 8 Figura 1: Configura¸ca ˜o eletrˆ onica e estrutura de Lewis Rn(Z=86) 2 8 18 32 32 18 8 para o a ´tomo neutro de cloro (a) e para o ´ıon de cloro Camada de valˆencia ´e a camada eletrˆ onica mais externa. (b). Pode receber ou fornecer el´etrons na uni˜ ao entre ´ atomos. Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete el´etrons A valˆencia de um ´atomo ´e o n´ umero de liga¸co˜es que um de valˆencia, enquanto que o ´ıon cloreto, oito. atomo precisa fazer para adquirir a configura¸ca˜o de um g´ ´ as Uma liga¸ca˜o co-valente ´e aquela liga¸ca˜o qu´ımica formada nobre. pelo compartilhamento de um par de el´etrons entre dois ´atomos. A Estrutura de Lewis de um composto co-valente Teoria do Octeto ou de um ´ıon poli-atˆomico mostra como os el´etrons est˜ ao distribu´ıdos entre os ´atomos, de formas a mostrar a conecFoi feita uma associa¸ca˜o entre a estabilidade dos gases notividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatro bres e o fato de possu´ırem 8 el´etrons na u ´ ltima camada. el´etrons, um de cada hidrogˆenio, mais os quatro el´etrons de Surgiu ent˜ ao a Teoria do Octeto: valˆencia do carbono, s˜ao emparelhados na Estrutura, mostrando como cada ´atomo se conecta a outro por um par de Para atingir uma situa¸ c˜ ao est´ avel, h´ a el´etrons. uma tendˆ encia dos ´ atomos para conseguir Ao inv´es de utilizarmos dois pontos para indicar o par de estrutura eletrˆ onica de 8 el´ etrons na cael´etrons que perpetuam a liga¸ca˜o co-valente, podemos utilimada de valˆ encia igual ao g´ as nobre de zar um tra¸co. Assim, o tra¸co ir´ a representar os dois el´etrons n´ umero atˆ omico mais pr´ oximo. da liga¸ca˜o co-valente. No caso de ´atomos menores em n´ umero de el´etrons, a Vamos representar na Figura (4) a estrutura de Lewis da tendˆencia ´e alcan¸car o dueto, isto ´e, conseguir dois el´etrons ´agua. Dois hidrogˆenios s˜ao ligados ao ´atomo de oxigˆenio 128 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar os octetos dos ´atomos perif´ericos. Conecte o ´atomo central aos outros ´atomos na mol´ecula com liga¸co˜es simples. O carbono ´e o ´atomo central, os dois oxigˆenios s˜ao ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar os octetos dos ´atomos perif´ericos. O C O Figura 2: Configura¸ca ˜o da estrutura de Lewis para o metano. Figura 5: Estrutura do CO2 . At´e aqui foram utilizados quatro el´etrons dos 16 `a disposi¸ca˜o. Complete a camada de valˆencia dos ´atomos da periferia da mol´ecula. O C O Figura 3: Configura¸ca ˜o da liga¸ca ˜o co-valente. central. Os el´etrons de liga¸ca˜o s˜ao indicados pelas linhas Figura 6: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 1. entre o oxigˆenio e cada um dos hidrogˆenios. Os el´etrons remanescentes - dois pares - que constituem o octeto do Foram utilizados todos os 16 el´etrons dispon´ıveis. Colooxigˆenio, s˜ao chamados de n˜ ao-ligantes, por n˜ ao estarem que quaisquer el´etrons remanescentes sobre o ´atomo central. envolvidos em liga¸co˜es co-valentes. “N˜ao existem mais el´etrons dispon´ıveis nesse exemplo”. H O H ~ ligantes ´ pares de eletrons nao ´ pares de eletrons ligantes ´ Figura 4: Estrutura de Lewis da Agua. O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis ´e determinar o n´ umero de el´etrons de valˆencia dos ´atomos que ser˜ao conectados. Depois ´e necess´ario determinar qual ´e o ´ atomo central, e lig´a-lo aos ´ atomos perif´ericos por pares de el´etrons. • Se a camada de valˆencia do ´atomo central est´ a completa, vocˆe acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis aceit´ avel. “O carbono est´ a deficiente de el´etrons - ele tem s´o quatro el´etrons em sua volta. Esta n˜ ao ´e uma estrutura de Lewis aceit´ avel”. • Se a camada de valˆencia do ´atomo central n˜ ao est´ a completa, use um par solit´ario de um dos ´atomos da periferia para formar uma dupla liga¸ca˜o daquele ´atomo com o ´atomo central. Continue o processo de fazer m´ ultiplas liga¸co˜es dos ´atomos perif´ericos com o ´atomo central, at´e que a camada de valˆencia do ´atomo central esteja completa. Considere o di´oxido de carbono CO2 O C O carbono(C) → tem 4e− de valˆencia × 1 carbono = 4e− oxigˆenio(O) → tem 6e − de valˆencia × 2 oxigˆenio = 12e Figura 7: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 2. − Torna-se, Existe um total de 16 e para serem colocados na Estrutura de Lewis. O ´atomo central ainda est´ a deficiente de el´etrons, portanto compartilhe outro par. Conecte o ´atomo central aos outros ´ atomos na mol´ecula com liga¸co˜es simples. Torna-se, − O carbono ´e o ´atomo central, os dois oxigˆenios s˜ao ligados Certifique-se que vocˆe tenha utilizado do n´ umero correto de el´etrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que Qu´ımica – Aula 4 O 129 C O Figura 8: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 3. O C O Figura 9: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 4. alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliar sua camada de valˆencia para al´em de oito el´etrons. A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para o di´oxido de carbono ´e a mostrada na Figura 10. Exemplo O C O Figura 10: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 5. c) 9 d) 18 e) 10 3. (UFSC) De modo geral, os compostos que possuem liga¸co˜es iˆonicas: a) s˜ao sol´ uveis em derivados do petr´ oleo b) s˜ao encontrados na natureza no estado s´olido c) apresentam pontos de ebuli¸ca˜o elevados e pontos de fus˜ ao baixos d) s˜ao duros e quebradi¸cos e) apresentam alta condutividade el´etrica em solu¸ca˜o aquosa Exerc´ıcios Complementares Considere os ´ıons: Ca+2 , P O4−3 e OH − . A combina¸ca˜o desses ´ıons pode resultar na hidroxiapatita, mineral presente 4. (UFRJ) O correto uso da tabela per´ıodica permite deem ossos e dentes. A f´ormula qu´ımica pode ser representada terminar os elementos qu´ımicos a partir de algumas de suas caracter´ısticas. Recorra `a tabela peri´odica e determine: por Cax (P O4 )3 OH. Qual o valor de x nesta f´ ormula? a) o elemento que tem distribui¸ca˜o eletrˆ onica s2 p4 no n´ıvel mais energ´etico, ´e o mais eletronegativo de seu grupo e Solu¸ c˜ ao forma, com os metais alcalinos terrosos, composto do tipo XY; Como sabemos que o somat´orio das cargas deve ser igual a b) o n´ umero atˆomico do elemento que perde dois el´etrons zero e que pela f´ormula temos: ao formar liga¸ca˜o iˆonica e est´ a localizado no 3o per´ıodo da tabela peri´odica. − Cax (P O4 )−3 OH 3 5. Indique a f´ormula estrutural das seguintes mol´eculas: Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z = E fazendo o somat´orio das cargas: 1), O (Z = 8). a) CCl4 x · (+2) + 3 · (−3) + 1 · (−1) = 0 =⇒ x = 5 b) N H3 c) CO2 d) HN O3 Pense um Pouco! • Dˆe uma poss´ıvel aplica¸ca˜o para a mesma f´ormula qu´ımica escrita de formas diferentes. Ou seja, qual ´e a utilidade de escrevermos a f´ ormula estrutural e eletrˆ onica de um mesmo elemento? • Os gases nobres tamb´em s˜ao chamados de gases inertes? Explique. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 6. Dˆe as f´ormulas estruturais e eletrˆ onicas das seguintes mol´eculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16). a) H2 S b) SO2 c) SO3 d) HN O3 Qu´ımica Aula 4 Liga¸c˜ oes Qu´ımicas 1. Os a´tomos de 13 Al e 16 S podem originar ´ıons. Determine Como consequˆencia da tendˆencia dos ´atomos de formar sisa carga dos ´ıons est´ aveis de cada um desses elementos. temas eletrˆ onicos est´ aveis, pela doa¸ca˜o ou recebimento de 2. (PUC-MG) Um elemento X (Z = 20) forma com Y um el´etrons, os ´atomos se unem. composto de f´ormula X3 Y2 . O n´ umero atˆomico de Y ´e: Existem trˆes tipos de liga¸co˜es qu´ımicas; a) 7 1. Iˆonica; b) 21 130 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 2. Met´alica; Liga¸c˜ ao Met´ alica 3. Co-valente. Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem tendˆencia de doar el´etrons formando c´ ations. A liga¸ca˜o met´alica ocorre quando muitos ´atomos de um metal perdem el´etrons ao mesmo tempo, e os c´ ations formados se estabilizam pela ”nuvem” de el´etrons que fica ao redor. Liga¸ c˜ ao Iˆ onica ou Eletrovalente A liga¸ca˜o iˆonica ocorre quando um metal se liga a um n˜ ao Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletricimetal ou ao hidrogˆenio. O metal doa el´etrons formando o dade e calor, encontraremos nos el´etrons livres que o mac´ ation. O n˜ ao-metal ou o hidrogˆenio recebe el´etrons forterial apresenta a explica¸ca˜o desta condutibilidade. Os ”n” mando um ˆanion. ´atomos de cobre cedem seus el´etrons perif´ericos e se tornam A consequˆencia da atra¸ca˜o entre os ´ıons positivos (c´ations) c´ ations envoltos por muitos el´etrons livres. e negativos (ˆ anions) ´e um agrupamento organizado de ´ıons, a que chamamos de cristal iˆonico. Liga¸c˜ ao Co-valente ou Molecular Liga¸ca˜o co-valente ´e aquela formada como consequˆencia do compartilhamento de el´etrons entre seus ´atomos. Haver´a forma¸ca˜o de uma mol´ecula, no sentido em que os ´atomos se unem como ”s´ocios” dos mesmos el´etrons. Por exemplo: o cloro apresenta 7 el´etrons na u ´ ltima camada quando realizada a liga¸ca˜o co-valente forma HCl. (a) (b) O par compartilhado ´e formado por dois el´etrons, um de cada ´atomo, compartilhado por ambos os ´atomos. Figura 1: Arranjo Atˆ omico de um Cristal Iˆ onico. O cristal iˆonico ´e representado por uma f´ ormula m´ınima, ou seja, o n´ umero m´ınimo de c´ ations e ˆ anions necess´arios para que ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a F´ormula M´ınima do sal de cozinha ´e dada por: H Cl N a Cl Esta estrutura de alta coes˜ ao de natureza el´etrica confere Figura 2: Par Eletrˆ onico Compartilhado. ao composto iˆonico alto ponto de fus˜ao. No estado s´olido n˜ ao conduz eletricidade. Isso s´o ocorre se os ´ıons estiverem Ambos adquirem configura¸ca˜o eletrˆ onica est´ avel de g´ as nolivres, em solu¸ca˜o aquosa ou no estado fundido (l´ıquido). bre. Montamos uma f´ormula de composto iˆonico colocando `a esquerda o c´ ation e a direita o ˆ anion. Verificamos se as cargas positiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, a Representa¸ c˜ ao Molecular f´ ormula ser´a de um c´ ation para um ˆ anion. Caso as cargas se anulem, usaremos o seguinte artif´ıcio: invertemos a carga H´ a diferentes maneiras de representar uma mol´ecula. Todo c´ ation para ´ındice do ˆ anion e a carga do ˆ anion para ´ındice memos a mol´ecula de g´ as oxigˆenio, formada por dois ´atomos do c´ ation: de oxigˆenio. Ax+ B y− → Ay Bx Caracter´ısticas da Liga¸ c˜ ao Iˆ onica • Forma¸ca˜o de ´ıons; • Transferˆencia de el´etrons; • Compostos s´olidos a temperatura ambiente; • Forma¸ca˜o de compostos cristalinos; • Os compostos iˆonicos quando em meio aquoso conduzem corrente el´etrica. • F´ ormula eletrˆ onica ou de Lewis: representa os el´etrons da u ´ ltima camada dos ´atomos. • F´ ormula estrutural: cada par de el´etron compartilhado ´e representado por um tra¸co. O=O • F´ ormula molecular: indica apenas o tipo e o n´ umero de ´atomos que formam uma mol´ecula. O2 Qu´ımica – Aula 4 131 Liga¸ ca ˜o Dativa ou Coordenada ´ o caso de liga¸ca˜o co-valente que ocorre quando o par de E el´etrons compartilhado entre dois ´ atomos prov´em apenas de um deles. Para que o ´atomo possa fazer uma liga¸ca˜o coordenada ele tem que possuir pares de el´etrons livres. − − + + A liga¸ca˜o coordenada ´e indicada por uma seta do ´ atomo que oferece o par de el´etrons para o ´ atomo que o aceita. O n´ umero m´aximo de liga¸co˜es coordenadas que os n˜ aometais podem oferecer ´e: Figura 4: Dois a ´tomos de H. No caso do mon´ oxido de carbono, temos um bom exemplo: o Na forma¸ca˜o do overlap h´ a uma distˆancia ideal entre os oxigˆenio faz uma liga¸ca˜o dativa com o carbono, isto ´e, com- n´ ucleos de cada ´atomo, onde a repuls˜ao das cargas de mesmo partilha coordenadamente com ele seus pares eletrˆ onicos. sinal compensa a atra¸ca˜o das cargas de sinais diferentes. Conforme podemos ver na Fig. (3): Figura 5: Overlap. Figura 3: Liga¸ca ˜o Dativa do CO. Orbitais Moleculares Para visualizarmos melhor as liga¸co˜es co-valentes (´ atomos formando mol´eculas), estudaremos as liga¸co˜es sob o ponto de vista dos orbitais atˆomicos formando orbitais moleculares. Orbital molecular ´e a regi˜ ao em torno dos n´ ucleos de maior probabilidade de ser encontrado o par eletrˆ onico compartilhado. H´ a dois tipos de orbital molecular: No caso do H2 , H − H, temos orbital σ(s − s). A nota¸ca˜o σ(s − s) significa orbital molecular σ feito atrav´es de dois orbitais atˆomicos do tipo s. Pense um Pouco! • Quais s˜ao as principais utilidades das Liga¸co˜es Qu´ımicas na natureza? • Como os elementos qu´ımicos s˜ao encontrados na natureza, ”puros ou misturados com outros elementos”? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Orbital Molecular σ (sigma), ou simplesmente liga¸ca˜o σ, ´e aquele formado na interpenetra¸ca˜o de orbitais atˆomicos 1. (ACAFE) O grupo de ´atomos que ´e encontrado na forma segundo um eixo. mono-atˆ omica pelo fato de serem est´ aveis s˜ao Orbital Molecular π, ou simplesmente liga¸ca˜o π, ´e aquele a) Halogˆenios formado na interpenetra¸ca˜o de orbitais atˆomicos p exclusi- b) Calcogˆenios vamente segundo os eixos paralelos. c) Metais Alcalinos Terrosos d) Metais Alcalinos e) Gases Nobres Exemplo 2. (ACAFE) O propadieno (H2 C = C = CH2 ) apresenta respectivamente quantas liga¸co˜es sigmas e liga¸co˜es pi? O hidrogˆenio apresenta apenas um el´etron no orbital s, que a) 6 e 2 sabemos ser esf´erico: 1s1 , e precisa de mais um el´etron para b) 2 e 2 c) 4 e 2 adquirir estabilidade. Quando ocorre a aproxima¸ca˜o de outro ´ atomo de hi- d) 4 e 0 drogˆenio, o n´ ucleo positivo de um atrai a eletrosfera do e) 0 e 4 outro. 3. (ACAFE) Incr´ıvel, mas 15% do g´ as metano existente Como consequˆencia dessa atra¸ca˜o, teremos a aproxima¸c˜ao na atmosfera prov´em do arroto dos bois, vacas, cabras e resultando numa interpenetra¸ca˜o de orbitais chamada over- carneiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento lap. atmosf´erico). Assinale a alternativa que descreve os tipos Overlap ´e a interpenetra¸ca˜o dos orbitais atˆomicos formando de liga¸co˜es qu´ımicas encontradas neste g´ as: um orbital molecular. a) 2 iˆonicas e 2 co-valentes H2 (mol´ecula H : H ou H − H) 132 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC b) 2 liga¸co˜es dativas c) 4 liga¸co˜es duplas d) 2 sigmas e 2 pi e) 4 liga¸co˜es sigmas Exerc´ıcios Complementares — www.mundofisico.joinville.udesc.br Difus˜ ao Comparadas com as mol´eculas de um l´ıquido ou s´olido, as mol´eculas de um g´ as se difundem rapidamente, uma vez que as distˆancias que elas se movem entre as colis˜oes s˜ao relativamente grandes. Em virtude de as mol´eculas num l´ıquido estarem t˜ ao pr´oximas, a distˆancia m´edia que elas percorrem entre as colis˜oes – o seu livre caminho m´edio – ´e muito pequena, onde estas sofrem bilh˜oes de colis˜oes antes de percorrer uma distˆancia muito grande e essas interrup¸co˜es impedem-nas de espalhar-se atrav´es do l´ıquido. A difus˜ao dentro dos s´olidos ´e muito mais lenta que nos l´ıquidos. N˜ ao s´o as mol´eculas est˜ ao fortemente compactadas como, tamb´em, s˜ao mantidas rigidamente no mesmo lugar. 4. (UFCE) No envenenamento por mon´ oxido de carbono (CO), as mol´eculas deste g´ as se ligam aos ´ atomos de ferro da hemoglobina, deslocando o oxigˆenio e causando, rapidamente, asfixia. Quantos pares de el´etrons dispon´ıveis do oxigˆenio existem na mol´ecula do CO para se ligarem ao ferro da hemoglobina atrav´es de liga¸ca˜o covalente dativa? a) 1 b) 2 Volume e Forma c) 3 d) 4 A propriedade mais ´obvia dos gases, l´ıquidos e s´olidos ´e a e) 0 forma como eles se comportam quando transferidos de um 5. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta frasco para outro. Ambos, gases e l´ıquidos s˜ao flu´ıdos; eles dois el´etrons na sua camada de valˆencia. A alternativa que escoam e podem ser bombeados de um lugar para outro. ao ´e um flu´ıdo e mant´em tanto sua indica a f´ormula de um ´ oxido e de cloreto desse metal, res- Um s´olido, por´em, n˜ forma quanto seu volume. As for¸cas inter-moleculares de pectivamente ´e: um g´ a s s˜ a o t˜ a o fracas que as mol´eculas podem facilmente a) M2 O − M2 Cl superar essa for¸ c a e expandir para encher o recipiente. O b) M2 O − M Cl que n˜ a o acontece num s´ o lido, cujas for¸cas atrativas mant´em c) M O2 − M Cl2 as mol´ e culas mais ou menos firmes num lugar, de modo que d) M O − M Cl2 elas n˜ a o podem se mover umas em torno das outras. e) M O − M Cl4 6. (UFSC) Na mol´ecula H — O — O — H, existe: a) nenhuma liga¸ca˜o iˆonica b) trˆes liga¸co˜es co-valentes c) trˆes liga¸co˜es sigmas d) trˆes liga¸co˜es iˆonicas e) duas liga¸co˜es met´alicas Qu´ımica Aula 5 A Estrutura da Mat´ eria Tens˜ ao Superficial Num l´ıquido cada mol´ecula move-se sempre sob influˆencia das mol´eculas vizinhas. As mol´eculas na superf´ıcie de um certo recipiente sentem uma atra¸ca˜o na dire¸ca˜o do interior do l´ıquido. Para uma mol´ecula chegar a superf´ıcie ela deve superar esta atra¸ca˜o. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, ent˜ ao deve-se realizar trabalho para lev´a-las at´e a superf´ıcie. Portanto, tornar a superf´ıcie de um l´ıquido maior requer um gasto de energia e a quantidade de energia necess´aria ´e ent˜ ao a tens˜ao superficial. Propriedades Gerais Evapora¸ c˜ ao De acordo com a teoria cin´etica molecular, todas as formas de mat´eria s˜ao compostas de part´ıculas pequenas e que se movem rapidamente. H´ a duas raz˜ oes principais por que os gases, l´ıquidos e s´olidos diferem tanto uns dos outros. Uma ´e a rigidez do empacotamento das part´ıculas e outra ´e a intensidade das for¸cas atrativas entre elas. Podemos listar como propriedades influenciadas por estas duas raz˜ oes o seguinte: Num l´ıquido ou num s´olido, assim como num g´ as, as mol´eculas est˜ ao constantemente sofrendo colis˜oes, dando assim origem a uma distribui¸ca˜o de velocidades moleculares individuais e, evidentemente, de energias cin´eticas. se algumas dessas mol´eculas possu´ırem energia cin´etica suficiente para superar as for¸cas atrativas dentro do l´ıquido ou do s´olido, elas poder˜ ao escapar atrav´es da superf´ıcie para o estado gasoso – elas evaporam. No l´ıquido existem trˆes fatores que influenciam na velocidade de evapora¸ca˜o: a temperatura, a ´area superficial e a intensidade das atra¸co˜es superficiais. Compressibilidade Num g´ as, as mol´eculas est˜ ao bastante separadas, de forma que h´ a muito espa¸co vazio dentro do qual elas podem ser comprimidas, por isso os gases s˜ao bastante compress´ıveis. Entretanto, as mol´eculas num l´ıquido ou s´olido est˜ ao rigidamente empacotada se h´ a muito pouco espa¸co vazio entre elas, sendo ent˜ ao virtualmente incompress´ıveis. For¸ cas de Atra¸ c˜ ao Inter-moleculares As atra¸co˜es dipolo-dipolo s˜ao, normalmente, consideravelmente mais fracas do que as liga¸co˜es iˆonicas ou co-valentes. A sua for¸ca tamb´em diminui muito rapidamente `a medida Qu´ımica – Aula 5 que a distˆancia entre os dipolos aumenta, de forma que a distˆancia entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito entre as mol´eculas bastante afastadas de um g´ as ´e muito menor do que entre mol´eculas fortemente compactadas num ´ por isso que as mol´eculas de um l´ıquido ou num s´olido. E g´ as comportam-se quase como se n˜ ao houvesse atra¸ca˜o nenhuma entre elas. 133 onde n ´e o n´ umero de mols do g´ as. Assim, a lei de GayLussac ´e facilmente compreendida, uma vez que os volumes dos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas raz˜ oes que os coeficientes na equa¸ca˜o balanceada. O Mol Sabemos que os ´atomos reagem para formar mol´eculas, mantendo entre si raz˜ oes simples de n´ umeros inteiros. Os Pontes de Hidrogˆ enio ´atomos de hidrogˆenio e oxigˆenio, por exemplo, combinamAcontece entre mol´eculas muito polares, onde a diferen¸ca se numa raz˜ ao de 2 para 1 a fim de formar a ´agua, H2 O. de eletronegatividade ´e muito acentuada, tendo H numa Entretanto ´e imposs´ıvel trabalhar com os ´atomos individudas extremidades da “ponte”. No estado l´ıquido h´ a pon- almente, devido `as suas dimens˜oes min´ usculas. Assim, em tes de hidrogˆenio entre mol´eculas de ´ agua. Como h´ a movi- qualquer laborat´orio da vida real, devemos aumentar o tamento das mol´eculas, as pontes de hidrogˆenio se quebram manho destas quantidades at´e o ponto em que possamos e se restabelecem em seguida. No estado s´olido as pontes vˆe-las e pes´a-las. de hidrogˆenio entre as mol´eculas de ´ agua s˜ao fixas e dire- Infelizmente, por exemplo, uma d´ uzia de ´atomos ou cionadas segundo um ˆ angulo de 104, 5◦ entre suas liga¸co˜es. mol´eculas ´e ainda uma quantidade muito pequena para se Devido `a dire¸ca˜o das pontes de hidrogˆenio na ´ agua s´olida, trabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior ficam espa¸cos vazios entre as mol´eculas, respons´ aveis pelo ainda. A “d´ uzia de qu´ımico”chama-se mol (unidade mol). aumento de volume ao congelar. Ele ´e composto de 6, 022 × 1023 objetos. Ent˜ ao: For¸ ca de Van der Waals (ou de London) Essa for¸ca pode aparecer entre ´ atomos de um g´ as nobre (por exemplo, h´elio l´ıquido) ou entre mol´eculas apolares (CH4 , CO2 ). O gelo seco quando sublima, passa do estado s´olido para o estado gasoso, rompendo as for¸cas de Van der Waals e liberando as mol´eculas das influˆencias das outras. S˜ ao as for¸cas inter-moleculares, tipo Van der Waals, que justificam a possibilidade de liquefazer os gases nobres. As mol´eculas podem se unir atrav´es de polariza¸ca˜o induzida temporariamente. Os Gases 1 d´ uzia = 12 objetos 1 mol = 6, 02 × 1023 objetos O Volume Molar ´ o volume ocupado por um mol de qualquer g´ E as em condi¸co˜es normais de temperatura e press˜ ao (CNTP). CNTP: • temperatura de 0◦ C ou 273 K; • press˜ ao de 1 atm ou 760 mmHg). Verifica-se experimentalmente que o volume molar ´e de Muitos gases s˜ao capazes de sofrer rea¸co˜es qu´ımicas uns com 22, 4 l (CNTP). ao: outros. Observa¸co˜es experimentais feitas por Gay-Lussac Conclus˜ formaram a base da Lei de Combina¸ c˜ ao dos Volumes M M g → 6, 02 × 1023 mol´eculas → 22, 4 l. A Lei de Combina¸ c˜ ao de Volumes os volumes das substˆ ancias gasosas que s˜ ao produzidas e consumidas numa rea¸ c˜ ao qu´ımica est˜ ao numa raz˜ ao de n´ umeros inteiros pequenos, desde que os volumes sejam medidos nas mesmas condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao. A importˆ ancia das observa¸co˜es de Gay-Lussac foi posteriormente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propˆ os que agora ´e conhecido como princ´ıpio de Avogadro. O Princ´ıpio de Avogadro Observe que 1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000 Pense um Pouco! • Vocˆe tem no¸ca˜o de como funciona um freio de autom´ovel? Ou que um freio tem em comum com o assunto que estamos tratando? • Dˆe exemplos de elementos qu´ımicos s´olidos que evaporam, sem que haja fus˜ao. sob condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao constantes, volumes iguais de gases cont´ em n´ umeros iguais de Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao mol´ eculas. Uma vez que n´ umeros de iguais de mol´eculas significam n´ umeros iguais de mols, o n´ umero de mols de qualquer g´ as 1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de s´odio, o n´ umero de ´atomos existentes ser´a igual a (N a = 23): est´ a relacionado com o seu volume: a) 6 × 1022 V ∝n b) 3 × 1023 134 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC c) 6 × 1023 d) 3 × 1022 e) 1023 2. (ACAFE-00) Qual destas liga¸co˜es ´e mais fraca? a) Eletrovalente b) Co-valente c) Ponte de hidrogˆenio d) Van der Waals e) Met´ alica 3. (PUC) As pontes de hidrogˆenio aparecem: a) quando o hidrogˆenio est´ a ligado a um elemento muito eletropositivo b) quando o hidrogˆenio est´ a ligado a um elemento muito eletronegativo c) em todos os compostos hidrogenados d) somente em compostos inorgˆ anicos e) somente em ´acidos de Arrhenius Exerc´ıcios Complementares 4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2 ; 1 litro de CO2 ; e 1 litro de N H3 , todos estes gases nas CN T P em recipientes separados. O recipiente que possui maior n´ umero de mol´eculas ´e o que cont´em: a) He b) H2 c) CO2 d) N H3 e) o n´ umero de mol´eculas ´e o mesmo em cada um dos quatro recipientes. 5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebuli¸ca˜o da ´ agua, do alcool et´ılico e do fluoreto de hidrogˆenio s˜ao explicados: ´ a) atrav´es das pontes de hidrogˆenio inter-moleculares b) pelas macro-mol´eculas formadas c) atrav´es de for¸cas de Van der Waals d) pelas liga¸co˜es co-valentes dativas que se formam entre mol´eculas destes compostos e) atrav´es das pontes de hidrogˆenio intra-moleculares 6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 mol de oxigˆenio mais 3 × 1022 mol´eculas de oxigˆenio mais 3 g de oxigˆenio? Dado: M MO = 16 g. a) 11, 8 g b) 15, 6 g c) 7, 8 g d) 32 g e) 34 g Qu´ımica Aula 6 Teoria Cin´ etica dos Gases — www.mundofisico.joinville.udesc.br Ec ∝ T onde Ec = energia cin´etica T = temperatura de Kelvin G´ as Ideal Um g´ as ´e considerado perfeito (ideal) quando obedece `as seguintes condi¸co˜es: • No estado gasoso o movimento das mol´eculas ocorre de maneira cont´ınua e ca´otica, descrevendo trajet´orias retil´ıneas; • O volume da mol´ecula ´e desprez´ıvel em rela¸ca˜o ao volume do recipiente que a cont´em; • Uma mol´ecula n˜ ao sente a presen¸ca da outra (n˜ao h´ a intera¸ca˜o, for¸cas de Van der Waals, entre as mol´eculas); • Os choques entre as mol´eculas, se ocorrerem, s˜ao perfeitamente el´asticos (a mol´ecula n˜ ao ganha nem perde energia cin´etica) G´ as Real Um g´ as real se aproxima do comportamento de um g´ as perfeito `a medida que se torna mais rarefeito (diminui o n´ umero de mol´eculas) e se encontra a baixa press˜ ao e a alta temperatura. Leis dos Gases Ideais O estado de um g´ as ´e definido quando sabemos sua press˜ ao, temperatura, e volume Essas grandezas s˜ao as vari´aveis de estado de um g´ as e s˜ao inter-dependentes. Se mantivermos constante uma de suas vari´aveis, poderemos estudar de que maneira variam as outras. Transforma¸ c˜ ao Mariotte) Isot´ ermica (Lei de Boyle- a uma temperatura constante, o volume ocupado por uma quantidade fixa de g´ as ´ e inversamente proporcional ` a press˜ ao aplicada. Isso pode ser expresso matematicamente como: V ∝ 1 P (3) A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade pela introdu¸ca˜o de uma constante de proporcionalidade. Assim, 1 P P V = constante V ∝ p1 V1 = p2 V2 As mol´eculas de um g´ as ocupam o volume do recipiente que as cont´em. A energia que mant´em as mol´eculas de um Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos a g´ as em movimento ´e a energia cin´etica, que ´e diretamente press˜ ao, o volume diminui; se diminuirmos a press˜ ao o voproporcional a temperatura absoluta (Kelvin). lume aumenta. Qu´ımica – Aula 6 135 Transforma¸ c˜ ao Isob´ arica (Lei de Charles) Casos Particulares ` a press˜ ao constante, o volume de uma dada quantidade de um g´ as ´ e diretamente proporcional ´ a sua temperatura absoluta. Escrevendo esta Lei matematicamente, temos: V ∝T (4) Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearranjando, obtemos V = constante T V1 V2 = T1 T2 • Se n e T forem constantes na equa¸ca˜o (12) teremos a lei de Boyle-Mariotte; • Se n e P forem constantes na equa¸ca˜o (12) teremos a lei de Charles-Gay Lussac; • Se P e T forem constantes na equa¸ca˜o (12) teremos o Princ´ıpio de Avogadro; A proporcionalidade na equa¸ca˜o (12) pode ser transformada (5) numa igualdade, pela introdu¸ca˜o de uma constante de proporcionalidade, R, chamada de constante universal dos (6) gases. Da´ı, temos: Desta forma, se a press˜ ao ´e constante, ´ a medida que aumentarmos a temperatura o volume ocupado pelo g´ as aumentar´ a; diminuindo a temperatura, o volume diminuir´ a. nRT P P V = nRT V = ou (13) (14) onde R = 8, 31J/mol · K. Transforma¸ c˜ ao Isoc´ orica, Isom´ etrica ou IsovoA equa¸ca˜o (14) ´e obedecida por apenas um g´ as ideal hilum´ etrica (Lei de Charles-Gay Lussac) pot´etico e ´e uma express˜ao matem´atica da lei dos gases a volume constante, a press˜ ao ´ e diretamente proporcional ` a temperatura. Matematicamente temos que: P ∝T (7) ´ tamb´em chamada equa¸ca˜o de estado do g´ ideais. E as ideal, porque relaciona as vari´aveis (P, V, n, T ) que especificam as propriedades f´ısicas do sistema. Lei das Press˜ oes Parciais de Dalton ou tamb´em, ´ simplesmente a press˜ E ao que o g´ as exerceria se estivesse sozinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura na mesma temperatura. Segundo as observa¸co˜es de John P = constante (8) Dalton, a press˜ ao total ´e igual `a soma das press˜ oes parciT ais de cada g´ as, na mistura. Esta afirmativa ´e conhecida p1 p2 = (9) como a lei das press˜ oes parciais de Dalton que pode T1 T2 ser expressa por: Se aumentarmos a temperatura, a press˜ ao aumentar´ a; se diminuirmos a temperatura, a press˜ ao diminuir´ a. PT = pa + pb + pc + · · · (15) Lei Combinada dos Gases As equa¸co˜es correspondentes ` as leis de Boyle-Mariotte e Charles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma u ´ nica equa¸ca˜o, que ´e u ´ til para muitos c´ alculos. Esta ´e Pf Vf Pi Vi = Ti Tf (10) Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinada dos gases verifica-se somente se a quantidade de g´ as for constante. Onde o g´ as deve estar submetido ` as CN T P . Lei dos Gases Ideais onde PT ´e a press˜ ao total da mistura e pa , pb , pc s˜ao as press˜ oes parciais dos gases a, b c. Press˜ao parcial (P ′ ) ´e o produto da fra¸ca˜o molar pela press˜ ao total dos gases. ′ Pg´ as · Ptotal mistura as = Xg´ (16) Volumes Parciais Volume parcial ´e o volume que o g´ as ocuparia estando sozinho e sendo submetido `a press˜ ao total, na temperatura da mistura. O volume total ´e a soma dos volumes parciais de cada g´ as, na mistura. Esta afirmativa ´e conhecida como a lei de Amagat. Discutimos, assim, trˆes rela¸co˜es (3, 4, 7) de volume a que um g´ as ideal obedece. O volume parcial (V) ´e dado pelo produto de fra¸ca˜o molar Podemos combin´a-las, para obter   do g´ as pelo volume total da mistura. 1 (T ) ou (11) V ∝n P   nT ′ (12) V ∝ Vg´ (17) as · Vtotal mistura P as = Xg´ Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — ca n Co ca o Fu o ao ac Sublimacao ca So nsa lid ifi de Liquido riz po Va Uma substˆancia pura pode apresentar-se sob trˆes formas de agrega¸ca˜o da mat´eria: s´ olido, l´ıquido, gasoso (aceita-se o quarto estado da mat´eria: plasma). Cada fase depende das condi¸co˜es f´ısicas de press˜ ao e temperatura. o Mudan¸cas de Estado F´ısico www.mundofisico.joinville.udesc.br sa 136 Solido Gasoso Fus˜ ao e Solidifica¸c˜ ao Na fase s´olida, as mol´eculas de uma substˆ ancia est˜ ao fortemente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino. Fornecendo calor a um s´olido, as mol´eculas absorver˜ao a energia, aumentando a amplitude de sua vibra¸ca˜o, rompendo o reticulado cristalino e passando para a fase l´ıquida, onde as mol´eculas est˜ ao ligadas entre si com menor intensidade do que na fase s´olida. Sublimacao Inversa Figura 1: Mudan¸cas de estados: s´ olido, l´ıquido e g´ as. 2 p Liquido P C • A temperatura em que ocorre a passagem de fase s´ olida para a l´ıquida ´ e denominada ponto de fus˜ ao. Solido P 3 T Gas • A temperatura em que ocorre a passagem de fase l´ıquida para a s´ olida ´ e denominada ponto de solidifica¸ca ˜o. Vapor 1 • Nas substˆ ancias puras, o ponto de fus˜ ao e solidifica¸ c˜ ao coincidem, se a press˜ ao for mantida constante. θ Figura 2: Diagrama de fase t´ıpico. Vaporiza¸c˜ ao e Condensa¸c˜ ao A vaporiza¸ca˜o ´e a passagem da fase l´ıquida para a gasosa. O ponto de equil´ıbrio entre as trˆes fases ´e denominado Existem trˆes maneiras de se efetuar a vaporiza¸ca˜o: ponto triplo ou tr´ıplice (PT ). 1. Vaporiza¸ c˜ ao t´ıpica ou ebuli¸ c˜ ao: mudan¸ca de fase a determinada press˜ ao e temperatura. Por exemplo, a agua entra em ebuli¸ca˜o a 100 ◦ C e ` ´ a press˜ ao de 1 atm. 2. Evapora¸ c˜ ao: fenˆomeno que se observa a qualquer temperatura, atrav´es da superf´ıcie exposta ao meio ambiente. Isso ocorre porque as mol´eculas com maior velocidade escapam atrav´es da superf´ıcie livre do l´ıquido. Ao ocorrer uma evapora¸ca˜o, a temperatura do l´ıquido diminui pois ao escaparem as mol´eculas com maior velocidade, diminui a energia cin´etica. Quanto maior a ´area livre maior a evapora¸ca˜o. 3. Calefa¸ c˜ ao: fenˆomeno que ocorre a temperaturas ´ obacima da temperatura normal de vaporiza¸ca˜o. E serv´ avel, por exemplo, ao se deixar cair uma gota d’´agua numa chapa de metal, a uma temperatura acima de do ponto de vaporiza¸ca˜o. p 2 Liquido P C Solido P 3 T Gas Vapor 1 θ Figura 3: Diagrama de fase da a ´gua. A condensa¸ca˜o ´e a passagem de uma substˆ ancia da fase Para o di´oxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo ´e definido gasosa para a l´ıquida. Ela pode ocorrer, tamb´em, `a tem- por: peratura ambiente. Por exemplo, ao se colocar ´ agua gelada • temperatura: −56, 6 ◦ C num copo, observa-se a condensa¸ca˜o do vapor de ´ agua do ar na sua parede externa. • press˜ ao: 5 atm Diagrama de Fases A ´agua tem o seu ponto triplo definido por: Para o di´oxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo ´e definido Colocando-se em um u ´ nico diagrama, as curvas de equil´ıbrio por: entre as fases de uma substˆ ancia pura, tem-se o diagrama de fases. • temperatura: 0, 01 ◦ C Qu´ımica – Aula 7 • press˜ ao: 4, 58 mmHg 137 d) corros˜ao de uma chapa de ferro e) evapora¸ca˜o da ´agua do mar Sublima¸c˜ ao 5. (ACAFE) Do petr´ oleo podemos extrair v´arios materiais importantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a paAbaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma rafina, o metano e outros. Sobre o petr´ oleo e seus derivados curva denominada curva de sublima¸ c˜ ao, que representa n˜ ao podemos afirmar: as condi¸co˜es de press˜ ao e temperatura nas quais uma a) a gasolina ´e uma mistura de alcanos substˆ ancia pode passar diretamente da fase s´olida para fase b) GLP ´e a sigla para G´as Liquefeito de Petr´ oleo e ´e basicagasosa ou vice-versa sem se transformar em l´ıquido. mente uma mistura homogˆenea dos gases propano e butano c) a parafina ´e uma mistura de alcanos superiores ou seja de grandes massas moleculares Pense um Pouco! d) o petr´ oleo ´e uma mistura heterogˆenea e) o g´ as metano principal componente do g´ as natural, conhecido como g´ a s do lixo, s´ o pode ser obtido a partir do • Por que dentro de uma panela de press˜ ao, ´e poss´ıvel C petr´ o leo manter-se a ´agua na fase l´ıquida acima dos 100 ? Quais s˜ao os benef´ıcios que isso nos traz? 6. (ACAFE) Algumas substˆancias em contato com a pele, ´ poss´ıvel ferver ´ ao uma sensa¸ca˜o de estarem frias. Dentre elas podemos • E agua ` a temperatura ambiente? nos d˜ destacar o ´eter comum. Isso ocorre por que: Como? a) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo exot´ermico b) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao endot´ermico c) o ´eter reage endotermicamente com substˆancias da pele 1. (MACK-SP) Assinale a afirma¸ca˜o correta: d) o ´eter sublima a) O ponto de fus˜ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´ agua aumentam e) o ´eter ´e resfriado com o aumento da press˜ ao. b) O ponto de fus˜ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´ agua diminuem com o aumento da press˜ ao. c) O ponto de fus˜ao da ´ agua diminui e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´ agua aumentam com o aumento da press˜ ao. ´ d) O ponto de fus˜ao da ´ agua aumenta e o ponto de ebuli¸ca˜o Acidos e Bases da ´ agua diminui com o aumento da press˜ ao. e) O ponto de fus˜ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´ agua n˜ ao s˜ao Nesta aula ser˜ao apresentados dois conceitos qu´ımicos funalterados com o aumento da press˜ ao. damentais: ´acido e base. Qu´ımica Aula 7 2. (STA. CASA-SP) Quando vocˆe assopra a sua pele u ´ mida de ´ agua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de: a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele b) a pele est´ a mais fria do que a ´ agua c) a ´ agua ´e normalmente mais fria do que o ar d) o sopro ´e mais frio do que a ´ agua e) a ´ agua absorve calor da pele para evaporar-se 3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina s˜ao colocadas nos roupeiros para combater as tra¸cas pois elas danificam as roupas. Com o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa disso deve-se: a) a sua liquefa¸ca˜o b) ao consumo da naftalina pelas tra¸cas c) a sua condensa¸ca˜o d) a sua fus˜ao e) a sua sublima¸ca˜o Exerc´ıcios Complementares ´ Acidos e Bases de Arrhenius Fun¸co˜es Qu´ımicas s˜ao grupos de substˆancias com propriedades semelhantes. As fun¸co˜es inorgˆ anicas s˜ao quatro: ´acidos, bases, sais e ´oxidos. ´ Acidos s˜ao compostos com sabor azedo (vinagre, frutas c´ıtricas), que reagem com bases formando sal e ´agua. Bases s˜ao compostos de sabor adstringente (leite de magn´esia - M g(OH)2 ) que reagem com ´acidos dando sal e ´agua. ´ Acidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos substˆancias que possuem duas colora¸co˜es, dependendo do meio em que se encontram. Indicador Tornassol Fenolftale´ına ´ Meio Acido Vermelho Incolor Meio B´ asico Azul Vermelho Defini¸ co ˜es de Arrhenius 4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica um ´ Acido ´e qualquer composto molecular que em solu¸ca˜o fenˆomeno qu´ımico: aquosa sofre ioniza¸ca˜o liberando como u ´ nico c´ ation o ´ıon a) dissolu¸ca˜o de cloreto de s´odio em ´ agua H + ou H3 O+ (hidroxˆonio ou hidrˆonio). b) fus˜ao da aspirina Exemplos c) destila¸ca˜o fracionada de ar l´ıquido 138 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Estabilidade • Inst´ avel: s´o existem dois ´acidos inst´aveis; HCl + H2 O → H + + Cl− HN O3 + H2 O → H + + N O3− H2 SO4 + H2 O → 2H + + SO4−2 H2 CO3 → H2 O + CO2 H2 SO3 → H2 O + SO2 H3 P O4 + H 2 O → 3H + + P O4−3 Dizemos que o ´acido, que era um composto co-valente, na presen¸ca de ´agua ionizou, e formou ´ıons. Grau de ioniza¸ca˜o (α) ´e a raz˜ ao do n´ umero de mol´eculas ionizadas para um total de mol´eculas inicialmente dissolvidas em ´ agua. A for¸ca de um ´ acido est´ a associada ao maior ou menor grau de ioniza¸ca˜o do mesmo. • Est´ aveis: todos com excess˜ ao dos ´acidos carbˆonico e sulfuroso. For¸ ca • Para Hidr´ acidos: – Fortes: HCl, HI, HBr – Moderado ou Semi-Forte: HF n.o de mol´eculas ionizadas α= total de mol´eculas dissolvidas – Fracos: HCN, H2 S • Para Oxi´ acidos: m = N0 − NH+ Caracter´ısticas – Fraco: quando m = 0; • Apresentam sabor azedo; – Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1; • Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftale´ına de vermelha para incolor; – Forte: quando m = 2; • Conduzem corrente el´etrica em solu¸ca˜o aquosa; – Exemplos: – Muito Forte: quando m = 3. HCl → m = 0 • Quando adicionados ao m´armore ou carbonatos, produzem uma efervescˆencia com libera¸ca˜o de g´ as carbˆonico. fraco H2 CO3 → m = 1 moderado H2 SO4 → m = 2 forte HClO4 → m = 3 muito forte Classifica¸ c˜ ao Em geral, pode-se classificar os ´ acidos quanto ` a: ´ Nomenclatura dos Acidos Presen¸ ca de Oxigˆ enio acidos • Hidr´ acidos: n˜ ao apresentam oxigˆenio na mol´ecula; Hidr´ HCl, HCN, H2 S ´ Nomenclatura: Acido (nome do elemento)´ıdrico. • Oxi´ acidos: apresentam oxigˆenio na mol´ecula. Quando ionizado, um hidr´acido produz ao lado do c´ ation HN O3 , H2 SO4 , H3 P O4 H + ou H3 O+ , um ˆanion com termina¸ca˜o eto. Conforme exemplo abaixo: N´ umero de Hidrogˆ enios Ioniz´ aveis ´ HCl: Acido Clor´ıdrico ⇋ H + +Cl− : Cloreto. (na presen¸ca de H2 O) • Mono-´ acidos: apenas um hidrogˆenio ioniz´ avel; HCl, HCN, HN O3 • Di´ acidos: dois H2 S, H2 SO4 , H2 CO3 hidrogˆenios ioniz´ aveis; • Tri´ acidos: trˆes hidrogˆenios ioniz´ aveis. H3 SO3 , H3 P O4 Mas tome cuidado: H3 P O2 → mono-´ acido (um hidrogˆenio ioniz´ avel) H3 P O3 → di´acido (dois hidrogˆenios ioniz´ aveis) Volatilidade • Vol´ atil: todos os hidr´acidos; • Fixo: todos os oxi´ acidos. Oxi´ acidos ´ Nomenclatura: Acido (nome do elemento)  oso(menos oxigenado) ico(mais oxigenado) Conforme podemos ver no exemplo abaixo: ´ H2 SO3 : Acido Sulfuroso ⇋ 2H + + SO3−2 : Sulfito. (na presen¸ca de H2 O) ´ H2 SO4 : Acido Sulf´ urico ⇋ 2H + + SO4−2 : Sulfato. (na presen¸ca de H2 O) Bases Bases ou Hidr´ oxidos s˜ao substˆancias que, ao serem dissolvidas em ´agua, sofrem dissocia¸ca˜o iˆonica, originando o “ˆ anion”OH − , denominado hidroxila ou oxidrila. Os Qu´ımica – Aula 7 139 hidr´oxidos s˜ao compostos formados por um metal ou um ´ıon Base positivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissocia¸ca˜o ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de receber E iˆonica de algumas bases em solu¸ca˜o aquosa: um pr´oton na forma de H + . N aOH → N a+ + OH − +3 Exemplos − F e(OH)3 → F e + 3OH N H4 OH → N H4+ + OH − Caracter´ısticas das Bases • Apresentam sabor amargo; • Reagem com os ´acidos produzindo sal; • Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftale´ına de incolor para vermelha; • Conduzem corrente el´etrica em solu¸ca˜o aquosa; ´ HCl(Acido) + H2 O(Base) ⇋ + ´ H3 O (Acido) + Cl− (Base) (18) ´ N H3 (Acido) + H2 O(Base) ⇋ ´ N H4 (Acido) + OH − (Base) (19) ´ Par Conjugado Acido–Base Chamamos de par conjugado as esp´ecies qu´ımicas que diferem entre si por um H + . No exemplo (18) temos o seguinte par conjugado ´acido-base: • S˜ ao untuosas ao tato.  HCl − (´ acido forte)    (grande facilidade doar el´etrons)  Cl− − (base fraca)   (pequena facilidade de receber el´etrons) Classifica¸c˜ ao das Bases Classifica-se as bases quanto ` a: N´ umero de Hidroxilas (OH − ) Isso explica por que a rea¸ca˜o tende para o sentido direito, • Mono-base: possui apenas uma hidroxila. Exemplo: ou seja, da esquerda para direita. KOH; • Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Ca(OH)2 ; Exemplo: • Tribase: possui trˆes duas hidroxilas. Al(OH)3 ; Exemplo: Conceito de Lewis ´ Acido ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de aceitar E • Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo: um par de el´etrons atrav´es da liga¸ca˜o coordenada dativa. P b(OH)4 . Base ´ Solubilidade em Agua • Sol´ uveis: bases formadas pelas fam´ılias 1A, 2A e N H4 OH; • Insol´ uveis: todas as demais bases. For¸ ca • Forte: quando a base ´e dissolvida em ´ agua, ocorre dissocia¸ca˜o iˆonica quase que totalmente. Bases de metais alcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A); • Fraca: todas as demais bases. ´ Outros Conceitos de Acidos e Bases Conceitos de Br¨ onsted-Lowry ´ Acido ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de doar um E pr´oton na forma de H + . ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de doar um E par de el´etrons atrav´es da liga¸ca˜o coordenada dativa. Exemplo ´ AlCl3 (Acido) + : Cl− (Base) → AlCl4− Comparando Conceitos • Lewis: o mais geral; • Br¨ onnsted-Lowry: bem amplo; • Arrhenius: o mais limitado. • Um ´acido ou base de Arrhenius ser´a tamb´em de Br¨ onnsted-Lowry e de Lewis; • Um ´acido ou base de Br¨ onnsted-Lowry pode ou n˜ ao ser de Arrhenius, mas ser´a de Lewis; • Existem ´acidos e bases de Lewis que n˜ ao s˜ao de Br¨ onnsted-Lowry nem de Arhenius. 140 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Estequiometria ´ o c´ E alculo da quantidade de reagentes necess´arios e de produtos obtidos numa determinada rea¸ca˜o qu´ımica. Baseia-se nas Leis de Lavoisier (conserva¸ca˜o das massas), Proust (propor¸ca˜o das massas) e Gay Lussac (propor¸ca˜o de volumes). Fundamenta-se no fato de que a propor¸ca˜o de mols entre reagentes e produtos numa rea¸ca˜o ´e constante, dada pelos coeficientes estequiom´etricos. Outro fundamento do c´ alculo estequiom´etrico ´e a defini¸ca˜o de mol. O mol • Pesa: MMg (MM=Massa Molecular); • Possui: 6, 02 × 1023 mol´eculas; • Ocupa: 22, 4 l (g´as nas CNTP). Exemplo — www.mundofisico.joinville.udesc.br a) S˜ ao Paulo e Cubat˜ ao s˜ao exemplos de cidades onde a incidˆencia de chuvas ´acidas ´e bastante acentuada; b) Ocorre uma oxida¸ca˜o dos port˜ oes de ferro com uma intensidade bem maior que em regi˜oes distantes das regi˜oes industriais; c) As planta¸co˜es s˜ao bastante afetadas, pois a chuva diminui o pH do solo, retardando o crescimento das mesmas; d) A vegeta¸ca˜o pode vir a secar completamente, caso o per´ıodo das chuvas seja prolongado; e) N˜ ao ´e recomendada a utiliza¸ca˜o de port˜ oes de alum´ınio porque este ´e atacado pela chuva ´acida. 3. (FUVEST) Um elemento met´alico M forma um cloreto de f´ormula M Cl3 . A f´ormula de seu sulfato ´e: a) M2 SO4 b) M SO4 c) M2 (SO)3 d) M2 (SO4 )3 e) M (SO)3 Exerc´ıcios Complementares Dada a rea¸ca˜o de combust˜ ao da acetona: 4. (COMVESUMC) O ´acido que corresponde `a classifica¸ca˜o mono-´ acida, oxi´ acido, e tern´ario ´e: a) HN O3 Balanceando a equa¸ca˜o pelo m´etodo das tentativas, chega- b) H2 SO4 c) H3 P O4 remos aos seguintes coeficientes menores e inteiros: d) HCl e) HCN O C3 H6 O → CO2 + H2 O 1 C3 H6 O (1 mol) + 4 O2 (4 mols) → 5. O amon´ıaco usado para fins de limpeza ´e uma solu¸ca˜o aquosa de amˆ onia que cont´em ´ıons: a) hidroxila b) sulfato Pense um Pouco! c) nitrato d) c´ alcio e) s´ o dio • O que vocˆe entende por chuva ´ acida? Ela pode trazer algum malef´ıcio `a vida humana? 6. Temos a seguinte equa¸ca˜o: • Enumere algumas substˆ ancias ´ acidas e b´ asicas de uso di´ario. 2O3 → 3O2 3 CO2 (3 mols) + 3 H2 O (3 mols) Os n´ umeros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equa¸ca˜o representam, respectivamente: a) coeficiente estequiom´etrico e n´ umero de ´atomos da mol´ e cula 1. Um tanque de autom´ ovel est´ a cheio com 60 litros de umero de mol´eculas alcool hidratado (96% ´ ´ alcool), cuja densidade ´e de 0, 9 g/ml. b) coeficiente estequiom´etrico e n´ c) n´ u mero de mol´ e culas e coeficiente estequiom´etrico Dada sua equa¸ca˜o de combust˜ ao completa d) n´ umero de ´atomos da mol´ecula e coeficiente estequiom´etrico C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O e) n´ umero de mol´eculas e n´ umero de ´atomos da mol´ecula indique: a) a massa da ´agua obtida ao queimar-se todo o ´ alcool do tanque; b) o volume de g´ as carbˆonico que sai do escapamento, supondo combust˜ ao completa. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Qu´ımica Aula 8 Solu¸c˜ oes Qu´ımicas 2. (ACAFE) Em regi˜ oes industriais o anidrido sulfuroso (SO2 ), resultante da queima de combust´ıveis f´ osseis, d´ a ori- Concentra¸ c˜ ao gem ` a chuva ´acida na atmosfera devido a sua oxida¸ca˜o e contato com a precipita¸ca˜o pluviom´etrica. Em rela¸ca˜o a es- Vocˆe j´a reparou, por exemplo, que numa dada quantidade de ´agua podemos dissolver quantidades menores ou maiores tas regi˜oes, a alternativa falsa ´e: Qu´ımica – Aula 8 141 de sal comum, desde que evidentemente, n˜ ao ultrapassemos Molaridade M o ponto de satura¸ca˜o. Concentra¸ca˜o em M ol/l ou Molaridade M ´e o quociente Pois bem, chama-se concentra¸ c˜ ao de uma solu¸ca˜o a toda e do n´ umero de mols do soluto pelo volume da solu¸ca˜o (em qualquer maneira de expressar a propor¸ca˜o existente numa litros). Sendo: dada solu¸ca˜o. Usaremos a seguinte conven¸ca˜o: ns → n´ umero de mols do soluto d → massa do soluto (g) ms → massa do soluto Ms → massa molar do soluto (g) msv → massa do solvente V → volume da solu¸ca˜o (l) mt → massa do solu¸ca˜o M → molaridade (mols) onde mt = ms + msv (20) T´ıtulo τ ´ o quociente de massa do soluto pela massa total da solu¸ca˜o E (soluto + solvente). T = ou ms msv ms τ= ms + msv (21) (27) ns = ms Ms (28) Equivalente-Grama ´ a massa molar do soluto dividida pela carga total do E c´ (22) ation ou do ˆanion de uma substˆancia. E= Porcentagem em Massa P M x (29) sendo ´ o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100) E pela massa total da solu¸ca˜o (soluto + solvente). ms × 100% mt ns V onde sendo o t´ıtulo uma grandeza adimensional. P = M= (23) M → massa molar x → carga do c´ ation ou ˆanion Para um ´acido: x → no de H + Para um base: x → no de OH − N´ umero de Equivalentes-Gramas onde a rela¸ca˜o entre porcentagem em massa e t´ıtulo ´e P = τ × 100% Concentra¸c˜ ao Comum C Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama da (24) substˆancia. ms (30) NE = E ´ o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volume Normalidade E da solu¸ca˜o (emlitros). ´ o n´ E umero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelo volume da solu¸ca˜o em litros. ms C= (25) V NE N= (31) V onde a rela¸ca˜o entre a concentra¸ca˜o comum, t´ıtulo e densidade da solu¸ca˜o ´e Observa¸ c˜ ao: a melhor maneira de se calcular a normalidade ´e a partir da molaridade, usando a express˜ao: C = d · τ · 1000 (26) N =M ·x (32) Onde: Resumo das Principais Equa¸c˜ oes C → Concentra¸ca˜o Comum (g/l) d → Densidade (g/ml) τ → T´ıtulo Rela¸ co ˜es das Massas m = m1 + m2 142 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao N´ umero de Mols n1 = m1 mol1 Densidade m V d= T´ıtulo m1 T = m Porcentagem em Massa P = 100 · m1 m Concentra¸ c˜ ao (g/l) C= m1 V M= n1 V Molaridade Molalidade (mol/kg) de solvente W = n1 m2 Concentra¸ c˜ ao em Equivalentes-Gramas N= Ne1 V N´ umero de Equivalentes-Gramas Ne1 = m E Equivalentes-Gramas E= mol x 1. (ACAFE) A massa aproximada de BaCl2 necess´aria para preparar 25 litros de solu¸ca˜o 0, 1 M deste sal ser´a: a) 208 g b) 520 g c) 260 g d) 416 g e) 71 g 2. (ACAFE) A ur´eia, N H2 CON H2 , ´e um produto do metabolismo de prote´ınas. Que massa de ur´eia ´e necess´aria para preparar 500 ml de uma solu¸ca˜o 0, 20 M ? a) 5, 1 g b) 12, 0 g c) 18, 0 g d) 24, 0 g e) 6, 0 g 3. (ACAFE) A concentra¸ca˜o de N aCl na ´agua do mar ´e de 0, 43 mol/l. O volume em l, de ´agua do mar que deve ser evaporado completamente para a produ¸ca˜o de 5 kg de sal de cozinha ´e aproximadamente: a) 12 l b) 25 l c) 40 l d) 200 l e) 430 l Exerc´ıcios Complementares 4. (ACAFE) Para uma solu¸ca˜o a 20 % em massa e densidade 4 g/ml, calcule a concentra¸ca˜o em g/l. a) 80 g/l b) 800 g/l c) 8 g/l d) 8000 g/l e) 400 g/l 5. (ACAFE) Uma gota de ´agua ocupa um volume aproximado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da ´agua ´e 1, 00 g/cm3 . O n´ umero de mol´eculas por gota de ´agua ser´a: a) 1, 67 × 1021 b) 1, 67 × 1023 c) 6, 00 × 1023 d) 6, 00 × 1021 e) 3, 00 × 1021 6. Uma solu¸ca˜o de AgN O3 a 1, 00 % em ´agua ´e utilizada para tratar os olhos de rec´em-nascidos. Sendo a densidade da solu¸ca˜o 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l ´e: Pense um Pouco! a) 1, 0 mol/l b) 0, 10 mol/l • Pense em poss´ıveis aplica¸co˜es dos conceitos apresenta- c) 20 mol/l dos at´e aqui, referentes a solu¸co˜es e cite alguns exem- d) 0, 5 mol/l plos. e) 0, 06 mol/l • Se fervermos uma solu¸ca˜o de ´ agua+sal, e a a´gua for evaporando, o que acontece com as propriedades da solu¸ca˜o (M , τ , P , etc)? Qu´ımica Aula 9 Qu´ımica – Aula 9 143 Equil´ıbrio Iˆ onico [HA] = n − x/V = n − nα/V = n(1 − α)/V ´ um equil´ıbrio qu´ımico em que aparecem ´ıons. Ocorre com E acidos bases e os sais, considerados eletr´ ´ olitos. Ka = nα/V ∗ nα/V [H + ] [A− ] = n(1−α) [HA] V nα ∗ nα V Ka = ∗ VV n(1 − α) Exemplos HCN ←→ H + + CN − α= no de moles dissociados no inicial de moles ou seja α = grau de dissocia¸ca˜o iˆonica A constante de ioniza¸ca˜o segue a Lei de Guldeberg-Waage. HCN ←→ H + + CN − [H + ].[CN ] Ka = [HCN ] Ka = nα2 V (1 − α) Ka = α2 Cn 1−α onde Cn ´e a concentra¸ca˜o molar ou molaridade. Esta express˜ao representa a Lei de Dilui¸ca˜o de Wilhelm Ostwald (1853-1932), qu´ımico alem˜ ao. Vejamos como interpretar essa lei. Considerando uma dilui¸ca˜o por acr´escimo de solvente, temos que, se o volume aumenta, devido ao acr´escimo de solvente, a concentra¸ca˜o em quantidade de mat´eria diminui: Ka = constante de dissocia¸ca˜o iˆonica para ´ acidos, Kb = para bases pKa = −logKa Ka = 4, 0 × 10−10 pKa = −log(4, 0 × 10−10 ) pKa = 9, 4 n/V = Cn −→ V aumenta ←→ Cn diminui admitindo um aumento indefinido de volume, ou seja, V tendendo ao infinito, Cn vai tender a zero. Ent˜ ao, na express˜ ao da lei, se Cn tende `a zero, Cn α2 tamb´em tende `a zero: Quanto maior α → maior ioniza¸ca˜o → maior ´e o numerador Cn α2 = Cn α2 = Ka (1 − α) Ka = na express˜ao da constante → maior ´e K. 1−α A partir da express˜ao de Ka , quanto mais ionizado o ´acido se C α2 tende a zero, ent˜ ao Ka (1 − α) tamb´em tende `a zero n se encontra: (K ´e constante). Logo: a - maior a quantidade de ´ıons em solu¸ca˜o; - menor a quantidade de ´ acido n˜ ao-ionizado; Ka (1 − α) tende a 0 −→ 1 − α tende a zero −→ −α tende a -1 −→ α tende a 1. O fato de o grau de ioniza¸ca˜o tender a 1 significa que a ioniza¸ca˜o tende a ser total (100%), ou seja, o n´ umero de mol´eculas ionizadas tende a ser igual ao de mol´eculas adiciA for¸ca de um ´acido ´e medida pela sua capacidade de pro- onadas: α = x/n, x = nα, x = n, (α = 1) duzir ´ıons H + em solu¸ca˜o aquosa. Portanto, quanto maior “O acr´escimo de solvente de uma solu¸ca˜o, ou seja, uma dio valor de Ka : lui¸ca˜o, provoca um aumento do grau de ioniza¸ca˜o”. - maior a capacidade de ioniza¸ca˜o do ´ acido; - maior o valor de Ka . - maior quantidade de ´ıons H + produzida; Vocˆ e Sabia? - maior ´e a for¸ca do ´ acido. O odor do peixe ´e causado pela presen¸ca de aminas provenientes da decomposi¸ca˜o de algumas prote´ınas do peixe. Estes compostos orgˆ anicos s˜ao b´ asicos e, portanto, para retirar o Lei da Dilui¸c˜ ao de Ostwald seu cheiro desagrad´ avel das m˜aos, basta adicionar um ´acido, Vamos ver o que ocorre com o grau de ioniza¸ca˜o (α) ao como o vinagre ou lim˜ao. Uma das aminas causadoras do fazermos uma dilui¸ca˜o da solu¸ca˜o por acr´escimo de solvente. odor ´e a metilamina, que apresenta o seguinte equil´ıbrio: Para isso, consideremos a ioniza¸ca˜o de um ´ acido HA: − CH3 N H2 +H2 O ←→ CH3 N H3+ + |OH {z } | {z } + Base Metilamina HA(aq) ←→ H(aq) + A− (aq) In´ıcio Equil´ıbrio n n-x α= 0 x 0 x no de mol´ eculas ionizadas o n de mol´ eculas adicionadas x/n = x = αn [H + ] = x/V = nα/V [A− ] = x/V = nα/V A adi¸ca˜o de ´acidos desloca o equil´ıbrio para a direita, eliminando o odor causado pela amina. Pense um Pouco! • O grau de dissocia¸ca˜o iˆonica do ´acido ac´etico, em solu¸ca˜o 0,02 molar, ´e de 3% a 25 ◦ C. Calcule a constante de ioniza¸ca˜o α desse ´acido `a 25 ◦ C. 144 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao c) a adi¸ca˜o do lim˜ao (H + ) neutraliza o ´ıon, deslocando o equil´ıbrio para a esquerda, formando solu¸ca˜o aquosa. d) a adi¸ca˜o do lim˜ao (H + ) neutraliza o ´ıon OH − , deslo1. (Acafe-SC) Assinale a alternativa que corresponde ao cando o equil´ıbrio para a esquerda, retirando a metilamina. grau de ioniza¸ca˜o do ´acido cian´ıdrico, HCN, numa solu¸ca˜o e) a adi¸ca˜o do lim˜ao (H + ) neutraliza o ´ıon OH − , deslocando 0,01 molar, sabendo que a sua constante de ioniza¸ca˜o ´e de o equil´ıbrio para a esquerda, diminuindo a concentra¸ca˜o de 4 × 10−10 (considerar 1 − α = 1). H2 O. a) 0, 02 b) 2 × 104 c) 2 × 10−4 d) 4 × 10−2 e) 4 × 10−4 Qu´ımica Aula 10 2. (UFSM-RS) Considere as constantes de ioniza¸ca˜o dos acidos I, II e III: ´ KI = 7, 0 × 10−5 , KII = 1, 0 × 10−7 , KIII = 2, 0 × 10−9 Colocando-se em ordem crescente de acidez, tem-se: a) I, II e III b) I, III e II c) II, III e I d) III, I e II e) III, II e I 3. (Cefet-PR) A constante de ioniza¸ca˜o do ´ acido ac´etico, a 25 ◦ C, numa solu¸ca˜o com 2 × 10–2 molar, sabendo que nessas condi¸co˜es o seu grau de ioniza¸ca˜o ´e 30%, ´e: a) 3, 2 × 10−4 b) 2, 5 × 10−3 c) 3, 7 × 10−2 d) 3, 1 × 10−1 e) 1, 4 × 10−3 Exerc´ıcios Complementares ´ Equil´ıbrio Iˆ onico da Agua e pH ´ Equil´ıbrio Iˆ onico da Agua Medidas experimentais de condutibilidade el´etrica e outras evidˆencias mostram que a ´agua, quando pura ou quando usada como solvente, se ioniza numa extens˜ao muito pequena, originando a condi¸ca˜o de equil´ıbrio: + − H2 O(l) + H2 O(l) ⇐⇒ H3 O(aq) + OH(aq) ou simplesmente − H2 O(l) ⇐⇒ H +(aq) +OH(aq) As concentra¸co˜es de ´ıons H + e OH − presentes no equil´ıbrio variam com a temperatura, mas ser˜ao sempre iguais entre si. A 25 ◦ C, as concentra¸co˜es em mol/L de H + e OH − na ´agua pura s˜ao iguais entre si e apresentam o valor 10−7 mol ·L−1 . ´agua pura: [H + ] = [OH − ] = 10−7 mol · L−1 ´ 4. (PUC-SP) Na temperatura ambiente, a constante de Produto Iˆ onico da Agua (Kw ) ioniza¸ca˜o do ´acido ac´etico ´e 1, 80 × 10−5 . Determine a molaridade da solu¸ca˜o onde o ´ acido se encontra 3% dissociado. Considerando o equil´ıbrio da ´agua, vemos que a sua constante de ioniza¸ca˜o corresponde ao Kw e ´e expressa por: a) 3, 00 × 10−2 molar b) 5, 82 × 10−4 molar c) 5, 40 × 10−5 molar Kw = [H + ] · [OH − ] a 25 ◦ C −2 d) 1, 94 × 10 molar. Kw = (10−7 )(10−7 ) = 10−14 e) 5, 40 × 10−7 molar + − 5. (USP-SP) O grau de ioniza¸ca˜o do ´ acido ac´etico Na ´agua, as concentra¸co˜es de H e OH s˜ao sempre iguais, (CH3 COOH), numa solu¸ca˜o a 0, 5 M , ´e de 6 × 10−1 %. independentemente da temperatura; por esse motivo, a ´agua ´e neutra. Quaisquer solu¸co˜es aquosas em que [H + ] = [OH − ] Calcule a constante de ioniza¸ca˜o desse ´ acido. tamb´em ser˜ao neutras. ´ muito comum as donas-de-casa, ap´os a lim6. (UEPI) E Em solu¸co˜es ´acidas ou b´ asicas notamos que: peza do peixe, usarem lim˜ ao para remover o cheiro deixado em suas m˜aos. A maioria delas n˜ ao tem uma explica¸ca˜o ci• quanto maior a [H + ] ⇒ mais ´acida ´e a solu¸ca˜o. ent´ıfica para o fato. Entretanto, sabe-se que o cheiro ´e cau• quanto maior a [OH − ] ⇒ mais b´ asica (alcalina) ´e a sado pelo composto metilamina, de f´ ormula CH3 − N H2, solu¸ca˜o. cuja equa¸ca˜o de equil´ıbrio ´e representada a seguir: − CH3 − N H2(aq) + H2 O(l) → CH3 − N H3(aq) + OH(aq) Segundo o Princ´ıpio de Le Chatelier, o cheiro de peixe desaparece porque: a) a adi¸ca˜o do lim˜ao (H + ) neutraliza o ´ıon OH − , deslocando o equil´ıbrio para a direita, consumindoa metilamina b) a adi¸ca˜o do lim˜ao (H + ) neutraliza o ´ıon OH − , deslocando o equil´ıbrio para a direita, consumindo o CH3 −N H3+ Escala de pH O termo pH (potencial hidrogeniˆonico) foi introduzido, em 1909, pelo bioqu´ımico dinamarquˆes Soren Peter Lauritz Sorensen (1868-1939), com o objetivo de facilitar seus trabalhos no controle de qualidade de cervejas. O c´ alculo do pH pode ser feito por meio da express˜ao: Qu´ımica – Aula 10 145 que s˜ao substˆancias que mudam de cor em fun¸ca˜o da [H+] e da [OH–], ou seja, de acordo com o pH. Existem v´arios indicadores ´acidobase; muitos deles s˜ao naturais, por exemDe maneira semelhante, podemos determinar o pOH (po- plo, o suco de repolho roxo que, em uma solu¸ca˜o neutra, tencial hidroxiliˆonico) de uma solu¸ca˜o: apresenta colora¸ca˜o roxa. No entanto, quando o pH muda, a sua colora¸ca˜o pode vapOH = − log[OH − ] riar do vermelho ao amarelo-claro. Os indicadores mais comumente empregados em laborat´orio s˜ao sint´eticos, por Na ´ agua e nas solu¸co˜es neutras teremos ent˜ ao pH = pOH = exemplo, a fenolftale´ına que, como todos eles, quando dis10−7 . Nas solu¸co˜es ´acidas, o pH varia de 1 a 7, e nas alcasolvida em ´agua se ioniza e origina ´ıons, estabelecendo um linas, o pH varia de 7 a 14. equil´ıbrio. O indicador e a sua forma ionizada apresentam cores diferentes. pH = − log[H + ] A mudan¸ca de cor ocorre em determinados intervalos de pH, denominados faixa ou intervalo de viragem. Quando o valor do pH ´e inferior ao intervalo de viragem, temos uma cor; quando o valor ´e superior ao intervalo, temos outra cor; na faixa de viragem temos uma cor intermedi´ aria `as duas. A seguir mostramos alguns indicadores com os valores num´ericos das suas faixas de viragem: Indicador Tornassol Azul de Bromotimol Fenolftale´ına intervalo de viragem vermelho (´ acido) a azul (alcalino) amarelo (´ acido) a azul (alcalino) incolor (neutro) a rosa (alcalino) C´ alculo do pH Nas solu¸co˜es ´acidas, o ´ıon predominante caracter´ıstico ´e o H + . Assim, devemos conhecer sua concentra¸ca˜o em mol/L para em seguida determinar o pH da solu¸ca˜o. Exemplo 1: ´ acido forte Considerar α = 100% para uma solu¸ca˜o de HCl de 0, 1 mol/L HCl −→ H + + Cl− Neste caso a concentra¸ca˜o de ´ıons H + ser´a a mesma do ´acido original: [H + ] = 0, 1 mol/L = 10−1 mol/L pH = − log[H + ] = 1 Exemplo 2: outros ´ acidos (α < 100%) Considere uma solu¸ca˜o de ´acido ac´etico H3 C − COOH de 0, 1 mol/L onde α = 1%. H3 C − COOH −→ H + + H3 C − COO− Neste caso a concentra¸ca˜o de ´ıons H + ser´a apenas 1% do ´acido original, ou seja, Indicadores de pH Uma maneira muito comum, mas menos precisa, de determinar o pH de uma solu¸ca˜o ´e mediante o uso de indicadores, [H + ] = 0, 1 mol/L × 1 = 10−3 mol/L 100 pH = − log[H + ] = 3 146 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Nas solu¸co˜es b´ asicas, o ´ıon predominante caracter´ıstico ´e d) 1) ´acido, 2) neutro, 3) b´ asico, 4) b´ asico o OH − . Assim, devemos determinar sua concentra¸ca˜o em e) 1) ´acido, 2) b´ asico, 3) ´acido, 4) neutro mol/L e, em seguida, o pOH da solu¸ca˜o. 3. (UFPI) Dada a afirma¸ca˜o: “A urina ´e uma solu¸ca˜o aquosa que apresenta pH = 5.” podemos concluir que: Exemplo 3: base forte a) a solu¸ca˜o tem car´ ater b´ asico b) a concentra¸ca˜o hidrogeniˆonica ´e 10−5 mol/L Considerar α = 100% para uma solu¸ca˜o de N aOH de 0, 1 M c) a concentra¸ca˜o hidroxiliˆonica ´e de 10−7 mol/L d) a constante de ioniza¸ca˜o da ´agua ´e 10−5 + − N aOH −→ N a + OH e) a urina ´e uma solu¸ca˜o n˜ ao-eletrol´ıtica Neste caso a concentra¸ca˜o de ´ıons OH − ser´a a mesma da solu¸ca˜o b´ asica original: Exerc´ıcios Complementares [OH − ] = 0, 1 mol/L = 10−1 mol/L 4. (Puccamp-SP) O pH do suco de laranja varia, em m´edia, de 3,0 a 4,0. O pH do suco de tomate varia de 4,0 a 4,4. Considerando os extremos dessas faixas de valores de pH pOH = log[OH − ] = 14 − 1 = 13 que significam maior acidez, pode-se afirmar que a [H + ] do E como pH + pOH = 14 para qualquer solu¸ca˜o, neste caso suco de laranja, em rela¸ca˜o `a do suco de tomate ´e: a) cento e quarenta vezes maior pH = 1. b) cento e quarenta vezes menor c) igual Exemplo 4: bases fracas d) dez vezes menor Considere uma solu¸ca˜o de N H4 OH de 2 M com α = 0, 5% e) dez vezes maior 5. (PUC-MG) A concentra¸ca˜o hidrogeniˆonica do suco de laranja puro ´e 10−4 mol/l. O pH de um refresco, preparado com 25 ml de suco de laranja e ´agua suficiente para comNeste caso a concentra¸ca˜o de ´ıons OH − ser´a apenas 0, 5% pletar 250 ml, ´e igual a: da solu¸ca˜o b´ asica original: a) 3 b) 4 0, 5 −2 − c) 5 = 10 mol/L [OH ] = 2 mol/L × 100 d) 6 e) 8 pOH = log[OH − ] = 2 6. (UFCE) Adicionando-se ´agua destilada a 5 ml de uma E analogamente ao exemplo anterior, nesse caso pH = 12. solu¸ca˜o de hidr´oxido de s´odio 1 mol/l, obtˆem-se 500 ml de solu¸ca˜o dilu´ıda. Admitindo-se completa dissocia¸ca˜o do hidr´oxido de s´odio (N aOH), calcule o pH da solu¸ca˜o preparada. Pense um Pouco! N H4 OH −→ N H4+ + OH − Veja quais dessas solu¸co˜es comuns s˜ao ´ acidas, b´ asicas ou neutras: refrigerante, ´ agua destilada, limpa-forno `a base de soda c´ austica, suco g´ astrico, amon´ıaco, suco de laranja, solu¸ca˜o de bateria de autom´ ovel, chuva ´ acida. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Calcule o pH e o pOH de uma solu¸ca˜o aquosa cuja concentra¸ca˜o hidrogeniˆonica [H + ] ´e de 10–2 mol/L. 2. (UFPE) Relacione os itens seguintes com os conceitos: acido, b´ ´ asico e neutro. 1) Uma Coca-Cola tem um pH igual a 3. 2) Um tablete de um anti´ acido dissolvido num copo d’´agua tem [OH − ] = 10−5 M 3) Uma x´ıcara de caf´e tem [H + ] = 10−5 M 4) Uma solu¸ca˜o em que [H + ] = [OH − ]. a) 1) b´ asico, 2) b´ asico, 3) ´ acido, 4) neutro b) 1) ´ acido, 2) b´ asico, 3) neutro, 4) neutro c) 1) neutro, 2) ´acido, 3) b´ asico, 4) ´ acido Qu´ımica B Aula 1 O que ´ e Qu´ımica? Qu´ımica ´e a ciˆencia que estuda a natureza da mat´eria, suas propriedades, suas transforma¸co˜es e a energia envolvida nesses processos. A qu´ımica est´ a presente em toda mat´eria orgˆ anica e inorgˆ anica, natural e artificial e tem contato di´ario e direto com o homem. Qu´ımica B – Aula 1 147 Um Pouco de Hist´ oria... Podemos dizer que tudo come¸cou com o homem primitivo, quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus alimentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como rem´edio para suas doen¸cas, etc. No come¸co da era crist˜a, surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o “elixir da longa vida”, aperfei¸coaram t´ecnicas de metalurgia, introduziram a qu´ımica medicinal, sintetizaram v´arias substˆancias, isolaram outras, al´em de terem registrado um grande n´ umero de experimentos em suas observa¸co˜es. A partir do s´eculo XVII, a ciˆencia se transforma, tornandose mais experimental e menos filos´ofica. Dentre os cientistas com essa nova proposta, destacam-se o inglˆes Robert Boyle(1627-1691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, a distin¸ca˜o entre mistura e “combina¸ca˜o”, e o francˆes Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar de Qu´ımica) que estabeleceu um marco na qu´ımica moderna, no qual podemos destacar o Princ´ıpio da Conserva¸ca˜o da Massa, a descoberta do elemento oxigˆenio e sua an´alise quantitativa da composi¸ca˜o da agua. Por seu trabalho, Lavoisier ´e considerado o “pai da ´ Qu´ımica”. A Importˆ ancia da Qu´ımica Podemos dizer que tudo ` a nossa volta ´e qu´ımica, pois todos os materiais que nos cercam passaram ou passam por algum tipo de transforma¸ca˜o. A qu´ımica proporciona progresso, desenvolvimento e atrav´es do uso dela que suprimos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de fios artificiais, desenvolvimento da ind´ ustria farmacˆeutica, fertilizantes e pesticidas para planta¸ca˜o, produtos industrializados cuja obten¸ca˜o depende de transforma¸co˜es qu´ımicas como pl´asticos, vidros, tintas, cimento etc. Antoine Lavoisier (1743−1794) Figura 1: O pai da Qu´ımica: Lavoisier (1743-1794) Fenˆ omeno Qu´ımico ´ qualquer transforma¸ca˜o sofrida por um material de modo E que haja altera¸ c˜ ao na sua constitui¸ca˜o ´ıntima de seus constituintes. Ex: oxida¸ca˜o do ferro (forma¸ca˜o da ferrugem), apodrecimento de um alimento. Pense um Pouco! • Fatos comuns envolvendo materiais e transforma¸co˜es qu´ımicas s˜ao de conhecimento recente ou antigo? • Quais as atividades do seu dia em que a qu´ımica est´ a presente? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta: a) Oxida¸ca˜o do ferro ´e um fenˆomeno f´ısico b) Fus˜ao do chumbo ´e um fenˆomeno qu´ımico. Desenvolvido por Galileu Galilei o m´etodo cient´ıfico ´e a base c) Combust˜ ao da madeira ´e um fenˆomeno qu´ımico. ¯ de toda a Ciˆencia, pois sintetiza o conjunto de atividades d) Queima do papel ´e um fenˆomeno f´ısico. que visam observar, experimentar, explicar e relacionar os e) n. d. a. fenˆomenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada vez mais gerais, que nos permitam prever e controlar os 2. (UFSC) Indique na rela¸ca˜o abaixo os fenˆomenos f´ısicos fenˆomenos futuros. (F) e os fenˆomenos qu´ımicos (Q). Observa¸ c˜ ao → Hip´ oteses → Experimenta¸ c˜ ao → a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carros Medi¸ c˜ ao → Leis experimentais → Modelo cient´ıfico b) ( ) Digest˜ao dos alimentos ingeridos c) ( ) Forma¸ca˜o de ferrugem d) ( ) Quebra de um objeto Fenˆ omenos Qu´ımicos e F´ısicos e) ( ) Enfiar um prego na madeira f) ( ) Derretimento de um iceberg Fenˆomeno ´e qualquer acontecimento da natureza. Quando ocorre um fenˆomeno, uma transforma¸ca˜o, h´ a altera¸ca˜o no 3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro at´e o ponto de fus˜ao, sistema do estado inicial ao estado final. recolher o l´ıquido em uma forma esf´erica, transformando a M´ etodo Cient´ıfico barra em uma bola de ferro, ´e exemplo de fenˆomeno: a) Qu´ımico, pois altera a forma da barra de ferro. Fenˆ omeno F´ısico b) F´ısico, pois a substˆancia continua sendo ferro. ´ qualquer transforma¸ca˜o sofrida por um material sem que c) F´ısico-qu´ımico, pois h´ a altera¸ca˜o na forma da E ocorra altera¸ c˜ ao de sua constitui¸ca˜o ´ıntima de seus cons- substˆancia. ao ´e exemplo de fenˆomeno. tituintes. Ex: o amassar do papel, evapora¸ca˜o da ´agua, d) N˜ e) n. d. a. quebra de um objeto. 148 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios Complementares 4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenˆomenos: I. sublima¸ca˜o da naftalina, II. forma¸ca˜o da ferrugem, III.queima do ´alcool comum, IV.fus˜ao do gelo. S˜ ao qu´ımicos: a) todos b) nenhum c) somente II e III d) somente I e III e) somente II e IV 5. (MACKENZIE-SP) I. Fus˜ao do gelo, II. Sublima¸ca˜o do iodo, III. Digest˜ao dos alimentos, IV. Queima de madeira. S˜ ao exemplos de fenˆomenos: a) I e II qu´ımicos b) I e IV f´ısicos c) II e III f´ısicos d) II e IV qu´ımicos e) III e IV qu´ımicos — www.mundofisico.joinville.udesc.br Estados da Mat´ eria Existem v´arios tipos de mat´eria e cada um ´e chamado de substˆancias que podem se apresentar num dos trˆes estados f´ısicos: S´ olido (S) A substˆancia apresenta forma e volume constantes (part´ıculas fortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vibrat´orio discreto); L´ıquido (L) A substˆancia apresenta forma vari´avel e volume constante (part´ıculas levemente unidas, havendo certa liberdade de movimento); Gasoso (G) 6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magn´esio at´e a com- A substˆancia apresenta forma e volume variados (part´ıculas bust˜ ao, notamos o desprendimento de fuma¸ca, restando um livres umas das outras, havendo total liberdade de movip´ o branco. Isso ´e exemplo de fenˆomeno: mento); a) F´ısico, pois alterou a estrutura do magn´esio. b) Qu´ımico, pois houve a forma¸ca˜o de novas substˆ ancias. c) F´ısico, pois podemos juntar o p´ o branco e a fuma¸ca, re- Mudan¸ cas de Estado cuperando o magn´esio. • Fus˜ ao (S → L): a substˆancia funde `a temperatura d) N˜ ao ´e exemplo de fenˆomeno. fixa (ponto de fus˜ao) a uma certa press˜ ao. Ex.: o gelo e) n. d. a. funde `a 0◦ C ao n´ıvel do mar. Qu´ımica B Aula 2 Mat´ eria e Energia Mat´ eria ´e tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co, ou seja, tˆem volume. Corpo ´e qualquer por¸ca˜o limitada da mat´eria. Se uma por¸ca˜o de mat´eria se presta a um certo uso, ela ´e chamada de objeto ou sistema. Durante a queima de uma vela (mat´eria), ela se desgasta, produzindo fuma¸ca (mat´eria: fuligem e gases) e liberando energia (luz: energia luminosa; calor: energia calor´ıfica). Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo que pode modificar a estrutura da mat´eria, provocar ou anular movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode at´e causar sensa¸co˜es. Princ´ıpio da conserva¸ca˜o de mat´eria e energia: A mat´eria e energia n˜ ao podem ser criadas nem destru´ıdas; podem somente ser transformadas. Lei da Conserva¸ c˜ ao da Massa ”A soma das massas dos reagentes ´ e igual a soma das massas dos produtos”. Ou ainda, ”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo se transforma”. • Solidifica¸ c˜ ao (L → S): a substˆancia solidifica `a uma temperatura fixa igual ao ponto de fus˜ao, j´a que o processo ´e inverso ao da fus˜ao. Ex.: o congelamento da ´agua tamb´em ocorre `a 0◦ C ao n´ıvel do mar, quando a temperatura est´ a baixando; • Vaporiza¸ c˜ ao (L → G): ´e a passagem de uma substˆancia do estado l´ıquido para o estado de g´ as, que ocorre quando suas mol´eculas atingem o seu chamado ponto de ebuli¸ca ˜o. Pode ocorrer de trˆes modos: 1. Evapora¸ca ˜o: ocorre `a temperatura ambiente ´e lenta e espontˆ anea (ex: a ´agua de um lago evapora com o calor do sol); 2. Ebuli¸ca ˜o: ocorre quando fornecemos calor ao l´ıquido, ´e r´apida e violenta (ex: uma chaleira d’´agua fervendo); 3. Calefa¸ca ˜o: ocorre quando se borrifa um l´ıquido numa chapa aquecida acima do seu ponto de ebuli¸ca˜o (ex.: pingar uma gota d’´agua numa chapa de ferro muito quente). • Condensa¸ c˜ ao G → L: a substˆancia no estado gasoso ´e resultado de um l´ıquido vaporizado que, ao sofrer um resfriamento, retorna ao estado l´ıquido por condensa¸ca˜o. (ex: got´ıculas de ´agua se formam na tampa de uma chaleira). Outro processo similar ´e a Liquefa¸ c˜ ao: ´e a condensa¸ca˜o de uma substˆancia que em condi¸co˜es ambientes, ´e um g´ as que ao comprimi-la (aumentar a press˜ ao) passa para o estado l´ıquido (ex.: o g´ as de cozinha ´e comprinido num botij˜ ao e se liquefaz – g´ as liquefeito de petr´ oleo (GLP)). Qu´ımica B – Aula 2 149 • Sublima¸ c˜ ao S → G: a substˆ ancia passa da forma Sistemas e Misturas s´olida diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina, Para acilitar o estudo da Qu´ımica definimos: iodo, cˆ anfora). ´ Part´ıculas e Atomos Toda a mat´eria conhecida ´e formada por trˆes tipos de part´ıculas elementares fundamentais: • Pr´ oton: part´ıcula massiva que possui uma carga el´etrica elementar positiva (+e) e participa da forma¸ca˜o do n´ ucleo dos ´ atomos; • Nˆ eutron: part´ıcula tamb´em massiva que n˜ ao possui carga el´etrica, mas desempenha um importante papel na estrutura e estabilidade interna do n´ ucleo dos atomos, reduzindo a repuls˜ao coulombiana entre os ´ pr´otons; • El´ etron: part´ıcula muito leve que possui uma carga elementar negativa (−e) e circula o n´ ucleo atˆomico, formando uma esp´ecie de nuvem (orbital). No seu movimento ao redor do n´ ucleo, apresenta um “comportamento duplo” de part´ıcula e onda; da´ı dizer-se que a natureza do el´etron ´e a de uma part´ıcula-onda. O princ´ıpio da incerteza, de Heisenberg, diz que: ´ imposs´ıvel se determinar simultanea“E mente a posi¸ca˜o e a velocidade de um el´etron.” Com base nesse princ´ıpio, criou-se modernamente a id´eia de orbital, como sendo a regi˜ ao onde h´ a grande possibilidade (probabilidade) do el´etron ser encontrado. Na pr´atica, podemos pensar no el´etron como uma “nuvem” que circunda o n´ ucleo. • Sistema: ´e uma parte do universo f´ısico que cont´em ou n˜ ao mat´eria, cujas propriedades est˜ ao sob investiga¸co˜es cient´ıficas. • Mistura Homogˆ enea: mistura de substˆancias que apresenta u ´ nico aspecto e as mesmas caracter´ısticas em toda a sua extens˜ao. A mistura homogˆenea pode ser uma solu¸ca˜o monof´ asica, por exemplo ´agua + a¸cu ´ car, ou uma liga met´ alica, como exemplos temos o lat˜ ao (cobre (Cu) + zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) + estanho (Sn)). • Mistura Heterogˆ enea: mistura que apresenta v´arios aspectos f´ısicos, sendo poss´ıvel de distinguir seus componentes (polif´ asica). Exemplo: ´agua + ´oleo + areia. Pense um Pouco! • O iodo (I) ´e um s´olido de cor castanha. Ao ser aquecido libera vapores violeta, que se transformam em iodo s´olido ao encontrarem uma superf´ıcie fria. Explique e dˆe o nome dos fenˆomenos observados. • Durante a ebuli¸ca˜o da ´agua destilada (´ agua pura) a temperatura n˜ ao se modifica, ao passo que, durante a ebuli¸ca˜o da ´agua do mar, a temperatura continua aumentando. Pense um pouco e explique esse fato. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UFSC) Mat´eria ´e tudo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co. S˜ ao exemplos de mat´eria (marque V ou F): a) ( ) pedra Todos as substˆancias encontradas na natureza s˜ao constitu´ıdas por combina¸co˜es de ´ atomos, que por sua vez, s˜ao b) ( ) madeira c) ( ) corpo humano as estruturas f´ısico-qu´ımicas est´ aveis elementares. d) ( ) ar • Elemento qu´ımico: ´e o conjunto de todos os a´tomos e) ( ) ´agua f) ( ) carro quimicamente iguais. Elementos e Substˆ ancias • Substˆ ancia Simples: s˜ao substˆ ancias formadas por atomos de um amesmo mesmo elemento qu´ımico, e ´ que por a¸ca˜o de agentes f´ısicos n˜ ao se decomp˜ oe, e portanto, n˜ ao forma outras substˆ ancias. Exemplos: H, O, O3 . Chama-se de alotropia o fenˆomeno pelo qual um u ´ nico elemento qu´ımico forma duas ou mais substˆancias simples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encontrado na natureza em duas formas diferentes: o grafite e o diamante. 2. (PUC-SP) O conceito de elemento qu´ımico est´ a relacionado com a id´eia de: a) ´atomo b) mol´ecula c) ´ıon d) substˆancia pura e) mistura 3. (UDESC) Assinale a op¸ca˜o que apresenta apenas substˆancia simples: • Substˆ ancias Compostas: s˜ao formadas por ´atomos a) H2 , Cl2 , N2 , CH4 de dois ou mais elementos qu´ımicos diferentes, e que b) M gCl2 , H2 O, H2 O2 , CCl4 por a¸ca˜o de agentes f´ısicos, se decomp˜ oem formando c) N a2 O, N aCl, H2 , O2 duas ou mais substˆ ancias novas. Exemplos: ´agua + d) CCl4 , H2 O, Cl2 , HCl eletricidade → g´ as oxigˆenio + g´ as hidrogˆenio. e) H2 , Cl2 , O2 , N2 150 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios Complementares — www.mundofisico.joinville.udesc.br Para um ´atomo de elemento X qualquer representamos, usamos a seguinte nota¸ca˜o: A 4. (UFMG) Considerando-se completa ausˆencia de polui¸ca˜o ZX entre os materiais citados a seguir, a substˆ ancia pura ´e: para representar o seu n´ umero atˆomico e sua massa atˆomica. a) ar Exemplo: para um a ´ tomo de ferro temos 26 F e56 . b) ´ agua c) madeira d) cinza e) terra 5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um l´ıquido para o estado de vapor, com agita¸ca˜o em toda sua massa l´ıquida, denomina-se: a) ebuli¸ca˜o b) evapora¸ca˜o c) sublima¸ca˜o d) calefa¸ca˜o e) irradia¸ca˜o 6. (UDESC) A libera¸ca˜o ou consumo de energia: a) S´ o ocorre em transforma¸co˜es f´ısicas. b) S´ o ocorre em transforma¸co˜es qu´ımicas. c) Em geral, ´e menor nos fenˆomenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. d) Em geral, ´e maior nos fenˆomenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. e) Nunca ocorre nas transforma¸co˜es materiais. Figura 1: Alum´ınio met´ alico comum. Is´ otopos e Is´ obaros Qu´ımica B Aula 3 Metais, Semi-metais e Ametais Para distinguir diferentes tipos de ´ atomos usamos: • N´ umero Atˆ omico ou Z: ´e o n´ umero correspondente a carga nuclear, ou seja, o n´ umero de pr´otons (P ) existente no n´ ucleo. Ent˜ ao: Z = P ; • N´ umero de Massa ou A: ´e o total de pr´otons P e de nˆeutrons N existente no n´ ucleo. Assim: A = P + N . O n´ umero de massa A define em si a massa do ´atomo, j´ a que os el´etrons possuem uma massa desprez´ıvel. Exemplos 1. Hidrogˆenio (H): Z = 1, A = 1, N = 0; 2. H´elio (He): Z = 2, A = 4, N = 2; 3. Urˆanio (U ): Z = 92, A = 238, N = 146. Considerando um elemento no estado natural, com ´atomos eletricamente neutros, temos: N o de pr´otons = Z o N de el´etrons = Z N o de neutros = A − Z • Is´ otopos: s˜ao ´atomos com mesmo n´ umero de pr´ otons (Z) e diferente do n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas iguais e f´ısicas diferentes. Exemplo O hidrogˆenio (H) possui trˆes is´ otopos conhecidos: 1. o hidrogˆenio comum (pr´ otio): 1 H 1 , com N = 0 e Z = 1; 2. o deut´ erio: 1 H 2 , com N = 1 e Z = 1; 3. o tr´ıtio: 1 H 1 , com N = 2 e Z = 1; • Is´obaros: s˜ao ´atomos de diferentes n´ umeros de ¯ pr´otons (elementos diferentes), mas que possuem o mesmo n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Alguns is´ otopos do C´alcio e do Argˆ onio possuem o mesmo n´ umero de massa A = 40: 20 Ca40 e 19 Ar40 • Is´ otonos: s˜ao ´atomos que possuem o mesmo n´ umero de nˆeutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z diferentes; apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Boro e Carbono: 5 B 11 (N = 6) e 6 C 12 (N = 6) Classifica¸c˜ ao dos Elementos D¨obereiner, em 1817, demonstrou a existˆencia de Tr´ıades de elementos com propriedades qu´ımicas semelhantes, onde o peso atˆomico de um elemento era aproximadamente a m´edia aritm´etica dos pesos atˆomicos dos outros dois. Ex: cloro, bromo e iodo. Qu´ımica B – Aula 3 Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente de pesos atˆomicos, em grupos de sete, an´alogo ` as oitavas musicais, logo, esta id´eia foi abandonada. 151 ˆ • Anion: ´ıon negativo ou ´atomo que ganhou um ou mais el´etrons; A valˆ encia de um ´atomo ionizado (´ıon) ´e definida pelo Dmitri Mendeleyev, em 1869, propˆ os uma tabela muito sen´ umero de el´etrons removidos ou adicionados ao ´atomo melhante `a atual, mas que apresentava os elementos dispos(´ıon). tos em ordem crescente de pesos atˆomicos, essa classifica¸ca˜o definiu seis elementos desconhecidos. • mono-valente: ´ıon com excesso (ou falta) de um Moseley, em 1913, verificou que os elementos qu´ımicos na el´etron; Tabela Peri´odica deveriam obedecer a uma ordem crescente • bivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de dois el´etrons; de n´ umero atˆomico, e chegou-se at´e a tabela atual; • trivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de trˆes el´etrons; Na tabela atual al´em de os elementos serem colocados em ordem crescente de n´ umero atˆomico, observa-se a seguinte • tetravalente: ´ıon com excesso (ou falta) de quatro disposi¸ca˜o (veja Apˆendice): el´etrons; • Per´ıodos ou S´ eries: s˜ao as filas horizontais em • ... n´ umero de 7 e indicam os n´ıveis ( K, L, M, N, O, P, Q ); elementos do mesmo per´ıodo apresentam propriedades Exemplos qu´ımicas diferentes. • Fam´ılias: s˜ao as colunas verticais da tabela, elementos da mesma fam´ılia apresentam propriedades qu´ımicas semelhantes. Algumas fam´ılias importantes: – Metal: possui de 1 a trˆes el´etrons na camada externa; • Ca+ ´e um c´ ation mono-valente de c´ alcio. • F e−2 ´e um ˆanion bivalente do ferro. • K +3 ´e um c´ ation trivalente do pot´assio. Propriedades Peri´ odicas – N˜ ao-metal: possui de 5 a 7 el´etrons na camada S˜ ao as propriedades que dependem da posi¸ca˜o do ´atomo externa; na tabela peri´odica, e que variam suavemente entre ´atomos – Elementos Representativos: apresentam sub- vizinhos. n´ıveis mais energ´eticos s e p, fam´ılia A e gases nobres com 1 A, 2 A, 13 A a 18A; – Elementos de Transi¸ca ˜o: apresentam sub-n´ıvel mais energ´etico d nas fam´ılias 3B at´e 12B; – Elementos de Transi¸ca ˜o Interna: apresentam sub-n´ıvel mais energ´etico f . Os lantan´ıdios e actin´ıdios; Exemplos Pense um Pouco! • O que ocorre quando um el´etron de um ´atomo ´e capturado por outro ´atomo diferente? • Seria poss´ıvel produzirmos ´agua (H2 O) com deut´erio ou tr´ıtio? Ela teria um gosto diferente? O que seria diferente nessa nova ´agua? • O n´ umero atˆomico de um ´atomo de nitrogˆenio ´e 7 e seu n´ umero de massa ´e 14. Qual ´e o n´ umero de pr´otons, de el´etrons e nˆeutrons desse ´atomo neutro? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UDESC) Um determinado ´atomo apresenta 16 pr´otons, 16 el´etrons e 16 nˆeutrons; outro ´atomo apresenta 16 pr´otons, 16 el´etrons e 17 nˆeutrons.”Sobre eles, s˜ao feitas as seguintes afirmativas: I - Os ´atomos s˜ao is´ otonos. Figura 2: O l´ıtio, metal da fam´ılia 1A. II - Os ´atomos s˜ao is´ obaros. III - Os ´atomos s˜ao is´ otopos. IV. Os a ´ tomos tˆ e m o mesmo n´ umero atˆomico. ´Ions e Valˆ encia V - Os ´atomos pertencem elementos qu´ımicos diferentes. Quando um ´atomo est´ a com falta ou excesso de el´etrons, Em rela¸ca˜o `as afirma¸co˜es acima, podemos dizer que s˜ao corretas apenas: sua carga l´ıquida n˜ ao ´e mais zero, e o chamamos de ´ıon: a) I e V • C´ ation: ´ıon positivo ou ´ atomo que perdeu um ou mais b) II e III el´etrons; c) III e IV Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC d) I e IV e) II e V CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOS 7 8 9 Ra (226) 89 - 103 SÉRIE DOS ACTINÍDIOS 104 Ku 105 Ha (260) (261) W Re 183,8 186,2 106 107 Os Ir 190,2 192,2 108 109 Pt Au 197,0 195,1 Hg TI 118,7 82 Pb 207.2 Te 127,6 83 84 Po NEÔNIO ARGÔNIO 126.9 (209) 209,0 I CRIPTÔNIO BROMO 52 121,7 Bi 35 Br 79,90 53 78,96 85 At 18 Ar 39,95 XENÔNIO Sb CLORO ENXOFRE FÓSFORO ARSÊNIO GERMÂNIO 204,4 200,6 Sn Se Cl 35,45 34 SELÊNIO SILÍCIO ALUMÍNIO TÁLIO 81 OURO 114.8 80 PLATINA 112,4 79 S Ne 20,18 36 Kr 83,80 54 Xe 131,3 RADÔNIO In 107,9 78 17 IODO Cd 106,4 77 As 74,92 51 F 19,00 16 ASTATO Ag 102,9 76 O He 4,003 10 16,00 32,06 33 72,59 50 P 30,97 TELÚRIO Pd 101,1 75 32 Ge ANTIMÔNIO Rh (98) 74 N 14,01 15 POLÔNIO Ru 95,94 Si BISMUTO Tc ÍNDIO 49 CÁDMIO 69,72 48 PRATA 65,38 47 PALÁDIO 63,55 46 RÓDIO 58,69 45 ESTANHO 31 Ga 58,93 44 C 12,01 14 28,08 CHUMBO ZINCO Zn GÁLIO COBRE NÍQUEL FERRO COBALTO 30 29 Cu 55,85 RUTÊNIO CRÔMIO MANGANÊS TECNÉCIO 28 Ni Al 26,98 43 ÓSMIO Ta 180,9 27 Co 2B 13 54,94 IRÍDIO Hf 178,5 Fe 1B MERCÚRIO SÉRIE DOS LANTANÍDIOS 26 25 Mn UNILÊNIO 87 88 8B UNILÓCTIO Ba Mo RÊNIO 73 42 7B UNILSÉPTIO VANÁDIO 92,91 72 MOLIBDÊNIO Nb 91,22 24 Cr 52,00 TUNGSTÊNIO Zr 88,91 57 - 71 6B UNILHÉXIO TITÂNIO Y NIÓBIO 41 56 137,3 (223) 50,94 40 87,62 132,9 Fr 23 V 47,88 39 HÁFNIO CÉSIO Cs Sr 22 Ti 44,96 TANTÁLIO 85,47 21 Sc 5B HÂHNIO POTÁSSIO CÁLCIO 38 4B KURCHATÓVIO VII Ca 40,08 37 Rb 3B ZIRCÔNIO 20 19 K 39,10 55 VI Mg 24,30 23,00 B 10,81 ESCÂNDIO SÓDIO Na Be 9,012 12 ÍTRIO LÍTIO Li HÉLIO 6 FLÚOR 5 OXIGÊNIO 4 NITROGÊNIO 3 BORO 7A CARBONO 6A MAGNÉSIO HIDROGÊNIO 5A BERÍLIO 4A 6,941 11 RUBÍDIO V 3A ESTRÔNCIO IV 2A BÁRIO III 2 1,008 RÁDIO II 0 Com massas atômicas referidas ao isótopo 12 do carbono 1 (210) 86 Rn (222) Unh Uns Uno Une CONVENÇÕES: 69 Tm 70 168,9 71 Yb LUTÉCIO Er 167,3 164,9 ITÉRBIO 68 67 Ho TÚLIO 66 Dy 162,5 ÉRBIO Tb 158,9 157,3 HÓLMIO 65 64 Gd DISPRÓSIO 63 Eu 152,0 TÉRBIO Np 62 Sm 150,4 (145) EURÓPIO 61 Pm GADOLÍNIO 144,2 SAMÁRIO Nd Lu 173,0 175,0 102 103 ( ) = estado líquido (g)= estado gasoso (aq) = meio aquoso N = normal (243) 96 Cm (247) M = molar 97 Bk (247) 98 Cf (251) ∆ H = variação de entalpia 99 Es 100 Fm 101 Md NOBÉLIO 95 Am No (252) (257) L = litro R = 0,082 atm . L / K mol (258) (259) LAURÊNCIO (244) FÉRMIO 94 Pu MENDELÉVIO 93 (237) EINSTÊINIO U 238,0 CALIFÓRNIO (231) CÚRIO 92 91 Pa BERQUÉLIO 232,0 AMERÍCIO Th (227) PLUTÔNIO 90 TÓRIO Ac URÂNIO 89 VII Massa Atômica ( ) - elemento radioativo PROTACTÍNIO Série dos Actinídios Símbolo (s) = estado sólido 60 59 Pr 140,9 PROMÉCIO 140,1 NETÚNIO 58 Ce 138,9 NEODÍMIO La CÉRIO LANTÂNIO 57 VI PRASEODÍMIO Série dos Lantanídios Número Atômico ACTÍNIO 3. (Acafe-SC) Os pares de ´ atomos C 12 e C 13 ; K 40 e Ar40 ; 40 38 Ca e Ar representam, respectivamente, a ocorrˆencia de: a) Isotonia, isotopia, isobaria. b) Isotopia, isobaria, isotonia. c) Isobaria, isotopia, isotonia. d) Isotopia, isotonia, isobaria. e) isobaria, isotonia, isotopia. www.mundofisico.joinville.udesc.br H NOME DO ELEMENTO 2. (UFSC) Um determinado ´ atomo apresenta 20 pr´otons, 20 nˆeutrons e 20 el´etrons; outro, apresenta 20 pr´otons, 21 nˆeutrons e 20 el´etrons. Marque V ou F: a) ( ) Pertencem a elementos qu´ımicos diferentes. b) ( ) S˜ ao is´ obaros c) ( ) S˜ ao is´ otopos d) ( ) Tˆem o mesmo n´ umero atˆomico e) ( ) O n´ umero de massa de ambos ´e de 41 — 1A I FRÂNCIO 152 Lr (260) NA: 6,02 x 1023 Figura 1: A tabela peri´ odica. ´ Tamanho do Atomo Exerc´ıcios Complementares Os fatores determinantes do tamanho de um ´atomo s˜ao o n´ umeros de camadas eletrˆ onicas (Z) e carga nuclear (P ). 4. (UNIFOR) O ´atomo desconhecido 17 X 37 tem igual Nas fam´ılias: `a medida que o Z aumenta, o n´ umero de n´ umero de nˆeutrons que o ´ atomo de c´ alcio 20 Ca. O n´ umero camadas aumenta, o que leva ao aumento do tamanho do de massa A do ´atomo de Ca ´e igual a: ´atomo (de cima para baixo); a) 10 Nos per´ıodos: `a medida que o Z aumenta, o n´ umero b) 17 de camadas permanece igual, mas a carga nuclear auc) 20 menta, Z aumenta, a atra¸ca˜o do n´ ucleo sobre os el´etrons d) 37 perif´ericos tamb´em aumenta, resultando ´atomos menores. e) 40 Num per´ıodo, o tamanho do ´atomo aumenta da direita para a esquerda. 5. (CESGRANRIO) Um certo ´ atomo X ´e is´ obaro do Ca40 e is´ otopo do 18 Ar36 . O n´ umero de nˆeutrons do ´ atomo X ´e: a) 4 b) 18 Potencial de Ioniza¸c˜ ao c) 22 d) 36 ´ a medida de energia fornecida a um ´atomo isolado no E e) 40 estado gasoso para retirar ou desprender um el´etron, formando um ´ıon gasoso positivo(c´ ation). Quanto maior o ta6. (FEI-SP) Um c´ ation met´alico trivalente tem 76 el´etrons manho do ´atomo, menor energia de ioniza¸ca˜o (Ei ), numa e 118 nˆeutrons. O ´atomo de elemento qu´ımico do qual se fam´ılia a (Ei ) aumenta debaixo para cima. Nos per´ıodos originou tem n´ umero atˆomico e n´ umero de massa, respecti(Ei ) aumenta da esquerda para direita. vamente: a) 76 e 194 b) 76 e 197 Potencial de Ionizacao c) 79 e 200 d) 79 e 194 e) 79 e 197 Qu´ımica B Aula 4 Propriedades Peri´ odicas A Tabela Peri´odica foi elaborada com base nas propriedades qu´ımicas e f´ısicas dos elementos, analisando-a, podemos Figura 2: obter informa¸co˜es sobre eles, chegando-se assim a propria edades importantes dos per´ıodos e fam´ılias (ou grupos) ´tomos. qu´ımicos: Aumento da energia de ioniza¸ca ˜o dos Qu´ımica B – Aula 4 153 Exemplo Reatividade Considere uma amostra de s´odio gasoso (P = 11, Z = 11): N a(g) + Ei = +119 kcal/mol → N a+ (g) + e− (g) Neste caso, a energia de ioniza¸ca˜o (Ei ) do s´odio ´e de 119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve ser absorvida. Eletroafinidade ´ a medida de energia liberada por um ´ E atomo isolado no estado gasoso ao receber um el´etron, formando o ´ıon gasoso negativo(ˆanion). Exemplo Figura 4: Aumento da Reatividade qu´ımica. Densidade (ρ) Ioniza¸ca˜o do cloro (Cl): Cl(g) + e− → Cl− (g) + 83, 3Kcal/mol A densidade ou massa espec´ıfica de um corpo ´e a raz˜ ao entre sua massa m e seu volume V , ou seja, m ρ= V e neste caso a energia ´e liberada na rea¸ca˜o. Nas fam´ılias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima; e ser´a medida em kg/m3 no SI, ou tamb´em em g/cm3 . e nos per´ıodos aumenta da esquerda para direita. Exemplo: a densidade do alum´ınio (Al) ´e ρAl = 2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3 . Eletronegatividade Propriedade que o ´ atomo apresenta maior ou menor tendˆencia de atrair el´etrons para si, resultando da a¸ca˜o conjunta da (Ei ) e da eletroafinidade, ou seja, compara a for¸ca de atra¸ca˜o exercida pelo ´ atomo sobre seus el´etrons. Densidade Eletronegatividade Figura 5: Aumento da densidade dos a ´tomos. Nas fam´ılias aumenta de cima para baixo, e nos per´ıodos aumenta das laterais para o centro. Figura 3: Aumento da eletroafinidade dos a ´tomos. Volume Atˆ omico v Nas fam´ılias aumenta debaixo para cima e nos per´ıodos au- Mede o volume molar espec´ıfico do material s´olido, e est´ a menta da esquerda para direita. relacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribui¸ca˜o dos ´atomos no espa¸co): Reatividade Qu´ımica massa molar M v= = Est´ a relacionada com o car´ ater met´alico ou n˜ ao-met´alico de densidade ρ um elemento, quanto maior a capacidade de perder el´etrons . mais met´alico ´e o elemento. Nas fam´ılias o volume atˆomico aumenta de cima para baixo, Quanto maior o tamanho do ´ atomo menor o potencial de e nos per´ıodos aumenta do centro para as laterais. ioniza¸ca˜o (Ei ) e menor a eletronegatividade = maior car´ ater met´alico = maior reatividade qu´ımica do metal. Ponto de Fus˜ ao (P ) F Quanto menor o tamanho do ´ atomo maior a eletroafinidade, ´ a temperatura em que um s´olido passa do estado s´olido maior a eletronegatividade e maior car´ ater n˜ ao-met´alico = E maior a reatividade qu´ımica do n˜ ao-metal. para o estado l´ıquido. 154 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Volatilidade Figura 6: Aumento do volume atˆ omico dos a ´tomos. Ponto de Fusao Figura 7: Aumento do Ponto de Fus˜ ao (PF ). Nas fam´ılias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em 1(1A) e 2(2A), que ´e o contr´ ario; nos per´ıodos, aumenta das laterais para o centro. — www.mundofisico.joinville.udesc.br s´odio (N a) porque ele possui um el´etron a mais. Assinale a alternativa que julga corretamente os ´ıtens acima, na sequˆencia de I a V. a) F, V, V, F, F b) F, V, F, F, V c) F, F, F, V, F d) V, F, F, V, F e) V, V, F, F, V 2. (UFSC) Sobre os elementos N a, M g e Al, podem ser feitas as afirma¸co˜es: I - N a+ , M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de el´etrons. II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes elementos ´e N a, M g e Al. III - M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de pr´otons. IV - A ordem crescente de reatividade com o H2 O ´e: Al, M g e N a. A op¸ca˜o que cont´em apenas afirma¸co˜es corretas ´e: a) I e IV b) I e III c) II e IV d) III e IV e) II e III 3. Na rea¸ca˜o F (g) + e− (g) → F − (g) + 402 kcal/mol, a medida de energia 402 quilo-calorias por mol representa: a) a eletronegatividade do fl´ uor b) a eletropositividade do fl´ uor c) o potencial de ioniza¸ca˜o do fl´ uor d) a eletroafinidade do fl´ uor e) a polaridade do fl´ uor Exerc´ıcios Complementares 4. Para que o ´ıon 7 N −3 se transforme no ´atomo neutro de nitrogˆenio, ele deve: Pense um Pouco! a) receber 3 pr´otons • Dentre as propriedades peri´odicas estudadas, quais s˜ao b) perder 3 el´etrons c) receber 3 el´etrons f´ısicas e quais s˜ao qu´ımicas? d) perder 7 pr´otons • Qual o elemento mais denso que vocˆe j´ a viu? Consulte e) receber 7 el´etrons a tabela peri´odica do Apˆendice e verifique se existe 5. Para que um ´atomo neutro de c´ alcio se transforme no algum elemento ainda mais denso. ´ıon Ca+2 , ele deve: • Cite exemplos de semi-metais e n˜ ao-metais conhecidos. a) perder 2 pr´otons b) receber 2 el´etrons c) perder 2 el´etrons Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao d) receber 2 pr´otons e) perder 1 pr´oton 1. (UDESC) Observe os elementos representados na Tabela Peri´odica e julgue os ´ıtens (V = verdadeiro e F = falso), na ordem: I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono (C), nitrogˆenio (N ), oxigˆenio (O) e fl´ uor (F ) diminui da Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas direita para a esquerda. II - O elemento de menor eletropositividade ´e o c´esio (Cs). Compostos Iˆ onicos e Moleculares III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) ´e o u ´ nico semi-metal. A uni˜ao de ´atomos formam diversas substˆancias, essa uni˜ ao IV - A energia de ioniza¸ca˜o do criptˆ onio (Kr) ´e maior que (liga¸ca˜o qu´ımica) pode ocorrer de trˆes formas: a do pot´assio (K). 1. liga¸ca˜o iˆ onica; V - O raio atˆomico do magn´esio (M g) ´e maior que o de Qu´ımica B Aula 5 Qu´ımica B – Aula 5 2. liga¸ca˜o covalente simples e dativa; 3. liga¸ca˜o met´ alica. Os gases nobres s˜ao elementos est´ aveis, pois apresentam oito el´etrons na sua camada de valˆencia, exce¸ca˜o do g´ as h´elio. 155 Liga¸ c˜ ao Covalente Dativa S´ o ocorre se o ´atomo que vai contribuir com o par de el´etrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver pares eletrˆ onicos dispon´ıveis: Exemplos Estabilidade Eletrˆ onica Oito el´etrons na camada de valˆencia. Liga¸ ca ˜o Iˆ onica HN O3 H2 SO4 H3 P O4 Liga¸ c˜ ao Covalente Apolar Ocorre entre ametais de mesmo elemento qu´ımico (sol´ uveis em a ´ gua) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H−H. Ocorre entre metal que tem tendˆencia de perder el´etron, com n˜ ao-metal, que tem tendˆencia de receber el´etron, for- Liga¸ c˜ ao Covalente Polar mando ´ıons de cargas contr´ arias, que se atraem mutua- Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insol´ uveis em mente. ´agua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: mol´ecula Exemplos HCl, pois o cloro ´e mais eletronegativo que o hidrogˆenio, ou seja, apresenta maior capacidade de atrair el´etrons; porFazer o esquema de Lewis: tanto o par de el´etrons da liga¸ca˜o ´e atra´ıdo por ele, criando+ − N a Cl : se nesse extremo uma maior densidade eletrˆ onica. Assim, surgem p´ olos distintos (representado pela letra δ), formando + − K + Cl : uma liga¸ca˜o covalente polar: δ+ HClδ− . ´ Ion F´ ormula Conhecendo as valˆencias dos elementos cujos ´ atomos v˜ao se ligar para formar um composto iˆonico, podemos calcular a ´ıon f´ ormula: 2 2 6 2 6 2 − 20 Ca = 1s 2s 2p 3s 3p 4s perde 2e 15 P = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3 ganha 3e− Escrevemos os s´ımbolos na ordem crescente de eletronegatividade, de modo que o ´ındice corresponda ` a valˆencia do outro (regra de 3): Ca → valˆencia 2 + P → valˆencia 3 = Ca3 P2 Liga¸ ca ˜o Covalente Simples Ocorre entre n˜ ao-metais, e entre n˜ ao-metal e hidrogˆenio, e seu princ´ıpio ´e o compartilhamento de el´etrons. O conjunto est´ avel de ´ atomos ligados entre si apenas por liga¸co˜es covalentes, ou seja por pares eletrˆ onicos, recebe o nome de mol´ecula. Exemplos Cl + Cl → Cl2 H + Cl → HCl H + O → HO O + O → O2 F´ormula eletrˆ onica: F´ormula Estrutural Plana: F´ormula Molecular: Pense um Pouco! • Analisando a varia¸ca˜o da eletronegatividade na tabela peri´odica, indique a liga¸ca˜o menos polar e a mais polar: H–O: H–H: H–I: H–P: H–N: H–F: Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UFSC) Considerando-se a liga¸ca˜o qu´ımica entre oxigˆenio e o alum´ınio, sob a luz da teoria do octeto, para a forma¸ca˜o do ´oxido de alum´ınio, ´e correto afirmar (some os n´ umeros correspondentes `as alternativas corretas): 01. Cada ´atomo de alum´ınio, perder´ a 3 el´etrons; 02. O Oxigˆenio ser´a o ˆanion, com carga negativa igual a trˆes para cada ´atomo; 04. O envolvidos dois ´atomos de alum´ınio na liga¸ca˜o; 08. Cada ´atomo de oxigˆenio receber´a dois el´etrons; 16. O n´ umero de cargas positivas, por f´ormula, ser´a seis. 32. A configura¸ca˜o eletrˆ onica do Al+3 ser´a 1s2 2s2 2p6 . 64. A f´ormula m´ınima do ´oxido de alum´ınio conter´ a quatro ´atomos no total. ´ 2. (UniRio-RJ) Atomos de um elemento X (n´ umero atˆomico 20) e de outro elemento Y (n´ umero atˆomico 7) unem-se por liga¸co˜es iˆonicas, originando o composto de f´ormula: a) XY b) X2 Y c) X3 Y2 156 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br d) X2 Y3 e) X3 Y4 3. (Acafe-SC) A for¸ca de atra¸ca˜o entre ´ıons positivos e negativos caracteriza a liga¸ca˜o: a) coordenada b) covalente c) met´alica d) dativa e) iˆonica Exerc´ıcios Complementares Figura 1: O g´ as carbˆ onico (CO2 ) apresenta geometria molecular linear, distribui¸ca ˜o espacial dos pares eletrˆ onicos ´e linear e possui 2 a ´tomos ao ligados ao (Supra-SC) No cloreto de magn´esio, a uni˜ ao entre a ´tomo central. 4. magn´esio e cloro ocorre atrav´es de liga¸ca˜o: a) molecular b) covalente c) met´alica d) iˆonica e) dativa 5. (UFRGS) O conceito de liga¸ca˜o covalente se refere `a id´eia de: a) atra¸ca˜o eletrost´atica b) par iˆonico c) atra¸ca˜o inter-molecular d) el´etrons livres e) emparelhamento de el´etrons Figura 2: O composto SO3 apresenta geometria molecular ´e trigonal plana, a distribui¸ca ˜o espacial dos pa6. (Supra-SC) Entre os ´ atomos dos compostos KBr, N H3 , onicos forma um triˆ angulo equil´ atero e possui e HCN , as liga¸co˜es qu´ımicas predominantes s˜ao, respecti- res eletrˆ 3 a ´ tomos ligados ao a ´ tomo central. vamente: a) covalente, iˆonica, iˆonica b) covalente, iˆonica, covalente c) covalente, covalente, iˆonica d) Iˆ onica, iˆonica, covalente e) Iˆ onica, covalente, covalente Qu´ımica B Aula 6 Liga¸c˜ oes Qu´ımicas Geometria Molecular Teoria da Repuls˜ ao dos pares eletrˆ onicos, desenvolvida na d´ecada 1960: “Os pares de el´ etrons ao redor do ´ atomo central distribuem-se no espa¸ co de tal forma que a repuls˜ ao entre eles ´ e a menor poss´ıvel, garantindo maior estabilidade”. Os pares de el´etrons podem ou n˜ ao fazer parte de liga¸co˜es. Quando os el´etrons s˜ao ligantes, os pares podem constituir liga¸co˜es simples, duplas, triplas ou dativas. Exemplos For¸cas Inter-moleculares As substˆancias moleculares podem ser encontradas nos trˆes estados f´ısicos, o que nos leva a concluir que, entre as mol´eculas, existem for¸cas de atra¸ca˜o de diferentes intensidades. A essas for¸cas damos o nome de for¸cas intermoleculares, elas podem ser de dois tipos: • for¸cas de Van der Waals • pontes de hidrogˆenio For¸ cas de Van der Waals S˜ ao for¸cas de fraca intensidade que se classificam em dipolo– dipolo e dipolo instantˆ aneo–dipolo induzido. A polaridade da liga¸ca˜o apresenta uma dire¸ca˜o, um sentido e uma intensidade, podendo ser representada por um vetor (~ p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre no sentido do p´ olo negativo para o positivo. Para mol´eculas com mais de dois ´atomos, conhecendo-se a geometria moleAs posi¸ co ˜es relativas dos ´ atomos ligantes s˜ ao dadas cular, ´e poss´ıvel determinar se a mol´ecula apresenta dipolo, a distribui¸ca˜o desigual de carga nepela disposi¸ c˜ ao de todos os pares de el´ etrons, mas ou seja, se na mol´ecula h´ a geometria da mol´ ecula ´ e considerada apenas pela gativa e positiva. Essa determina¸ca˜o ´e feita levando-se em conta os vetores momento de cada liga¸ca˜o. Conforme teposi¸ c˜ ao relativa de seus n´ ucleos. Qu´ımica B – Aula 6 157 Figura 3: A a ´gua (H2 O) apresenta geometria molecu- Figura 5: O P Cl5 apresenta geometria molecular biamide trigonal e possui 5 a ´tomos ligantes. lar angular, mas a distribui¸ca ˜o dos pares de el´etrons ´e pirˆ tetra´edrica e possui 2 a ´tomos ligados ao a ´tomo central. com que surja um dipolo tempor´ario. O dipolo instantˆ aneo induz a polariza¸ca˜o da mol´ecula vizinha, resultando uma a¸ca˜o fraca entre elas. Esse tipo de intera¸ca˜o tamb´em ´e chamado de for¸ ca de London, em homenagem ao cientista Fritz London (1900-1957), que elaborou todo o desenvolvimento te´orico. Pontes de Hidrogˆ enio As pontes de hidrogˆenio s˜ao casos particulares da intera¸ca˜o dipolo-dipolo, em que o dipolo molecular ´e fixo e de grande intensidade. Esse fenˆomeno ocorre quando o hidrogˆenio est´ a ligado `a um dos trˆes elementos mais eletronegativos – fl´ uor, oxigˆenio e nitrogˆenio – pois a diferen¸ca de eletronegatividade entre o hidrogˆenio e esses elementos ´e muito grande. Figura 4: O metano (CH4 ) apresenta geometria molecular tetra´edrica e distribui¸ca ˜o dos pares eletrˆ onicos tamb´em ´e tetra´edrica e possui 4 a ´tomos ligados ao Exemplo a ´tomo central A ´agua H2 O ´e uma mol´ecula muito polarizada (polar) e as pontes de hidrogˆenio produzem for¸ca suficiente para manter nham ou n˜ ao dipolo el´etrico, as mol´eculas s˜ao classificadas as mol´eculas unidas no estado l´ıquido. Veja a Fig. 3. em polares ou apolares, respectivamente. Para Aprender Mais! Exemplos Tens˜ ao superficial ´e uma propriedade que faz com que uma CO2 ´e apolar (~ p = ~0). Veja a simetria da mol´ecula na Fig. superf´ıcie l´ıquida se comporte como uma pel´ıcula el´astica. 1. Esta propriedade ocorre com todos os l´ıquidos e ´e observada H2 O ´e polar (~ p 6= ~0). Veja a assimetria da mol´ecula na com maior intensidade na ´agua. As mol´eculas no interior do l´ıquido mant´em-se unidas pelas for¸cas de atra¸ca˜o, que Fig. 3. ocorrem em todas as dire¸co˜es. As mol´eculas da superf´ıcie, For¸ cas de Van der Waals dipolo–dipolo no entanto, sofrem apenas atra¸ca˜o lateral e inferior, que Este tipo de intera¸ca˜o ocorre entre mol´eculas polares. geram a tens˜ao superficial, criando uma pel´ıcula el´astica. Exemplo Quanto mais intensas as for¸cas de atra¸ca˜o, maior ser´a a tens˜ao superficial. A mol´ecula δ+ HClδ− . e S´ abia? A forma¸ca˜o do dipolo ocorre devido ` a diferen¸ca de eletro- Vocˆ negatividade entre o hidrogˆenio e o cloro. A extremidade Os icebergs s˜ao massa de gelo flutuante que geralmente se negativa de uma mol´ecula atrai a extremidade positiva da desprende numa geleira polar e, portanto, s˜ao constitu´ıdos mol´ecula vizinha. Esse tipo de atra¸ca˜o ´e o mesmo que ocorre por ´agua doce. Eles flutuam por que a densidade da ´agua na liga¸ca˜o iˆonica, mas com intensidade bem menor. s´olida ´e menor do que a da ´agua l´ıquida. Na ´agua l´ıquida, ao unidas por pontes de hidrogˆenio e disFor¸ cas de Van der Waals dipolo instantˆ aneo–dipolo as mol´eculas est˜ postas de forma menos organizada do que no estado s´olido. induzido Neste estado, a organiza¸ca˜o ´e maior, formando estruturas S˜ ao for¸cas de atra¸ca˜o que aparecem nas substˆ ancias formahexagonais tridimensionais, mais espa¸cadas, que diminuem das por mol´eculas apolares, no estado s´olido ou l´ıquido. A a densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre a nuvem eletrˆ onica nas mol´eculas apolares ´e uniforme, n˜ ao ´agua. Esta propriedade explica tamb´em a quebra de garaparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deforma¸ca˜o por rafa de bebidas esquecidas no congelador. a¸ca˜o externa, ou flutua¸co˜es estat´ısticas (colis˜ oes), ou com cas Inter-moleculares e Ponto de Ebuli¸ c˜ ao o aumento da press˜ ao e diminui¸ca˜o de temperatura, provo- For¸ cando, ent˜ ao, uma distribui¸ca˜o desigual de cargas, o que faz : O importante fator que influencia o ponto de ebuli¸ca˜o 158 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC de uma substˆancia ´e o tamanho da mol´ecula, pois quanto maior a mol´ecula, mais f´ acil a ocorrˆencia de distor¸ca˜o da nuvem eletrˆ onica; consequentemente, mais f´ acil a forma¸ca˜o de p´ olos, ou seja, a medida que o tamanho da mol´ecula aumenta (aumento da massa molecular), o ponto de ebuli¸ca˜o tamb´em deve aumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o gasoso ocorre uma separa¸ca˜o das mol´eculas assim, quanto maior a atra¸ca˜o entre as mol´eculas no liquido, maior ser´a o ponto de ebuli¸ca˜o. Quanto maior a mol´ecula mais f´ acil ´e a forma¸ca˜o de p´ olos. — www.mundofisico.joinville.udesc.br 5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2 X dos elementos da fam´ılia do oxigˆenio s˜ao todos gasosos em condi¸co˜es ambientais, com exce¸ca˜o do hidreto de oxigˆenio. Esta situa¸ca˜o ´e consequˆencia: a) da baixa massa molecular da ´agua b) das liga¸co˜es covalentes c) das pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas d) do fato de o oxigˆenio ter o maior raio atˆomico dessa fam´ılia e) do fato de que o gelo ´e menos denso que a ´agua l´ıquida 6. Dentre as seguintes substˆancias, qual apresenta pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas? a) metano (CH4 ) ormio (CHCl3 ) • Quando se ferve a ´ agua, qual o tipo de liga¸ca˜o ´e rom- b) clorof´ c) benzeno (C6 H6 ). pida na mudan¸ca de estado? ´ d) Eter-et´ ılico (H2 C2 –O–C2 H5 ) • Temos duas substˆ ancias, HX e HY. O que podemos e) Agua ´ (H2 O) dizer com rela¸ca˜o ao ponto de ebuli¸ca˜o (PE) dessas substˆancias, sabendo que em HX ocorrem for¸cas de Van der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogˆenio? Pense um Pouco! Qu´ımica B Aula 7 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Equa¸c˜ oes e Rea¸ c˜ oes Qu´ımicas 1. Qual dessas liga¸co˜es ´e mais fraca? a) eletrovalente b) covalente c) ponte de hidrogˆenio d) Van der Waals e) iˆonica Uma rea¸ca˜o qu´ımica ´e representada pela equa¸ca˜o geral 3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo: I. H3 C–CH2 –O–CH3 II. H3 C–CH2 –N H2 III. H3 C–CH2 –OH Apresentam pontes de Hidrogˆenio entre suas mol´eculas: a) apenas I b) apenas II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III lanceamento qu´ımico o c´ alculo dos menores coeficientes {ci } e {c′j } para que essa igualdade seja satisfeita. c1 R1 + c2 R2 + . . . + cn Rn → c′1 P1 + c′2 P2 + . . . + c′m Pm onde n reagentes R1 , R2 ,. . .,Rn foram usados para formar os m produtos P1 , P2 ,. . .,Pm . Os coeficientes {ci } indicam o n´ umero de mol´eculas de cada reagente utilizado na rea¸ca˜o, 2. (Acafe-SC) Cada mol´ecula de ´ agua ´e capaz de efetuar, e os coeficientes {c′j }, o n´ umero de mol´eculas de cada prono m´aximo: duto resultante da rea¸ca˜o. Em ambos os casos, se utilizam a) 5 pontes de hidrogˆenio. coeficientes inteiros. b) 2 pontes de hidrogˆenio. Como cada mol´ecula, de reagente ou produto, pode conter c) 4 pontes de hidrogˆenio. v´arios ´atomos de diferentes elementos qu´ımicos, o n´ umero d) 1 pontes de hidrogˆenio. total de ´atomos de cada esp´ecie qu´ımica deve ser o mesmo e) 3 pontes de hidrogˆenio. em ambos os lados da equa¸ca˜o acima, e chamamos de ba- Exerc´ıcios Complementares Exemplos A s´ıntese (forma¸ca˜o) da ´agua ´e descrita pela equa¸ca˜o 2H2 (g) (reagente) +O2 (g) (reagente) → 2H2 O(l) (produto) onde a propor¸ca˜o da rea¸ca˜o de s´ıntese da ´agua ´e 2:1:2, o que significa que, para cada duas mol´eculas de H2 O formadas, reagiram duas mol´eculas H2 e uma mol´ecula de O2 . Cada rea¸ca˜o tem a sua propor¸ca˜o, que, como vimos pela lei das Propor¸ co ˜es Constantes. 4. (UEFS - BA) Por a¸ca˜o de energia, o hidrogˆenio diatˆomico se dissocia de acordo com a equa¸ca˜o: H–H(g) → Determina¸ c˜ ao dos Coeficientes 2H(g). Nesta dissocia¸ca˜o, ocorre rompimento de liga¸ca˜o qu´ımica do tipo: Na rea¸ca˜o de combust˜ ao: a) ponte de hidrogˆenio. b) de Van der Waals. C2 H6 O + O2 → CO2 + H2 O c) met´alica d) iˆonica observamos primeiro a quantidade de ´atomos de hidrogˆenio. e) covalente No primeiro membro, existem seis (C2 H6 O), e no segundo, Qu´ımica B – Aula 7 dois (H2 O). Para igualar o n´ umero de ´ atomos, fazemos a transposi¸ca˜o dos ´ındices, obtendo: 2C2 H6 O + O2 → CO2 + 6H2 O 159 Quanto ` a Velocidade Rea¸ co ˜es R´ apidas As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por ao (queima) do ´alcool et´ılico: Vamos agora acertar a quantidade de ´ atomos de car- exemplo, a combust˜ bono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calorր (2C2 H6 O); no segundo, um (CO2 ). Ent˜ ao, devemos multiplicar CO2 , no lado direito da equa¸ca˜o, por 4. Rea¸ co ˜es Lentas 2C2 H6 O + O2 → 4CO2 + 6H2 O Ocorrem devagar, por exemplo, a forma¸ca˜o da ferrugem Finalmente, acertamos a quantidade de ´ atomos de oxigˆenio. (oxida¸ca˜o do ferro): No segundo membro, j´ a acertado, existem quatorze ´atomos 4F e + 3O2 → 2F e2 O3 + calorր de oxigˆenio (4CO2 e 6H2 O), e no primeiro, quatro (2C2 H6 O e O2 ). Ent˜ ao o coeficiente da mol´ecula O2 ser´a 6, para se obter 12 ´atomos que, com outros dois perfazem os quatorze: Quanto ` a Reversibilidade 2C2 H6 O + 6O2 → 4CO2 + 6H2 O Rea¸ co ˜es Revers´ıveis Observe que em ambos os lados da rea¸ca˜o (reagentes e pro- Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela dutos) temos um total de 4 ´ atomos de C, 12 ´ atomos de H e dupla seta): 14 ´ atomos de O. Como todos os coeficientes s˜ao m´ ultiplos CaO + CO2 ⇌ CaCO3 de 2, ent˜ ao podemos reduz´ı-los, dividindo-os por 2: Rea¸ co ˜es Irrevers´ıveis C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O Rea¸co˜es que ocorrem num s´o sentido. e obtemos os menores coeficientes para o balan¸co qu´ımico Por exemplo: da rea¸ca˜o dada. N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 Dicas Algumas considera¸ca˜o para o balanceamento de uma equa¸ca˜o qu´ımica: Quanto aos Reagentes e Produtos 1. Deve-se come¸car o acerto dos coeficientes pelo elemento que aparece uma u ´ nica vez nos dois membros; S´ıntese ou Adi¸ c˜ ao Rea¸ca˜o entre duas ou mais substˆancias (simples ou composta) que originam uma u ´ nica substˆancia composta: 2. Se os ´ındices do elemento escolhido forem m´ ultiplos, a simplifica¸ca˜o pode ser feita antes da transposi¸ca˜o; 2CO + O2 → 2CO2 3. As f´ormulas das substˆ ancias n˜ ao podem ser modificadas; por isso, nunca coloque n´ umeros entre os s´ımbolos de uma mesma f´ormula. neste caso a rea¸ca˜o ´e do tipo composta + simples → composta . Tipos de Rea¸c˜ oes An´ alise ou Decomposi¸ c˜ ao Quanto ao Calor Rea¸ca˜o em que uma u ´ nica substˆancia composta se desdobra em outras substˆancias simples ou compostas: Quanto ao envolvimento (absor¸ca˜o ou libera¸ca˜o) de calor: 2HCl → H2 + Cl2 Rea¸ co ˜es Endot´ ermicas ´ toda rea¸ca˜o Dupla Troca Veja que endo=para dentro e t´ermica = calor. E qu´ımica em que ocorre com absor¸ c˜ ao de calor. Rea¸ca˜o em que as duas substˆancias compostas produzem Por exemplo, a decomposi¸ca˜o do calc´ario: duas outras substˆancias compostas (o nome resulta no fato de as substˆancias permutarem entre si parte de suas estruր CaCO3 @ >> ∆ > CaO + CO2 turas): HCl + N aOH → N aCl + H2 O onde ∆ indica que h´ a a necessidade de aquecimento dos reagentes para que ocorra a rea¸ca˜o qu´ımica. ou Rea¸ co ˜es Exot´ ermicas N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 Observe que exo=para fora e t´ermica = calor. Deslocamento ou Simples Troca ´ toda rea¸ca˜o qu´ımica em que ocorre com libera¸ E c˜ ao de Rea¸ca˜o em que uma substˆancia simples reage com outra calor. composta, produzindo outra substˆancia composta e outra Por exemplo, temos a combust˜ ao do hidrogˆenio: simples: 2H2 + O2 → 2H2 O + calorր F e + CuSO4 → F eSO4 + Cu 160 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Para Saber Mais! d) Ocorre a absor¸ca˜o de 236 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e endot´ermica O oxigˆenio e o hidrogˆenio liquefeitos s˜ao os combust´ıveis e) Ocorre a libera¸ca˜o de 236 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e l´ıquidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetes exot´ermica pela expuls˜ao dos gases de combust˜ ao, gerados pela rea¸c˜ao 3. Dadas as equa¸co˜es das rea¸co˜es: de s´ıntese: I. H2 SO4 + H2 O → H3 O + HSO4− + calor 2H2 + O2 → 2H2 O II. C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor nos motores de combust´ıvel l´ıquido, tamb´em usados na − III. N H4 Cl(s) + H2 O(l) + calor → N H4+ (aq) + Cl(aq) opera¸ca˜o de m´ısseis, o combust´ıvel e o comburente de3 vem ser armazenados isoladamente e a rea¸ca˜o s´o ocorre na IV. C2 H2 + 2 2O2 → CO2 + H2 O + C + calor cˆ amara de combust˜ ao, o que torna esses motores bastante V. 2F e2 O3 + 3C + calor → 4F e + 3CO2 Consideram-se as rea¸co˜es endot´ermicas: complexos. a) III e V b) I , II e IV Vocˆ e Sabia? c) II, III e V d) I, III e IV Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco e) II e III g´ astrico existente (HCl ou ´ acido clor´ıdrico) que em excesso s´o causa azia. O uso de leite de magn´esia, uma suspens˜ ao de hidr´oxido de magn´esio, ou medicamentos `a base Exerc´ ıcios Complementares de hidr´oxido de alum´ınio, diminuem a acidez, aliviando a azia. As rea¸co˜es que ocorrem s˜ao: 4. A an´alise da rea¸ca˜o M g(OH)2 + 2HCl → M gCl2 + 2H2 O H2 (g) + 21 O2 (g) → H2 O(l) + 68 kcal permite concluir que: Al(OH)3 + 3HCl → AlCl3 + 3H2 O a) a rea¸ca˜o ´e endot´ermica b) a rea¸ca˜o tem ∆H positivo Tamb´em pode-se usar o bicarbonato de s´odio: c) a entalpia dos reagentes ´e maior que a dos produtos N aHCO3 + HCl → N aCl + H2 O + CO2 d) a entalpia dos reagentes ´e menos que a dos produtos e) a entalpia dos reagentes ´e igual a dos produtos Pense um Pouco! 5. (PUC-RS) A equa¸ca˜o a seguir representa: HN O3 (aq) + N aOH(aq) → N aN O3 (aq) + H2 O(l) com ∆H = • Explique porque o bicarbonato de amˆ onia misturado −13, 69 kcal/mol em uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa a) um processo endot´ermico do bolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo de b) a neutraliza¸ca˜o parcial de um ´acido c) um processo que h´ a a libera¸ca˜o de calor rea¸ca˜o ocorre ? Fa¸ca a rea¸ca˜o. d) um processo n˜ ao espontˆ aneo e) uma rea¸ca˜o de an´alise Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Considere as seguintes rea¸co˜es do metano: I. CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2 O com ∆H = −212, 8 kcal/mol II. CH4 + H2 O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/mol III.CH4 + CO2 → 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/mol IV. CH4 + 12 O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/mol Pode-se afirmar que a rea¸ca˜o: a) I ´e endot´ermica b) II libera mais calor do que a I c) III ´e espontˆ anea d) III libera menos calor do que IV e) IV absorve calor para ocorrer 2. (Unisinos-RS) Considerando a equa¸ca˜o termoqu´ımica abaixo representada, S(s) + 32 O2 (g) → SO3 (g) com ∆H = −94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na forma¸ca˜o de 200 g de tri´oxido de enxofre: a) Ocorre a libera¸ca˜o de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e exot´ermica b) Ocorre a absor¸ca˜o de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e endot´ermica c) Ocorre a libera¸ca˜o de 169, 5 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e exot´ermica 6. As rea¸co˜es endot´ermicas caracterizam-se por: I. serem espontˆ aneas II. ocorrerem com absor¸ca˜o de calor III. apresentam sinal positivo para a varia¸ca˜o da entalpia a) somente a afirmativa I ´e correta b) somente a afirmativa II ´e correta c) somente a afirmativa III ´e correta d) somente as afirmativas I e II s˜ao corretas e) somente as afirmativas II e III s˜ao corretas Qu´ımica B Aula 8 Equa¸c˜ oes e Rea¸ c˜ oes (II) NOX N´ umero que designa a carga el´etrica real ou aparente (te´ orica) de um ´atomo em fun¸ca˜o da diferen¸ca de eletronegatividade entre ele e seus ligantes; o Nox est´ a associado ´a perda ou ao ganho de el´etrons por um ´atomo numa liga¸ca˜o qu´ımica. Qu´ımica B – Aula 8 Exemplo 161 Nox M´ınimo e Nox M´ aximo N a+ Cl− : N a carga real = +1, Cl carga real= -1 H2 O: H carga te´orica = +1, O carga te´orica = -2 Verifica-se que ´atomos de um mesmo elemento podem apresentar v´arios n´ umeros de oxida¸ca˜o, que dependem dos outros ´atomos da mol´ecula. Veja o caso do cloro, em alguns compostos: Vocˆ e Deve Saber! HCl Cl2 HClO HClO2 HClO3 HClO4 -1 0 +1 +3 +5 +7 • Se a liga¸ca˜o ocorre entre ´ atomos do mesmo elemento ( umero de el´etrons que o ´atomo substˆancias simples), n˜ ao havendo, portanto, diferen¸ca o Nox m´ınimo representa o n´ de eletronegatividade e sendo a mol´ecula apolar, o Nox precisa receber, de acordo com a regra do octeto; o Nox m´aximo representa o n´ umero m´aximo de el´etrons da u ´ ltima ´e sempre zero: camada que o ´atomo pode perder. Exemplos H2 , Cl2 , O2 : Nox = 0 • O Nox de um ´ıon simples ´e igual a sua carga (´e a pr´opria defini¸ca˜o de Nox). Exemplos N a+ : Nox N a = +1 S −2 : Nox S = −2 Al+3 : Nox Al = +3 Rea¸c˜ oes De Oxi-Redu¸c˜ ao Rea¸ca˜o em que ocorrem varia¸co˜es dos n´ umeros de oxida¸ca˜o dos ´atomos de certos elementos. Em uma solu¸ca˜o de sulfato de cobre (CuSO4 ) em ´agua, mergulhamos uma lˆamina de zinco (Zn0 ). ap´os algum tempo verificamos que essa lˆamina est´ a recoberta por uma camada de cobre met´alico e a solu¸ca˜o apresenta ´ıons Zn+2 . • O Nox do hidrogˆenio em compostos ´e +1, com exce¸ca˜o Os ´atomos de zinco (Zn0 ) se transformam em ´ıons de zinco dos compostos met´alicos (hidretos met´alicos), em que (Zn+2 ), ou seja, perdem 2 el´etrons: ocorre uma oxida¸ca˜o, o Nox do H ´e −1. perda de el´etrons, aumento no Nox: Exemplos Zn0 −→ Zn+2 + 2e− H2 O: Nox H = +1 Os ´ıons cobre (Cu+2 ) se transformam em ´atomos neutros de cobre (Cu0 ), ou sejam, ganham 2 el´etrons: redu¸ca˜o (ganho • O Nox do oxigˆenio nos compostos ´e −2, com exce¸ca˜o de el´etrons), diminui Nox: dos compostos com fl´ uor (O2 F2 e OF2 ) e per´oxidos Cu+2 + 2e− −→ Cu0 (O − O). Assim o que ocorreu foi uma transferˆencia de el´etrons dos Exemplos ´atomos de zinco (Zn0 ) para o ´ıon cobre (Cu+2 ): H2 O: Nox O = −2 Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0 H2 O2 : Nox O = −1 N aH : Nox H = −1 O2 F2 : Nox O = +1 Oxida¸ca˜o e Redu¸ca˜o s˜ao fenˆomenos paralelos, ou seja, n˜ ao pode ocorrer oxida¸ca˜o sem que ocorra uma redu¸ca˜o. Desse • A soma alg´ebrica dos Nox de todos os ´ atomos de uma modo podemos somar as equa¸co˜es dos dois processos e obter mol´ecula ´e sempre igual a zero (o n´ umero de el´etrons a equa¸ca˜o do processo global: cedidos ´e igual ao de el´etrons recebidos). Zn0 −→ Zn+2 + 2e− semi-equa¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o OF2 : Nox O = +2 Exemplos H2 O: Nox H = +1, O = −2, mol´ecula: +2 − 2 = 0 N a2 S: Nox N a = +1, S = −2, mol´ecula: +2 − 2 = 0 Cu+2 + 2e− −→ Cu0 Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0 H2 SO4 : Nox H = +1, S = +6, O = −2, mol´ecula: Redutor e Oxidante +2 + 6 − 8 = 0 • A soma alg´ebrica dos Nox dos elementos em um ´ıon Esse processo global constitui uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸c˜ao. composto ´e igual sua carga (a carga do ´ıon indica que A esp´ecie doadora de el´etrons, sofre oxida¸ca˜o, provoca a redu¸ca˜o (diminui¸ca˜o de Nox) da outra esp´ecie, por isso ´e houve perde ou ganho de el´etrons). chamado de agente redutor. Exemplos −2 A esp´ecie receptora de el´etrons, que se reduz, provoca a CO3 : Nox: C = +4, O = −2, soma: +4 − 6 = −2 oxida¸ca˜o (aumento de Nox) da outra, sendo chamada de N H4+ : Nox: N = −3, H = +1, soma: −3 + 4 = +1 agente oxidante. • Para se determinar o Nox de algum ´ atomo numa Agente Oxidante mol´ecula, usam-se os Nox conhecidos. Provoca oxida¸ca˜o de outra esp´ecie qu´ımica, sofre redu¸ca˜o Exemplo (ganho de el´etrons) e a varia¸ca˜o do Nox diminui. H4 P2 O7 Nox: H = +1, P = x, O = −2, soma: +4 + Agente Redutor 2x − 14 = 0 → 2x = 10 → x = 5 Provoca redu¸ca˜o de outra esp´ecie qu´ımica, sofre oxida¸ca˜o Ent˜ ao temos que Nox P = +5 nesta mol´ecula. (perda de el´etrons) e a varia¸ca˜o do Nox aumenta. 162 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Pense um Pouco! Balanceamento Determina¸ca˜o dos coeficientes em rea¸co˜es de oxi-redu¸ca˜o. • O que ´e NOX? • Como sabemos se uma rea¸ca˜o qu´ımica ´e uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o? Procedimento 1. determinar o Nox dos elementos; 2. verificar os fenˆomenos de oxida¸ca˜o e redu¸ca˜o; Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 3. determinar ∆ (varia¸ca˜o do Nox) e multiplicar pelo ´ındice ou atomicidade maior, obtendo-se ∆t (varia¸ca˜o 1. (UDESC) Dada a rea¸ca˜o: total do Nox); S + 6HN O3 −→ 6N O2 + 2H2 O + H2 SO4 4. inverter ∆t , isto ´e, colocar o valor daquele que sofreu oxida¸ca˜o na frete da substˆ ancia cujo elemento sofreu A varia¸ca˜o do n´ umero de oxida¸ca˜o do enxofre ´e: redu¸ca˜o e vice-versa. a) 0 5. Acertar os demais coeficientes por tentativa. b) 1 c) 2 d) 3 Exemplo 1 e) 6 HI + H2 SO4 −→ +1 − 1 +1 + 6 − 2 2. (Fuvest-SP) O cobre pode ser encontrado, na natureza, −→ H2 S + H2 O + I2 no mineral denominado atacamita: CuCl2 · 3Cu(OH)2 . Na +1 − 2 +1 − 2 0 f´ormula da atacamita , identifica-se o cobre com Nox, resDetermina¸ca˜o do ∆: pectivamente: a) +1 e +1 • oxida¸ca˜o: varia¸ca˜o 1 e atomicidade 1 = 1 × 1 = ∆ = 1 b) +1 e +2 • redu¸ca˜o: varia¸ca˜o 8 e atomicidade 1 = 8 × 1 = ∆ = 8 c) +1 e +3 d) +2 e +1 Igualando o n´ umero de el´etrons cedidos e recebidos, temos: e) +2 e +2 3. (UFSM) O nitrogˆenio apresenta estado de oxida¸ca˜o −2 em: estabelecemos a propor¸ca˜o da rea¸ca˜o , agora, completamos a) N O3 os outros coeficientes por tentativa: b) N H3 c) N H4 8HI + 1H2 SO4 −→ 1H2 S + 4H2 O + 4I2 d) N2 O3 e) N H4 OH Exemplo 2 K2Cr2O7 + HCl −→ +1 + 6 − 2 +1 − 1 Exerc´ıcios Complementares 8HI + 1H2 SO4 −→ H2 S + H2 O + I2 −→ KCl +1 − 1 + CrCl3 +3 − 1 + H2 O +1 − 2 + Cl2 0 • oxida¸ca˜o: ∆ = 1 × 2 = 2 • redu¸ca˜o: ∆ = 3 × 2 = 6 observe que no c´ alculo do ∆ de oxida¸ca˜o consideramos a atomicidade 2, em vez de 1, isso porque nem todos os ´atomos de cloro se oxidam (uma parte se manteve, pois seus Nox n˜ ao se alteraram). Assim, usamos a atomicidade do Cl2 , pois este ´e formado pelos ´ atomos de cloro que se oxidaram: 2K2 Cr2 O7 + HCl −→ KCl + CrCl + H2 O + 6Cl2 Por tentativa, acertamos os outros coeficientes: 2K2 Cr2 O7 + 28HCl −→ 4KCl + 4CrCl + H2 O + 6Cl2 simplificando por 2: K2 Cr2 O7 + 14HCl −→ 2KCl + 2CrCl + H2 O + 3Cl2 4. (UDESC) Qual das seguintes proposi¸co˜es ´e falsa, quando se analisa a rea¸ca˜o de oxirredu¸ca˜o abaixo? F e2 O3 + CO −→ 2F eO + CO2 a) O Nox (n´ umero de oxida¸ca˜o) do C no CO2 ´e +4 b) Cada unidade de f´ormula F e2 O3 ganha 1 e− c) Cada unidade de f´ormula CO2 perde 2 e− d) O CO2 ´e agente redutor de F e2 O3 e) O F e sofre redu¸ca˜o 5. (UDESC) A soma dos menores coeficientes inteiros da rea¸ca˜o de oxirredu¸ca˜o P + HN O3 + H2 O → H3 P O4 + N O, o agente oxidante e o agente redutor s˜ao, respectivamente: a) 18, P , HN O3 b) 20, P , HN O3 c) 13, P , HN O3 d) 18, HN O3 , P e) 10, HN O3 , P Qu´ımica B – Aula 9 6. (UDESC) Seja a rea¸ca˜o abaixo 163 • Solu¸ co ˜es s´ olido-l´ıquido: sal em ´agua; 2KM nO4 +aN aN O2 +bH2 SO4 → xKSO4 +yM nSO4 +aN aN O3•+bH 2 Oco Solu¸ ˜es s´ olido-g´ as: naftaleno (naftalina) no ar; Assinale o ´ıtem com a soma correta dos coeficientes: a) a + b = 4 b) x + y = 3 c) a + x = 7 d) b + y = 7 e) a + b + x + y = 7 Qu´ımica B Aula 9 Solu¸c˜ oes Qu´ımicas • Solu¸ co ˜es l´ıquido-s´ olido: grosc´ opicos (CaCl2 ); ´agua em s´olidos hi- • Solu¸ co ˜es l´ıquido-l´ıquido: ´agua em ´alcool; • Solu¸ co ˜es l´ıquido-g´ as: umidade no ar; • Solu¸ co ˜es g´ as-s´ olido: hidrogˆenio retido em platina em p´ o; • Solu¸ co ˜es g´ as-l´ıquido: g´ as carbˆonico em bebidas; • Solu¸ co ˜es g´ as-g´ as: todas as misturas gasosas; Dispers˜oes s˜ao sistemas nos quais uma substˆ ancia est´ a disseminada, sob forma de pequenas part´ıculas, numa segunda Propor¸ c˜ ao Entre Soluto e Solvente substˆ ancia. A primeira substˆ ancia chama-se disperso ou fase dispersa e a segunda dispersante ou fase de dis¯ • solu¸ co ˜es dilu´ıdas: cont´em pouco soluto em rela¸ca˜o pers˜ao. ao solvente (10 g de N aCl por litro de ´agua); Classifica¸c˜ ao das Dispers˜ oes A classifica¸ca˜o das dispers˜oes ´e feita de acordo com o tamanho m´edio das part´ıculas dispersas: • solu¸ co ˜es verdadeiras: part´ıculas com diˆametro de 0 a 1 nm, isto ´e, de 0 a 10˚ A; • solu¸ co ˜es coloidais: part´ıculas com diˆametro de 1 a ˚; 100 nm, isto ´e, de 10 a 1000 A • suspens˜ oes: part´ıculas com diˆametro acima de 100 nm, isto ´e, acima de 1000 ˚ A. Lembre que: 1 nm (nanometro) = 10−7 cm = 10−9 m 1˚ A (angstrom) = 10−8 cm = 10−10 m Solu¸ c˜ oes Solu¸co˜es s˜ao misturas homogˆeneas de duas ou mais sustˆancias. O disperso recebe o nome de soluto, e o ¯ dispersante, o nome de solvente. ¯ Classifica¸ c˜ ao das Solu¸ co ˜es • solu¸ co ˜es concentradas: caso contr´ario (300 g de sal por litro de ´agua). Natureza do Soluto • solu¸ co ˜es moleculares: quando as part´ıculas dispersas s˜ao mol´eculas. Por exemplo, mol´eculas de a¸cu ´ car (C12 H22 O11 ) em ´agua; • solu¸ co ˜es iˆ onicas: quando as part´ıculas dispersas s˜ao ´ıons. ´Ions do sal comum (N a+ e Cl− ) em ´agua, por exemplo; Importante • H´ a muitas solu¸co˜es que apresentam simultaneamente mol´eculas e ´ıons dispersos, por exemplo, numa solu¸ca˜o aquosa de ´acido ac´etico (´ acido fraco) existem muitas mol´eculas (CH3 COOH) e poucos ´ıons (CH3 COO− e H + ) em solu¸ca˜o. • Semelhente dissolve Semelhante: substˆancias inorgˆ anicas s˜ao polares, enquanto que as orgˆ anicas s˜ao apolares. Classificam-se as solu¸co˜es de acordo os seguintes crit´erios: Estado de Agrega¸ c˜ ao da Solu¸ c˜ ao O Fenˆ omeno da Satura¸c˜ ao da Solu¸c˜ ao • solu¸ co ˜es s´ olidas: certas ligas met´alicas, tamb´em chaJuntando-se gradativamente N aCl `a ´agua, em temperatura madas de am´ algamas, por exemplo CuN i; ambiente e sob agita¸ca˜o cont´ınua, verifica-se que em dado • solu¸ co ˜es l´ıquidas: possuem o solvente l´ıquido, como momento o sal n˜ ao se dissolve mais. Neste caso isto ocorre a salmora (sal+´agua); quando h´ a aproximadamente 360 g de N aCl por litro de • solu¸co˜es gasosas: mistura de dois ou mais gases, por ´agua. Da´ı em diante toda a quantidade adicional de sal ¯ que for colocada no sistema ir´ a se depositar ou precipitar exemplo, ar atmosf´erico. no fundo do recipiente; dizemos ent˜ ao, que a solu¸ca˜o est´ a saturada. O ponto de satura¸ c a ˜ o (coeficiente ou grau de soluEstado de Agrega¸ c˜ ao dos Componentes bilidade ◦ S) depende do soluto, do solvente e das condi¸co˜es • Solu¸ co ˜es s´ olido-s´ olido: algumas ligas met´alicas f´ısicas, como a temperatura. A press˜ ao passa a ser impor(CuN i); tante em solu¸co˜es onde existem gases. 164 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Grau de Solubilidade (◦ S) O grau de solubilidade ´e a quantidade de soluto (em gramas) necess´aria para saturar uma quantidade padr˜ ao (em geral 100 g, 1000 g ou 1 litro) de solvente, em determinadas condi¸co˜es f´ısicas de temperatura e press˜ ao. Exemplo • ◦ S = 357 g de N aCl por litro de ´ agua a 0◦ C; • ◦ S = 1.220 g de AgN O3 por litro de ´ agua a 0◦ C; • ◦ S = 2g de CaSO4 por litro de ´ agua a 0◦ C. Col´ oides Solu¸ca˜o coloidal ´e uma dispers˜ao onde as part´ıculas dispersas tˆem um tamanho m´edio compreendido entre 1 a 100 nm (lembre-se 1 nm = 10−7 cm = 10−9 m). — www.mundofisico.joinville.udesc.br • Irrevers´ıveis: n˜ ao h´ a intensa afinidade entre as fases, da´ı serem chamados de li´ ofobos. Ex: enxofre coloidal, metais coloidais. Col´ oides Protetores (Li´ ofilos) Os col´ oides li´ ofobos apresentam disperso e dispersante com pouca afinidade entre eles, o que acarreta certa insta´ poss´ıvel aumentar a estabilidade desse tipo bilidade. E de col´ oide adicionando pequena quantidade de um col´ oide li´ ofilo que tenha carga micelar de mesmo sinal. A estabilidade aumenta porque as micelas do col´ oide li´ ofobo s˜ao envolvidas por uma pel´ıcula de col´ oide li´ ofilo, passando a sofrer o fenˆomeno da solvata¸ca˜o. ¯ Exemplos • A tinta nanquim ´e um col´ oide li´ ofobo inst´avel, protegido por um col´ oide aquoso de gelatina; • Na fabrica¸ca˜o de filmes fotogr´ aficos, o AgBr ´e estabilizado por gelatina na forma de gel; Classifica¸c˜ ao dos Col´ oides Classificam-se os Col´oides segundo v´arios crit´erios: • No leite, a manteiga que est´ a dispersa na forma coloidal ´e estabilizada pela case´ına. Natureza do Disperso • Na maionese, a gema do ovo constitui um col´ oide protetor que estabiliza a emuls˜ ao de azeite e vinagre; • col´ oides micelares: as part´ıculas dispersas s˜ao agregados de ´atomos, de mol´eculas ou de ´ıons. por exemplo, enxofre em ´agua; • col´ oides moleculares: as part´ıculas dispersas s˜ao mol´eculas gigantes. Por exemplo, amido em ´ agua; • A clara de ovo atua como estabilizante dos complexos sistemas coloidais que formam os sorvetes cremosos. Para Aprender Mais! • col´ oides iˆ onicos: as part´ıculas dispersas s˜ao ´ıons gi- As entidades dispersas (micelas) em uma disposi¸ca˜o coloigantes. Por exemplo: prote´ına em ´ agua. dal s˜ao constantemente bombardeadas pelas mol´eculas do dispersante e assim ficam em movimento totalmente desordenado que podem ser visto num ultra-microsc´opio. Tal Estado F´ısico do Disperso e do Dispersante movimento chama-se movimento Browniano, descrito por Robert Brown, em 1827. nome disperso dispersante exemplo sol s´olido sol s´olido gel l´ıquido emuls˜ ao l´ıquido aerossol l´ıquido ar s´olido espuma gasoso espuma gasoso Observa¸ c˜ ao s´olido l´ıquido s´olido l´ıquido gasoso gasoso s´olido l´ıquido rubi, safira cola gel´eias leite, maionese neblina, spray fuma¸ca pedra-pomes chantilly, sab˜ ao Quando os col´ oides do tipo sol possuem como dispersante a agua, eles s˜ao chamados do hidross´ ´ ois. Vocˆ e Sabia? A p´erola ´e um exemplo de gel, ou seja, uma dispers˜ao coloidal de ´agua (disperso) em carbonato de c´ alcio (dispersante). Ela ´e produzida por moluscos bivalves, isto ´e, moluscos com uma concha de dois peda¸cos articulados. Existem esp´ecies marinhas e de ´agua doce. A p´erola ´e produzida quando algum elemento estranho penetra entre o corpo do molusco e a camada da concha, um gr˜ao de areia, por exemplo. Para defender-se, o molusco produz v´arias camadas de n´ acar ao redor do corpo estranho, formando a p´erola. Reversibilidade • revers´ıveis: afinidade muito grande entre o disperso e o dispersante (li´ofilos-amigos do l´ıquido) uma vez o gel obtido, podemos conseguir o sol e voltar ao sistema gel: GEL Peptiza¸ca˜o – adi¸ca˜o de l´ıquido ⇐⇒ Pectiza¸ca˜o – retirada de l´ıquido SOL Pense um Pouco! • O que diferencia uma solu¸ca˜o dilu´ıda de uma concentrada? • O nome que se d´ a ao sistema coloidal de um disperso s´olido num dispersante l´ıquido, de modo que o sistema n˜ ao tome uma forma definida? Qu´ımica B – Aula 10 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Qual das tr´ıades abaixo ´e constitu´ıda por trˆes col´ oides? a) leite, fuma¸ca, neblina b) leite, fuma¸ca, ´oleo-diesel c) fuma¸ca, neblina, gasolina d) gelatina , neblina, cloreto de s´odio e) borracha, cola, a¸cu ´ car 165 a) Aerossol – nuvens b) Aerossol – fuma¸ca de cigarro c) Espuma – espuma de sab˜ ao d) Emuls˜ ao – maionese e) Suspens˜ ao – ´agua barrenta 7. (Ucsal-BA) Qual das misturas abaixo exemplifica uma dispers˜ao coloidal? a) Soro fisiol´ ogico ´ atico 2. (UFRS) A uma solu¸ca˜o de cloreto de s´odio foi adicionado b) Acido muri´ um cristal desse sal e verificou-se que este n˜ ao se dissolveu, c) Leite pasteurizado ´ aria provocando ainda, um aumento de volume do precipitado. d) Agua sanit´ ´ e) Alcool hidratado Pode-se inferir que a solu¸ca˜o original era: a) est´ avel b) dilu´ıda c) saturada d) concentrada e) super saturada Qu´ımica B Aula 10 Fun¸c˜ oes Qu´ımicas 3. (OBJETIVO-SP) Quais as solu¸co˜es aquosas, contendo uma u ´ nica substˆancia dissolvida, que podem apresentar Sais corpo de fundo dessa substˆ ancia? a) saturadas e super saturadas Sal ´e toda substˆancia iˆonica que resulta da rea¸ca˜o (rea¸c˜ao b) somente as saturadas de neutraliza¸ca˜o) de um ´acido com uma base. c) insaturadas dilu´ıdas d) somente as supersaturadas Exemplo e) insaturadas concentradas 4. (UDESC) Em uma emuls˜ ao, a fase dispersa e a fase dispersante s˜ao, respectivamente: a) s´olida e s´olida b) l´ıquida e s´olida c) gasosa e gasosa d) s´olida e l´ıquida e) l´ıquida e l´ıquida Exerc´ıcios Complementares 5. (ITA-SP) Em rela¸ca˜o as misturas de substˆ ancias preparadas e mantidas num laborat´orio de qu´ımica s˜ao feitas as seguintes afirma¸co˜es: HCl ´acido + NaOH base −→ N aCl sal + H2O ´agua Classifica¸c˜ ao dos Sais Classificam-se os sais segundo os seguintes crit´erios: Presen¸ ca de Oxigˆ enio • sal oxigenado (oxissal): o oxigˆenio participa da estru¯ tura. Exemplos: KN O3 , N a2 SO4 ; • sal n˜ ao-oxigenado: o oxigˆenio n˜ ao participa da estru¯ tura. Por exemplo: N aCl e N H4 Br. I. O l´ıquido resultante da adi¸ca˜o do metanol e etanol ´e monof´asico e, portanto, ´e uma solu¸ca˜o. N´ umero de Elementos Constituintes II. O l´ıquido transparente que resulta da mistura de car• sal bin´ ario: sal constitu´ıdo por dois elementos. bonato de c´ alcio e ´agua e que sobrenada o excesso de sal Exemplos: KCl, N a2 S; sedimentado ´e uma solu¸ca˜o saturada. III. O l´ıquido turvo que resulta da mistura de hidr´oxido de • sal tern´ ario: sal constitu´ıdo por trˆes elementos. s´odio e uma solu¸ca˜o aquosa de nitrato c´ uprico ´e uma susExemplos: N aN O3 , K2 CO3 ; pens˜ ao de um s´olido num l´ıquido. IV. A fuma¸ca branca que resulta da queima do magn´esio ao • sal quatern´ ario: sal constitu´ıdo por quatro elemenar ´e uma solu¸ca˜o de vapor de ´ oxido de magn´esio em ar. tos. Exemplos: N H4 ClO3 , N aOCN . V. O liquido violeta e transparente que resulta da mistura de permanganato de pot´assio com ´ agua ´e uma solu¸ca˜o. Natureza dos ´Ions Dessas afirma¸co˜es, est´ a(˜ao) incorreta(s) apenas: a) I • sal normal: n˜ ao apresenta hidrogˆenio ioniz´ avel, nem b) II ´ obtido por rea¸co˜es de neutraliza¸ca˜o to´ıons OH − . E c) IV tais, ou seja, em que a quantidade de ´ıons H + do ´acido d) II e V ´e igual a quantidade de ´ıons OH − da base. e) II, III e V Exemplo 6. (UEPG-PR) Assinale a alternativa que n˜ ao caracteriza HCl + NaOH −→ N aCl + H2O solu¸ca˜o coloidal. ´acido base sal ´agua 166 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br ´ • hidrogenosal: sal que apresenta hidrogˆenio ioniz´ avel. Oxidos Forma-se quando s´o alguns dos hidrogˆenios ioniz´ aveis ´ s˜ao compostos formados por dois elementos (coms˜ao neutralizados pela base, ocorrendo uma rea¸ca˜o de Oxidos postos bin´arios), sendo que o mais eletronegativo desses eleneutraliza¸ca˜o parcial (no caso dos ´ acidos). mentos deve ser o oxigˆenio: Exemplo δ+ CO2 δ− , δ+ N a2 Oδ− , δ+ H2 Oδ− , δ+ SO3 δ− H2O uor e oxigˆenio n˜ ao ´agua assim, compostos bin´arios formados por fl´ s˜ a o considerados o ´ xidos, pois o fl´ u or ´ e mais eletronegativo • hidroxissal: sal que apresenta ´ıons OH − . Forma-se por que o oxigˆenio: ¯ rea¸ca˜o de neutraliza¸ca˜o parcial da base, na qual nem δ− F — δ+ O — F δ− = OF2 todos os OH − s˜ao neutralizados pelo ´ acido. H2 SO4 a´cido Exemplo HCl + a´cido + NaOH base → N aHSO4 hidrogenosal + δ− CaOHOH base → Ca(OH)Cl hidroxissal + H2O ´agua ´ Presen¸ ca de Agua no Cristal – sal hidratado: sal que apresenta mol´eculas de ´agua intercaladas em seu ret´ıculo cristalino; as mol´eculas de ´ agua constituem a chamada ´agua de cristaliza¸ca˜o ou ´ agua de hidrata¸ca˜o. Exemplos: CaCl2 · 2H2 O, CuSO4 · 5H2 O, M gSO4 · 7H2 O; F — δ+ O— δ+ O — F δ− = O2 F2 ´ Nomenclatura dos Oxidos Nomeamos os ´atomos de acordo com os grupos de divis˜ao: ´ Oxidos Moleculares O ´oxido liga-se a um n˜ ao metal ou hidrogˆenio: escrevemos a palavra ´oxido seguida da preposi¸ca˜o “de”e do nome do elemento associado ao oxigˆenio. Antes da palavra ´oxido e do nome do elemento, colocamos os prefixos mono, di , tri, tetra, penta, etc. para indicar a quantidade de ´atomos de – sal anidro: n˜ ao apresenta ´ agua de cristaliza¸ca˜o. oxigˆenio e do elemento existentes na f´ormula. Exemplos: N aCl, M gSO4 , N aKCO3 , BaClBr. Exemplos CO2 : di´oxido de carbono Nomenclatura dos Sais N2 O5 : pent´ oxido de dinitrogˆenio Cl2 O7 : hept´ oxido de dicloro Os sais podem ser representados pela f´ ormula geral CO: mon´ o xido de carbono ou ´oxido de carbono Bx+y A−x ation diferente de H + e A um ˆanion ´ y , sendo B um c´ Oxidos Iˆ o nicos diferente de OH − . O ´ındice de c´ ation ´e dado pela carga do anion, o ´ındice do ˆanion ´e dado pela carga do c´ ˆ ation, de tal O ´oxido liga-se a um metal: forma que o conjunto ´e eletricamente neutro. Exemplos Assim, para obtermos o nome de um sal a partir de sua N a2 O: ´oxido de s´odio f´ ormula, basta escrevermos o nome do ˆ anion seguido da pre- CaO: ´oxido de c´ alcio posi¸ca˜o “de”e do nome c´ ation. F eO: ´oxido de ferro II Exemplo ´ Classifica¸ c˜ ao dos Oxidos Zn(N O2)2 – nitrito de zinco onde: Zn+2 ´e o c´ ation zinco N O2−2 ´e o ˆanion nitrito. ´ Oxidos B´ asicos Reagem com ´agua, formando uma base, e reagem com ´acidos, formando sal e ´agua. Para formar uma base, ´e neation, portanto esses ´oxidos s˜ao todos iˆonicos. Como ocorre com as bases, se um elemento formar c´ ations cess´ario um c´ com cargas diferentes, usamos algarismos romanos para Exemplos diferencia-los ou, ainda, as termina¸co˜es “oso”para o de me- K O + H O =⇒ 2KOH 2 2 nor carga e “ico”para o de maior carga. K2 O + 2HCl =⇒ 2KCl + H2 O ´ ´ Oxidos Acidos Exemplo S˜ ao os ´oxidos que reagem com ´agua, formando ´acido, e reagem com base, formando sal e ´agua; estes ´oxidos s˜ao todos Por exemplo, o n´ıquel (N i) forma os c´ ations N i , que remoleculares. cebe o nome de c´ ation niqueloso ou n´ıquel II; e N i+3 , c´ ation Exemplos niqu´elico ou n´ıquel III. SO3 + H2 O =⇒ H2 SO4 Assim: SO3 + 2N aOH =⇒ N a2 SO4 + H2 O N i+2 (c´ation niqueloso ou n´ıquel II) com CO3−2 (ˆ anion carbonato) forma o sal N iCO3 chamado de carbonato de n´ıquel Podemos considerar os ´oxidos ´acidos como ´acidos que perderam ´agua; por isso eles s˜ao tamb´em chamados de anidridos II ou de carbonato niqueloso. (sem ´agua): −2 +3 N i (c´ation niqu´elico ou n´ıquel III) com SO3 (ˆ anion sulfito) forma o sal N i2 (SO3 ) chamado de sulfito de n´ıquel III Exemplo +2 ou sulfito niqu´elico. H2 SO4 − H2 O = SO3 Qu´ımica B – Aula 10 167 Hidretos A ´agua do mar ´e canalizada para reservat´orios de pouca profundidade e grande superf´ıcie, denominados salinas. Os S˜ ao os compostos bin´ arios do hidrogˆenio de f´ ormula geral reservat´orios s˜ao dispostos de tal forma que a ´agua passa Ex Hy se o H for o elemento mais eletronegativo, ou Hy Ex sucessivamente por todos e, pela a¸ca˜o do sol e do vento, se o H for o elemento menos eletronegativo. ´e evaporada, deixando depositados os sais menos sol´ uveis, como o carbonato de c´ alcio, o sulfato de c´ alcio e o sulfato de magn´esio. O cloreto de s´odio deposita-se junto com o Nomenclatura cloreto de magn´esio, que absorve vapor de ´agua do meio ambiente e se solubiliza, restando cloreto de s´odio com alto Usa-se a palavra Hidreto seguida do nome do elemento ligrau de pureza. No Brasil, o sal de cozinha, conhecido como gante. sal iodado, cont´em iodeto de s´odio ou pot´assio para evitar o Exemplos b´ ocio (hipertire´oide). Al´em disso, cont´em pequenas quantiHCl: hidreto de cloro ou cloridreto dades de outros sais que podem se hidratar, como o cloreto HBr: hidreto de bromo ou bromidreto de magn´esio (M gCl2 ). Nos dias em que a umidade relativa CaH2 : hidreto de c´ alcio do ar ´e maior, ele se transforma em cloreto de magn´esio hiN H3 : amˆ onia dratado, que deixa o sal com aspecto molhado, aglutinando P H3 : fosfina as part´ıculas e entupindo o saleiro. Classifica¸ c˜ ao Dependendo do elemento ligado ao hidrogˆenio, o hidreto pode ser: Iˆ onico S˜ ao os hidretos de metais mais eletropositivos, ou seja, alcalinos e alcalinos terrosos. S˜ ao tamb´em chamados de hidretos salinos. Apresentam car´ ater b´ asico, pois reagem com a ´ agua, produzindo base e despresndendo o hidrogˆenio. Exemplo N aH + HOH =⇒ N aOH + H2ր Molecular Hidretos de n˜ ao-metais e semi-metais. Exemplos H2 S: sulfidreto HF : fluoridreto N H3 : amˆ onia A solu¸ca˜o contendo 0,92% de cloreto de s´odio ´e conhecida como soro fisiol´ ogico e ´e usada no combate `a desidrata¸ca˜o. Pense um Pouco! • A acidez estomacal, provocada pelo ´acido clor´ıdrico, pode ser neutralizada utilizando-se uma solu¸ca˜o de que tipo? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (OSEC-SP) Qual das alternativas abaixo cont´em a f´ormula do nitrito de s´odio e do ´acido brˆomico? a) N aN O3 e HBr b) N aN O3 e HBrO c) N aN O2 e HBrO4 d) N aN O2 e HBrO3 e) N aN O2 e HBrO2 2. (UFMG) Seguem v´arias f´ormulas qu´ımicas com seus noOs hidretos moleculares dos elementos das fam´ılias 6A (16) mes. Qual a alternativa errada? e 7 A(17) s˜ao ´acidos em solu¸ca˜o aquosa, isto ´e, sofrem ioa) KN O3 – nitrato de pot´assio niza¸ca˜o. b) Ca(P O4)3 – fosfato de c´ alcio Exemplo c) Al2 (SO4 )3 – sulfato de alum´ınio HF + H2 O =⇒ H3 O+ + F − d) M g(ClO4 ) – perclorato de magn´esio e) n. d. a. Vocˆ e Sabia? Os galinhos do tempo s˜ao feitos de pl´astico, revestidos com um sal de cobalto. O cloreto de cobalto anidro (CoCl2 ) ´e azul e o cloreto de cobalto di-hidratado (CoCl2 · 2H2 O) ´e cor-de-rosa. Em dias chuvosos, quando a umidade relativa do ar ´e maior, o sal, naturalmente, absorve mol´eculas de ´ agua da atmosfera, deixando o galinho rosa. Quando a umidade relativa do ar diminui, o sal perde gradativamente as mol´eculas de ´agua e volta a ser azul. 3. (FEMPAR) Qual a substˆancia que apresenta oxigˆenio em sua composi¸ca˜o? a) ´acido clor´ıdrico b) ´acido sulf´ıdrico c) cloreto de f´osforo d) fluoreto de zinco e) nitrato de prata Exerc´ıcios Complementares 4. Todas as alternativas apresentam um ´oxido b´ asico, exceto: O cloreto de s´odio ´e encontrado na natureza, em jazidas a) N a2 O na crosta terrestre, constituindo o salgema, e nas a´guas do b) CaO mar, de onde ser retira a maior parte desse composto. c) BaO Para Aprender Mais! 168 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br p − p0 = ∆p: abaixamento absoluto da press˜ ao m´axima de vapor da solu¸ca˜o; p0 −p ao m´axima da vapor da p0 : abaixamento relativo da press˜ 5. (UEM-PR) A cal viva, a soda c´ austica, o vinagre, o leite solu¸ ca˜o; de magn´esia e o bicarbonato de s´odio s˜ao produtos comerao m´axima de vapor de uma ciais usados em nosso cotidiano. Quimicamente, podemos O abaixamento relativo da press˜ solu¸ c a ˜ o pode ser calculado pela Lei de Raoult: classifica-los, respectivamente, como: Numa solu¸ c ˜ a o bastante dilu´ ıda de um soluto quala) ´ oxido, base, ´acido, base, sal quer, n˜ a o-vol´ a til e n˜ a o-iˆ o nico, o abaixamento relab) ´ oxido, sal, base, ´oxido, sal tivo da press˜ a o m´ a xima de vapor ´ e diretamente proc) base, sal, ´acido, ´oxido, sal porcional ` a molalidade da solu¸ c ˜ a o. d) ´ oxido, base, ´acido, ´ oxido, ´ acido e) sal, base, ´acido, base, sal 1.000m1 p0 − p = Kt W = Kt p0 m2 M 1 6. (Acafe-SC) O ´oxido de magn´esio ´e muito usado como anti-´acido, neutralizando o excesso de HCl no estˆ omago. A constante Kt , que aparece nas f´ormulas acima, chamaopica (ou tonom´ etrica) molal do Com base apenas neste fato, podemos classific´a-lo como se constante tonosc´ solvente e pode ser calculada pela equa¸ca˜o: oxido: ´ a) ´ acido M2 Kt = b) b´ asico 1.000 c) neutro onde, M2 representa a mol´ecula-grama do solvente. d) salino e) n. d. a. d) F e3 O4 e) SrO Ebuliometria Qu´ımica B Aula 11 ´ o estudo da eleva¸ E c˜ ao da temperatura de ebuli¸ c˜ ao de um l´ıquido, ocasionado pela dissolu¸ c˜ ao de um soluto n˜ ao-vol´ atil. Propriedades Coligativas A ´agua ferve a 100◦ C, sob press˜ ao de 1 atmosfera. Se dissolvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na ´agua, a mais para ferver (ou melhor, s´o ir´ a ferver em Sabemos que a ´agua pura congela-se a 0 ◦ C e ferve a 100 ◦ C, ela demorar´ sob press˜ ao normal de 1 atmosfera. No entanto, dissolvendo temperatura mais alta), como se o sal estivesse dificultando um pouco de sal comum em ´ agua, ela passar´a a congelar-se sua evapora¸ca˜o e sua ebuli¸ca˜o. Esse fenˆomeno ´e chamado opico ou ebuliom´ etrico. abaixo de 0 ◦ C e a ferver acima de 100 ◦ C, sob press˜ ao de ebuliosc´ 1 atmosfera. Esses fenˆomenos s˜ao denominados Efeitos ou Eleva¸ca˜o da temperatura de ebuli¸ca˜o da solu¸ca˜o (∆Te ) ´e a Propriedades Coligativas. diferen¸ca entre a temperatura inicial de ebuli¸ca˜o da solu¸ca˜o Propriedades Coligativas das solu¸co˜es s˜ao propriedades (T ) e a temperatura de ebuli¸ca˜o do l´ıquido puro (T0 ), sob ao externa. que dependem apenas do n´ umero de part´ıculas dispersas na mesma press˜ solu¸ca˜o, independentemente da natureza dessas part´ıculas. ∆Te = T − T0 Tanometria onde ∆Te ´e o chamado efeito ebuliosc´ opico ou ebuliom´etrico. Note que devemos dizer temperatura inicial de ebuli¸ca˜o da ´ o estudo de abaixamento da press˜ E ao m´ axima de solu¸ca˜o porque `a medida que a solu¸ca˜o ferve o solvente vapor de um l´ıquido, que ´ e ocasionado pela dis- vai evaporando, a concentra¸ca˜o da solu¸ca˜o vai aumentando a sua temperatura de ebuli¸ca˜o (T ) tamb´em ir´ a aumentar. solu¸ c˜ ao de um soluto n˜ ao-vol´ atil. Essa preocupa¸ca˜o n˜ ao existe em rela¸ca˜o ao l´ıquido puro, pois Quando um l´ıquido ´e colocado num recipiente hermetica- durante toda a ebuli¸ca˜o sua temperatura (T ) se mant´em 0 mente fechado, onde havia v´acuo, ele vai evaporando at´e constante. chegar a uma situa¸ca˜o na qual a velocidade de evapora¸ca˜o torna-se igual a velocidade de condensa¸ca˜o. A partir desse instante tudo se passa como se a evapora¸ca˜o Lei de Raoult tivesse parado. Nessa situa¸ca˜o dizemos que os vapores s˜ao Numa solu¸ c˜ ao dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ aovapores saturados ou saturantes e dizemos tamb´em que foi vol´ atil e n˜ ao-iˆ onico, a eleva¸ c˜ ao da temperatura de atingida a tens˜ao ou press˜ ao m´axima dos vapores. Eviden- ebuli¸ c˜ ao ´ e diretamente proporcional ` a molalidade temente essa press˜ ao m´axima ser´a maior ou menor, depen- da solu¸ c˜ ao. dendo da natureza do l´ıquido e da temperatura em que foi 1.000m1 feita a experiˆencia. Pois bem, se no l´ıquido anterior for ∆Te = Ke W = Ke m2 M 1 dissolvido um soluto n˜ ao-vol´ atil observa-se que a press˜ ao m´axima de vapores do l´ıquido diminui. Definimos ent˜ ao: A constante Ke , que aparece nas f´ormulas anteriores, ´e deopica (ou ebuliom´ etrica) p0 : press˜ ao m´axima de vapor do l´ıquido puro, ` a temperatura nominada constante ebuliosc´ molal do solvente e pode ser calculada pela rela¸ca˜o: T; p: press˜ ao m´axima de vapor da solu¸ca˜o, na mesma temperatura T; Ke = RT 2 1.000LV Qu´ımica B – Aula 11 169 onde: R ´e a constante universal dos gases perfeitos = 2 cal/mol·K T ´e a temperatura absoluta de ebuli¸ca˜o do solvente puro (em K) LV ´e o calor latente de vaporiza¸ca˜o do solvente puro (em cal/g) • perme´ aveis – s˜ao aquelas que permitem a passagem tanto do solvente como do soluto; • semi-perme´ aveis – s˜ao aquelas que permitem a passa¯ gem tanto do solvente como do soluto; • imperme´ aveis – s˜ao aquelas que n˜ ao permitem a passagem de soluto e solvente. Exemplo A temperatura de ebuli¸ca˜o da ´ agua ao n´ıvel do mar ´e 100◦ C ou 373 K e o calor latente de vaporiza¸ca˜o LV = 538 cal/g. Conclus˜ oes de Van’t Hoff Consequentemente: Van’t Hoff verificou existir uma not´avel analogia entre (2)(373)2 ◦ press˜ ao dos gases e a press˜ ao osm´otica das solu¸co˜es dilu´ıdas. Ke = = 0, 52 C (1.000)(538) A partir dos estudos de Pfeffer, observou-se incr´ıvel semelhan¸ca com a lei de Boyle e com a lei de Charles, dos gases. Criometria “A press˜ ao osm´ otica de uma solu¸ c˜ ao ´ e igual ` a press˜ ao que o soluto exerceria no estado gasoso, ocu´ o estudo do abaixamento da temperatura de congela- pando o mesmo volume da solu¸ E c˜ ao, na mesma temmento de um l´ıquido, provocado pela dissolu¸ca˜o de outra peratura.” substˆ ancia nesse l´ıquido. Equa¸ c˜ ao Tipo Gases Perfeitos A ´ agua pura congela a 0 ◦ C, sob press˜ ao normal. Se dis- Como para os gases perfeitos, ou ideais, a press˜ ao osm´otica solvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na ´agua, pode ser escrita como ela demorar´ a mais para se congelar (ou melhor, s´o ir´ a congelar em temperatura mais baixa), como se o sal estivesse pV = nRT dificultando o seu congelamento. Esse fenˆomeno chamado criosc´ opico ou croim´ etrico, que onde, p ´e a press˜ ao osm´otica, V o volume da solu¸ca˜o, n o tem certa analogia com o fenˆomeno ebuliom´etrico, descrito n´ umero de moles do soluto, R a constante dos gases perfeitos no ´ıtem anterior. e T a temperatura absoluta da solu¸ca˜o. Definimos o baixamento da temperatura de congelamento Equa¸ c˜ ao da Press˜ ao Osm´ otica da solu¸ca˜o como n p = RT V ∆Tc = T0 − T que ´e chamado de efeito criosc´ opico ou criom´ etrico. e como n/V ´e a molaridade M da solu¸ca˜o, temos p = M RT Lei de Raoult Numa solu¸ca˜o dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ ao-iˆ onico, o abaixamento da temperatura de congela¸ca˜o ´e diretamente proporcional `a molalidade da solu¸ca˜o: ∆Tc = Kc W = 1000 Kc m1 m2 M 1 onde a constante Kc ´e denominada constante criosc´ opica molal do solvente pode ser calculada pela rela¸ca˜o: 2 RT 1000 LF para solu¸co˜es moleculares. Para se obter a press˜ ao osm´otica em atm, o valor de R a ser utilizado ´e 0, 082 atm · L/mol · K). Para as solu¸co˜es iˆonicas p = M RT i Vocˆ e Sabia? Em condi¸co˜es normais, a ´agua entra e sai continuamente das c´elulas, difundindo-se em dire¸ca˜o `a regi˜ao em que h´ a menor n´ umero de mol´eculas de ´agua, estabelecendo o equil´ıbrio onde: T ´e a temperatura absoluta de congelamento do solosm´otico. Se uma c´elula viva, por exemplo uma hem´ acia, vente puro (em K) for colocada em solu¸ca˜o salina, que apresente concentra¸ca˜o LF ´e o calor latente de fus˜ao do solvente puro (em cal/g). superior `a da c´elula, haver´a um fluxo de ´agua, atrav´es da membrana plasm´atica, de dentro da c´elula (menor concentra¸ca˜o) para fora da c´elula (maior concentra¸ca˜o), provoOsmoscopia cando a sua contra¸ca˜o. Ao contr´ario se o meio for hiEntende-se por difus˜ao entre l´ıquidos o fenˆomeno da disse- potˆonico, a c´elula ficar´a intumescida. Isso faz com que a mina¸ca˜o espontˆ anea de um l´ıquido em outro e vice-versa, administra¸ca˜o de soro deva ser feita com solu¸ca˜o isotˆonica. de modo a se obter uma mistura homogˆenea ou sistema Nos vegetais existe, al´em da membrana plasm´atica, outra monof´asico. Este fenˆomeno pode se dar tamb´em atrav´es de membrana (celul´osica) que limita a entrada de ´agua, evimembranas: tando que as c´elulas se rompam. Kc = 170 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Para Aprender Mais! 02. H´ a uma diferen¸ca de press˜ ao, dita osm´otica, entre a solu¸ca˜o salina do meio. A dessaliniza¸ca˜o ´e um processo para obten¸ca˜o de ´agua 04. H´ a um fluxo de solvente do interior da c´elula para a pot´avel, a partir da ´agua do mar, em locais onde as fon- solu¸ca˜o salina do meio. tes de ´ agua doce s˜ao insuficientes, como algumas regi˜oes do 08. Quanto maior for a concentra¸ca˜o da solu¸ca˜o salina exOriente M´edio. A remo¸ca˜o do sal ´e feita por osmose re- terna, menor ser´a o fluxo de solvente da c´elula para o meio. versa, ou seja, o solvente (´ agua) far´ a o caminho inverso ao 26. O fluxo de solvente ocorre atrav´es de membranas seminatural, pela aplica¸ca˜o de uma press˜ ao superior a ` press˜ ao perme´ aveis. osm´otica. Uma das dificuldades desse processo ´e a obten¸c˜ao de membranas semiperme´ aveis que resistam a altas press˜ oes. 5. (UDESC) Folhas de alface em contato com a ´agua permanecem frescas. Quando imersas em vinagre com sal (tempero de saladas) elas ficam murchas ap´os algum tempo, deBrincadeira de Crian¸ca vido: Ao jogar sal de cozinha em uma lesma. O sal de cozinha a) somente `a passagem dos ´ıons cloreto atrav´es da memabsorve toda a ´agua da lesma e o animal morre ocorrendo brana das c´elulas do alface. uma osmose vis´ıvel (a passagem de um solvente por uma b) `a osmose inversa, passagem da ´agua da solu¸ca˜o de vinamembrana semi-imperme´ avel). Vocˆe deve j´ a deve ter feito gre e sal para dentro das c´elulas do alface. c) `a dissocia¸ca˜o do sal no interior das c´elulas do alface. essa experiˆencia peralta quando crian¸ca! d) `a osmose, passagem da ´agua do interior das c´elulas do alface para a solu¸ca˜o de vinagre e sal. e) somente `a passagem dos ´ıons s´odio atrav´es da membrana Pense um Pouco! das c´elulas do alface. ◦ • A press˜ ao m´axima de vapor de ´ agua pura, a 20 C, ´e 17, 54 mmHg. Dissolvendo-se 36 gramas de glicose (massa molecular=180) em 500 gramas de ´ agua, quais Exerc´ıcios Complementares ser˜ao os abaixamentos absoluto e relativo da press˜ ao m´axima de vapor da solu¸ca˜o? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Dez gramas de uma substˆ ancia de massa molecular 266 foram dissolvidos em 500 gramas de tetracloreto de carbono. Qual a temperatura de ebuli¸ca˜o da solu¸ca˜o, sob press˜ ao normal? Dados: Te = 77 ◦ C (sob press˜ ao normal); LV = 46 cal/g. 6. (Puccamp-SP) Num local em que a ´agua congela a 0 ◦ C e ferve a 100 ◦ C, uma solu¸ca˜o aquosa de glicose ir´ a: a) congelar a 0 ◦ C e ferver a 100 ◦ C. b) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o abaixo de 100 ◦ C. c) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o abaixo de 100 ◦ C. d) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o acima de 100 ◦ C. e) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o acima de 100 ◦ C. 2. Qual a temperatura de congelamento de uma solu¸ca˜o contendo 8, 9 g de antraceno (C14 H10 ) em 256 g de benzeno? Dados: Tc = 5, 42 ◦ C para o benzeno puro, constante 7. (Acafe-SC) Usando um costume popular, um jovem criom´etrica molal do benzeno = 5,12 ◦ C, massas atˆomicas: cobriu uma ferida com p´ o de caf´e, para acelerar sua ciH = 1 e C = 12. catriza¸ca˜o. O efeito coligativo, envolvido na retirada de 3. (ITA-SP) Uma solu¸ca˜o de N aCl em ´ agua ´e aquecida l´ıquido que favoreceu a cicatriza¸ca˜o, ´e: num recipiente aberto. Qual das afirma¸co˜es abaixo ´e falsa a) tanom´etrico b) criom´etrico em rela¸ca˜o a este sistema? a) A solu¸ca˜o entrar´a em ebuli¸ca˜o quando sua press˜ ao de va- c) ebuliom´etrico d) isom´etrico por for igual `a press˜ ao ambiente. b) A molaridade da solu¸ca˜o aumentar´ a a medida que pros- e) osm´otico seguir a ebuli¸ca˜o. c) A temperatura de in´ıcio de ebuli¸ca˜o ´e maior que a da agua pura. ´ d) A temperatura aumenta ` a medida que a ebuli¸ca˜o prossegue. e) A composi¸ca˜o do vapor desprendido ´e a mesma da solu¸ca˜o residual. 8. (UDESC) A press˜ ao osm´otica do sangue na temperatura do corpo, 37 ◦ C, ´e de 7,626 atm. Considerando os solutos no sangue como n˜ ao-eletr´olitos, a sua molaridade total ser´a de: a) 0,50 mol/L b) 0,30 mol/L c) 1,00 mol/L 4. (UFSC) Ao colocar-se uma c´elula vegetal normal, numa d) 0,10 mol/L solu¸ca˜o salina concentrada, observar-se-´ a que ela come¸car´ a e) 0,80 mol/L a “enrugar” e a “murchar”. Sobre esse fenˆomeno, ´e correto afirmar: 01. A c´elula vegetal encontra-se num meio hipotˆonico em rela¸ca˜o `a sua pr´opria concentra¸ca˜o salina. Qu´ımica B Aula 12 Qu´ımica B – Aula 12 Eletroqu´ımica 171 (b) Eletroqu´ımica ´e o estuda da rela¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o que produzem ou s˜ao produzidas pela corrente el´etrica. As pilhas el´etricas funcionam com base em rea¸co˜es qu´ımicas (oxi-redu¸ca˜o) espontˆ aneas que produzem corrente el´etrica. Transforma¸ca˜o de energia qu´ımica em energia el´etrica. Potencial de Oxida¸c˜ ao Cada metal tem uma capacidade diferente de doar el´etrons. A medida dessa capacidade ´e chamada de potencial de oxida¸ca˜o. O valor num´erico do potencial de oxida¸ca˜o ´e medido pela voltagem da pilha do metal com o g´ as hidrogˆenio. (c) A voltagem da pilha de Zn e g´ as hidrogˆenio fornece o potencial de oxida¸ca˜o do zinco. Lembre-se! • oxida¸ c˜ ao: ´e a perda de el´etrons por um elemento qu´ımico, ou seja, aumento do NOX; • redu¸ c˜ ao: ´e o ganho de el´etrons por um elemento qu´ımico, ou seja, diminui¸ca˜o do NOX; • agente oxidante: ´e o elemento ou substˆ ancia que pro- Lista de Materiais voca oxida¸co˜es (ele pr´oprio se reduzindo); • Recipiente grande transparente (para mergulhar as • agente redutor: ´e o elemento ou substˆ ancia que prochapas) com uma placa de porcelana porosa para sevoca redu¸co˜es (ele pr´oprio se oxidando). parar as meias c´elulas e sua respectivas solu¸co˜es; Pilha de Daniell Se baseia na seguinte rea¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o: Zn + CuSO4 −→ ZnSO4 + Cu Os el´etrons que passam do Zn para o Cu+2 , que produzem a corrente el´etrica. • Circuito externo (Fio e cobre); • Chapa fina de cobre met´alico; • Chapa fina de zinco met´alico; • Solu¸ca˜o aquosa de sulfato de zinco (ZnSO4) • Solu¸ca˜o aquosa de sulfato c´ uprico (CuSO4) • Lˆ ampada pequena Procedimento Experimental 1. Em um dos compartimentos coloca-se uma chapa de Montagem Experimental zinco mergulhada em solu¸ca˜o aquosa de sulfato de zinco, no Para melhor entendimento do sistema (pilha de Daniel) ´e outro coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solu¸ca˜o aquosa de sulfato de cobre. poss´ıvel mont´ a-la experimentalmente: 2. Liga-se as placas met´alicas ao fio condutor e `a lˆampada ou motor; An´ alise das Rea¸ co ˜es Qu´ımicas (a) Com a chapa de zinco, ocorre a seguinte semi-rea¸ca˜o de oxida¸ca˜o; Zn =⇒ Zn+2 + 2e− semi-rea¸ca˜o de oxida¸ca˜o desse modo a chapa de zinco ”solta”el´etrons para o circuito externo (fio), a chapa de zinco ´e chamada de eletrodo negativo ou ˆanodo. Com a chapa de cobre, ocorre a seguinte semi-rea¸ca˜o de redu¸ca˜o, Cu+2 + 2e− =⇒ Cu semi-rea¸ca˜o de redu¸ca˜o 172 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br desse modo o ´ıon Cu+2 captura os el´etrons do circuito ex- Aplica¸ c˜ oes Pr´ aticas das Pilhas terno (fio), a chapa de cobre ´e chamada de eletrodo positivo Cada pilha ou elemento apresenta uma for¸ca eletromotriz ou c´ atodo. de aproximadamente 1, 5 V . desse modo, uma associa¸ca˜o A soma das duas equa¸co˜es anteriores, fornece a equa¸ca˜o em s´erie de quatro elementos nos d´ a uma bateria de 6, 0 V ; geral da pilha de Daniell: uma de seis elementos nos d´ a uma bateria de 9, 0 V , e assim por diante. Zn + Cu+2 =⇒ Zn+2 + Cu Como o chumbo (ˆ anodo), o ´oxido de chumbo IV impregnado de chumbo (c´ a todo), e o sulfato de chumbo s˜ao s´olidos, a A porcelana porosa deve impedir a mistura das solu¸co˜es, for¸ c a eletromotriz do acumulador depende exclusivamente mas deve permitir a passagem dos ´ıons que est˜ ao sendo da solu¸ c a ˜ o de a ´ cido sulf´ urico. Por esse motivo, devemos atra´ıdos ou repelidos pelas for¸cas el´etricas. mater constante o volume de ´agua. Ap´os um certo tempo de funcionamento da pilha, a chapa urico, mas durante a rede zinco estar´ a corro´ıda, a chapa de cobre aumentou devido A descarga consome o ´acido sulf´ a deposi¸ca˜o de cobre e as concentra¸co˜es das solu¸co˜es se al- carga, feita automaticamente pelo gerador ou alternador no ` urico ´e regenerado e o sulfato teram. Tudo isso ´e consequˆencia da pr´opria rea¸ca˜o geral de motor do ve´ıculo, o ´acido sulf´ de chumbo volta `a condi¸ca˜o de chumbo e ´oxido de chumbo funcionamento da pilha: IV. Zn + CuSO4 =⇒ ZnSO4 + Cu Nota onde: – o zinco vai sendo gasto (corro´ıdo); – a concentra¸ca˜o da solu¸ca˜o de CuSO4 vai diminuindo; As rea¸co˜es das baterias (acumulador de chumbo) e N´ıquelc´ admio. E a pilha de Leclanch´e (seca) com eletrodo central de grafite, urio ser˜ao apresentadas e – o sulfato de cobre formado pela rea¸ca˜o aumentou a con- pilhas alcalinas e as pilhas de merc´ analisadas com suas respectivas equa¸co˜es no quadro negro. centra¸ca˜o da solu¸ca˜o de sulfato de cobre. – o cobre depositou-se sobre a chapa de Cu, aumentando A vantagem das pilhas ´e que elas podem ser recarregadas muitas vezes, sendo utilizadas em telefones, calculadoras, sua massa. brinquedos, etc. Convencionou-se representar a pilha da seguinte maneira: Zn, Zn+2 (1M )|Cu+2 (1M ), Cu(25 ◦ C) onde est˜ ao indicados os eletrodos, as molaridades das solu¸co˜es e a temperatura de funcionamento da pilha. Conclus˜ ao Podemos dizer, que a pilha ou c´elula eletrol´ıtica ´e um dispositivo que transforma energia qu´ımica em energia el´etrica. Isso ´e conseguindo, por meio de uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸c˜ao, com o oxidante e o redutor separados com compartimentos diferentes, de modo que o redutor seja obrigado a entregar os el´etrons ao oxidante atrav´es de um circuito externo (fio). Montagem #2 Outra montagem muito comum de uma pilha ´e a seguinte: Num copo de vidro ou (b´equer) ´e colocada uma chapa de zinco mergulhada em uma solu¸ca˜o de sulfato de zinco; em outro colocamos a chapa de cobre mergulhada em uma solu¸ca˜o de sulfato c´ uprico. As duas chapas est˜ ao ligadas pelo fio condutor externo e as duas solu¸co˜es s˜ao ligadas pela ponte de salina, que ´e um tubo simples de vidro recurvado, como vemos na figura, totalmente cheio com solu¸ca˜o de um sal (eletr´olito) e tendo nas duas extremidades um pouco de algod˜ ao para impedir o escoamento da solu¸ca˜o salina. C´ alculo da Diferen¸ ca de Potencial (ddp) ∆E ◦ = E ◦ oxid + E ◦ red for¸ca eletromotriz (V) Assim para a pilha de Daniel temos : Eletrodo de Zn◦ /Zn+2 : E ◦ oxid = +0, 76 V Eletrodo de Cu+2 /Cu◦ : E ◦ red = +0, 34 V ∆E ◦ = 0, 76 V + 0, 34 V = 1, 10 V As pilhas alcalinas s˜ao usadas em rel´ogios de pulso e aparelhos de surdez, por serem muito pequenas. Elas n˜ ao s˜ao recarreg´aveis, mais apresentam grande durabilidade. Eletr´ olise ´ o fenˆomeno inverso `aquele que ocorre numa pilha, isto ´e, E a corrente el´etrica provocando uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o – um processo qu´ımico n˜ ao-espontˆ aneo. No p´ olo positivo ocorre oxida¸ca˜o e no p´ olo negativo, redu¸ca˜o. Logo, o p´ olo positivo ´e o ˆanodo e o negativo ´e o c´ atodo. Eletr´ olise ´Ignea ´ a eletr´ E olise de um eletr´ olito no estado fundido. Nela, o s´olido iˆonico deve ser liquefeito por aquecimento (fus˜ ao), pois assim os ´ıons tem livre movimento, podendo se deslocar at´e os eletrodos e a´ı descarregarem (ganhar ou perder el´etrons). Eletr´ olise por via Aquosa com Eletrodos Inertes Em uma solu¸ca˜o aquosa, al´em dos ´ıons resultantes da dissocia¸ca˜o iˆonica do eletr´ olito, h´ a tamb´em c´ ations H + e ˆanions − OH provenientes da auto- ioniza¸ca˜o da ´agua. Dessa forma podemos ter em solu¸ca˜o c´ ations C + e H + e − − ˆanions A e OH , de modo que h´ a uma disputa para a descarga nos eletrodos. Entre os c´ ations, descarrega primeiro aquele com maior E◦ red (maior tendˆencia em receber el´etrons). Entre ˆanions, descarrega primeiro aquele com menor E◦ red (maior tendˆencia em doar el´etrons). Qu´ımica B – Aula 12 173 Estudo Quantitativo da Eletr´ olise Brasil Pesquisa o hidrogˆ enio como combust´ıvel! As pesquisas feitas pelo cientista inglˆes Michael Faraday (1791-1867) estabeleceram as bases para se determinar as quantidades das substˆ ancias formadas e da substˆ ancia decomposta numa eletr´ olise. Imagine um autom´ ovel que funciona alimentado por uma fonte de energia t˜ ao limpa que o u ´ nico res´ıduo que produz ´e vapor de ´agua. Parece sonho, mas j´a existem no mundo alguns prot´otipos desse ve´ıculo. Trata-se do carro movido ´ um grande problema tecnol´ a hidrogˆenio. E ogico que ainda precisa ser resolvido para que sua produ¸ca˜o em grande escala possa ser pensada ´e uma forma segura e economicamente vi´ avel de armazenar o ”combust´ıvel”. Isso porque o hidrogˆenio ´e um g´ as altamente combust´ıvel e inst´avel. Basta lembrar que o Zeppelin incendiou-se com hidrogˆenio gasoso e a Challenger explodiu a partir de seus tanques de hidrogˆenio l´ıquido. A solu¸ca˜o tem grandes chances de nascer no Brasil. Para isso, a Coordena¸ca˜o de Programas de P´ os-Gradua¸ca˜o em Engenharia (Coope) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), est´ a desenvolvendo, uma parceria com a Renault, uma das mais promissoras linhas de pesquisa em curso no mundo: o ”tanque”maci¸co no qual ´atomos de hidrogˆenio s˜ao ”embutidos”dentro da estrutura atˆomica do metal. A parceria representa a primeira vez que a Renault transfere parte de sua pesquisa para fora da Fran¸ca. Assim, as rela¸co˜es entre a carga que atravessa a solu¸ca˜o e as massas dos participantes s˜ao: – a massa da substˆancia formada no eletrodo e a massa da substˆancia decomposta s˜ao diretamente proporcionais `a carga el´etrica que atravessa a solu¸ca˜o dada por: Q = it sendo Q a carga el´etrica (em coulombs) i a intensidade da corrente (em amp`eres) t o tempo (em segundos). Vocˆ e Sabia? A vida vegetal e animal na ´ agua depende de seu car´ ater oxidante ou redutor, o que ´e dado pela equa¸ca˜o: O carro de hidrogˆenio n˜ ao polui porque n˜ ao queima combust´ıvel. Seu motor ”arranca”energia el´etrica do hidrogˆenio por meio de rea¸co˜es qu´ımicas limpas. Nesse autom´ ovel, uma cujo E◦ varia aproximadamente de +0, 3 V (para ´ agua aec´elula (ou pilha) combust´ıvel realiza o inverso da eletr´ olise, rada) a −0, 6 V (para ´ agua com pouco ar). Quanto maior combinando a ´ tomos de hidrogˆ e nio e de oxigˆ e nio. O processo o E◦ mais oxidante ser´a o meio aquoso. produz vapor de ´agua e uma corrente el´etrica. O2 + 4H + + 4e− =⇒ 2H2 O Al´em de limpo, o motor a hidrogˆenio ´e muito mais eficiente que os motores convencionais a explos˜ao usados hoje nos autom´ oveis. Enquanto um motor el´etrico transforma em Eletr´ olise Industrial do N aCl energia mecˆanica (movimento) quase 100% da energia que produz, um motor a explos˜ao converte em movimento meA eletr´ olise aquosa do sal produz hidrogˆenio (H2 ), cloro nos de 30% da energia gerada pela queima do combust´ıvel. (Cl2 ) e soda c´ austica (N aOH). Esse processo envolve o O restante perde-se sob a forma do calor produzido pelo consumo de grandes quantidades de energia, por isso as movimento dos pist˜oes. ind´ ustrias instalam-se preferencialmente em regi˜ oes onde a a investido numa fonte de cloreto de s´odio e a energia el´etrica s˜ao custo mais O Laborat´orio de Hidrogˆenio da Coppe est´ alternativa bem diferente, que permitiria armazenar num baixo. O hidr´oxido de s´odio, conhecido como soda c´ austica, espa¸ c o pequeno grandes quantidades de hidrogˆenio des´e o principal produto dessa eletr´ olise, ´e a base mais batitu´ ıdo do seu potencial explosivo. Para isso, os cientistas rata e mais importante como mat´eria prima, sendo usada quebram as mol´ e culas de hidrogˆ e nio, separando seus dois na fabrica¸ca˜o de sab˜ ao, detergentes, papel, sais de s´odio, rea ´ tomos, que por serem muito pequenos, podem ser ”embufina¸ca˜o de petr´ oleo, purifica¸ca˜o de ´ oleos vegetais, ind´ ustria tidos”dentro da estrutura do metal de um ”tanque”maci¸ co. tˆextil, entre outros. O cloro ´e usado como desinfetante por Parece fic¸ c a ˜ o, mas, no laborat´ o rio da Coope, os cientisser um agente bactericida, no tratamento da ´ agua e esgotos, no branqueamento da celulose, na fabrica¸ca˜o de inseticidas tas conseguem com ˆexito ”embutir”o hidrogˆenio no metal como BHC, na prepara¸ca˜o de PVC, na fabrica¸ca˜o de hipo- e regata-lo novamente na forma gasosa. cloritos, entre outros. O Hidrogˆenio ´e extremamente reativo e perigosos de ser manipulado, pois ´e explosivo e inflam´ avel. Ele ´e usado na hi- Pense um Pouco! drogena¸ca˜o de ´oleos vegetais (produ¸ca˜o de margarinas), na • De acordo com as rea¸co˜es do Al e do Co: produ¸ca˜o de amon´ıacos (N H3 ), como combust´ıvel de foguetes, em ma¸caricos ox´ıdricos, etc. Al+3 + 3e− =⇒ Al -1,66 V A rea¸ca˜o entre o hidrogˆenio e cloro produz o cloreto de hidrogˆenio (HCl), que dissolvido em ´ agua produz ´acido Co+2 + 2e− =⇒ Co -0,28 V clor´ıdrico, usado na limpeza de superf´ıcies met´alicas que ser˜ao galvanizadas. O ´ acido muri´ atico ´e o ´ acido clor´ıdrico Responda: contendo impurezas, usado na limpeza de ch˜ ao. a) Qual deles se reduz mais facilmente? b) Qual deles se oxida mais facilmente? O hipoclorito de s´odio ´e obtido pela passagem de uma corc) Qual o melhor agente redutor? rente de g´ as cloro pela solu¸ca˜o de hidr´oxido de s´odio e ´e d) Qual o melhor agente oxidante? usado como alvejante e desinfetante. Para Aprender Mais! 174 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao b) os metais se reduziriam espontaneamente no eletrodo c) a ´agua sofreria oxida¸ca˜o d) o n´ umero de oxida¸co˜es dos metais aumentaria 1. (UFSM-RS) Um procedimento utilizado para limpar obe) a redu¸ca˜o da ´agua ocorreria preferencialmente jetos de prata ´e coloc´ a-los em um recipiente de alum´ınio com agua quente e N aHSO3 . Este processo pode ser expresso ´ pela rea¸ca˜o: 2Al0 + 3Ag2 S =⇒ Al2 S3 + 6Ag 0 Podemos afirmar que a rea¸ca˜o ocorre porque: a) o Al ´e mais reativo e reduz a prata b) o Al ´e mais reativo e oxida o msulfeto c) os metais `a esquerda de H s˜ao facilmente reduzidos d) a prata ´e um bom agente redutor e) o sulfeto de prata ´e facilmente oxidado 2. (UFSC) Com base no diagrama da pilha + + Zn|Zn (1M )||Ag (1M )|Ag e nos potenciais padr˜ oes de oxida¸ca˜o, a 25 ◦ C, das semirea¸co˜es: Zn =⇒ Zn+2 + 2e− E ◦ = +0, 76V Ag =⇒ Ag + + e− E ◦ = −0, 80V ´e correto afirmar que: 01. Os ´atomos de zinco sofrer˜ao oxida¸ca˜o. 02. Os ´atomos de prata perder˜ ao el´etrons. 04. O c´ atodo da pilha ser´a eletrodo de prata. 08. Entre os eletrodos de Zn e Ag existe uma diferen¸ca de potencial padr˜ ao de 2,36 volts. 16. A massa do eletrodo de zinco diminui com o tempo. 32. O sentido espontˆ aneo do processo ser´a: 64. n+2 + 2Ag =⇒ Zn + 2Ag + Qu´ımica Orgˆ anica Aula 1 Introdu¸c˜ ao ` a Qu´ımica Orgˆ anica BERZELIUS “Somente os seres vivos podem transformar substˆancias minerais em orgˆ anicas” (Teoria da For¸ca Vital) ¨ WHOLLER S´ıntese da ur´eia (composto orgˆ anico) a partir do cianato de amˆ onio (composto inorgˆ anico) em laborat´orio. NH2 \ NH4CNO --- C = O / NH2 Caracter´ısticas do Carbono Postulados de Kekul´e: ´ tetracovalente. 1. E 2. Os ˆangulos entre as valˆencias s˜ao de 109◦ 28′ , adquirindo a forma de um tetraedro regular. 3. Possui a propriedade de encadeamento. 3. (UFRGS) Um jovem, ap´os utilizar uma solu¸ca˜o de sulfato de cobre II para proteger sua parreira, armazenou-a em um 4. Um ´atomo de carbono pode formar uma, duas ou at´e balde de ferro. Depois de algum tempo observou que o trˆes liga¸co˜es com um segundo ´atomo, realizando, asbalde estava furado e que havia se formado um dep´osito sim, respectivamente, liga¸co˜es simples, duplas ou triavermelhado. O metal avermelhado pode ser: plas. a) ´ oxido de cobre II b) sulfeto de cobre II Assim, classificamos as liga¸co˜es do carbono em: c) sulfeto de ferro II ´ a primeira liga¸ca˜o entre dois ´atomos. d) ferro met´alico • Sigma (σ): E e) cobre met´alico Ocorre, neste caso, uma superposi¸ca ˜o de orbitais (overlap). Exerc´ıcios Complementares 4. (ULBRA-RS) A rea¸ca˜o de eletr´ olise ´e utilizada para: a) obten¸ca˜o da eletricidade nas pilhas b) fazer destila¸ca˜o do petr´ oleo c) eletrodeposi¸ca˜o de metais, como a croma¸ca˜o d) o branqueamento de fibras no fabrico do papel e) fabricar sab˜ oes a partir de gorduras 5. (UFRGS) A maioria dos metais alcalinos terrosos foi obtida pela primeira vez por Humphry Davy, no in´ıcio do s´eculo XIX, por eletr´ olise das respectivas bases fundidas. Os metais n˜ ao poderiam ser obtidos a partir de solu¸co˜es aquosas de suas bases ou de seus sais porque: a) os metais se oxidariam • Pi (π): S˜ ao as segundas e terceiras liga¸co˜es entre dois ´atomos. Agora, o que ocorre ´e uma aproxima¸ca ˜o entre os orbitais. Liga¸c˜ oes Quanto ao n´ umero de ´atomos de C unidos diretamente a ele: • carbono prim´ ario: liga-se a 1 ´atomo de carbono; • carbono secund´ario: liga-se a 2 ´atomos de carbono; • carbono terci´ ario: liga-se a 3 ´atomos de carbono; • carbono quatern´ario: liga-se a 4 ´atomos de carbono; ˆnica – Aula 1 Qu´ımica Orga 175 Satura¸c˜ ao Cadeias Carbˆ onicas e Radicais SATURADO ´e aquele que apresenta apenas simples liga¸co˜es; C–C–C–C Tomemos, por exemplo, o composto: INSATURADO, aquele que apresenta dupla ou tripla liga¸ca˜o: C == C – C – C Hibridiza¸c˜ ao do Carbono 1. sp3 (tetra´edrica) CH3 CH3 | | CH3 -- CH -- CH -- CH -- C -- CH2 -- CH3 | | | CH2 CH2 CH3 | | CH3 CH3 Podemos separ´ a-lo em duas partes principais: • ´e a fus˜ao de quatro orbitais (um do tipo s e trˆes do tipo p) formando quatro orbitais do tipo sp3 ; Cadeia Principal ´ a maior sequˆencia de carbonos, ininterrupta, que abrange E a principal caracter´ıstica do composto. • forma somente liga¸co˜es simples; • ˆangulo entre as valˆencias: 109◦28′ ; • ´e caracter´ıstica dos alcanos; • carbono liga-se a outros quatro ´ atomos. 2. sp2 (trigonal) • ´e a fus˜ao de um orbital s com dois orbitais p, formando trˆes orbitais do tipo sp2 ; • forma duas liga¸co˜es simples e uma dupla; • ˆangulo entre as valˆencias: 120◦; • ´e caracter´ıstica dos alcenos; • carbono liga-se a outros trˆes ´ atomos. Radicais Orgˆ anicos S˜ ao grupamentos de ´atomos contendo carbono, que se unem `a cadeia principal por liga¸co˜es (valˆencias). O composto acima, separado nas duas partes descritas, ficaria: CH3 CH3 CH3 | | | CH2 - CH2 - CH - CH - CH - C - CH2 - CH3 | | CH2 CH3 | CH3 3. sp (linear) Ou seja, a Cadeia Principal possui 8 carbonos, e um to• ´e a fus˜ao de um orbital s com um p formando tal de 5 radicais, sendo 4 constitu´ıdos por um carbono e 1 dois orbitais do tipo sp; constitu´ıdo por 2 carbonos. • pode formar duas liga¸co˜es duplas ou uma tripla e uma simples; ˜ CLASSIFICAC ¸ AO DAS CADEIAS • ˆangulo entre as valˆencias: 180◦; • ´e caracter´ıstica dos alcinos e alcadienos; • carbono liga-se a outros dois ´ atomos. 1. SATURADA: Cadeia cujos carbonos, se unem por simples liga¸ca˜o: Ex. CH3 – CH2 – CH3 2. INSATURADA: Cadeia cujos carbonos se unem por duplas e/ou triplas liga¸co˜es: Resumo Ex. CH2 == CH – CH3 Tipo de ligação Só ligaçoes simples Representação Hibridação Ângulo entre as valências C sp 3 Uma dupla ligação C sp 2 Uma tripla ligação Duas duplas ligações C sp 180 C sp 180 109 28´ 120 ˆ 3. HOMOGENEA: Cadeia cujo n´ ucleo s´o ´e constitu´ıdo por carbonos. Ex. CH3 – CH2 – CH3 ˆ 4. HETEROGENEA: Cadeia que apresenta um hetero´atomo (N, O, S), ou seja, ´atomo diferente de carbono unido a pelo menos dois outros carbonos. Ex. CH3 – O – CH2 – CH3 Elementos Organ´ ogenos 5. NORMAL: Cadeia n˜ ao ramificada, ou seja, constitu´ıda por carbonos prim´ arios e secund´arios somente. Ex. CH3 – CH2 – CH == CH2 S˜ ao os elementos que formam os compostos orgˆ anicos. Os mais frequentes s˜ao: C, H, O, N. 6. RAMIFICADA: cadeia que apresenta ramos ou ramifica¸co˜es (radicais). 176 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Resumo CH3 | CH3 - CH - CH2 HIDROCARBONETOS 7. MISTA: cadeia c´ıclica ramificada, ou seja, apresentando parte c´ıclica e parte ac´ıclica. ALIFÁTICOS AROMÁTICOS Alcenos −− ligações duplas Saturados CH - CH3 | | CH3 - CH - CH2 Insaturados Alcanos Alcinos −− ligações triplas Radicais Alquilo 8. HOMOC´ICLICA: cadeia cujo n´ ucleo s´o apresenta atomos de carbono: ´ 9. HETEROC´ICLICA: cadeia c´ıclica com hetero´ atomo. CH2 --- CH2 | | CH2 - O - CH2 Pense um Pouco! • Como ´e poss´ıvel ter tantos compostos de carbono? • Qu´ımica orgˆ anica pode ser somente definida como a qu´ımica extra´ıda de seres vivos? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao ´ 10. AROMATICA: cadeia c´ıclica, contendo um anel de benzeno, que apresenta efeito de ressonˆancia. • MONONUCLEADA: um u ´ nico n´ ucleo ressonante. ´ • POLINUCLEADA DE NUCLEOS CONDENSADOS: mais de um n´ ucleo fundido. 1. (PUC-SP) Na f´ormula: H3C \ H | CH - C - CH2 - CH - CH3 / | | | H3C H CH3 CH3 ´ • POLINUCLEADA DE NUCLEOS ISOLADOS: as quantidades totais de ´atomo de carbonos prim´ ario, semais de um n´ ucleo separado entre si. cund´ario e terci´ ario s˜ao, respectivamente: a) 5, 1 e 3; b) 2, 3 e 4; CH 3 c) 3, 3 e 2; d) 2, 4 e 3; e) 5, 2 e 2. (a) (b) (c) Figura 1: Cadeias arom´ aticas mononucleada (a), polinucleada com n´ ucleos condensados (b) e com n´ ucleos isolados (c) Radicais derivados do Benzeno 2. Sabe-se que uma cadeia carbˆonica alif´atica, homogˆenea e saturada apresenta dois ´atomos de carbono secund´ario, dois ´atomos de carbono quatern´ario e trˆes ´atomos de carbono terci´ ario. Logo, essa cadeia apresenta: a) 12 ´atomos de C; b) 14 ´atomos de C; c) 16 ´atomos de C; d) 13 ´atomos de C; e) 15 ´atomos de C. 3. Carbono quatern´ario ´e aquele que: Regra adicional: se contiver 2 valˆencias, as mesmas s˜ao in- a) tem, quatro liga¸co˜es; dicadas por ORTO (posi¸ca˜o 1 e 2), META (posi¸ca˜o 1 e 3) b) ´e tetravalente; c) est´ a ligado a quatro elementos quaisquer; e PARA (posi¸ca˜o 1 e 4): d) est´ a ligado a quatro outros ´atomos de carbono; Exemplo: e) n.d.a. CH 3 CH 3 1 2 CH 3 CH 3 1 1 3 CH 3 O−dimetil−benzeno M−dimetil−benzeno 4 CH 3 P−dimetil−benzeno 4. O n´ umero de liga¸co˜es (sigma) e o de liga¸co˜es (pi) na mol´ecula do ciclopenteno s˜ao, ˆnica – Aula 2 Qu´ımica Orga respectivamente: a) 5 e 1; b) 4 e 2; c) 10 e 2; d) 13 e 1; e) 12 e 2. 177 d) aberta, normal, homogˆenea e saturada; e) aberta, ramificada, heterogˆenea e insaturada 11. (UFCE) A nicotina pode ser representada pela f´ormula. 5. Um composto c´ıclico, com 3 carbonos e uma dupla liga¸ca˜o, ter´ a f´ormula molecular. a) C3H2 b) C3H3 c) C3H4 d) C3H5 e) C3H6 N N CH 3 Quantos ´atomos de carbono e quantos ´atomos de hidrogˆenio existem em uma mol´ecula deste composto? 6. (CARLOS CHAGAS) O modelo espacial cl´ assico do a) 10 e 13 atomo de carbono, um tetraedro regular cujo centro ´e ocu- b) 10 e 14 ´ pado pelo ´atomo e cujos v´ertices representam as valˆencias, c) 9 e 12 ´e devido a: d) 8 e 14 a) Lavoisier; e) n.d.a. b) Faraday; 12. (CARLOS CHAGAS) O naftaleno, cuja estrutura ´e: c) W¨ olher; d) Guldberg e Waage; e) Kekul´e. 7. (CARLOS CHAGAS) Um composto aberto, com 4 carbonos e uma dupla liga¸ca˜o, sendo constitu´ıdo apenas por carbonos e hidrogˆenios, ter´ a f´ ormula molecular: a) C4H10 b) C4H8 c) C4H6 Apresenta cadeia: d) C4H4 a) c´ıclica, ac´ıclica, insaturada; e) C4H5 b) c´ıclica, arom´ atica, mononucleada; c) ac´ıclica, insaturada, ramificada; d) c´ıclica, arom´ atica, polinucleada; Exerc´ıcios Complementares e) ac´ıclica, homogˆenea, insaturada. 8. Qu´ımica orgˆ anica ´e a parte da Qu´ımica que estuda: a) O ´ atomo de carbono. b) Todos os compostos do elemento carbono. c) Os compostos dos elementos organ´ ogenos. d) Os compostos de todos os elementos qu´ımicos. e) n.d.a. 9. Os principais elementos organ´ ogenos, s˜ao: a) C, H, O, N b) C, H, O, S c) C, H, O, I d) C, H, S, N e) C, H, O, Cl 10. (PUC) Classifique a cadeia H O | || H - C - C | | H H H H O || | // C - C - C | \ CH3 OH segundo suas caracter´ısticas: a) aberta, ramificada, homogˆenea e saturada; b) aberta, normal, heterogˆenea e insaturada; c) aberta, ramificada, homogˆenea e insaturada; Qu´ımica Orgˆ anica Aula 2 Nomenclatura A nomenclatura atualmente adaptada pela comunidade cient´ıfica, a IUPAC, os compostos orgˆ anicos mais simples e que constituem a base de todos os outros s˜ao os hidrocarbonetos, constitu´ıdos por apenas dois elementos carbono e hidrogˆenio. Estruturalmente, os hidrocarbonetos podem ser divididos em dois grandes grupos: hidrocarbonetos alif´aticos e hidrocarbonetos arom´ aticos, caracterizando-se estes u ´ ltimos por apresentarem um ciclo de 6 ´atomos de carbono com caracter´ısticas muito espec´ıficas. A informa¸ca˜o do n´ umero de ´atomos de carbono que se encontram representados na cadeia principal ´e dada pelo prefixo do nome do composto em estudo. Tabela de Prefixos Os prefixos num´ericos relacionados com o n´ umero de carbonos. 178 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Carbonos 1 2 3 4 5 6 7 Prefixo MET ET PROP BUT PENT HEX HEPT Estrutura C C-C C-C -C C-C-C-C C-C-C-C-C C-C-C-C-C-C C-C-C-C-C-C-C Em compostos que apresentem um n´ umero de ´ atomos de carbono superior a 7, ´e adaptado o prefixo da numera¸ca˜o grega correspondente `a mesma, de modo an´alogo ao prefixo das cadeias de 5, 6 e 7 ´ atomos ligados, respectivamente. Alcanos (parafinas): s˜ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, saturada e de f´ormula geral: Cn H2n+2 — www.mundofisico.joinville.udesc.br Alcenos Para os alcenos de cadeia normal e de cadeia ramificada a nomenclatura ´e muito semelhante `a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se `a termina¸ca˜o ano do alcano por eno. Regras 1. A cadeia principal ´e a mais longa que cont´em a dupla liga¸ca˜o. 2. A numera¸ca˜o da cadeia principal ´e sempre feita a partir da extremidade mais pr´oxima da dupla liga¸ca˜o, independentemente das ramifica¸co˜es presentes na cadeia. No nome do alceno a posi¸ca˜o da dupla ´e dada pelo n´ umero do primeiro carbono da dupla; esse n´ umero ´e escrito antes do nome do alceno. em que n ´e o n´ umero de ´ atomos de carbono. Em condi¸co˜es ambientais alcanos apresentam os estados 3. Se houver mais de uma possibilidade para a cadeia prinf´ısicos: gasoso (1 a 4 carbonos), l´ıquido (5 a 18 carbonos) e cipal adota-se a regra dos menores n´ umeros. s´olido (mais de 18 carbonos). S˜ ao obtidos do petr´ oleo e g´ as natural. Alcenos e alcinos apresentam propriedades f´ısicas semelhantes aos alcanos. Alcinos Nomenclatura Orgˆ anica Nome = PREFIXO + AFIXO + SUFIXO • Prefixo: indica o n´ umero de ´ atomos de carbono pertencentes `a cadeia principal. Ex. met (1), et (2), prop (3), but (4), etc. • Afixo ou infixo: indica o tipo de liga¸ca˜o entre os carbonos: Todas simples = an uma dupla = em duas duplas = dien trˆes duplas = trien uma tripla = in duas triplas = diin S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma liga¸ca˜o tripla entre carbonos e de f´ormula geral: Cn H2n−2 em que n ´e o n´ umero de carbonos. Nomenclatura dos Alcinos Para os alcino de cadeia normal e de cadeia ramificada ´e muito semelhante `a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se `a termina¸ca˜o ano do alcano por ino. Ciclanos (cicloparafinas) • Sufixo: indica a fun¸ca˜o qu´ımica do composto S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia fechada, saturada, s´o apreorgˆ anico: sentam liga¸co˜es entre os ´atomos de carbono do ciclo, e de hidrocarboneto = no ´ alcool = ol alde´ıdo = al cetona f´ormula geral: = ona ´acido carbox´ılico = o ´ico amina = amina ´eter = Cn H2n o ´xi em que n ´e o n´ umero de carbonos. Alcanos de Cadeia Normal Junta-se o prefixo + infixo + ano. Ciclenos Exemplo Nomenclatura dos ciclenos de cadeia normal e de cadeia Metano, etano, propano, butano, pentano, hexano, heptano, ramificada: octano, nonano, decano, undecano, dodecano, etc. I. O nome ´e dado adicionando-se o prefixo CICLO ao nome do alceno correspondente; Alcenos (olefinas) S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma liga¸ca˜o dupla entre carbonos e de f´ ormula geral: CnH2n em que n ´e o n´ umero de carbonos. II. Quando a cadeia for ramificada, a numera¸ca˜o da cadeia se inicia a partir do carbono da liga¸ca˜o dupla (a dupla deve ficar entre o carbono 1 e 2) e segue-se o sentido hor´ ario ou anti-hor´ario, de maneira a se respeitar `a regra dos menores n´ umeros; III. As ramifica¸co˜es devem ser citadas em ordem alfab´etica; ˆnica – Aula 2 Qu´ımica Orga 179 Fun¸ c˜ oes Oxigenadas ´ Eteres ´ Alcoois Ss˜ao compostos orgˆ anicos que apresentam um oxigˆenio ligado a dois radicais orgˆ anicos. Os ´eteres s˜ao obtidos a partir da desidrata¸ca˜o intermolecular dos ´alcoois. Sua nomenclatura ´e composta pelo radical menor escrito com a termina¸ca˜o oxi, seguido do nome do hidrocarboneto correspondente ao radical maior. F´ ormula Geral S˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam um ou mais grupos hidroxilas (OH) ligados a ´ atomos de carbono saturados. Os ´ alcoois s˜ao mais reativos que os hidrocarbonetos e apresentam car´ ater praticamente neutro. Na nomenclatura dos alcoois utilizamos o sufixo ol para indicar o grupo funcional ´ (OH). ´ Classifica¸ c˜ ao dos Alcoois Quanto `a posi¸ca˜o do grupo OH: ´ I. Alcool prim´ ario: a hidroxila est´ a ligada a um ´ atomo de carbono prim´ ario. ´ II. Alcool secund´ario: a hidroxila est´ a ligada a um ´atomo de carbono secund´ario. ´ III. Alcool terci´ ario: a hidroxila est´ a ligada a um ´ atomo de carbono terci´ ario Quanto ao n´ umero de hidroxilas: I. Mono´ alcool : possui somente 1 grupo funcional OH II. Di´ alcool: possui 2 grupos funcionais OH III. Tri´ alcool: possui 3 grupos funcionais OH Fen´ ois R - O - R ´ Acidos Carbox´ılicos : s˜ao compostos orgˆ anicos que apresentam a hidroxila ligada ao grupo carbonila. Os ´acidos carbox´ılicos tem car´ ater ´acido, em sua nomenclatura usamos o prefixo ´acido e o sufixo o ´ico. F´ ormula Geral O // R - C \ OH ´ Esteres: s˜ao compostos orgˆ anicos usados como essˆencias. S˜ ao compostos orgˆ anicos em que o grupo OH se liga direConstituem tamb´em ´oleos vegetais e animais, ceras e gortamente ao anel benzˆenico. Os fen´ois apresentam car´ ater dura. S˜ ao obtidos a partir da rea¸ca˜o entre ´alcool ou fenol e acido, em sua nomenclatura usamos o prefixo hidroxi. ´ ´acido carbox´ılico. Sua nomenclatura ´e composta pelo nome do ´acido formador trocando a termina¸ca˜o ico por ato seguido pela preposi¸ca˜o de e pelo nome do radical correspondente Alde´ıdos ao ´alcool ou fenol. S˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam o grupo carbonila F´ ormula Geral na extremidade do composto. Os alde´ıdos s˜ao desidratantes, em sua nomenclatura usamos o sufixo al. O F´ ormula Geral // R - C O \ // O - R R - C \ ´ Sais de Acidos Carbox´ılicos H S˜ ao compostos orgˆ anicos que derivam dos ´acidos carbox´ılicos pela substitui¸ca˜o do hidrogˆenio da hidroxila por um metal. Em sua nomenclatura, d´ a-se o sufixo ato ao s˜ao compostos orgˆ anicos que apresentam o grupo carbonila nome da cadeia de origem (igual aos ´esteres) seguido da preentre carbonos. Em sua nomenclatura usamos o sufixo ona. posi¸ca˜o de e do nome metal. Os sais de ´acidos carbox´ılicos de cadeia longa s˜ao denominados de sab˜ oes. F´ ormula Geral F´ ormula Geral O // O R - C - R // R - C \ + Haletos Orgˆ anicos ONa S˜ ao compostos derivados dos hidrocarbonetos pela troca de um ou mais hidrogˆenios por halogˆenios (F, Cl, Br, I). ´ Cetonas F´ ormula Geral R - X Haletos de Acidos S˜ ao compostos orgˆ anicos que derivam dos ´acidos carbox´ılicos pela substitui¸ca˜o da hidroxila por um halogˆenio. 180 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Em sua nomenclatura, o nome do ˆ anion correspondente ao Amidas haleto seguido da preposi¸ca˜o de e do nome do acido de oriS˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos normalmente da rea¸ca˜o gem com a termina¸ca˜o ila. de um ´acido carbox´ılico e uma amina. Em sua nomenclaF´ ormula Geral tura, substitui-se a termina¸ca˜o ´oico do ´acido carbox´ılico por amida. S˜ ao usados na prepara¸ca˜o de medicamentos. O F´ ormula Geral // R - C O \ // X R - C \ NH2 ´ Anidridos de Acido Carbox´ılico S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos pela desidrata¸ca˜o intermolecular de dois ´acidos carbox´ılicos. Sua nomenclatura ´e composta pela palavra anidrido seguido do nome do menor acido e por fim o nome do maior ´ ´ acido. Caso o anidrido possuir cadeias iguais, n˜ ao se deve repetir o nome do ´acido. F´ ormula Geral O // Nitrilas S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos do ´acido cian´ıdrico pela substitui¸ca˜o do hidrogˆenio por um radical derivado de hidrocarboneto. Em sua nomenclatura, usa-se o nome do hidrocarboneto correspondente seguido do sufixo nitrila. F´ ormula Geral R - C \\\ N R - C \ O / Nitro Compostos R - C \\ O Fun¸ c˜ oes Nitrogenadas S˜ ao compostos orgˆ anicos derivados do ´acido n´ıtrico pela substitui¸ca˜o da hidroxila por um radical alquila ou arila. Em sua nomenclatura, usa-se o prefixo nitro seguido do nome do hidrocarboneto correspondente. F´ ormula Geral Aminas S˜ ao compostos orgˆ anicos derivados da amˆ onia (N H3 ) pela substitui¸ca˜o de um ou mais hidrogˆenios por radicais alquila ou arila. As aminas s˜ao usadas como corantes. Em sua nomenclatura usa-se o nome do radical O // R - N \ O ou R - NO2 F´ ormula Geral Curiosidade H / R - N \ H (amina prim´ aria) H / Computadores orgˆ anicos atualmente estudados, tem processadores ultra-pequenos, 100 bilh˜oes de vezes mais r´apidos que os atuais. a tecnologia adotada emprega ”Molecular Switches”, que, na verdade, s˜ao mol´eculas orgˆ anicas que desempenham o papel dos mais variados componentes eletrˆ onicos de um microprocessador. R - N \ R (amina secund´ aria) • Os compostos orgˆ anicos s˜ao usados largamente pela industria qu´ımica. Vocˆe conhece alguns compostos? Comente e dˆe suas respectivas f´ormulas estruturais. R / R - N \ R Pense um Pouco! (amina terci´ aria) • Uma das aminas respons´ aveis pelo cheiro de peixe ´e a trimetilamina. Dˆe sua f´ormula molecular. ˆnica – Aula 2 Qu´ımica Orga 181 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao muito fortes, utilizada em pacientes com doen¸cas terminais muito dolorosas. Algumas das fun¸co˜es orgˆ anicas existentes na estrutura da morfina s˜ao: 1. (ITA-2004) A estrutura molecular da morfina est´ a reprea) ´alcool, amida e ´ester. sentada abaixo. b) ´alcool, amida e ´eter. c) ´alcool, alde´ıdo e fenol. d) amina, ´eter e fenol. e) amina, alde´ıdo e amida 5. (UNESP-2004) Durante a guerra do Vietn˜a (d´ecada de 60 do s´eculo passado), foi usado um composto chamado agente laranja (ou 2,4-D) que, atuando como desfolhante das ´arvores, impedia que os soldados vietnamitas (os vietcongues) se ocultassem nas florestas durante os ataques dos bombardeiros. Esse material continha uma impureza, resultante do processo de sua fabrica¸ca˜o, altamente cancer´ıgena, chamada dioxina. As f´ormulas estruturais para estes compostos s˜ao apresentadas a seguir. Assinale a op¸ca˜o que apresenta dois dos grupos funcionais presentes nesta substˆancia. ´ a) Alcool e ´ester. b) Amina e ´eter. ´ c) Alcool e cetona. ´ d) Acido carbox´ılico e amina. e) Amida e ´ester. 2. Escreva as f´ormulas de estrutura dos seguintes compostos: a) 2,2,4-trimetil pentano b) 2-bromopropeno c) propino Esses compostos apresentam em comum as fun¸co˜es: d) 2,2-dicloro-1-fluoro-3-iodobutano a) amina e ´acido carbox´ılico e) 2,5-hexanodiol b) ´acido carbox´ılico e amida. f) ´eter etilfen´ılico c) ´eter e haleto orgˆ anico. g) ´eter diprop´ılico d) cetona e alde´ıdo. h) etanol e) haleto orgˆ anico e amida. i) 5-etil-5-metil-heptanona-3 6. O Biodigestor promove, atrav´es da atividade de j) benzalde´ıdo bact´ e rias, a convers˜ao dos esgotos em material inerte e em k) ´ acido 2-cloro-2-metil propan´ oico biog´ a s. O principal biog´as obtido neste reator ´e: l) etanoato de butilo a) CH 4 m) pentanamida b) CH3 CH2 OH n) etilfenilmetilamina c) N O2 o) ciclopentano d) SO2 p) ciclobuteno e) C2 H6 3. O teflon ´e usado em panelas como frigideiras com finalidades de n˜ ao permitir a aderˆencia de gordura F F | | (repete) - C - C - (repete) | | F F Sua nomenclatura oficial ser´a: a) fl´ uor-etano b) difl´ uor-metano c) tetrafl´ uor-eteno d) butano-fl´ uor e) n. d. a. 4. (UFSCAR-2004) A morfina ´e um alcal´ oide que constitui 10% da composi¸ca˜o qu´ımica do ´ opio, respons´ avel pelos efeitos narc´oticos desta droga. A morfina ´e eficaz contra dores Exerc´ıcios Complementares 7. (UFMA) A rea¸ca˜o: ´alcool + ´acido carbox´ılico, produz: a) ´eter b) haleto de alco´ıla c) anidrido de ´acido d) ´ester e ´agua e) sal e ´agua 8. Os grupos orgˆ anicos obtidos a partir dos alcanos pela perda dos ´atomos de hidrogˆenio CH3 - CH2 - CH - CH3 | H* 182 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Pol´ımeros CH3 - CH - CH3 | H* assinalados com asterisco, denominam-se respectivamente: a) isobutil e s-pentil; b) isobutil e isopropil; c) s-butil e isopropil; d) s-butil e s-pontil. e) n. d. a. Pol´ımeros s˜aos macro-mol´eculas (mol´ecula muito grande) que apresentam unidades estruturais que se repetem regularmente. As mol´eculas que reagem para formar os pol´ımeros se denominam monˆ omeros. Existem muitos pol´ımeros naturais, como a celulose, o amido, as prote´ınas, etc. 9. Dˆe a nomenclatura (IUPAC) do composto abaixo: CH 3 1 (a) 2 CH (b) 3 Figura 1: Um monˆ omero (esquerda), e um pol´ımero (direita). 10. (SUPRA-98) A partir de novembro do pr´oximo ano 1999, chegar´a ao estado de santa Catarina g´ as natural proveniente da Bol´ıvia, via Mato Grosso do Sul passando por S˜ ao Paulo, Paran´a, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. O g´ as natural ´e utilizado com ˆexito nos pa´ıses desenvolvidos e estar´ a dispon´ıvel para uso industrial, comercial e residencial. A m´edio prazo trar´ a economia aos seus usu´ arios substituindo o emprego de ´oleo diesel nas ind´ ustrias. As vantagens ecol´ogicas s˜ao as primeiras destacadas por quem conhece os resultados do uso do g´ as natural. O g´ as n˜ ao ´e poluente, porque n˜ ao emite cinzas e tem queima de 97%, n˜ ao necessita de tratamento efluentes gasoso e n˜ ao interfere na colora¸ca˜o dos produtos fabricados (especialmente a cerˆ amica). Registros da Petrobr´as respons´ avel pelo gasoduto Bol´ıvia- Brasil. Este texto refere-se ao g´ as: a) etano b) propano c) benzeno d) metano e) acetileno 11. (ACE) A gasolina ´e constitu´ıda principalmente por mistura de: a) alcanos b) hidretos c) ´ alcoois d) compostos de chumbo e) n. d. a. Em fun¸ca˜o do tipo de rea¸ca˜o que ocorre com o monˆ omero, os pol´ımeros podem ser de adi¸ca˜o ou de condensa¸ca˜o. Podemos tamb´em classificar os pol´ımeros quanto ao numero de monˆ omeros utilizados no processo. Homopol´ımeros - formados a partir de um u ´ nico monˆ omero. Copol´ımeros - formados a partir de dois ou mais monˆ omeros. Pol´ımeros de Adi¸c˜ ao S˜ ao formados por rea¸co˜es de adi¸ca˜o. Na estrutura do monˆ omero encontramos dupla liga¸ca˜o entre carbonos. Esta ´e aberta, e da uni˜ao das valˆencias livres entre os monˆ omeros, vamos obter o pol´ımero. Homopol´ımeros Temos alguns exemplos de pol´ımeros de adi¸ca˜o: ˜ CARLOS) Um alcanos encontrado nas folhas 12. (UF-SAO de repolho cont´em em sua f´ ormula 64 ´ atomos de hidrogˆenio. O n´ umero de ´atomos de carbono na f´ ormula ´e: a) 29 b) 32 c) 30 d) 33 e) 31 Qu´ımica Orgˆ anica Aula 3 • Polietileno - sacolas pl´asticas, toalhas, cortinas, revestimentos de fio, embalagens, etc. • Policloreto de vinila (PVC) - tubos de encanamentos,sapatos pl´asticos, disco de vinil (lembra?) capas de chuva etc. • Poliestireno - isopor quando aerado, pl´astico r´ıgido transparente. • Politetrafuoretileno (PTFE ou teflon) - revestimento de cabos condutores de eletricidade e panelas. • Polipropileno - p´ ara-choques de autom´ oveis, cordas, tapetes etc. • Borracha sint´etica - pneu, mangueiras, correias. ˆnica – Aula 3 Qu´ımica Orga 183 Copol´ımeros Os principais copol´ımeros de adi¸ca˜o s˜ao as borrachas sint´eticas, como a BUNA-S e BRUNA-N. A finalidade da adi¸ca˜o de um segundo monˆ omeros ao 1,3-butadieno ´e melhorar as propriedades mecˆanicas e f´ısicas do produto final. Pol´ımeros de Condensa¸c˜ ao S˜ ao pol´ımeros formados pela condensa¸ca˜o de mol´eculas de monˆ omeros, com a elimina¸ca˜o de pequenas mol´eculas, como agua, ´ ´ acido clor´ıdrico, etanol, etc. O craqueamento do petr´ oleo consiste em quebrar as cadeias longas do petr´ oleo em cadeias menores visando aumentar a produ¸ca˜o de gasolina e GLP. (HO − A − OH)n → · · · (O − A − O − A) · · · + H2 O Em rela¸co˜es de policondensa¸ca˜o, haver´ a a forma¸ca˜o de homopol´ımeros, se houver somente um monˆ omero. J´a, se na rea¸ca˜o existirem dois ou mais monˆ omeros, o pol´ımero ser´a um copol´ımero. Os principais homopol´ımeros de condensa¸ca˜o s˜ao: amido, celulose, prote´ınas, nylon 6 e nylon 11. os copol´ımeros de condensa¸ca˜o s˜ao mais comuns e entre eles est˜ ao: nylon 6.6, poli´esteres, resinas de ur´eia-formol. Petr´ oleo ´ a mais importante fonte de obten¸ca˜o de hidrocarboneE ´ um liquido oleoso, escuro, formado por diversos comtos. E postos orgˆ anicos. A maior parte dos produtos obtidos do petr´ oleo ´e utilizada como fonte de energia, ou sela, ´e utilizada como fonte de energia, ou seja, ´e usada nas rea¸co˜es de combust˜ ao. O petr´ oleo formou-se h´ a milh˜ oes de anos, quando pequenos animais marinhos, plˆancton e vegetais de regi˜ ao pantanosas depois de mortos misturaram-se `a terra lamacenta, formando uma “massa orgˆ anica”. Por milh˜ oes de anos, houve deposi¸ca˜o de rochas, que comprimiram essa “massa”, decompondo lentamente o material que a constitu´ıa Extra¸ c˜ ao do Petr´ oleo Os derivados do petr´ oleo s˜ao obtidos a partir de uma destila¸ca˜o fracionada como mostra a figura a seguir: Vocˆe deve ter notado que a ordem dos produtos ´e de acordo com o tamanho da cadeia carbˆonica. Os menores s˜ao os primeiros a sair, pois s˜ao mais leves, come¸cando pelo g´ as natural, vindo ent˜ ao o restante, dos mais finos (GLP - g´ as de cozinha, querosene, ´ oleo diesel, ´ oleos lubrificantes) aos mais densos (graxas piche e res´ıduo asf´ alticos). Gasolina A mistura de hidrocarbonetos de 5 a 10 carbonos ´e chamada comercialmente de gasolina. Como vocˆe j´a deve ter ouvido falar, existem diferentes tipos de gasolina. Essa diferen¸ca ´e determinada pela pureza e resistˆencia da mistura `a compress˜ ao dentro dos cilindros dos motores dos autom´ oveis. Para medir essa resistˆencia, foi criado o ´ındice de octanagem da gasolina. Esse ´ındice compara a gasolina a uma mistura contendo isooctano (2,2,4-trimetilpentano) e outras cadeias. Assim, uma gasolina de octanagem 60 tem a mesma resistˆencia que uma mistura de gasolina que possui 60% de iso-octano. Hulha A hulha, tamb´em conhecida como carv˜ ao-de-pedra ou carv˜ ao mineral, ´e resultado do soterramento de arvores de grande porte h´ a milh˜ oes de anos. Da destila¸ca˜o a seco da hulha, obtemos quatro fra¸co˜es principais, a saber: • G´as de ilumina¸ca˜o - tamb´em chamado de g´ as de hulha, ´e constitu´ıdo principalmente por H2 , CH4 e CO. ´ • Aguas amoniacais - ´e uma solu¸ca˜o de N H4 OH e seus ´ importante na obten¸ca˜o de adubos. sais. E • Alcatr˜ao de hulha - ´e um liquido oleoso escuro constitu´ıdo por v´arios compostos orgˆ anicos, principalmente arom´ aticos. • Carv˜ao coque - ´e o principal produto, usado como redutos na siderurgia e com combust´ıvel. Pense um Pouco! Craqueamento do Petr´ oleo Um problema que enfrentamos ´e que o maior consumo dentre os subprodutos do petr´ oleo ´e o da gasolina, e, pela destila¸ca˜o fracionada, obtemos aproximadamente 15% dessa substˆ ancia. Para aumentara a produ¸ca˜o de gasolina, submetemos as fra¸co˜es formadas por cadeias maiores ao craqueamento ou, cracking. O processo consiste em aquecer a mistura de fra¸co˜es pesadas em presen¸ca de catalisadores adequados, quebrando essas cadeias longas em cadeias menores, que aumenta significativamente a produ¸ca˜o de GLP e gasolina. • Os componentes do g´ as engarrafado ou do g´ as de ilumina¸ca˜o (H2 , CH4 e CO), n˜ ao apresentam cheiro: porem quando esse g´ as chega a sua casa ele apresenta odor desagrad´ avel, devido a adi¸ca˜o de substancias denominadas mercaptanas. a) Com qual finalidade essas substancias s˜ao adicionadas a mistura do g´ as engarrafado? b) Dentre os compostos que constituem essa mistura gasosa, qual deles pode causar a morte ou intoxica¸ca˜o pela sua respira¸ca˜o em concentra¸co˜es relativamente baixas? 184 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UFSC) Considere as afirma¸co˜es sobre o Petr´ oleo e seus derivados e identifique a(s) correta(s): 01. O petr´ oleo formou-se a milh˜ oes de anos, quando animais e vegetais marinhos foram soterrados e submetidos `a a¸ca˜o do tempo, de micro organismo, de calor e press˜ ao elevada. 02. O craqueamento do petr´ oleo consiste na quebra das fra¸co˜es mais pesadas (mol´eculas maiores), transformando as em fra¸co˜es mais leves (mol´eculas menores) , atrav´es do aquecimento e de catalisadores. 04. Os alcanos, al´em de combust´ıveis, s˜ao mat´eria-prima para milhares de compostos orgˆ anicos, atrav´es da ind´ ustria petroqu´ımica. 08. Gasolina, ´oleo diesel, querosene, ´ oleo lubrificante e alcool et´ılico s˜ao substancias obtidas por destila¸ca˜o do ´ petr´ oleo cr´ u. 16. O Brasil ´e auto-suficiente em petr´ oleo. 2. (UEPG-PR) S˜ ao exemplos de pol´ımeros naturais e sint´eticos respectivamente: a) PVC e sacarose; b) celulose e polietileno; c) poli´ester e maltose; d) prote´ına e glicose; e) baquelite e lactose 3. (FESP) O cracking das fra¸co˜es m´edias da destila¸ca˜o do petr´ oleo ´e, hoje, uma tecnologia empregada na maiorias das refinarias porque: a) aumenta o rendimento em ´ oleos lubrificantes; b) economiza energia t´ecnica no processamento de destila¸ca˜o; c) permite a utiliza¸ca˜o de equipamentos mais compactos; d) facilita a destila¸ca˜o do petr´ oleo; e) aumenta o rendimento das fra¸co˜es leves. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Qu´ımica Orgˆ anica Aula 4 Isomeria Isˆomeros s˜ao compostos qu´ımicos diferentes, com propriedades diferentes, formados pelos mesmos elementos qu´ımicos nas mesmas quantidades. S˜ ao, portanto, compostos qu´ımicos diferentes com mesma formula molecular. A isomeria divide-se em: • Isomeria plana ou constitucional – de cadeia – de posi¸ca˜o – de compensa¸ca˜o ou metameria – de fun¸ca˜o – por tautomeria • Isomeria espacial ou configuracional – geom´etrica – ´optica • Isomeria plana ou constitucional Quando os compostos, ou seja, os isˆ omeros, apresentam formulas estruturais planas diferentes, eles s˜ao chamados de isˆ omeros planos. • Isomeria de cadeia S˜ ao compostos de mesma fun¸ca˜o e com diferen¸ca na cadeia carbˆonica. Exerc´ıcios Complementares 4. (ACAFE-SC) Uma fonte importante de hidrocarbonetos saturados ´e: a) alcatr˜ao de madeira b) ´ oleo vegetal c) alcatr˜ao de hulha d) petr´ oleo e) eletr´ olise da ´agua marinha 5. (UFRS) O GLP (g´as liquefeito de petr´ oleo) ´e uma fra¸ca˜o de destila¸ca˜o constitu´ıda essencialmente de: a) metano; b) propano e butano; c) hexanos; d) metano, etano e propano; e) heptano, octano e butano; 6. (UFRGS) O alcatr˜ao de hulha ´e uma fonte de: a) hidrocarbonetos alif´aticos b) gases combust´ıveis c) compostos arom´ aticos d) ´ oleos comest´ıveis e) hidrocarbonetos alic´ıclicos. Ambos tˆem a mesma f´ormula molecular (C4 H10 ) e a mesma fun¸ca˜o (hidrocarbonetos). A diferen¸ca entre ele ´e o tipo de cadeia carbˆonica, portanto s˜ao isˆ omeros de cadeia. • Isomeria de posi¸ca˜o S˜ ao compostos de mesma fun¸ca˜o e com diferentes posi¸co˜es para a instaura¸ca˜o ou grupamento (radical ou grupo funcional). Veja os exemplos. ˆnica – Aula 4 Qu´ımica Orga 185 • Isomeria de compensa¸ca˜o ou metameria S˜ ao compostos de mesma fun¸ca˜o e com diferen¸ca na posi¸ca˜o do hetero´ atomo. Vale lembrar que hetero´ atomos s˜ao elementos diferentes (normalmente N,O,S) entre os ´ atomos de carbono. Veja os exemplos: • Isomeria por tautomeria S˜ ao compostos de fun¸co˜es qu´ımicas diferentes que apresentam equil´ıbrio dinˆamico. Os casos mais comuns de tautomeria ocorrem entre alde´ıdo e enol, chamado de equil´ıbrio aldo-en´oico, e entre cetona e enol, chamado de equil´ıbrio ceto-en´oico. • Isomeria de fun¸ca˜o S˜ ao compostos de fun¸co˜es qu´ımicas diferentes com mesma formula molecular. Exemplos: • Isomeria espacial ou configuracional Quando precisamos recorrer a estruturas ou formulas espaciais para explicar a isomeria que ocorre entre compostos, chamamos esta isomeria de espacial, configuracional ou estereoisomeria. • Isomeria geom´etrica ou cis-trans Os isˆ omeros s˜ao compostos que possuem a distribui¸ca˜o espacial diferentes. Este tipo de isomeria espacial ocorre, caso existam liga¸co˜es duplas ou cadeia fechada ou ainda, os ligantes estejam ligados a carbonos diferentes. Os isˆ omeros podem ser classificados como cis ou trans. 186 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Pense um Pouco! • O que ´e isomeria? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Note que chamamos de cis os isˆ omeros que apresentam os ligantes iguais do carbono de dupla liga¸ca˜o do mesmo lado e de trans, os que apresentam os ligantes 1. (UNI-RIO) Os compostos abaixo s˜ao produtos naturais iguais do ´atomo de carbono de dupla liga¸ca˜o em la- empregados em dentrifr´ıcios, devido `a sua a¸ca˜o anti-s´eptica dos opostos. Para que ocorra isomeria geom´etrica nos e sabor agrad´avel. compostos c´ıclicos (cadeias fechada), ´e necess´ario que, em pelo menos dois carbonos do ciclo, devem existir dois grupos ligantes diferentes para cada um deles. Exemplo: • Isomeria ´optica Os isˆ omeros ´opticos s˜ao compostos capazes de desviar a luz polarizada. Mas como saber se a substancia que nos ´e apresentada em um exerc´ıcio pode ou n˜ ao desviar a luz polarizada? A resposta ´e simples: desvia a luz polarizada toda substˆ ancia que possui assimetria molecular. Um composto que com assimetria molecular pode desviar a luz para direita, sendo chamado composto dextr´ ogiro, ou para a esquerda sendo chamado composto lev´ogiro. Os casos mais comuns de assimetria molecular est˜ ao relacionados com o carbono quiral. Carbono quiral ´e o carbono que possui quatro ligantes diferentes. Um exemplo de composto que apresenta o carbono quiral, e por tanto, apresenta isomeria ´ optica ´e o ´acido l´atico. Assinale a op¸ca˜o que indica corretamente a rela¸ca˜o entre esses compostos: a) A e B s˜ao isˆ omeros de posi¸ca˜o. b) B e C s˜ao isˆ omeros de cadeia. c) A, B e C possuem liga¸ca˜o pi e s˜ao arom´ aticos. d) Os compostos C e A s˜ao fen´ois. e) A e C s˜ao isˆ omeros de fun¸ca˜o. 2. (UFRJ) O ciclopropano e o ´eter et´ılico (et´ oxi-etano) foram muito utilizados, no passado, como anest´esicos de inala¸ca˜o. a) Escreva a f´ormula estrutural e o nome do isˆ omero de cadeia do ciclopropano. b) Escreva a f´ormula estrutural e o nome do ´alcool terci´ ario que ´e isˆ omero do ´eter et´ılico 3. (CESGRANRIO) Dados os compostos: I) CH3 − CH = CH − CH3 II) CH2 = CH − CH2 − CH3 III) CH3 CH − (CH3 ) − CH3 IV) CH3 − CH2 − CH2 − CH3 Podemos afirmar que: a) I e II s˜ao isˆ omeros geom´etricos b) I e III s˜ao isˆ omeros de posi¸ca˜o c) I e IV s˜ao isˆ omeros funcionais Acido l´ atico d) III e IV s˜ao isˆ omeros de posi¸ca˜o e) III e IV s˜ a o isˆ o meros de cadeia Assim sendo, ao incidimos luz polarizada sobre o ´acido l´atico ´e poss´ıvel que este desvie a luz polarizada para a direita, neste caso, teremos o d-l´ atico (dextr´ogiro), 4. (CESGRANRIO) Considere os compostos: ou para a esquerda quando ent˜ ao teremos o l-lactico I) Buteno-2 (lev´ ogiro). Isˆomeros que desviam a luz polarizada s˜ao II) Penteno-1 chamados de oticamente ativos. Tanto o d-l´ actico e IV) 1, 2 - dimetilciclopropano o l-l´atico s˜ao isˆ omeros oticamente ativos, entre tanto V) Ciclobutano se misturamos quantidades iguais destes compostos ( Em rela¸ca˜o `a possibilidade de isomeria cis-trans, pode-se lev´ogiro + destr´ ogiro),vamos obter uma mistura que ´e afirmar que: oticamente inativa. Esta mistura ´e chamada de mis- a) aparece apenas no composto I. tura rancˆemica e ser´a representada por dl-l´ atico. E ou- b) ocorrem em todos os compostos. tras palavras uma mistura rancˆemica ´e a mistura equi- c) ocorre somente nos compostos II e IV. molar de dois isˆ omeros ´ opticos, ou seja, ´e uma mistura d) aparece somente nos compostos I e III. de 50% de lev´ogiro e 50% de dextr´ ogiro. e) s´o n˜ ao ocorre no composto I ˆnica – Aula 4 Qu´ımica Orga Exerc´ıcios Complementares 5. (PUC-MG) Numere a segunda coluna relacionando os pares de compostos com o tipo de isomeria na primeira coluna. Isomeria 1. 2. 3. 4. 5. de cadeia de fun¸ca˜o de posi¸ca˜o de compensa¸ca˜o tautomeria ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) etoxipropano e metoxibutano etenol e etanal etanoato de metila e ´ acido propan´ oico 1-propanol e 2-propanol n-pentano e neopentano A numera¸ca˜o CORRETA encontrada, de cima para baixo, ´e: a) 54231 b) 31245 c) 52431 d) 35124 e) 45231 6. (PUC-MG) O hidrocarboneto de f´ ormula C5H10 pode apresentar os seguintes tipos de isomeria: a) apenas de cadeia e de posi¸ca˜o b) apenas de fun¸ca˜o, de cadeia e de posi¸ca˜o c) de cadeia, de posi¸ca˜o, geom´etrica e ´ optica d) de compensa¸ca˜o, tautomeria, cis-trans e ´ optica e) n. d. a. 7. (PUC-MG) S˜ ao compostos que apresentam isomeria, EXCETO: a) CH3 CH2 CH2 OH b) CH3 COCH3 c) CH3 CH2 COOH d) CH3 CH2 CHO e) CH3 CH2 CH3 187 188 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Parte III Matem´ atica ´tica A – Aula 1 Matema 191 Matem´ atica A Aula 1 Fun¸c˜ oes O conceito b´ asico de fun¸ca˜o ´e o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associa¸ca˜o entre eles, que fa¸ca corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto um u ´ nico elemento do segundo conjunto, ocorre uma fun¸ca˜o. Observemos os pares de conjuntos abaixo. Rela¸c˜ oes e Fun¸ c˜ oes Rela¸ c˜ oes Dados dois conjuntos n˜ ao vazios S e T chama-se rela¸ca˜o R de S em T qualquer subconjunto de S × t. Assim, R est´ a contido em S × t (R ⊂ S × T ). Exemplo Exemplos 1. Dados L = {2, 5, 9, 12} e A = {4, 25, 81, 144} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ L × A | y = x2 }. R = {(x, y) | x < y} A L A 2 B 1 3 0 5 4 25 9 81 12 2 4 6 144 5 Figura 2: A rela¸ca ˜o R de L em A ´e uma fun¸ca ˜o. Figura 1: A rela¸ca ˜o R de A em B 2. Dados A = {10, 12, 15, 16, 13} e B = {20, 24, 30, 26} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x}. Nota¸ c˜ ao Podemos escrever uma rela¸ca˜o de A em B das seguintes formas: B A 10 • Nomeando todos os pares ordenados, por exemplo: R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}. 12 • Atrav´es de uma senten¸ca matem´atica, por exemplo: R = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1}, sendo que A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 5, 9}. 15 16 13 20 24 30 26 Dom´ınio e Imagem Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados (x, y) de uma rela¸ca˜o damos o nome de dom´ınio e representamos por D(R). Os segundos elementos desses pares formam o conjunto imagem da rela¸ca˜o: Im(R). Assim, na rela¸ca˜o R = {(−1, 3), (0, 4), (1, 5)}, D(R) = {−1, 0, 1} e Im(R) = {3, 4, 5}. Representa¸ c˜ ao Podemos representar uma rela¸ca˜o por um diagrama de setas ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 4} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ A × B | y = x2 }. Figura 3: N˜ ao ´e fun¸ca ˜o. 3. Dados A = {5, 12, 23} e B = {7, 14, 25} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 2}. 4. Dados A = {16, 81} e B = {−2, 2, 3} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ A × B | y 4 = x} Ser˜ ao reconhecidas como fun¸ca˜o as rela¸co˜es que tiverem todos os elementos de A associados a elementos de B, sendo que cada elemento de A deve estar ligado somente a um u ´ nico elemento de B. 192 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC B A 7 — L 6 5 14 15 12 16 www.mundofisico.joinville.udesc.br A 2 5 4 25 9 81 26 144 25 23 Figura 6: Fun¸ca ˜o injetora ´ fun¸ca Figura 4: E ˜o. B A B A 1 16 −2 2 2 81 4 3 5 3 Figura 7: Fun¸ca ˜o que n˜ ao ´e injetora Figura 5: N˜ ao ´e fun¸ca ˜o. Fun¸ c˜ ao Sobrejetora Dom´ınio, Imagem e Contradom´ınio Tomemos os exemplos acima que representam fun¸co˜es (Exemplos 1 e 3): Para ambos os exemplos, chamamos de dom´ınio Dom o primeiro conjunto, neste caso o conjunto A. Nos exemplos Dom = {2, 5, 9, 12} e Dom = {5, 12, 23}, respectivamente. Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A −→ B ´e sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem ´e igual ao contradom´ınio: Im(f ) = B Exemplos B A A imagem Im ser´a o conjunto dos elementos y que tˆem correspondˆencia com x. 1 1 Im = {4, 25, 81, 144} e Im = {7, 14, 25}, nos exemplos 1 e 3. O contradom´ınio CDom ser´a o conjunto B completo. 2 2 CDom = {4, 25, 81, 144} e CDom {6, 7, 14, 15, 16, 25, 26}, nos exemplos acima. Tipos de Fun¸c˜ oes = 3 4 3 Figura 8: Fun¸ca ˜o sobrejetora Fun¸ ca ˜o Injetora Fun¸ c˜ ao Bijetora Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A −→ B ´e injetora, se somente se, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer do Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A −→ B ´e bijetora, se somente se, ´e injetora e sobrejetora. dom´ınio de f (x) possuem imagens distintas em B. Exemplos Na figura 10 temos que a fun¸ca˜o: ´tica A – Aula 1 Matema 193 B A L A 2 5 1 1 2 3 2 L 4 25 9 12 A 2 4 25 5 9 12 81 144 81 144 (a) (b) 3 Figura 11: (a) f : L −→ A e (b) f −1 : A −→ L. Fun¸ c˜ ao Composta Figura 9: Fun¸ca ˜o que n˜ ao ´e sobrejetora L A 2 5 9 12 4 25 Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4}, C = {4, 16}, vamos considerar as fun¸co˜es: f : A −→ B definida por f (x) = 2x; g : B −→ C definida por g(x) = x2 . C A 1 81 h 4 2 16 f 144 g 2 4 B Figura 10: Fun¸ca ˜o bijetora ´ injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos• E suem imagens distintas em B; ´ sobrejetora, pois • E Im = B = {4, 25, 81, 144}; ´ bijetora porque ´e injetora e sobrejetora. • E Fun¸ ca ˜o Inversa Considere uma fun¸ca˜o y de L −→ A, sendo que Dom = L e Im = A. A fun¸ca˜o inversa de y ser´a aquela fun¸ca˜o que fizer corretamente a rela¸ca˜o de A −→ L onde Dom = A e Im = L. Ou seja, a fun¸ca˜o inversa “transforma” o que antes era dom´ınio em imagem e imagem em dom´ınio. Por´em, isto s´o poder´ a ocorrer se y for bijetora. Ent˜ ao, podemos definir: Dada fun¸ca˜o bijetora y = f (x) : A −→ B, chama-se fun¸ca˜o inversa de f a fun¸ca˜o f −1 : B −→ A tal que (a, b) ∈⇔ (b, a) ∈ f −1 . Exemplos y = f (x) = x2 ; Dom = {2, 5, 9, 12} Im = {4, 25, 81, 144} A fun¸ca˜o inversa ser´a: p x = f (y) = (y) Dom = {4, 25, 81, 144} Im = {2, 5, 9, 12} Figura 12: f = {(1, 2), (2, 4)}; g = {(2, 4), (4, 16)} Observamos que: • A cada x pertencente a A associa-se um u ´ nico y pertencente a B tal que y = 2x; • A cada y pertencente a B associa-se um u ´ nico z pertencente a C tal que z = x2 ; • A cada x pertencente a A associa-se um u ´ nico z per2 tence C tal que z = y 2 = (2x) = 4x2 . Ent˜ ao, podemos afirmar que vai existir uma fun¸ca˜o h de A em C definida por h(x) = 4x2 , que indicamos por g ◦ f ou g(f (x)) (lˆe-se: g composta com f ). Logo: h(x) = g ◦ f = g(f (x)) = {(1, 4), (2, 16)}. Fun¸ c˜ ao Par ´ a fun¸ca˜o em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorre E f (x) = f (−x). Exemplos f (x) = x2 f (x) = |x| f (x) = cos(x) 194 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC y — www.mundofisico.joinville.udesc.br y f(x 2 ) x2 |x| f(x 1 ) O x1 x2 x cos(x) x Figura 15: Fun¸ca ˜o crescente. Figura 13: Exemplos de fun¸co ˜es pares. Fun¸ ca ˜o ´ Impar ´ a fun¸ca˜o em que para todo valor de x ∈ D ocorre f (x) = E −f (−x). Exemplos Fun¸ c˜ ao Decrescente Uma fun¸ca˜o y = f (x) ´e decrescente num conjunto A se, somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 , tivermos f (x1 ) > f (x2 ). Exemplos f (x) = −x + 2 f (x) = x f (x) = 10−x f (x) = sin(x) f (f ) = −2x f (x) = x3 y x3 y f(x 1 ) x sen(x) f(x 2 ) x O x1 x2 x Figura 16: Fun¸ca ˜o decrescente. Figura 14: Exemplos de fun¸co ˜es ´ımpares. Fun¸ c˜ ao Definida por Partes ´ aquela fun¸ca˜o que ´e definida por mais de uma rela¸ca˜o. E Fun¸ ca ˜o Crescente Exemplo  Uma fun¸ca˜o y = f (x) ´e crescente num conjunto A se,  x + 1, se x > 2; somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto x2 , se -2 ≤ x ≤ 2;  A, com x1 < x2 , tivermos f (x) < f (x2 ). 2, se x < −2 Exemplos f (x) = x + 2 f (x) = 10x f (x) = x3 Fun¸ c˜ ao Constante Toda fun¸ca˜o f : R −→ R, definida por f (x) = C, com C pertencendo ao conjunto dos reais, ´e denominada fun¸ca˜o constante. ´tica A – Aula 2 Matema y 195 y b) 3x + 2 c) 1/(2x − 3) d) 2x + 3 e) n. d. a. y C>0 C=0 O x O x O C<0 x 6. (UDESC) Seja f (x) = c − ax2 . Se f (−1) = 1 e f (2) = 2, ent˜ ao f (5) ´e igual a: a) 3 b) 11/3 c) 7/3 Pense um Pouco! d) 9 A fun¸ca˜o n : A −→ R, definida por n(t) = 6t + t2 , ex- e) -3 pressa o n´ umero de colˆ onias de bact´erias em uma placa, √ 2 onde n ´e o n´ umero de colˆ onias, t ´e tempo em horas e 7. O dom´ınio da fun¸ca˜o real f (x) = 1 − x ´e o conjunto: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem seus elementos representando os a) {x ∈ R | − ∞ < x < ∞} instantes em que as colˆ onias foram contadas. Com esses b) {x ∈ R | 0 ≤ x < ∞} c) {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} dados, determine: d) {x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 1} a) O n´ umero de colˆ onias para t = 3h; e) n. d. a. b) O conjunto contradom´ınio CDom(n); c) O conjunto imagem Im(n). Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Seja a fun¸ca˜o f (x) = −3 + 2x. Ent˜ ao pode-se dizer que: a) f (x) ´e uma fun¸ca˜o par b) f (x) ´e uma fun¸ca˜o ´ımpar c) f (1) = 5 d) f (x) ´e uma fun¸ca˜o dedcrescente e) f (x) ´e uma fun¸ca˜o crescente Matem´ atica A Aula 2 Fun¸c˜ oes Polinomiais Fun¸c˜ ao Polinomial de 1◦ Grau Uma fun¸ca˜o f com A,B ⊂ R ´e uma fun¸ca˜o polinomial do 1◦ grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax + b) ∈ B, com a pertencendo a R∗ e b pertencendo a R: 2. Se a fun¸ca˜o f : R∗ em R ´e tal que f (x) = (2x + 2)/x, ent˜ ao f (2x) ´e: a) x/(2x + 2) f : A → B definida por f (x) = ax + b ou y = ax + b b) 2x + 1 c) (2x + 1)/x Na senten¸ca matem´atica y = ax+b, as letras x e y represend) (4x + 1)/x tam as vari´aveis, enquanto a e b s˜ao constantes denominadas e) (4x + 2)/x coeficientes. 2x−1 Na fun¸ca˜o real f (x) = ax + b, a ´e o coeficiente angular e 3. (FCC-SP) A fun¸ca˜o inversa da fun¸ca˜o x+3 ´e: b ´e o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos a) f −1 (x) = (x + 3)/(2x − 1) se a fun¸ca˜o ´e crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). O b) f −1 (x) = (3x − 1)/(x − 2) coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta c) f −1 (x) = (3x − 1)/(2 − x) intercepta o eixo Y . d) f −1 (x) = (3x + 1)/(2 − x) e) f −1 (x) = (1 − 2x)/(3 − x) f(x) = −2x − 1 Exerc´ıcios Complementares 4. (UFSC) Dada a fun¸ca˜o f : R em R+ , definida por f (x) = x2 + 1, determine a soma dos n´ umeros associados `as afirma¸co˜es verdadeiras. 01. A fun¸ca˜o ´e sobrejetora. 02. A imagem da fun¸ca˜o ´e R+ . 04. A fun¸ca˜o ´√ e bijetora. 08. Para x = 5, temos f (x) = 6. 16. O gr´afico de uma fun¸ca˜o ´e uma reta. 32. A fun¸ca˜o ´e par. 5. (UA) Se f e g s˜ao fun¸co˜es tais que f (x) = 2x − 3 e f (g(x)) = x, ent˜ ao g(x) ´e igual a: a) (x + 3)/2 Y 1 −1 1 X −1 Figura 1: Gr´ afico da fun¸ca ˜o f (x) = −2x − 1. 196 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Gr´ afico Para construirmos gr´aficos de fun¸co˜es devemos seguir os seguintes passos: Y f(x) = x − 2 • atribu´ımos valores a vari´avel x; • substitu´ımos na fun¸ca˜o; • encontramos o valor de f (x), ou seja, o valor de y. Tendo encontrado o valor de y, temos agora o par ordenado (x, y) que devemos encontrar no plano cartesiano. x 0 1 2 y =x−2 y = 0 − 2 = −2 y = 1 − 2 = −1 y =2−2=0 0 ~ (x=2) Zero da funçao −2 (x, y) (0, −2) (1, −1) (2, 0) Observe que o gr´afico de uma fun¸ca˜o do tipo y = ax + b ´e sempre uma linha reta. X 2 Figura 3: Zero ou raiz da fun¸ca ˜o f (x) = x − 2. Podemos verificar que a fun¸ca˜o ´e crescente pois a = 2 > 0. O zero da fun¸ca˜o ´e: Y f(x) = x − 1 A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Observando essas considera¸co˜es, vamos fazer um esbo¸co do gr´afico da fun¸ca˜o. 1 −1 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 1 X Y f(x) = x − 2 −1 f(x)>0 0 Figura 2: Gr´ afico da fun¸ca ˜o f (x) = x − 1. f(x)<0 X 2 −2 f(x)=0 Zero da Fun¸ c˜ ao de 1◦ Grau Denomina-se zero ou raiz da fun¸ca˜o f (x) = ax + b o valor x que anula a fun¸ca˜o, isto ´e, torna f (x) = 0. O zero da fun¸ca˜o de primeiro grau ´e u ´ nico e corresponde a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x. x 0 1 2 y =x−2 y = 0 − 2 = −2 y = 1 − 2 = −1 y =2−2=0 Estudo do Sinal (x, y) (0, −2) (1, −1) (2, 0) ` direita da raiz x = 2 os pontos da reta Figura 4: A tˆem ordenada positiva e a ` esquerda ordenada negativa. Resposta: f (x) = 0 ⇒ x = 2 f (x) > 0 para {x ∈ R/x > 2} f (x) < 0 para {x ∈ R/x < 2} Fun¸c˜ ao Polinomial de 2◦ grau Dada a fun¸ca˜o f (x) = 2x − 4, determinar os valores reais A fun¸ca˜o dada f (x) : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c, de x para os quais: com a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se fun¸ca˜o do 2o grau ou a) f (x) = 0 fun¸ca˜o quadr´ atica. b) f (x) > 0 c) f (x) < 0 Exemplos: ´tica A – Aula 2 Matema 197 onde f (x) f (x) = x2 − 4x − 3 ⇒ {a = 1, b = −4, c = −3} = −2x2 + 5x + 1 ⇒ {a = −2, b = 5, c = 1} ∆ = b2 − 4ac ´e o chamado discriminante. abola corta o O gr´ afico da fun¸ca˜o de 2◦ grau ´e uma curva aberta chamada Assim, x1 e x2 s˜ao as abscissas nas quais a par´ eixo x, ou seja, (x , 0) e (x , 0) s˜ a o os pontos de intersec¸ca˜o 1 2 par´ abola. Se a > 0, o gr´ afico da par´ abola tem concavidade da par´ a bola com o eixo x. voltada “para cima”. Em geral, quando: • ∆ > 0, temos x1 6= x2 e a par´ abola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes. Y • ∆ = 0, temos x1 = x2 e a par´ abola intercepta o eixo x em um u ´ nico ponto. a>0 • ∆ < 0, n˜ ao existem ra´ızes reais e a par´ abola n˜ ao intercepta o eixo x. 0 X Gr´ afico Parab´ olico O ponto mais alto (ou mais baixo) da par´ abola ´e chamado de v´ ertice. No gr´afico abaixo, da fun¸ca˜o f (x) = x2 − 8x + 12, vemos o ponto V , que ´e o v´ertice da par´ abola. As coordenadas de V (xv , yv ) s˜ao dadas por: Figura 5: Par´ abola com concavidade “para cima”. Se a < 0, a concavidade da par´ abola ´e dita “para baixo”. Eixo de Simetria Y (0,12) Y 0 2 a<0 0 X −4 6 Vertice X 4 V(4,−4) Figura 7: V´ertice da par´ abola y = x2 − 8x + 12 e seu eixo de simetria. Figura 6: Par´ abola com concavidade “para baixo”. V =   b ∆ xv = − , yv = − 2a 4a e nesse exemplo temos V = (4, −4). Se tra¸carmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo v´ertice, estaremos determinando o eixo de simetria da abola. Denominam-se zeros ou ra´ızes de uma fun¸ca˜o quadr´ atica par´ os valores de x que anulam a fun¸ca˜o, ou seja, que tornam Observe que xv ´e o ponto m´edio das ra´ızes da par´ abola: f (x) = 0. xv = (x1 + x2 )/2 Para determinar os zeros de f (x) = ax2 + bx + c, temos que resolver a equa¸ca˜o f (x) = 0, para obter as ra´ızes: Zero da Fun¸ c˜ ao de 2◦ Grau e √ −b + ∆ x1 = 2a √ −b − ∆ x2 = 2a Intersec¸ c˜ ao com o eixo Y Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir x por 0 (zero) na fun¸ca˜o: 2 y = ax2 + bx + c ⇒ y = a(0) + b(0) + c ⇒ y = c 198 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exemplo 2 Para f (x) = x − 8x + 12 as coordenadas para o ponto de intersec¸ca˜o com o eixo y: 2 y = x2 − 8x + 12 ⇒ y = (0) − 8(0) + 12 ⇒ y = 12 — www.mundofisico.joinville.udesc.br x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0 x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) > 0 x1 = x2 Ent˜ ao, encontramos (0, 12). X M´ınimo ou M´ aximo da Par´ abola Quando y assume o menor valor da fun¸ca˜o, ele ´e a ordenada do ponto m´ınimo da fun¸ca˜o (yv ): Quando y assume o maior valor da fun¸ca˜o, ele ´e a ordenada do ponto m´aximo da fun¸ca˜o (yv ): Y yV a<0 x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0 x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) < 0 • ∆ > 0, f (x) possui duas ra´ızes reais: V a>0 0 xV X X Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) > 0 Estudo do Sinal X Para estudar o sinal da fun¸ca˜o f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinal do coeficiente a. Assim: • ∆ > 0, f (x) possui duas ra´ızes reais e diferentes: x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) > 0 x1 < x < x2 ⇒ f (x) < 0 a<0 Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) < 0 a<0 Pense um Pouco! x x1 X 2 • O gr´afico de um polinˆomio de primeiro grau ´e sempre uma reta? • O gr´afico de um polinˆomio de segundo grau ´e sempre uma par´ abola? x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) < 0 x1 < x < x2 ⇒ f (x) > 0 • Quantos zeros pode ter, no m´aximo, uma fun¸ca˜o de primeiro grau? E a de segundo grau? ` esquerda e `a direita de um zero, a fun¸ca˜o de segundo • A grau tem sempre sinais contr´arios? • ∆ > 0, f (x) possui raiz dupla: Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao a>0 x1 = x2 X 1. (FGV-SP) O gr´afico da fun¸ca˜o f (x) = mx+n passa pelos pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos ent˜ ao afirmar que: a) m + n = −2 b) m − n = −2 ´tica A – Aula 3 Matema 199 c) m = 3/4 d) n = 5/2 e) m · n = −1 Fun¸c˜ oes Especiais 2. (PUC-SP) Para que a fun¸ca˜o do 1o grau dada por f (x) = (2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter: a) k = 2/3 b) k < 2/3 c) k > 2/3 d) k < −2/3 e) k > −2/3 O m´odulo, ou valor absoluto, de um n´ umero real x, indicado por |x|, ´e definido assim:  x, se, x ≥ 0 |x| = −x, se, x < 0 Fun¸c˜ ao Modular 3. (UFC-CE) Considere a fun¸ca˜o f : R → R, definida por f (x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o v´ertice do gr´afico de f ´e o ponto (1, 4). b) f possui dois zeros reais distintos. c) f atinge um m´aximo para x = 1. d) O gr´afico de f ´e tangente ao eixo das abscissas. e) n. d. a. Pela defini¸ca˜o, podemos concluir que o m´odulo de um n´ umero real ´e sempre maior ou igual a zero. Cuidado! √ x2 = ±|x| Exemplos | − 10| = 10 |1| = 1 Exerc´ıcios Complementares |1/3| = 1/3 |0| = 0 4. (UFPA) A fun¸ca˜o y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Ent˜ ao, a − 2b ´e igual a: a) -12 b) -10 c) -9 d) -7 e) 0 Definimos ent˜ ao a fun¸ca˜o modular se a cada x real se associa |x|, ou seja: f (x) = |x| Observa-se que o dom´ınio da fun¸ca˜o m´odulo ´e R e a imagem R+ . Representa¸ c˜ ao Gr´ afica 5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das ra´ızes da equa¸ca˜o x2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra ´e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Y f(x) = |x| 3 2 1 6. (Santa Casa-SP) As dimens˜oes de um retˆ angulo s˜ao numericamente iguais `as coordenadas do v´ertice da par´ abola de equa¸ca˜o y = −128x2 + 32x + 6. A ´ area do retˆ angulo ´e: a) 1 b) 8 c) 64 d) 128 e) 256 −3 −2 −1 0 1 2 3 X Figura 1: Fun¸ca ˜o m´ odulo: f (x) = |x|. Fun¸c˜ ao Exponencial 2 7. O lucro mensal de uma empresa ´e dado por L = −x + A fun¸ca˜o f : R → R dada por f (x) = ax (com a 6= 1 e a > 0) 30x − 5, onde x ´e quantidade mensal vendida. ´e denominada fun¸ca˜o exponencial de base a e definida para a) Qual ´e o lucro mensal m´aximo poss´ıvel? todo x real. Assim, s˜ao fun¸co˜es exponenciais: b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no m´ınimo igual a 195? f (x) = 2x g(x) = (1/3)x Matem´ atica A Aula 3 h(x) = π x 200 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC 2 Y x — www.mundofisico.joinville.udesc.br 2o− caso: 0 < a < 1 Y 2 1 (1/2) a x1 a x2 x f(x) = a x 1 0 0 1/4 1/2 3/4 1 X Figura 2: Fun¸co ˜es exponenciais: f (x) = 2x e g(x) = (1/2)x . Gr´ afico da Fun¸ c˜ ao Exponencial x1 x2 x1 < x2 0 X a x1 > a x2 Figura 4: Exponencial decrescente, ax com a < 1. Vamos representar no plano cartesiano o gr´ aficos das fun¸co˜es f (x) = 2x e f (x) = (1/2)x . b)em quantos dias o n´ umero inicial de bact´erias ir´ a triplicar. Caracter´ısticas Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao • Dom(ax ) = R • Im(ax ) = R+ • ax ´e uma fun¸ca˜o crescente se a > 1 1o− caso: a > 1 f(x) = a x Y a x2 2. (PUC-SP) A equa¸ca˜o |2x − 1| = 5 admite: a) duas ra´ızes positivas b) das ra´ızes negativas c) uma raiz positiva e outra negativa d) somente uma raiz real e positiva e) somente uma raiz real e negativa a x1 1 0 x1 < x2 1. (ITA-SP) Considere a equa¸ca˜o |x| = x + 2. Com respeito a` solu¸ca˜o real dessa equa¸ca˜o, podemos afirmar que: a) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [1,2] b) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [-2,-1] c) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo ]-1,1[ d) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [3,4] e) nenhuma resposta ´e correta x1 x2 X a x1 < a x2 Figura 3: Exponencial crescente, ax com a > 1. • ax ´e uma fun¸ca˜o decrescente se 0 < a < 1 • ax passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1 3. (PUC-PR) A equa¸ca˜o 16 · 52x = 25 · 20x, onde x pertence aos reais, admite: a) os n´ umeros -2 e 2 como solu¸co˜es b) apenas o n´ umero 2 como solu¸ca˜o c) apenas o n´ umero 1/2 como solu¸ca˜o d) os n´ umeros 2 e 1/2 como solu¸co˜es e) apenas o n´ umero -2 como solu¸ca˜o Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os n´ umeros reais x e y, a) se |x| < |y|, ent˜ ao x < y Pense um Pouco! b) |xy| = |x||y| c) |x + y| = |x| + |y| • O n´ umero de bact´erias em um meio de cultura p cresce d) | − |x|| = −x aproximadamente segundo a fun¸ca˜o n(t) = 500 (3)t , e) se x < 0, ent˜ ao |x| < x sendo t o n´ umero de dias ap´os o in´ıcio do experimento. Calcule: 5. (PUC-SP) Resolvendo a equa¸ca˜o 4x + 4 = 5 · 2x , obtemos a)o n´ umero n de bact´erias no in´ıcio do experimento; as solu¸co˜es: ´tica A – Aula 4 Matema a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = −1 e x2 = −2 e) x1 = −4 e x2 = −5 201 Caso particular logb 6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y , o valor de x + y ´e: a) 4/3 b) 2/3 c) 1/3 d) 1 e) 2 Matem´ atica A Aula 4 √ 1 n x = logb x1/n = logb x n Mudan¸ ca de Base Suponha que apare¸cam logaritmos de bases diferentes e que precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa opera¸ca˜o ´e chamada mudan¸ca de base: logc a logb a = logc b onde c ´e a nova base. Exemplo Fun¸c˜ oes Especiais (II) log2 10 = Fun¸ c˜ ao Logar´ıtmica 1 log10 10 = log10 2 log10 2 O logaritmo de um n´ umero real e positivo a, na base b, Representa¸ c˜ ao Gr´ afica positiva e diferente de 1, ´e o n´ umero x ao qual se deve Ao estudar a fun¸ca˜o exponencial, vimos que ela ´e bijetora, elevar a base b para se obter a portanto admite fun¸ca˜o inversa, que ´e a logar´ıtmica. logb a = x ⇐⇒ bx = a a>1 Observa¸ c˜ ao Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sistema de logaritmos de base a. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante ´e o sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema ´e de base 10, ´e comum omitir-se a base na sua representa¸ca˜o. y=x Y y=a x loga x2 1 x1 1 Exemplo Considerando a defini¸ca˜o dada, calcular o valor dos logaritmos: log6 36 = 2 log2 16 = 4 log3 1 = 0 log10 1000 = 3 log10 0, 01 = −2 Propriedades dos Logaritmos x2 X loga x1 y=log a x a>1 f(x) e´ crescente Figura 1: Fun¸ca ˜o logar´ıtmica com base a > 1 • O logaritmo de um produto ´e igual ` a soma dos logarit- Do estudo das fun¸co˜es inversas, descobrimos que, no plano mos dos fatores tomados na mesma base, isto ´e: cartesiano, seus gr´aficos s˜ao sim´etricos em rela¸ca˜o a bissetriz do 1◦ e 3◦ quadrantes. Assim, para as fun¸co˜es exponencial logb (x · y) = logb x + logb y e logar´ıtmica, de base 0 < a < 1 e a > 1, temos: • O logaritmo de um quociente ´e igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador tomados na mesma base, isto ´e: logb (x/y) = logb x − logb y • O logaritmo de uma potˆencia ´e igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potˆencia, isto ´e: logb xn = n logb x Fun¸c˜ oes Trigonom´ etricas Arco de Circunferˆ encia Observemos que os pontos A e B dividem a circunferˆencia em duas partes. Cada uma dessas partes ´e denominado arco de circunferˆencia. Assim, temos: arco AB = arco BA 202 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — 0 cos(x)? Defini¸c˜ ao E a Dados n ∈ N n´ umeros complexos {ai , i = 0, 1, 2, . . . , n} ⊂ C, chamamos de fun¸ c˜ ao polinomial ou polinˆ omio na vari´avel x a fun¸ca˜o P (x) : C → C tal que: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ´tica A – Aula 5 Matema 205 onde cada parcela do polinˆomio ´e chamada de termo e cada Observa¸ c˜ ao n´ umero complexo que multiplica a vari´avel x ´e um coeficiQuando A(x) ´e divis´ıvel por B(x), dizemos que a divis˜ao ´e ente. exata, isto ´e, R(x) = 0. Observa¸ co ˜es 1. Se an 6= 0, o expoente m´aximo n ´e dito grau do polinˆ omio e indicamos gr(P ) = n; Exemplos P (x) = 2x − 1 ´e um polinˆomio de 1◦ grau, isto ´e, gr(P ) = 1. P (x) = x5 + 1 ´e um polinˆomio de 5◦ grau, isto ´e, gr(P ) = 5. 2. Se P (x) = 0, n˜ ao se define o grau do polinˆomio. Valor Num´ erico Exemplo Dividir A(x) = x4 +x3 −7x2 +9x−1 por B(x) = x2 +3x−2: +x4 + x3 − 7x2 + 9x − 1 −x4 − 3x3 + 2x2 −2x3 − 5x2 + 9x +2x3 + 6x2 − 4x −x2 + 5x − 1 −x2 − 3x + 2 2x + 1 : R(x) x2 + 3x − 2 x2 − 2x + 1 : Q(x) Divis˜ ao de P (x) por (x − a) Teorema do Resto O resto da divis˜ ao de P (x) por x − a ´ e P (a). O valor num´erico de um polinˆomio P (x), para x = a, ´e o Devemos ter P (x) = (x − a)Q(x) + R(x). n´ umero que se obt´em substituindo x por a e efetuando todas as opera¸co˜es indicadas pela rela¸ca˜o que define o polinˆomio. Como o divisor x−a ´e de grau 1, o resto ser´a de grau zero, ou seja, uma constante. Fazendo R(x) = r, constante, temos: P (x) = (x − a)Q(x) + r. Para x = a, vem: Exemplo P (a) = (a − a)Q(a) + r = r Se P (x) = x3 + 2x2 − x − 1, o valor num´erico de P (x), para x = 2, ´e: Exemplo P (2) = 23 + 2 · 22 − 2 − 1 = 13 O resto da divis˜ao de P (x) = x3 + x2 − 4x + 5 por x − 1 ´e: Ra´ızes de um Polinˆ omio Se P (a) = 0, o n´ umero a ´e denominado raiz ou zero de P (x). Um polinˆomio de grau n admite n ra´ızes. r = P (1) = 13 + 12 − 4 · 1 + 5 = 3 Teorema de D’Alembert Um polinˆ omio P (x) ´ e divis´ıvel por x−a se, e somente se, P (a) = 0. Igualdade de Polinˆ omios Se P (x) ´e divis´ıvel por x − a, ent˜ ao, pelo Teorema do Resto, Dois polinˆomios A(x) e B(x) s˜ao iguais ou idˆenticos quando r = P (a) = 0, e, de outra forma, se P (a) = 0, como, pelo assumem valores num´ericos iguais para qualquer valor co- Teorema do Resto, r = P (a), temos r = 0, ou seja, P (x) ´e mum atribu´ıdo `a vari´avel x. A condi¸ca˜o necess´aria e sufici- divis´ıvel por x − a. ente para que dois polinˆomios A(x) e B(x) sejam iguais ou Exemplo idˆenticos ´e que os coeficientes dos termos correspondentes P (x) = x3 + 3x2 − 8x − 4 ´e divis´ıvel por x − 2, pois sejam iguais. Divis˜ ao de Polinˆ omios Dados dois polinˆomios A(x) e B(x), com B(x) 6= 0, e gr(A) > gr(B), podemos efetuar a divis˜ao de A(x) por B(x), ou seja, determinar dois polinˆomios Q(x) e R(x) que satisfa¸cam a seguinte condi¸ca˜o: A(x) = Q(X)B(x) + R(x) onde A(x) ´e o dividendo B(x) ´e o divisor Q(x) ´e o quociente R(x) ´e o resto da divis˜ao P (2) = 23 + 3 · 22 − 8 · 2 − 4 = 8 + 12 − 16 − 4 = 0 Divis˜ ao de P (x) por ax + b, com a 6= 0 Temos P (x) = (ax + b)Q(x) + r. Como ax + b ´e de grau 1, r ´e de grau 0, portanto, uma constante. Fazendo x = −b/a em P (x) = (ax + b)Q(x) + r, vem: P (−b/a) = [a(−b/a) + b]Q(−b/a) + r P (−b/a) = (−b + b)Q(−b/a) + r P (−b/a) = 0 + r =⇒ r = P (−b/a) Conclus˜ ao: o resto da divis˜ao de P (x) por ax + b ´e r = P (−b/a). 206 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exemplo — www.mundofisico.joinville.udesc.br III Determinar o resto da divis˜ao de P (x) = x3 + 5x2 − 2x − 1 por 2x − 1. r = (11/8) − 2 = −5/8 Divis˜ ao de P (x) por (x − a)(x − b), (a 6= b) 3 −5 3 multiplicar Temos que −b/a = 1/2, ent˜ ao r = P (1/2): r = (1/2)3 + 5(1/2)2 − 2(1/2) − 1 = (1/8) + (5/4) − 1 − 1 somar 2 +1 −2 (3)(2)−5=1 resultado IV. Multiplica-se a raiz do divisor pelo n´ umero colocado abaixo do segundo coeficiente, e coloca-se o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente. IV somar Temos o seguinte Teorema: −5 +1 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 resultado multiplicar Se P (x) ´ e divis´ıvel por x − a e por x − b, com a 6= b, ent˜ ao ´ e divis´ıvel por (x − a)(x − b). 2 3 3 2 3 3 −2 Exemplo Mostrar que P (x) = x4 − 5x2 + 4 ´e divis´ıvel por x2 − 1. Solu¸ca˜o: como x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), basta mostrar que P (x) ´e divis´ıvel por x − 1 e por x + 1, isto ´e, que P (+1) = 0 e P (−1) = 0: P (+1) = 14 − 5 · 12 + 4 = 1 − 5 + 4 = 0 4 2 P (−1) = (−1) − 5 · (−1) + 4 = 1 − 5 + 4 = 0 Portanto, P (x) ´e divis´ıvel por (x − 1)(x + 1), ou seja, por x2 − 1. IV somar −5 +1 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 resultado multiplicar −2 (3)(2)−2=4 V. Separamos o u ´ ltimo n´ umero formado, que ´e igual ao resto da divis˜ao, e os n´ umeros que ficam `a esquerda deste s˜ao os coeficientes do quociente. V 2 Algoritmo de Briot-Ruffini 3 −5 +1 −2 3 1 3 4 Para facilitar a divis˜ao de polinˆomios podemos utilizar o algoritmo de Briot-Ruffini. Consideremos o seguinte exemplo para compreens˜ ao do dispositivo: Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4 Determinar o quociente e o resto da divis˜ao de P (x) = 3x3 − 5x2 + x − 2 por (x − 2). Decomposi¸c˜ ao de um Polinˆ omio I. Coloca-se a raiz do divisor 2 e os coeficientes do dividendo {3, −5, 1, −2} na linha de cima: I Raiz do divisor 2 3 Coeficientes do dividendo P(x) −5 +1 resultado Podemos aplicar o teorema do resto na decomposi¸ca˜o de um polinˆomio em fatores. Para tanto, se a ´e uma raiz ou zero do polinˆomio P (x), este ´e divis´ıvel por (x − a); logo: P (x) = (x − a)Q(x) −2 Polinˆ omio de 2◦ grau Note que, se o polinˆomio n˜ ao tem um dado termo, o coeficiente desse termo ´e zero. II. Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo: De uma forma geral, o polinˆomio do 2◦ grau que admite as ra´ızes a1 e a2 pode ser decomposto em fatores do 1◦ grau, da seguinte forma: II P (x) = (x − a1 )(x − a2 ) Copiar o primeiro coeficiente para a linha de baixo 2 3 3 −5 +1 −2 III. Multiplica-se a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e soma-se o produto com o segundo coeficiente do dividendo, e coloca-se o resultado abaixo deste. Exemplo Fatorar o polinˆomio P (x) = x2 − 7x + 10. Resolvendo a equa¸ca˜o x2 − 7x + 10 = 0 encontramos as ra´ızes a1 = 5 e a2 = 2, logo, P (x) = (x − 5)(x − 2) ´tica A – Aula 6 Matema 207 Polinˆ omio de 3◦ grau b) -1, 1 e 3 c) 0, 1 e 3 Conhecendo uma das ra´ızes de um polinˆomio do 3◦ grau, d) 0, -2 e 2 podemos decompˆ o-lo num produto de um polinˆomio do 1◦ e) n. d. a. grau por um do 2◦ grau e, se este tiver ra´ızes, podemos, em seguida decompˆ o-lo tamb´em. Exerc´ıcios Complementares Exemplo Fatorar P (x) = 2x3 − x2 − x. Escreve-se: P (x) = 2x(x2 − x/2 − 1/2) fator do 1◦ grau: 2x = 2(x − 0) =⇒ a0 = 0 fatores do 2◦ grau: 5. (Fuvest-SP) Dividindo-se o polinˆomio p(x) por 2x2 + 3x + 1, obt´em-se o quociente 3x2 + 1 e resto −x + 2. Nessas condi¸co˜es, o resto da divis˜ao de p(x) por x − 1 ´e: a) 2 b) 15 c) 20 d) -1 e) 25 umero 1 ´e uma das ra´ızes da equa¸ca˜o resolvendo-se a equa¸ca˜o do segundo grau obtemos as ra´ızes 6. (UnB-DF) O n´ a1 = 1 e a2 = −1/2, e x2 − x/2 − 1/2 = (x − 1)(x + 1/2), x3 − 7x + 6 = 0. A soma das outras duas ra´ızes ´e: logo: a) -7 b) -1 c) 0 P (x) = 2x(x − 1)(x + 1/2) d) 5 e) n. d. a Pense um Pouco! • Um polinˆomiopode ter um termo do tipo x−2 ? • Como seria a divis˜ao de (x2 − 1)/(x3 + 1)? • Desenvolvendo-se (x − 1)1 5 ter´ıamos um polinˆomio em x? Caso afirmativo, qual seria o grau desse polinˆomio? 7. (UFRJ) O polinˆomio P (x) = x3 − 2x2 − 5x + d, com d ∈ R, ´e divis´ıvel por (x − 2). a) Determine d. b) Calcule as ra´ızes da equa¸ca˜o P (x) = 0 Matem´ atica A Aula 6 1. (UFPA) Se F (x) = 2p+q +(p+3)x−2px2 +x3 ´e idˆentico a P (x) = x3 − 4x2 + 5x + 2, ent˜ ao: Equa¸c˜ oes Alg´ ebricas a) p2 + q 2 = 4 b) p2 − q 2 = 0 ´ Teorema fundamental da Algebra c) p = q d) p + q = 4 Toda equa¸ c˜ ao alg´ ebrica P (x) = 0, de grau n ≥ 1, tem e) p − q = 0 pelo menos uma raiz real ou complexa. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Defini¸ c˜ ao 2. Dividindo-se o polinˆomio P (x) = x3 − 7x + 6 por (x + 3), obt´em-se: a) x2 − 3x − 6 b) x2 − 3x + 3 c) x2 − 6x + 2 d) x2 + 3x − 2 e) x2 − 3x + 2 Chamamos de equa¸ca˜o polinomial ou alg´ebrica toda equa¸ca˜o da forma P (x) = 0, em que P (x) ´e um polinˆomio de grau n: Dados n ∈ N n´ umeros complexos {ai , i = 0, 1, 2, . . . , n} ⊂ C, chamamos de fun¸ c˜ ao polinomial ou polinˆ omio na vari´avel x a fun¸ca˜o P (x) : C → C tal que: 3. (UnB-DF) O resto da divis˜ao de P (x) = x5 + x4 − 27 ∗ x3 − x2 + 146 ∗ x − 121 por (x − 4) ´e a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 4. As ra´ızes do polinˆomio x3 − 4x2 + 3x s˜ao: a) 0,-1 e 2 onde cada parcela do polinˆomio ´e chamada de termo e cada n´ umero complexo que multiplica a vari´avel x ´e um coeficiente. Exemplo x3 + 3x2 + 2x − 3 = 0 208 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Raiz — www.mundofisico.joinville.udesc.br 800 600 Chama-se raiz de zero ou raiz de uma equa¸ca˜o polinomial P (x) = 0 todo n´ umero complexo a tal que P (a) = 0. y 400 200 Exemplos 0 a) 1 ´e raiz de P (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 pois P (1) = 13 − 3 · 12 + 3 · 1 − 1 = 0; -200 -400 -4 b) i ´e raiz de P (x) = x3 + x2 + x + 1 = 0 pois P (i) = i3 + i2 + i + 1 = −i − 1 + i + 1 = 0 -2 0 2 4 6 8 10 x Multiplicidade de uma Raiz As ra´ızes de uma equa¸ca˜o alg´ebrica podem ser todas distintas ou n˜ ao. Forma Fatorada Todo polinˆomio de grau n pode ser decomposto em n fatores Se uma equa¸ca˜o alg´ebrica tiver duas ra´ızes iguais, a raiz da forma (x − a), onde a ´e raiz de P (x) e tamb´em um fator ter´ a multiplicidade 2, isto ´e, ser´a uma raiz dupla; se tiver igual ao coeficiente de xn . trˆes ra´ızes iguais, ter´ a multiplicidade 3, isto ´e, ser´ a uma raiz tripla, e assim sucessivamente. Se um n´ umero a for uma s´o vez raiz de uma equa¸ca˜o alg´ebrica, ele ser´a chamado raiz simples. Exemplo Formar o polinˆomio cujas ra´ızes s˜ao 2,-1 e 3. Veja o gr´afico Exemplo desse polinˆomio. 4 Resolu¸ca˜o: O polinˆomio tem trˆes ra´ızes diferentes, logo, Sabendo-se que −1 ´e raiz dupla da equa¸ca˜o P (x) = x − 3 2 3x − 3x + 7x + 6 = 0, determinar o seu conjunto solu¸ca˜o. P (x) ´e do terceiro grau. Resolu¸ca˜o: P (x) = a3 (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) = 1(x − 2)(x + 1)(x − 3) a equa¸ca˜o dada pode ser indicada da seguinte forma P (x) = (x + 1)2 Q(x) = 0. Para determinarmos Q(x), que ´e do segundo grau, aplicare3 2 mos duas vezes o dispositivo pr´atico de Briot-Ruffini, abaiP (x) = x − 4x + x + 6 xando para 2 o grau da equa¸ca˜o dada. Primeira divis˜ao por (x + 1): -1 1 -3 -3 7 6 1 -4 1 6 0 10 Segunda divis˜ao por (x + 1): -1 1 -4 1 6 1 -5 6 0 5 y 0 Logo: Q(x) = x2 − 5x + 6, onde para Q(x) = 0 temos as ra´ızes a1 = 2 e a2 = 3. -5 Exemplo -10 -2 -1 0 1 2 3 x 4 Resolva a equa¸ca˜o x4 + x3 − x2 + x − 2 = 0, sabendo que uma das ra´ızes ´e i. Resolu¸ca˜o Como i ´e raiz da equa¸ca˜o, −i tamb´em ´e, pois as ra´ızes complexas sempre aparecem aos pares (ra´ızes conjugadas). O polinˆomio x5 − 18x4 + 95x3 − 70x2 − 456x + 448 pode ser Dividindo sucessivamente por x − i e x + i, temos: -1 1 -2 i 1 1 fatorado no produto 1 1+i -2+i -2i 0 Exemplo Segunda divis˜ao por (x + 1): -i 1 1+i -2+i -2i 1 1 -2 0 e suas ra´ızes s˜ao todas reais: -2, 1, 4, 7 e 8. Veja o gr´afico 2 desse polinˆomio na figura a seguir. Logo, Q(x) = x + x − 2 e P (x) = (x − i)(x + i)Q(x). Ent˜ ao (x + 2)(x − 1)(x − 4)(x − 7)(x − 8) , ´tica A – Aula 7 Matema para Q(x) = 0 temos as ra´ızes a1 = −2 e a2 = 1. Ra´ızes M´ ultiplas Dados a equa¸ca˜o alg´ebrica, P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 de coeficientes inteiros, com an 6= 0 e a0 6= 0, e o n´ umero racional p/q , com p e q primos entre si, p ∈ Z e q ∈ N∗ , se p/q ´e raiz de P (x) = 0, ent˜ ao p ´e divisor de a0 e q ´e divisor de an . 209 4. (USF-SP) Se −2 ´e raiz da equa¸ca˜o x3 −2x2 −13x−10 = 0, ent˜ ao as outras ra´ıses s˜ao: a) -1 e 5 b) -2 e 3 c) 1 e 5 d) 5 e 7 e) -1 e -5 5. As ra´ızes do polinˆomio p(x) = x2 + 16 s˜ao: a) ambas reais b) uma real e outra complexa c) ambas complexas d) ambas negativas e) ambas positivas Exemplo 6. As ra´ızes do polinˆomio p(x) = x3 + 1 s˜ao: a) todas reais Na equa¸ca˜o x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0, temos an = 1 e a0 = −6. b) todas complexas Se p ∈ Z ´e divisor de a0 , ent˜ ao p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}. Se q ∈ c) uma complexa e duas reais ∗ N ´e divisor de a3 , ent˜ ao q ∈ {1}. Dividindo todo os valores d) uma real e duas complexas de p por todos os valores de q, obtemos {±1, ±2, ±3, ±6}. e) de multipicidade 3 Portanto, se existem ra´ızes racionais, elas pertencem a esse conjunto. A verifica¸ca˜o ´e feita usando-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Matem´ atica A Aula 7 Pense um Pouco! • Uma equa¸ca˜o polinomial de coeficientes reais tem o n´ umero 3 como raiz dupla, o n´ umero 5 como raiz tripla e 1 + i como raiz dupla. Qual ´e grau da equa¸ca˜o? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Geometria Anal´ıtica Sistema Cartesiano Ortogonal A Geometria Anal´ıtica teve como principal idealizador o fil´osofo francˆes Ren´e Descartes (1596-1650). Com aux´ılio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desse sistema s˜ao perpendiculares na origem, eles determinam um sistema cartesiano ortogonal (ou 1. (UEL-PR) Se −1 ´e raiz de multiplicidade 3 da equa¸ca˜o plano cartesiano). Ent˜ ao, observemos o plano cartesiano x5 − 2x4 − 6x3 + 4x2 + 13x + 6 = 0, ent˜ ao a soma das outras dividido nos quatro quadrantes: duas ra´ızes vale: a) 1 b) 3 Y c) 5 Segundo Quadrante Primeiro Quadrante d) -1 x<0 x>0 e) -3 y>0 y>0 2. (UFPE) Qual a maior raiz inteira da equa¸ca˜o x4 −20x3 + 90x2 + 20x − 91 = 0? 0 X Terceiro Quadrante Quarto Quadrante a) 1 b) -i x<0 x>0 c) 10 y<0 y<0 d) 13 e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares 3. (PUC-SP) Em rela¸ca˜o ao polinˆomio P (x) = (x − 1)2 (x + 1), o que se pode afirmar sobre o n´ umero 1? a) ´e uma raiz simples b) ´e raiz dupla c) ´e raiz tripla d) ´e raiz qu´adrupla e) n˜ ao ´e uma raiz Figura 1: O plano cartesiano e seus 4 quadrantes. 1◦ quadrante: x > 0 e y > 0. 2◦ quadrante: x < 0 e y > 0. 3◦ quadrante: x < 0 e y < 0. 4◦ quadrante: x > 0 e y < 0. Distˆ ancia entre Dois Pontos Quando se conhece as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distˆancia 210 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br d(A, B). Aplicando o Teorema de Pit´ agoras ao triˆangulo ou seja ABC, vem: yC − yA xC − xA = xB − xC yB − yC rC = Y B yB Y yB yA A yA C xA B y2 xB xA 0 C y3 d A y1 xB E X 0 d2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 logo D p d = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 x1 x2 X x3 Exemplo Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6), P (3, 4) e Q(1, 2), as raz˜ oes rP e rQ em que P e Q dividem AB s˜ao: ser´a a distˆancia entre os pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ). Exemplo Determinar a distˆancia entre os pontos A(1, −1) e B(4, −5). Analiticamente, temos d = sqrt(4 − 1)2 + (−5 − (−1))2 = d= √ √ 9 + 16 = 25 = 5 y=x+1 Y B 6 p 32 + 42 5 P 4 3 2 ou graficamente, A Q 1 0 1 rP = 3−2 1 xP − xA = = xB − xP 5−3 2 2 3 4 5 6 X Y −1 −2 −3 1 2 3 3 A d 4 5 X C e 4 rQ = −4 −5 B xQ − xA 1−2 1 = =− xB − xQ 5−1 4 Baricentro de um Triˆ angulo Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersec¸ca˜o das medianas de um triˆangulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes. d2 = 32 + 42 =⇒ d = 5 A Divis˜ ao de um Segmento u Dados os pontos A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) de uma reta (ABC), o ponto C divide o segmento AB numa determinada raz˜ ao, denominada raz˜ ao de sec¸ c˜ ao e indicada por: AC rC = CB M u v w w B G P w v u N v C ´tica A – Aula 7 Matema 211 C´ alculo das Coordenadas do Baricentro (G) Y Sendo A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) v´ertices de um triˆangulo, se N ´e ponto m´edio de BC, temos: N=  xC + xB yC + yB , 2 2 C yC  B yB yA A E D A 0 M xA xB xC X P Para que trˆes pontos estejam alinhados, devemos ter: G B N AB AE EB = = AC AD DC C ou seja: Mas: rG = xB − xA yB − yA = xC − xA yC − yA AG xG − xA = xN − xG GN Pense um Pouco! de onde podemos encontrar: • O que acontece com a distˆancia entre dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ) se as coordenadas de ambos pontos forem: a) aumentadas de uma constante c? b) multiplicadas por 2? c) multiplicadas por -1? xA + xB + xC xG = 3 e yG = yA + yB + yC 3 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao e escrevemos finalmente  xA + xB + xC yA + yB + yC , 3 3  1. (UFES) Sendo r a distˆancia da origem ao ponto P (x, y), ent˜ ao, para que y/r seja negativo, o ponto P dever´a pertencer ao: a) 1◦ quadrante ou 2◦ quadrante ´ Area de um Triˆ angulo b) 2◦ quadrante ou 4◦ quadrante c) 2◦ quadrante ou 3◦ quadrante Na geometria anal´ıtica podemos calcular a ´ area de um d) 3◦ quadrante ou 4◦ quadrante triˆangulo a partir das coordenadas de seus v´ertices. A ´area e) 1◦ quadrante ou 3◦ quadrante S do triˆangulo de v´ertices A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) 2. (FAAP-SP) Se os ponto A(2, −1), B(x, 4) e C(4, 9) per´e dada por: tencem a uma mesma reta, determine x. a) 2 1 S = |D| b) -6 2 c) 1 onde D ´e o determinante da matriz de coordenadas d) 3 e) 4 xA yA 1 3. (MACK-SP) No triˆangulo ABC, A(1, 1) ´e um dos D = xB yB 1 v´ ertices, N (5, 4) ´e o ponto m´edio do segmento BC e M (4, 2) xC yC 1 ´e o ponto m´edio do segmento AB. Calcule as coordenadas do baricentro G do triˆangulo. a) G(3, 11/3) Condi¸ c˜ ao de Alinhamento de 3 Pontos b) G(4/5, 3) A figura mostra trˆes ponto, A(xA , yA ), B(xB , yB ) e c) G(11/3, 3) C(xC , yC ), que est˜ ao alinhados, ou seja, s˜ao pontos de uma d) G(3, 3) e) G(11, 6) mesma reta. G = (xG , yG ) = 212 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios Complementares Y 4. (PUC-SP) A(3, 5), B(1, −1) e C(x, −16) pertencem a uma mesma reta se x ´e igual a: a) -5 b) -1 c) -3 d) -4 e) -2 5. O ponto m´edio de um segmento AB, sendo A(6, 4) e B(1, 2) ´e: a) (3, 7/2) b) (7/2, 4) c) (5, 3) d) (6, 2) e) (7/2, 3) B(7,6) 6 5 4 4 3 A(1,2) 2 (0,4/3) C(7,2) 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 X Figura 1: Equa¸ca ˜o geral da reta: exemplo. Equa¸ c˜ ao Segment´ aria 6. Calcule a distˆancia entre os pontos A e M , sabendo que A(5, √1), B(1, 3) e M ´e ponto m´edio do segmento AB a) √20 b) √ 3 c) √ 5 d) 5 2 e) 2 Considere a reta r n˜ ao-paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q(0, q), com p = 6 0 e q 6= 0. Y Matem´ atica A Aula 8 Q(0,q) q Geometria Anal´ıtica P(p,0) Equa¸ c˜ oes da Reta 0 p X Equa¸ c˜ ao Geral A partir de uma condi¸ca˜o de alinhamento de trˆes pontos Podemos escrever a equa¸ca˜o da reta na forma segment´ aria: podemos determinar: x y + =1 p q y = ax + b onde a ´e o chamado coeficiente angular da reta, e b o coeficiente linear. Exemplo Por exemplo, para a reta mostrada na figura (1), pode-se obPara x = 0 vemos que a reta cruza o eixo Y na altura y = b. ter diretamente p = −2 e q = 4/3, e a equa¸ca˜o segment´ aria da reta ser´ a Exemplo Determinar a equa¸ca˜o geral da reta que passa nos pontos A(1, 2) e B(7, 6). Para que um ponto qualquer (x, y) perten¸ca ` a reta AB, ou reescrevendo temos que ter x D = 1 7 y 2 6 1 1 1 3y x − =1 4 2 =0 Equa¸ co ˜es na Param´ etrica e desenvolvendo o determinante temos D = (2x + 6 + 7y) − (14 + 6x + y) = 0 −→ y = Confira a figura (1). y x + =1 −2 4/3 4 2 x+ 3 3 S˜ ao equa¸co˜es da forma x = f (t) e y = g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com o parˆ ametro (vari´avel) t. Exemplo As equa¸co˜es x(t) = t + 2 e y(t) = 1 − t definem uma reta, na forma param´etrica. ´tica A – Aula 8 Matema 213 Para se obter a equa¸ca˜o geral da reta, pode-se eliminar o parˆ ametro t, isolando-o na primeira equa¸ca˜o: Y r t=x−2 e substituindo-o na segunda: 0 y = 1 − (x − 2) = −x + 3 Coeficiente Angular ou Declividade N´ umero real m que expressa a tangente trigonom´etrica de sua inclina¸ca˜o α, ou seja: X Se α = 90◦ ⇒ ∄ tan α ⇒ m ´e indefinido. Nesse caso, a reta r se diz vertical. Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta r que passa por dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ): m = tan α Podemos observar que: Y B y2 Y r α A y1 C α 0 0 X Se α = 0◦ ⇒ tan α = 0 ⇒ m = 0 x1 m= Y x2 X yB − yA xB − xA Posi¸c˜ oes Relativas entre Duas Retas Paralelismo r α 0 X Determinar a posi¸ca˜o da reta r, da equa¸ca˜o 2x − 3y + 5 = 0, em rela¸ca˜o `a reta s, de equa¸ca˜o 4x − 6y − 1 = 0 Se 0◦ < α < 90◦ ⇒ tan α > 0 ⇒ m > 0 Resolu¸ca˜o: Vamos determinar o coeficiente angular mr da reta r, reescrevendo a sua equa¸ca˜o na forma geral y = (2x + 5)/3, e ent˜ ao mr = 2/3. Para a reta s, temos: y = (4x − 1)/6, de onde ms = 4/6 = 2/3, ou seja as retas r e s s˜ao paralelas. Y r α 0 Se 90◦ < α < 180◦ ⇒ tan α < 0 ⇒ m < 0 Duas retas r e s, distintas e n˜ ao-verticais, s˜ao paralelas se, somente se, tˆem coeficientes angulares iguais. Se r e s s˜ao paralelas αr = αs e ent˜ a o mr = ms Exemplo Concorrˆ encia X Duas retas r e s ser˜ao concorrentes se tiverem coeficientes diferentes, isto ´e, r e s s˜ao concorrentes Longlef trightarrowmr 6= ms. As retas s˜ao ditas concorrentes porque concorrem para um, e apenas um, ponto em comum. 214 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Distˆ ancia entre um Ponto e uma Reta P Y l1 θ Dados um ponto P (xP , yP ) e uma reta r de equa¸ca˜o ax + by + c = 0 , a distˆancia entre P e r ´e dada pela f´ormula: l2 α2 α1 A 0 B X Exemplo axP + byP + c √ d(P, r) = a2 + b 2 Determinar a distˆancia entre o ponto A(2, 1) e a reta r, de equa¸ca˜o x + 2y − 14 = 0. Perpendicularismo Se r e s s˜ao duas retas n˜ ao-verticais, ent˜ ao r ´e perpendicular a s se, somente se, o produto de seus coeficientes angulares ´e igual a −1. Y 2 + 2 · 1 − 14 10 √ √ d(A, r) = = 12 + 22 5 √ d(A, r) = 2 5 P l1 A 0 Pense um Pouco! θ l2 • A equa¸ca˜o da reta j´a foi estudada em outro conte´ udo da matem´atica, com uma outra “aparˆencia”. Qual era esse assunto? α B X Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Exemplo Verificar se as retas f e g, de equa¸co˜es 10x + 3y − 5 = 0 e 3x − 10y − 4 = 0, respectivamente, s˜ao perpendiculares. C´ alculo de mf , coeficiente angular f : Reescrevemos a equa¸ca˜o da reta f , e obtemos, y = (5 − 10x)/3, de onde mf = −10/3. C´ alculo de mg , coeficiente angular g: Reescrevemos a equa¸ca˜o da reta g, e obtemos, y = (3x − 4)/10, de onde mg = 3/10. Verificando a condi¸ca˜o de perpendicularismo: mf × mg = (−10/3)(3/10) = −1 ent˜ ao as retas f e g s˜ao perpendiculares entre si. ˆ Angulo Formado por Duas Retas Se duas retas l1 e l2 , n˜ ao perpendiculares, tˆem coeficientes angulares m1 e m2 , respectivamente, o ˆ angulo θ, medido no sentido anti-hor´ario, desde a reta l1 at´e l2 , ´e considerando oˆ angulo formado por elas. Se tan α1 = m1 e tan α2 = m2 e θ ´e agudo, temos: m2 − m1 tan θ = 1 − m1 m2 Caso a reta 2 seja vertical: Se tan α1 = m1 e θ ´e agudo, temos: 1 tan θ = m1 1. (Fuvest-SP) Se (m+ 2n, m− 4) e (2 − m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, ent˜ ao mn ´e igual a: a) -2 b) 0 c) 2 d) 1 e) 1/2 2. (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triˆangulo retˆ angulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triˆ a ngulo. √ a) 6 √13 b) 5√ 13/6 c) 5 √13 d) 6 13/5 e) 0 3. (UFMG) A reta r dada pela equa¸ca˜o 2x + 4y − 3 = 0 intercepta o eixo das ordenadas no ponto: a) −3/4 b) −1/2 c) 3/4 d) 1/2 e) 3/2 4. (PUC-MG) O valor de x para que os pontos (1, 3), (−2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares ´e: a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5 ´tica A – Aula 9 Matema 215 Exerc´ıcios Complementares d(C, P ) = 5. (Cesgranrio-RJ) A equa¸ca˜o da reta mostrada na figura ou seja, abaixo p (x − xC )2 + (y − yC )2 = R (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 ´e a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia. Y Y 3 P(x,y) y R −4 0 X yC x ´e: a) 3x + 4y − 12 = 0 b) 3x − 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x − 3y − 12 = 0 e) 4x − 3y + 12 = 0 6. (Fuvest-SP) A reta r tem equa¸ca˜o 2x+y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P (1, 2) e ´e perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente: a) determine a equa¸ca˜o de s; b) calcule a ´area do triˆangulo ABC. 0 y yC C( xC , yC ) xC xC x X Figura 1: Uma circunferˆencia de raio R, com centro no ponto C(xC , yC ). A equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia e permite determinar diretamente os elementos essenciais para a constru¸ca˜o da circunferˆencia: as coordenadas do centro e o raio. Quando o centro da circunferˆencia estiver na origem, 7. Se o ponto P (k, −2) satisfaz ` a rela¸ca˜o x + 2y − 10 = 0, O(0, 0), a equa¸ca˜o da circunferˆencia ser´a simplesmente ent˜ ao o valor de k 2 ´e: a) 200 x2 + y 2 = R2 b) 196 c) 144 d) 36 Exemplo e) 0 Determinar as coordenadas do centro C e o raio R da circunferˆencia da equa¸ca˜o (x − 3)2 + (y + 1)2 = 16. Comparando a equa¸ca˜o dada, com a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia temos: Matem´ atica A Aula 9 Circunferˆ encia Conceito x − 3 = x − xC =⇒ xC = 3 y + 1 = y − yC =⇒ yC = −1 16 = R2 =⇒ R = 4 ´ o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes E ent˜ ao o centro da circunferˆencia ´e o ponto de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro C(3, −1), e o possui raio R = 4. da circunferˆencia. Raio Equa¸c˜ ao Geral da Circunferˆ encia ´ o segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer Desenvolvendo a equa¸ca˜o reduzida, obtemos a equa¸ca˜o geral E da circunferˆencia: da circunferˆencia. Equa¸ c˜ ao Reduzida da Circunferˆ encia (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 =⇒ 2 x2 + y 2 − 2xC x − 2yC y + x2C + yC − R2 = 0 Sendo C(xC , yC ) o centro e P (x, y) um ponto qualquer da Para determinar o centre e o raio de uma circunferˆencia, cocircunferˆencia, a distˆancia de C a P , chamada d(C, P ), ´e nhecendo a equa¸ca˜o geral, basta compar´a-la com a equa¸c˜ao geral da circunferˆencia em sua forma gen´erica. uma constante R, o raio da circunferˆencia. 216 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br c) x2 + y 2 − 4x − 4y − 17 = 0 d) x2 + y 2 + 4x + 4y + 3 = 0 Determine o centro e raio da circunferˆencia com equa¸ca˜o e) n. d. a. geral igual a x2 + y 2 − 6x + 4y − 3 = 0 Comparando com a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia temos: 5. (UEL-PR) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos que distam 2 unidades da reta de equa¸ca˜o x − y − 3 = 0. Esses pontos pertencem todos: −2xC = −6 =⇒ xC = 3 a) `as retas de equa¸co˜es −x + y + 5 = 0 ou −x + y + 1 = 0 −2yC = 4 =⇒ yC = −2 b) ao 1◦ ou 4◦ quadrante. √ c) `as retas de equa¸co˜es −x + y + 3 = ±2 2 2 x2C + yC − R2 = −3 =⇒ 32 + (−2)2 + 3 = R2 d) `a circunferˆencia de equa¸ca˜o x2 + y 2 − 9 = 0 √ e ent˜ ao R = + 16 = 4, j´ a que procuramos um valor R > 0. e) `as retas de equa¸ca˜o −x − y − 3/2 = 0 ou −x − y + 3/2 = 0 Exemplo Logo, C(3, 2) e R = 4. 6. Considere uma circunferˆencia cuja equa¸ca˜o ´e dada por (y + 1)2 + (x − 3)2 = 16. A maior por¸ca˜o da ´area interna dessa circunferˆencia pertenca ao: Pense um Pouco! a) primeiro quadrante b) segundo quadrante • De que elementos da circunferˆencia precisamos conhe- c) terceiro quadrante cer para escrever a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia? d) quarto quadrante • Como podemos saber se um ponto dado est´ a dentro ou e) n. d. a. fora de uma dada circunferˆencia? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Qual a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia com centro no ponto C(2, 3) e que passa pelo ponto P (−1, 2)? a) (x − 3)2 + (y − 2)2 = 10 b) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10 c) (x − 2)2 + (y − 10)2 = 15 d) (x − 2/3)2 + (y − 1)2 = 10 e) (x − 10)2 + (y − 2)2 = 3 Matem´ atica A Aula 10 Circunferˆ encia - II Posi¸c˜ ao Relativa a uma Reta Uma reta l e uma circunferˆencia podem ocupar as seguintes posi¸co˜es relativas: Reta Secante 2. (PUC-RS) O ponto P (−3, b) pertence ` a circunferˆencia de centro C(0, 3) e raio R = 5. Quais s˜ao os valores poss´ıveis A reta l intercepta a circunferˆ encia em dois pontos. de b? a) 14 e 20 b) -20 e 14 c) 8 e 2 A d) -7 e 1 e) 7 e -1 3. A circunferˆencia com centro na origem (0, 0) e que passa no ponto (−3, −4) tem equa¸ca˜o: a) (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 b) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 c) x2 + y 2 = −5 d) x2 − y 2 = 25 e) x2 + y 2 − 25 = 0 d C B f Exerc´ıcios Complementares 4. (UFAL) Para a quest˜ ao utilize os seguintes dados: reta r de equa¸ca˜o x − 2y + 2 = 0 reta s de equa¸ca˜o 2x + y − 6 = 0 pontos A(−1, 3) e B(3, 0). Seja C o ponto de intersec¸ca˜o de r e s. A equa¸ca˜o da circunferˆencia de centro C e raio de medida igual a AB ´e: a) x2 + y 2 − 4x + 4y + 17 = 0 b) x2 + y 2 + 4x − 4y + 3 = 0 Nesse caso, a reta e a circunferˆencia s˜ao secantes. Pode-se verificar, facilmente, que a distˆancia do centro C at´e a reta l ´e menor que o raio r, ou seja d(C, l) < r. Reta Tangente A reta l intercepta a circunferˆ encia em apenas um ponto. ´tica A – Aula 10 Matema 217 Vamos calcular a distˆancia do centro de C at´e s e compar´ala com o raio de α. Da equa¸ca˜o da circunferˆencia temos que C(0, 0) e r = 1, e ent˜ ao: C 1 · 0 + 1 · 0 − 4 d(C, s) = √ 12 + 12 √ 4 d(C, s) = √ = 2 2 2 d A Como d(C, s) > r, a reta s ´e exterior a α. l Posi¸c˜ ao Relativa entre Circunferˆ encias Nesse caso, a reta e a circunferˆencia s˜ao tangentes. PodePara determinar a posi¸ca˜o relativa entre duas circunse verificar, facilmente, que a distˆancia do centro at´e a reta ferˆencias quaisquer de raios R1 e R2 , com centros C1 e C2 , l ´e igual ao raio r, ou seja, d(C, l) = r respectivamente, determinamos a distˆancia d(C1 , C2 ) entre seus centros e comparamos com R1 + R2 ou com |R1 − R2 |, e classificamos os seguintes casos: Exterior A reta l n˜ ao-intercepta a circunferˆ encia. Circunferˆ encias Exteriores Quando d(C1 , C2 ) > (R1 + R2 ) as circunferˆencias s˜ao exteriores. α d C R1 β l C1 C2 R2 d(C1 ,C2 ) > R + R 1 2 Nesse caso, a reta e a circunferˆencia s˜ao n˜ ao-secantes ou exteriores. Pode-se verificar, facilmente, que a distˆancia Circunferˆ encias Secantes do centro C at´e a reta l ´e maior que o raio r, ou seja, d(C, l) > r. Quando |R1 − R2 | < d(C1 , C2 ) < (R1 + R2 ) as circunferˆencias s˜ao secantes. C´ alculo da Posi¸c˜ ao Pode-se determinar a posi¸ca˜o de uma reta em rela¸ca˜o a uma circunferˆencia calculando a distˆancia da reta ao centro da circunferˆencia. Assim, dadas a reta l definida pela equa¸ca˜o ax + by + c = 0 e a circunferˆencia α definida por (x − xC )2 + (y − yC )2 = r2 , com centro C(xC , yC ) e raio r, temos: axC + byC + c d(C, l) = √ a2 + b 2 E uma vez determinada essa distˆancia, fazemos a sua compara¸ca˜o com r e classificamos a posi¸ca˜o em um dos trˆes casos vistos acima: secante, tangente ou exterior. α β R1 C2 C1 R2 |R 1 − R | < d(C1 ,C2 ) < R1 + R2 2 Exemplo Circunferˆ encias Tangentes Vamos determinar a posi¸ca˜o relativa da reta s : x+y−4 = 0 em rela¸ca˜o `a circunferˆencia α : x2 + y 2 = 1. Quando d(C1 , C2 ) = |R1 − R2 | ou d(C1 , C2 ) = (R1 + R2 ) as circunferˆencias s˜ao tangentes. 218 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC α R1 α β R1 C2 C1 β C2 R2 R2 C1 d(C1 ,C2 ) = |R1 − R2 | d(C1 ,C2 ) = R 1 + R 2 — www.mundofisico.joinville.udesc.br equa¸ca˜o da reta que cont´em A e B ´e dada por: a) y = 2x − 3 b) y = x − 1 c) y = (3/2)x − 2 d) y = −x + 3 e) y = −x/2 + 2 3. (UEMT) Dada a circunferˆencia C de equa¸ca˜o (x − 1)2 + y 2 = 1 e considerando o ponto P (2, 1), ent˜ ao as retas tangentes a C passando por P : Figura 1: Circunferˆencias tangentes exteriores (a) e a) tˆem equa¸co˜es y = 1 e x = 2 b) tˆem equa¸co˜es y = 1 (e s´o uma porque P est´ a em C) interiores (b). c) s˜ao ambas paralelas `a reta y = 1 d) tˆem equa¸co˜es x = 1 e y = 2 Circunferˆ encias Internas e) n˜ ao existem pois P ´e interno a C (a) (b) Quando 0 < d(C1 , C2 ) < |R1 − R2 | as circunferˆencias s˜ao internas. α R1 C2 C1 R1 β β R2 d(C1 ,C 2 ) < |R 1 − R2 | α C1= C2 R2 d(C1 ,C2 ) = 0 (a) (b) Exerc´ıcios Complementares 4. (USP) A equa¸ca˜o da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo ponto m´edio do segmento AB, onde A(2, 3) e B ´e o centro da circunferˆencia de equa¸ca˜o x2 + y 2 − 8x − 6y + 24 = 0, ´e: a) 3x + 4y = 0 b) x = 3 c) x = 4 d) y = 4 e) y = 3 Figura 2: Circunferˆencias internas (a) e concˆentricas (b). 5. (Fuvest-SP) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e ´e perpen- dicular `a reta AB, onde A(0, 0) e B ´e o centro da circunferˆencia x2 + y 2 − 2x − 4y = 20. Ent˜ ao a equa¸ca˜o de s ´e: a) x − 2y = −6 Circunferˆ encias Concˆ entricas b) x + 2y = 6 c) x+y =3 No caso especial em que d(C1 , C2 ) = 0 as circunferˆencias d) y−x=3 s˜ao concˆ entricas. e) 2x + y = 6 6. (MACK-SP) Em rela¸ca˜o `a circunferˆencia (x − 1)2 + (y − 2)2 = 169, a reta 5x + 12y − 198 = 0 • De que elementos da circunferˆencia precisamos conhe- a) ´e secante b) ´e tangente cer para escrever a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia? c) ´e externa • Quantos pontos no m´ınimo precisamos para definir d) coincide com reta que cont´em o diˆametro uma circunferˆ ancia? e) n. d. a. Pense um Pouco! 7. A equa¸ca˜o da circunferˆencia tangente `as retas x + y = 0 e x + y = 8 e que passa pelo ponto (0, 0) ´e: a) 2x2 + 2y 2 − 4x − 4y = 0 b) x2 + y 2 − 2x − 6y = 0 1. (UFSC) Determine o raio da circunferˆencia C1 , cujo c) x2 + y 2 − 4x − 4y = 0 centro ´e o ponto de intersec¸ca˜o da reta r de equa¸ca˜o x − y − d) x2 + y 2 + 4x + 4y = 0 1 = 0 com reta s de equa¸ca˜o 2x − y + 1 = 0, sabendo que e) n. d. a. C1 ´e tangente exteriormente ` a circunferˆencia C2 de equa¸ca˜o x2 + y 2 − 12x − 6y − 4 = 0. a) 10 b) 2 c) 3 d) 6 Matrizes e) 1 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Matem´ atica B Aula 1 2. (ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) ´e o ponto m´edio de uma corda AB da circunferˆencia (x − 1)2 + y 2 = 4, ent˜ ao a Uma tabela de n´ umeros dispostos em linhas e colunas, como por exemplo: ´tica B – Aula 1 Matema 219 • Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja, com uma u ´ nica linha. Por exemplo, a matriz   A = 5 8 −2 3   3 1 4 2  6 −5 0 −1  7 11 −3 5 ´e chamada matriz. Se essa tabela ´e formada por m linhas e por n colunas, dizemos que a matriz ´e do tipo m por n, e indicamos m × n. No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; ent˜ ao, A ´e do tipo 3 × 4: A(3 × 4). De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas e as colunas por parˆenteses como na matriz A acima. Podemos tamb´em utilizar colchetes ou duplas barras. 1. B = 2. C =  3. D = • Matriz coluna : matriz do tipo m × 1, ou seja, com uma u ´ nica coluna. Por exemplo,   3  −5  2 ´e do tipo 3 × 1. Exemplos  ´e do tipo 1 × 4.  2 1/2 −3 ´e uma matriz (2 × 3) 5 0 −1 1 4 ´e uma matriz de ordem 2 5 −1  −1 0 3 5 ´e uma matriz (1 × 4) Nota¸ c˜ ao Geral Normalmente representamos as matrizes por letras mai´ usculas e seus elementos por letras min´ usculas, acompanhadas por dois ´ındices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do tipo m × n ´e representada por:  a11  a21   A =  a31  ..  . am1 a12 a22 a32 .. . a13 a23 a33 .. . am2 am3 ··· ··· ··· a1n a2n a3n .. . ··· · · · amn        ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 ´e o elemento da 3a linha e da 1a coluna. • Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja, com o mesmo n´ umero de linhas e colunas; dizemos que a matriz ´e de ordem n. Os elementos da forma aii constituem a diagonal principal. Os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secund´aria. Por exemplo, a matriz  C= 7 2 • Matriz nula: matriz em que todos os elementos s˜ao nulos; ´e representada por 0m×n . Por exemplo, 02×3 =  0 0 B3×3 A=  4 0 = 0 5 0 0 =2 =6 = −5 =0 Tipos de matrizes Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas caracter´ısticas.   0 0  −3 0 1 0  0 0  1 aij = 1 se aij = 0 se i=j i 6= j 1 I3 =  0 0 Para uma matriz identidade  temos  a11    a12 a21    a22 0 0 • Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal s˜ao iguais a 1 e os demais s˜ao nulos; ´e representada por In , sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: Na matriz:  0 0 • Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que n˜ ao est˜ ao na diagonal principal s˜ao nulos. Por exemplo:  2 6 −5 0  ´e do tipo 2 × 2, isto ´e, quadrada de ordem 2. Exemplo  −9 4 • Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), a matriz que se obt´em trocando ordenadamente as linhas pelas colunas chama-se transposta de A, e ´e indicada por AT . Por exemplo:  2 A= 5 0   3 2 −1  =⇒ AT = 3 6 5 0 −1 6  220 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br • Matriz sim´ etrica: matriz quadrada de ordem n tal e) 1, 4, 27 que A = AT . Por exemplo: f) n. d. a.  3 A= 5 6  5 6 2 4  4 8 ´e sim´etrica pois temos aij = aji . • Matriz anti-sim´ etrica: Uma matriz quadrada A = [aij ] ´e anti-sim´etrica se AT = −A. Por exemplo:   0 3 4 A =  −3 0 −6  −4 6 0 4. (ACAFE) Seja A = B, onde     2 x +1 0 10 y − 2 e B = A= 4 4 logx 81 y 2 ent˜ ao os valores de x e y ser˜ao, respectivamente: a) 2 e 3 b) ±2 e ±3 c) 3 e 2 d) −3 e −2 e) ±3 e ±2 Exerc´ıcios Complementares • Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por 5. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determine x, y e exemplo, se     3 0 2 y−1 4 A= z tais que A = . 4 −1 x z 5 ent˜ ao −A =  −3 −4 0 1 6. Dada a matriz A = (aij )3×3 tal que aij = i2 + 2j − 5, calcule a12 + a31 .  7. Calcule a soma dos elementos da segunda coluna da matriz B = (bij )2×3 , em que bij = 2i + j − 1 Igualdade de Matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, s˜ao iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posi¸ca˜o s˜ao iguais. Por exemplo, se   x y A= z t e B=  8 −1 5 3 Pense um Pouco! • Qual a rela¸ca˜o entre uma matriz A e sua oposta? • No que a matriz anti-sim´etrica difere da matriz sim´etrica? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Escreva a matriz A3×3 = [aij ], onde aij = i + 2j. Determine, em seguida, AT (a matriz transposta de A). Escreva a matriz aij = 2i, se i = j aij = j − 10 se i = 6 j A2×2 Opera¸ c˜ oes com Matrizes Adi¸c˜ ao  A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3. 2.  Matem´ atica B Aula 2 = [aij ] onde Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m × n), somar A com B ´e obter a matriz A + B, do tipo m×n, onde cada elemento ´e a soma dos elementos de mesma posi¸ca˜o de A e B. Por exemplo:     2 3 5 8 −7 3 Se A = eB= −1 4 −2 2 4 6 ent˜ ao  2+8 3−7 5+3 A+B = −1 + 2 4 + 4 −2 + 6   10 −4 8 A+B = 1 8 4  Propriedades da Adi¸ c˜ ao Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos as seguintes propriedades para a adi¸ca˜o: 1. comutativa: A + B = B + A j 3. Seja uma matriz A3,3 com elementos aij = i . Os elementos da diagonal principal da matriz A s˜ao: a) 0, 1, 2 b) 1, 2, 3 c) 2, 4, 8 d) 1, 4, 9 2. associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 3. elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m × n 4. elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0 ´tica B – Aula 2 Matema 221 Subtra¸c˜ ao Observa¸ c˜ ao Para entendermos a subtra¸ca˜o de matrizes devemos saber o que ´e uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M ´e a matriz −M , cujos elementos s˜ao os n´ umeros opostos de mesma posi¸ca˜o de M . Por exemplo: Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o n´ umero de colunas de A ´e igual ao n´ umero de linhas de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto ´e dado pelo n´ umero de linhas de A e pelo n´ umero de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas n˜ ao existir o produto de B por A. M=  2 −3 −5 7  =⇒ −M =  −2 3 5 −7  Com a matriz oposta podemos definir a diferen¸ca de matri- Propriedades zes: Verificadas as condi¸co˜es de existˆencia para a multiplica¸ca˜o de matrizes, valem as seguintes propriedades: A − B = A + (−B) ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a oposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima, temos: A − B = A + (−B) A−B =  2 3 5 −1 4 −2  +  1. associativa: (A · B) · C = A · (B · C) 2. distributiva em rela¸ca˜o `a adi¸ca˜o: −8 7 −3 −2 −4 −6  Logo, A · (B + C) = A · B + A · C ou A−B =  −6 10 2 −3 0 −8  Multiplica¸c˜ ao por um N´ umero Real Multiplicar um n´ umero k por uma matriz A ´e obter a matriz kA, cujos elementos s˜ao os elementos de A multiplicados, todos por k.     2 1 6 3 A =  4 −3  =⇒ 3A =  12 −9  −1 5 −3 15 (A + B) · C = A · C + B · C 3. elemento neutro: A · In = In · A = A sendo In a matriz identidade de ordem n. Propriedades Geralmente a propriedade comutativa n˜ ao vale para a multiplica¸ca˜o de matrizes (A · B 6= B · A). N˜ ao vale tamb´em o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula, A · B = 0m×n n˜ ao implica, necessariamente, que A = 0m×n ou B = 0m×n . Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m × n e x e y n´ umeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: Invers˜ ao de Matrizes 1. associativa: x · (yA) = (xy) · A 2. distributiva de um n´ umero real em rela¸ca˜o ` a adi¸ca˜o de matrizes: x · (A + B) = xA + xB 3. distributiva de uma matriz em rela¸ca˜o ` a adi¸ca˜o de dois n´ umeros reais: (x + y) · A = xA + yA 4. elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A Dadas as matrizes A = (aik )m × n e B = (bik )m × p, definese como produto de A por B a matriz C = (cij )m × p tal que o elemento cij ´e a soma dos produtos da i-´esima linha de A pelos elementos correspondentes da j-´esima coluna de B. Pp k=1 (Aik Pense um Pouco! • Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem (iguais) ? Multiplica¸c˜ ao de Matrizes C = A · B ⇒ cij = Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A′ , de mesma ordem, tal que A · A′ = A′ · A = In , ent˜ ao A′ ´e matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa por A−1 . · Bik ) • (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2 , B3×3 e C2×3 . A alternativa em que a express˜ao ´e poss´ıvel de ser determinada ´e: a) B 2 · (A + C) b) (B · A) + C c) (C · B) + A d) (A · C) + B e) A · (B + C) 222 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao A= 1 2 −2 1  determine sua inversa, se existir.   0 1 2. (ACAFE) Dada a matriz A = , seja At a 2 −2 suamatriz transposta. O produto A · At ´e a matriz:  0 1 a) 2 −2   0 2 b) 1 −2   1 −2 c) −2 0   1 0 d) 2 1   1 −2 e) −2 8   1 2 3. (ACAFE) Considere as matrizes A = , −2 −1   x B= e  y  6 C= . Sendo que A · B = C, o valor de |x| + |y| ´e: 9 a) 15 b) 1 c) 57 d) 9 e) 39  Dadas as matrizes A 2 −1 1 3 0 4 =  1  3 5  , calcule X = 2A − 3B T .  0 2  e B 4 5. A matriz A = (aij )3×3 ´e definida, de tal forma que: aij = ( se i>j se i=j i + j se i < j T Calcule B = M · M . −sen θ cos θ 0 1 1 1 2  Matem´ atica B Aula 3 Determinantes Determinante ´e um n´ umero que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante ´e indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo s´ımbolo det. Assim, se A=  a c b d  det A = det =  a c b d  a = c b d O c´ alculo de um determinante ´e efetuado atrav´es de regras ´ importante espec´ıficas que estudaremos mais adiante. E ressaltarmos alguns pontos: 1. Somente `as matrizes quadradas ´e que associamos determinantes. Determinante de 1a Ordem 6. Dada a matriz cos θ M =  sen θ 0  2. O determinante n˜ ao representa o valor de uma matriz. Lembre-se, matriz ´e uma tabela, e n˜ ao h´ a significado falar em valor de uma tabela. i−j i∗j Determine a matriz B = 6 · A−1 .  8. (UECE) O produto da inversa da matriz A =   1 0 pela matriz I = ´e igual a: 0 1   −2 1 a) −1 1   2 −1 b)  1 −1  −2 1 c) 1 −1   2 −1 d) −1 1 e) n. d. a. o determinante de A ´e indicado por: Exerc´ıcios Complementares 4. www.mundofisico.joinville.udesc.br da matriz P ´e: a) 9/4 b) −4/9 c) 4 d) 5/9 e) −9/5 1. Sendo  —  0 0  1 Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11 ], o seu determinante ´e o n´ umero real a11 : det M = |a11 | = a11 Exemplo 7.  (ITA-SP)  Considere P a matriz inversa da matriz M = 1/3 0 . A soma dos elementos da diagonal principal M = [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5 1/7 1 ´tica B – Aula 3 Matema 223 Determinante de 2a Ordem a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Dada a matriz M=  a11 a21 a12 a22  de ordem 2, por defini¸ca˜o o determinante associado a M , determinante de 2a ordem, ´e dado por: a11 a21 a12 a22 = a11 a22 − a12 a21 Determinante de 3a Ordem Para o c´ alculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra pr´atica, conhecida como Regra de Sarrus, que s´o se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 multiplicar e subtrair Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como: D = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ) Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determinante M C ij , de ordem n − 1, associado `a matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Por exemplo, dada a matriz 1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: M=  a11 a21 a12 a22  de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11 (M C 11 ), eliminamos a linha 1 e a coluna 2: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a11 a21 a12 ⇒ M C 11 = |a22 | = a22 a22 a11 a21 a12 ⇒ M C 12 = |a21 | = a21 a22 De modo an´alogo, para obtermos o menor complementar relativo ao elemento a12 , eliminamos a linha 1 e a coluna 2: 2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos ele- Para um determinante de ordem 3, o processo de obten¸ca˜o mentos da diagonal principal com os dois produtos obtidos do menor complementar ´e o mesmo utilizado anteriormente, pela multiplica¸ca˜o dos elementos das paralelas a essa diago- por exemplo, sendo nal:   a11 a12 a13 M =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 multiplicar e somar de ordem 3, temos: M C 11 Co-fator a = 22 a32 a23 = a22 a33 − a23 a32 a33 Chama-se de co-fator de um elemento aij de uma matriz quadrada o n´ umero Aij tal que 3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secund´ aria com os dois produtos obtidos pela multiplica¸ca˜o dos elementos das paralelas a essa diagonal: i+j Aij = (−1) · M Cij 224 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exemplo — www.mundofisico.joinville.udesc.br P4 ) Se os elementos de uma matriz s˜ao combina¸co˜es lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, ent˜ ao seu determinante ´e nulo. Considerando P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz n˜ ao se altera quando somamos aos elementos de uma fila, uma combina¸ca˜o linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. calcularemos o co-fator A23 . Temos que i = 2 e j = 3, logo: P6 ) O determinante de uma matriz e o de sua transposta 2+3 A23 = (−1) · M C23 . Devemos calcular M C23 . s˜ao iguais.  a11 M =  a21 a31 a = 11 a31 M C 23 a12 a22 a32  a13 a23  a33 a12 = a11 a32 − a12 a31 a32 Assim A23 = (−1) · (a11 a32 − a12 a31 ) Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos co-fatores. Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos: det M = Pm i=1 aij Aij Pm em que i=1 ´e o somat´orio de todos os termos de ´ındice i, variando de 1 at´e m, m ∈ N. P7 ) Multiplicando-se por um n´ umero real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse n´ umero. P8 ) Quando trocamos as posi¸co˜es de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. P9 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal s˜ao todos nulos, o determinante ´e igual ao produto dos elementos dessa diagonal. P10 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secund´aria s˜ao todos nulos, o determinante ´e igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por (−1) n(n−1) 2 . P11 ) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 = 1/det A. P12 ) Se k ∈ R, ent˜ ao det (k · A) = k n · det A. Pense um Pouco! Exemplo Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace: 2 3 D = −2 1 0 5 −4 2 6 • Podemos associar um determinante apenas a matrizes quadradas? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, temos: 1+1 D = 2(−1) 1 5 2 2+1 3 + (−2)(−1) 5 6 3 −4 +0(−1)3+1 1 2 −4 6 D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68 log2 8 1. (ACAFE) O valor do determinante −1/2 4 a) 0 b) 4 c) 7 d) 17 2 e) 53 2 log10 ´e: 2 31 2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A = (aij ) com aij = i2 − j 2 e B = (bij ) com bij = aij − 3 se Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, i > j, e bij = aij + 3 se i ≤ j. Determine: obteremos o mesmo n´ umero real. a) a matriz A b) a matriz B Propriedades dos determinantes c) a matriz A · B P1 ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) d) o determinante da matriz A · B s˜ao nulos, o determinante dessa matriz ´e nulo. 3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2 , onde aij = P2 ) Se duas filas de uma matriz s˜ao iguais, ent˜ ao seu deter- n −1 se i≥j minante ´e nulo. i+j se i0 progress˜ao aritm´etica crescente r < 0 progress˜ao aritm´etica decrescente r=0 progress˜ao aritm´etica constante Matem´ atica B Aula 6 Progress˜ ao Aritm´ etica Sequˆ encias Exemplos A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, . . .) raz˜ ao = 4, PA crescente Imagine que na p´ agina de passatempos de uma revista vocˆe B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, . . .) encontre o seguinte problema: raz˜ ao = 9, PA crescente Descubra o elemento que completa a sequˆ encia: C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, . . .) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . raz˜ ao = 0, PA constante N˜ ao haveria dificuldade para vocˆe entender o que foi pedido, pois a no¸ca˜o de sequˆencia lhe ´e familiar: uma lista onde os D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, . . .) ao = -10, PA decrescente elementos est˜ ao numa certa ordem. Em um calend´ ario, por raz˜ exemplo, os dias da semana est˜ ao em sequˆencia. Para resolver o problema, vocˆe precisa descobrir a lei de Termo Geral de uma PA forma¸ca˜o da sequˆencia. No caso da quest˜ ao acima, n˜ ao ´e ao dif´ıcil perceber que cada elemento, a partir do terceiro, ´e Seja a PA gen´erica (a1 , a2 , a3 , a4 . . . , an−1 , an , . . .) de raz˜ igual ` a soma dos dois elementos anteriores: 2 = 1 + 1, 3 = r. Podemos escrever: 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, etc., assim, o elemento que a2 = a1 + r completa a sequˆencia ´e 13 + 21 = 34. a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r ´ usual indicar os elementos de uma sequˆencia (que a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r E ´e tamb´em chamada de progress˜ao) por letra, em geral ´tica B – Aula 6 Matema 229 Podemos generalizar das igualdades acima que o termo geral de uma PA ´e: Soma dos Termos de uma PA Considerando a PA (a1 , a2 , a3 , . . . , an−2 , an−1 , an ), a soma Sn dos n primeiros termos dessa progress˜ao pode ser escrita assim: , onde an ´e o termo de ordem n (n-´esimo termo), r ´e a raz˜ ao S = a + a + a + . . . + a n 1 2 3 n−2 + an−1 + an e a1 ´e o primeiro termo da PA. ´ f´ E acil perceber que uma PA est´ a perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raz˜ ao r. an = a1 + (n − 1)r Sn Sn Exemplos 1. Qual o mil´esimo n´ umero ´ımpar positivo? = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + an = an + (an − r) + (an − 2r) + . . . + a1 (33) (34) Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . . ) onde o primeiro termo ´e Como a soma dos termos equidistantes dos extremos ´e sema1 = 1, a raz˜ ao ´e r = 2 e queremos calcular o mil´esimo pre constante, somando (33) com (34) membro a membro, termo (a1000 ). obtemos: Nestas condi¸co˜es, n = 1000 e poderemos escrever: 2sn = (a1 + an ) + (a1 + an ) + . . . + (a1 + an ) = (a1 + an )n a1000 = a1 + (1000 − 1) · 2 a1000 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999 finalmente: Portanto, 1999 ´e o mil´esimo n´ umero ´ımpar. Sn = 2. Qual o n´ umero de termos da PA: (100, 98, 96, . . . , 22)? (a1 + an )n 2 a a soma dos n primeiro termos Temos a1 = 100, r = 98 − 100 = −2 e an = 224 Esta ´e a express˜ao que nos d´ de uma PA. e desejamos calcular n. Substituindo na f´ ormula do termo geral, temos: 22 = 100 + (n − 1) · (−2) Exemplo 22 − 100 = −2n + 2 e 22 − 100 − 2 = −2n Vamos calcular a soma dos 200 primeiros n´ umeros ´ımpares positivos. Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . .) e precisamos conhecer o valor de a200 . Neste caso logo, de onde conclui-se que −80 = −2n ⇒ n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos. a200 = a1 + (200 − 1) · r = 1 + 199 · 2 = 399 Propriedades da PA e logo, Sn = [(1 + 399) · 200]/2 = 40.000 M´ edia dos Vizinhos Numa PA, cada termo (a partir do segundo) ´ e a m´ edia aritm´ etica dos termos vizinhos deste. Exemplo Observe a PA de 9 termos: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 e note que: 5 = 9+1 2 , 9 = 13+5 2 , 25 = 29+21 2 , etc. Portanto, a soma dos duzentos primeiros n´ umeros ´ımpares positivos ´e igual a 40.000. Pense um Pouco! • Compare a f´ormula do termo geral de uma PA com a equa¸ca˜o da reta. Comente. • Se fizermos um gr´afico an × n de alguns termos de uma PA, que tipo de gr´afico obteremos? Termos Equidistantes Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos ´ e constante. Exemplo Observe a PA 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 e note que 1 + 33 = 34, 5 + 29 = 34, 9 + 25 = 34, 13 + 21 = 34, etc. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA (−4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .). 2. Encontre a soma dos sete primeiros termos de uma PA em que o 5o termo ´e 17 e o 3o ´e 11. 3. Calcule o n´ umero n de termos da PA 7, 9, 11, 13, . . ., sabendo que a soma deles ´e 160. 230 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exerc´ıcios Complementares 4. As medidas dos lados de um triˆangulo s˜ao expressas por x + 1, 2x, x2 − 5 e est˜ ao em PA, nesta ordem. O per´ımetro do triˆangulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33 5. (UFBA) - Um rel´ogio que bate de hora em hora o n´ umero de vezes correspondente a cada hora, bater´ a, de zero `as 12 horas x vezes. Calcule o dobro da ter¸ca parte de x. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exemplos 2, 6, 18, 54, 162, . . . PG crescente de raz˜ ao 3 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, . . . PG decrescente raz˜ ao 1/2 −5, −5, −5, −5, −5, −5, −5, . . . PG constante de raz˜ ao 1 (1, −3, 9, −27, 81, −243, . . .) PG alternada (ou oscilante) de raz˜ ao −3 Termo Geral da PG Numa PG (a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) de raz˜ ao r, pela defini¸ca˜o, 6. (UFBA) - Numa progress˜ao aritm´etica, o primeiro termo temos: ´e 1 e a soma do n-´esimo termo com o n´ umero de termos ´e a2 = a1 · r 2. Calcule a raz˜ ao dessa progress˜ao. a3 = a2 · r = (a1 · r)r = a1 · r2 2 3 7. Determinar o cent´esimo termo da progress˜ao aritm´etica a4 = a3 · r = (a1 · r )r = a1 · r na qual a soma do terceiro termo com o s´etimo ´e igual a 30 Assim, podemos verificar que a10 = a1 · r9 ou a40 = a1 · r39 . e a soma do quarto termo com o nono ´e igual a 60. Portanto: an = a1 rn−1 Matem´ atica B Aula 7 Progress˜ ao Geom´ etrica (PG) Entenderemos por progress˜ao geom´etrica (PG) qualquer sequˆencia de n´ umeros reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, ´e igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada raz˜ ao. A partir da defini¸ca˜o anterior, podemos escrever: an = an−1 r , onde an 6= 0 para n = 1, 2, 3, . . .. A raz˜ ao r pode ser obtida de dois termos consecutivos da PG: an r= an−1 Chama-se progress˜ ao geom´ etrica ou PG ` a toda sequˆencia num´erica cujos termos a partir do segundo, s˜ao iguais ao anterior multiplicado por um valor constante denominado raz˜ ao. Dependendo a raz˜ ao r da PG e do primeiro termo a1 a sequˆencia de valores obtidos pode ser crescente, decrescente ou constante. Classifica¸c˜ ao Uma PG est´ a perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raz˜ ao r, pois conhecemos a lei de forma¸ca ˜o. Para uma PG sobre os n´ umeros reais, ou seja, se {a1 , r} ⊂ R podemos usar a seguinte classifica¸ca˜o geral: a1 a1 > 0 a1 > 0 a1 < 0 a1 < 0 ∀a1 ∈ R a1 = 0 r r r r r r r >1 <1 >1 <1 =1 =0 PG progress˜ao geom´etrica crescente progress˜ao geom´etrica decrescente progress˜ao geom´etrica decrescente progress˜ao geom´etrica crescente progress˜ao geom´etrica constante progress˜ao geom´etrica nula para n = 1, 2, 3, . . .. Observa¸ co ˜es 1. Note que s˜ao necess´arios pelo menos trˆes termos para identificar e diferenciar uma PA de uma PG, por exemplo. 2. Uma PG gen´erica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/r, x, xr), onde r ´e a sua raz˜ ao. 3. Uma PA gen´erica de 3 termos, pode ser expressa como: (x − r, x, x + r), onde r ´e a sua raz˜ ao. Exemplos 1. Dada a PG (2, 4, 8, . . .), vamos calcular o d´ecimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = . . . = 2. Para calcular o d´ecimo termo a10 , temos: a10 = a1 · r9 = 2 · 29 = 2 · 512 = 1024 2. Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente ´e igual a 20 e o oitavo termo ´e igual a 320. Qual a raz˜ ao desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a4 = a1 · r4−1 e a8 = a1 · r8−1 a4 = a1 · r 3 e a8 = a1 · r 7 Da´ı, vem: a4 r3 r7 r3 = = r4 = r4 = a8 r7 a8 a4 a8 a4 320 20 ´tica B – Aula 7 Matema 231 Ent˜ ao r4 = 16 e portanto r = 2. b) se −1 < r < 1, S converge para um valor finito. A partir da f´ormula da soma dos n primeiros termos de n −1) , temos que, quando n tende a +∞, uma PG, Sn = a1 (r Produto dos Termos de uma PG r−1 n r tende a zero, portanto, a f´ormula para calcular S, com Dada a PG (a1 , a2 , a3 , . . . , an ), com r 6= 0, podemos calcular |r| < 1, ´e: −a1 a1 (0 − 1) o produto Pn de seus n primeiros termos assim: = S= r − 1 r −1 Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an = logo, a1 (a1 · r)(a1 · r2 ) · . . . · (a1 · rn−1 ) = a1 S= (a1 · a1 · a1 · . . . · a1 )(r · r2 · r3 · . . . · rn−1 ) 1 −r {z } | n fatores Aplicando a propriedade das potˆencias de mesma base, te- Propriedades Principais da PG mos: Produto de Termos Vizinhos Pn = a1 n · r1+2+3+...+n−1 Como 1 + 2 + 3 + n + . . . + n − 1 representa a soma dos termos de uma PA, temos Pn = a1 n · r n(n−1) 2 Em toda PG, um termo qualquer, com exce¸ca˜o do primeiro e do u ´ ltimo, tem seu quadrado igual ao produto dos termos imediatamente anterior e posterior, ou seja, a2n = an−1 an+1 . Exemplo Na PG 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . . temos: Soma dos Termos de uma PG 102 202 Vamos indicar por Sn a soma dos n primeiros termos da PG 402 (a1 , a2 , a3 , . . . , an−1 , an , . . .): 802 .. Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + an (35) . Se multiplicarmos ambos os membros da equa¸ca˜o acima por r, vem r · Sn = a1 · r + a2 · r + a3 · r + . . . + an−1 · r +an · r | {z } | {z } | {z } | {z } a2 a3 a4 an = 5 · 20 = 100 = 10 · 40 = 400 = 20 · 80 = 1.600 = 40 · 160 = 6.400 Produto de Termos Equidistantes O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG ´e constante: a1 an = a2 an−1 = a3 an−2 = . . . Exemplo (36) Na PG alternada com 6 −2, 2/3, −2/9, 2/27, −2/81, 2/243 temos: Efetuando, agora, a subtra¸ca˜o 36 - 35, obtemos (para r 6= 1), −2 · 2/243 = 2/3 · −2/81 = −2/9 · 2/27 = −4/243 a f´ ormula da soma: r · S n = a1 + a2 + a3 + a4 . . . + an + an · r Sn = a1 (rn − 1) r−1 termos Pense um Pouco! Exemplo • Dada a PG 5, 10, 20, 40, 80, . . ., determine sua raz˜ ao. Calculemos a soma dos 10 primeiros termos da PG 1, 2, 4, 8, . . .. • Fazendo-se um gr´afico dos termos de uma PG an × n, que tipo de comportamento ter´ıamos? Comente. Temos: 10 Sn = 1·(22−1−1) = 1023 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Observe que neste caso a1 = 1. 1. Verifique se cada uma das sequˆencias ´e PG, determinando, em caso afirmativo, a raz˜ ao r. a) 3/4, −9/2, 54/2, . . . Neste caso trivial, como a PG ´e constante, temos r = 1. b) −3/5, 2/5, −415, . . . Ent˜ ao 2. Determine o produto dos 53 termos iniciais da PG S n = a1 + a1 + a1 + . . . + a1 ⇒ S n = n · a1 2−26 , −2−25 , 2−24 , . . .. Soma dos Termos de uma PG constante 3. (UnB) O valor de x na equa¸ca˜o   27 9 3 1 + + + ... = x Dada a PG infinita (a1 , a2 , a3 , . . .) de raz˜ ao r, r 6= 0, para 5 5 5 4 determinar a soma S dos seus infinitos termos, temos: a) se r ≤ −1 ou r ≥ 1, S tende a ±∞ (o que significa que ´e: a) 1 S ´e indeterminada; Soma dos Termos de uma PG infinita 232 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br b) 3/5 c) 4/3 d) 5/2 e) 45/8 Exerc´ıcios Complementares 4. (UFRS) A cada balan¸co uma firma tem apresentado um (a) (b) aumento de 10 % em seu capital. A raz˜ ao de progress˜ao formada pelos capitais nos balan¸cos ´e: Figura 1: George Boole (1815–1864) (a) e George Cana) 10 tor (1845-1918) (b) b) 11/10 c) 20/11 d) 9/10 Conjunto e) 1/10 5. Sabe-se que x − 16, x − 10 e x + 14 s˜ao os trˆes primeiros A no¸ca˜o de conjunto ´e aceita sem defini¸ca˜o, como conceito primitivo, formada a partir da id´eia de cole¸ca˜o: Assim, potermos de uma PG. Calcule o seu 14o termo. demos nos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos, 6. (Ucsal-BA) A soma dos trˆes primeiros termos de uma n´ umeros, letras, etc . . . Existem certos conjuntos que tˆem progress˜ao geom´etrica ´e −3/4 e a soma dos trˆes termos se- um nome especial chamado coletivo. Exemplo: O coletivo guintes ´e 6. A raz˜ ao dessa progress˜ao ´e: de cavalos ´e manada, o coletivo de estrelas ´e constela¸ca˜o, a) −4 o coletivo de lobos ´e alcat´eia. Cada um dos integrantes de b) −2 um conjunto ´e chamado de elemento do conjunto. Em gec) 1/2 ral, indicamos o nome de um conjunto por letras mai´ usculas d) 2 (A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos, que se sup˜oe distintos e) 1/8 entre si, dois a dois, por letras min´ usculas (a,b,c,. . . ,z). ` A no¸ca˜o de constituir associamos, em matem´atica, o con7. (UGF-RJ) Calcule a raz˜ ao de uma PG, na qual o 1o ceito tamb´em primitivo de pertencer. o termo ´e 1/2 e o 4 ´e 4/27. Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemos 8. (PUC-SP) O 7o termo de uma PG ´e 8 e a raz˜ ao ´e −2. De- que o elemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamos termine a soma dos trˆes primeiros termos dessa progress˜ao. essa rela¸ca˜o por: a∈V Matem´ atica C Aula 1 Teoria dos Conjuntos Hist´ oria As no¸co˜es que deram origem ` a Teoria dos conjuntos, est˜ ao diretamente ligadas aos estudos dos matem´aticos ingleses Augustus De Morgan (1806 − 1871) e George Boole (1815 − 1864), considerados fundadores da l´ogica moderna. Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentados os fundamentos de uma ´ algebra espec´ıfica para o estudo da l´ogica. Em seus trabalhos, ele utilizou frequentemente rela¸co˜es entre “conjuntos”de objetos. Entretanto, n˜ ao chegou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado. Somente em 1890, o matem´atico russo George Cantor (1845 − 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos N´ umeros, publicou na Alemanha uma s´erie de proposi¸co˜es e defini¸co˜es que vieram a se constituir na linguagem simb´ olica para a l´ogica, a Teoria dos N´ umeros e outros ramos da Matem´atica. Em fun¸ca˜o disso, Cantor ´e conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos. Na formula¸ca˜o dessa teoria, Cantor utilizou tamb´em formas de representa¸ca˜o em diagramas que j´a tinham sido utilizadas no estudo da L´ ogica por Leonhard Euler (1707−1783) e por John Venn (1834−1923). Para indicar que a consoante m n˜ ao pertence a V , escrevemos: m∈ /V Os s´ımbolos ∈ (pertence) e ∈ / (n˜ ao pertence), s˜ao sempre utilizados no sentido do elemento para o conjunto. Representa¸c˜ ao de Conjuntos Um conjunto pode ser representado de v´arias formas distintas: por enumera¸ca˜o, por uma propriedade caracter´ıstica ou por diagramas. Enumera¸ c˜ ao Neste caso, escrevemos seus elementos entre chaves, separados por v´ırgulas e sem repeti¸ca˜o. Exemplo O conjunto P dos n´ umeros primos menores do que 20: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} Propriedade Caracter´ıstica Para representar um conjunto atrav´es de uma propriedade caracter´ıstica α, escrevemos: ´tica C – Aula 1 Matema 233 Exemplo A = {a | a tem a propriedade α}. Exemplo Para o conjunto do exemplo anterior, temos: P = {x | x ´e primo e menor do que 18}. Seja A = {5, 7, 9} e B = {9, 7, 5}. Veja que: A = B, pois todo elemento que pertence a A ´e tamb´em elemento de B, e todo elemento de B ´e elemento de A. Diagramas de Venn Subconjunto Na representa¸ca˜o por diagrama, tra¸camos uma linha fechada em torno dos seus elementos associados a pontos. Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro conjunto B, dizemos que A ´e subconjunto de B. Assim: A ⊂ B, que se lˆe: A est´ a contido em B. Simbolicamente escrevemos: Exemplo O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais. A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A e x ∈ B) A e Exemplos o a u i U = alfabeto Figura 2: Diagrama de Venn para o conjunto A das vogais. Em geral, o diagrama de Venn representa tamb´em o conjunto universo U , que cont´em o conjunto representado. Para isso, desenha-se em torno do diagrama um retˆ angulo representando o conjunto U . O conjunto A = {4, 3, 2, 5} ´e um subconjunto de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pois cada um dos elementos de A se acha em B (note que a rec´ıproca n˜ ao ´e verdadeira). Quando dois conjuntos C e D tˆem todos os elementos em comum (C = D), implica em: C⊂D e D⊂C O conjunto C = {3, 6, 9} est´ a contido em D = {9, 3, 6} e vice-versa. Caso exista pelo menos um elemento de A que n˜ ao perten¸ca a B, dizemos que A n˜ ao est´ a contido em B, ou que A n˜ ao ´e subconjunto de B. (∃ x | x ∈ A e x 6∈ B) ⇒ A 6⊂ B Conjunto das Partes Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjunClassifica¸c˜ ao dos Conjuntos tos poss´ıveis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjunto das partes de A, que ´e representado por P (A). Podemos classificar um conjunto de acordo com o seu n´ umero de elementos n(D). Portanto, um conjunto D ´e P (A) = {x | x ⊂ A} chamado conjunto vazio se n˜ ao possui elementos. Isto ´e: n(D) = 0 ⇔ vazio Exemplo Sendo o conjunto A = {2, 3, 5}, podemos escrever seus subconjuntos como segue: Sem nenhum elemento — ∅ D = { } ou D = Ø Com um elemento — {2},{3},{5} Por outro lado, um conjunto D ´e dito conjunto unit´ ario, Com dois elementos — {2, 3},{2, 5},{3, 5} Com trˆes elementos — {2, 3, 5} quando tiver apenas um elemento, isto ´e: n(D) = 1. Representamos o conjunto vazio por: n(D) = 1 ⇔ D ´e unit´ ario Quando n˜ ao se pode contar o n´ umero de elementos, temos um conjunto infinito, caso contr´ ario, temos um conjunto finito. Assim, temos: P (A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} Pode-se demonstrar que, se n(A) = k ent˜ ao, o n´ umero de elementos n(P (A)) que formam o conjunto das partes de A, ´e dado por 2k . Igualdade Opera¸c˜ oes com Conjuntos Um conjunto A ser´a igual a um conjunto B, se ambos possu´ırem os mesmos elementos, isto ´e, se cada elemento Uni˜ ao que pertence a A pertencer tamb´em a B e vice-versa. A uni˜ao entre dois conjuntos A e B consiste num outro A = B ⇔ ∀ x, x ∈ A e x ∈ B conjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a 234 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lˆe-se: C ´e igual a A uni˜ao B. De uma maneira mais concisa a defini¸ca˜o dada acima pode ser escrita simbolicamente por: — www.mundofisico.joinville.udesc.br L c s l r a o u A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} Exemplo e i V U={a,b,c,...,x,y,z} Fazendo a uni˜ao dos conjuntos A = {2, 4, 7} e B = {1, 3, 4}, temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7} Tamb´em podemos representar a uni˜ ao usando diagramas: B A 1 2 4 Figura 4: Intersec¸ca ˜o de conjuntos. 3 • (A ∩ B) ⊂ A e (A ∩ B) ⊂ B. • ∅ ∩ A = ∅. 7 U=N Complemento e Universo Em muitos casos, faz-se necess´ario que consideremos um conjunto mais amplo que os demais. A esse conjunto (que Figura 3: Uni˜ ao de conjuntos. cont´em todos os outros como subconjuntos) ´e denominado de conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a leObserva¸ c˜ ao: tra mai´ uscula U . Obs.: A no¸ca˜o de conjunto Universo N˜ ao ´e necess´ario que se repitam os elementos comuns aos ´e relativa, dependendo das circunstˆ ancias e amplitude do dois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 ´e comum contexto que desejamos empreg´a-la. tanto a A como a B, no conjunto uni˜ ao ele deve ser escrito Exemplos uma s´o vez. • para os conjuntos de n´ umeros inteiros, Z o conjunto Propriedades da Uni˜ ao universo; • A ∪ A = A, pois: A ∪ A = {x | x ∈ A ou x ∈ A}. • para os conjuntos de letras, o alfabeto ´e o conjunto • A ∪ B = B ∪ A, ou seja a uni˜ ao ´e comutativa, visto universo; que: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} = {x | x ∈ • para os resultados da loteria, N ´e o conjunto universo; B ou x ∈ A} = B ∪ A. • para o conjunto das ra´ızes de 4, {+2, −2} ´e o conjunto • A ⊂ (A ∪ B) e B ⊂ (A ∪ B), isto ´e, tanto A como B universo. s˜ao subconjuntos do conjunto A ∪ B. • ∅ ∪ A = A , visto que: ∅ ∪ A = {x | x ∈ ∅ ou x ∈ A}, como se sabe o conjunto vazio n˜ ao tem elementos, logo; resta-nos que x ∈ A, o que implica que ∅∪A = A. Na maioria dos assuntos estudados em matem´atica, o conjunto dos n´ umeros reais ´e o conjunto universo. Diferen¸ ca Intersec¸ c˜ ao Denominamos diferen¸ca A − B (lˆe-se: A menos B), o conao a B, Chamamos de intersec¸ca˜o de um conjunto A com outro con- junto formado pelos elementos pertencentes a A e n˜ ou seja: junto B, ao conjunto constitu´ıdo pelos elementos x que perA − B = {x | x ∈ A e x 6∈ B} tencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos: A ∩ B, lˆe-se: “A intersec¸ c˜ ao B”. EsqueExemplo maticamente temos: Considerando os conjuntos: L = {c, a, r, l, o, s} e V = A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} {a, e, i, o, u}, temos que a diferen¸ca A − B = {c, r, l, s}. Em diagramas: Exemplo Propriedades Sejam L = {c, a, r, l, o, s} e V = {a, e, i, o, u}, temos: L ∩ V = {a, o}. Em diagramas: • A−A =∅ Propriedades da Intersec¸ c˜ ao • A−∅ = A • A ∩ B = A. • A ∩ B = B ∩ A. • ∅−A=∅ • A⊂B ⇒A−B =∅ ´tica C – Aula 2 Matema L 235 d) 120 e) 180 c s l r a o u e i V U={a,b,c,...,x,y,z} 2. Se um conjunto A possui 8 subconjuntos, ent˜ ao o n´ umero m´ınimo de elementos de A ´e? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = {x ∈ R | − 3 < x < 5} e B = {x ∈ Z | − 1 < x < 7}. Quantos elementos possui A ∩ B? Figura 5: Diferen¸ca de conjuntos. a) infinitos b) 8 c) 7 Complementar de um Conjunto d) 6 Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ⊂ A. Chamamos e) 5 a diferen¸ca A − B de: Complementar de B em rela¸ca˜o a A. ` Exemplo Temos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}. Note que B ⊂ A; Assim, temos que A − B = {1, 2, 3, 4}. A 3 1 4 4. (PUC-CAMPINAS) Numa ind´ ustria, 120 oper´arios trabalham de manh˜a, 130 trabalham `a tarde, 80 trabalham `a noite; 60 trabalham de manh˜a e `a tarde, 50 trabalham de manh˜a e a noite, 40 trabalham `a tarde e `a noite e 20 trabalham nos trˆes per´ıodos. Assim: a) 150 oper´arios trabalham em 2 per´ıodos b) h´ a 500 oper´arios na ind´ ustria c) 300 oper´arios n˜ ao trabalham `a tarde d) h´ a 30 oper´arios que trabalham s´o de manh˜a e) n. d. a. B 5 Exerc´ıcios Complementares 6 2 U=N Figura 6: Complementar de B em rela¸ca ˜o a ` A. 5. (PUC-SP) Se A = ∅ e B = {∅}, ent˜ ao: a) A ∈ B b) A ∪ B = ∅ c) A = B d) A ∩ B = B e) B ⊂ A Pense um Pouco! • • • • 6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A e B, foram entrevistas n pessoas, das quais descobriu-se que: Qual o conjunto universo para os resultados de um 40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomem A e B e 20 pessoas n˜ ao consomem o produto A. Qual o lan¸camentos de um dado? n´ umero n de pessoas que foram entrevistadas? Qual o conjunto uni˜ ao das letras do seu nome? a) 85 b) 75 Qual o conjunto de dinossauros vivos? c) 60 d) 90 {∅} ´e o mesmo que {}? Explique. e) n.d.a 7. (CESGRANRIO) Em uma universidade s˜ao lidos dois jornais A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno ´e leitor de 1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as u ´ nicas pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que leem mat´erias dadas s˜ao portuguˆes e matem´atica, 240 alunos ambos ´e: estudam portuguˆes e 180 alunos estudam matem´atica. O a) 48% n´ umero de alunos que estudam portuguˆes e matem´atica ´e: b) 60% a) 120 c) 40% b) 60 d) 140% c) 90 e) 80% Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 236 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Matem´ atica C Aula 2 Conjuntos Num´ ericos Q = {x|x = ab , a ∈ Z, b ∈ Z∗ } Exemplo A no¸ca˜o de n´ umero tem provavelmente a idade do homem e certamente sempre esteve ligada ` a sua necessidade de registrar e interpretar os fenˆomenos que o cercavam. 1 7 3 3, 5, 1 ⊂ Q. 4. Conjunto dos n´ umeros irracionais (Q′ ): Todo n´ umero que n˜ ao pode ser representado na forma de uma fra¸ca˜o, com numerador e denominador inteiros ´e chamado “n´ umero irracional”. Exemplos π √ 2 √ 3 e Os primeiros registros da utiliza¸ca˜o da nota¸ca˜o posicional ocorreram na Babilˆonia, por volta de 2.500 a.C. J´a o aparecimento do zero data do s´eculo IX e ´e atribu´ıdo aos hindus. Tamb´em se atribuiu aos hindus o atual sistema de numera¸ca˜o posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa pelos ´arabes. Por essa raz˜ ao, esse sistema ´e costumeiramente chamado de sistema de numera¸ca˜o indoar´ abico. Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), tamb´em chamado Fibonacci, a difus˜ao do sistema indo-ar´ abico na Europa, atrav´es de sua obra L´ıber Abacci, de 1202. www.mundofisico.joinville.udesc.br 3. Conjunto dos n´ umeros racionais (Q): Todo n´ umero que puder ser representado na forma de uma fra¸ca˜o com numerador e denominador inteiros ´e chamado “n´ umero racional”. O Nascimento do N´ umero Os primeiros s´ımbolos num´ericos conhecidos surgiram com o intuito de representar a varia¸ca˜o num´erica em conjuntos com poucos elementos. Com a amplia¸ca˜o e a diversifica¸ca˜o de suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar novos s´ımbolos num´ericos e processos de contagem e desenvolver sistemas de numera¸ca˜o. A maioria dos sistemas de numera¸ca˜o tinha como base os n´ umeros 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedos que temos nas m˜aos. Esses sistemas ainda n˜ ao possu´ıam a nota¸ca˜o posicional nem o n´ umero zero. — = = 3, 1415926535 . . . 1, 414213562 . . . = = 1, 7320508 . . . 2, 718281827 . . . Observa¸ c˜ ao Note que as d´ızimas peri´odicas s˜ao n´ umeros racionais, enquanto as d´ızimas n˜ ao peri´odicas s˜ao n´ umeros irracionais. 5. Conjunto dos n´ umeros reais (R): ´e o conjunto obtido com a uni˜ao do conjunto dos n´ umeros racionais com o dos n´ umeros irracionais. Representando em diagramas temos: Q´ Q Z N U=R Figura 1: Leonardo Pisano Fibonacci (1175-1240). Figura 2: Os conjuntos num´ericos. Conjuntos Num´ ericos 1. Conjunto dos n´ umeros naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} 2. Conjunto dos n´ umeros inteiros (Z): Opera¸c˜ oes com N´ umeros Inteiros I) Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal. Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} Z∗+ = {1, 2, 3, 4, . . .} I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e d´a-se o sinal do maior. ´tica C – Aula 2 Matema 237 . . . 0} II) Multiplica¸ c˜ ao e Divis˜ ao: Aplica-se a regra dos B) 10−n = 1/1 000 | {z sinais:  +    − +    − +=+ +=− −=− −=+ “n”zeros ⇒ 0, 000 . . . 01} | {z “n”casas Pense um Pouco! Observa¸ c˜ ao: Pela ordem, resolver ( ), [ ] e { }. • Quantos n´ umeros inteiros tem no intervalo real 0 < x < 3? Exemplo • Quantos n´ umeros racionais tem no intervalo anterior? −3 · {14 ÷ (−7) − 3 · [4 − (10 − 12 + 9 − 7 − 4) ÷ 2]} = −3 · {−2 − 3 · [4 − (−4) ÷ 2]} = −3 · {−2 − 3 · [4 + 2]} = −3 · {−2 − 3 · [+6]} = −3 · {−2 − 18} = −3 · {−20} = 60 • Quanto ´e −1100 ? Potencia¸c˜ ao An = X Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. O valor de ((23 )3 )3 ´e: a) 212 b) 1024 c) 281 d) 1 e) n.d.a. 2. O valor da express˜ao onde: [13 − (8 ÷ 2 − 3 − 7 + 2 · 3)] ÷ [25 ÷ (−3 − 22)] A = Base; n = Expoente; X = Potˆencia; Casos Especiais X1 = X 1n = 1 0n = 0 X0 = 1 ´e: a) −13 b) 14 c) 13 d) 0 e) n.d.a. 3. A express˜ao (a7 · b3 · c5 · b4 )/(c3 · b6 · a7 · c) ´e igual a: a) a2 · b b) b · c c) cb d) 1 e) n.d.a. Regras 1. se o expoente ´e par: resultado positivo. 2. se o expoente ´e ´ımpar: repete-se o sinal da base. Propriedades 1. am · an = am+n 2. am ÷ an = am−n 3. (am )n = am·n 4. (am · bn )n = am·x · bn·x 5. (am /an )x = amx /bnx 6. a −m = 1/a m Potˆ encias de “Base 10” A) 10n = 1 |000{z . . . 0} “n”zeros Exerc´ıcios Complementares 4. Resolvendo a) 5 · 1012 b) 100 c) 103 d) 107 e) n.d.a. 108 ·102 ·105 ·104 103 ·10·108 5. O valor da express˜ao {72 ÷ (−12) + 2 · [4 · (−2) + (30 − 20 + 10) ÷ 5]} ´e: a) +20 b) −20 c) −14 d) +14 e) n.d.a. 238 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
16 3 22 6. O valor de a) 0 b) 94 c) 1 d) 2 e) n.d.a. 3 i0 = 1 i4 = 1 .. . 2 − (23 ) ´e: — www.mundofisico.joinville.udesc.br i1 = i i5 = i i4n = 1 i4n+1 = i Observe que: 2 i2 = −1 i6 = −1 i3 = −1 i7 = −1 i4n+2 = −1 i4n+3 = −1 i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0 7. (22 ) · (23 ) : a) 215 b) 212 c) 1024 d) 214 e) n.d.a. Ou seja, a soma das quatro potˆencias de i cujos expoentes s˜ao n´ umeros naturais consecutivos ´e igual a zero. Note que, `a medida que n cresce, os resultados de in , v˜ao se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatro valores da sequˆencia: 1, i, −1, −i. Ou seja: 5 8. O valor de (24 ) · 2−8 ´e: a) 218 b) 215 c) 20 d) 212 e) n.d.a. in ∈ {1, i, −1, −i}, (n ∈ N) Para n ≥ 4, podemos dividir n por 4 e escrever n=4·q+r q Matem´ atica C Aula 3 q Ent˜ ao, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4 ) · ir = (1) · ir = ir , ou seja: in = ir N´ umeros complexos (C) Exemplo Algumas equa¸co˜es n˜ ao possuem solu¸ca˜o no conjunto dos n´ umeros reais, por exemplo, a equa¸ca˜o: 2x2 + 18 = 0 Como se trata de uma equa¸ca˜o incompleta (b = 0), podemos resolvˆe-la isolando a vari´avel. Assim: x2 = √ −18 ⇒ x = −9 2 Calcule o valor de i3795 . Como 3795 = 948 · 4 + 3, temos r = 3 e i3795 = i3 = −i Forma Alg´ ebrica Todo n´ umero complexo pode ser escrito na forma z = a+b·i, com a e b ∈ R. Tal forma ´e denominada forma alg´ ebrica. Como n˜ ao existe raiz quadrada de n´ umero negativo no conO n´ u mero real a ´ e denominado parte real de z, e o n´ umero junto dos reais, a equa¸ca˜o acima dada n˜ ao tem solu¸ca˜o real. real b ´ e denominada parte imagin´ a ria de z. Para que equa¸co˜es sem solu¸co˜es reais, como a dada acima, os matem´aticos come¸caram a utilizar novos entes matem´aticos.  Re(z) = a Essa representa¸ca˜o foi considerada, a princ´ıpio, como um z =a+b·i⇒ Im(z) = b passatempo. √ Particularmente, o n´ umero −1 foi denominado unidade imagin´ aria, devido `a desconfian¸ca que os matem´aticos ti- Igualdade de Complexos nham dessa nova cria¸ca˜o. Dois n´ umeros complexos s˜ao iguais quando suas partes reais e imagin´arias forem respectivamente iguais. Unidade Imagin´ aria  a=c a + bi = c + di ⇒ Para simplificar b=d √ a nota¸ca˜o, adotou-se a letra ”i”para designar o n´ umero −1, isto ´e: √ i = −1 ⇔ i2 = −1 Exemplo Com isso, a solu¸ca˜o da equa¸ca˜o proposta acima ´e: p x = ± 9 · (−1) ⇒ x = ±3i Potˆ encias Naturais de i Determinar x e y de modo que: (2x + 3) + 6i = 7 + (2 + 4y)i. Para que os complexos sejam iguais devemos ter: 2x + 3 = 7 ⇒ x = 2 e Consideremos as potˆencias do tipo i , em que m ´e natural. 2 + 4y = 6 ⇒ y = 1 Vejamos alguns exemplos: Logo, devemos ter x = 2 e y = 1. m ´tica C – Aula 3 Matema Opera¸c˜ oes com Complexos 239 Observa¸ c˜ ao Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ ca ˜o O produto de um n´ umero complexo z pelo seu conjugado z ´e sempre um n´ umero real e positivo. Esse produto chama-se Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais n´ umeros com- norma de z ou |z|. plexos, somamos ou subtra´ımos, respectivamente, suas parExemplo tes reais e imagin´arias, separadamente. Ou seja: Sendo z = 5 − 3i, o produto z · z ´e: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 − 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i − 15i − 9i2 (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Lembrando que i2 = −1, temos que: Exemplo z · Z = 25 + 9 = 34 Seja z1 = 5 − 3i, z2 = 2 + 4i e z3 = −3 − 5i, calcule: a) z2 − z3 Divis˜ ao de Complexos z2 − z3 = (2 + 4i) − (−3 − 5i) z2 − z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9i b) z1 + z2 z1 + z2 = (5 − 3i) + (2 + 4i) z1 + z2 = 7 + i Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente sob a forma de uma fra¸ca˜o, a seguir, usando o procedimento de racionaliza¸ca˜o de denominadores, multiplicamos ambos os termos da fra¸ca˜o pelo conjugado do denominador. Ou seja: z1 z2 z1 = · z2 z2 z2 Multiplica¸ c˜ ao por um Real Para multiplicar um complexo por um n´ umero real basta Exemplo multiplicar a parte real e a parte imagin´ aria pelo respectivo Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = −2 − 3i, obter z1 /z2 . n´ umero. z1 3 + 2i Exemplo = z2 −2 − 3i Sejam os complexos z1 = 6 − 3i e z2 = 3 + 2i, determinar o valor de 3 · z1 − 5 · z2 . 3 · z1 − 5 · z2 = 3 · (6 − 3i) − 5 · (3 + 2i) z1 3 + 2i −2 + 3i 3 · z1 − 5 · z2 = 18 − 9i − 15 − 10i = · z2 −2 − 3i −2 + 3i 3 · z1 − 5 · z2 = 3 − 19i Multiplica¸ c˜ ao de Complexos Multiplicamos dois n´ umeros complexos de acordo com a regra da multiplica¸ca˜o de binˆ omios. Devemos lembrar que logo, i2 = −1. Com isso temos que: (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) · i −6 + 9i − 4i + 6i2 2 2 −2 − (3i) = −6 + 9i − 4i − 6 4+9 z1 −12 + 5i 12 z1 5 = =− + i ⇒ z2 13 z2 13 13 Exemplos a) Calcular (3 − 3i) · (−2 + 2i): (3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i + 6i2 (3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i − 6 (3 − 3i) · (−2 + 2i) = −12 + 12i b) Calcular (5 − 3i)2 : (5 − 3i)2 (5 − 3i)2 (5 − 3i)2 (5 − 3i)2 = (5 − 3i) · (5 − 3i) = 25 − 15i − 15i + 9i2 = 25 − 15i − 15i − 9 = 16 − 30i Conjugado de um Complexo Sendo z = a + bi um n´ umero complexo qualquer, defini-se como o conjugado de z o n´ umero complexo z = a − bi. Exemplos 1. Sendo z = 6 − 5i, temos que: z = 6 + 5i. 2. O conjugado de z = −3 + 2i ´e o complexo z = −3 − 2i. Representa¸c˜ ao Geom´ etrica Consideremos num plano, chamado plano de ArgandGauss ou plano complexo, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e nele um ponto P (x, y). Lembrando que um n´ umero complexo na forma alg´ebrica tem a forma de: z = (x, y) = x + yi, podemos estabelecer uma correspondˆencia entre os pontos do plano e os n´ umeros complexos. Ou seja, podemos representar os complexos geometricamente, pelos pontos do plano. O ponto P ´e a imagem geom´etrica de z ou afixo de z. Observa¸ co ˜es 1. A parte real de um complexo tem seus afixos no eixo Re ou eixo real. 2. A parte imagin´aria de um complexo ´e representada no eixo Im, que por essa raz˜ ao ´e chamado de eixo imagin´ ario. 240 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br e Im sen θ = y ⇒ y = ρ sen θ ρ Como z = x + yi y z = ρ cos θ + iρ sen θ z = x + yi ρ De outra forma: θ z = ρ(cos θ + i sen θ) x Re Figura 1: O plano complexo. A igualdade acima ´e denominada forma trigonom´ etrica ou polar do n´ umero complexo. O n´ umero complexo z = 0, para o qual n˜ ao ´e poss´ıvel determinar o argumento θ, n˜ ao pode ser escrito na forma trigonom´etrica. M´ odulo de um n´ umero complexo Observe que, quando multiplicamos um n´ umero complexo por i, ele gira 90◦ no sentido anti-hor´ario, no plano complexo. Na representa¸ca˜o geom´etrica de um n´ umero complexo z = x + yi, vamos considerar a distˆancia entre o afixo P desse n´ umero e a origem. A essa distˆancia denominamos m´ odulo de z e indicamos por |z| ou ρ. Pense um Pouco! Calculando a referida distˆancia, temos: q p 2 2 dop = (x − 0) + (y − 0) = x2 + y 2 Portanto: |z| = ρ = p x2 + y 2 • Pode-se dizer que R ⊂ C? Por quˆe? • Existe alguma semelhan¸ca entre o plano complexo e o plano cartesiano? Quais? • 1/i ´e um n´ umero complexo? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Exemplo 1. (UFPA-PA) O n´ umero complexo z = x + (x2 − 4)i ´e real Calcular o m´odulo do n´ umero complexo z = 3 + 4i. Como se, e somente se: a) x = 0 vimos: p b) x 6= 0 2 2 |z| = ρ = √ x + y , assim; √ √ c) x = ±2 2 2 |z| = ρ = 3 + 4 = 9 + 16 = 25 = 5 d) x 6= ±2 |z| = ρ = 5 e) x 6= 0 e x 6= 2 2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, ent˜ ao z − 3z vale: a) −8 + 8i Sendo um n´ umero complexo z = z +yi, com z 6= 0, define-se b) 6 + i como o argumento de z, o n´ umero real θ(0 ≤ θ < 2π) que c) 1 + 8i corresponde `a medida do ˆ angulo formado pelo segmento ori- d) 1 − 8i entado OP e o eixo Re, no sentido anti-hor´ario. Indicamos e) 12 + 6i por arg(z) = θ. 3. (UFSE-SE) Se o n´ umero complexo z ´e tal que z = 3 − 2i, A partir da figura (plano complexo), obtemos as importan2 ent˜ a o (z) ´ e igual a: tes rela¸co˜es: x a) 5 cos(θ) = b) 5 − 6i ρ c) 9 + 4i y d) 5 + 12i sen(θ) = ρ e) 13 + 12i Argumento de um Complexo 4. Sendo i2 = −1, o valor de i58 + i85 ´e: a) 0 Com as defini¸co˜es de m´odulo e argumento, podemos re- b) i − 1 presentar os n´ umeros complexos de outra forma, al´em da c) 1 + i d) 1 − i alg´ebrica, j´a conhecida. e) −1 − i Assim, para o complexo z = x + yi, temos: e igual a: 5. (Sta Casa -SP) O valor de 2−i x 2+i ´ cos θ = ⇒ x = ρ cos θ a) (3 + 4i)/5 ρ Forma Trigonom´ etrica ´tica C – Aula 4 Matema 241 Exemplos b) (2 + 4i)/3 c) 3 − 4i d) 4 + 3i e) (3 − 4i)/5 1. A raz˜ ao entre 4 e 6 ´e: 2 4 = 6 3 Exerc´ıcios Complementares 6. (PUC-SP) O conjugado do n´ umero complexo a) (−1 − 7i)/5 b) (1 − i)/5 c) (1 + 2i)/7 d) (−1 + 7i)/5 e) (1 + i)/5 2. A raz˜ ao entre 2 m e 30 cm ´e: 1+3i 2−i ´e: 7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . . + i93 + i94 + i95 ´e: a) 1 b) i c) −1 d) −i e) 1 − i 8. (UFRG-RG) Efetuando as opera¸co˜es indicadas na equa¸ca˜o 5 − i 4 − 3i − 1+i 2+i obtemos: a) 1 + i b) −1 − i c) i d) −i e) 1 − i 9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os n´ umeros x e y tais que 12 − x+ (4 + y)i = y + xi. O conjugado do n´ umero complexo z = x + yi ´e: a) 4 + 8i b) 4 − 8i c) 8 + 4i d) 8 − 4i e) −8 − 4i 10. (FATEC-SP) Se i ´e a unidade imagin´ aria e z = (2 − i)2 /(1 + i), ent˜ ao: a) z = (5 − 5i)/2 b) z = (−7 − i)/2 c) z = (5 + 5i)/2 d) z = (7 + i)/2 e) z = (−5 − 5i)/2 Matem´ atica C Aula 4 Raz˜ oes e Propor¸ c˜ oes Raz˜ ao 2m 200 cm 20 = = 30 cm 30 cm 3 Observe que a raz˜ ao deve ser calculada numa unidade comum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a raz˜ ao obtida n˜ ao depender´a da unidade escolhida, pois ´e adimensional. Escala ´ a raz˜ E ao entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real. Exemplo Um edif´ıcio tem 30 m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesse projeto? 15 cm 15 cm comprimento no desenho = = comprimento real 30 m 3000 cm E= 1 200 ou E = 1 : 200 Propor¸c˜ ao Os n´ umeros a, b, c e d, com b e d n˜ ao nulos, formam nessa ordem, uma propor¸ca˜o se, e somente se, a raz˜ ao entre a e b ´e igual a raz˜ ao entre c e d. Ou seja: c a = b d Lˆe-se: a est´ a para b, assim como c est´ a para d. Os n´ umeros a e d s˜ao chamados de extremos e os n´ umeros b e c s˜ao chamados de meios. Propriedades I) O produto dos meios ´e igual ao produto dos extremos a c = ⇐⇒ a · d = b · c b d II) A soma dos dois primeiros termos est´ a para o segundo, assim como, a soma dos dois u ´ ltimos est´ a para o u ´ ltimo. c a+b c+d a = ⇐⇒ = b d b d III) Cada antecedente est´ a para o seu consequente, assim como; a soma dos antecedentes est´ a para a soma dos conseA raz˜ ao entre dois n´ umeros a e b (com a e b reais e b 6= quentes. c a+c a 0), nessa ordem, ´e o quociente ab . O n´ umero a ´e chamado = = b d b+d antecedente e o n´ umero b ´e chamado consequente. 242 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Grandezas Diretamente Proporcionais — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Uma grandeza A ´e diretamente proporcional a uma grandeza B, se, e somente se, as raz˜ oes entre os valores de A e 1. Determine m e n, sabendo que as sucess˜oes num´ericas s˜ao inversamente proporcionais: os correspondentes valores de B forem constantes.  3 m 9 Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande12 4 n zas diretamente proporcionais, ent˜ ao a1 a2 a3 = = = ... = k b1 b2 b3 2. Antˆ onio, Jo˜ao e Pedro trabalham na mesma firma h´ a 10, 4 e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma gratifica¸ca˜o de R$ 80.000,00 entre os trˆes, em partes diretamente Exemplo proporcionais ao tempo de servi¸co de cada um. Quantos reSe considerarmos a distˆancia percorrida por um m´ovel com ais cada um ir´ a receber? velocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas teremos 3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2, a seguinte tabela: 1/5 e 1/7. Distˆ ancia (km) 50 100 150 tempo (h) 1 2 3 Exerc´ıcios Complementares 50 1 100 2 150 3 = = = 50, temos que distˆancia e tempo, como neste exemplo, s˜ao grandezas diretamente proporcionais. 4. Represente a raz˜ ao entre: a) 18 e 12 b) 6 m e 4 m Grandezas Inversamente Proporcionais c) 150 g e 2 kg 3 Uma grandeza A ´e inversamente proporcional a uma gran- d) 750 litros e 1m deza B se, e somente se, os produtos entre os valores de A e) 600 s e 1 hora f) 8 km e 1600 m e os correspondentes valores de B forem constantes. Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande- 5. Um comprimento real de 25 m foi representado num zas inversamente proporcionais, ent˜ ao: desenho por 10 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada? a) 1 : 250 a1 · b 1 = a2 · b 2 = a3 · b 3 = . . . = k b) 1 : 300 c) 1 : 150 Exemplo d) 1 : 500 e) n. d. a. Se considerarmos que a distˆancia que separa duas cidades A e B ´e de 300 km e que um m´ovel viaja de A para B com uma 6. A distˆancia entre duas cidades, em linha reta, ´e 120 km ario por um segmento certa velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que o e foi representada num mapa rodovi´ tempo gasto para percorrer essa distˆancia varia conforme a de 60 cm. Qual foi a escala usada nesse mapa? a) 2 : 125 velocidade do m´ovel. b) 1 : 120.000 Velocidade (km/h) 50 60 100 c) 1 : 200.000 Tempo (h) 6 5 3 d) 1 : 12.000 e) n. d. a. Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas veloa para cidade e tempo, neste exemplo, s˜ao grandezas inversamente 7. Em geral, num adulto, a altura da cabe¸ca est´ a altura do restante do corpo, assim como 1 est´ a para 7. proporcionais. Quanto mede uma pessoa cuja cabe¸ca tem 22 cm de altura? a) 1, 60 m b) 1, 76 m Pense um Pouco! c) 1, 82 m d) 1, 54 m • Determine o valor de x nas propor¸co˜es: x 9 e) n. d. a. a) = b) 4 6 24 3x+2 2x−1 = 9 • Calcule o valor de x e y na propor¸ca˜o que x + y = 42. x y = 25 , sabendo • Determine x e y, sabendo que as sucess˜oes de n´ umeros s˜ao diretamente proporcionais:  2 x 9 3 9 y Matem´ atica C Aula 5 Regras de Trˆ es Simples e Composta Regra de Trˆ es Simples Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores correspondentes da grandeza B, chama-se de regra de ´tica C – Aula 5 Matema 243 trˆes simples ao m´etodo pr´atico para determinar um desses Exemplo 1 quatro valores, sendo conhecidos os outros trˆes. Com 16 m´ aquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 3 dias de trabalho. Quantas m´ aquinas ser˜ ao necess´ arias T´ ecnica Operat´ oria para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias? Solu¸ c˜ ao Conforme a defini¸ca˜o acima temos: GRANDEZA A a b GRANDEZA B c d Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais ent˜ ao: b a c a = ⇐⇒ = c d b d Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais ent˜ ao: a · c = b · d ⇐⇒ a d = b c Exemplos 1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque em 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min, em quanto tempo encheria esse tanque? Temos um exemplo que envolve grandezas inversamente proporcionais, pois; ao aumentarmos a vaz˜ao, o tempo necess´ario para encher o mesmo tanque diminuir´ a. Com isso: 15 · 80 = 25 · X ⇐⇒ X 15 = =⇒ X = 48 25 80 Logo, encher´ a o tanque em 48 min. 2. Um autom´ ovel percorre 132 km com 12 litros de combust´ıvel. Quantos litros de combust´ıvel ser˜ao necess´arios para que ele percorra 550 km? N ◦ de M´ aquinas 16 x ⇓ Uniformes 720 2160 ↓ Dias 3 24 ↑ A grandeza N ◦ de m´aquinas, onde est´ a a vari´avel deve ser comparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim temos que: 1. Colocamos uma seta no sentido da vari´avel desconhecida x, supondo-se que x cres¸ca neste sentido (arbitr´ario); 2. Se aumentarmos o N ◦ de m´aquinas, ent˜ ao a quatidade de Uniformes dever´a crescer, logo essas s˜ao grandezas diretamente proporcionais, pois mais m´aquinas produzem mais uniformes. Colocamos uma seta com o mesmo sentido (para baixo) ao lado dessa vari´avel; 3. Se aumentarmos o N ◦ de m´aquinas, o n´ umero de Dias dever´a dimiuir, logo essas s˜ao grandezas inversamente proporcionais, pois, quanto maior o n´ umero de m´aquinas, menor o n´ umero de dias necess´arios. Colocamos ent˜ ao uma outra seta, agora com o sentido contr´ario ao do crescimento de x, ao lado dessa vari´avel. 4. Isolamos a raz˜ ao desconhecida na esquerda e igualamos com o produto das raz˜ oes das outras vari´aveis, invertendo as grandezas que s˜ao inversamente proporcionais (com a seta invertida). Nesse caso, o n´ umero de Dias: 720 24 16 = · x 2160 3 e obtemos x = 6. Logo ser˜ao necess´arias 6 m´aquinas. Neste exemplo temos grandezas diretamente proporcionais, pois; aumentando a distˆancia, tamb´em aumen- Exemplo 2 tar´ a o consumo de combust´ıvel. Com isso: Numa f´ abrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos ser˜ ao montados por 4 550 132 = ⇐⇒ 132 · x = 550 · 12 =⇒ x = 50 homens em 16 dias? 12 x Solu¸ c˜ ao: logo, ser˜ao necess´arios 50 litros de combust´ıvel. Montando a tabela Regra de Trˆ es Composta Homens 8 4 Chama-se regra de trˆes composta, ao m´etodo pr´atico empregado para resolver problemas que envolvem mais de duas Observe que: grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais. Propriedade Considere uma grandeza A(a1, a2, a3, . . .) diretamente proporcional a uma grandeza B(b1, b2, b3, . . .) e a uma grandeza C(c1, c2, c3, . . .), ent˜ ao : b1 c1 a1 = = a2 b2 c2 ↓ Carrinhos 20 x ⇓ Dias 5 16 ↑ 1. Aumentando o n´ umero de homens, a produ¸ca˜o de carrinhos aumenta. Portanto a rela¸ca˜o ´e diretamente proporcional (n˜ao precisamos inverter a raz˜ ao). 2. Aumentando o n´ umero de dias, a produ¸ca˜o de carrinhos aumenta. Portanto a rela¸ca˜o tamb´em ´e diretamente proporcional (n˜ao precisamos inverter a raz˜ ao). Devemos igualar a raz˜ ao que cont´em o termo x com o produto das outras raz˜ oes. 244 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Montando a propor¸ca˜o e resolvendo a equa¸ca˜o temos: 20 8 5 = · x 4 16 x= 20 · 4 · 16 8·5 e finalmente x = 32 carrinhos. Pense um Pouco! • Se um fio pesa 10 N/cm, quanto pesar´ a por metro? — www.mundofisico.joinville.udesc.br c) 8, 5 h/d d) 9, 0 h/d e) n. d. a. 5. Em uma fabrica de refrigerante, uma m´aquina encheu 4.000 garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia. Quantos dias essa m´aquina levar´a, para encher 6000 garrafas, trabalhando 16 horas di´arias? a) 9 b) 5 c) 11 d) 6 e) n. d. a. 6. Em um zool´ogico, a alimenta¸ca˜o de 15 animais durante 90 dias custa R$ 2.700,00. Qual ser´a o custo da alimenta¸ca˜o de 25 animais por um per´ıodo de 12 dias? • Cite exemplos de onde vocˆe j´ a usou as regras de trˆes a) R$ 900,00 estudadas? b) R$ 750,00 c) R$ 600,00 d) R$ 450,00 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao e) n. d. a. • Se uma c´ opia xerogr´ afica custa 9 centavos, quanto custou essa apostila (s´ o o xerox)? 1. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra de 45 m, o mesmo instante em que uma ´ arvore de 6 m de altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de 3, 6 m. a) 75 m b) 90 m c) 55 m d) 70 m e) n. d. a. 7. Trˆes torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levar˜ao 10 torneiras para encher 2 piscinas? 8. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carv˜ ao. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguir˜ao extrair 5,6 toneladas de carv˜ ao? 9. Vinte oper´arios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300 m. Quanto tempo levar´a uma turma de 16 oper´arios, trabalhando 9 horas por 2. Na merenda escolar, 1440 litros de leite foram consu- dia, para construir um muro de 225 m? midos por 320 crian¸cas em 15 dias. Quantos litros de leite 10. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mˆes, viadever˜ ao ser consumidos por 400 crian¸cas em 30 dias? jando 8 horas por dia, a uma velocidade m´edia de 50 km/h. a) 2.500 Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa b) 3.600 carga em 20 dias, a uma velocidade m´edia de 60 km/h? c) 7.200 d) 4.440 11. Com uma certa quantidade de fio, uma f´abrica produz e) n. d. a. 5.400 m de tecido com 90 cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1, 20 m largura, seriam pro3. (PUC-MG) Uma pessoa viajando de autom´ ovel, com duzidos em 25 minutos? velocidade m´edia de 88 km/h, leva 5 horas para ir de Belo Horizonte a Po¸cos de Caldas. Na volta para Belo Horizonte, faz o mesmo percurso em 4 horas. Portanto, a velocidade m´edia, em km/h, ao retornar foi de: a) 93 Juros e Porcentagens b) 96 c) 100 Juros Simples d) 110 e) 120 Juro ´e a importˆ ancia cobrada por unidade de tempo, pelo empr´estimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma emprestada. Exerc´ıcios Complementares Matem´ atica C Aula 6 4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de 12 oper´arios em 20 dias de trabalho de 8 horas di´arias. Se esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias, com 16 oper´arios igualmente eficientes, quantas horas por dia eles deveriam trabalhar? a) 7, 5 h/d b) 6, 0 h/d No¸ c˜ ao Intuitiva e Nomenclatura Usual Em “A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano, durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples”. O racioc´ınio ´e: Se o capital 100 produz 10 em um ano, ent˜ ao o capital 2.000 produzir´a 600 em 3 anos. ´tica C – Aula 6 Matema 245 Temos os seguintes dados: O Capital ´e 99K A Taxa ´e 99K O tempo ´e 99K Os juros s˜ao 99K C = 2.000 i = 10(em % ao ano) t = 3(em anos) J = 600 3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de 1% a.m. Como n˜ ao h´ a concordˆancia entre a taxa e o tempo, devemos fazer algumas modifica¸co˜es para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transforma¸co˜es: Observa¸ co ˜es: 2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou ent˜ ao: 75 anos. Ainda; a taxa 1% ao mˆ e s, corresponde a 1% 360 vezes 12 meses, o que d´ a 12% a.a. Denominamos juros simples aqueles que n˜ ao s˜ao somados ao capital, durante o tempo em que foi empregado. Aplicando a f´ormula, temos: Se a taxa i for referida ao ano, mˆes, dia etc, o tempo t tamb´em dever´a ser tomado correspondentemente em anos, meses, dias, etc. J= Para efeito de c´ alculo o ano ´e considerado de 12 meses de 30 dias cada. T´ ecnica Operat´ oria 2500 · 12 · 100 75 360 = 2500 · 12 · 75 = 625 36000 Logo, os juros produzidos s˜ao de R$ 625,00. Porcentagem Os problemas envolvendo juros simples, na verdade s˜ao de Regra de trˆes composta, que obedecem ao seguinte esquema; Comumente usamos express˜oes que refletem acr´escimos ou redu¸co˜es em pre¸cos, n´ umeros ou quantidades, sempre toGrandezas mando por base 100 unidades. 100 . . . i. . . C. . . j. . . l t Interpreta¸ c˜ ao Se o capital 100 produz i em 1 ano, ent˜ ao; o capital C produzir´a j em t anos. Quando resolvemos isolando j, temos: j= C ·i·t 100 Exemplos Exemplos 1. A gasolina ter´ a um aumento de 10%, na pr´oxima semana. Significa que em cada R$ 100,00 haver´a um acr´escimo de R$ 10,00. 2. Numa pesquisa de inten¸ca˜o de votos, o candidato A aparece em 2o lugar, com 25% da preferˆencia dos eleitores, ao cargo de prefeito municipal. Quer dizer que; em m´edia, a cada 100 pessoas que foram entrevistadas, 25 preferem o candidato A. 1. Quanto render´ a um capital de R$ 5.000,00 empregado a taxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante ` 3 anos? Raz˜ ao Centesimal Temos: Toda a raz˜ ao que tem por denominador o n´ umero 100 C = 5000; denomina-se raz˜ a o centesimal. i = 5; t = 3; Substituindo os respectivos valores na f´ ormula, temos: Exemplos J= 5000 · 5 · 3 = 750 100 Assim, ter´ a um rendimento de R$ 750, 00. a) b) 25 100 47 100 125 100 = 25% (lˆe-se: 25 por cento) = 47% (lˆe-se: 47 por cento) c) = 125% (lˆe-se:125 por cento) 2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 ` a taxa de 36% ao ano, Chamamos as express˜oes 25% ; 47% ; 9% de taxas centedurante 6 meses. simais ou taxas percentuais. Observe que a taxa est´ a expressa em anos, enquanto Porcentagem ´e o valor obtido ao aplicarmos uma taxa pero tempo em meses. Como devemos trabalhar com as centual a um determinado valor. Dessa forma; podemos duas grandezas em unidades de tempos iguais, toma- resolves problemas de porcentagem, utilizando taxas per6 anos. remos o tempo como sendo 12 centuais. Assim: Exemplos 8500 · 36 · J= 100 6 12 8500 · 36 · 6 ⇒J = = 1530 1200 Portanto, os juros s˜ao de R$ 1.530,00. 1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finaliza¸co˜es no decorrer de uma partida, obtendo um aproveitamento de 80%. Qual o n´ umero de sucessos que ele obteve? 246 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC 80 80% de 25 = · 25 = 20 100 Desse modo, ele obteve um lucro de 40%. Outra forma de resolver o problema: Como o lucro foi 2.100 - 1.500 = 600, temos i= lucro 600 = = 0, 40 = 40% capital 1500 Fator de Multiplica¸c˜ ao Quando um dado valor sofre um acr´escimo percentual, podemos incorporar tal acr´escimo, obtendo assim o que chamamos de fator de multiplica¸ c˜ ao. Exemplo Um valor que sofre um aumento de 25%, ter´ a um fator de multiplica¸ca˜o igual a 1, 25, pois: www.mundofisico.joinville.udesc.br Veja a tabela abaixo: Desconto 10% 25% 34% 60% 90% Logo, ele obteve 20 sucessos. 2. Um investidor comprou um lote de a¸co˜es por R$ 1.500,00 e as revendeu um mˆes depois, por R$ 2.100,00. Qual foi o percentual de lucro por ele obtido? Para resolver o problema, vamos montar um esquema em que somaremos o percentual de lucro obtido, aos R$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao valor final de venda das a¸co˜es. x 1.500 + 100 · 1.500 = 2.100 15x = 2.100 − 1.500 x = 600 15 ⇒ x = 40 — Fator de Multiplica¸ca˜o 0,90 0,75 0,66 0,40 0,10 Exemplo Qual ser´a o valor do desconto de um produto, que custa R$ 350,00 , mas que em promo¸ca˜o ´e vendido por 22% abaixo do pre¸co? Nesse caso, o fator de multiplica¸ca˜o ´e: Fator = 1 - 0,22 = 0,78 Assim 350 · 0, 78 = 273 Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a custar R$ 273,00. Pense um Pouco! • Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionandose a ela um certo percentual p obtemos um valor final X ′ . Se tomarmos agora o valor X ′ e descontarmos o mesmo percentual p obteremos o valor X? Discuta. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. 100% + 25% = 125%, ou seja: Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago em 125% = 125 100 = 1, 25 reais? Da mesma forma, podemos estender esse racioc´ınio para a) 1350 outros valores, como mostra a tabela abaixo: b) 1300 c) 1250 d) 1200 Lucro ou Acr´escimo Fator de Multiplica¸ca˜o e) n.d.a 10% 1,10 15% 1,15 2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valo20% 1,20 riza¸ca˜o (acr´escimo) de 10% sobre o seu pre¸co. Quanto ele 47% 1,47 passou a custar? 67% 1,67 a) R$ 12.400,00 b) R$ 13.200,00 Exemplo c) R$ 13.800,00 d) R$ 14.600,00 Quanto passar´a a receber um funcion´ ario, que tem um e) n.d.a sal´ario de R$ 950,00 e, obt´em um aumento de 35%? Para chegarmos ao valor do novo sal´ario, basta que usemos 3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma um fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual, gr´afica. No per´ıodo de um mˆes, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto foi o lucro percentual mensal sobre o assim: pre¸co de compra? a) 5% 950, 00 · 1, 35 = 1.282, 50 b) 10% c) 6% Portanto, o novo sal´ario ser´a de R$ 1.282,50. d) 11% Para os casos em que ocorrem decr´escimos, o fator de mule) n.d.a tiplica¸ca˜o ser´a dado por: Fator de Multiplica¸ca˜o = 1 - taxa de desconto (na forma 4. O valor de 10 % de um capital C corresponde a qual decimal). fator multiplicativo sobre C? ´tica C – Aula 7 Matema 247 Exemplos a) 100 b) 10,0 c) 1,0 d) 0,10 e) n.d.a Exerc´ıcios Complementares 1. Maria vai sair e para escolher a roupa, separou 2 saias e 3 blusas. De quantas maneiras ela pode se vestir? Nesse caso duas decis˜ oes independentes devem ser tomadas: p1 : escolher uma dentre as 3 blusas p2 : escolher uma dentre as 2 saias BLUSAS 5. Se a taxa de uma aplica¸ca˜o ´e de 150% ao ano, quantos meses ser˜ao necess´arios para dobrar um capital aplicado atrav´es de capitaliza¸ca˜o simples? a) 10 meses b) 9 meses c) 8 meses d) 7 meses e) n.d.a SAIAS 6. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de 1, 5%a.m. rende R$ 250,00 de juros em 50 dias? a) R$ 10.000 Figura 1: Ilustrando o princ´ıpio fundamental de conb) R$ 15.000 tagem c) R$ 25.000 d) R$ 17.500 Assim, Maria disp˜oe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as e) n.d.a decis˜ oes p1 e p2 , ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir. 7. (Desafio) Um determinado produto teve um acr´escimo de 20%, sobre o seu pre¸co de tabela. Ap´os certo per´ıodo, 2. Quantas placas (distintas) de autom´ oveis, poder˜ ao ser teve um decr´escimo tamb´em de 20% sobre o pre¸co que foi emitidas; com o sistema atual de emplacamento? aumentado, obtendo assim o pre¸co atual. Qual ´e o percenO atual sistema de emplacamento de autom´ oveis no tual que o pre¸co atual corresponde em rela¸ca˜o ao primeiro Brasil utiliza trˆ e s letras e quatro algarismos. No novo valor (pre¸co de tabela)? alfabeto s˜ a o consideradas 26 letras e temos dez d´ıgitos a) 100% entre os n´ u meros. Logo o n´ u mero de possibilidades b) 96% ser´a : c) 90% P = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175.760.000 d) 85% e) n.d.a 3. Obtenha o total de linhas telefˆonicas que podem ser Matem´ atica C Aula 7 An´ alise Combinat´ oria Princ´ıpio Fundamental da Contagem O princ´ıpio fundamental da contagem nos mostra um m´etodo alg´ebrico, para determinar o n´ umero de possibilidades de ocorrˆencia de um acontecimento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrer por v´arias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: p1 ´e o no de possibilidades da 1a etapa p2 ´e o no de possibilidades da 2a etapa .. . pn ´e o no de possibilidades da n-´esima etapa Ent˜ ao, o n´ umero total P de possibilidades do acontecimento ocorrer ´e dado por: P = p1 × p2 × p3 × . . . × pn instaladas, com o prefixo 436: Para resolver este problema, ´e preciso escolher um algarismo para a casa das milhares, outro para as centenas, outro para as dezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a serem utilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidos entre os dez d´ıgitos do sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como cada uma das casas podem ser preenchidas com um dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhas poss´ıveis com o prefixo 436 ´e o produto das possibilidades que se tem para preencher cada uma das casas. Logo: As linhas podem ter n´ umeros no formato 436-ABCD, onde os quatro d´ıgitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ter n´ umeros de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes. Ou, de outro modo: P = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 4. Quantos n´ umeros ´ımpares de 3 algarismos distintos, s˜ao poss´ıveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8. Ao iniciar a resolu¸ca˜o de um problema de an´alise combinat´oria, ´e aconselh´ avel que se fa¸ca alguns grupos dos quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema, veja alguns exemplos de n´ umeros ´ımpares 248 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC de 3 algarismos distintos: 347, 815, 135, 451, etc. Note que o n´ umero 533 n˜ ao nos serve, pois houve repeti¸ca˜o do algarismo 3; o n´ umero 534 tamb´em n˜ ao serve, pois ´e par. Um outro ponto importante ´e, por onde come¸car a resolver o problema. Procure sempre atacar o problema, por onde houver um maior n´ umero de restri¸co˜es. Em nosso caso, temos a restri¸ca˜o de que os n´ umeros devem ser ´ımpares. Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades (1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo problema, por´em eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), j´ a que n˜ ao pode haver repeti¸ca˜o. Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente, analisando a casa das dezenas, conclu´ımos que restaram 4 possibilidades, pois: n˜ ao podemos repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiver na casa das centenas. centena 5 dezenas 4 unidades 4 Portanto, o total de possibilidades ´e P = 5×4×4 = 80, o que d´ a um total de 80 n´ umeros. Fatorial Sendo n um n´ umero natural, define-se fatorial de n, e indicase ”n!”` a express˜ao — www.mundofisico.joinville.udesc.br = 90 (x + 3)! (x + 1)! = (x + 3)(x + 2)(x + 1)! (x + 1)! = (x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6 14! 11! · 3! = = 14 · 13 · 12 · 11! 11! · 3! 14 · 13 · 12 = 14 · 13 · 2 = 364 3! Pense um Pouco! • De quantas formas diferentes pode lan¸camento de dois dados simultˆ aneos? resultar o • Quantos n´ umeros pares se pode formar com os algarismos {1, 2, 3, 4}? • Na s´erie de n´ umeros de 0 a 100, quantos algarismos nove s˜ao usados? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. O resultado de a) 25 b) 28/3 c) 31/7 d) 15 e) n.d.a 22!·8! 11!·19! ´e: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1 2. Numa elei¸ca˜o de uma empresa, h´ a 4 candidatos a presidente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesouPropriedade reiro. Quantos podem ser os resultados da elei¸ca˜o? a) 120 Para fins de c´ alculo, define-se que 0! = 1 e 1! = 1 b) 180 Observe que: fatorial ´e uma defini¸ca˜o por recorrˆencia, ou c) 150 seja: cada fatorial ´e calculado com a utiliza¸ca˜o do fatorial d) 210 anterior. Assim: e) n.d.a n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 .. . n! 1 1 2 6 24 120 720 5.040 40.320 362.880 3.628.800 39.916.800 .. . n n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1 Exemplos 10! 8! = 10 · 9 · 8! 8! 3. Simplifique as express˜oes: a) (x + 5)!/(x + 3)! b) (3x + 1)!/(3x − 1)! 4. (Mack-SP) Quantos n´ umeros de 5 d´ıgitos podem ser escritos com os algarismos {1, 2, 3, 4}, sem que apare¸cam algarismos consecutivos iguais? a) 20 b) 32 c) 40 d) 120 e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares 5. (Saem) A quantidade de n´ umeros maiores do que 4.000 que podemos formar com os algarismos {3, 4, 5, 6}, sem repeti-los, ´e: a) 64 b) 9 ´tica C – Aula 8 Matema 249 c) 6 d) 18 e) n.d.a ´e relevante. No exemplo acima, na escolha da chapa de dois alunos para a lideran¸ca da turma, a escolha AB ´e diferente de BA, se convencionamos que o primeiro aluno do grupo ´e candidato `a lider e o segundo ao cargo de vice-l´ıder, 6. Quantas motos poderiam ser licenciadas, se cada placa sendo ambos alunos diferentes da turma. A ordem aqui ´e cont´em duas vogais e trˆes d´ıgitos? relevante, e as escolha s˜ao portanto chamadas de arranjos. a) 125.000 O n´ umero de arranjos simples diferentes de n elementos em b) 110.000 grupos de p elementos ´e dado por: c) 25.000 d) 154.000 n! An,p = e) n.d.a (n − p)! 7. Resolvendo a equa¸ca˜o, (x+3)!/(x+1)! = 12, temos que: Esta f´ormula mostra que os arranjos dos n elementos toa) x = 0 mados p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais. Por b) x = 1 exemplo, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. E por defini¸ca˜o, 0! = 1. N˜ ao c) x = 2 esque¸ c a! d) x = 3 e) n. d. a. 8. (Ufes) Um shopping possui 4 portas de entrada para o andar t´erreo, 5 escadas rolantes ligando o t´erreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo pavimento, usando os acessos mencionados? a) 25 b) 30 c) 45 d) 60 e) n. d. a. Exemplos 9. (Puc-SP) Chama-se pal´ındrome o n´ umero inteiro que n˜ ao se altera quando ´e invertida a ordem de seus algarismos (exemplo: 383, 4224, 74847). O n´ umero total de pal´ındromes de cinco algarismos ´e: a) 100.000 b) 50.000 c) 10.000 d) 1.000 e) 900 2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 s˜ao formados n´ umeros de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos s˜ao divis´ıveis por 5? Matem´ atica C Aula 8 1) Quantos n´ umeros de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los? Os n´ umeros formados devem ter 3 algarismos, por exemplo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemos novos n´ umeros, portanto, o problema ´e de arranjo simples, logo: A6,3 = Como os n´ umeros devem ser divis´ıveis por 5, os mesmos devem obrigatoriamente terminar em 5 (j´ a que o zero n˜ ao consta na lista), logo, dos 6 algarismos que t´ınhamos para nos restam 5, dos quais vamos tomar grupos de 3 a 3. Se tomarmos uma das poss´ıveis respostas, por exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus d´ıgitos centrais teremos o n´ umero 4325, que ´e outra resposta do problema. Logo o problema, proposto ´e de arranjos simples. Com isso temos como resposta: An´ alise Combinat´ oria Para um dado conjunto finito de elementos, muitas vezes se deseja saber de quantas formas diferentes se pode reagrup´alos em subconjuntos menores. Ainda mais, se a ordem dos elementos nesses subconjuntos pode ser relevante ou n˜ ao, definind dois tipos distintos de problema a resolver. Em uma turma de 20 alunos, de quantas formas diferentes um professor pode: a) montar um time de voleibol? b) definir uma chapa para l´ıder e vice-l´ıder? c) formar equipes de 5 alunos cada para trabalhos de pesquisa? sortear 7 bolsas de estudo? Todos esses problemas s˜ao abordados e resolvidos pela parte da matem´atica que se denomina An´alise Combinat´oria. Arranjos 6 · 5 · 4 · 3! 6! = = 120 (6 − 3)! 3! A5,3 = 5 · 4 · 3 · 2! 5! = = 60 (5 − 3)! 2! Combina¸c˜ oes Simples Uma combina¸ca ˜o simples ´e o tipo de agrupamento sem repeti¸ca˜o em que um grupo ´e diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. O n´ umero de combina¸co˜es de n elementos de grupos de p elementos ´e igual ao n´ umero de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto ´e: Cn,p = n! An,p = p! p!(n − p)! Exemplos oes constitu´ıdas de 3 pessoas podem ser Um arranjo simples ´e um tipo de agrupamento sem re- 1) Quantas comiss˜ peti¸ca˜o em que a ordem ou a natureza dos seus elementos formadas com 5 pessoas? 250 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC As comiss˜ oes formadas devem ter 3 pessoas, por exemplo, A , B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos a mesma comiss˜ ao.Portanto, o problema ´e de combina¸ca ˜o. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Quantos n´ umeros de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9? 5! 5 · 4 · 3! a) 120 C5,3 = = = 10 3!2! 3! · 2! b) 720 c) 1.296 Logo, podemos formar 10 comiss˜ oes diferentes. d) 15.625 2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos distintos e sobre e) n. d. a. uma outra reta, paralela ` a primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triˆangulos obteremos unindo 3 quaisquer desses 2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol pontos? de sal˜ao dispondo de 8 jogadores? Com os 13 pontos distintos quaisquer, poder´ıamos obter at´e a) 48 C13,3 = 286 triˆ angulos diferentes. Por´em, neste caso se to- b) 56 marmos os trˆes pontos sobre a mesma reta, n˜ ao formaremos c) 72 um triˆ angulo, e com isso, temos que descontar as escolhas d) 28 que n˜ ao formam triˆ angulos, para obter a solu¸ca ˜o do pro- e) n. d. a. blema: 3. Considere o conjunto A = {2, 4, 5, 6}. Quantos n´ umeros, distintos, m´ ultiplos de 5 se podem formar, com todos os C13,3 − C8,3 − C5,3 = 286 − 56 − 10 = 220 elementos de A? a) 24 b) 12 Permuta¸c˜ oes Simples c) 18 d) 06 Uma permuta¸ca ˜o simples ´e o tipo de agrupamento ordenado e) n. d. a. e sem repeti¸ca˜o, em que entram todos os elementos em cada grupo. Portanto, a permuta¸ca˜o simples ´e um caso particular 4. Quantos palavras de 3 letras, sem repeti¸ca˜o, podemos de arranjo simples. formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto? O n´ umero de permuta¸co˜es simples que se pode formar com a) 504 b) 324 n elementos ´e igual ao fatorial de n, ou seja: c) 27 d) 81 Pn = n! e) n. d. a. 5. Quantos n´ umeros de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? a) 2560 1) Quantos n´ umeros de 5 algarismos distintos podem ser b) 1440 formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9? c) 4536 Como s˜ ao necess´ arios todos os algarismos dados, em cada d) 2866 resposta do problema, devemos formar agrupamentos do tipo e) n. d. a. permuta¸co ˜es simples, logo a quantidade de n´ umeros diferentes algarismos ´e igual a: 6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 mo¸cas. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e 3 mo¸cas? a) 30 P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 b) 200 c) 300 2) Quantos anagramas tem a palavra MITO? d) 150 Qualquer ordena¸ca ˜o das letras de uma palavra ´e denominada e) n. d. a. anagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras diferentes, temos: 7. Quantos n´ umeros de 7 algarismos distintos podem ser formadas, usando-se os algarismos de 1 a 7? a) 5040 P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 b) 3640 c) 2320 d) 720 Pense um Pouco! e) n. d. a. Exemplos 8. Quantos s˜ao os n´ umeros compreendidos entre 2.000 e 3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, • Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual o 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? n´ umero de permuta¸co˜es diferentes poss´ıveis? Exemplo: a) 210 quantos anagramas tem a palavra MARIA? b) 175 • Qual a diferen¸ca b´ asica entre combina¸ca˜o e arranjo? ´tica C – Aula 9 Matema c) 336 d) 218 e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares 9. Quantas comiss˜ oes com 6 membros podemos formar com 10 alunos? a) 210 b) 120 c) 75 d) 144 e) n. d. a. 251 d) 240 e) 1.440 16. (UEMT) Sobre uma circunferˆencia marcam-se 7 pontos, distintos 2 a 2. Calcule o n´ umero de triˆangulos que podemos formar com v´ertices nos pontos marcados. a) 3 b) 7 c) 30 d) 35 e) 210 Matem´ atica C Aula 9 10. Uma empresa ´e formada por 6 s´ocios brasileiros e 4 jaBinˆ omio de Newton poneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 s´ocios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses? N´ umeros Binomiais a) 10 b) 15 N´ umeros Binomiais: Dados dois n´ umeros naturais, n e p, c) 6 chamamos n´ umero binomial, ao par de valores: d) 12   e) n. d. a. n p 11. (PUC-SP) Numa sala h´ a 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocaLˆe-se: binomial de n sobre p. das, ficando 5 sentadas e 2 em p´e? Chamamos n de numerador e p de denominador do a) 5.040 n´ umero binomial, onde b) 21 c) 120   n! n d) 2.520 = p p!(n − p)! e) n. d. a. 12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, come¸cam com n e p ∈ N e n ≥ p. com A e terminam com E? Consequˆencias da defini¸ca˜o: a) 120 n b) 720 a) = 1, ∀ n ∈ N c) 840 0 d) 24 n e) n. d. a. b) = n, ∀ n ∈ N 1 n 13. (UFCE) A quantidade de n´ umeros pares de 4 algarisc) = 1, ∀ n ∈ N mos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, n 4, 5, 7, 8 e 9 ´e: a) 20 N´ umeros Binomiais Complementares b) 60 c) 240 Dois n´ umeros binomiais s˜ao chamados complementares d) 360 quando possuem o mesmo numerador e a soma dos dee) n. d. a. nominadores ´ e igual ao numerador.  
14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos Os n´ n umeros p e nk s˜ao complementares quando p + k = formar com 10 s´ocios de uma empresa s˜ao: n. a) 5.040 b) 40 c) 2 Exemplo d) 210

e) n. d. a. Os n´ umeros binomiais 72 e 75 s˜ao complementares, pois 2 + 5 = 7. 15. (UFPA-PA) Quantos s˜ao os anagramas da palavra BRASIL come¸cados por B e terminados por L? a) 24 Propriedade b) 120 Dois n´ umeros binomiais complementares s˜ao iguais. c) 720 252 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Triˆ angulo de Pascal 1 0 2 0 3 0

1 1
2 1
3 1
4


4 0 .. .
1 www.mundofisico.joinville.udesc.br Observa¸ c˜ ao Os n´ umeros binomiais podem ser agrupados ordenadamente em um quadro denominado Triˆ angulo de Pascal: 0 0 — • No desenvolvimento do binˆomio (x+a)n , os termos s˜ao todos positivos; • No desenvolvimento do binˆomio (x − a)n , os sinais de cada termo do desenvolvimento s˜ao alternados, isto ´e, os termos de ordem ´ımpar (1, 3, 5, . . .) s˜ao positivos e os de ordem par (2, 4, 6, . . .) s˜ao negativos. 2 2 3 2

3 3
4 Exemplos resolvidos
1) Desenvolver o binˆomio (x + 3)4 :
4 2
4 3 4           4 4 4 4 4 x4 30 + x3 41 + x2 42 + xa3 + a4 0 1 2 3 4 logo Observa¸ co ˜es Importantes (x + 3)4 = x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81 • Os n´ umeros binomiais de mesmo numerador est˜ ao co2) Desenvolver o binˆomio (a − 2b)5 : locados na mesma linha;       5 5 5 • Os n´ umeros binomiais de mesmo denominador est˜ ao 5 0 4 1 a (2b) − a (2b) + a3 (2b)2 0 1 2 colocados na mesma coluna; • Se no triˆangulo de Pascal substituirmos cada binomial pelo respectivo valor, obteremos: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .. . 1 2 3 4 5 6 7 8 −       5 5 5 a2 (2b)3 + a1 (2b)4 − a0 (2b)5 3 4 5 = 1 · a5 · 1 − 5 · a4 · 2b + 10 · a3 · 4b2 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 −10 · a2 · 8b3 + 5 · a · 16b4 − 1 · 1 · 32b5 1 5 15 35 70 1 6 21 56 e finalmente podemos escrever 1 7 28 1 8 (a − 2b)5 = a5 − 10a4 b + 40a3 b2 − 80a2 b3 + 80ab4 − 32b5 1 Soma dos Coeficientes Binomiais Propriedades do Triˆ angulo de Pascal 1. Todos os elementos da 1a coluna s˜ao iguais a 1; A soma dos coeficientes num´ericos do desenvolvimento de (ax ± by)n , com a e b constantes, se obt´em fazendo x = y = 1. A soma vale, portanto 2. O u ´ ltimo elemento de cada linha ´e igual a 1; 3. Numa linha qualquer, os n´ umeros equidistantes dos extremos s˜ao iguais; 4. A soma dos n´ umeros binomiais de uma mesma linha ´e uma potˆencia de base 2 cujo expoente ´e a ordem da linha (numerador); 5. Cada binomial da linha n ´e igual a soma de dois binomiais da linha (n − 1): aquele que est´ a na mesma coluna com aquele que est´ a na coluna anterior. (a ± b)n F´ ormula do Termo Geral Para determinar um termo qualquer de ordem (p + 1) no desenvolvimento de um binˆomio do tipo (x + a)n , temos: Tp+1   n = ap xn−p p O termo geral no desenvolvimento de (x − a)n , ´e dado pela express˜ao: F´ ormula do Binˆ omio de Newton n (x + a) = n 0
n 0
n n−1 1 a 1 x 0 n x a +
+ . . . + nn x a + n 2
n−2 2 x a + Tp+1   n ap xn−p = (−1) p p ´tica C – Aula 10 Matema 253 Exerc´ıcios Complementares Exemplos 1. Determinar o quarto 4◦ no desenvolvimento de (x + 2)7 . 12. Qual o valor do termo m´edio do desenvolvimento de Resolu¸ca˜o: (2x + 3y)4 ? Para o quarto termo, temos que p + 1 = 4, logo p = 3. a) 236 x3 y 2 Assim: b) 70 · 16 · x4 y 2 c) 216 x3 y 3   7 d) 216 x2 y 2 T4 = T3+1 = a3 x7−3 = 35 · 8 · x4 = 280x4 e) n. d. a. 3 2. Achar o termo m´edio no desenvolvimento de (2x − 3)6 . No desenvolvimento do binˆ omio (2x − 3)6 , teremos um total de 7 termos. Com isso o termo m´edio ser´a o 4◦ termo. Logo temos: T4 = T3+1   6 = (−1) 33 (2x)6−3 = (−1) · 20 · 27 · 8x3 3 3 logo o termo procurado ser´a T4 = −4320 x3 Pense um Pouco! • O que devemos fazer para encontrarmos o termo independente de x, no desenvolvimento de um binˆ omio? • O que ocorrer´a com os termos do desenvolvimento de um binˆomio (x + a)n , se invertermos as posi¸co˜es do primeiro e do segundo termo, ou seja (a + x)n ? • Por que alguns desenvolvimentos de n´ umeros binomiais apresentam termo m´edio e outros n˜ ao? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Calcular E = 6 3
+ 5 1
+ 8 0
+ 4 4
.
2. Ache o conjunto solu¸ca˜o da equa¸ca˜o x+1 = 10 2



3. Calcule 80 + 81 + 82 + . . . + 88 .



4. Calcule n, sabendo que n0 + n1 + n2 +. . .+ nn = 128. P8   5. Calcule o valor de p=2 p9 . 6. Calcule o 3◦ termo no desenvolvimento de (x + 2)9 . 7. Calcule o 4◦ termo no desenvolvimento de (x + 1/2)10 . 8. Calcule o 2◦ termo no desenvolvimento de (x − 3)10 . 9. Calcule o termo m´edio no desenvolvimento de (x + 2y)6 . 13. O coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento de (2x−2 − 3x)6 ´e: a) 64 b) 4860 c) 2160 d) 4320 e) 729

14. (UFRN-RN) A express˜ao 73 + 74 − 35 ´e igual a : a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50     13 13 15. O valor de x na igualdade 2x−3 = x+1 ´e: a) 3 b) 9 c) 6 d) 4 e) 5 √ 16. O quarto termo do desenvolvimento (x + y)6 ´e: √ a) 6x3 y b) 15x4 y √ c) 20x3 y y d) 6x6 y 3 e) n. d. a. 17. (FGV-SP) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)6 ´e: a) 15.625 b) 7.776 c) 6.225 d) 4.225 e) 2.048 18. (Mack-SP) Se a soma dos coeficientes num´ericos do desenvolvimento (5x − 2y)n ´e 81, ent˜ ao n ´e igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) n. d. a. Matem´ atica C Aula 10 Probabilidade 10. Encontre o termo independente de x no desenvolvimento de (2x − 3)7 . Espa¸cos Amostrais Equiprov´ aveis Finitos 11. Determine a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento do binˆomio (x + 2y)8 . Dado um experimento aleat´ orio, no qual cada resultado tenha as mesmas chances de ocorrer que os demais. Seja U 254 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC o conjunto de todos os eventos poss´ıveis como resultado do experimento e seja E o conjunto dos resultados que nos interessam, definimos a probabilidade do(s) evento(s) E como sendo: P (E) = N´ umero de resultados favor´ aveis N´ umero de resultados poss´ıveis Se o experimento for repetido N vezes, esperamos que a fra¸ca˜o de sucessos seja dada por P (E), no limite onde N se torna muito grande, tendendo ao infinito: N → ∞. Interpreta¸c˜ ao Gr´ afica — www.mundofisico.joinville.udesc.br que ´e o n´ umero de resultados poss´ıveis do conjunto universo U. Agora, vamos determinar o n´ umero de vezes que A e B comparecem nas comiss˜ oes com quatro elementos, ou seja, C4,2 = que ´e o n´ umero de resultados favor´aveis, no conjunto E. Finalmente, a probabilidade de A e B pertencerem `a comiss˜ao ´e dada por: P (E) = Podemos usar os diagramas de Venn para facilitar a visualiza¸ca˜o e at´e a solu¸ca˜o de muitos problemas sobre o c´ alculo de probabilidades. 4! =6 2!2! 2 6 = = 0, 40 = 40% 15 5 Eventos Complementares A Probabilidade de n˜ ao ocorrer um evento pode ser determinada com o estudo dos eventos complementares. Seja E, um evento em um experimento aleat´ orio. A probabilidade de n˜ ao ocorrer o evento E, isto ´e, a probabilidade de ocorrer o evento ¬E, complementar de E, ´e dado por: P (¬E) = 1 − P (E) E Exerc´ıcio Resolvido U 1. Uma moeda ´e lan¸cada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos pelo menos uma cara? Resolu¸ca˜o: No gr´ afico, U ´e o conjunto de todos os resultados poss´ıveis (espa¸co amostral) e E ´e o conjunto dos resultados favor´aveis Para seis lan¸camentos de uma moeda, temos: (os eventos de sucesso). U = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 = 64 Exerc´ıcios Resolvidos ou seja, existem 64 resultados poss´ıveis. a um onde 1. No lan¸camento de um dado n˜ ao viciado, qual a probabi- Destes 64 resultados poss´ıveis, por exemplo, s´o h´ n˜ a o ocorre nenhuma cara, que ´ e exatamente quando se tira lidade de ocorrer o evento “n´ umero primo”? 6 coroas sucessivas. Se chamarmos de E o conjunto de resultados com pelo menos uma cara, ent˜ ao podemos dizer que a probabilidade de n˜ a o tirarmos nenhuma cara ¬E, ´e Neste caso temos que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {2, 3, 5}, pois estes s˜ao os n´ umeros primos entre 1 e 6. Ent˜ ao: 1 P (¬E) = 64 3 1 P (E) = = 6 2 ent˜ ao, como s˜ao eventos complementares, se n˜ ao obtemos seis coroas ´ e porque saiu pelo menos uma cara, Ou seja, a chance de se tirar um n´ umero primo ´e de 50%. Resolu¸ c˜ ao Observe que nesse caso o dado se comporta como se fosse uma moeda, onde se quisesse tirar por sorteio uma determinada face. P (E) = 1 − P (¬E) = 63 64 2. Entre seis pessoas A, B, C, D, E e F, quatro s˜ao escolhidas ´e a probabilidade de se obter pelo menos uma cara. para formar uma comiss˜ ao. Qual a probabilidade de A e B Observe que: pertencerem `a comiss˜ ao? • a probabilidade de se obter as 6 coroas sucessivas ´e pequena (1/64), ou seja, ´e grande a probabilidade de isso n˜ ao ocorrer (63/64). Resolu¸ c˜ ao • esta mesma experiˆencia pode ser feita com seis moedas Primeiramente, vamos determinar o total de comiss˜ oes que lan¸cadas de uma s´o vez. se pode formar com quatro elementos: 2. Ao se retirar uma bola de uma urna que cont´em trˆes bolas brancas b1 , b2 , b3 , numeradas de 1 a 3 e cinco bolas pretas 6! = 15 C6,4 = p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade 4!2! ´tica C – Aula 11 Matema 255 de que essa bola n˜ ao seja preta e nem de n´ umero par, ao b) 3/40 mesmo tempo: c) 1/26 d) 1/13 Resolu¸ca˜o: e) 1/6 Neste caso U = {b1 , b2 , b3 , p1 , p2 , p3 , p4 , p5 } e ¬E = {p2 , p4 ), ent˜ ao a probabilidade complementar, de se tirar uma bola 5. (MACK) Num grupo de 10 pessoas est˜ ao X e Y . Escopreta de n´ umero par ser´a: lhidas ao acaso 5 pessoas do grupo, a probabilidade de X e Y serem escolhidas ´e: 1 2 a) 1/5 P (¬E) = = 8 4 b) 1/10 e como: c) 2/9 3 d) 1/45 P (E) = 1 − P (¬E) = 4 e) 9/10 esta ser´a a probabilidade de se tirar uma bola n˜ ao preta e ´ Um n´ 6. (MARINGA) umero ´e escolhido ao acaso entre os 20 n˜ ao par, simultaneamente. inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o n´ umero escolhido ser primo ou quadrado perfeito ´e: a) 1/5 Pense um Pouco! b) 2/25 • Em alguns jogos com dado o jogador pode avisar “vale c) 4/25 o debaixo”, querendo dizer que o n´ umero tirado ser´a d) 2/5 o da face que cair voltada para baixo. Se um jogador e) 3/5 usar desse artif´ıcio, antes de jogar o dado, mudam suas 7. (CESGRANRIO) Um pr´edio de trˆes andares, com dois chances no jogo? apartamentos por andar, tem apenas trˆes apartamentos ocu• Acertar 5 n´ umeros num cart˜ao com 50 n´ umeros, como pados. A probabilidade de que cada um dos trˆes andares nos jogos de loto ´e realmente muito dif´ıcil, mas se tenha exatamente um apartamento ocupado ´e: marc´ assemos no cart˜ao 45 n´ umeros e fossem sorteados, a) 1/2 b) 2/5 n˜ ao 5, mas 45 n´ umeros. Melhoraria a nossa chance? c) 4/5 d) 1/5 e) 3/8 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 8. (MOGI DAS CRUZES) Jogamos dois dados. A proba1. Joga-se um dado honesto de seis faces e lˆe-se o n´ umero bilidade de obtermos pontos iguais nos dois ´e: da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se a) 1/3 b) 5/36 obter: c) 1/36 a) o n´ umero 5 d) 1/6 b) um n´ umero ´ımpar e) 7/36 c) um n´ umero maior que 4 d) um n´ umero menor que 8 9. (LORENA) Uma urna cont´em 4 bolas vermelhas numee) um n´ umero maior que 6 radas de 1 a 4; trˆes bolas azuis numeradas de 1 a 3 e trˆes bolas brancas numeradas de 1 a 3. Retiramos uma u ´ nica 2. Retirando-se uma carta de um baralho comum, de 52 bola. Qual a probabilidade de que essa bola seja par? cartas, qual ´e a probabilidade de se obter uma carta de a) 3/10 copas? b) 2/5 3. Qual o “espa¸co amostral” ou “conjunto universo” U nos c) 3/5 d) 2/10 seguintes fenˆomenos aleat´ orios: e) n. d. a. a) lan¸camento de duas moedas b) lan¸camento de dois dados c) lan¸camento de uma moeda e um dado d) sortear os 4 bits de um nibble (um byte = 8 bits = 2 nibbles). e) embaralhar as letras da palavra “PROVA” Exerc´ıcios Complementares Matem´ atica C Aula 11 Inequa¸ c˜ oes Inequa¸c˜ oes do Primeiro Grau Relacionadas com as equa¸co˜es de 1◦ grau, temos as desigualdades de primeiro grau (ou inequa¸co˜es), que s˜ao express˜ oes 4. (CESGRANRIO) Os 240 cart˜oes de um conjunto, s˜ao matem´aticas em que os termos est˜ ao ligados por um dos numerados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao quatro sinais: acaso um cart˜ao desse conjunto, a probabilidade de obter um cart˜ao numerado com um m´ ultiplo de 13 ´e: < > ≤ ≥ a) 3/240 menor maior menor ou igual maior ou igual 256 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Nas inequa¸co˜es, deseja-se obter um conjunto de todas os Exerc´ıcio Resolvido poss´ıveis valores que pode assumir uma ou mais inc´ ognitas Resolver a inequa¸ca˜o (2x − 1)(x + 4) > 0 na equa¸ca˜o. Resolu¸ c˜ ao Uma propriedade importante das inequa¸co˜es ´e: Para resolver essa inequa¸ca˜o, vamos analisar as duas possibilidades em que (2x − 1)(x + 4) > 0, ou seja: a > b ⇐⇒ −a < −b 1a )2x − 1 > 0 e x + 4 > 0 Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade a) 2x − 1 > 0 =⇒ x > 1/2 por um n´ umero negativo ”inverte-se o sentido” da desigual- b) x + 4 > 0 =⇒ x > −4 dade. Sendo que a) e b) simultaneamente nos d´ a que a solu¸ca˜o ´e x > 1/2. Exemplo Resolvido Encontrar todos os valores de x tais que 3x + 6 > 5x − 4. Resolu¸ca˜o: −4 3x + 6 > 5x − 4 0 x 0 1/2 x e multiplicando-se por −1 2x < 10 finalmente 0 1/2 x −4 0 x −4 0 x ou seja, existe um conjunto infinito de valores (intervalo) que satisfazem a desigualdade dada. S = {x ∈ R | x < −4 ou x > Graficamente: x A figura representa graficamente o intervalo de solu¸ca˜o obtido: S = {x ∈ R | x < 5} Inequa¸c˜ ao-Produto Sendo f (x) e g(x) duas fun¸co˜es da vari´avel x, as inequa¸co˜es: s˜ao denominadas inequa¸ co ˜es-produto. Sa Sb S´a S´b S´a S´b 1 } 2 Podemos, entretanto, resolver este problema com o seguinte quadro de sinais no qual estudamos nas primeiras linhas o sinal de cada um dos fatores e na u ´ ltima linha, o sinal do produto: f(x) f (x) · g(x) ≥ 0 f (x) · g(x) ≤ 0 Sb Portanto o conjunto solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o ´e a uni˜ao das solu¸co˜es obtidas: x<5 f (x) · g(x) > 0 f (x) · g(x) < 0 Sa b) x + 4 < 0 =⇒ x < −4 Com a) e b) simultaneamente dando a solu¸ca˜o ´e x < −4 −2x > −10 5 x 2a ) 2x − 1 < 0 e x + 4 < 0 a) 2x − 1 < 0 =⇒ x < 1/2 3x − 5x > −4 − 6 0 0 1/2 g(x) f(x)g(x) 0 1/2 x −4 0 x −4 0 1/2 x Observe que os valores x = −4 e x = 1/2 que anulam o produto n˜ ao verificam a inequa¸ca˜o e esse fato foi indicado por ”◦”(bola vazia), usado para representar o intervalo aberto. Inequa¸c˜ oes-Quociente Sendo f (x) e g(x) duas fun¸co˜es da vari´avel x, as inequa¸co˜es: f (x) ÷ g(x) > 0 f (x) ÷ g(x) < 0 f (x) ÷ g(x) ≥ 0 ´tica C – Aula 11 Matema 257 Exerc´ıcios Resolvidos f (x) ÷ g(x) ≤ 0 s˜ao denominadas inequa¸ co ˜es-quociente. 1. Resolva a inequa¸ca˜o −x2 + 5x − 6 > 0. Note que as regras de sinais do produto e do quociente para Resolu¸ c˜ ao n´ umeros reais, s˜ao an´alogas, por exemplo: Para resolver a inequa¸ca˜o acima, devemos determinar os valores de x para os quais a fun¸ca˜o f (x) = −x2 + 5x − 6 f (x) > 0 ⇐⇒ f (x) · g(x) > 0 tem imagens positivas (y > 0), isto ´e, estudar o sinal da g(x) fun¸ca˜o. Como a = −1 e ∆ = (+5) − 4 · (−1) · 6 = +1 > 0 e as ra´ızes de f (x) s˜ao: x′ = 2 e x′′ = 3 temos o gr´afico: f (x) ≥ 0 ⇐⇒ f (x) · g(x) ≥ 0 g(x) esta u ´ ltima para g(x) 6= 0 Isso significa que, na resolu¸ca˜o de uma inequa¸ca˜o-quociente, podemos usar o mesmo quadro de sinais, empregado na inequa¸ca˜o-produto. Y Exerc´ıcio Resolvido Resolva a inequa¸ca˜o (x+3)(1−x) (x−2) 2 ≥ 0. 3 X Resolu¸ c˜ ao Vamos chamar de f (x) = x + 3, g(x) = 1 − x e h(x) = x − 2 e analisar os sinais individuais de cada fun¸ca˜o: Como devemos ter y > 0, os valores de x s˜ao S = {x ∈ R | 2 < x < 3}. f(x) g(x) x 1 h(x) f(x)g(x) h(x) −3 2. Resolva o sistema de inequa¸co˜es do 2◦ grau. x −3 1 2 x 2 x  2x2 − 18 < 0 −x2 + 5x − 4 ≥ 0 Resolu¸ c˜ ao Para resolvermos o sistema de inequa¸co˜es acima, vamos analisar cada uma das inequa¸co˜es, separadamente. Assim: de onde S = {x ∈ R | x < −3 ou 1 ≤ x < 2}. a) 2x2 − 18 < 0 Temos a = 2 e ∆ = 0 − 4 · 2 · (−18) = 144 > 0, e as ra´ızes: x′ = +3 e x′′ = −3. Inequa¸c˜ oes do Segundo Grau As desigualdades ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + Sa = {x ∈ R | − 3 < x < 3}. bx + c ≤ 0 e ax2 + bx + c ≥ 0, com a 6= 0 s˜ao chamadas b) −x2 + 5x − 4 ≥ 0 inequa¸co˜es do segundo grau. Neste caso a = −1 e ∆ = 5 − 4 · (−1) · (−4) = 9 > 0, com Para resolvermos essas inequa¸co˜es, devemos estudar a va- ra´ızes: x′ = +1 e x′′ = +4 ria¸ca˜o dos sinais das imagens da fun¸ca˜o do segundo grau. Sb = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4}. Seja a fun¸ca˜o f : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c, com c) Finalmente, a solu¸ca˜o geral do sistema ´e obtida pela ina 6= 0. tersec¸ca˜o dos intervalos-solu¸ca˜o obtidos: Seu gr´ afico ´e uma par´ abola que se comporta conforme a S = Sa ∩ §b = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3}. tabela abaixo: ∆>0 ∆=0 Inequa¸c˜ oes Exponenciais ∆<0 Denomina-se inequa¸ c˜ ao exponencial, `aquela que apresenta uma inc´ ognita no expoente. Como por exemplo: 3x > 81 a>0 x x x x x x 52x − 6 · 5x + 5 < 0 2 a<0 8x ≤ 16 Importante • Quando a > 0, a fun¸ca˜o exponencial f (x) = ax ´e crescente, isto ´e: 258 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Exerc´ıcio Resolvido a x1 >a x2 ⇐⇒ x1 > x2 Resolva a inequa¸ca˜o: |3x − 4| < 2 • Quando 0 < a < 1, a fun¸ca˜o exponencial f (x) = ax ´e Resolu¸ca˜o: decrescente, isto ´e: De acordo com a propriedade 2 vista acima, temos: ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 < x2 |3x − 4| < 2 ⇒ −2 < 3x − 4 < 2 ou seja, temos de resolver o sistema de inequa¸co˜es Exerc´ıcios Resolvidos  Resolva as equa¸co˜es exponenciais: a) 4x > 1/4 Resolu¸ c˜ ao −2 < 3x − 4 ⇒ x > 2/3 3x − 4 < 2 ⇒ x < 2 Fazendo a intersec¸ca˜o dos intervalos de solu¸ca˜o, vem: Devemos procurar obter desigualdades de potˆencias de mesma base. 4x > 1 ⇐⇒ 4x > 4−1 4 S = {x ∈ R | 2 < x < 2} 3 Pense um Pouco! Como a base ´e maior do que 1, vem: ´ poss´ıvel se ter um sistema de inequa¸co˜es cujo con• E junto solu¸ca˜o seja ∅? Explique. x > −1 e Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao S = {x ∈ R | x > −1} b) (1/2)2x < (1/2)3x−1 Resolu¸ c˜ ao Como a base est´ a compreendida entre 0 e 1, temos que ter: 2x > 3x − 1 1. A solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o (2x + 3)/(x + 2) ≥ 1 ´e: a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} b) S = {x ∈ R | 1 ≤ x < 2} c) S = {x ∈ R | x < −3 ou x > 2} d) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1} e) n. d. a. 2) O conjunto solu¸ca˜o do sistema de inequa¸co˜es  2 x − 5x + 6 ≥ 0 2x2 − 8x < 0 −x > −1 e ent˜ ao ´e: f) S = {x ∈ R | x ≤ 0 ou 1 ≤ x < 4} g) S = {x ∈ R | x ≥ −1 ou 1 ≤ x ≤ 2} h) S = {x ∈ R | x ≤ 0 ou x > 4} i) S = {x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 < x < 2} j) n. d. a. x<1 logo S = {x ∈ R | x < 1} Inequa¸c˜ oes Modulares Exerc´ıcios Complementares Notemos que se a > 0, valem as seguintes propriedades: 1. |x| > a ⇐⇒ x < −a ou x > a −a 0 a x 3. Resolvendo, em R, a inequa¸ca˜o: 2. |x| < a ⇐⇒ −a < x < a −a 2. (VUNESP) Quantos n´ umeros inteiros satisfazem a inequa¸ca˜o: x2 − 6x + 8 < 0 a) nenhum b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3 x − 4 5x − 1 − ≤ 3 4 4 0 a x temos que: a) S = {x ∈ R | x < −2} ´tica C – Aula 12 Matema b) S = {x ∈ R | x > −2} c) S = {x ∈ R | x ≤ −2} d) S = {x ∈ R | x ≥ −2} e) n. d. a. 4. A solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o: 2x + 3 ≥1 x+2 ´e: a) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1} b) S = {x ∈ R | x ≤ −2 ou x > 1} c) S = {x ∈ R | x > −2 ou x > 2} d) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2} e) n.d.a 259 Tipos Fundamentais Existem trˆes tipos de equa¸co˜es trigonom´etricas fundamentais. S˜ ao elas: a) sen x = α b) cos x = α c) tan x = α Equa¸co˜es de outro tipo devem ser reduzidas a uma dessas fundamentais. Vejamos como resolver cada uma delas. Equa¸ co ˜es envolvendo sen α Y 5. Resolvendo a inequa¸ca˜o sen θ 1 (2 − 5x)(x + 1) ≤0 (−x + 3) temos que: a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} b) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1} c) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou 2/5 ≤ x < 3} d) S = {x ∈ R | x < −3 ou − 1 ≤ x ≤ 2/5} e) n. d. a. 6. Ao resolver x − 2 x + 3 < 1 obtemos: a) S = {x ∈ R | x > 2} b) S = {x ∈ R | x < −1/2} c) S = {x ∈ R | x > −1/2} d) S = {x ∈ R | x ≤ −2} e) n. d. a. 7. Qual a solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o abaixo:  x2 −5x+1   1 1 ≥ 2 2 a) S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5} b) S = {x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0} c) S = {x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0} d) S = {x ∈ R | − 5 < x < 0} e) n. d. a. 8. Resolvendo x2 − √ 8x + 7 ≤ 4, obtemos: √ a) S = {x ∈ R | 4 − √14 < x < 4 + √14} b) S = {x ∈ R | 4 − √14 ≤ x ≤ 4 + √14} c) S = {x ∈ R | 14 −√ 4 ≤ x ≤ 14 + √ 4} d) S = {x ∈ R | 4 − 4 ≤ x ≤ 4 + 4} e) S = {} π−θ θ 1 0 X Se dois arcos trigonom´etricos x e α tˆem senos iguais, ent˜ ao: sen x = α ⇐⇒ com k ∈ N   x = α ± 2kπ ou  x = π − α ± 2kπ Equa¸ co ˜es envolvendo cos α cos θ Y 1 0 θ −θ 1 X 2π − θ = −θ Matem´ atica C Aula 12 Equa¸c˜ oes Trigonom´ etricas Se dois arcos trigonom´etricos x e α tˆem cossenos iguais, ao: S˜ ao equa¸co˜es que envolvem pelo menos uma fun¸ca˜o trigo- ent˜ nom´etrica operando em alguma de suas vari´aveis. Por exemcos x = α ⇐⇒ x = ±α ± 2kπ plo, cos θ = 1/3, onde se quer, em geral, determinar o ˆangulo θ. com k ∈ N 260 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Equa¸ co ˜es Envolvendo tan α cos x = 1/2 Se dois arcos trigonom´etricos x e α tˆem tangentes iguais, ent˜ ao: tan x = α ⇐⇒ x = α ± kπ Como o cosseno de π/3 ´e igual a 1/2, temos a solu¸ca˜o geral x = π/3 ± kπ k ∈ N com k ∈ N As equa¸co˜es a seguir tˆem suas solu¸co˜es mais facilmente obtidas pela representa¸ca˜o dos seus valores na circunferˆencia trigonom´etrica. Exemplos Resolvidos 1. sen x = −1 Como o seno de 3π/2 ´e igual a −1, temos a solu¸ca˜o geral 3π x= ± 2kπ k ∈ N 2 logo   3π ± 2kπ, k ∈ N S= x∈R|x= 2 logo S = {x ∈ R | x = π/3 ± kπ, k ∈ N Pense um Pouco! • Existe solu¸ca˜o real para a equa¸ca˜o cos x = 2 ? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Para x ∈ R | 0 ≤ x < 2π, resolva as equa¸co˜es: a) sen 3x −√sen x = 0 b) cos x = 23 √ c) tan x = −3 3 Exerc´ıcios Complementares 2. sen x = 0 Como o seno de 0 ´e igual a 0, temos a solu¸ca˜o geral x = ±π k ∈ N logo S = {x ∈ R | x = ±kπ, k ∈ N} 3. sen x = 1 2. A solu¸ca˜o da equa¸ca˜o cos 2x − cos x = π, ´e: a) {x ∈ R | x = −π ± 2kπ, k ∈ Z} b) {x ∈ R | x = −π/3 ± kπ, k ∈ Z} c) {x ∈ R | x = π/4 ± 2kπ, k ∈ Z} d) {x ∈ R | x = −π/2 ± kπ, k ∈ Z} e) ∅ Como o seno de π/2 ´e igual a 1, temos a solu¸ca˜o geral 3. Uma das solu¸co˜es da equa¸ca˜o sen 2x + sen x = 0, ´e: a) 4π/3 π x = ± 2kπ k ∈ N b) 3π/4 2 c) π/6 logo d) −2π/3 n o π e) n. d. a. S = x ∈ R | x = ± 2kπ, k ∈ N 2 3) O conjunto solu¸ca˜o da equa¸ca˜o cos x − cos π/4 = 0 ´e: 4. cos x = −1 f) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Z} Como o cosseno de π ´e igual a −1, temos a solu¸ca˜o g) S = {x ∈ R | x = ±π/4 + 2kπ, k ∈ Z} h) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Z} geral i) S = {x ∈ R | x = ±π/2 + 2kπ, k ∈ Z} x = π ± kπ k ∈ N j) n. d. a. logo √ 4. A equa¸ca˜o trigonom´etrica 3 tan x − 3 = 0 , tem S = {x ∈ R | x = π ± kπ, k ∈ N} solu¸ca˜o: 5. cos x = 0 a) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Z} Como o cosseno de π/2 ´e igual a 0, temos a solu¸ca˜o b) S = {x ∈ R | x = ±3π/2 + 2kπ, k ∈ Z} c) S = {x ∈ R | x = π/6 + kπ, k ∈ Z} geral π d) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + kπ, k ∈ Z} x = ± kπ k ∈ N 2 e) n. d. a. logo o n π 5. Resolvendo a equa¸ca˜o cos(x − π/2) = cos(π/2) para S = x ∈ R | x = ± kπ, k ∈ N x ∈ R obtemos: 2 a) S = {x ∈ R | x = π/4 + kπ, k ∈ Z} 6. cos x = 1 b) S = {x ∈ R | x = π/3 + kπ, k ∈ Z} Como o cosseno de 0 ´e igual a 1, temos a solu¸ca˜o geral c) S = {x ∈ R | x = 2π/3 + kπ, k ∈ Z} d) S = {x ∈ R | x = π/2 + kπ, k ∈ Z} x = 2kπ k ∈ N e) S = {x ∈ R | x = 0} logo S = {x ∈ R | x = 2kπ, k ∈ N} 6. Resolvendo a equa¸ca˜o cos(x) = sen (x) para valores reais de x ∈ [0, 2π) obtemos: ´tica C – Aula 13 Matema 261 r a) nenhuma solu¸ca˜o b) uma solu¸ca˜o c) duas solu¸co˜es d) trˆes solu¸co˜es e) quatro solu¸co˜es B A Matem´ atica C Aula 13 • trˆes pontos n˜ ao co-lineares definem um plano. s Introdu¸ c˜ ao ` a Geometria r C B A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos por figura plana todo subconjunto, n˜ ao vazio, de pontos do plano. Quando dizemos que S ´e uma figura plana, estamos afirmando que S est´ a totalmente contida num plano. Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos n˜ ao definidos, dos quais temos a intui¸ca˜o clara e, um sistema de axiomas ou postulados, que s˜ao proposi¸co˜es n˜ ao demonstradas, aceitas intuitivamente, que d˜ ao caracter´ısticas aos elementos n˜ ao definidos. A α Propriedades Gerais • por um ponto passam infinitas retas; • por dois pontos passa uma s´o reta; Entes Geom´ etricos Fundamentais • por dois pontos passam infinitos planos; Ponto, reta e plano: s˜ao id´eias primitivas, entes que n˜ ao possuem defini¸ca˜o. • por trˆes pontos n˜ ao co-lineares passa um s´o plano; • o plano ´e infinito e ilimitado; • por uma reta passam infinitos planos; Representa¸c˜ ao Por conven¸ca˜o, usaremos a seguinte nomenclatura geral para: • toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regi˜oes chamadas semi-planos; • um plano divide o espa¸co em dois semi-espa¸cos; • pontos: A, B ,C, . . . • retas: r, s, t, . . . ˆ Angulo Plano • planos: α, β, γ, . . . Defini¸ c˜ ao ´ a uni˜ E ao de duas semi-retas de mesma origem. Defini¸c˜ oes • A reta ´e infinita, ou seja, cont´em infinitos pontos, e n˜ ao possui in´ıcio nem fim. A θ r B O Regi˜ ao Angular • Um ponto A de uma reta r, divide a mesma em dois conjuntos, chamados semi-retas. O ponto A ´e origem E ´ a uni˜ao do conjunto dos pontos interiores com o condas semi-retas e pertence a ambas. [ junto dos pontos do ˆangulo. Indica-se por AOC. r • segmento de reta ´e a por¸ca˜o de uma reta entre dois pontos n˜ ao coincidentes A e B. A E A ponto exterior O θ I ponto interior B 262 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC ˆ Angulos Adjacentes — www.mundofisico.joinville.udesc.br ˆ Angulo Raso Dois ˆ angulos s˜ao adjacentes, quando possuem mesma ori- Define-se um ˆ angulo raso quando os trˆes pontos A, O e gem e um lado em comum. B pertencem `a mesma reta. Por defini¸ca˜o o ˆangulo plano mede 180◦. C α o β = 180 B O β O ˆ Angulo Reto A Chama-se de ˆ angulo reto o ˆangulo obtido pela bissec¸ca˜o de um ˆangulo plano. O ˆangulo reto mede 90◦ . ˆ Angulos Congruentes Dois ˆ angulos s˜ao congruentes quando possuem mesma medida, ou seja, s˜ao coincidentes. o β = 90 . O C α O´ C´ B α´ =α O ˆ Angulo Agudo ˆ Angulo agudo ´e aquele cuja medida ´e menor que 90◦ . B´ α Bissetriz O ´ a semi-reta de origem no v´ertice do ˆ E angulo, que o divide em dois ˆangulos congruentes. ˆ Angulo Obtuso ˆ Angulo obtuso ´e aquele cuja medida ´e maior que 90◦ . C α B β O A β O [ ≡ BOC \ Neste caso AOC ˆ Angulos Complementares ˆ Angulos Opostos pelo V´ ertice Dois ˆangulos s˜ao complementares, quando a soma de suas Dois ˆ angulos s˜ao opostos pelo v´ ertice quando os lados de medidas ´e um ˆangulo reto (90◦ ). um s˜ao semi-retas opostas aos lados do outro. r α α s θ = 90 ο − β O . O Dois ˆ angulos opostos pelo v´ertice s˜ao congruentes. β ´tica C – Aula 13 Matema 263 ˆ Angulos Suplementares Exemplos: losango, quadrado, etc... Pol´ıgono Equiˆ angulo Dois ˆ angulos s˜ao suplementares, quando a soma de suas ´ E o pol´ıgono que tem todos os ˆangulos internos congruentes. medidas ´e um ˆangulo raso (180◦ ). Exemplos: retˆ angulo, quadrado, etc,... Pol´ıgono Regular Pol´ıgonos ´ o pol´ıgono equil´atero e equiˆangulo simultaneamente. E Defini¸ c˜ ao: Consideremos, num mesmo plano, N ≥ 3 Exemplo: quadrado. pontos A1 , A2 , A3 , . . . , AN , ordenados de modo que trˆes consecutivos n˜ ao sejam colineares. Chama-se pol´ıgono A1 , A2 , A3 , . . . , AN , A1 ` a figura formada pela uni˜ ao dos N segmentos consecutivos entre os pontos: 3 5 6 4 A2 A1 7 8 9 10 13 14 A3 A5 A4 Regi˜ ao Poligonal 11 12 15 20 25 ´ a regi˜ao do plano formada pela uni˜ E ao dos pontos do pol´ıgono com os pontos do seu interior. Define-se que uma regi˜ ao do plano ´e convexa quando quaisNomenclatura quer dois pontos dessa regi˜ ao puderem ser unidas por segmentos de retas cujos infinitos pontos perten¸cam `a essa De acordo com o n´ umero de regi˜ ao. Se essa condi¸ca˜o falhar, diz-se que a regi˜ao ´e Nome N´ umero de Lados cˆ oncava. Triˆ angulo 3 lados Se a regi˜ao poligonal for convexa, o pol´ıgono ser´a denomiQuadril´atero 4 lados nado pol´ıgono convexo. Pent´ agono 5 lados Hex´agono 6 lados Hept´ agono 7 lados Oct´ogono 8 lados Ene´agono 9 lados Dec´ agono 10 lados D Undec´agono 11 lados Dodec´agono 12 lados C Pentadec´agono 15 lados Icos´ agono 20 lados Se a regi˜ao poligonal for cˆ oncava, o pol´ıgono ser´a denominado pol´ıgono cˆ oncavo. D 30 lados, temos: N´ umero de Diagonais Chama-se diagonal de um pol´ıgono a todo segmento de reta cujas extremidades s˜ao v´ertices n˜ ao consecutivos. O n´ umero de diagonais D de um pol´ıgono convexo de N lados (N ≥ 3) ´e dado por: D= C N (N − 3) 2 ˆ Soma dos Angulos Classifica¸ c˜ ao Pol´ıgono Equil´ atero ´ o pol´ıgono que tem todos os lados congruentes: E Em todo pol´ıgono convexo de N lados (N ≥ 3), sendo Si a soma dos ˆangulos internos e Se a soma dos ˆangulos externos tem-se: Si = (N − 2) · 180◦ 264 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br e Se = 360◦ 2α+10 o Circunferˆ encia o a+20 Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distˆancia R n˜ ao nula (raio), chama-se circunferˆencia o conjunto dos pontos do plano que distam R do ponto C. O 3. Determine a medida do ˆangulo β na figura: r o 3β+10 s R o 6β−20 O C Comprimento da Circunferˆ encia 4. Qual o n´ umero de diagonais do icos´agono? a) 150 b) 110 c) 210 d) 170 e) n. d. a. 5. Qual o n´ umero de lados de um pol´ıgono que possui 14 O comprimento de uma circunferˆencia, ou per´ımetro ´e dado diagonais? por a) 5 b) 7 c) 9 L = 2πR d) 11 e) n. d. a. C´ırculo ´ a regi˜ao limitada pela circunferˆencia, ou seja, ´e a uni˜ E ao do conjunto dos pontos interiores e dos pontos pertencentes a circunferˆencia. ` ´ Area do C´ırculo A´ area A de um c´ırculo ´e dada por 6. Determine a ´area do c´ırculo limitado pela circunferˆencia cujo comprimento ´e de 10π cm. a) 25π cm2 b) 16π cm2 c) 49π cm2 d) 36π cm2 e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares A = πR2 7. (FEI) Num pol´ıgono regular, o n´ umero de diagonais ´e o triplo do n´ umero de lados. A quantidade de lados desse pol´ıgono ´e: Pense um Pouco! a) 7 b) 8 • Arquimedes considerava que a circunferˆencia poderia c) 9 ser definida como um pol´ıgono regular com um grande d) 10 n´ umero de lados (muito pequenos). O que vocˆe acha e) 11 disso? 8. (MACK) A soma dos ˆangulos internos de um hept´ agono convexo ´e igual a: a) 1.260◦ Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao b) 540◦ c) 720◦ d) 900◦ 1. Qual ´e o ˆangulo que mede o dobro do seu complemento? e) 1.080◦ 2. Qual o valor de α na figura abaixo? 9. Num pol´ıgono convexo, a soma dos ˆangulos internos ´e cinco vezes a soma dos ˆangulos externos. Calcule o n´ umero ´tica C – Aula 14 Matema de diagonais desse pol´ıgono. a) 35 b) 44 c) 54 d) 90 e) n. d. a. 265 Classifica¸c˜ ao Quanto aos Lados Equil´ atero Possui os trˆes lados iguais. 10. Dois ˆangulos s˜ao complementares, sendo que um ´e o qu´ıntuplo do outro. Qual o valor do menor desses ˆ angulos: a) 10◦ b) 12◦ c) 17◦ d) 20◦ e) n. d. a. A c 11. Qual ´e o ˆangulo cujo suplemento ´e o triplo do seu B complemento: ◦ a) 35 b) 45◦ Is´ oceles c) 60◦ d) 15◦ Possui dois lados iguais. e) n. d. a. b a C 12. Cada um dos aˆngulos externos de um pol´ıgono regular mede 15◦ . Qual o n´ umero de diagonais desse pol´ıgono? a) 170 b) 252 c) 90 d) 144 e) n. d. a. 13. Cada um dos ˆangulos internos de um pol´ıgono regular mede 150◦ . Qual ´e o pol´ıgono? Escaleno a) oct´ogono Possui os trˆes lados diferentes. b) dec´ agono c) dodec´agono d) icos´ agono e) n. d. a. Matem´ atica C Aula 14 Triˆ angulos Defini¸c˜ ao ˆ Quanto aos Angulos Dados trˆes pontos n˜ ao colineares A, B e C, chama-se Retˆ angulo triˆangulo a uni˜ao dos trˆes segmentos AB, AC, BC. Possui um ˆangulo reto. ∆ABC = AB + AC + BC Elementos do Triˆ angulo • V´ertices: A,B e C; • Lados: AB, AC e BC; ˆ • Angulos internos: α, β e γ; ˆ angulo • Angulos externos: s˜ao os ˆ angulos suplementares aos Obtusˆ internos. Na figura, para o ˆ angulo interno γ, por exem- Possui um ˆangulo obtuso, ou seja, maior do que um ˆangulo plo, γex. ´e o ˆangulo externo. reto. 266 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Nesse triˆangulo ABC, retˆ angulo em A, temos: ο α > 90 • A, B, e C s˜ao v´ertices; • a ´e a hipotenusa (lado oposto ao ˆangulo reto); • b e c s˜ao catetos; Acutˆ angulo Possui todos os ˆangulos agudos, ou seja, menor do que um angulo reto. ˆ • h ´e a altura relativa `a hipotenusa; • m e n s˜ao as proje¸co˜es dos catetos b e c sobre a base (hipotenusa), respectivamente. Rela¸ co ˜es M´ etricas As rela¸co˜es entre essas medidas s˜ao chamadas de rela¸ co ˜es m´ etricas nos triˆangulos retˆ angulos. As principais s˜ao: Observa¸ co ˜es 1. Se o ∆ABC ´e is´ oceles, ent˜ ao os ˆ angulos da base s˜ao congruentes; 2. Se o ∆ABC ´e equil´atero, ent˜ ao os trˆes ˆ angulos internos s˜ao congruentes. a2 h2 = = b 2 + c2 mn a b2 = = m+n am ah = c2 = bc an Triˆ angulos Quaisquer Lei dos Senos Propriedades 1. existˆencia de triˆangulo: para existir o triˆangulo, cada Num triˆangulo qualquer, as medidas dos lados s˜ao proporum dos trˆes lados deve ser menor do que a soma dos cionais aos senos dos ˆangulos opostos. Isto ´e: outros dois; b c a 2. soma dos ˆangulos internos: a soma dos ˆ angulos internos = = ˆ ˆ ◦ sen A sen B sen Cˆ de qualuqer triˆangulo ´e 180 , ou dois ˆ angulos retos; 3. soma dos ˆangulos externos: em qualquer triˆangulo, Exemplo Resolvido cada ˆangulo externo ´e igual ` a soma dos internos n˜ ao Determine o valor de a, no triˆangulo abaixo: adjacentes. B γ = α+β 75 α a c=2,0 cm β 60 Triˆ angulo Retˆ angulo o o A Elementos Resolu¸ca˜o: ˆ + Cˆ = 180◦ , A = 60◦ e B = 75◦ , segue que Como Aˆ + B ◦ ˆ = 45◦ . Ent˜ C = 180 − Aˆ − B ao: Observe a figura abaixo: A a c b h m C sen Aˆ n a B = c sen Cˆ ⇒ 2, 0 cm a = ◦ sen 60 sen 45◦ √ 1/2 a = (2, 0 cm) √ = (2, 0 cm)/ 2 = 1, 4 cm 2/2 ´tica C – Aula 14 Matema 267 √ c) 3 √7 cm d) 2 21 cm Num triˆangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado e) n. d. a. ´e igual `a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados 3. Qual a altura relativa `a hipotenusa, de um triˆangulo angulo is´ oceles, cujos catetos medem x. pelo cosseno do ˆangulo formado entre eles. Por exemplo, retˆ √ ˆ a) x 2 para o lado a, oposto ao ˆ angulo A, temos: √ b) x √2/2 a2 = b2 + c2 − 2bc cos Aˆ c) 2x√ 2 d) x 2/3 Exemplo Resolvido e) n. d. a. Calcule a diagonal x do paralelogramo, cujos lados medem 4. Determine a diagonal de um retˆ angulo cuja ´area mede 10 cm e 5 cm, e formam um ˆ angulo de 60◦ entre si. 2.700√ m2 , sabendo que o comprimento ´e o triplo da largura. a) 45 √2 m b) 30√ 2 m 10 cm A B o c) 20 √10 m 60 d) 30 10 m x 5 cm e) n. d. a. Lei dos Cossenos 5. Calcule a altura de um triˆangulo equil´atero cujos lados medem √ a. a) a √2/3 Resolu¸ca˜o: b) a√ 3/4 Calculamos a diagonal x, aplicando a lei dos cossenos ao c) a √3/3 d) a 3/2 triˆangulo ABC: e) n. d. a. x2 = (10 cm)2 + (5 cm)2 − 2(10 cm)(5 cm) cos 60◦ 6. Um triˆangulo cujos lados menores medem 5 m e 12 m ´e x2 = (100 + 25 − 100 · (1/2)) cm2 retˆ angulo se, e somente se, o terceiro lado medir: √ √ a) 13 m x = 175 cm2 = 5 7 cm b) 14 m c) 15 m d) 16 m Pense um Pouco! e) n. d. a. D C • Como podemos obter quatro triˆangulos equil´ateros, 7. Um triˆangulo possui lados com medidas 5 cm e 3 cm, usando apenas seis palitos de f´ osforo? formando um ˆangulo 60◦ . Qual a medida do outro lado, em cm? √ a) √13 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao b) √ 19 c) √11 d) 7 1. No triˆangulo ∆ABC mostrado na figura, retˆ angulo em e) n. d. a. A, os catetos b e c, medem 6 cm e 8 cm, respectivamente. 8. A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde se 8 cm deseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 m de A B B, mediu-se o ˆangulo \ ACB = 45◦ e, do ponto A, mediu-se BAC = 30◦ . o ˆangulo \ h m 6 cm a n C Calcule o valor das medidas: a) da hipotenusa a; b) das proje¸co˜es m e n dos catetos sobre a hipotenusa. c) da altura h relativa ` a hipotenusa; 2. Determine a medida do menor cateto de um triˆangulo retˆ angulo, cuja hipotenusa mede 7 cm e a altura relativa `a √ 3 cm. hipotenusa mede 2 √ a) 2√ 7 cm b) 21 cm A 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 Qual ser´a o comprimento da ponte? a) 100 m b) 75 m √ c) 100 2 m B C 268 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC √ d) 75 2 m e) n. d. a. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Retˆ angulo Paralelogramo que possui todos os ˆangulos retos. Matem´ atica C Aula 15 D C A B Quadril´ ateros Dados quatro pontos de um mesmo plano A, B, C e D ordenados de modo que trˆes consecutivos n˜ ao sejam colineares, chama-se quadril´ atero a uni˜ ao dos quatro segmentos AB, BC, CD e DA. ABCD = AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA Quadril´ ateros Not´ aveis • valem as propriedades do paralelogramo; • as diagonais s˜ao congruentes; • os quatro ˆangulos s˜ao retos. Trap´ ezio Quadril´atero que possui dois lados paralelos. Losango ou Rombo Paralelogramo com dois lados adjacentes congruentes. D C r C D s r A B B AB e CD (bases) A AD e CB (lados transversais) • valem as propriedades do paralelogramo; Observa¸ co ˜es • se houver 1 ˆangulo reto ent˜ ao temos um trap´ ezio retˆ angulo; • se os lados transversais forem congruentes temos um trap´ ezio is´ oceles. Paralelogramo • as diagonais est˜ ao nas bissetrizes dos ˆangulos internos; • as diagonais s˜ao perpendiculares; • os quatro ˆangulos s˜ao congruentes. Quadrado Quadril´atero com lados opostos paralelos e congruentes ´ E um losango retˆ angulo. (iguais), dois a dois. D C D A A C B B Propriedades • os lados opostos s˜ao congruentes; • os ˆangulos opostos s˜ao congruentes; • as diagonais se cortam ao meio mutuamente. • possui os lados e ˆangulos congruentes; • diagonais perpendiculares e congruentes; • as diagonais se cortam ao meio, mutuamente; • as diagonais est˜ ao nas bissetrizes dos ˆangulos internos. ´tica C – Aula 15 Matema 269 Hierarquia entre Quadril´ ateros Quadrado Rela¸co˜es de inclus˜ao entre os conjuntos dos quadril´ ateros not´ aveis: l R Quadrilateros d Trapezios l l Paralelogramos Retangulos a =L / 2 Quadrados Losangos l Elementos l = lado d = diagonal Pol´ıgonos Regulares a = ap´otema (= r raio da circunferˆencia inscrita) S˜ ao aqueles que possuem todos os lados e todos os ˆangulos R = raio da circunferˆencia circunscrita. iguais. F´ ormulas √ d=l 2 Triˆ angulo Equil´ atero R = d/2 a = l/2 A ´area = l2 R l l Hex´ agono Regular h l r=a l l R l l a l L Elementos l = lado h = altura R = raio da circunferˆencia circunscrita a = ap´otema (=r raio da circunferˆencia inscrita) F´ ormulas l Elementos √ h = l 3/2 l = lado a = ap´otema (raio da circunferˆencia inscrita) R = Raio da circunferˆencia circunscrita. F´ ormulas R = 2h/3 r = h/3 R = 2r √ A´ area = l2 3/4 R=l √ a = l 3/2 √ A ´area = 3l2 3/2 Exerc´ıcio Resolvido Calcule a raz˜ ao entre as ´areas dos c´ırculos circunscrito e inscrito em um triˆangulo equil´atero. 270 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Resolu¸ca˜o: b) 8π Sendo A1 a ´area do c´ırculo circunscrito e A2 a ´ area do c´ırculo c) 7π d) 6π inscrito, temos: e) n. d. a. A1 πR2 (2a)2 = = =4 8. O valor da ´area sombreada na figura abaixo A2 πr2 a2 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 7 cm 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 c 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 1 cm 111111111111 000000000000 111111111111 Pense um Pouco! • O quadrado ´e um losango? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Assinale a alternativa falsa: a) todo quadrado ´e um retˆ angulo b) todo quadrado ´e um losango c) todo losango ´e um paralelogramo d) todo retˆ angulo ´e um paralelogramo e) todo trap´ezio ´e um paralelogramo ´e: a) 12 cm2 b) 14 cm2 c) 20√cm2 d) 6 7 cm2 2. O lado de um hex´ agono regular inscrito em uma circun- e) n. d. a. ferˆencia mede 4 cm. Calcule: 9. Qual a ´area do hex´ agono inscrito num c´ırculo cuja ´area a) O raio da circunferˆencia; 2 mede 16π cm . b) O ap´otema do hex´ agono; √ a) 36 √3 cm2 c) A ´ area do hex´ agono; b) 25√ 3 cm2 d) A ´ area do c´ırculo inscrito. c) 24 √3 cm2 3. Qual a ´area do c´ırculo que est´ a circunscrito a um qua- d) 20 3 cm2 2 drado de ´area igual a 100 cm ? e) n. d. a. 7) A ´area da regi˜ao sombreada na figura abaixo Exerc´ıcios Complementares 4. A raz˜ ao entre os comprimentos das circunferˆencias circunscrita e inscrita em um quadrado de lado 2 ´e: √ a) √2 b) 2/2 c) 2 √ d) 2 2 e) n. d. a. 5. Assinale a afirma¸ca˜o falsa: a) as diagonais de um paralelogramo s˜ao congruentes b) as diagonais de um losango s˜ao perpendiculares c) as diagonais de um losango s˜ao bissetrizes dos ˆangulos internos d) as diagonais de um retˆ angulo s˜ao congruentes e) as diagonais de um paralelogramo interceptam-se no ponto m´edio 6. Calcule a a´rea de um triˆangulo equil´atero circunscrito em c´ırculo de ´area igual a 25π cm2 . √ a) 25 √3 cm2 b) 15√ 3 cm2 c) 10 √3 cm2 d) 75 3 cm2 e) n. d. a. R l = 20 cm ´e: f) 50π cm2 g) 35π cm2 h) 25π cm2 i) 15π cm2 j) n. d. a. Matem´ atica C Aula 16 Circunferˆ encia Defini¸c˜ ao 7. A ´ area do c´ırculo circunscrito a um quadrado mede 18π. Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distˆancia Calcule a ´area do c´ırculo inscrito no quadrado. R n˜ ao nula (raio), chama-se circunferˆencia o conjunto dos a) 9π pontos do plano que distam R do ponto C. ´tica C – Aula 16 Matema Equa¸ c˜ ao Reduzida 271 Centro Seja a circunferˆencia de centro C(xC , yC ) e raio R e seja P (x, y) um ponto do plano. m = −2xC =⇒ xC = − m 2 O ponto P pertence ` a circunferˆencia se, e somente se, a distˆancia de P a C for igual a R. Da´ı teremos: n = −2yC =⇒ yC = − n 2 (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 finalmente  m n C = − ,− 2 2 que ´e a equa¸ c˜ ao reduzida da circunferˆencia. Raio Caso Particular 2 2 p = x2C + yC − R2 =⇒ R2 = x2C + yC −p Se C = (0, 0), ent˜ ao a equa¸ca˜o reduzida ser´a: ou seja x2 + y 2 = R2 q 2 −p R = + x2C + yC Exemplos Exemplo 1. Obter a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia de centro C(3, −2) e raio igual a R = 5. 1. Determinar o centro e raio da circunferˆencia de equa¸ca˜o: Resposta x2 + y 2 − 6x − 2y + 6 = 0. (x − 3)2 + (y + 2)2 = 25 2. Obter a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia de centro C(0, 0) e raio R = 3. Solu¸ c˜ ao A partir da equa¸ca˜o, temos: m = −6 =⇒ xC = − −6 m =− =3 2 2 n = −2 =⇒ yC = − n −2 =− =1 2 2 Resposta 2 2 x +y =9 p p = 6 =⇒ R = + 32 + 12 − 6 = 2 Equa¸ c˜ ao Geral Desenvolvendo-se a equa¸ca˜o reduzida (x−xC )2 +(y−yC )2 = R2 , obtemos: 2 x2 − 2xxC + x2C + y 2 − 2yyC + yC = R2 2 x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + x2C + yC − R2 = 0 Fazendo-se: Resposta Centro C = (3, 1) e raio R = 2. Pense um Pouco! • A circunferˆencia ´e uma linha plana? Comente. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 2 x2C + yC − R2 = p resulta x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + p = 0 que ´e a equa¸ c˜ ao normal (ou geral) da circunferˆencia. 1. Determine o centro e o raio da circunferˆencia de equa¸ca˜o (x − 5)2 + (y + 3)2 = 10. 2. Dar a equa¸ca˜o cartesiana de circunferˆencia de raio R = 4 e que est´ a centrada na origem. 3. Determine a equa¸ca˜o geral √ da circunferˆencia de centro C = (−2, 2), cujo raio R = 5. Determina¸c˜ ao do Centro e do Raio ıcios Complementares a) Dada a equa¸ca˜o (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 na forma Exerc´ reduzida, de imediato conclui-se que o centro ´e C(xC , yC ) e o raio ´e R. 4. Determine o centro C e o raio R da circunferˆencia x2 + 2 2 b) Dada a equa¸ca˜o x + y + mx + ny + p = 0 na forma y 2 − 8x − 6y + 21 = 0: normal, o centro e o raio s˜ao determinados comparando-se a) C(4, 3) e R = 2 coma equa¸ca˜o: x2 + y 2 − 2x xC − 2y yC + p = 0 b) C(−2, 5) e R = 3 272 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br c) C(4, −2) e R = 2 d) C(−2, 3) e R = 3 e) n. d. a. Pol´ıgonos e Figuras Planas 5. (FIC/FACEM) A equa¸ca˜o da circunferˆencia cujo centro est´ a na origem do sistema cartesiano e cujo raio ´e igual a 1/5 ´e: a) x2 + y 2 = 25 b) 25x2 + 25y 2 = 5 c) x2 + y 2 = 1/5 d) 25x2 + 25y 2 − 1 = 0 e) 25x2 + 25y 2 + 1 = 0 Chamamos de per´ımetro de um pol´ıgono `a soma dos comprimentos de seus lados. Geralmente, representa-se o per´ımetro por 2p, isto porque chama-se de p o semiper´ımetro do pol´ıgono. Per´ımetro Quando o pol´ıgono tem todos os lados iguais, o per´ımetro ´e igual ao produto do n´ umero de lados pelo comprimento de um deles. 6. (PUC) Uma circunferˆencia de centro C(−2, 5) limita Areas ´ de Figuras Planas um circulo cuja ´area ´e 3. Determinar a equa¸ca˜o da circunferˆencia. A ´area A de uma figura ´e um n´ umero (medida), associado a) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3√ `a sua superf´ıcie, que exprime a rela¸ca˜o existente entre esta b) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 3 superf´ıcie e a superf´ıcie de um quadrado de lado unit´ ario. c) (x + 2)2 + (y − 5)2 = 3 d) (x − 2)2 + (y + 5)2 = √ 3 Retˆ angulo e) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3 7. Qual ´e a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia, cuja equa¸ca˜o geral ´e x2 + y 2 − 8x + 7 = 0 ? a) (x + 4)2 + (y − 1)2 = 4 b) (x − 4)2 + y 2 = 9 c) (x − 4)2 + (y − 1)2 = 9 d) (x + 4)2 + y 2 = 4 e) n. d. a. Dado um retˆ angulo de comprimento (base) b e altura h: h b 8. O diˆametro da circunferˆencia x2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0, ´e: a) 5 A = bh e 2p = 2(b + h) b) 6 c) 8 Quadrado d) 10 e) n. d. a. Como um caso particular de retˆ angulo temos o quadrado de 9. (UFSC) Assinale a equa¸ca˜o que representa uma circun- lado l ferˆencia: a) 2x2 + 5y 2 − 2x + 10y + 1 = 0 b) x2 + y 2 + 2xy + 4x − 2y + 6 = 0 c) x2 + y + 2x − 1 = 0 d) x2 + y 2 + 4 = 0 e) x2 + y 2 − x = 0 l 2 2 10.√(UFPA) O raio da circunferˆencia x + y − 2x = 3 ´e: a) √2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 4 11. (UFSC) Em coordenadas cartesianas, a circunferˆencia 2x2 + 2y 2 − 4x + 2y = 0, tem centro C e raio r, respectivamente iguais a: √ a) C = (−2, 1) e r = 5√ b) C = (−1, 1/2) e r = 5/3 c) C = (2, 1) e r = 5 √ d) C = (2, −1) e r = 5√ e) C = (1, −1/2) e r = 5/2 Matem´ atica C Aula 17 l onde: A = l2 e 2p = 4l Como nem tudo a nossa volta s˜ao retˆ angulos e quadrados, tivemos a necessidade de calcular a ´area de outras figuras. E o mais interessante, ´e que atrav´es da ´area do retˆ angulo, podemos obter ´areas de outras figuras. Veja a seguir. Triˆ angulo Dado o triˆangulo de base b e altura h ´tica C – Aula 17 Matema 273 Trap´ ezio a c O trap´ezio ´e composto por dois triˆangulos, um de base B e outro de base b, ambos com altura h. h b b Comparando-se o triˆangulo com um retˆ angulo com o comprimento b e altura h, temos, encaixando o triˆangulo no retˆ angulo vemos que cabem dois triˆangulos. Ent˜ ao, fica f´acil calcular a ´ area do triˆangulo, pois esta ´e a metade da ´area do retˆ angulo. Assim: bh 2 A= e 2p = a + b + c h B Assim a ´area sua ´area: A= Paralelogramo Observe o paralelogramo de altura h e base b: a c a B+b h e 2p = a + b + c + B 2 C´ırculo r h b Recortando a parte sombreada do paralelogramo e colocando-a do outro lado, o paralelogramo transforma-se num retˆ angulo. Logo, conclu´ımos que a ´ area do paralelogramo ´e a mesma ´area do retˆ angulo. A = bh e 2p = 2(a + b) A = πr2 e 2p = 2πr Losango Pense um Pouco! Veja o losango de lado l, inscrito num retˆ angulo de base b e altura h: l l d h D l • (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual fam´ılia que come mais pizza: aquela que pede uma grande de 43 cm de diˆametro ou aquela que pede duas m´edias de 30 cm de diˆametro? l Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao b 1. (ACAFE) Em um quadrado, se aumentarmos em 2 cm um lado e em 3 cm o outro, obteremos um retˆ angulo cuja A diagonal maior do losango tem medida igual ao compri´area ´e 56 cm2 . A medida do lado do quadrado ´e: mento do retˆ angulo, D = b. a) 5 cm A diagonal menor tem medida igual a altura do retˆ angulo, b) 6 cm d = h. c) 4 cm Se recortarmos o losango em quatro triˆangulos, vemos que d) 7 cm a sua ´ area ´e a metade da ´ area do retˆ angulo. e) n. d. a. A= Dd 2 e 2p = 4l 2. A figura abaixo mostra um quadrado inscrito em uma circunferˆencia de raio R = 5 cm. 274 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br R 10 m 10 m A´ area desse quadrado, em cm2 ´e: a) 64 b) 81 c) 100 d) 50 e) n. d. a. ´e: a) (50π − 100) m2 b) (50π − 75) m2 c) (75π − 50) m2 d) (75π − 25) m2 3. Qual o per´ımetro de uma circunferˆencia cuja ´ area interna e) n. d. a. ´e 16π cm2 ? a) 16π cm b) 8π cm c) 16π cm d) 5π cm Retas e Planos e) n. d. a. Matem´ atica C Aula 18 4. A ´ area sombreada na figura abaixo 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 10 m 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 10 m ´e: a) 25 · (4 − π) m2 b) 75 m2 ˙ − π) m2 c) 100(4 d) 50 m2 e) n. d. a. Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos n˜ ao definidos, dos quais temos a intui¸ca˜o clara, e um sistema de axiomas ou postulados, que s˜ao proposi¸co˜es n˜ ao demonstradas, aceitas intuitivamente, que d˜ ao caracter´ısticas aos elementos n˜ ao definidos. Elementos Fundamentais Ponto, reta e plano: S˜ ao id´eias primitivas, entes que n˜ ao possuem defini¸ca˜o. Temos id´eias de ponto, por exemplo, um l´apis tocando o papel, sendo apenas uma imagem, pois n˜ ao h´ a dimens˜ao para tanto. Analogamente, possu´ımos a intui¸ca˜o de reta e de plano. Axiomas Axiomas ou postulados, s˜ao proposi¸co˜es aceitas como verdadeiras sem demonstra¸ca˜o e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. 5. O per´ımetro de uma circunferˆencia inscrita em um qua- Temos como axioma fundamental: existem infinitos pondrado de ´area 36 cm2 ´e: tos, retas e planos. a) 12π cm b) 6π cm Representa¸c˜ ao c) 9π cm d) 15π cm Pontos: A, B, C, . . . e) n. d. a. Retas: r, s, t, . . . 6. Qual a ´area de um losango, cuja soma das diagonais ´e Planos: α, β, γ, . . . igual a 27 cm e sua diferen¸ca 3 cm? a) 50 cm2 b) 70 cm2 c) 85 cm2 d) 90 cm2 e) n. d. a. 7. (Desafio) A ´area da parte hachurada da figura Postulados: Pontos e Retas 1. A reta ´e infinita, ou seja, cont´em infinitos pontos. 2. Por um ponto passam infinitas retas. 3. Dois pontos distintos determinam uma reta. 4. Um ponto de uma reta, divide-a em duas semi-retas. ´tica C – Aula 19 Matema 5. A intersec¸ca˜o de duas semi-retas, cada uma contendo a origem da outra, define um segmento de reta. Postulados: Plano 1. Por trˆes pontos n˜ ao-colineares, passa um u ´ nico plano. 2. O plano ´e infinito e ilimitado. 3. Por uma reta passam infinitos planos. 4. Toda reta pertencente a um plano divide-o em dois semiplanos. 275 ( ) Por trˆes pontos distintos quaisquer, passa sempre um u ´ nico plano. ( ) O n´ umero m´aximo de retas que quatro pontos podem determinar ´e seis. ( ) Se duas retas distintas n˜ ao s˜ao paralelas, ent˜ ao elas s˜ao concorrentes. ( ) Se a intersec¸ca˜o entre duas retas ´e o conjunto vazio, ent˜ ao elas s˜ao paralelas. ( ) Duas retas n˜ ao coplanares s˜ao reversas. ( ) Seis pontos determinam no m´aximo vinte planos. ( ) Se dois planos diferentes possuem um ponto em comum, ent˜ ao possuem uma reta em comum. Posi¸ c˜ oes Relativas de Duas Retas 2. Assinale a alternativas falsa: a) Existem infinitos planos. 1. Duas retas s˜ao paralelas se, e somente se, forem copla- b) Existem infinitos pontos. nares com intersec¸ca˜o vazia, ou retas coincidentes. c) Todo plano tem infinitos pontos 2. Duas retas s˜ao concorrentes, quando elas se intercep- d) Podemos definir ponto. tam (concorrem) em um u ´ nico ponto. e) Por dois pontos distintos passa uma u ´ nica reta. f) Toda reta tem infinitos pontos. 3. S˜ ao retas que n˜ ao se interceptam e n˜ ao s˜ao paralelas, g) Todo triˆangulo est´ a contido em u ´ nico plano. pois est˜ ao em planos diferentes. Determina¸c˜ ao de um Plano Al´em do postulado que diz: ”trˆes pontos n˜ ao-colineares determinam um u ´ nico plano”, um plano tamb´em pode ser determinado por: 1. Uma reta e um ponto n˜ ao-pertencente a essa reta. 2. Duas retas concorrentes. 3. Classifique cada afirma¸ca˜o como verdadeira (V) ou falsa (F): ( ) N˜ ao existe plano que contenha duas retas reversas. ( ) Se uma reta intercepta um plano, ent˜ ao todo plano paralelo a essa reta o intercepta. ( ) Dois planos podem ser iguais, concorrentes ou paralelos ( ) Se trˆes retas s˜ao paralelas entre si, duas a duas, existe um u ´ nico plano que as cont´em. ( ) Duas retas quaisquer determinam um plano. 4. Sobe uma circunferˆencia s˜ao marcados 8 pontos distintos. Quantas retas diferentes eles determinam, no m´aximo? a) 56 Posi¸ c˜ oes Relativas de Dois Planos b) 44 c) 28 1. Dois planos podem ser coincidentes quando forem d) 36 iguais (α = β). e) n. d. a. 2. Dois planos s˜ao concorrentes quando sua intersec¸ca˜o ´e 5. (ITA-SP) Quais as senten¸cas falsas nos itens abaixo? uma u ´ nica reta. 3. Dois planos s˜ao paralelos quando sua intersec¸ca˜o ´e va- I) Se dois planos s˜ao secantes, todas as retas de um deles sempre interceptam o outro plano. zia. II) Dados dois planos, se num deles existem duas retas distintas paralelas ao outro plano, os planos s˜ao sempre paralelos. Pense um Pouco! III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um s˜ao pa• Qual a quantidade m´ınima de pontos que se deve ter ralelas ao outro plano. IV) Se uma reta ´e paralela a um plano, em tal plano existe para que se obtenha 15 retas diferentes? uma infinidade e retas paralelas `aquela reta. ´ poss´ıvel que duas retas coplanares sejam reversas? • E V) Se uma reta ´e paralela a um plano, ´e paralela a todas as • Quantos planos distintos, podem ser determinados, retas do plano. a) I, II e III utilizando-se os v´ertices de um cubo? b) I, II e V c) I, III e IV d) II, III e IV Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao e) n. d. a. 3. Duas retas paralelas distintas. 1. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirma¸ca˜o abaixo: ( ) Dados dois pontos distintos, existe um u ´ nico plano passando por eles. ( ) Os v´ertices de um triˆangulo s˜ao coplanares (est˜ao no mesmo plano). ( ) Uma reta qualquer, separa um plano que a cont´em em dois semi-planos. 6. Uma reta r ´e paralela a um plano α. Ent˜ ao: a) todas as retas de α s˜ao paralelas a r b) r n˜ ao pode ser coplanar com nenhuma reta de α c) existem em α retas paralelas a r e tamb´em retas reversas a r. d) α cont´em retas paralelas e perpendiculares a r. e) todo plano que cont´em r ´e paralelo a α. 276 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Matem´ atica C Aula 19 Poliedros ˆ Angulo poli´ edrico (a) Sejam n (n ≥ 3) semi-retas de mesma origem tais que nunca fique trˆes num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n aˆngulos em que o plano de cada uma deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espa¸co. A figura formada por esses ˆangulos ´e o ˆ angulo poli´ edrico. (b) Figura 1: Poliedro cˆ oncavo (a) e convexo (b). Nome tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro octaedro dodecaedro icosaedro S´ olidos Poli´ edricos S˜ ao s´olidos limitados por faces planas e poligonais. Veja alguns exemplos: N´ umero de Faces (F ) 4 5 6 7 8 12 20 Rela¸ c˜ ao de Euler Em todo poliedro convexo ´e v´alida a rela¸ca˜o seguinte: (a) V −A+F =2 (b) em que V ´e o n´ umero de v´ertices, A ´e o n´ umero de arestas e F , o n´ umero de faces. Exemplos (a) (b) Elementos Faces (F ) S˜ ao os pol´ıgonos que constituem a superf´ıcie poli´edrica. Arestas (A) S˜ ao os lados dos pol´ıgonos (segmento e reta que une dois v´ertices consecutivos). V´ ertices (V ) V = 8, A = 12, F = 6 =⇒ 8 − 12 + 6 = 2 S˜ ao os v´ertices ˆangulos poli´edricos do s´olido. Diagonais S˜ ao os segmentos de reta que unem dois v´ertices opostos situados ou n˜ ao na mesma face. Tipos Poliedros Convexos Um poliedro ´e dito convexo se o plano de cada pol´ıgono (face) deixa o poliedro em um s´o semi-espa¸co, e portanto, n˜ ao o secciona em dois s´olidos menores. Classifica¸ c˜ ao Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo V = 12, A = 18, F = 8 =⇒ 12 − 18 + 8 = 2 Exemplo Resolvido com o n´ umero de faces, como por exemplo: ´tica C – Aula 20 Matema 277 Qual o n´ umero de arestas e de v´ertices que tem um poliedro 2. Determine o n´ umero de arestas de um poliedro convexo convexo de 20 faces, todas triangulares? com 5 faces quadrangulares e 6 faces triangulares. a) 20 Resolu¸ca˜o: b) 15 Nas 20 faces triangulares temos 20 × 3 = 60 arestas. Por´em, c) 10 cada aresta, por ser comum a duas faces, foi contada duas d) 8 vezes, ou seja: e) n. d. a. A = F/2 = 30. 3. Em um poliedro regular o n´ umero de arestas excede o Temos F = 20 e A = 30 e da rela¸ca˜o de Euler, n´ umero de v´ertices em 10 unidades. Sabendo que o n´ umero de faces ´ e igual 12, determine o n´ u mero de v´ e rtices do V = A − F + 2 = 30 − 20 + 2 = 12 mesmo. a) 8 Poliedros Regulares ou de Plat˜ ao b) 6 c) 20 Diz-se que um poliedro ´e regular (ou platˆonico) se, e so- d) 12 mente se: e) n. d. a. a) for convexo; b) em todo v´ertice concorrer o mesmo n´ umero de arestas; 4. Um poliedro platˆonico tem 12 v´ertices e em cada v´ertice c) toda face tiver o mesmo n´ umero de arestas; concorrem 5 arestas. O totais de arestas e de faces do polid) for v´alida a rela¸ca˜o de Euler. edro, respctivamente, s˜ao: a) 20 e 30 b) 30 e 20 c) 20 e 15 d) 15 e 20 e) n. d. a. (a) (b) 5. Determine o n´ umero de arestas e v´ertices de um poliedro convexo de 20 faces, das quais 11 s˜ao triangulares, 2 Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro ´e platˆonico e quadrangulares e 7 pentagonais. a) A = 36 e V = 20 o segundo, n˜ ao-platˆonico. b) A = 30 e V = 25 Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros regulares c) A = 38 e V = 20 ou de Plat˜ao (THODI): d) A = 20 e V = 36 e) n. d. a. Poliedro F V A n P Tetraedro 4 4 6 3 3 Hexaedro 6 8 12 4 3 Octaedro 8 6 12 3 4 Dodecaedro 12 20 30 5 3 Icosaedro 20 12 30 3 5 Matem´ atica C Aula 20 Prismas Onde: n ´e n´ umero de arestas em cada face; p ´e n´ umero de arestas que saem de cada v´ertice. Prisma ´e um s´olido geom´etrico delimitado por faces planas, onde suas bases situam-se em planos paralelos (αkβ) Pense um Pouco! • Uma pirˆ amide com base quadrada (tipo aquelas do Egito) podem ser um s´olido de Plat˜ao? Justifique. α h Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 v´ertices. Calcule o n´ umero de arestas. a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) n. d. a. β Elementos: Altura h: ´e a distˆancia entre as bases; Arestas laterais: possuem a mesma medida e s˜ao paralelas; Faces laterais: s˜ao paralelogramos; Bases: s˜ao pol´ıgonos congruentes. 278 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Natureza Os prismas s˜ao triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais etc., conforme suas bases sejam triˆangulos, quadril´ ateros, pent´ agonos, hex´ agonos, etc... D d c Classifica¸c˜ ao b Prisma Reto a As arestas laterais s˜ao perpendiculares aos planos das bases. Prisma Obl´ıquo As arestas laterais s˜ao obl´ıquas em rela¸ca˜o aos planos das bases. Num paralelep´ıpedo retˆ angulo de dimens˜oes a, b, e c, sendo D a medida de uma de suas diagonais principais (internas), tem-se: p D = a 2 + b 2 + c2 At = 2(ab + ac + bc) V = abc Hexaedro Regular (CUBO) α h ´ o paralelep´ıpedo reto-retˆangulo cujas seis faces s˜ao quaE dradas. o θ=90 β Figura 1: Prisma reto (esquerda) e obl´ıquo (esquerda). D Prisma regular l d ´ um prisma reto cujas bases s˜ao pol´ıgonos regulares. E ´ Areas e Volumes l Sendo Al a ´area lateral de um prisma (soma das a´reas de cada face lateral). Ab a ´ area de uma de suas bases e At a sua ´ area total, temos: At = Al + 2Ab l Para um cubo de aresta l: Num prisma cuja ´area da base ´e Ab e altura h, o volume ´e dado por: √ d=l 2 √ D=l 3 V = Ab h At = 6l2 V = l3 Paralelep´ıpedos S˜ ao prismas cujas bases s˜ao paralelogramos. Pirˆ amides Conceito e Elementos Paralelep´ıpedo Reto-Retˆ angulo Ou paralelep´ıpedo retˆ angulo ´e todo paralelep´ıpedo reto cujas bases s˜ao retˆ angulos. Consideremos um pol´ıgono A, B, C, . . ., situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se pirˆ amide `a uni˜ao dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do pol´ıgono. Uma pirˆ amide n˜ ao ´e um prisma. ´tica C – Aula 20 Matema 279 V β ap al α g e R h ab h onde: V: ˆ angulo s´olido (ˆ angulo poli´edrico); h: altura (distˆ ancia) do v´ertice ao plano da base; al : aresta lateral; ab : aresta da base. Elementos Natureza A pirˆ amide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc..., conforme sua base seja um triˆangulo, quadril´ atero, pent´ agono, etc... Pirˆ amide Regular ´ E aquela cuja base ´e um pol´ıgono regular e a proje¸ca˜o do v´ertice V sobre o plano da base coincide com o centro da base. ´ Area e Volume : Sendo: R: raio do circulo circunscrito ` a base; r: raio do circulo inscrito ` a base (ap´ otema da base); l: aresta da base; ap: ap´otema da pirˆ amide; h: altura da pirˆ amide; al: aresta lateral. R: raio da base; h: altura; e: eixo do cilindro; g: geratriz. Sec¸ co ˜es de um Cilindro Sec¸ c˜ ao Transversal ´ a intersec¸ca˜o do cilindro por um plano paralelo `as bases, E gerando c´ırculos de raio R. Sec¸ c˜ ao Meridiana ´ E a intersec¸ca˜o do cilindro por um plano que cont´em o cont´em o eixo e, gerando um retˆ angulo de base 2R e altura h. ´ Areas e Volumes Tem-se que: Al = 2πRh Ab = πR2 Al = pap At = Al + 2Ab = πR(R + 2h) V = Ab h = πR2 h At = Al + Ab Ab h V = 3 Cilindro Circular Reto Cone Conceito Cone circular reto ´e o s´olido de revolu¸ca˜o ´e obtido pela rota¸ca˜o completa de um triˆangulo retˆ angulo em torno de um dos seus catetos. Conceito e Elementos Classifica¸ c˜ ao Cilindro de revolu¸ca˜o ou cilindro circular reto ´e o s´olido obtido pela rota¸ca˜o completa de um retˆ angulo em torno de Cone Reto Possui o eixo perpendicular `a base. um dos seus lados. 280 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br e e V g h R O R Considere a figura acima, tem-se: R: ´e o raio do cone; h: ´e a altura do cone; g: ´e a geratriz; V : ´e o v´ertice; O: centro do c´ırculo (base). ´ Rela¸ co ˜es, Areas e Volumes Superf´ıcie Esf´ erica ´ o conjunto dos pontos do espa¸co cuja distˆancia ao cento E O ´e igual ao raio R. ´ Area e Volume At = 4πR2 g 2 = R 2 + h2 V = Ab = πR2 Pense um Pouco! Al = 2πRg At = Ab + Al = πR(R + 2g) V = 4πR3 3 Ab h πR2 h = 3 3 • Imagine uma esfera de massinha de modelar de raio R. Quantas esferas menores de raio R/2 poderemos fazer, com o mesmo volume total de massinha? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Cone Obl´ıquo Possui o eixo obl´ıquo em rela¸ca˜o ao plano da base. V h g α 1. (PUC) Com uma lata de tinta ´e poss´ıvel pintar 50 m2 de parede. Para pintar as paredes de uma sala (forma de prisma) de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura, gasta-se uma lata e mais uma parte da segunda lata. Qual a percentagem de tinta que resta na segunda lata? a) 22% b) 30% c) 48% d) 66% e) 72% 2. Um triˆangulo retˆ angulo com hipotenusa de 13 cm e com um cateto de 5 cm ´e base de um prisma reto de 8 cm de altura. Calcular a ´area total do prisma. Esfera a) 150 cm2 b) 300 cm2 Defini¸ca˜o: c) 270 cm2 ´ o conjunto dos pontos do espa¸co cuja distˆancia ao centro d) 240 cm2 E O s˜ao menores ou iguais ao raio R. e) n. d. a. ´tica C – Aula 20 Matema 3. Calcule o volume de uma caixa d’´agua em forma de prisma reto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base ´e um losango cujas medidas das diagonais s˜ao 7 m e 10 m. a) 420 mil litros b) 19 mil litros c) 210 litros d) 210 mil litros e) n. d. a. Exerc´ıcios Complementares 4. (MACK-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de ´ area lateral. Seu volume vale: a) 16 m3 b) 32 m3 c) 64√m3 d) 4 √3 m3 e) 16 3 m3 5. Qual o volume de uma esfera cuja ´ area de sua superf´ıcie mede 36 cm2 ? a) 25/sqrtπ cm3 b) 36π cm3 c) 36/sqrtπ cm3 d) 49/sqrtπ cm3 e) n. d. a. 6. Qual deve se a altura de um cone circular reto, para que tenha seu volume igual ao de uma esfera de mesmo raio do cone e igual a 5 cm? a) 20 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 21 cm e) n. d. a. 7. Qual o volume de uma pirˆ amide quadrangular reta cuja area da base mede 100 cm2 e possui altura igual ao triplo ´ da aresta da base. a) 750 cm3 b) 1000 cm3 c) 1250 cm3 d) 1500 cm3 e) n. d. a. 281 282 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Parte IV L´ıngua Portuguesa L´ıngua Portuguesa – 01 L´ıngua Portuguesa 01 285 Pense um Pouco! O conhecido an´ uncio publicit´ ario a seguir, publicado em revistas de informa¸ c a ˜ o, faz uso intencional de variante coloVariantes Lingu´ısticas quial da l´ıngua portuguesa. Que marcas, presentes no texto uncio poderiam caracterizar essa variante? Mesmo intuitivamente, todos sabemos que uma l´ıngua, do an´ como a portuguesa, n˜ ao ´e falada do mesmo modo por todos os seus falantes. Ao contr´ ario, a l´ıngua varia conforme ıcios de Aplica¸ c˜ ao varie a classe social do falante, o local onde ele nasceu ou Exerc´ reside, a situa¸ca˜o em que ele deve falar ou escrever, etc. A descri¸ca˜o de um idioma n˜ ao pode desconsiderar esse tipo 1. (UFV-MG) Suponha um aluno se dirigindo ao colega de de fenˆomeno e deve, portanto, englobar a no¸ca˜o de varian- classe nestes ternos: ”Venho respeitosamente solicitar-lhe tes lingu´ısticas. Basicamente, uma l´ıngua sofre varia¸co˜es de se digne emprestar-me o livro”. A atitude desse aluno se acordo com cinco eixos. assemelha `a atitude do indiv´ıduo que: a) comparece ao baile de gala trajando ”smoking”; b) vai `a audiˆencia com uma autoridade de ”short”e camiseta; c) vai `a praia de terno e gravata; d) p˜ oe terno e gravata para ir falar na Cˆamara dos Deputados; e) vai ao Maracan˜a de chinelo e bermuda. ˜ INSTRUC ¸ AO. Texto para as duas quest˜ oes seguintes. Observe uma pessoa contando para outra o procedimento para usar a nova impressora: ”Primeiro a gente pega as folhas e p˜ oe aqui, nessa parte de baixo. Da´ı, a gente liga nesse bot˜aozinho e d´ a o comando no computador. Da´ı a gente fica esperando um pouco e logo ´ super f´acil”. ela imprime. E 2. (UNITAU - SP) Quanto ao uso de ”a gente”, responda: a) Est´ a adequado tanto na l´ıngua oral informal quanto na l´ıngua escrita formal porque refere-se a ”todos n´ os”. b) Est´ a adequado na l´ıngua oral informal por ser a forma usual de se dizer ”n´os”, mas est´ a inadequado na l´ıngua escrita formal, a qual privilegia o uso de ”n´os”. ´ o mais adequado na l´ıngua oral informal e na l´ıngua c) E escrita formal porque refere-se a ”n´os”. ´ o mais adequado na l´ıngua oral informal e na l´ıngua d) E Uma varia¸ca˜o inicial diz respeito ` as modalidades escrita e escrita formal por ser uma forma de dizer ”n´os”. falada. Normalmente, parece pedante falar como se escreve, e) Est´ a adequado na l´ıngua oral formal, mas n˜ ao na l´ıngua e infantil escrever como se fala. Em segundo lugar, existe escrita formal por querer dizer ”n´os”. a varia¸ca˜o regional, que define, por exemplo, o sotaque e as express˜oes t´ıpicas de cada lugar do pa´ıs. Bastante im- 3. (UNITAU-SP) As palavras de liga¸ca˜o ”Primeiro... Da´ı... portante ´e a varia¸ca˜o social, que determina duas normas Da´ı...”, comuns na l´ıngua oral informal, podem ser subsb´ asicas: a norma culta, transmitida pela tradi¸ca˜o escolar, titu´ıdas a contento na l´ıngua escrita formal pelos seguintes e a norma popular. Existe tamb´em a varia¸ca˜o de ´epoca. marcadores, respectivamente: Como se sabe, a l´ıngua sofre transforma¸co˜es com o tempo. a) Primeiro... Logo... Portanto... As pessoas, inclusive, falam de modo diferente de acordo b) A princ´ıpio...Conclusivamente... Portanto... com a idade. Por fim, h´ a o eixo da varia¸ca˜o de estilo, que c) Primeiramente... Segundamente... Conclusivamente... define, por exemplo, o modo formal e o modo informal de d) Primeiramente... A seguir... Finalmente... falar. Note que a varia¸ca˜o formal/informal n˜ ao ´e idˆentica `a e) A princ´ıpio... Finalmente... Logo... varia¸ca˜o culto/popular. Um advogado, por exemplo, fala de modo formal com o juiz num tribunal e de modo informal com a fam´ılia em casa, mas ser´a sempre um falante culto. Exerc´ıcios Complementares Resumindo, as variantes lingu´ısticas s˜ao: • Modalidade escrita e modalidade falada; • Variantes Regionais; • Variantes Sociais (norma culta e normal popular); • Variantes de ´epoca; • Variantes de estilo (formal e informal). 4. (ENEM) O texto mostra uma situa¸ca˜o em que a linguagem usada ´e inadequada ao contexto. Considerando as diferen¸cas entre l´ıngua oral e l´ıngua escrita, assinale a op¸ca˜o que representa tamb´em o uso da linguagem inadequada ao contexto: a) ”O carro bateu e capotˆo, mas num deu pra vˆe direito.um pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro 286 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br que vai passando. b) ”E a´ı, ˆo meu! Como vai essa for¸ca?- um jovem que fala para um amigo. c) ”S´o um instante, por favor. Eu gostaria de fazer uma observa¸ca˜o.- algu´em comenta em uma reuni˜ ao de trabalho. d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar-me ao cargo de Secret´ aria Executiva desta conceituada empresa.é uma palavra proparoxítona algu´em que escreve uma carta candidatando-se a um emprego. e) ”Porque se a gente n˜ ao resolve as coisas como tˆem que Exemplos ser, a gente corre o risco de termos, num futuro pr´oximo, V´ıtima, m´edico, ˆanimo, titˆ anico, r´apido, rid´ıculo, m´odulo, muito pouca comida nos lares brasileiros.- um professor uni- catastr´ ofico, hiperb´ olico. versit´ario em um congresso internacional. TÔ − NI − CA Parox´ıtonas 5. (UFU-MG) Assinale a u ´ nica alternativa em que n˜ ao ocorre o emprego de express˜oes coloquiais: Acentuam-se as parox´ıtonas terminadas em: a) – Ele pode decidir... - disse P´e-de-Vento. Tinha esperan¸cas de ser escolhido por Quincas para herdar Quit´eria, • r: car´ ater, rev´olver, cad´aver seu u ´ nico bem. (J. Amado) • n: h´ıfen, p´ olen, pr´oton, nˆeutron b) – Calma, companheiro. N˜ ao tava querendo lhe lesar. (J. Amado) • l: f´acil, r´eptil, m´ıssil, f´ossil c) – Boa tarde, damas e cavalheiros. A gente queria ver • x: t´ orax, l´atex ele... (J. Amado) d) – Apesar dos pesares, ´e meu pai. N˜ ao quero que seja • i ou is: t´ axi, t´ axis, j´ uri enterrado como um vagabundo. Se fosse seu pai, Leonardo, • u ou us: ˆanus, bˆ onus, ˆonus vocˆe gostava? (J. Amado) e) – Fala tamb´em, desgra¸cado... -Negro Pastinha, sem • um ou uns: ´albuns, f´orum se levantar, espichava o poderoso bra¸co, sacudia o rec´em• ps: b´ıceps, f´orceps chegado, um brilho mau nos olhos. - Ou tu acha que ele era ruim? (J. Amado) • a ˜ ou a ˜s: ´ım˜ a, ´orf˜a 6. (UEL-PR) A frase que cont´em uma marca de oralidade ´e: a) O sertanejo tem que falar cultura. b) Essa cultura ´e muito diferente da nossa. ´ um processo que n˜ c) E ao est´ a fundado na palavra escrita. d) Mas, como sou sertanejo, e filho de uma fam´ılia metade comunista metade reacion´ aria, n´e? e) ... talvez eu possa fazer algumas armadilhas para que vocˆes me fa¸cam perguntas... L´ıngua Portuguesa 02 • - oo ou oos: voos, enjoo, entoo Acentuam-se tamb´em as parox´ıtonas terminadas em ditongo oral ou nasal, seguido ou n˜ ao de s. (´ orf˜ao, ´org˜ aos, col´egio, f´erias). N˜ ao se acentuam as parox´ıtonas terminadas pelas vogais a, e ou o, e pela consoante nasal m. (cantam, sorriam, batiam). Como particularidade, n˜ ao se acentuam as parox´ıtonas terminadas em ns, o que faz com que certos termos se acentuem no singular, mas n˜ ao no plural. (h´ıfen, hifens, p´ olen, polens). Ox´ıtonas Acentuam-se as ox´ıtonas terminadas em: Acentua¸ c˜ ao Gr´ afica • a ou as: sof´as, Par´a, Corumb´ a e futuros, como amar´ a e morrer´ as. Princ´ıpios da Acentua¸c˜ ao Gr´ afica • e ou es: rap´e, caf´es, at´e, vocˆes. • o ou os: avˆo, av´o, cip´ o, gigolˆ os. Na l´ıngua portuguesa, segundo o crit´erio de tonicidade, ou seja, a posi¸ca˜o da s´ılaba tˆ onica como sendo a u ´ ltima, a • em ou ens: tamb´em, parab´ens. pen´ ultima ou a ante-pen´ ultima, as palavras s˜ao classificadas como ox´ıtonas, parox´ıtonas ou proparox´ıtonas, respecti- N˜ ao se acentuam, portanto, ox´ıtonas terminadas com as vovamente. Quando a palavra levar acento gr´ afico, este cair´a gais i(s) e u(s), de modo que, apesar de bastante frequentes, sempre sobre a vogal da s´ılaba tˆ onica. n˜ ao s˜ao adequados escritos em que se leia Pacaemb´ u, It´ u ou Barigu´ı, para as palavras que se devem grafar Pacaembu, Itu e Barigui. Proparox´ıtonas Todas as proparox´ıtonas s˜ao acentuadas. Ressalte-se tamb´em que as palavras terminadas em z n˜ ao est˜ ao contempladas pelas regras por serem sempre ox´ıtonas: capaz, algoz. L´ıngua Portuguesa – 03 Monoss´ılabos Tˆ onicos Recebem acento os monoss´ılabos tˆ onicos terminados em a, e, o, seguidos ou n˜ ao de s. Exemplos 1. a(s): p´ a, m´a, l´a, tr´ as; 2. e(s): f´e, p´es, vˆe, lˆes; 3. o(s): l´o, n´ os, v´os, pˆ os. 287 ”Ainda hoje existe no sagu˜ao do pa¸co imperial, que no tempo em que se passou esta nossa historia se chamava Palacio del-rei, uma saleta ou quarto que os gaiatos e o povo com eles denominavam o Patio dos Bichos. Este apelido lhe fora dado em consequencia do fim para que ele ent˜ ao servia: passavam ali todos os dias do ano tres ou quatro oficiais superiores, velhos, incapazes para a guerra e inuteis na paz, que o rei tinha a seu servi¸co n˜ ao sabendo se com mais alguma vantagem de soldo, ou se so com mais a honra de serem empregados no real servi¸co.”(Manuel Ant´ onio de Almeida, Mem´ orias de um sargento de mil´ıcias). Pense um Pouco! Exerc´ıcios Complementares Diante da vis˜ao de um pr´edio com uma placa indicando SAPATARIA PAPALIA, um jovem deparou com a d´ uvida: como pronunciar a palavra PAPALIA? 4. (UFRGS-RS) A grafia dos nomes pr´oprios nem sempre Levado o problema `a sua sala de aula, a discuss˜ ao girou segue as regras ortogr´aficas da l´ıngua portuguesa. O nome uncia com que em torno da utilidade de conhecer as regras de acentua¸ca˜o L´ıvia, por exemplo, de acordo com a pron´ e, especialmente, do aux´ılio que elas podem dar ` a correta ocorre usualmente, deve receber acento gr´afico. A regra que avel pron´ uncia de palavras. Ap´os discutirem pron´ uncia, regras determina o uso do acento neste caso ´e a mesma respons´ de acentua¸ca˜o e escrita, trˆes alunos apresentaram as seguin- pelo acento gr´afico em: a) epis´odios; tes conclus˜oes a respeito da palavra PAPALIA: I. Se a s´ılaba tˆ onica for o segundo PA, a escrita deveria ser b) a´ı; une; ´ PAPALIA, pois a palavra seria parox´ıtona terminada em c) re´ d) estr´ eia; ditongo crescente. e) n´ o s. II. Se a s´ılaba tˆ onica for LI, a escrita deveria ser PAPAL´IA, pois n˜ ao haveria raz˜ ao para o uso de acento gr´ afico. 5. O trecho a seguir foi copiado sem acentua¸ca˜o. Leia-o atentamente e acentue os voc´ abulos que assim o exigirem: Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Acentue, se necess´ario, os voc´ abulos destacados nas frases a seguir: a) N˜ ao posso atendˆe-lo no momento, mas minha secretaria, dona Vanessa, agendar´a uma reuni˜ ao para a pr´oxima semana. b) O aluno Bruno de Alencar deve comparecer imediatamente a` secretaria da escola. c) Lu´ıs, que agora retornava ` a casa paterna, com 30 anos rec´em-completados, dela partira aos vinte anos. d) Quando o sol raiar, Lu´ıs partira novamente. e) Acho inconceb´ıvel que alguns pais n˜ ao amem os filhos. f) E que o arroz n˜ ao falte alem do toler´ avel. (Jos´e Saramago, Memorial do convento) g) O voo das aves sempre nos causa encantamento. h) Hoje s˜ao muito mais raros os partos feitos com forceps. i) Acho desagrad´ avel rever velhos albuns de familia. 2. (CESGRANRIO-RJ) Indique o item no qual os voc´ abulos obedecem `a mesma regra de acentua¸ca˜o da palavra n´ odoa: a) ˆ ansia, ˆambar, imund´ıcie; b) m´ıope, im˜ a, enjoo; c) ´ agua, tˆenue, sup´erfluo; d) ´ımpar, m´ıngua, lˆanguida; e) vi´ uvo, argˆenteo, s´ordido. 3. O trecho a seguir foi copiado sem acentua¸ca˜o. Leia-o atentamente e acentue os voc´ abulos que assim o exigirem: ”O documento acaba sendo o eco de uma polemica anterior `a cupula propriamente dita, surgida nas tres reuni˜oes preparatorias. Apos a ultima delas, em janeiro, um grupo de ONGs (Organiza¸co˜es N˜ ao-Governamentais) lan¸cou documento condenando o texto da declara¸ca˜o final da Cupula do Homem, ja ent˜ ao em vers˜ao praticamente definitiva. Diziam as ONGs: ”A confian¸ca exagerada colocada pˆelos documentos em for¸cas de mercado indefinidas e n˜ ao reguladas, como base para a organiza¸ca˜o das economias nacionais, contradiz nossa opini˜ao, segundo a qual tais for¸cas n˜ ao s˜ao solu¸ca˜o, mas fatores que contribuem para as crises sociais do mundo atual”. Uma das ONGs signatarias ´e o Ibase, o instituto brasileiro dirigido pelo sociologo Herbert de Souza, o Betinho, agora membro do comite do Programa Comunidade Solidaria, do governo Fernando Henrique Cardoso. As ONGs n˜ ao est˜ ao sozinhas na critica ao mercado. No seu discurso na inaugura¸ca˜o da reuni˜ao, o premie dinamarques Poul Nyrup Rasmussen (social-democrata) foi claro: ”Nos aprendemos que o progresso social n˜ ao se realiza simplesmente por meio das for¸cas de mercado”. Ate o presidente da cupula, Juan Somavia, embaixador chileno nas Na¸co˜es Unidas, expressa duvidas n˜ ao sobre o mercado propriamente mas sobre a austeridade fiscal, outro preceito zelosamente guardado pelo FMI. ”Equilibrar o or¸camento e uma boa coisa, mas por que deve-se alcan¸car um equil´ıbrio macroe-conomico baseado em desequilibrios nas vidas das pessoas?”, pergunta Somavia. (Cl´ovis Rossi, Folha de S. Paulo, Agˆencia Folha, 07 mar. 1995.) L´ıngua Portuguesa 03 288 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Concordˆ ancia Nominal REGRA GERAL Os termos que dependem do nome (substantivo) com ele concordam em gˆenero e n´ umero. Exemplos Os nossos m´edicos descobriram a cura da doen¸ca. Passamos bons momentos juntos. CASOS ESPECIAIS — www.mundofisico.joinville.udesc.br • Sujeito n˜ ao determinado: adjetivo fica invari´avel. ´ E proibido entrada de estranhos. Cerveja ´e bom para os rins.. • Sujeito determinado: adjetivo concorda em gˆenero e n´ umero. ´ proibida a entrada de estranhos. E Esta cerveja ´e boa para os rins. 7. Adjetivo = Predicativo do Objeto • Objeto simples: adjetivo concorda em gˆenero e n´ umero. Encontrei tristonha a mulher abandonada. 1. Adjetivo = Adjunto Adnominal em rela¸ca˜o a dois ou mais substantivos: • Objeto composto: adjetivo fica no masculino plural. Encontrei tristonhos a mulher e o jovem abandonados. • De mesmo gˆenero: adjetivo no singular ou plural. A vontade e a inteligˆencia humana(s). As conquistas e as descobertas portuguesas. 8. Dois ou mais numerais + substantivo no singular ou plural. A primeira, a segunda e a u ´ltima aula(s). • De gˆeneros diferentes: adjetivo concorda com o mais pr´oximo ou fica no masculino plural. O carro e a bicicleta envenenada(os). O trabalho e as realiza¸co ˜es conseguidas(os). Observa¸ca˜o: Adjetivo anteposto concorda com o mais pr´oximo. Observam-se boa disciplina, estudo e trabalho. Pense um Pouco! A placa a seguir apresenta erro de concordˆancia entre o substantivo e o adjetivo em fun¸ca˜o do adjunto adnominal? 2. Um substantivo com dois ou mais adjetivos, temos trˆes possibilidades: Estudamos a civiliza¸ca ˜o grega e romana. Estudamos a civiliza¸ca ˜o grega e a romana. Estudamos as civiliza¸co ˜es grega e romana. 3. Mesmo, pr´ oprio, s´ o, anexo, incluso, junto, bastante, nenhum, leso, meio e partic´ıpios verbais: concordam em gˆenero e n´ umero com o termo a que se referem. Enviamos anexas as informa¸co ˜es solicitadas. Compraram duas meias entradas para o espet´ aculo. Resolvemos bastantes problemas dif´ıceis. Observa¸ca˜o: Meio e bastante como adv´erbios ficam invari´aveis. Ela estava meio embriagada pelo sucesso. Suas id´eias eram bastante interessantes. 4. Um e outro, nem um nem outro: substantivo no singular + adjetivo no plural. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Assinale a op¸ca˜o em que o emprego do voc´ abulo meio n˜ ao obedece `as regras do portuguˆes culto: a) Eles estavam meio confusos, agiram de acordo com os 5. O(s) mais, menos, melhor(es) ... poss´ıvel(eis), comandos. b) O soldado foi punido porque se apresentou meio bˆebado pior(es), maior(es) e menor(es): ao general. Conheci mulheres o mais encantadoras poss´ıvel. c) As mo¸cas estavam meias desatentas `a explica¸ca˜o do proHavia mestres os mais inteligentes poss´ıveis. fessor, da´ı que ele as repreendesse. 6. Adjetivo = Predicativo do Sujeito d) N˜ ao me venha com meias palavras: exijo que vocˆe se expresse com objetividade. • Sujeito composto posposto: adjetivo concorda e) Era cedo, mas a sala j´a se encontrava meio escura. com o mais pr´oximo ou fica no masculino plural. Estava morto o amor e a compreens˜ ao humana. 2. (UEL-PR) Ao esfor¸co e `a seriedade .......... ao estudo ´e Estavam mortos o amor e a compreens˜ ao huma- que ........ os louvores que ele tem recebido ultimamente. nos. a) consagrado - devem ser atribu´ıdos; Houve um e outro homem escolhidos para o cargo. Nem um nem outro crime praticados foram apurados. L´ıngua Portuguesa – 04 289 b) consagrada - deve ser atribu´ıdo; c) consagrados - devem ser atribu´ıdos; d) consagradas - deve ser atribu´ıdo; e) consagrados - deve ser atribu´ıdo. Exemplos 3. (UEPG-PR)Acho que a menina ficar´a ........ aborrecida quando ........ que em sua caixa h´ a ........ balas. a) meio - vir - menas; b) meia - vir - menos; c) meia - ver - menas; d) meia - ver - menos; e) meio - vir - menos. CASOS ESPECIAIS Exerc´ıcios Complementares O t´ecnico escalou o time. Os t´ecnicos escalaram os times. 1. Sujeito Composto a) Anteposto: verbo no plural. O t´ecnico e os jogadores chegaram ontem a S˜ ao Paulo. b) Posposto: verbo concorda com o mais pr´oximo ou fica no plural. Chegou(aram) ontem o t´ecnico e os jogadores. c) De pessoas diferentes: verbo no plural da pessoa predominante. 4. (UEL-PR) Nos debates que .......... durante o torneio, alguns dos jovens pareciam ............ desanimados a) houve - meios; b) houve - meio; c) houveram - meio; d) houvem - meio; e) houve - meios. Eu, vocˆe e os alunos iremos ao museu. 5. (UEL-PR)-........ que ........ as propostas, n˜ ao .......... d´ uvidas a respeito das boas inten¸co˜es do diretor. a) Qualquer - fossem - restariam; b) Quaisquer - fosse - restaria; c) Quaisquer - fossem - restaria; d) Qualquer - fosse - restariam; e) Quaisquer - fossem - restariam. O professor, com os alunos, resolveu o problema. O maestro com a orquestra executaram a pe¸ca cl´ assica. 6. (UEL-PR) Est´ a adequadamente flexionada a forma destacada na frase: a) Ele n˜ ao deixou satisfeito nem a cr´ıtica, nem o p´ ublico. b) Todos achamos dif´ıceis, nas provas de F´ısica e Matem´atica, a resolu¸ca˜o das quest˜ oes finais. c) O sof´a e a banqueta ganharam outro aspecto depois de consertado. d) A culpa deles aparecia como que inscritas em suas fei¸co˜es, denunciando-os. e) Ele considerou in´ uteis, na atual circunstˆ ancia, as medidas que ela sugeria. 7. (UEL-PR) Que ...... das lembran¸cas felizes se entre elas ........ l´agrimas deslizando ........ pela face amada? a) seria - houvessem - copiosas; b) seriam - houvessem - copiosas; c) seria - houvesse - copiosa; d) seriam - houvessem - copiosa; e) seria - houvesse - copiosas. d) Com n´ ucleos em correla¸ca˜o: verbo concorda com o mais pr´oximo ou fica no plural. O cientista assim como o m´edico pesquisa(m) a causa do mal. e) Ligado por COM: verbo concorda com antecedente do com ou vai para o plural. f) Ligado por NEM: verbo no plural e, `as vezes, no singular. Nem Paulo, nem Maria conquistaram a simpatia de Catifunda. g) Ligado por OU: verbo no singular ou plural dependendo do valor do OU. Valdir ou Le˜ ao ser´ a o goleiro titular. Jo˜ ao ou Maria resolveram o problema. 2. Sujeito constitu´ıdo por a) Um e outro, nem um nem outro: verbo no singular ou plural. Um e outro m´edico descobriu(ram) a cura do mal. Nem um nem outro problema propostos foi(ram) resolvido. b) Um ou outro: verbo no singular. Um ou outro far´ a o trabalho. c) Coletivo geral: verbo no singular. Mais de um jogador foi elogiado pela crˆ onica esportiva. d) Express˜oes que indicam quantidade aproximada seguida de numeral: verbo concorda com o substantivo. Cerca de dez jogadores participaram da briga. f) Pronomes (indefinidos ou interrogativos) seguidos de pronomes: verbo no singular ou plural. L´ıngua Portuguesa 04 Concordˆ ancia Verbal REGRA GERAL Verbo concorda com o sujeito em n´ umero e pessoa. Qual de n´ os ser´ a escolhido? g) Palavra que: verbo concorda com o antecedente. Hoje sou eu que fa¸co o discurso. h) Palavra quem: verbo na terceira pessoa do singular. Amanh˜ a ser˜ ao eles quem resolver´ a o problema. i) Um dos que: verbo no singular ou plural. Foi um dos alunos desta classe que resolveu o problema. 290 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC j) Palavras sinˆ onimas: verbo concorda com o mais pr´oximo ou fica no plural. ´ A Etica ou a Moral preocupa-se com o comportamento humano. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Pense um Pouco! ˜ Governo diz que houve erro de interpreta¸ca EDUCAC ¸ AO: ˜o por causa da inclus˜ ao da palavra ”semestralidade”Reajuste de escolas se mantˆem anuais. 3. Verbo acompanhado da palavra se a) se = pronome O t´ıtulo da not´ıcia acima est´ a inadequado `a norma culta da apassivador: verbo concorda com sujeito paciente. escrita do portuguˆes. Por quˆe? Viam-se ao longe as primeiras casas. Ofereceu-se um grande prˆemio ao vencedor da corrida. b) se = ´ındice de indetermina¸ca˜o do sujeito: verbo sempre na terceira pessoa do singular. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UEL-PR) .......... as providˆencias necess´arias para o saneamento da cidade. 4. Verbos Impessoais: Verbos que indicam fenˆomenos da a) Haver´a de ser tomado; natureza, verbo haver indicando existˆencia ou tempo, b) Haver˜ao de ser tomadas; verbos fazer, ir indicando tempo: esses verbos ficam c) Haver´a de serem tomadas; d) Haver˜ao de serem tomadas; sempre na terceira pessoa do singular. e) Haver˜ao de ser tomado. Durante o inverno, nevava muito. Ainda havia muitos candidatos. 2. (UEL-PR) At´e ontem, j´a .... duas mil pessoas desabriOntem fez dez anos que ela se foi. gadas em todo o estado, e muitas mais ... se ... as chuvas torrenciais. 5. Verbo SER a) existiam - haver´a - continuar; a) Indicando tempo, distˆancia: concorda com o predi- b) existiam - haver˜ao - continuarem; c) existia - haver´a - continuar; cativo. d) existia - haver˜ao - continuarem; Hoje ´e dia 3 de outubro, pois ontem foram 2 e amanh˜ a e) existiam - haver´a - continuarem. ser˜ ao 4. ao h´ a conb) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com 3. (PUC-SP) Indique a alternativa em que n˜ cordˆ a ncia inadequada a ` norma culta: o que prevalecer. a) Fazia dois anos que n˜ ao aconteciam desastres desse tipo. Vinte milh˜ oes era muito por aquela casa. b) Faz alguns anos que n˜ ao acontece desastres desse tipo. c) Deve fazer um ano que aconteceu v´arios desastres a´ereos. c) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com d) Fazia algum tempo que n˜ ao acontecia desastres desse o que prevalecer. tipo. O homem sempre foi suas id´eias. e) Devem fazer dois anos que aconteceu um desastre desse Santo Antˆ onio era as esperan¸cas da solteirona. tipo. A P´ atria n˜ ao ´e ningu´em, a P´ atria somos n´ os. Necessitava-se naqueles dias de novas ideias. d) DAR (bater e soar) + hora(s): concordam com o sujeito. Exerc´ıcios Complementares Deu duas horas o rel´ ogio do alto da montanha. e) Verbo parecer + infinitivo: flexiona-se um dos dois. 4. (PUC-SP) Indique a alternativa em que n˜ ao h´ a concordˆ a ncia inadequada a ` norma culta: Os cientistas pareciam procurar grandes segredos. a) Devem haver poetas que pensam no desastre a´ereo como Os cientistas parecia procurarem grandes segredos. sendo o arrebol. b) Deve existir poetas que pensam no desastre a´ereo como 6. Sujeito = nome pr´oprio plural: sendo o arrebol. a) Com artigo no singular ou sem artigo: verbo no c) Pode existir poetas que pensam no desastre a´ereo como singular. sendo o arrebol. d) Pode haver poetas que pensam no desastre a´ereo como O Amazonas des´ agua no Atlˆ antico. sendo o arrebol. b) Com artigo no plural: verbo no plural. e) Podem haver poetas que pensam no desastre a´ereo como Os Estados Unidos enviaram tropas a ` zona de conflito. sendo o arrebol. 5. (UEL-PR) Assinale a alternativa que preenche adequadamente as lacunas: ...... trabalhadores ociosos porque ...... a produ¸ca˜o e a exporta¸ca˜o, e ...... funcion´arios treinados em setores nos quais a empresa possa crescer. a) Existem - ca´ıram - faltam; b) Existem - caiu - falta; c) Existe - caiu - faltam; L´ıngua Portuguesa – 05 d) Existem - ca´ıram - falta; e) Existe - ca´ıram - faltam. L´ıngua Portuguesa 05 Coloca¸ c˜ ao Pronominal Pr´ oclise 291 ˆ Enclise O pronome ´e colocado depois do verbo. Emprega-se, geralmente, a ˆenclise: a) Com verbos no in´ıcio do per´ıodo: Sabe-se que a temperatura global est´ a em m´edia cerca de meio grau Celsius mais alta do que h´ a 100 anos. (Veja) b) Com verbos no modo imperativo afirmativo: - Levante-se da´ı, senhor Belchior... (Bernardo Guimar˜ aes) c) Com verbos no ger´ undio, desde que n˜ ao venham precedi´ considerada obriO pronome ´e colocado antes do verbo. E dos da preposi¸ca˜o em: gat´ oria em, basicamente, duas situa¸co˜es: Para tratar o enfermo ps´ıquico, n˜ ao basta ter pena dele, a) Tipos de ora¸co˜es: consolando-o e ouvindo-o com interesse. (Folha de S.Paulo) – Ora¸co˜es interrogativas, quando iniciadas por palavra ou d) Com verbos no infinitivo impessoal: express˜ao interrogativa (”quem”, ”o que”, ”como”, ”onde”, A poesia est´ a na cidade, no campo, no mar. O problema ´e ”porque”, etc.): descobri-la, surpreendˆe-la, flagr´ a-la. (Ferreira Gullar) Quem me dar´ a o beijo que cobi¸co? – Ora¸co˜es exclamativas: Deus lhe fale n’alma! b) Palavras ”atrativas”: s˜ao aquelas que, quando aparecem antes do verbo, obrigam a pr´oclise. S˜ ao as seguintes: Palavras negativas (”n˜ ao”, ”nem”, ”nada”, ”nenhum”, ”ningu´em”, ”jamais”, etc.): Canudos n˜ ao se rendeu. (Euclides da Cunha) Conjun¸co˜es subordinativas e pronomes relativos (”que”, ”como”, ”onde”, ”se”, ”cujo”, ”quando”, ”embora”, ”porque”, ”enquanto”, etc.): Trabalho para homem que me respeite. (Jos´e Lins do Rego) Adv´erbios ”agora”, ”ainda”, ”amanh˜ a”, ”antes”, ”breve”, ”depois”, ”hoje”, ”j´ a”, ”jamais”, ”logo”, ”nunca”, ”ontem”, ”sempre”, ”bem”, ”mal”, ”demais”, ”muito”, ”pouco”, ”quase”, ”assim”, ”melhor”, ”pior”, al´em das palavras com sufixo -menterapidamente”, ”certamente”, etc.: Mal se movia, com medo de espantar a pr´ opria aten¸ca ˜o. (Clarice Lispector) Se souberem que o autor sou eu, naturalmente me chamar˜ ao potoqueiro. (Graciliano Ramos) Pense um Pouco! Pronominais Dˆe-me um cigarro Diz a gram´ atica Do professor e do aluno E do mulato sabido Mas o bom negro e o bom branco Da Na¸ca ˜o Brasileira Dizem todos os dias Deixa disso camarada Me d´ a um cigarro Oswald de Andrade Pronomes indefinidos ”algum”, ”algu´em”, ”todo”, ”tudo”, ”certo”, ”outro”, ’v´ arios”, ”qualquer”, etc.: E tudo se passa como eles querem. (Pˆero Vaz de Caminha) Ger´ undios precedidos da preposi¸ca˜o “em”: Em se tratando de futebol, o Brasil ´e um pa´ıs de primeiro mundo. Mes´ oclise O pronome ´e colocado no meio do verbo. S´ o ser´a empregada no futuro do presente e no futuro do pret´erito, desde que n˜ ao haja palavra que exija a pr´oclise: Figura 1: Retrato a ` o ´leo de Oswald de Andrade, por Tarcila do Amaral. As gera¸co ˜es futuras perguntar-se-˜ ao como foi poss´ıvel per- Exerc´ ıcios de Aplica¸ c˜ ao durar um governo de generais durante 21 anos. (Imprensa) Repetir-se-´ a, assim, o que neste ano j´ a aconteceu com tan1. Preencha as lacunas das frases a seguir com os pronomes tos outros feriados. (Vis˜ ao) entre parˆenteses, de acordo com a norma culta da l´ıngua Agora veja: portuguesa: As gera¸co ˜es futuras ainda se perguntar˜ ao como foi poss´ıvel... a) (se) “Ningu´em ... arrepiava .., ningu´em manobrava para N˜ ao se repetir´ a, assim, o que neste ano... ficar.”(Jos´e Lins do Rego) b) (se) “N˜ao .. ouvia .. um barulho.”(Jo˜ao Ant´ onio) (As palavras “ainda”e “n˜ao” exigem a pr´oclise) 292 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC c) (lhe) “A espa¸cos, quando o aborrecimento .. vinha .., sa´ıa.” d) (se)”.. Lembrou .. ent˜ ao do sangue do pre´ a, sujando o verde do capim.”(Jos´e Lins do Rego) e) (lhe) “Que .. importava .. a riqueza do velho Jos´e Paulino?”(Jos´e Lins do Rego) f) (se) “Depois, .. escutou .. um tiro seco, no silˆencio.”(Jos´e Lins do Rego) g) (se)”.. Levanta .. e passa os bra¸cos no pesco¸co de Guma.”(Jorge Amado) h) (se) “E que porcarias .. vendem .. por a´ı!”(Jos´e Lins do Rego) i) (me) N˜ ao conhe¸co ao certo o local onde .. levaram .. na noite passada. j) (se) “Os demais .. babando .., sem desgrudar o olhinho.”(Dalton Trevisan) 2. (UDESC-SC) Assinale com V a coloca¸ca˜o verdadeira e com F a coloca¸ca˜o falsa dos pronomes obl´ıquos ´ atonos nos per´ıodos abaixo: ( ) Ele tem dado-se muito bem com esse nosso clima. ( ) Talvez a luz cont´ınua e ofuscante tenha-me afetado a vis˜ ao. ( ) Ningu´em retirara-se antes do encerramento do conclave. ( ) Tudo me parecia bem at´e que me alertaram do perigo que corria. ( ) Em se tratando de artes, preferimos sempre a divina m´ usica. ( ) Dir-se-ia que fatos dessa natureza n˜ ao mais ocorreriam. A sequˆencia correta de letras, de cima para baixo, ´e: a) F, F, V, F, V, V b) V, V, F, V, F, F c) F, V, F, V, V, V d) F, V, V, F, V, V e) V, F, F, V, F, F — www.mundofisico.joinville.udesc.br Dos itens acima expostos est˜ ao corretos: a) 1, 2 e 5 b) 3 e 4 c) 2 e 4 d) 4 e 5 e) todos est˜ ao certos 6. (PUC-PR) Assinale a alternativa em que o pronome LHE n˜ ao pode ser colocado depois do verbo CONTAR: a) Desejo-lhe contar minha vers˜ao. b) Prometeu n˜ ao lhe contara verdade. c) N˜ ao podemos lhe contar tudo. d) Come¸cou a lhe contar o ocorrido. e) Tenho de lhe contar esse epis´odio. L´ıngua Portuguesa 06 Crase Crase ´e fus˜ao de duas vogais idˆenticas. Representa-se graficamente a crase pelo acento grave. A crase pode ser representada nos casos: a) A preposi¸ca˜o a e os artigos a e as: H´ a limites a ` tolerˆ ancia humana. b) A preposi¸ca˜o a e os pronomes demonstrativos aquele(s), aquela(s) e aquilo. Permaneci indiferente a `quele barulho. c) A preposi¸ca˜o a e aos pronomes demonstrativos a e as: Sua opini˜ ao ´e semelhante a ` de Rog´erio. 3. (UFSC) Assinale as alternativas gramaticalmente correias e em seguida fa¸ca a adi¸ca˜o dos valores a elas atribu´ıdos: 01) Vi ontem nosso mais jovem poeta ilh´eu. 02) Refirome ` aquele jovem poeta ca¸cadorense. 04) Ele n˜ ao queixa-se nunca de seu trabalho. 08) Corri para ajud´ a-lo, quando o vi ` a porta. 16) Pouco conhece-se a respeito de Let´ıcia. 32) Jamais te diria tamanha mentira! Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL-PR) Logo que vocˆe ......, ´e claro que eu ........ da melhor maneira poss´ıvel, ainda que isso ........ o servi¸co. a) me chamar; atendˆe-lo-ei; me atrase b) chamar-me; atendˆe-lo-ei; atrase-me c) me chamar; o atenderei; me atrase d) me chamar; o atenderei; atrase-me e) chamar-me; atenderei-o; atrase-me 5. (PUC-PR) Observe a coloca¸ca˜o dos pronomes nas frases abaixo: 1. Ela pode auxiliar-me. 2. Ela pode-me auxiliar. 3. Ela me pode auxiliar. 4. Ela veio ver-me. 5. Ela n˜ ao quis vˆe-lo. Outros casos 1. Diante de palavra feminina que admita o artigo a e outra palavra que exija a preposi¸ca˜o a: Debate aponta risco a ` liberdade de express˜ ao. 2. Nas locu¸co˜es femininas: • adverbiais: Os deputados est˜ ao rindo a ` toa. L´ıngua Portuguesa – 06 • prepositivas: Capit˜ ao Am´erica e Homem Aranha est˜ ao a ` beira da falˆencia. • conjuntivas: Os alimentos estocados foram vendidos a ` medida que crescia o consumo. ˜ ocorre Casos em que a crase NAO 1. Diante de palavras masculinas, as quais n˜ ao admitem o artigo a: O passeio foi feito a cavalo. 293 10. Diante da express˜ao Nossa Senhora e de nomes de santos: Ela faz preces di´ arias a Nossa Senhora Aparecida. Pense um Pouco! Ao entrar bata a porta. Qual o efeito que esta frase pode causar sem o acento indicador da crase? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 2. Diante de verbos: As crian¸cas da favela s˜ ao obrigadas a pedir esmolas. 3. 4. 5. 6. 1. Nas frases a seguir, assinale o acento indicativo de crase onde for necess´ario: Diante de nome de cidade: a) ”Madalena foi a janela e esteve algum tempo debru¸cada, Houve protestos na chegada do presidente a Recife. olhando a rua.”(Graciliano Ramos, S˜ ao Bernardo) Observa¸ c˜ ao: Se o nome da cidade vier acompanhado b) No in´ıcio do s´eculo, muitos jogadores aluavam apenas por de um adjetivo ocorre a crase: amor a camisa. c) Os bons treinadores de futebol costumam ser inflex´ıveis Vou frequentemente a ` antiga Ouro Preto. quanto a disciplina de seus jogadores. Diante de pronomes que n˜ ao admitem artigo. d) O Departamento de Trˆansito recomenda cautela ao motorista que vai descer a serra hoje para assistir a virada do • pronomes pessoais: ano no litoral. N˜ ao dirigiu a palavra a n´ os. e) ”Ent˜ ao eu perguntava a mim mesmo se alguma da• pronomes de tratamento: quelas n˜ ao teria amado algu´em que jazesse agora no ceMandou dizer a Vossa Senhoria que n˜ ao viria ao mit´erio.”(Machado de Assis, Dom Casmurro) f) ”O padre saiu para o p´ atio, aspirou profundamente o encontro marcado. Observa¸ c˜ ao: Emprega-se geralmente o acento ar, depois contemplou a estrada luminosa que atravessava a indicados da crase diante dos pronomes senhora ab´obada celeste de um lado a outro.”(Jos´e Saramago) g) ”Qualquer lei nova ´e sujeita a cr´ıticas.”(Walter Ceneviva, e senhorita. Folha de S. Paulo, 6/4/95) • pronomes demonstrativos: h) Qualquer lei nova ´e sujeita as cr´ıticas dos membros do ´ hora de dar um basta a essa barb´ E arie. Poder Judici´ario. • pronomes indefinidos: 2. (UEM-PR) Indicar o per´ıodo em que vocˆe colocaria o N˜ ao demonstravam seu sofrimento a ningu´em. acento grave, indicativo da crase: • pronomes relativos: a) Deu severas ordens a algumas relapsas. Aquela ´e a senhora a quem apresentamos nossas b) Desobedeceram a Sua Excelˆencia. condolˆencias. c) Rogo as autoridades para que intervenham logo. d) Com certeza, disse tudo a esta colega. Diante da palavra casa quando n˜ ao vier determinada e) De Vieira a Drummond, muitos voc´ abulos descansam em por adjunto adnominal: paz. Quando cheguei a casa j´ a tinham sa´ıdo. 3. (FUVEST-SP) Indique a alternativa correta: Observa¸ c˜ ao: Quando a palavra casa vier determinada a) Preferia brincar do que trabalhar. ocorre a crase. b) Preferia mais brincar a trabalhar. Chegamos a ` casa da cunhada. c) Preferia brincar a trabalhar. Diante da palavra terra, quando esta designar terra d) Preferia brincar `a trabalhar. e) Preferia mais brincar que trabalhar. firme: Os marinheiros chegaram a terra. 7. Diante de palavra no plural se o a estiver no singular: O sucesso n˜ ao deve conduzir a conclus˜ oes muito otimistas. 8. Nas locu¸co˜es formadas por palavras repetidas: Ficamos face a face com o inimigo. 9. Diante do artigo indefinido uma: Os alunos n˜ ao devem submeter-se a uma avalia¸ca ˜o como esta. Exerc´ıcios Complementares ` 4. Preencha as lacunas com A ou A: a) Em uma viagem ......... It´ alia, Godard conheceu Martin Scorcese, de quem se tornaria grande amigo e colaborador. b) Minha u ´ nica chance de voltar ..... Europa seria ganhar a bolsa de estudos oferecida pela Universidade de Haia. c) Quando visitei ......Inglaterra, fiquei bastante decepcionado com o clima e a culin´aria. 294 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br d) Retornei.........Bras´ılia ap´os ter sido derrotado em duas elei¸co˜es para deputado federal. e) .... Am´erica que eu conheci n˜ ao ´e esta que se vˆe por a´ı passando necessidade. f) Ap´os anos, o pintor Michelˆ angelo voltou ....... Roma para admirar a pintura que tanto lhe dera fama e prest´ıgio em toda a Europa. 5. (UNICENP-PR) Qual a alternativa que aponta a frase incorreta quanto ao acento indicativo da crase? a) Uma mulher d´ a `a luz sobre uma pia enquanto dinheiro ´ do SUS (Sistema Unico de Sa´ ude) ´e desviado para comprar chope e salgadinhos. b) Esse expediente levou ` a lastim´ avel aprova¸ca˜o do IPMF. ` absoluta ineficiˆencia do sistema de arrecada¸ca˜o, somac) A se a m´a aplica¸ca˜o dos recursos p´ ublicos. d) Na d´ecada de 70, a imagem externa do Brasil era frequentemente associada ` as den´ uncias de tortura. e) A quest˜ ao social continua priorit´ aria demais para ser relegada ` a segundo plano. 6. (UNIFOR-CE) Marque a alternativa em que o sinal de crase est´ a empregado em todos os casos em que ´e necess´ario: a) A fam´ılia ficou `a mercˆe do frio, a despeito do fogo que estava a arder. b) O vento entrava `a vontade, restando a fam´ılia a expectativa de que amanhecesse logo. c) Falavam `a be¸ca, mas talvez n˜ ao se entendessem `a contento. d) A cachorra ficou `a porta, ` a olhar as brasas. e) A falta de melhor express˜ao, recorriam ` a discursos en´ergicos. L´ıngua Portuguesa 07 Interpreta¸ c˜ ao de Textos (UDESC - 2005) Toda l´ıngua tem seus mist´ erios, sua pele seu cheiro. O que caracteriza a linguagem ”correta”? N˜ ao uso essa ´ mais ou menos express˜ao. Falo de adequa¸ca˜o lingu´ıstica. E como roupa. A gente usa de acordo com a situa¸ca˜o. O ideal seria que todos tivessem um guarda-roupa lingu´ıstico bem recheado: ”roupa”para ir ` a festa, ao tribunal, ` a praia, ao supermercado. Seria necess´ario que o sujeito tivesse dom´ınio da l´ıngua que usa no dia-a-dia, mas fosse tamb´em buscar as variedades. Da´ı a fun¸ca˜o da escola, do Estado: prover as pessoas do dom´ınio das variedades formais da l´ıngua. N´ os somos um pa´ıs essencialmente monoglota. N˜ ao me refiro ao conhecimento de l´ınguas estrangeiras, falo de poliglotismo ´ ser capaz de ler o editorial na mesma l´ıngua. O que ´e? E do jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinho e de ´ ser capaz de ler um conversar com a pessoa estranha. E cl´ assico, ouvir um rap, ler o Almanaque, e por a´ı vai. O grosso da popula¸ca˜o ´e monoglota: domina s´o a l´ıngua do dia-a-dia. P˜ oe o sujeito para ler um recado do banco, ele n˜ ao entende. Pense um Pouco! A alternativa que melhor resume a id´eia central do texto ´e: f) A l´ıngua padr˜ ao ´e formada por um conjunto de formas consideradas como modo correto e socialmente aceit´ avel de falar ou escrever. g) A adequa¸ca˜o lingu´ıstica ´e como um guarda-roupa bem variado, quanto `as formas lingu´ısticas e revelador, ao mesmo tempo em que revela a classe social `a qual se pertence. ´ fun¸ca˜o da escola e do Estado prover as pessoas dos h) E dom´ınios das variedades formais da l´ıngua. i) O falante brasileiro ´e monoglota, por n˜ ao ter o conhecimento de l´ınguas estrangeiras. j) A adequa¸ca˜o lingu´ıstica se d´ a quando o falante ´e capaz de ler editorial do jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinho e de conversar com uma pessoa estranha. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. Assinale a alternativa que reafirma a id´eia de que quem sabe fazer uso da adequa¸ca˜o lingu´ıstica ´e poliglota. a) A id´eia de poliglotismo est´ a associada ao conhecimento de v´arias l´ınguas estrangeiras que s˜ao faladas em algumas regi˜oes do pa´ıs. b) Quem domina apenas a l´ıngua que se usa no dia-a-dia, n˜ ao ter´ a dificuldades para ler e produzir um texto em l´ıngua padr˜ ao. c) O falante que tem envolvimento m´ ultiplo nas rela¸co˜es sociais geralmente possui um guarda-roupa lingu´ıstico bem recheado. d) A atividade educacional n˜ ao ´e coordenada de forma devida pelo Estado; por isso, somos um pa´ıs essencialmente monoglota. e) Buscar as variedades da l´ıngua ´e o mesmo que saber usar a roupa adequada `a situa¸ca˜o, ´e saber que h´ a uma variedade lingu´ıstica. 2. Em rela¸ca˜o ao trecho: ”O grosso da popula¸ca˜o ´e monoglota: domina s´o a l´ıngua do dia-a-dia. P˜ oe o sujeito para ler um recado do banco, ele n˜ ao entende.”(linhas 10 a 12), ´e INCORRETO afirmar: a) a palavra s´o ´e um recurso lingu´ıstico indicador de ˆenfase. b) a flex˜ ao do verbo pˆ or foi usada com o sentido de depararse. c) o pronome ele ´e o termo referente ao sujeito. d) a palavra grosso foi empregada como um recurso indicador de quantidade. e) a palavra s´o indica isolamento. L´ıngua Portuguesa – 08 3. De acordo com o texto, marque V ou F , conforme a afirma¸ca˜o seja verdadeira ou falsa. ( ) Quem ´e capaz de ler um cl´ assico, ouvir um rap, ler o Almanaque ´e poliglota. ( ) O grosso da popula¸ca˜o ´e monoglota, porque domina somente um dialeto. ( ) De acordo com o autor, n˜ ao existe linguagem correta, porque as l´ınguas s˜ao um conjunto variado de formas lingu´ısticas e cabe ao falante adequar seu uso ` as diferentes situa¸co˜es de fala. ( ) A escola n˜ ao tem cumprido seu papel; por isso, n˜ ao conseguimos ler um editorial de jornal rebuscado. Assinale a alternativa que apresenta a sequˆencia CORRETA, de cima para baixo. a) V - F - F - F b) V - F - V - F c) F - V - F - V d) V - V - F - V e) V - F - F - V Exerc´ıcios Complementares Texto para os testes de 01 a 03. Vai ent˜ ao, empacou o jumento em que eu vinha montado; fustiguei-o, ele deu dois corcovos, depois mais trˆes, enfim mais um, que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o p´e esquerdo me ficou preso no estribo; tento agarrarme ao ventre do animal, mas j´ a ent˜ ao, espantado, disparou pela estrada fora. Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois saltos, mas um almocreve, que ali estava, acudiu a tempo de lhe pegar na r´edea e detˆe-lo, n˜ ao sem esfor¸co nem perigo. Dominado o bruto, desvencilhei-me do estribo e pus-me de p´e. 295 5. Em ”...mas j´a ent˜ ao, espantado, disparou pela estrada fora.”e ”...contundia-me deveras...”, as palavras destacadas indicam, respectivamente: a) conclus˜ao e constata¸ca˜o; b) tempo e afirma¸ca˜o; c) modo e constata¸ca˜o; d) conclus˜ao e consequˆencia; e) tempo e d´ uvida. 6. Assinale a alternativa em que a palavra que est´ a empregada de forma diferente das demais: a) ”...empacou o jumento em que eu vinha montado...”; b) ”...enfim mais um, que me sacudiu fora da sela...”; c) ”...com tal desastre, que o p´e esquerdo me ficou preso no estribo...”; d) ”...eu sentia-o no sangue que me agitava o cora¸ca˜o; e) ”...mas porque era uma recompensa digna da dedica¸ca˜o com que ele me salvou.” L´ıngua Portuguesa 08 Sinˆ onimos, Antˆ onimos e etc. Sinˆ onimos Voc´ abulos que apresentam significado b´ asico comum. Exemplos olhar = ver = mirar = observar; belo = bonito = lindo; honestidade = probidade. — Olhe do que vosmecˆe escapou, disse o almocreve. E era verdade; se o jumento corre por ali fora, contundia-me deveras, e n˜ ao sei se a morte n˜ ao estaria no fim do desastre; cabe¸ca partida, uma congest˜ao, qualquer transtorno c´ a dentro, l´a se me ia a ciˆencia em flor. O almocreve salvara-me talvez a vida; era positivo; eu sentia-o no sangue que me agitava o cora¸ca˜o. Bom almocreve! Enquanto eu tornava a consciˆencia de mim mesmo, ele cuidava de consertar os ` arreios do jumento, com muito zelo e arte. Resolvi dar-lhe trˆes moedas de ouro das cinco que trazia comigo; n˜ ao poronimos que tal fosse o pre¸co da minha vida - essa era inestim´avel; Antˆ mas porque era uma recompensa digna da dedica¸ca˜o com Voc´ abulos que apresentam significados opostos. que ele me salvou. Est´ a dito, dou-lhe as trˆes moedas. Machado de Assis, Mem´ orias P´ ostumas de Br´ as Cubas. 4. Assinale a alternativa em que se estabelece rela¸ca˜o de causa e efeito: a) ”Vai ent˜ ao, empacou o jumento em que eu vinha montado”; b) ”...justifiquei-o, ele deu dois corcovos, depois mais trˆes, enfim mais um...”; c) ”...que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o p´e esquerdo me ficou preso no estribo”; d) ”Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois saltos...”; e) ”O almocreve salvara-me talvez a vida...” Exemplos grandeza × pequenez; feliz × infeliz; probidade × improbidade; honestidade × desonestidade; higiˆenico × anti-higiˆenico. Parˆ onimos Voc´ abulos semelhantes na escrita e na pron´ uncia e que tˆem significados diferentes. 296 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Exemplos Flagrante (no ato) – fragrante (perfumado); ratificar (confirmar) – retificar (corrigir); vultoso (importante, de grande vulto) - vultuoso (inchado). Homˆ onimos Palavras que tˆem a mesma pron´ uncia ou grafia, mas com significados diferentes. Dividem-se em: — www.mundofisico.joinville.udesc.br d) As cenas s˜ao centen´ arias, bem como centen´ aria ´e a pe¸ca teatral. e) Os grandes homens s˜ao avaliados por grandes a¸co˜es. 3. (UDESC-2005) A palavra mesmo pode assumir diferentes significados, de acordo com sua fun¸ca˜o na frase. Assinale a alternativa em que o sentido de mesmo equivale ao que se verifica na frase a seguir. Aos poucos, as id´eias iam ficando mais claras, mesmo que ainda sentisse fortes dores de cabe¸ca e no corpo. • Hom´ ografos - Heter´ ofonos: possuem mesma escrita e pron´ uncia diferente. a) Escute! H´ a mesmo necessidade de vocˆe vir? b) N˜ a o quero ser o mesmo que vocˆe. o ele (letra L) - ele chegou; c) Ir´ a assim mesmo. o controle - talvez controle. d) N˜ ao percebeu nada, mesmo estando atento. • Hom´ ofonos - Heter´ ografos: possuem mesma e) N˜ ao, mesmo! Fique a´ı! pron´ uncia e grafia diferente. cess˜ ao (ato de ceder) - sess˜ ao (reuni˜ ao); ch´ acara (quinta) - x´ acara (narrativa). • Hom´ ografos - Hom´ ofonos (ou homˆ onimos perfeitos): possuem mesma grafia e pron´ uncia. o mato - eu mato; cedo (verbo ceder) - cedo (adv´erbio). Pense um Pouco! Exerc´ıcios Complementares 4. (UDESC-2005) A ´arvore caiu, embora estando bem presa ao ch˜ ao. Vou agradecer-lhe a ajuda, logo que possa sair. N˜ ao demonstrava, mas amava o filho. Buscava um lugar silencioso para que pudesse pensar. As palavras e express˜oes em negrito podem ser substitu´ıdas, sem altera¸ca˜o de estrutura e sentido da frase, respectivaO lobo mal atacou a vovozinha ... mente, por: Mandei meus sapatos para o concerto a) mesmo – assim que – haja vista – a fim de que A cess˜ ao respons´ avel pela produ¸ca ˜o deste produto fica no b) apesar que – assim que – ou – onde final do corredor. c) apesar de que – quando – logo – afim de que d) mesmo que – ao – portanto – em que Quais os erros nas frases acima? e) mesmo – assim que – entretanto – a fim de que Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 5. Complete as lacunas com uma das palavras colocadas nos parˆenteses: a) Os pais agiram com muita ............ . (discri¸ca˜o/descri¸ca˜o) b) Procurei ............ o erro cometido pelo meu auxiliar. (retificar/ratificar) c) O chefe dos sequestradores exigiu do empres´ario uma quantia ............. (vultuosa/vultosa) d) O ............. orador conseguiu convencer a multid˜ao de ouvintes. (eminente/iminente) e) Como ............. uma das leis de trˆansito, ele acabou recebendo uma pesada multa. (infringisse/infligisse) f) O professor foi ...............de louco pelos alunos. (tachado/taxado) g) Perdi ............. da minha conta banc´ aria. (estrato/extrato) 1. A hora da verdade est´ a ....... Aproveite-a. Os familiares est˜ ao de acordo com a ...... dos bens. ´ hora de ..... o fogo, pois o frio est´ E a pr´ oximo. O fato passou ..... at´e o momento. Os faltosos foram pegos em ...... A alternativa que preenche corretamente, e em sequˆencia, as lacunas das frases acima ´e: a) iminente – cess˜ao – acendermos – despercebido – flagrante. b) Eminente – sess˜ ao – acendermos – desapercebido – fragrante. c) Eminente – cess˜ao – ascendermos – despercebido – fragrante. d) Iminente – sess˜ ao – ascendermos – desapercebido – fla6. Preencha as lacunas com ante ou anti: grante. a) H´ a um n´ umero cada vez maior de pessoas que toe) n. d. a. mam ....... depressivos e de m´edicos que recomendam esses 2. (UDESC-2005) A alternativa que as palavras em negrito rem´edios. (Jornal do Com´ercio) apresentam sentidos diferentes ´e: b) Luiz Mott faz cr´ıticas `a nova lei ......-racismo. (Jornal do a) Os velhos est˜ ao assistindo ` a reedi¸ca˜o de velhos h´ abitos. Com´ercio) b) Os romˆ anticos atuais divergem dos romˆanticos cen- c) As tumbas eg´ıpcias eram constitu´ıdas de uma ten´ arios. .......cˆamara, onde as oferendas eram depositadas, e outras c) Os velhos casar˜ oes situam-se ao lado do velho super- salas e corredores que davam acesso a uma cˆ amara funer´ aria mercado. subterrˆanea. (Globo Ciˆencia) L´ıngua Portuguesa – 09 7. Associe as colunas, de acordo com a norma, colocando: (A) para sinˆ onimos (B) para antˆ onimos (C) para parˆ onimos (D) para hom´ ografos - hom´ ofonos (ou homˆ onimos perfeitos) (E) para hom´ ografos - heter´ ofonos (F) para hom´ ofonos - heter´ ografos 297 • Simples: constitu´ıdo por uma s´o palavra. • Composto: constitu´ıdo por mais de uma palavra. • Coletivo: designa uma reuni˜ao de seres de uma mesma esp´ecie. Flex˜ ao do Substantivo a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( f) ( ) apressar – apre¸car ) eminente – iminente ) o´dio – amor ) asco – nojo ) a ´agua – ele ´agua ) o acordo – eu acordo Gˆ enero Masculino e Feminino. Forma¸ca˜o do feminino pode ser: Regular: termina¸ca˜o em A. Exemplo: garoto – garota. Irregular: sem regra. genro – nora 8. Complete os espa¸cos com h´ a ou a de acordo com o exigido pela frase: umero a) Daqui.........trˆes semanas ele vir´ a trazer o material que N´ lhe encomendamos. Singular e plural (acrescido S). b) ........seis dias que ele tem faltado ao trabalho. c) .......meses que eu n˜ ao a vejo por aqui. d) Daqui....... Ribeir˜ao Preto, s˜ao 300 km. Plural dos Substantivos Compostos 9. Empregue mal ou mau de acordo com o exigido pela frase: a) .......ela chegou, come¸cou a gritar com as crian¸cas. b) O ........ pagador sempre arrumas suas desculpas. c) Ele nunca se comportou t˜ ao ......... L´ıngua Portuguesa 09 Classes de Palavras Vari´ aveis Substantivo Adjetivo Artigo Numeral Pronome Invari´ aveis Adv´erbio Preposi¸ca˜o Conjun¸ca˜o Interjei¸ca˜o Verbo • Ambos os elementos variam. Quando os dois s˜ao vari´aveis (substantivo, adjetivo, numeral). Eexemplo: Ter¸ca feira; ter¸cas feiras. • Apenas o primeiro elemento varia. Substantivo composto ligado por uma preposi¸ca˜o. Exemplo: p´e de moleque; p´es de moleque. • Apenas o segundo elemento varia. Quando o primeiro for verbo. Exemplo: beija-flor; beija-flores. Quando o primeiro elemento for uma palavra invari´avel ou prefixo. Exemplo: ex-aluno; ex-alunos. Quando for palavra repetida. Exemplo: quero-quero; quero-queros. Grau Substantivo • Normal: homem, casa. ´ a palavra que nomeia tudo o que existe (seres, a¸co˜es, E sentimentos, estados). • Aumentativo: casar˜ ao, homenzarr˜ao. • Diminutivo: casebre, hom´ unculo. Classifica¸c˜ ao • Comum: denomina todos os seres de uma mesma esp´ecie. • Pr´ oprio: denomina um ser em particular, cidade, pessoas, ruas. • Concreto: denomina coisas palp´ aveis. Artigo ´ a palavra que antep˜oe ao substantivo para defini-lo ou E indefini-lo ao mesmo tempo indicar o gˆenero: masculino ou feminino, e o n´ umero: singular ou plural. • Abstrato: denomina qualidades/defeitos, sentimentos/sensa¸co˜es. • Definido: determinam, tornam u ´ nico o substantivo. S˜ ao: a, o, as, os. • Primitivo: n˜ ao ´e formado a partir de outra palavra. • Indefinido: generalizam, tornam vago o substantivo. S˜ ao: um, uma, uns, umas. • Derivado: ´e formado a partir de outra palavra. 298 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Adjetivo — www.mundofisico.joinville.udesc.br Classifica¸c˜ ao S˜ ao palavras que express˜ao qualidades ou caracter´ısticas de seres e objetos. Exemplo: Os dedicados alunos obtiveram excelentes notas no teste. • Cardinais: indicam quantidades. quatro, mil. Locu¸ c˜ ao Adjetiva • Multiplicativos: exprimem multiplica¸ca˜o de uma certa quantidade. Exemplo: dobro, triplo. Express˜ao formada, em geral, por preposi¸ca˜o + substantivo que equivale a um adjetivo. Exemplo: amor de filho; amor filial. Exemplo: dois, • Ordinais: indicam posi¸ca˜o que um ser ocupa em uma sequˆencia. Exemplo: segundo, quarto. • Fracion´ arios: indicam a divis˜ao de uma quantidade. Exemplo: dois ter¸cos, metade. Flex˜ ao dos Adjetivos Pense um Pouco! Gˆ enero Como escrevo segunda feira no plural? Acrescento “s”nos dois substantivos ou em nenhum? Como fa¸co? • Uniformes: apenas uma forma. Exemplo: amigo leal; amiga leal. • Biformes: duas formas. Exemplo: homem ativo; mulher ativa. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao 1. (UDESC) Assinale a alternativa correta. Em Florian´ opolis ´e uma das mais progressivas cidades catarinenses h´ a: a) 3 substantivos, 1 artigo, 1 numeral e 1 adjetivo; b) 2 substantivos, 1 artigo, 1 adv´erbio e 2 adjetivos; c) 3 substantivos, 1 numeral, 2 adjetivos; d) 2 substantivos, 2 artigos, 1 adv´erbio; e) 3 substantivos, 2 artigos, 1 adjetivo e 2 numerais. N´ umero • Singular. Exemplo: feroz. • Plural. Exemplo: ferozes. Grau 2. (UDESC) Assinale a alternativa em que todas as palavras pertencem `a mesma classe gramatical. a) arroz,sol,trˆes,nuvem, • Igualdade. Exemplo: Pedro ´e t˜ ao inteligente quanto b) quatro, terceiro,primeiro,Joinville Jos´e. c) Deus, arvore, carro, azul d) a,o,as,aquele • Inferioridade. Exemplo: Pedro ´e menos inteligente e) felicidade,imperfeito, graciosa,paup´errima do que Jos´e. COMPARATIVO 3. Indique a frase incorreta. a) Eu almo¸carei na sua casa todas as quartas feiras b) Eu comprei duas couves flores por pre¸co de banana • Superioridade Sint´ etica. Exemplo: Pedro ´e maior c) O ladr˜ao for¸cou a porta com p´es de cabras do que Jos´e. d) Meu Exemplo-professor de Educa¸ca˜o F´ısica ganhou a campeonato de nata¸ca˜o e) Tenho um jardim repleto de bocas de le˜oes SUPERLATIVO • Superioridade Anal´ıtica. Exemplo: Pedro ´e mais inteligente do que Jos´e. • Absoluto Anal´ıtico. Exemplo: Pedro ´e muito inteligente. • Absoluto Sint´ etico. gent´ıssimo. Exemplo: Pedro ´e inteli- L´ıngua Portuguesa 10 Verbo • Relativo de Superioridade Anal´ıtico. Exemplo: E ´ a palavra que exprimindo a¸ca˜o ou apresentando estado Pedro ´e o mais inteligente de todos. ou mudan¸ca de um estado para outro, pode fazer indica¸co˜es • Relativo de Inferioridade. Exemplo: Pedro ´e o me- de pessoa, numero, tempo e voz. nos inteligente de todos. Conjuga¸c˜ oes Numeral • 1a conjuga¸ca˜o: terminada em ar. Exemplo: amar, sonhar, viajar. ´ toda palavra que exprime quantidade, lugar numa s´erie, E m´ ultiplo ou fra¸ca˜o. • 2a conjuga¸ca˜o: terminada em er. Exemplo: beber, ceder, ser. L´ıngua Portuguesa – 11 299 • 3a conjuga¸ca˜o: terminada em ir. Exemplo: unir, despir, parir. 2. Passiva: quando o sujeito sofre a a¸ca˜o praticada pelo verbo. • 4a conjuga¸ca˜o: terminada em or. Exemplo: compor, dispor, opor. Exemplo: O grevista foi ferido pelo soldado. O grevista ´e agente da passiva, sofreu a a¸ca˜o do verbo. A voz passiva ¨e constitu´ıda na maioria dos casos com o verbo principal mais o auxiliar, o partic´ıpio. Flex˜ ao Verbal 3. Reflexiva: pratica e sofre a a¸ca˜o do verbo. O verbo pode variar em: Exemplo: O soldado feriu-se (ele mesmo praticou a a¸ca˜o e sofreu a consequˆencia da pratica). • N´ umero: singular ou plural. • Pessoa: primeira, segunda ou terceira. • Tempo: presente, passado ou futuro. • Modo: indicativo, subjuntivo ou imperativo. • Voz: passiva, ativa ou reflexiva. • Infinitivo: caracteriza-se pela termina¸ca˜o em “R”. Exemplo: coar, vender, supor. • Ger´ undio: caracteriza-se pela termina¸ca˜o “NDO”. Exemplo: coando, vendendo, supondo. Modos Verbais Modo Indicativo Atitude de certeza. Tempo Presente Pret´erito imperfeito Pret. perfeito simples Pret. perfeito composto Pret. mais que perfeito simples Pret. mais que perfeito composto Futuro do presente Futuro do pret´erito Exemplo Eu ando Eu andava Eu andei Eu tinha andado Eu andara Eu havia andado Eu andarei Eu andaria • Partic´ıpio: caracteriza-se na maioria dos casos pelas termina¸co˜es, “ADO”, “IDO” e “OSTO”. Exemplo: coado, vendido, suposto. Pense um Pouco! • Por que na forma imperativo negativo o verbo recebeu s no pronome tu? Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Modo Subjuntivo Atitude de hip´otese. Tempo presente Pret´erito imperfeito Pret´erito perfeito composto Pret. mais que perfeito composto Futuro simples Futuro composto 1. Assinale a alternativa em que as palavras sublinhadas n˜ ao se caracterizam ”agente ativo”. Exemplo a) A carruagem parou ao p´e de uma casa amarela. Que eu ande b) Sˆ onia estava no quintal da casa quando os c˜ aes a atacaSe eu andasse ram. Que eu tenha andado Se eu tivesse andado c) Eu rasguei o livro. d) Os bombeiros apagaram um incˆendio ocorrido no HospiQuando eu andar tal Quando eu tiver andado Municipal. e) Roberto Carlos cantou no Ol´ımpia para um publico de 10 mil pessoas. Modo Imperativo Atitude de ordem. Tempo Imperativo afirmativo Imperativo negativo Formas Nominais Exemplo Anda (tu), ande (vocˆe) N˜ ao Andes (tu) n˜ ao ande (vocˆe) Vozes dos Verbos Voz ´e a forma assumida pelo verbo de indicar rela¸ca˜o entre ele e o sujeito. Divide-se em trˆes tipos: 2. Na frase “Mas homem de Deus, que Diabo! Pense um pouco! Vocˆe ali n˜ ao pode construir nada”.(Aluisio de Azevedo, O corti¸co). A frase foi constru´ıda no modo indicativo. Qual foi a inten¸ca˜o do autor? a) convite b) conselho c) s´ uplica d) ordem e) pedido 3. Assinale a frase em que n˜ ao apresenta o modo indicativo do verbo. 1. Ativa: ´e quando o sujeito da ora¸ca˜o pratica a a¸ca˜o a) Vocˆe escreveu a carta emitida pelo verbo. b) Tu ajudar´ as o mais inexperientes as logo Exemplo: O soldado feriu o grevista. O soldado ´e c) Tu voltar´ o agente ativo, ou seja, pratica a a¸ca˜o expressa pelo d) Se eu falasse a l´ıngua de todas as etnias e) V´ os escrevereis o resumo. verbo. 300 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC L´ıngua Portuguesa 11 — www.mundofisico.joinville.udesc.br Classifica¸ c˜ ao • Aditivas: e, nem, mas tamb´em, sen˜ ao. Adv´ erbio • Adversativas: mas, por´em, todavia, contudo. Palavra que modifica o verbo, o adjetivo ou outro adv´erbio, acrescentando-lhes uma circunstˆ ancia. Exemplos: O trem partiu ontem. A mulher ficou muito nervosa. • Alternativas: ou..., ou, ora...., ora, quer...., quer • Conclusivas: portanto, logo, pois, por isso, por conseguinte. • Explicativas: que , por que, pois. Pense um Pouco! Conjun¸c˜ oes Subordinativas Qual ´e a diferen¸ca entre adv´erbio e locu¸ca˜o adverbial? Ligam duas ora¸co˜es dependentes. Exemplo: Falei com o professor quando cheguei a escola. Os adv´erbios ou as locu¸co˜es adverbiais s˜ao classificados de acordo com as circunstˆ ancias expressas: Classifica¸ c˜ ao • Lugar: aqui, l´a, ali, acol´a, ` a direita, ` a esquerda, atr´ as, em cima, longe, • Tempo: hoje, ontem, amanh˜ a, brevemente, atualmente, • Modo: bem, mal, assim, depressa, devagar, • Afirma¸ c˜ ao: sim, certamente, sem d´ uvida, com certeza, • Condicionais: se, acaso, desde que, contato que, a menos que. • Conformativas: conforme, segundo, como. • Concessivas: embora, ainda que, menos que. • Consecutivas: que, ap´os, tanto, t˜ ao. • Comparativa: como, que, quanto. • Nega¸ c˜ ao: n˜ ao, absolutamente, de modo algum, de jeito nenhum, • Finais: a fim, que, para que. • Intensidade: muito, mais, menos, ainda, bastante, demais, • Causais: por que, que, como. • D´ uvida: talvez, acaso, porventura, provavelmente. Preposi¸ c˜ ao • Temporais: quando, logo que, depois que. • Proporcionais: `a medida que, quanto mais, quanto menos, etc. Interjei¸ c˜ ao ` a palavra invari´avel que expressa emo¸ca˜o ou sentimento Palavra que liga duas outras estabelecendo entre elas certas E rela¸co˜es de sentido e de dependˆencia. repentino. Exemplos: O carro de Ronaldo ´e preto. A canela estava sobre a mesa. Classifica¸c˜ ao Principais Preposi¸c˜ oes A Em Sob Com Tr´as De Sem Ap´os Para Por At´e Entre Perante Ante Desde Sobre contra Conjun¸ c˜ ao Palavra que liga ora¸co˜es ou termos da ora¸ca˜o. Conjun¸c˜ oes Coordenativas Ligam ora¸co˜es independentes. Ex: A noite chover´a muito, portanto devo levar um guarda chuva ao trabalho. • Advertˆ encia: alerta!, cuidado! • Afugentamento: fora!, rua! • Alegria: ah!, ol´a! • Alivio: ufa! • Anima¸ c˜ ao: coragem!, avante! • Apelo: alo!, psiu! • Aplauso: apoiado!, baixo!, bravo! • Avers˜ ao: xi! ih! • Cess˜ ao: basta!, chega! • Desejo: Oxal´a!, pudera! • Dor: ai!, ui! • Admira¸ c˜ ao: u´e!, uai! L´ıngua Portuguesa – 11 301 Pronome ` a palavras que substitui ou acompanha o substantivo, E definido os limites de significa¸ca˜o. Exemplo: Meu irm˜ao comprou um livro, mas n˜ ao o leu. Classifica¸c˜ ao 1. Pronomes Pessoais: representam as trˆes pessoas gramaticais: primeira, segunda e terceira. • Reto: sujeito Reto eu tu ele, ela n´ os v´os eles, elas Obl´ıquo me, mim, comigo te, ti, contigo se,si, consigo, o, a ,lhe n´ os, nos, conosco v´os, vos, covosco se, si, consigo, os, as,lhes 2. Pronome Possessivo: indicam posse. Pronome Possessivo Meu minha Nosso nossa Teu tua Vosso vossa Se sua Seus suas Exemplo: Minha cal¸ca rasgou. 3. Pronome Demonstrativo vari´aveis Este (s), esta(s) Esse(s), essa(s) Aquele(s), aquela(s) 4. Pronome Indefinido Invari´aveis isto isso aquilo Invari´aveis Que Quem Onde Exemplos: A casa foi demolida. A casa tinha portas verdes. A casa, cujas portas eram verdes foi demolida. 7. Pronome de Tratamento: trato familiar, cortes, cerimonioso. • O senhor, a senhora: tratamento cerimonioso. Exem plo: Gostaria de falar com vocˆe para lhe contar a verdade Pronome Pessoal eu n´ os tu v´os ele eles vari´aveis O qual, a qual, as quais, os quais Cujo, cujas, cujo, cuja Quanto, quanta, quantos, quantas • Vocˆ e: tratamento familiar • Obl´ıquo: complemento Pessoa 1o singular 2o singular 3o singular 1o plural 2o plural 3o plural 6. Pronome Relativo: s˜ao aos que se referem a um substantivo anterior a eles, substituindo o na ora¸ca˜o seguinte. • Vossa alteza: (V. A): pr´ıncipes, duques. • Vossa Eminˆ encia: cardeais • Vossa Excelˆ encia: altas autoridades • Vossa Magnificˆ encia: reitor de universidade • Vossa Majestade: reis • Vossa Santidade: papas • Vossa Senhoria: tratamento geral Cerimonioso • Vossa Reverend´ıssima: sacerdote Exemplo: Esperamos, Sr. Ministro, que Vossa Excelˆencia tenha apreciado o esfor¸co da nossa equipe. Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Revis˜ao das aulas 9 a 12. 1. (Acafe) A alternativa em que o coment´ ario entre parˆenteses ´e FALSO, quanto ao termo destacado, ´e: a) O barulho perturba-me o racioc´ınio.(substitui meu). b) O pior cego ´e o que n˜ ao vˆe.(pode ser substitu´ıdo por Indicam algo aquele). ao lhe tinham dito nada.(pode ser substitu´ıdo por a ele perto de quem falac) N˜ perto de quem ouveou a ela). ao que ladra n˜ ao morde”.(substitui a palavra c˜ ao). longe de ambos d) ”C˜ e) Aquele menino, vi-o ontem.(refere-se a aquele). 2. (ACAFE) ”..... ouvi no r´adio a can¸ca˜o que fiz para ......... • Vari´ aveis: algum, nenhum, todo, muito, pouco, , ..... chorei.” a) Derrepente – ti – porisso certo, outro, tanto, v´arios, bastante, qualquer. b) De repente – ti – por isso • Invari´ aveis: algo, algu´em, nada, ningu´em, tudo, c) De repente – tu – por isso cada, outrem, quem. d) Derrepente – tu – por isso e) De repente – tu – porisso Exemplo: Algu´em falava de flores. 3. (ACAFE) Assinale a alternativa em que a part´ıcula SE ´e conjun¸ca˜o subordinativa condicional. a) N˜ ao sei se todos vocˆes ficaram satisfeitos. Observa¸ c˜ ao b) N˜ ao se deixe iludir por valores passageiros. c) Vendem-se pedras cortadas. N˜ ao existe “menas”. Ex. “Cada dia vejo menas casas d) O deputado costuma se dar muito valor. por aqui!” e) Vou busc´ a-lo se meu pai emprestar o carro. 5. Pronome Interrogativo: usado para indaga¸ca˜o 4. Era para ....... falar ........ ontem, mas n˜ ao ........ enconQue, quem, qual, quais, quantos, quantas. trei em parte alguma. a) mim – consigo – o Exemplo: Qual ser´a a rea¸ca˜o dele? 302 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC b) eu – com ele – lhe c) mim – consigo – lhe d) mim – contigo – te e) eu – com ele – o 5. (UDESC) Assinale a alternativa que cont´em a jun¸ca˜o das duas ora¸co˜es apresentadas num s´o per´ıodo, usando um pronome relativo. — Esta ´e Ana. — Eu posso contar com a colabora¸ca˜o de Ana. a) Esta ´e Ana, com quem eu posso contar com a colabora¸ca˜o dela. b) Esta ´e Ana, cuja colabora¸ca˜o eu posso contar. c) Esta ´e Ana, a qual eu posso contar com sua colabora¸ca˜o. d) Esta ´e Ana, com cuja colabora¸ca˜o eu posso contar. e) n. d. a. ´ necess´ario que inicialmente eles ...........os 6. (UDESC) E ˆnimos dos espectadores. a Mesmo nos dias atuais, muitos pa´ıses ainda............arsenais nucleares. Seus atos inconsequentes..........constantemente na tranquilidade da fam´ılia. Ele n˜ ao.............comparecer ` a reuni˜ ao, pois se encontrava acamado. Os bondosos filhos, um conjunto de qualidades s´olidas,........ a casa dos velhos pais do necess´ario. — www.mundofisico.joinville.udesc.br a) eu provi minha despensa com tudo que ´e necess´ario. b) se a lei predizer os casos com clareza, a interpreta¸ca˜o ser´a mais f´acil. c) os guardas deteram durante 15 minutos. d) ele nunca nomea as pessoas que denuncia. e) n. d. a. 10. Dentre as frases abaixo, todas em linguagem coloquial, a alternativa que emprega as palavras em negrito CORRETAMENTE, ´e: a) Gosto dessa profiss˜ao, onde posso ampliar meus conhecimentos tecnol´ ogicos, b) Por favor, j´a disse para vocˆ e que vocˆe n˜ ao serve para mim namorar, c) Os livros que trouxemos para tu leres servir˜ao para a leitura do vestibular, d) Quando ele ter disponibilidade de tempo, poder´ a fazer o curso, e) Esses ingredientes do bolo n˜ ao servem para mim faze-lo. 11. (UDESC) Assinale a alternativa em que o verbo foi grafado de maneira errada. a) Eles insinuaram sobre o fato e n´ os nos precavemos contra essas atitudes, b) Os estudantes reivindicam seus direitos na u ´ ltima assembl´eia, c) Vamos demolir a tua maquete, d) Se o vires, pede para entrar em contato conosco urgenA alternativa que preenche CORRETAMENTE, e em temente, sequˆencia, as lacunas das frases acima ´e: e) N´ os iremos ao cinema amanh˜a. a) Apaziguem - mantˆem - intervˆem - pˆ ode - proveem. b) Apazig´ uem - mant´em - intervˆem - pˆ ode - provˆem. c) Apaziguem - mant´em - interv´em - pode - provˆem. d) Apaziguem - mant´em - interv´em - pode - proveem. e) n. d. a. L´ıngua Portuguesa 12 7. Selecione a sequˆencia adequada para preencher as frases seguintes: I) N´ os n˜ ao concordamos em perdo´a-lo da infra¸ca˜o para n˜ ao se ........ precedentes. II) Fa¸ca aquilo que melhor lhe ........ III) Poderemos colaborar na campanha se vocˆe n˜ ao se ......... IV) Impostos excessivos ........ o povo contra o governo. V) Ele ........ na quest˜ ao da influˆencia do mundo virtual na mundo real. a) Abrir, convir, opor, indisp˜ oe, interviu. b) Abrirem, convier, opuser, indisp˜ oem, interveio. c) Abrirem, convier, opuser, indisp˜ oem, interveio. d) Abrir, convier, opor, indisp˜ oem, interviu. e) Abrir, convir, opuser, indisp˜ oe , interveio. Interpreta¸c˜ ao de Texto Pense um Pouco! Para falar e escrever bem ´e preciso, al´em de conhecer o padr˜ ao formal da l´ıngua Portuguesa, saber adequar o uso da linguagem ao contexto discursivo. Que discurso est´ a descrito no texto abaixo? Vamos ler? Leia o texto ”A´ı, galera”, de Lu´ıs Fernando Ver´ıssimo. No texto, o autor brinca com situa¸co˜es do discurso oral que foge `a expectativa do ouvinte. A´ı, galera. 8. Indique a alternativa CORRETA quanto ` a classifica¸ca˜o das palavras sublinhadas nesta proposi¸ca˜o. ”Todo o mundo precisa, quer dinheiro, o pobre para enganar a mis´eria, o rico para ficar riqu´ıssimo, o pecador para satisfazer seus desejos, o santo para as suas caridades.” a) Adjetivo, adv.de modo, verbo infinitivo impessoal. b) Substantivo, conjun¸ca˜o, verbo na forma rizotˆ onica. c) Adv´erbio, adjetivo, verbo futuro do pret´erito. d) Pronome, interjei¸ca˜o, adv.de companhia. e) Substantivo, substantivo, verbo infinitivo pessoal. Jogadores de futebol podem ser v´ıtimas de estereotipac˜ ao. Por exemplo, vocˆe pode imaginar um jogador de futebol dizendo ”estereotipa¸ca˜o”? E, no entanto, por que n˜ ao? 9. A frase em que a forma verbal, em negrito, est´ a corretamente empregada ´e: – A´ı, galera. – A´ı, campe˜ ao. Uma palavrinha pra galera. – Minha sauda¸ca˜o aos aficionados do clube e aos demais desportistas, aqui presentes oi no recesso dos seus lares. – Como ´e? – Quais s˜ao as instru¸co˜es do t´ecnico? L´ıngua Portuguesa – 13 – Nosso treinador vaticinou que, com um trabalho de conten¸ca˜o coordenada, com energia otimizada, na zona de prepara¸ca˜o, aumentam as probabilidades de recuperado o esf´erico, concatenarmos um contragolpe agudo com parcimˆ onia de meios e extrema objetividade, valendo-nos da desestrutura¸ca˜o momentˆ anea do sistema oposto, surpreendido pela revers˜ao inesperada do fluxo da a¸ca˜o. –Ahn? ´ pra dividir no meio e ir pra cima pra peg´a – E eles sem cal¸ca. – Certo, vocˆe quer dizer mais alguma coisa/? – Posso dirigir uma mensagem de car´ ater sentimental, algo banal, talvez mesmo previs´ıvel e piegas, a uma pessoa a qual sou ligado por raz˜ oes, inclusive, gen´eticas? – Pode. – Uma sauda¸ca˜o para minha progenitora – Como ´e? – Alˆo mam˜ae! – Estou vendo que vocˆe ´e um, um... – Um jogador que confunde o entrevistador, pois n˜ ao corresponde a expectativa de que o atleta seja um ser algo primitivo com dificuldade de express˜ ao e assim sabota a estereotipa¸ca˜o? – Estere... o quˆe? – Um chato? – Isso? 303 tamb´em uma inadequa¸ca˜o da linguagem usada ao contexto: a) ”O carro bateu e capoto, mas num deu pra vˆe direito”(um pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro que vai passando). b) ”E a´ı, o meu! Como vai essa forca?”(um jovem que fala a um amigo)”. c) ”S´o um instante”. Eu gostaria de fazer uma observa¸ca˜o ”. (algu´em comenta em uma reuni˜ao de trabalho)”. d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar - me ao cargo de Secret´ aria Executiva desta conceituada empresa”. (algu´em que escreve uma carta candidatando - se a um emprego). e) ”Porque se a gente n˜ ao resolve as coisas como tem que ser, a gente corre o risco de termos, num futuro pr´oximo, muito pouca comida nos lares brasileiros-- um professor universit´ario em um congresso internacional. 4. (UFES) ”Mas que significam as palavras? Que significam, na verdade, as palavras? Que significa a palavra verdade, a palavra mentira ou a palavra amor?”A afirmativa incorreta em rela¸ca˜o ao conceito de literatura ´e: a) literatura ´e linguagem carregada de significado. b) no texto liter´ario, as palavras possuem predominantemente o sentido denotativo. c) em literatura, cada palavra tem mil faces secretas sob a face neutra. d) O texto liter´ario ´e plurissignificativo, pass´ıvel de v´arias interpreta¸co˜es. e) A linguagem liter´aria e predominantemente conotativa e metaf´orica. L´ıngua Portuguesa 13 Exerc´ıcios de Aplica¸ c˜ ao Textos e Linguagens 1. A express˜ao ”peg´a eles sem cal¸ca”poderia ser substitu´ıda, sem comprometimento de sentido, em l´ıngua culta formal, por: a) peg´a-los na mentira. b) peg´a-los desprevenidos. c) peg´a-los em flagrantes. d) peg´a-los rapidamente. e) peg´a-los momentaneamente. 2. O texto relata duas situa¸co˜es que fogem a expectativa do p´ ublico. S˜ ao elas: a) a sauda¸ca˜o do jogador aos torcedores do clube, no inicio da entrevista, e a sauda¸ca˜o final dirigida a sua m˜ae. b) linguagem muito formal do jogador, inadequada a situa¸ca˜o da entrevista, e um jogador que fala, com desenvoltura, de modo muito rebuscado. c) o uso da express˜ao ”galera”por parte do entrevistado, e da express˜ao ”progenitora”por parte do jogador. d) o desconhecimento, por parte do entrevistador, da palavra ”estereotipa¸ca˜o”, e a fala do jogador em ”´e pra dividir no meio e ir pra cima pra peg´a eles sem cal¸ca”. e) o fato de os jogadores de futebol serem vitimas de estereotipa¸ca˜o e o jogador entrevistado n˜ ao corresponder ao estere´otipo. 3. O texto mostra uma situa¸ca˜o em que a linguagem usada ´e inadequada ao contexto. Considerando as diferen¸cas entre l´ıngua escrita e falada, assinale a op¸ca˜o que representa Narra¸c˜ ao - personagem em a¸c˜ ao A narra¸ca˜o consiste em contar um fato, uma hist´oria, um acontecimento real ou imagin´ario [fic¸ca˜o]. Na narra¸ca˜o aparecem personagem em a¸ca˜o, com caracter´ısticas pr´oprias, em circunstˆ ancias de tempo e espa¸co. A maioria dos textos narrativos expressa a¸ca˜o, movimento. E frequente o uso de di´alogos com as falas das personagens. As linguagens narrativas s˜ao v´arias: • verbal: oral ou escrita; • teatral: em quadrinhos ou sequˆencias de desenhos, fatos que contam uma hist´oria. O desenvolvimento dos fatos se da pelas a¸co˜es das personagens. No desenrolar dos acontecimentos geralmente h´ a um ponto culminante, chamado cl´ımax, em que a hist´oria atinge seu momento de maior interesse e dramaticidade. O desfecho finaliza a hist´oria. Foco Narrativo – ponto de vista O narrador pode enfocar a hist´oria (os fatos) de dois modos: 1. como personagem: narrador participando dos acontecimentos; 304 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC 2. como observador: apenas relatados os fatos. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Nur na Escurid˜ ao O autor Descri¸c˜ ao – retratando a realidade Descrever ´e fazer um retrato, uma imagem, de pessoas, lugares, animais, objetos. A boa descri¸ca˜o procura dar ao ouvinte ou leitor a impress˜ao de estar presenciando o que est´ a sendo escrito.Uma descri¸ca˜o pode apresentar os aspectos gerais vis˜ao global ou particulares, chamando a aten¸ca˜o sobre os detalhes. Quando descrevemos personagens, podemos evidenciar os aspectos f´ısicos ou psicol´ogicos ou, ainda, combinar os dois. Roteirista, jornalista, editor de livros, cr´ıtico liter´ ario, Salim Miguel teve seu ”Nur na Escurid˜ao”eleito como o melhor romance de 1999 pela Associa¸ca˜o Paulista dos Cr´ıticos de Arte. Na descri¸ca˜o, a adjetiva¸ca˜o assume importˆ ancia para retratar qualidades, defeitos, cores, enfim, as caracter´ısticas do que est´ a sendo descrito. Os verbos de liga¸ca˜o tamb´em marcam sua presen¸ca, pois, se prestam bem para atribuir caracter´ısticas aos seres. Ponto de Vista Um fot´ografo pode conseguir uma imagem real ou distorcida daquilo que fotografa. De igual modo, cada pessoa tem uma maneira de observar, sentir e descrever a realidade - e o seu ponto de vista, que pode ser objetivo, procurando retratar o real com precis˜ao, ou subjetivo, de acordo com seu estado de esp´ırito, suas emo¸co˜es naquele momento ou suas pretens˜oes est´eticas. Disserta¸c˜ ao A linguagem argumentativa/persuasiva. Dissertar ´e desenvolver um pensamento, um conceito, dar uma opini˜ao. Quem disserta procura explicar os fatos, as id´eias, apresentando causas, efeitos, tecendo coment´ arios, comprovando seus argumentos, a fim de influenciar convencer o leitor ou ouvinte. Para tanto, deve ter cuidado na sequˆencia das id´eias, na coes˜ ao do texto ou da fala. A narra¸ca˜o, a descri¸ca˜o e a disserta¸ca˜o podem aparecer num ´ comum o narrador caracterizar personagens mesmo texto. E e ambientes por meio da descri¸ca˜o e introduzir na hist´oria momentos de argumenta¸ca˜o. Dizemos que um texto ´e narrativo, descritivo ou dissertativo na medida em que predomina uma dessas modalidades. Os textos narrativos, descritivos e dissertativos podem ser redigidos em prosa ou em versos. Pense um Pouco! Uma reda¸ca˜o de vestibular deve ser escrita em alguma forma espec´ıfica? Comente. Literatura Aula 14 Figura 1: Salim Miguel. Personagens • Yussef Miguel (pai) - Libanˆes, de Kfarssouroun, imigrante que chega ao Brasil para se tornar comerciante. Aqui, era tamb´em chamado de Jos´e, Miguel, Z´e Gringo, Z´e Turco ou, simplesmente, Seu Z´e. • Tamina (m˜ ae) - Libanesa, de Amiun; companheira insepar´ avel de Yussef; o ap´oia em todas as decis˜ oes; ´e uma excelente m˜ae e, ainda, uma mulher forte e persistente; morre aos 50 anos, ap´os a morte do filho ca¸cula. O casal possui sete filhos: 1. Salim Miguel - Filho mais velho, autor do livro. 2. F´adua - Filha mais velha, morre naturalmente em sua cama, j´a em Florian´opolis. ´ tamb´em libanesa, veio com os pais para 3. Hend - E o Brasil, em 1927. 4. Jorge - Primeiro filho brasileiro. 5. Sayde - o quinto filho, nasce em Alto Bigua¸cu, em 1931. 6. Fauzi - Este tamb´em ´e brasileiro, nasce em Bigua¸cu. 7. Samir - O ca¸cula. Morre aos 12 anos, devido `a anestesia que lhe foi aplicada antes da cirurgia para retirar um fur´ unculo. 8. Hanna (tio) - Fiel irm˜ao de Tamina que vem para o Brasil com a fam´ılia e, tempos depois, muda-se para Porto Alegre. Resumo O romance ”Nur na escurid˜ao”, de Salim Miguel, apresentase dividido em 30 cap´ıtulos, todos devidamente intitulados - e cada t´ıtulo ´e uma palavra-chave, uma s´ıntese do assunto 305 Literatura – Aula 15 ´ a hist´oria abordado - e traz como tema maior ` a imigra¸ca˜o. E de uma fam´ılia de libaneses que chega no Brasil em 1927: o pai, a m˜ae, trˆes filhos e o irm˜ ao da m˜ae. Um dos filhos do casal, o mais velho, de apenas trˆes anos, chama-se Salim; Salim Miguel, o autor desta obra. Trata-se, portanto, de um romance autobiogr´afico, onde o autor relata as dificuldades e o preconceito encontrado pela fam´ılia estrangeira at´e chegar `a Am´erica, mais especificamente no Rio de Janeiro, sua instala¸ca˜o em S˜ ao Pedro de Alcˆ antara, Bigua¸cu e, posteriormente, em Florian´opolis, ”na Av. Rio Branco, 84”. A narrativa tem seu tempo delimitado entre os anos 20 e 80, mas o n´ ucleo central est´ a localizado entre 1920 e 1950. A narra¸ca˜o ´e feita em terceira pessoa e, curiosidade, raramente o narrador chama o filho mais velho (ele pr´oprio) pelo nome. De acordo com a cr´ıtica, a narrativa ”´e montada como um jogo de armar: comporta labirintos, deslocamentos no tempo, idas e vindas, d´ uvidas e certezas, retifica¸co˜es e ratifica¸co˜es”. Al´em disso, h´ a detalhes t˜ ao descritivos, que o leitor parece estar visualizando cada cena. Neste romance, Salim Miguel, traz, enfim, al´em de sua pr´opria hist´oria, um pouco mais da hist´oria dos libaneses e descendentes destes no Brasil que, estima-se, serem mais de 6 milh˜ oes, mostrando-nos a diversidade de etnias que comp˜oem o cen´ario brasileiro. Vale, ainda, lembrar que ”Nur na Escurid˜ ao”foi considerado o melhor romance de 2000, pela Associa¸ca˜o Paulista de Cr´ıticos de Arte, e que recebeu o ”2o Prˆemio Passo Fundo Zaffari Bourbon de Literatura”. Biografia Salim Miguel nasceu no L´ıbano, mas passou a infˆancia e a mocidade em contato com as regi˜ oes de coloniza¸ca˜o alem˜ a e a¸coriana da regi˜ao de Bigua¸cu, na Grande Florian´opolis. Em 1946 cria, com mais alguns autores catarinenses o Grupo Sul. Faz cinema, dirige document´ arios e participa do primeiro longa - metragem realizado em Santa Cataria, cujo argumento foi escrito em colabora¸ca˜o da sua esposa Egle Malheiros. Literatura Aula 15 A colina dos suspiros O autor ”Escrevo pelo prazer de criar situa¸co˜es e personagens (nesta ordem, infelizmente).” Resumo Futebol, intriga, paix˜ao e mist´erio s˜ao os ingredientes desta hist´oria. A hist´oria ´e ver´ıdica. Nos anos 70, o Esporte Clube Cruzeiro, de Porto Alegre, vendeu seu est´ adio e o lugar se tornou um cemit´erio (Jo˜ ao XXIII). Entre os torcedores do time figura o escritor ga´ ucho Moacyr Scliar, que inspirado no epis´odio escreveu um romance divertido. Justamente sobre uma equipe decadente cujo campo vai abrigar Figura 1: Moacyr Scliar. a Pirˆamide do Eterno Repouso. Entre os tipos pitorescos que recheiam a trama, o mais estranho ´e Rubinho, craque com potencial de gˆenio, atormentado por assombra¸co˜es. A ascendˆencia russa e a cultura judaica s˜ao decisivas na obra de Moacir Scliar, assim como os conhecimentos, experiˆencias e vivˆencia de m´edico sanitarista. Futebol ´e o tema de A colina dos suspiros, do ga´ ucho Moacyr Scliar, e a pequena cidade de Pau Seco ´e o cen´ario. Da realidade `a fic¸ca˜o, o autor apresenta neste romance a pequena cidade de Pau Seco, com dois clubes de futebol que se digladiam h´ a muito tempo. Futebol em Pau Seco ´e o que move ou paralisa a cidade. O est´ adio fica junto do cemit´erio. Ali, o Pau Seco Futebol Clube, `a beira da falˆencia, cede seu est´ adio para a constru¸ca˜o de um cemit´erio. A salva¸ca˜o est´ a em Rubinho, um dos trabalhadores da obra, que se revela um extraordin´ario jogador. Rubinho, a poss´ıvel salva¸ca˜o dos paussequenses, ´e o jogador-revela¸ca˜o da cidade, que sofre uma humilha¸ca˜o p´ ublica, pois tem medo de marcar gol em frente ao t´ umulo do falecido ´ıdolo Bugio. Desaparece, e s´o tem um desejo vingan¸ca. Trata-se de um momento decisivo em sua vida. Com humor e sutileza, quest˜ oes ´eticas, pol´ıticas, sociais, familiares, amorosas, o bem e o mal s˜ao discutidos.O cemit´erio volta a ser est´ adio. A´ı aparece de tudo: coronel todo-poderoso com seus mandos e desmandos, pobre que sai do anonimato para a riqueza sem preparo, maracutaias e espertezas. Esta narrativa ter´ a surpreendentes desdobramentos e tamb´em por isso, fascina o p´ ublico jovem ou, melhor, de qualquer idade. Com humor e sutileza, Moacyr Scliar discute quest˜ oes ´eticas, pol´ıticas, sociais, familiares, amorosas, o bem e o mal. Com humor leve, essa saborosa crˆonica cativa pelo ´otimo texto, s´o interrompido pelas risadas que desperta. Personagens • Rubinel Silva (o Rubinho) - Rapaz de uns vinte anos, meio esquisito, ex-ajudante de pedreiro que vem a se tornar her´ oi do time de Pau Seco. • Bugio - Craque de futebol que morre em campo, logo ap´os ser comprado pelo time de Pau Seco. • Maria Aparecida - Mulher de Bugio; tem uma forte personalidade e enfrenta todos os poderosos da regi˜ao. 306 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC • Isabel - Filha de Bugio, por quem Rubinho se apaixona; forma-se em psicologia e casa-se com um m´edico. • Manuelz˜ao - Pai de Rubinho — www.mundofisico.joinville.udesc.br No Tempo das Tangerinas Biografia da autora Exclu´ıdas pequenas ausˆencias, sua vida decorre sempre nos • Coronel Chico Pedro - Patrono do time Pau Seco; ho- pequenos vales de Itaja´ı. A autora refaz a hist´oria da colomem de grande influˆencia na regi˜ ao. niza¸ca˜o do vale do Itaja´ı, vista de dentro, atrav´es do viver simples e comum do menor grupo social, a fam´ılia. • Doutor Ramiro - Faz parte da diretoria do time de Pau Seco e ´e administrador do cemit´erio - ´e o idealizador da Pirˆamide do Eterno Repouso, projeto que nunca saiu do papel. • Ant˜ ao - diretor de futebol de Pau Seco. • Ranulfo - diretor social de Pau Seco. • Sezefredo - Contador e diretor administrativo de Pau Seco. • Lib´ orio - Morador de Pau Seco, paquerador e o u ´ nico que possui telefone na cidade. • Bento de Oliveira Machado - Empres´ ario rico e patrono do time Uni˜ ao e Vit´ oria. Biografia Moacyr Scliar “Acredito, sim, em inspira¸ca˜o, n˜ ao como uma coisa que vem de fora, que ‘baixa’ no escritor, mas simplesmente como o resultado de uma peculiar introspec¸ca˜o que permite ao escritor acessar hist´orias que j´ a se encontram em embri˜ ao no seu pr´oprio inconsciente e que costumam aparecer sob outras formas - o sonho, por exemplo. Mas s´o inspira¸ca˜o n˜ ao ´e suficiente”. Moacyr Jaime Scliar nasceu em Porto Alegre (RS), no Bom Fim, bairro que at´e hoje re´ une a comunidade judaica, a 23 de mar¸co de 1937, filho de Jos´e e Sara Scliar. Sua m˜ae, professora prim´ aria, foi quem o alfabetizou. Cursou, a partir de 1943, a Escola de Educa¸ca˜o e Cultura, daquela cidade, conhecida como Col´egio I´ıdiche. Transferiu-se, em 1948, para o Col´egio Ros´ ario, uma escola cat´ olica. Em 1955, passou a cursar a faculdade de medicina da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, em Porto Alegre (RS), onde se formou em 1962. Em 1963, inicia sua vida como m´edico, fazendo residˆencia em cl´ınica m´edica. Trabalhou junto ao Servi¸co de Assistˆencia M´edica Domiciliar e de Urgˆencia (SAMDU), daquela capital. Publica seu primeiro livro, ”Hist´ orias de um M´edico em Forma¸ca˜o”, em 1962. A partir da´ı, n˜ ao parou mais. S˜ ao mais de 67 livros abrangendo o romance, a crˆ onica, o conto, a literatura infantil, o ensaio, pelos quais recebeu in´ umeros prˆemios liter´arios. Sua obra ´e marcada pelo flerte com o imagin´ ario fant´ astico e pela investiga¸ca˜o da tradi¸ca˜o judaico-crist˜ a. Algumas delas foram publicadas na Inglaterra, R´ ussia, Rep´ ublica Tcheca, Eslov´aquia, Su´ecia, Noruega, Fran¸ca, Alemanha, Israel, Estados Unidos, Holanda e Espanha e em Portugal, entre outros pa´ıses. Literatura Aula 16 Figura 1: Urda Alice Klueger. Resumo Romance narrado em 3a pessoa. Regionalismo alem˜ ao ´ a hist´oria de Guilherme Sonne, neto hist´orico e ficcional. E de Julius Sonne, filho de Julius Humberto Sonne, descendentes do 1o colonizador alem˜ ao vindo para Blumenau no s´eculo XVIII. Humberto Sonne ´e protagonista do romance Verde Vale; No Tempo das Tangerinas ´e, portanto, uma sequˆencia da coloniza¸ca˜o de Blumenau. O livro se inicia com a bela descri¸ca˜o da paisagem local, da fam´ılia Sonne, o pai, a m˜ae Lucy, que teria vindo para o Brasil fugindo da 1a Guerra Mundial, e seus 10 filhos: Humberto-Gustavo, Guilherme, Wilhelm, Julius, Arnaldo, as irm˜as Margeritha, Emma, Anneliese, Priscila e a tempor˜ a ´ neste cen´ario que a fam´ılia recebe not´ıcias de uma K´atia. E 2a Guerra Mundial, que seguem ouvindo informa¸co˜es pela emissora alem˜ a. Blumenau ainda era extens˜ao da Alemanha, falavam a mesma l´ıngua, tinham as mesmas tradi¸co˜es; a diferen¸ca ´e que l´a reinava a mis´eria, a doen¸ca, aqui a fartura. No mˆes de maio, as tangerinas carregavam as ´arvores dos morros e exalavam um aroma inesquec´ıvel por gera¸co˜es; para l´a que as crian¸cas se dirigiam, faziam suas brincadeiras e discutiam as dificuldades da guerra. Com o ingresso do irm˜ao mais velho no Ex´ercito, Guilherme far´a os servi¸cos mais pesados; Cristina, bisneta de Humberto Sonne, viria para o Brasil fugindo da guerra, e Guilherme nutrir´ a paix˜ao platˆonica pela prima at´e se apaixonar por Terezinha, des- 307 Literatura – Aula 17 cendente de italianos, provinda de Bigua¸cu, motivo de rejei¸ca˜o da m˜ae por consider´ a-la miscigenada. Tamb´em foi por racismo que Guilherme n˜ ao soube do parentesco com o mulato Alex Westarb, seu primo, fruto da uni˜ ao do tio Reno e Elisa, uma mulata brasileira. Lucy se abate ao saber que o navio Bismarck fora afundado e n˜ ao via a hora de a Alemanha se reerguer e ser vingada (lembrou-se da 1a Guerra). Guilherme servir´a o Ex´ercito e saber´a da gravidez de sua m˜ae, seu d´ecimo irm˜ ao, na verdade K´atia, uma irm˜a. No servi¸co, Emma o substituir´ a e, com tino para os neg´ ocios, prosperar´ a. Em janeiro de 1942 o Brasil rompe rela¸co˜es com o Eixo Alemanha, de amea¸ca passar´a para a condi¸ca˜o de inimiga para os brasileiros, motivo de muita dor para quem tinha dupla nacionalidade. Soldados brasileiros invadem a casa dos Sonne e o Brasil declara guerra ` a Alemanha. HumbertoGustavo ser´a obrigado a ir para a guerra, mas Guilherme, na v´espera, contrairia mal´aria, o que o poupou de ir a campo e o medo de perder o filho, fez Lucy aceitar seu namoro com Terezinha.A guerra continuava assustadora, Emma ´e presa por estar falando Alem˜ ao com outras mo¸cas. Guilherme e Terezinha se casam, mas quando ´e novamente convocado para se alistar, a febre reaparece, salvando-o. Humberto volta da guerra, marcado por granadas, deixa para tr´ as os companheiros Klaus e Dirceu. Nasce em 1945, Lucy Maria Sonne, filha de Guilherme e Terezinha. 30 anos ap´os a guerra, o her´ oi est´ a amadurecido, perceberia que a guerra n˜ ao acabava nunca e que o tempo das tangerinas, marca de sua infˆancia e inocˆencia, voltava sempre, fazendoo esquecer, com seu aroma, as dificuldades do dia-a-dia. Literatura Aula 17 O menino no espelho O autor Personagens Principais • Fernando: menino cheio de imagina¸ca˜o que narra suas aventuras; chefe do Departamento Especial de Investiga¸co˜es e Espionagem Olho de Gato, com o codinome secreto de Odnamref. (Na verdade ´e o pr´oprio autor contando as suas travessuras de infˆancia) • Hindemburgo: um pastor alem˜ ao deste tamanh˜ ao, mas que tem medo de gatos, quando vˆe um, mete o rabo entre as pernas e foge correndo. Figura 1: Fernando Sabino. o nome do coelho, em russo, afirma¸ca˜o que Fernando desconfiava n˜ ao ser verdade. Resumo O livro come¸ca com o menino Fernando narrando o caos que se instalava em sai cada nos dias de chuva. Era um correcorre dos diabos, gente de um lado para o outro tentando conter as goteiras, para evitar uma inunda¸ca˜o. Se aquilo era um aborrecimento para os mais velhos, para ele era uma das mais excitantes distra¸co˜es. Passado o temporal, o pai invariavelmente subia ao forro da casa pelo al¸cap˜ao para constatar que n˜ ao havia nenhuma telha quebrada por onde pudesse penetrar tanta ´agua. Aquilo era um mist´erio, como muitos outros que rondavam aquela casa. Por´em, o maior mist´erio de todos se manifestou depois de um desses dias de chuva. Assim que o temporal passou, o menino Fernando foi brincar no quintal, como sempre fazia. Descal¸co, pouco se incomodando com a lama em que seus p´es se afundavam, gostava de abrir regos para que as po¸cas d?´agua, como pequeninos lagos, escorressem pelo declive do terreiro, formando o que para ele era um caudaloso rio. O menino se distraia fazendo descer por ele barquinhos de papel, que eram grandes caravelas de piratas. • Fernanda: galinha de estima¸ca˜o de Fernando salva por ele do terr´ıvel destino de ser feita ao molho pardo A distra¸ca˜o desta vez foi uma fila de formigas a caminho para o almo¸co do Dr Junqueira. do formigueiro, que o rio aberto por ele havia interrompido. • Alzira: cozinheira da fam´ılia e assassina de galinhas. As formigas, atarantadas, procuravam, em v˜ao, um jeito de atravessar aquele obst´aculo. O menino resolveu colaborar. • Mariana: filha de Dona Cacilda, a vizinha da casa Apelando para seus conhecimentos de engenharia, construiu ao lado, membro do Departamento Especial de Inves- uma ponte com peda¸cos de bambu abertos ao meio, por onde tiga¸co˜es e Espionagem Olho de Gato, sob o codinome as formigas podiam passar. Fernando procurava orientar a de Anairam. fila das formigas com um pauzinho. • Pastoff: coelho cinzento que o pai de Fernando lhe deu Enquanto estava empenhado nisso, sentiu que havia algu´em de presente ap´os a morte da galinha Fernanda. Gerson em p´e, atr´ as de si. Uma voz de homem perguntou o que ele o irm˜ao mais velho de Fernando, dizia que Pastoff era estava fazendo. Sem se voltar ele explicou o que tentava fa- 308 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC zer, restabelecendo o trafego das formigas. O homem se agachou ao seu lado. Era um desconhecido. Fernando gostou do homem, ele sabia uma por¸ca˜o de coisas que ele tamb´em sabia. Ficaram conversando um temp˜ao, como dois amigos, embora o homem fosse cinquenta anos mais velho que o menino. Fernando tamb´em lhe contou uma por¸ca˜o de coisas sobre sua vida e suas aventuras. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Literatura Aula 18 Sucupira, ame-a ou deixe-a Autor Antes de ir embora o homem disse que tinha outra coisa para ensinar ao menino. — Vocˆe quer conhecer o segredo de ser um menino feliz para o resto da vida? — Quero, respondeu o menino. — O segredo se resumia em trˆes palavras, que ele pronunciou com intensidade, m˜aos nos meus ombros e olhos nos meus olhos. Pense nos outros. Na hora o menino achou o segredo meio sem gra¸ca. S´ o mais tarde ele veio a entender o conselho que deixara de cumprir tantas vezes na vida, mas que sempre dera certo quando se lembrava de segui-lo, fazendo -o feliz como um menino. O homem se curvou, deu um beijo na testa do menino e se despediu. Limitou-se a apenas sorrir quando Fernando perguntou quem ele era. Disse adeus com um aceno, e foi-se embora para sempre. Outros Cap´ıtulos • Galinha ao molho pardo, • O canivetinho vermelho, • Como deixei de voar, • Uma aventura na selva, • O valent˜ ao da minha escola, • Minha gl´oria de campe˜ ao, • Nas garras do primeiro amor, • A liberta¸ca˜o dos passarinhos. Biografia Fernando Tavares Sabino, filho do procurador de partes e representante comercial Domingos Sabino, e de D. Odete Tavares Sabino, nasceu a 12 de outubro de 1923, Dia da Crian¸ca, em Belo Horizonte. Em 1930, ap´os aprender a ler com a m˜ae, ingressa no curso prim´ ario do Grupo Escolar Afonso Pena, tendo como colega H´elio Pellegrino, que j´a era seu amigo dos tempos do Jardim da Infˆ ancia. Torna-se leitor compulsivo, de tal forma que mais de uma vez chega em casa com um galo na testa, por haver dado com a cabe¸ca num poste ao caminhar de livro aberto diante dos olhos. Desde cedo revela sua inclina¸ca˜o para a m´ usica, ouvindo atentamente sua irm˜a e o pai ao piano. Em 1982, lan¸ca o romance ”O Menino no Espelho”, ilustrado por Carlos Scliar, que passa a ser adotado em in´ umeros col´egios do pa´ıs. Percorre v´arias cidades brasileiras, participando do projeto Encontro Marcado, ciclo de palestras de escritores nas universidades provido pela IBM. O autor faleceu dia 11 de outubro de 2004 na cidade do Rio de Janeiro. A seu pedido, seu epit´afio ´e o seguinte: ”Aqui jaz Fernando Sabino, que nasceu homem e morreu menino”. Figura 1: Dias Gomes. Personagens Os personagens centrais presentes em todos os contos s˜ao: • Odorico Paragua¸ cu: Coronel e dono de quase toda a cidade de Sucupira, da qual ´e prefeito por muitos mandatos; ´e um falso democrata e extremamente mau car´ ater, mas como possui muito dinheiro e poder, sempre se sai bem das ciladas da Oposi¸ca˜o. • Dirceu Borboleta: Secret´ ario de Odorico; ´e uma caricatura do funcion´ario p´ ublico criticado pelo autor: malandro e que faz servi¸cos pessoais no gabinete. • Dorot´ ea, Juju e Zuzinha Cajazeira: trˆes irm˜as solteironas que vivem `a ca¸ca de marido; s˜ao apaixonadas pelo prefeito e fazem tudo o que ele deseja; s˜ao capazes dos atos mais imorais pelo reconhecimento de Odorico. • Neco Pedreira: Jornalista e dono do jornal A Trombeta. Pertence `a ”Oposi¸ca˜o”e est´ a sempre tentando desmascarar Odorico. • Tuca Medrado: Jovem rep´ orter d’A Trombeta. Na ˆansia de desmascarar Odorico, muitas vezes, a bela jovem atua como investigadora. • Lulu Gouveia: Dentista e vereador da Oposi¸ca˜o. Vive tentando mostrar ao povo o mal car´ ater que ´e o prefeito, mas sempre fracassa. ´ a delegada da cidade; tenta se • Chica Bandeira: E mostrar imparcial, mas sempre cede ao poder de Odorico. Nunca consegue resolver as atrocidades cometidas pelo prefeito. • Padre Hon´ orio: O vig´ario da cidade; ´e um bom car´ ater, mas sabe que pouco pode fazer contra a for¸ca do coronel. 309 Literatura – Aula 18 • Zeca Diabo: Ex-cangaceiro; matador profissional que se redimiu de todos os seus pecados e que, agora, diz n˜ ao matar mais ningu´em; mas todos morrem de medo dele, devido `a sua fama. • Nezinho do Jegue: Homem pobre que vive sempre bˆebado, acompanhado de seu burro (Rodrigue). Resumo ”Sucupira: ame-a ou deixe-a”´e uma obra composta de sete hist´orias (que podem ser consideradas contos). Todas possuem basicamente os mesmos personagens, num mesmo lugar: Sucupira: um Munic´ıpio imagin´ ario de Salvador, governado por Odorico Paragua¸cu, um coronel m˜ao-de-ferro que defende seu poder `a for¸ca. Atrav´es de Odorico, Dias Gomes denuncia de maneira bem-humorada a corrup¸ca˜o e o poder dos coron´eis da regi˜ao Norte do Brasil, que governam com autoritarismo e onde a impunidade prevalece. v´ıtima, avisando `a fam´ılia de seu suic´ıdio e, principalmente, o cemit´erio todo reformado de uma hora para outra, como se estivesse esperando o defunto. Odorico chega para visitar o doente, em seguida, as trˆes irm˜as cajazeiras: Juju, Zuzinha e Dorot´ea; agora, j´a fora de perigo, Espiraldo abre os olhos e conversa com Juju que, sozinha no quarto, imagina pensamentos ”proibidos”para com o estranho. Enquanto isso, a delegada vai investigar o caso e visita Odorico Paragua¸cu, querendo saber por que pagava a su´ıte pre´ sidencial a Espiraldo. O prefeito d´ a uma boa justificativa: E essa minha mania de ajudar todo mundo. A senhora sabe, tenho um cora¸ca˜o de manteiga. Quando li na gazeta a via crucis desse infeliz, meu cora¸ca˜o amanteigou-se, derreteu. E mandei que hospedassem ele por minha conta. Odorico vai at´e o hospital e pede para que Juju, que passara a noite cuidando do doente, saia do quarto. Raivoso, o prefeito lembra Espiraldo do ”contrato”e este diz estar arrependido; recuperara a vontade de viver depois que conheceu dona Juju. Indignado, o coronel come¸ca a berrar e Juju parte em socorro de Espiraldo. Odorico manda limpar o cemit´erio, pintar o muro (que estava cheio de insultos ` a sua pessoa), expulsa as galinhas, os bodes e o jegue que habitam o lugar. Chama Espiraldo e Na prefeitura, Odorico manda chamar Jesu´ıno e suspende lhe promete um mausol´eu todo de m´armore, com o seguinte o servi¸co, mas por quest˜ ao de honra, ele diz que n˜ ao deixa epit´afio: servi¸co pela metade e que vai, sim, matar Espiraldo. A caminho do hospital, o matador encontra Zeca Diabo, que ”Aqui jaz Espiraldo Piraj´ a que a vida resolo amea¸ca e o p˜ oe para correr. Jesu´ıno foge e some da cidade. veu desertar apenasmente para ter a honra deste Ao final da hist´oria, a mulher de Espiraldo chega a Sucupira cemit´erio inaugurar.” e, para desespero de Juju, eles fazem as pazes. Odorico, bondoso que era, manda rezar uma missa em a¸ca˜o de gra¸cas Mas, Espiraldo tem medo de sua pr´opria covardia e sugere a Odorico para que este mande algu´em mat´a-lo, que contrate pelo restabelecimento de Espiraldo Piraj´a. um matador. Imediatamente, o prefeito chama Zeca Diabo, mas este recusa o servi¸co mediante reprova¸ca˜o do vig´ario. Odorico contrata um outro matador, Jesu´ıno, e aceita o servi¸co por cem mil: 50 na hora e o resto, depois da conclus˜ao. O novo matador vai at´e a casa de Zeca Diabo, diz-lhe que vai fazer o servi¸co e mostra sua admira¸ca˜o pelo famoso matador. Enquanto isso, Neco e Tuca v˜ao at´e o Grande Hotel a fim de investigar um boato: Espiraldo estaria hospedado na su´ıte presidencial. Boato confirmado, os jornalistas saem furiosos porque sentem-se enganados, afinal Neco arriscara sua vida para salvar um vigarista de morrer afogado. — Em nome do Padre, do Filho e do Esp´ırito Santo, am´em. Espiraldo se benze, levanta-se e atravessa a nave da Igreja, apenas uma ou outra beata fazendo suas ora¸co˜es, alcan¸ca a porta, o matador ajoelhado no u ´ ltimo banco faz o sinalda-cruz e segue atr´ as, Espiraldo atravessa a pra¸ca e ganha a praia, deserta de banhistas naquele fim de tarde, seus passos v˜ao deixando na areia a marca dos sapatos, num caminho sinuoso, entre os saveiros encalhados para reparo, pegadas que a mar´e enchente vai fazer sumir da´ı a pouco, mas que ainda s˜ao bem n´ıtidas quando se ouvem dois tiros e Espiraldo cai de bru¸cos na areia molhada. Trabalho conclu´ıdo, o matador vai acertar as contas com o prefeito, mas este diz que s´o vai lhe pagar quando for comprovada realmente a morte. Odorico liga para a delegada de pol´ıcia, Chica Bandeira, e constata que Espiraldo n˜ ao morrera, mas estava muito mal no hospital. Tuca, Neco e Chica Bandeira discutem o caso e percebem algumas coincidˆencias: uma carta encontrada no palet´o da Biografia Alfredo de Freitas Dias Gomes1 , o conhecido teatr´ ologo Dias Gomes, ´e baiano, de Salvador. Nasceu a 19 de outubro de 1922, filho do engenheiro arquiteto Plinio, que faleceu quando Dias Gomes tinha apenas trˆes anos de idade, deixando a educa¸ca˜o dos trˆes filhos `a esposa. Esta, embora tendo sido preparada apenas para as prendas dom´esticas, lutou muito, para educar os filhos. O mais velho formouse em Medicina, mas Dias Gomes .... esse n˜ ao gostava de estudar. Era mais dado ao futebol, `a praia, `as conversas. Mas, com 15 anos apenas, j´a ganhou um primeiro prˆemio com uma pe¸ca de teatro, que foi inscrita num concurso do Servi¸co Nacional de Teatro. A´ı recebeu seu primeiro dinheiro. E ´e de se registrar, que jamais tinha assistido ou lido uma pe¸ca teatral. Empolgou-se muito. Os familiares nem sabiam o que dizer. Aos 19 anos, agora j´a em car´ ater profissional, escreveu ”P´e de Cabra”, pe¸ca que foi encenada por Proc´ opio Ferreira e que fez grande sucesso. Proc´ opio propˆ os ao garoto um contrato de exclusividade. Mas esse contrato durou s´o um ano, j´a que o renomado ator exigia um estilo diferente do de Dias Gomes. O garoto n˜ ao gostava do ”teatro digestivo”. Embora bem jovem, queria um teatro que focalizasse os problemas brasileiros, um teatro de ”protesto”. Dias Gomes aceitou ent˜ ao o convite de Oduvaldo Viana e foi para S.Paulo, participar de um grupo de redatores para a R´ adio Panamericana. Era o r´adio-teatro que 1 Extra´ıda do depoimento dado por ele ao Museu da Televis˜ ao Brasileira, em 27/11/1998. 310 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC surgia. E Dias Gomes, ao lado de Oduvaldo, Mario Lago e outros, aceitou o desafio. Escrevia adapta¸co˜es de grandes obras da Literatura Universal. Chegou a escrever, ao todo, cerca de 500 adapta¸co˜es para o r´adio. Nessa ´epoca j´a sofreu alguma persegui¸ca˜o pol´ıtica. E o jovem Dias Gomes da R´ adio Panamericana foi para as R´ adios Tupi e Difusora, sempre na mesma linha de trabalho. Sua cabe¸ca foi ”pedida”algumas vezes, mas os colegas sempre o protegiam. Foi depois para a R´ adio Am´erica e ` a seguir para a R´ adio Bandeirantes. Bem jovem, teve um casamento prematuro com Madalena. Mas foi no tempo da Tupi, que conheceu Janete Clair, que se tornou mais tarde, uma novelista famosa, e com quem Dias Gomes ficou casado por 33 anos, at´e a morte dela. Tiveram trˆes filhos. A ida para o Rio de Janeiro, j´a com Janete, deu-se em 1950. Foi para a R´ adio Tamoio, depois passou a diretor da R´ adio Clube do Brasil, que era de Samuel Wainer. Foi em 1953 que Dias Gomes foi para Moscou, fato considerado profundamente ”subversivo”, na ´epoca. Havia a famosa ”Cortina de Ferro”, e Dias foi fotografado em plena ”Pra¸ca Vermelha”, carregando flores. Carlos Lacerda, grande pol´ıtico e inimigo de Wainer, publicou a foto de Dias, sob o t´ıtulo: ”Diretor da R´ adio Clube leva flores para o t´ umulo de Stalin, com dinheiro do Banco do Brasil”. N˜ ao era verdade, mas Dias Gomes caiu em desgra¸ca. N˜ ao conseguiu mais trabalho no pa´ıs, e sua entrada para a Globo, deu-se de forma clandestina. Escrevia com 3 pseudˆonimos diferentes, entre os quais, o de sua mulher, Janete Clair. Era assim que ganhava seu dinheiro, embora sempre tivesse continuado a escrever para o teatro, que ´e realmente ”a sua vida”, como Dias Gomes diz. Com o passar do tempo, por´em, foi colocando seu nome nas suas novelas, que fizeram muito sucesso. Entre outras: ”Ver˜ao Vermelho”, ”Sinal de Alerta”, ”Bandeira 2”, ”Espig˜ao”, ”Saramandaia”, ”Roque Santeiro”. Todas tiveram problemas com a censura, e ”Roque Santeiro”s´ o conseguiu ir ao ar, dez anos depois de escrita. Seu ”estilo”forte, por´em, marcou o ”estilo”da Globo, um estilo bem brasileiro. Mas continuou sendo o teatro, a grande paix˜ ao do escritor. E suas pe¸cas lhe trouxeram muitos prˆemios. ”O pagador de promessas”, por exemplo, ganhou todos os prˆemios, estando em teatro, como em cinema, para o qual foi adaptado. Suas outras pe¸cas, como: ”O Santo Inqu´erito”, ”O Ber¸co do Her´ oi”, ”A invas˜ ao”, ”Rei de Ramos”, todas plasmadas na realidade brasileira, todas com a personalidade marcante do autor, todas ganhadoras de muitos prˆemios. Dias Gomes tamb´em escreveu alguns romances e mini-s´eries, para a TV Globo. Hoje, casado com Bernadete, com quem tem mais dois filhos, Dias Gomes acaba de lan¸car um livro auto-biogr´ afico: ”Apenas um subversivo”. Uma vez, numa brincadeira, dando uma entrevista `a Revista Play boy, Dias Gomes se auto-definiu como ”anarco, marxista, ecumˆenico e sensual”. E o r´otulo pegou. E ele concluiu: ”Isso diz tudo”. Genial, esse Dias Gomes. Verdadeira gl´oria nacional. — www.mundofisico.joinville.udesc.br Parte V Hist´ oria ´ ria – Aula 1 Histo Hist´ oria Aula 1 Hist´ oria de Santa Catarina Colonizadores A hist´oria de Corup´ a est´ a vinculada ` as de Jaragu´a do Sul e Joinville. As terras em que foi constru´ıda a atual cidade de Corup´ a pertenciam ao esp´ olio da Companhia Hamburguesa de Coloniza¸ca˜o, contratada para ocupar as terras do Pr´ıncipe de Joinville, Fran¸cois de Orleans e da Princesa Francisca Carolina, filha de D. Pedro I; e do Conde d’Eu com a Princesa Imperial Dona Isabel (herdeira do trono brasileiro). O esp´ olio da Hamburguesa foi assumido, em 30 de mar¸co de 1897 pela Companhia Hanse´ atica de Coloniza¸ca˜o, que sob a dire¸ca˜o de Karl Fabri fundou a Colˆonia Hansa Humbold. No dia 7 de julho de 1897 foram entregues os primeiros t´ıtulos de propriedade aos colonizadores pioneiros. Otto Hillbrecht e Otto Hillbrecht filho (lotes 6 e 7) e o taxidermista Wilhelm Ehrahrdt e sua esposa Dorethea (lotes 2 e 3) chegaram da Europa na mesma canoa e foram recebidos pelo agrimensor da Colˆ onia Hansa, Eduard Krish. Os primeiros colonizadores, de posse dos t´ıtulos de propriedade, foram acomodados no galp˜ao de recep¸ca˜o e usando fac˜oes, machadinhas e machados, iniciaram a derrubada da mata para dar in´ıcio `a constru¸ca˜o da atual cidade de Corup´ a. As duas fam´ılias, juntamente com a Companhia Colonizadora, recepcionaram a segunda leva de imigrantes, cinco meses mais tarde. No dia 5 de dezembro de 1897, chegavam a Hansa os novos propriet´ ` arios Wilhelm R¨ osch, Heinrich Groth e fam´ılia, Josef Mischka e fam´ılia. Cinco dias depois Emil August Rosenberg tomava posse oficialmente de seu lote. Com eles chegou tamb´em L´eo Eschweiler. Vinte dias depois, no dia primeiro de janeiro de 1898, chegavam Bruno Muller e Heinrich Harm. Um total de 787 lotes foram vendidos a europeus na Colˆ onia Hansa. Os lotes eram pagos a longo prazo em pequenas parcelas. O contrato entre a empresa colonizadora e o governo da prov´ıncia determinava que a quantidade de imigrantes sem recursos para adquirir lotes, que viajavam com as despesas pagas pelo governo brasileiro, fosse equilibrada com a de imigrantes com dinheiro suficiente para pagar seu lote e ainda oferecer trabalho remunerado aos compatriotas. Os imigrantes que n˜ ao tinham recursos para saldar as d´ıvidas ou pagar as presta¸co˜es das terras, trabalhavam para a Sociedade Colonizadora ou para os compatriotas. ´Indios e Caboclos Assim como em todo o pa´ıs, os primeiros habitantes da regi˜ ao eram os ´ındios Xokleng (ou Botocudos), tamb´em conhecidos pela denomina¸ca˜o de bugres. Na primeira metade do S´eculo XIX, houve um aumento da coloniza¸ca˜o europ´eia, levando os ´ındios Xokleng a se fixarem pr´oximos aos limites de Santa Catarina e Paran´a. Na disputa por terras entre os ind´ıgenas e os europeus emigrados, a ´ area agr´ıcola aumentava para os colonizadores e diminu´ıa para os bugres que foram ficando confinados e sem alimentos. Mesmo assim, 313 a hist´oria da regi˜ao n˜ ao registrou grandes conflitos entre os ind´ıgenas, os caboclos brasileiros e os colonizadores que, no ato da posse provis´oria da terra, ganhavam naturalidade brasileira. Esta era uma das vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes europeus espontˆ aneos. Poucos brasileiros moravam nesta regi˜ao no tempo da coloniza¸ca˜o. Na foz do rio Isabel, encontravam-se os ranchos de Manoel Cipriano e de Manoel Floriano. Em Po¸co d’Anta moravam Alexandre Siqueira, Domingos Siqueira, Jos´e Afonso Moreira, Jo˜ao Cust´ odio, Romualdo Leopoldino, Maneco do Ros´ ario e Antˆ onio Felisbino. Muitos desses brasileiros ajudaram a transportar os primeiros imigrantes e os alimentos pelo rio Itapocu. Pouco antes da chegada dos colonizadores alem˜ aes, fam´ılias italianas estabeleceram-se nas imedia¸co˜es do Rio Novo e Itapocu: Domenico Minatti, David de Pauli e Francisco Bagattoli vieram de Blumenau. Logo em seguida, Antˆ onio Moretti passou a residir na comunjdiade de Po¸co d’Anta. E construiu a primeira capela em honra de Santo Antˆ onio, do qual havia trazido uma imagem da It´ alia. O terreno foi doado, a 23 de dezembro de 1900, pela Companhia Colonizadora Hanse´atica. Aventureiros ou Exclu´ıdos? A legisla¸ca˜o provincial estipulada a pedido do Dr. Hermann Blumenau, assinada no dia 16 de mar¸co de 1848, fixou normas para a coloniza¸ca˜o alem˜ a em terras catarinenses. E entre elas, estabelecia a responsabilidade das Companhias Colonizadores, em reunir, transportar, assentar e prestar assistˆencia integral aos colonos nos primeiros dois anos da chegada `as Colˆonias. O Governo Imperial contribu´ıa por quinze anos com subs´ıdios, entregues `a empresa colonizadora, para cada um dos colonos, independe de sexo ou idade, fixados nas colˆ onias de Santa Catarina. Esta assistˆencia inclu´ıa aux´ılio tanto no transporte entre a Europa e o Brasil quanto no desmatamento, na constru¸ca˜o das moradias e no oferecimento de alimenta¸ca˜o aos colonos, at´e que eles pudessem prover-se com as pr´oprias ro¸cas. A mesma lei proibia, em car´ ater definitivo, a manuten¸ca˜o de m˜ao-de-obra escrava nas Colˆonias. Assim, os imigrantes tinham, eles mesmos, que se incumbir do trabalho pesado do campo e da constru¸ca˜o ou pagar pelo trabalho dos negros, dos caboclos ou mesmo de imigrantes sem posses, que viajam com todas as despesas pagas pelo governo brasileiro. No s´eculo XIX, a Europa vivenciava profundas transforma¸co˜es socioeconˆ omicas decorrentes da Revolu¸ca˜o Industrial e a vida no campo tornava-se invi´ avel. A grande maioria da popula¸ca˜o europ´eia eram os exclu´ıdos e eram explorados pelos grandes senhores de terras. O empobrecimento da popula¸ca˜o levou ao ˆexodo rural aumentando a urbaniza¸ca˜o. Com a tecnologia e a mecaniza¸ca˜o da economia, a Europa deparou-se com um batalh˜ ao de desempregados fazendo com que no per´ıodo de 1815 a 1920 cerca de 60 milh˜ oes de pessoas emigrassem da Europa, sendo desse total 10% de Alem˜ aes. Aproximadamente 100 a 200 mil vieram para o Brasil em busca de melhores condi¸co˜es de vida. As vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eram atrativas, tendo agradado at´e pessoas de situa¸ca˜o econˆ omica razo´avel. Muitos camponeses venderam suas propriedades para custear a viagem e tentarem a vida com maiores facilidades na Am´erica. 314 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Um dos principais interesses do governo imperial brasileiro era o de resolver o problema da ocupa¸ca˜o de v´arias regi˜oes brasileiras at´e ent˜ ao desabitadas. Para isso, eram enviadas a Europa agentes que eram remunerados de acordo com o ` n´ umero de emigrantes e isto despertou tamb´em o interesse das companhias de navega¸ca˜o ciosas de lucro. Aliada a estes fatores, a dif´ıcil situa¸ca˜o financeira da Fam´ılia Real Brasileira leva a negociar para coloniza¸ca˜o, as terras localizadas na Prov´ıncia de Santa Catarina. Firmando contrato com o Senador Alem˜ ao Christian Mathias Schoroeder em Hamburgo, dono da agˆencia comercial ”Christian M. Schoroeder & Cia parte da sociedade fundada em 1842 chamada ”Sociedade de Prote¸ca˜o aos Imigrantes no Sul do Brasil”que procurava regularizar a emigra¸ca˜o espontˆ anea para o Brasil. O Governo Central aprovou, a 24 de dezembro de 1757, projeto de uma estrada para interligar S˜ ao Francisco do Sul a Curitiba. Os caminhos, verdadeiras picadas abertas em meio ` a Mata Atlˆantica, delinearam o percurso da futura ferrovia S˜ ao Francisco do Sul - Rio Negro-Curitiba. Antes da Cidade Os primeiros europeus a passarem por terras catarinenses teriam sido o alem˜ ao Hans Staden, em 1547 e o tamb´em alem˜ ao, o agricultor Johan Ferdinand, enviado pelos espanh´ ois com o prop´ osito de ensinar agricultura os ´ındios Carij´os. Este segundo, na verdade, teria percorrido o c´elebre caminho de Peabiru, que se iniciava em Barra Velha e que ligava os Andes ao Oceano Atlˆ antico. Os aventureiros, guiados pelos ´ındios, estavam interessados nos tesouros Incaicos ` ´epoca da coloniza¸ca˜o de Jaragu´a, dos Altiplanos Andinos. A em 1878, tropas de Em´ılio Carlos Jourdan, passaram por Corup´ a com gado adquirido no Paran´a. O pr´oprio Jordan, em 1876, atribuiu nomes a acidentes geogr´ aficos da cidade. Em 9 de maio de 1879, uma expedi¸ca˜o chefiada pelo engenheiro alem˜ ao Albert Kr¨ohne, partiu de S˜ ao Bento do Sul com a incumbˆencia de tra¸car um caminho entre S˜ ao Bento do Sul e Jaragu´a, estabelecendo assim, a liga¸ca˜o entre Curitiba e S˜ ao Francisco do Sul e explorando a regi˜ao. Em 1883, o agrimensor, top´ ografo, engenheiro mecˆanico e ca¸cador de bugres Antˆ onio Ferreira Lima, propriet´ ario de terras em Rio Negrinho foi morto pelos ´ındios botocudos. Entretanto, as picadas abertas pelas expedi¸co˜es e pela Companhia Hanse´atica n˜ ao permitiam a passagem de carro¸cas ou carros de boi. At´e mesmo animais eram raros na ´epoca da coloniza¸ca˜o de Corup´ a. Atra´ıdos pelas ofertas alardeadas pelas companhias colonizadoras, os europeus atravessaram o atlˆ antico em busca de uma vida digna e melhor em sua nova p´ atria. Mas ap´os chegarem sentiram-se abandonados ` a pr´opria sorte e como n˜ ao tinham os recursos para voltar ` a P´ atria M˜ ae, tomaram as providˆencias necess´arias para oferecer escola, igreja, lazer e sustento para si e para os familiares e empregados. A ajuda vinha principalmente da p´ atria-m˜ae, distante, mas presente em solidariedade. Casa e Comida Dif´ıcil A condi¸co˜es de vida dos primeiros colonizadores era muito prec´aria. As dificuldades iam desde a adapta¸ca˜o ao clima tropical e `a cultura dos caboclos posseiros, ` a presen¸ca in- — www.mundofisico.joinville.udesc.br vis´ıvel dos bugres, at´e `as dificuldades para conseguir alimentos e mantimentos, visto que precisavam ser transportados de Jaragu´a de canoa, via rio Itapocu, u ´ nico acesso `a Hansa at´e 1900. O casal Ehrhard abriu, em 1899, a primeira casa comercial da Colˆonia. A casa comercial logo foi vendida para o comerciante Georg Czerniewicz, de Jaragu´a. E em seguida, para o comerciante Heinrich Meyer, de Joinville. A filial era gerenciada por Leo Eschweiler. E, mais tarde, em 1907 por Otto Hillbrecht Jr., que a adquiriu e transformou em emp´ orio. Tamb´em em l899, o casal Wilhelm e Maria Pieper fundou o Hotel Schraut, o primeiro de Corup´ a. Este hotel foi transformado, mais tarde, num hospital pela ”Frauenverein”. Enquanto Pieper transferiu seu hotel para as imedia¸co˜es da esta¸ca˜o ferrovi´ aria. E ainda hoje l´a funciona o Hotel Krelling. Um dos primeiros colonizadores, em seu relat´ orio, descreveu as dificuldades iniciais. ”O que foi dif´ıcil no primeiro ano, era conseguir alimentos. Dependia-se da turma de agrimensores quando eles, de tempos em tempos, navegavam numa canoa pelo Itapocu. T´ınhamos que aproveitar ` a oportunidade e pedir que trouxessem as mercadorias. As vezes acontecia de a canoa virar e as mercadorias se encharcarem”. O historiador Jos´e Kormann, no livro Hansa Humbolt ontem, hoje Corup´ a , na p´ agina 57, descreve que as primeiras casas eram constru´ıdas com palmito. ”Os troncos roli¸cos do palmito eram enterrados por uma das extremidades para servirem de esteio. Para fazer paredes, os palmitos eram rachados em quatro ou seis partes, formando ripas. O interior do palmito, a parte mole, servia de alimento. Essas ripas eram amarradas com cip´ o, que tamb´em eram cortados em duas partes, de ponta a ponta. Na cobertura usavam caibros e ripas de palmito. A cobertura era feita de folhas de palmeira Guaricana. Isto o imigrante aprendeu de moradores locais, anteriores ao imigrante”. Conseguir fogo era dif´ıcil, era preciso mantˆe-lo acesso. Por isso o ch˜ ao era de barro batido. Uma Nova P´ atria Com a chegada de novas levas de colonos, entre dezembro de 1897 a 1899, a dire¸ca˜o da Colˆonia reservou uma canoa s´o para buscar mantimentos com canoeiros pr´oprios. Ao mesmo tempo, a constru¸ca˜o da estrada para transporte com carro¸ca era intensificada. A cada nova leva de colonizadores, chegavam mais pessoas dispostas a investir e construir uma cidade confort´ avel. A cidade finalmente come¸cou a se formar. Alem˜ aes, poloneses, su´ı¸cos e Italianos s˜ao os principais ascendentes europeus da Corup´ a de hoje. Em 1899, era fundada a primeira escola para os filhos dos imigrantes e tamb´em come¸cava a funcionar o primeiro Turverein. Luiz Schr¨oeder foi o n´ umero um e Otto Hillbrecht filho o n´ umero dois. A sociedade escolar fundada em 17 de maio de 1899, atenderia `as crian¸cas das 20 fam´ılias residentes. O professor Ernesto Globig, mais tarde nomeada intendente de Hansa, iniciou as aulas na sede da Casa do Imigrante em 1900. Em 1909, foi constru´ıdo o pr´edio pr´oprio, em alvenaria. Em 5 de novembro de 1899 era fundada a comunidade evang´elica de Hansa Humbold. Os primeiros cultos eram realizados nas casas dos imigrantes. E, finalmente, no dia 16 de dezembro de 1906 foi lan¸cada a pedra fundamental da igreja ´ ria – Aula 1 Histo evang´elica que levou alguns anos para ser constru´ıda. Assim, em 1902, Heinrich Meyer fundava o terceiro neg´ocio de Hansa Humboldt. Otto L¨ offler, com um pequeno capital, construiu a primeira cervejaria na estrada Itapocu. Na estrada Bomplandt, assim nomeada em homenagem ao amigo do naturalista alem˜ ao Alexander Von Humboldt (homenageado com o nome da Colˆ onia), foi instalada a primeira atafona que pertencia a Gustav Hoffmann.Luiz Schroeder abriu o primeiro a¸cougue. 315 Come¸car Tudo de Novo No entanto, entrecortada por rios, Hansa sofreu, em 1910, a primeira grande enchente. Sociedades promoveram concertos, teatros, quermesses e recitais com o prop´ osito de angariar fundos para socorrer as fam´ılias atingidas. Os preju´ızos foram enormes. As rec´em-constru´ıdas pontes sobre os rios Humbold e Novo foram levadas pelas ´aguas. Reconstru´ı-las exigiu, al´em da doa¸ca˜o de 75% do sal´ario do intendente, doa¸co˜es dos moradores.Em outubro de 1917, o Brasil declaAt´e 1906, os cultos das confiss˜ oes Cat´olica e Luterana eram rou guerra `a Alemanha e as rela¸co˜es entre os dois pa´ıses realizadas no edif´ıcio da escola particular alem˜ a. Em 1906, prejudicou francamente os imigrantes em solo brasileiro. o imigrante Roberto Seidel, abre sua ”arbori”e floricultura. Iniciou-se o movimento nacionalista e a l´ıngua estrangeira A localiza¸ca˜o ´e a mesma de onde ainda hoje funciona o foi gradativa, mas efusivamente proibida em solo nacional. Orquid´ ario Catarinense. Seu filho Alvim Seidel dedica-se, desde o ano de 1950 ao orquid´ario, que al´em de comercializar Os imigrantes, embora tivessem sido nacionalizados no ato aes sem e cultivar, desenvolve pesquisas, j´ a tendo descoberto e regis- da coloniza¸ca˜o, eram brasileiros sem governo e alem˜ P´ a tria. Logo ap´ o s a 1a. Guerra Mundial (1914-1918) o trado mundialmente, quase uma centena de novas esp´ecies movimento de nacionaliza¸ c a ˜ o provocou o fechamento das de orqu´ıdeas e brom´elias em suas incurs˜oes pela mata da ´ fundada, ent˜ escolas alem˜ as. E ao a primeira escola p´ ublica regi˜ ao. e brasileira. A vida cultural voltou a mover as sociedades de atiradores, a gin´ astica, a m´ usica do Jazz Elite, corais e grupos teatrais. As sociedades das senhoras, bem como a produ¸ca˜o e comercializa¸ca˜o dos produtos locais estavam Autonomia Administrativa em alta. Enfim, a tranquilidade voltou a reinar e o progresso acompanhava o crescimento do distrito. Em fins de olica Semin´ ario Sagrado Em 1908, Hansa foi elevada ` a categoria de distrito de Join- 1931, foi conclu´ıda a Escola Apost´ aes naville e ´e nomeado seu intendente, Ernst Rucker. Somente Cora¸ca˜o de Jesus. Entretanto, os imigrantes alem˜ em 1910 teve in´ıcio a ilumina¸ca˜o p´ ublica ` a querosene .Os turalizados brasileiros, ainda sofreram com nova investida lampi˜oes pendurados em postes de madeira, eram acesos ao do movimento de nacionaliza¸ca˜o, em 1943, durante a 2a. anoitecer e apagados `as 22 horas diariamente por Christian Guerra Mundial. Hunold. Num sal˜ao de sua propriedade funcionou, tamb´em, Al´em da mudan¸ca do nome do ent˜ ao Distrito Hansa Huma primeira escola. A primeira professora foi J´ ulia Fernandes. bold para Corup´ a, muitos de seus moradores, que consNeste per´ıodo um primeiro susto acometeu a comunidade de tru´ıram com as pr´oprias m˜aos e dinheiro a cidade, foram Hansa. perseguidos como se fossem inimigos da na¸ca˜o brasileira. A administra¸ca˜o central de Joinville recomendava que toda Alguns tiveram que mudar o pr´oprio nome. Escolas, sociea correspondˆencia fosse escrita em Portuguˆes e al´em de ser dades e igrejas foram fechadas e tudo o que fosse considerado ao foi confiscado. A emancipa¸ca˜o pol´ıtica de Corup´ a se habitada praticamente s´o por alem˜ aes, Hansa n˜ ao tinha alem˜ escola em Portuguˆes que possibilitasse aos imigrantes ou deu pela Lei 348, de 21 de julho, de 1958. A instala¸ca˜o no mesmo a seus filhos, aprenderem a L´ıngua Nacional. O pri- novo munic´ıpio foi no dia 25 de julho de 1958. Conforme daa contava com 1592 habitantes meiro trem chegou em julho de 19l0, vindo de S˜ ao Francisco dos do censo de1950, Corup´ do Sul. Com o trem chegou a esperan¸ca de um progresso (761 homens e 831 mulheres). mais r´apido. Mas al´em de facilitar o transporte de toda sorte de produtos, desde alimentos a produtos para comerOs Dias Atuais cializa¸ca˜o, o trem trazia e levava pessoas. a baseada na agricultura e pecu´aria, exploA ferrovia chegou a Rio Negrinho somente em 1913. E foi A economia est´ undios. Corup´ a ocupa o 94o lugar na arreseguindo o trem que muitos moradores deixaram Hansa. Al- rada por minif´ guns foram trabalhar na constru¸ca˜o da ferrovia e outros se- cada¸ca˜o de ICM do Estado e 25o em qualidade de vida. guiram para o planalto onde era mais f´ acil arrumar traba- A agricultura baseia-se principalmente na produ¸ca˜o de balho. H´ a cem anos, Hansa Humbold experimentava um cres- nana, arroz, milho, mandioca, fumo e olericultura (horcimento surpreendente. No Distrito havia v´arias ind´ ustrias, tali¸cas). Corup´ a ´e o maior produtor de bananas do Estado. ustrias de pequeno e m´edio porte, serrarias, olarias, moinhos e atafonas, ferrarias, f´ abricas de Possui cerca de 68 ind´ carro¸cas, barris, tamancos, chicotes, la¸cos, canoas, charu- destacando-se as de vestu´ario, metalurgia, artefatos de matos e cigarilhas, instrumentos musicais, pinc´eis e escovas, deira e m´oveis. m´oveis e refrigerantes; cervejarias, selarias, funilarias, cons- A cidade, que j´a possuiu uma esp´ecie de Spa na d´ecada de trutores (pedreiros), queijarias, alfaitarias, tecelagens e de- trinta, se prepara para liderar o roteiro tur´ıstico da regi˜ao. zenas de pequenos comerciantes de produtos artesanais e As belas paisagens, a rota das cachoeiras, o clima tranquilo aliment´ıcios, bem como engenhos de arroz atendiam as ne- de cidade interiorana e tranquila, grutas, orqu´ıdeas, vit´oria cessidades dos habitantes e rendiam boas somas na comer- r´egia gigante e as constru¸co˜es do in´ıcio do s´eculo passado e cializa¸ca˜o com outras localidades. os jardins cuidados com carinho e esmero pelos habitantes, a. Aumentava consideravelmente n´ umeros de sociedades e li- s˜ao algumas das atra¸co˜es tur´ısticas de Corup´ gas formadas pelos moradores com o intuito de promover a educa¸ca˜o, a cultura, o lazer e assistˆencia aos habitantes. 316 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br – CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOS 4 5 6 7 8 9 Ra (226) SÉRIE DOS ACTINÍDIOS 104 105 Ku Ha (260) (261) 106,4 107,9 112,4 114.8 74 75 76 77 78 79 80 81 Os Ir 186,2 190,2 192,2 106 107 108 109 Pt Au Hg TI NEÔNIO ARGÔNIO CLORO ENXOFRE FÓSFORO SILÍCIO 118,7 82 Pb 52 Te 121,7 127,6 83 84 Bi Po I CRIPTÔNIO Br 79,90 53 XENÔNIO Sb BROMO Se 78,96 IODO Sn SELÊNIO ARSÊNIO GERMÂNIO 50 As 74,92 51 126.9 85 At Kr 83,80 54 Xe 131,3 RADÔNIO 102,9 TÁLIO 101,1 72,59 TELÚRIO In (98) Ge ANTIMÔNIO ÍNDIO CÁDMIO PRATA PALÁDIO 49 RÓDIO 48 ESTANHO ALUMÍNIO GÁLIO ZINCO COBRE NÍQUEL COBALTO FERRO 47 RUTÊNIO MANGANÊS CRÔMIO Ga ASTATO 89 - 103 36 46 Re Ar 35 95,94 W Cl 34 45 183,8 S 33 44 Cd 18 32 43 Ag 17 31 69,72 Pd 16 39,95 65,38 Rh Ne 20,18 35,45 63,55 Ru F 19,00 32,06 58,69 Tc P POLÔNIO 88 Ta 180,9 Zn O 16,00 30,97 BISMUTO 87 Hf 178,5 Cu Si N 14,01 15 10 28,08 CHUMBO SÉRIE DOS LANTANÍDIOS 30 MERCÚRIO Ba 29 Al C 12,01 14 He 4,003 26,98 58,93 OURO 73 Ni 2B 55,85 PLATINA 72 Co 28 1B 13 54,94 IRÍDIO 57 - 71 Mo Fe 27 UNILÊNIO 56 TANTÁLIO 92,91 42 Mn 26 ÓSMIO Nb 91,22 137,3 (223) Zr 88,91 Cr 8B UNILÓCTIO Y 87,62 25 TECNÉCIO 41 24 RÊNIO 40 7B UNILSÉPTIO 39 6B 52,00 MOLIBDÊNIO 50,94 132,9 Fr V 47,88 NIÓBIO Sr Ti 44,96 HÂHNIO Cs ESTRÔNCIO 38 Sc ZIRCÔNIO Ca TUNGSTÊNIO 23 UNILHÉXIO 22 VANÁDIO 21 TITÂNIO 20 37 85,47 CÉSIO 5B 40,08 Rb FRÂNCIO VII 4B 39,10 55 VI 3B HÁFNIO K Mg 24,30 KURCHATÓVIO CÁLCIO 19 B 10,81 ESCÂNDIO 23,00 Be 9,012 12 ÍTRIO Na MAGNÉSIO LÍTIO Li HÉLIO 3 FLÚOR 7A OXIGÊNIO 6A NITROGÊNIO 5A CARBONO 4A BORO 3A BERÍLIO 2A BÁRIO V H 1,008 RÁDIO IV 2 6,941 11 SÓDIO III 0 Com massas atômicas referidas ao isótopo 12 do carbono 1 POTÁSSIO II RUBÍDIO I HIDROGÊNIO 1A 86 Rn 195,1 197,0 200,6 204,4 207.2 209,0 (209) (210) (222) 63 64 65 66 67 68 69 70 71 Unh Uns Uno Une (s) = estado sólido 93 94 158,9 96 97 Ho 164,9 Er Tm ITÉRBIO Dy 162,5 TÚLIO Tb 157,3 ÉRBIO Gd HÓLMIO Eu 152,0 Yb LUTÉCIO 150,4 TÉRBIO Sm (145) EURÓPIO Pm DISPRÓSIO 144,2 SAMÁRIO Nd 62 Lu 167,3 168,9 173,0 175,0 100 101 102 103 ( ) = estado líquido (g)= estado gasoso (aq) = meio aquoso N = normal (243) Cm (247) M = molar Bk (247) Cf (251) ∆ H = variação de entalpia Es Fm Md NOBÉLIO Am No (252) (257) L = litro R = 0,082 atm . L / K mol (258) (259) LAURÊNCIO (244) FÉRMIO Pu 99 MENDELÉVIO (237) 98 EINSTÊINIO Np CALIFÓRNIO U 238,0 BERQUÉLIO (231) CÚRIO Pa 95 AMERÍCIO 232,0 PLUTÔNIO Th (227) 92 91 NETÚNIO TÓRIO Ac 90 URÂNIO 89 VII PROTACTÍNIO Série dos Actinídios Símbolo Massa Atômica ( ) - elemento radioativo Pr 140,9 61 GADOLÍNIO 140,1 PROMÉCIO Ce 60 59 NEODÍMIO CÉRIO La 58 138,9 ACTÍNIO NOME DO ELEMENTO CONVENÇÕES: VI LANTÂNIO 57 Número Atômico PRASEODÍMIO Série dos Lantanídios Lr (260) NA: 6,02 x 1023 317 318 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Gabarito de respostas aos exerc´ıcios... F´ ISICA Mecˆ anica – Aula 1 1. a) 1 N = 1 kg · 1 m/1 s2 1. b) n = 2 e p = 4 2. d) 3. d) 4. c) 5. a) 3, 600 km , b) 21, 600 km , c) 3 × 10−5 , d) 0, 5780 km , e) 27, 600 km , f ) 5, 800 × 10−3 km 6. b) 7. a) 5, 70000 × 105 , b) 1, 2500 × 105 , c) 5, 0000000 × 107 , d) 1, 2 × 10−6 , e) 3, 2 × 10−2 , f ) 7, 2 × 10−1 , g) 8, 2 × 104 , h) 6, 40 × 107 , i) 9, 150 × 100 , j) 2, 00 × 10−3 , k) 5 × 101 , l) 2, 5 × 10−7 Mecˆ anica – Aula 2 1. a) 6,5 cm , b) 1,8 cm , c) 3,7 cm , d) 4,3 mm , e) 51,2 mm , f ) 42,3 mm 2. e) 3. d) 4. c) 5. a) Mecˆ anica – Aula 3 √ 1. b) 130 m 2. 100 N 3. vx = vy = 200 2 m/s 4. 7, 0 N , 38, 2◦ c/ a horiz. 5. 6, 0 m/s 6. vx = 120 m/s e vy = 160 m/s 7. 940 km/h Mecˆ anica – Aula 4 1. b) 2. e) 3. a) 4. b) 5. c) 6. b) Mecˆ anica – Aula 5 1. a) 1, 0 m/s2 , b) TAB = 3, 0 N e TBC = 11 N 2. a) 16 N 5. 3 m/s2 e 78 N 6. a) 7. c) 3. a) 1, 0 m/s2 , b) 4, 5 N 4. a) 2, 0 m/s2 , b) 12 N , c) Mecˆ anica – Aula 6 1. d) 2. e) 3. c) 4. a) 5. vf = 17, 85 m/s 6. Fmed = 950 N 7. a) 580 J , b) 72, 5 W Mecˆ anica – Aula 7 1. a) Energia potencial el´ astica. , b) Energia potencial gravitacional. , c) Sim, ele possui energia potencial ´ dissipada pela for¸ gravitacional. 2. a) E ca viscosa (atrito) do ar e vira calor e energia cin´ etica. , b) N˜ ao. Como a for¸ ca resultante sobre ele ´ e nula, n˜ ao h´ a trabalho realizado sobre ele. 3. b) 4. e) 5. b) 6. a) Ep = 5, 0 J , b) vmax. = 10 m/s 7. ) W = 25 J 8. a) 150 J , b) 90 J Mecˆ anica – Aula 8 3. b) 4. c) 5. e) 6. a) 7. a) k = 50 N/m , b) Wext = 4, 0 J , c) Wmola = −4, 0 J , d) Wext = 16, 0 J , e) F = 40 N 8. a) WP = −150 J , b) ∆Ep = +150 J 9. ) 0, 30 m Mecˆ anica – Aula 9 1. b) 2. a) 1, 0 N , b) 3, 0 N 3. a) 4. c) 5. c) 6. b) Mecˆ anica – Aula 10 ´ nulo. , c) Zero. 4. ) 200 N · s 5. 1. V V F V F 2. FVFFF 3. a) N˜ ao, pois sua velocidade ´ e constante. , b) E ) 1, 0 × 103 kg · m/s 6. c) 7. ) Fmed = 14 N 320 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Mecˆ anica – Aula 11 √ √ 1. 0, 700 kg · m/s a 135◦ com a dire¸ c˜ ao inicial da bola. 2. a) I = −m 2gh , b) ∆Q = −m 2gh , c) S˜ ao iguais, pois I = ∆Q 3. a) Sendo m = 500 g e hi = 1, 25 m temos I = −2, 5 N · s , b) Sendo m = 500 g e hf = 0, 80 m temos I = −2, 0 N · s Mecˆ anica – Aula 12 1. 0, 133 m/s 2. 4, 0 m/s 3. 0, 67 m/s 4. 3, 75 m/s 5. 70 kg 6. d) linear num sistema isolado. 7. ) 60 s , ) Conserva¸ c˜ ao do momento Mecˆ anica – Aula 13 1. a) 2. a) vn = −v0 /3 e vd = 2v0 /3 , b) vn = vf = v0 /3. N˜ ao, pois a energia cin´ etica n˜ ao ´ e mais conservada. 3. vb = 1, 6 m/s, invertendo o seu sentido. 4. v1 = 3, 0 m/s e v2 = 8, 0 m/s, respectivamente. 5. a) 45◦ com a horizontal. , b) v0 = 20 m/s , c) I = 10 kg · m/s 6. c) Mecˆ anica – Aula 14 1. b) 2. a) 3. a) Ambas as for¸ cas tem mesma intensidade pois s˜ ao do tipo a¸ c˜ ao-rea¸ c˜ ao. , b) Porque a m˜ ao est´ a protegida pela luva. 4. a) 20.000 N , b) O caminh˜ ao. , c) No autom´ ovel. 5. 4, 0 m/s2 6. O remo empurra a ´ agua para tr´ as, sofrendo uma rea¸ c˜ ao para frente, que ´ e ransmitida ao barco. 7. a) 2, 0 m/s2 , b) 10 N 8. c) Mecˆ anica – Aula 15 1. b) 2. c) 3. b) 4. a) 5. a) 6. c) Gravita¸ c˜ ao – Aula 1 2. e) 3. b) 4. e) 5. c) 6. c) 7. c) 4. a) 5. e) 6. d) Gravita¸ c˜ ao – Aula 2 1. b) 2. e) 3. a) 7. d) Gravita¸ c˜ ao – Aula 3 1. a) 39, 2 N , b) 6, 4 N 2. N˜ ao. A balan¸ ca de farm´ acia compara massas e portanto mede a massa do indiv´ıduo. 3. a) 4. d) 5. c) 6. a) Sim. , b) P = (1 kg) ∗ G , c) A mesma (1 kg) 7. 4, 0 kg Gravita¸ c˜ ao – Aula 4 √ 1. TA C = 50 3 N e TB C = 50 N 2. 4 kg 3. FA = 300 N e FB = 100 N 4. Ny = 1833, 3 N e Nx = 1166, 7 N 5. −3, 6 N · m, 0 e 4 N · m 6. a) 0 N , b) 48 N · m , c) 24 N · m ´ Otica – Aula 1 1. 9, 46 × 1015 m 2. H = 90m 3. D = 30cm 4. i = 55◦ 5. x = 2d + D ´ Otica – Aula 2 1. b) p′ = 3/2 m e i = 2, 5 cm 2. a) p = 12 cm , b) 0, 6 cm 3. a) 26, 7 cm , b) 80 cm 4. a) −30 cm , b) −60 cm 5. b) 6. a) 35 cm do espelho. , b) 210 cm ´ Otica – Aula 3 1. n = 1, 25 2. n = 2 3. a) na /nv = 8/9 , b) vv /va = 8/9 , c) O ´ındice de refra¸ c˜ ao de um meio ´ e inversamente proporcional ` a velocidade da luz no meio. 4. n = 1, 732 5. n = 1, 58 6. a) O meio A. Ao passar de B para A o feixe se aproxima da normal. , b) No meio B, pois ´ e menos refringente que o A. ´ Otica – Aula 4 Gabarito – Respostas aos exerc´ıcios... 321 1. p′ = −15 cm, imagem direta e menor. 2. a) Imagem real, invertida e maior. , b) p′ = 120 cm e i = 4 cm 3. 5X 4. a) p′ = 10 cm, do mesmo lado do objeto. , b) Imagem virtual, direta e maior. 5. a) f = −20 cm , b) Divergente. 6. a) Divergente. , b) 5 di ´ Otica – Aula 5 1. 20 cm 2. A: +2 di (convergente) e B: −2 di (divergente) 3. +1 di 4. a) Divergente. , b) −5 di Fluidos – Aula 1 1. 1 g/cm3, 103 kg/m3, 1 kg/l 2. 11, 2 kg 3. a) 0, 3 g/cm3 , b) 1, 1 g/cm3 4. 1, 05 × 104 P a, 0, 1 atm 5. a) Porque a ´ area de contato do pneu de bicicleta com o ch˜ ao ´ e muito pequena, a press˜ ao deve ser grande. , b) ptotal ≈ 2, 75 atm , c) A manom´ etrica, pois mede a diferen¸ ca de press˜ ao entre o interior e o exterior do pneu. Fluidos – Aula 2 1. b) 2. a) 3, 0 × 104 P a , b) 1, 5 × 105 P a , c) 8, 0 × 103 P a 3. 1, 01 × 105 P a ou 1 atm ou 760 mmHg 4. a) No maior. , b) No menor. , c) 50 N 5. 12, 8 cm 6. 8% 7. 16 N Cinem´ atica – Aula 1 1. c) 2. b) 3. b) 4. d) 5. e) 6. b) 4. c) 5. d) 6. e) 4. a) 5. b) 6. c) 4. b) 5. b) 6. c) Cinem´ atica – Aula 2 1. d) 2. d) 3. e) Cinem´ atica – Aula 3 1. a) 2. d) 3. b) Cinem´ atica – Aula 4 1. a) 2. d) 3. e) Cinem´ atica – Aula 5 1. c) 2. c) 3. c) 4. e) 5. b) 6. c) Ondas – Aula 1 2. c) 3. e) 4. θ ≈ 23◦ 5. d) 6. L9 /L1 6 = (16/9)2 7. 25, 3 cm Ondas – Aula 2 1. c) 2. e) 3. c) 4. c) 5. e) 6. a) 4. b) 5. d) 6. a) 4. c) 5. b) 6. d) 7. d) Ondas – Aula 3 1. e) 2. c) 3. d) Ondas – Aula 4 1. e) 2. c) 3. b) Ondas – Aula 5 1. a) 30 m/s , b) Se aproxima, pois a frquˆ encia aumenta. , c) Diminui 10%. 2. b) 3. a) Afastando-se do apito em alta velocidade, o seu som poderia ser ouvido. , b) vaf ast. = (4/5)vsom 4. c) 5. a) 6. d) Termodinˆ amica – Aula 1 1. b) 2. a) 3. d) 4. d) 5. b) 6. e) 322 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br Termodinˆ amica – Aula 2 1. a) 2. a) 3. e) 4. c) 5. a) 6. e) 5. c) 6. d) 5. a) 6. a) 5. a) 6. e) 5. a) 6. e) Termodinˆ amica – Aula 3 1. d) 2. a) 3. c) 4. d) Termodinˆ amica – Aula 4 1. b) 2. a) 3. e) 4. d) Termodinˆ amica – Aula 5 1. c) 2. b) 3. a) 4. b) Termodinˆ amica – Aula 5 1. c) 2. b) 3. a) 4. b) Termodinˆ amica – Aula 7 1. d) 2. e) 3. a) 4. c) , e) 90 g 5. d) 6. c) Termodinˆ amica – Aula 8 1. a) 2. b) 3. c) 4. b) 5. e) 6. d) 5. d) 6. c) 5. a) 6. b) Termodinˆ amica – Aula 9 1. d) 2. a) 3. a) 4. b) Termodinˆ amica – Aula 10 1. d) 2. a) 3. e) 4. c) Termodinˆ amica – Aula 11 1. e) 2. a) No intervalo de t1 at´ e t2 . , b) No intervalo de t3 at´ e t4 . , c) 10, 2 kcal 3. c) Eletricidade – Aula 1 1. qA = Q/2, qB = qC = Q/4 2. a) L˜ a (-), vidro (+) , b) L˜ a (+), cobre (-) 3. d) 4. a) Enconstar as trˆ es esferas simultaneamente e afast´ a-las. , a) Enconsta-se B e C, aproxima-se A de B, afasta-se C. , a) Imposs´ıvel. 5. d) 6. c) 7. a) Eletricidade – Aula 2 1. Diminui para F/16 2. F ′ = 3F/4 3. a) Empurra os el´ etrons do eletrosc´ opio para as extremidades (hastes), afastando-as. , b) Parte da carga do corpo passa para o eletrosc´ opio, afastando suas hastes. 4. 2, 0 × 10−7 C 5. ) c) 6. d) Eletricidade – Aula 3 1. a) +7, 5 × 10−2 N , b) Para a direita, no sentido da for¸ ca el´ etrica. 1. c) −7, 5 × 10−2 N , para a esquerda. 3 2 2. a) 0, 144 N , b) 28, 9 kN/C 3. a) 2 × 10 m/s , b) 16.000 m/s 4. a) 7, 0 × 10−10 C , b) 70 N/C 5. 4, 9 mC 6. −0, 05 C Eletricidade – Aula 4 1. 8 × 10−7 V 2. a) V = 0 , b) E = 9, 0 × 105 N/C, da carga positiva para a negativa. , c) Que a soma de grandezas escalares e vetoriais ´ e diferente. 3. a) 1 kV , b) −1 kV 4. a) 1, 0 × 10−7 C , b) 900 V /m 5 5. 5, 4 × 10 V , se a carga negativa e o v´ ertice A, pertencerem ao mesmo lado, sen˜ ao, 2, 22 × 106 V . 6. W = −45 mJ, negativo porque as cargas se repelem, e a for¸ ca esterna deve ser contr´ aria ao deslocamento. Gabarito – Respostas aos exerc´ıcios... 323 Eletricidade – Aula 5 1. 2, 3 × 10−13 J 2. −0, 9 J 3. a) 1, 0 nC , b) −30 V , c) 10 µJ 4. a) V = mgd/q , b) A inferior deve ter carga positiva, e portanto, maior potencial el´ etrico. 5. e) 6. c) Eletricidade – Aula 6 1. V V F V V 2. V V V F V 3. a) V = 180 V e E = 0 , b) V = 108 V e E = 216 V /m 4. a) qA = 3Q/4 e qB = 9Q/4 , b) VA = VB = 3kQ/4R 5. a) qA = 1, 0 µC e qB = 2, 0 µC , b) VA = VB = 9, 0 kV , c) De B para A, pois no in´ıcio a esfera B tinha excesso de el´ etrons. 6. a) 6, 25 × 1012 , b) A esfera A, pois a esfera B tem mais el´ etrons do que a esfera A. 7. a) 6, 4 × 108 V , b) 4, 55 × 105 C Eletricidade – Aula 7 1. a) V1 = 2 kV , V2 = 4 kV e V3 = −4 kV 2. ) C/2 3. 56, 5 kV /m 4. A part´ıcula n˜ ao tem energia suficiente para atingir a segunda placa. 5. e) 6. b) 7. 1, 8 × 10−4 C Eletricidade – Aula 8 1. R$ 3,47 2. 12, 5 µF 3. 17, 1 µF 4. 810 J 5. V1 = V2 = 20 V e Q2 = 6, 0 × 10−5 C 6. 50 V 7. b) Eletricidade – Aula 9 1. c) 2. d) 3. a) 4. c) 5. e) , e) R = 6 Ω 6. d) 5. c) 6. c) Eletricidade – Aula 10 1. d) 2. c) 3. b) 4. a) 7. e) Eletricidade – Aula 11 1. c) 2. b) 3. d) 4. a) R2 = {101, 8 Ω, 0, 2 Ω} , b) P2 = {101, 7 W, 4, 1 W } Eletricidade – Aula 12 1. d) 2. c) QU´ IMICA Qu´ımica – Aula 1 1. F V F V V V 2. V V V F V 3. e) 4. b) 5. e) 6. b) Qu´ımica – Aula 2 1. c) 2. d) 3. V V V V F 4. a) 5. d) Qu´ımica – Aula 3 1. Al3+ e S 2− 2. a) 3. bde 4. a) oxigˆ enio (Z = 8) , b) magn´ esio (Z = 12) Qu´ımica – Aula 4 1. e) 2. a) 3. e) 4. b) 5. d) 6. ? 4. e) 5. a) 6. c) 4. d) 5. d) 6. b) Qu´ımica – Aula 5 1. d) 2. d) 3. b) Qu´ımica – Aula 6 1. c) 2. e) 3. e) Qu´ımica – Aula 7 1. mH2 O = 54 kg 1. VCO2 = 20 m3 2. e) 3. d) 4. a) 5. a) 6. e) 324 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC Qu´ımica – Aula 8 1. b) 2. e) 3. d) 4. b) 5. a) 6. d) 4. d) 5. K = 1, 8 × 10−5 6. a) Qu´ımica – Aula 9 1. c) 2. e) 3. b) Qu´ımica – Aula 10 1. pH = 2 e pOH = 12 2. e) 3. b) 4. e) 5. c) Qu´ımica B – Aula 1 1. c) 2. QQQF F F 3. b) 4. c) 5. e) 6. b) 4. b) 5. d) 6. c) Qu´ımica B – Aula 2 1. V V V V V V 2. a) 3. e) Qu´ımica B – Aula 3 1. c) 2. F F V V F 3. b) 4. e) 5. c) 6. e) Qu´ımica B – Aula 4 1. c) 3. c) 4. b) 5. b) Qu´ımica B – Aula 5 1. 61 2. c) 3. e) 4. d) 5. e) 6. e) Qu´ımica B – Aula 6 1. d) 2. c) 3. d) 4. e) 5. c) 6. e) 4. c) 5. c) 6. e) 4. b) 5. d) 6. b) 5. c) 6. e) 7. c) 5. a) 6. b) 7. e) 8. b) Qu´ımica B – Aula 7 1. c) 2. e) 3. a) Qu´ımica B – Aula 8 1. e) 2. e) 3. d) Qu´ımica B – Aula 9 1. e) 2. b) 3. e) Qu´ımica B – Aula 10 1. d) 2. b) 3. e) Qu´ımica B – Aula 11 3. e) 5. d) 6. d) Qu´ımica B – Aula 12 2. 21 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 1 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 2 6. pH = 12 — www.mundofisico.joinville.udesc.br Gabarito – Respostas aos exerc´ıcios... 325 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 3 1. ) 07 2. b) 3. e) 4. d) 5. b) 6. c) Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 4 ´ MATEMATICA Matem´ atica A – Aula 1 1. e) 2. c) 3. d) 4. 02+08+32=42 5. a) 6. d) c = 2/3; a = −1/3 7. d) Matem´ atica A – Aula 2 1. a) n = −8, m = 6 2. b) 3. a) 4. d) a = −1, b = 3 5. b) 6. a) 7. a) 220 , b) 10 ≤ x ≤ 20 Matem´ atica A – Aula 3 1. b) x = −1 2. c) x = {−2, 3} 3. b) 4. b) 5. c) 6. e) x = 4/3, y = 2/3 Matem´ atica A – Aula 4 1. c) x = ±2 2. b) dica: reduzir os logar´ıtmos ` a base 6 3. c) dica: sin2 (x) + cos2 (x) = 1 4. a) 5. d) Matem´ atica A – Aula 5 1. b) p = 2, q = −2 2. e) 3. d) 4. c) 6. b) x = {2, −3} 5. e) √ √ 7. a) d = 10 , b) x = {2, 5, − 5} Matem´ atica A – Aula 6 1. c) x = {2, 3} 2. d) x = {−1, 1, 7, 13} 3. b) 4. a) 5. c) 6. d) Matem´ atica A – Aula 7 1. d) 2. e) 3. c) 4. d) 5. e) 6. c) 5. b) 6. a) y = 2x , b) 9/8 7. b) 5. c) 6. b) 5. e) 6. b) Matem´ atica A – Aula 8 1. a) 2. b) 3. c) 4. d) Matem´ atica A – Aula 9 1. b) 2. e) 3. e) 4. c) Matem´ atica A – Aula 10 1. c) 2. d) 3. a) 4. b) 7. c) Matem´ atica B – Aula 1 1. ((3, 4, 5), (5, 6, 7), (7, 8, 9)) 2. A = ((2, −8), (−9, 4)) 3. e) 4. c) 5. x = 3, y = 4 e z = 4 6. 6 7. 8 Matem´ atica B – Aula 2 1. A = ((1/5, −2/5), (2/5, 1/5)) 2. e) 3. a) ((31, −23, −1), (1, 1, −1), (−7, 5, 1)) 6. B = I3 7. c) 8. d) 4. X = ((−4, −3), (9, −5), (10, −4)) 5. B = Matem´ atica B – Aula 3 1. d) e) 2. a) A = ((0, −3), (3, 0))q , b) B = ((3, 0), (0, 3)) , c) A · B = ((0, −9), (9, 0)) , d) 81 3. det(A · AT ) = 16 4. 5. e) 6. d) 7. tan x = − Matem´ atica B – Aula 4 5 3 326 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 2. a) ´ e normal , b) n˜ ao ´ e normal 3. k 6= ±1 4. a) x = 1, y = 2 , b) x = −31/5, y = 29/5, z = −1/5 , c) x = 2, y = −1, z = −3 , d) x = 1/4, y = −1/3, z = −1 Matem´ atica B – Aula 5 1. determinado: x = 9, y = −7, z = −4 Matem´ atica B – Aula 6 1. S30 = 750 2. S7 = 98 3. n = 10 4. d) 5. 2x/3=60 6. -1 7. 965 Matem´ atica B – Aula 7 1. a) PG com r = −6 , b) PG com r = −2/3 2. ) P53 = 1 3. d) 4. b) 5. 227 6. b) 7. r = 2/3 8. S3 = 3/8 Matem´ atica C – Aula 1 1. b) 2. d) 3. e) 4. d) 5. a) 6. c) 7. c) Matem´ atica C – Aula 2 1. e) 227 2. a) 3. b) 4. d) 5. c) 6. a) 7. b) 8. d) Matem´ atica C – Aula 3 1. c) 2. a) 3. d) 4. b) 5. e) 6. a) 7. d) 8. e) 9. d) 10. b) Matem´ atica C – Aula 4 1. m = 9, n = 4 2. 40.000, 16.000 e 24.000, respectivamente 3. 30:75:105 4. a) 3/2 , b) 3/2 , c) 3/40 , d) 3/4 , e) 1/6 , f ) 5/1 5. a) 6. b) 7. d) Matem´ atica C – Aula 5 1. a) 2. b) 3. d) 5. d) 6. c) 7. 6 horas 8. 35 dias 9. 15 dias 10. 10 horas/dia 11. 2.025 m 5. c) 6. a) Matem´ atica C – Aula 6 1. d) 2. b) 3. a) 4. d) 7. b) Matem´ atica C – Aula 7 1. b) 2. b) 3. a) x2 + 9x + 20 , b) 9x2 + 3x 4. e) 24 d´ıgito n˜ ao pode ser 0. 5. d) 6. c) 7. b) 8. d) 9. e) dica: o primeiro Matem´ atica C – Aula 8 1. b) A6,5 = 720 2. b) C8,5 = 56 3. e) A3,1 + A3,2 + A3,1 = 15 4. a) A9,3 = 504 5. e) A10,4 = 5040 6. b) C5,2 · C6,3 = 200 7. a) A7,7 = P7 = 5040 8. c) A8,3 = 336 9. a) C10,6 = 210 10. e) C6,3 · C4,2 = 120 11. b) C7,5 = 21 12. a) P5 = 120 13. d) A6,3 · C3,1 = 360 14. d) C10,4 = 210 15. a) P4 = 24 16. d) C7,3 = 35 Matem´ atica C – Aula 9 1. 27 2. x = {4, −5} 3. 256 4. n = 7 5. 501 6. 144 x7 7. 15 x7 8. −30 x9 9. 160 x3 y 3 10. −2.187 11. 6.561 12. d) 13. b) 14. b) 15. e) 16. c) 17. a) 18. c) Matem´ atica C – Aula 10 1. a) 1/6 , b) 1/2 , c) 1/3 , d) 1 , e) 0 2. ) 1/4 3. a) 4 possibilidades: {AA, AB, BA, BB} , b) 36 possibilidades: {11, 12, 21, 22, 13, 31, 33, . . ., 56, 65, 66} , c) 12 possibilidades: {A1, B1, A2, B2, A3, B3, . . . , A6, B6} , d) 16 possibilidades: {0000, 0001, 0010, 0011, . . ., 1111} , e) 120 possibilidades: {P ROV A, P ROAV, P RAV O, P ROAV, . . . , AV ORP } 4. b) dica: divida 240/13 para achar o n´ umero de m´ ultiplos de 13. 5. d) dica: p = 2 · 1 · 8 · 7 · 6/10 · 9 · 8 · 7 · 6 6. e) 7. b) dica: p = 28 /C6,3 . 8. d) 9. b) Gabarito – Respostas aos exerc´ıcios... 327 Matem´ atica C – Aula 11 1. d) 1. h) 2. b) x = 3 3. b) 4. a) 5. c) 6. c) 7. a) 8. b) Matem´ atica C – Aula 12 1. x = {0, pi/4, pi, 5π/4} 1. x = {±pi/6} 1. x = {5π/6 11π/6} 2. e) x = {π/4, 5π/4} 3. d) 3. g) 4. c) 5. e) 6. c) dica: Matem´ atica C – Aula 13 1. x = π/3 ou x = 60◦ 2. α = 20◦ 3. β = 10◦ 4. d) dicas: D = C20,2 − 20 ou D = 20 · 17/2 8. d) 9. a) 10. e) 15◦ 11. b) 12. b) 13. c) dica: N=12 5. b) 6. a) 7. c) 6. a) Matem´ atica C – Aula 14 1. 10 cm 1. m = 6, 4 cm e n = 3, 6 cm 1. h = 4, 8 cm 2. e) m = 3 cm e n = 4 cm 7. b) 8. c) Matem´ atica C – Aula 15 √ √ 1. e) 2. a) 4 cm , b) 2 3 cm , c) 24 3 cm2 , d) 12π cm2 3. 50π cm2 4. c) Matem´ atica C – Aula 16 √ 1. C(5, −3) e R = 10 2. x2 + y 2 = 16 3. x2 + y 2 + 4x − 4y + 3 = 0 4. a) 10. c) 11. d) 3. b) 4. d) 5. d) 5. a) 6. d) 7. a) 8. b) 5. d) 6. c) 7. b) 8. d) 9. c) 9. e) Matem´ atica C – Aula 17 1. a) 2. d) 3. b) 4. a) 5. b) 6. d) 7. a) Matem´ atica C – Aula 18 1. F V V F V F F F V V 2. d) 3. V V V F F 4. c) 5. b) 6. c) Matem´ atica C – Aula 19 1. c) 2. c) 3. c) dodecaedro 4. b) 5. c) Matem´ atica C – Aula 20 1. d) 2. b) 3. c) 3. d) 4. e) 5. c) 5. a) 6. d) 6. a) 7. b) L´ INGUA PORTUGUESA L´ıngua Portuguesa – 01 1. c) 2. b) 3. d) 4. e) L´ıngua Portuguesa – 02 1. a) secret´ aria , d) partir´ a , f ) al´ em , g) voo , h) f´ orceps , i) ´ albuns – fam´ılia 2. c) 3. hist´ oria, Pal´ acio, P´ atio, consequˆ encia, trˆ es, in´ uteis, s´ o. 4. a) 5. polˆ emica, c´ upula, preparat´ orias, Ap´ os, u ´ ltima, C´ upula, j´ a, signat´ arias, soci´ ologo, comitˆ e, Solid´ aria, cr´ıtica, dinamarquˆ es, N´ os, At´ e, c´ upula, d´ uvidas, equil´ıbrio, macro-econˆ omico, desequil´ıbrios. L´ıngua Portuguesa – 03 1. c) 2. c) 3. e) 4. b) L´ıngua Portuguesa – 04 1. b) 2. e) 3. a) 4. d) L´ıngua Portuguesa – 05 5. e) 6. e) 7. e) 328 Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC — www.mundofisico.joinville.udesc.br 1. a) se arrepiava , b) se ouvia , c) lhe vinha , d) lembrou-se , e) lhe importava , f ) escutou-se , g) Levanta-se , h) se vendem , i) me levaram , j) se babando 2. c) 3. 43 (01,02,08,32) 4. c) 5. e) 6. c) L´ıngua Portuguesa – 06 1. a) ` a janela , c) ` a disciplina 2. c) 3. c) ` A,A,A,A,A ` 4. A, 5. e) 6. a) L´ıngua Portuguesa – 07 1. e) 2. e) 3. b) 4. c) 5. a) 6. d) L´ıngua Portuguesa – 08 1. a) 2. a) 3. d) 4. e) 5. a) discri¸ c˜ ao , b) retificar , c) vultosa , d) eminente , e) infringisse , g) tachado 6. a) anti , b) anti , c) ante 7. F CBADE 8. a) a , b) H´ a , c) H´ a , d) a 9. a) Mal , b) mau , c) mal L´ıngua Portuguesa – 09 1. b) 2. e) 3. c) L´ıngua Portuguesa – 10 1. b) 2. b) 3. d) L´ıngua Portuguesa – 11 1. e) 2. b) 3. e) 4. e) L´ıngua Portuguesa – 12 1. b) 2. b) 3. e) 4. b) L´ıngua Portuguesa – 13 Literatura – Aula 14 Literatura – Aula 15 Literatura – Aula 16 Literatura – Aula 17 Literatura – Aula 18 ´ HISTORIA Hist´ oria – Aula 1 5. d) 6. a) 7. a) 9. a) 10. c) 11. b) Referˆ encias Bibliogr´ aficas ´ [1] ALVARENGA, Beatriz e MAXIMO, Antˆ onio. F´ısica. volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora: Scipione. [22] MARCONDES, Carlos Alberto. Matem´ atica, Volume ´ u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Atica, 2003. [2] BONGIOVANNI, Vicenzo; LEITE, Ol´ımpio Rudinin Vissoto; LAUREANO, Jos´e Luiz Tavares. Matem´atica e Vida. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora ´ Atica, 1990. [23] SANTOS, Carlos A. M.; GENTIL, Nelson; GRECO, ´ S´ergio E. Matem´ atica. Volume Unico. 7a edi¸ca˜o. S˜ ao ´ Paulo: Atica, 2003. [24] NETO, ANTAR. Matem´ atica B´asica. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Atual, 1984. [3] BONJORNO, Jos´e Roberto. Matem´ atica Fundamental, volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora FTD, 1994 [25] OLIVEIRA, Antˆ onio Narmo; SILVA, Agostinho. Biblioteca da Matem´ atica Moderna. Tomo III, S˜ ao Paulo: Impress˜ ao e encaderna¸ca˜o da comp. Melhoramentos de S˜ ao Paulo, 1970. ˜ [4] CARRON, Wilson e GUIMARAES, Osvaldo. F´ısica. volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Moderna, 1999. [5] Don Bosco, Apostila. F´ısica. 3o ano, Curitiba: Editora Don Bosco, 2004. ´ DJALMA NUNES DA SILVA. F´ısica. vo[26] PARANA, ´ lume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Atica, 2002. [6] FELTRE, Ricardo. Qu´ımica. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Moderna, 2003. [27] Povoamento-Imigra¸ca˜o Coloniza¸ca˜o.Edi¸ca˜o do Autor, Joinville-SC, 1983. Hist´oria de Santa Catarina, 1o Volume, Grafipar, 1970. [7] FERRARO, Nicolau Gilberto; PENTEADO, Paulo C´esar; SOARES, Paulo Toledo; TORRES, Carlos Magno. F´ısica. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Moderna, 2001. [28] SAMPAIO, Jos´e Luiz e CALC ¸ ADA, Caio S´ergio. Universo da F´ısica, v. 1. S˜ ao Paulo: Atual, 2001, p. 483484. ´ [8] GASPAR, Alberto. F´ısica. vol. 1, Editora Atica, S˜ ao ´ Paulo: Editora Atica, 2000. [29] SANTOS, CARLOS ALBERTO MARCONDES ´ DOS, GENTIL, NELSON e GRECO, SERGIO EM´ILIO. Matem´ atica para o Ensino M´edio. Volume ´ u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora: Atica. [9] GIOVANNI, Jos´e R. ; Bonjorno, Jos´e R. ; Giovanni Jr., Jos´e R. Matem´ atica Fundamental .2o. Grau. Vo´ lume Unico. S˜ ao Paulo: FTD, 1994. ˆ [30] SARDELLA, ANTONIO. Qu´ımica. Volume u ´ nico, ´ S˜ ao Paulo: Editora Atica, 2002. [10] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de F´ısica. Volume 1, Rio de Janeiro: editora LTC, 1993. [31] SCHNEIDER, Adolfo Bernardo; HANSA HUM´ BOLD ontem, hoje CORUPA-(Baseado no arquivo de Gerhardt Herrmann), Edi¸ca˜o do autor, Corup´ aSC, 1985. [11] http://sites.uol.com.br/helderj [12] http://sites.uol.com.br/helderjf [32] Usberco, Jo˜ao e salvador, Edgard, Qu´ımica - volume u ´ nico, 5 ed. reform. S˜ ao Paulo : Saraiva, 2002. [13] http://www.coladaweb.com/fisica/gravitacao.html [14] http://www.educar.sc.usp.br/ciencias/quimica. [15] http://www.jornaldaeducacao.inf.br/jornal162/imp.htm [16] http://www.merkquimica.com.br [33] YOUSSEF, ANTONIO NICOLAU e FERNANDEZ, VICENTE PAZ. Matem´ atica. Conceitos fundamentais. Vols. 1 e 2, S˜ ao Paulo: Editora Scipione, 1993. [17] http://www.qmc.ufsc.com.br [18] http://www.vestibular1.com.br [19] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; TEIXEIRA, Jos´e Carlos; MACHADO, Nilson Jos´e; GOULART, M´ arcio Cintra; CASTRO, Luiz Roberto Silveira e MACHADO, Antonio dos Santos, Matem´ atica, vol. 2, S˜ ao Paulo: Atual Editora, 1991. [20] IMENES, Luiz M´ ario. Dicion´ ario de Matem´ atica. S˜ ao Paulo: Editora Scipione,1998 2 [21] KORMANN, Jos´e; Secretaria Municipal de Educa¸ca˜o, Apostila de Estudos Sociais, Corup´ a-SC, 2003. 2 Essa revis˜ ao cont´em um total de 141 aulas e 894 exerc´ıcios.