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Apostila Matlab

Apostila de Matlab

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CURSO INTRODUTÓRIO DE MATLAB 6.5 Prof. Silmara Alexandra da Silva Vicente [email protected] Janeiro/2003 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Sumário 1. Introdução 1.1 História do MATLAB 1.2 Toolboxes 1.3 Aprendendo a Utilizar o MATLAB 1.4 MATLAB no Ambiente Windows 1.5 Comandos Básicos e Declarações de Variáveis 1.6 Números e Expressões Aritméticas 1.7 Formato de Saída 1.8 Matrizes Simples 1.9 Elementos das Matrizes 1.10 Indexação de Elementos de Matrizes 1.11 Dimensão de Vetores e Matrizes 1.12 Matrizes Especiais 1.13 Números e Matrizes Complexas 1.14 Funções Matemáticas Elementares 1.15 Facilidades do Help 2. Operações com Matrizes 2.1 Transposta 2.2 Adição e Subtração 2.3 Multiplicação 2.4 Divisão 2.5 Potenciação 3. Operações Relacionais e Lógicas 3.1 Operadores Relacionais 3.2 Operadores Lógicos 3.3 Arquivos M de Comandos 4. Controle de Fluxo 4.1 Laço For 4.2 Laço While 4.3 Estrutura If-Else-End 4.4 Estrutura Switch-Case 5. Arquivos M de Funções 5.1 Porque usar funções? 5.2 Diferença entre Arquivo M de Funções e Arquivo M de Comandos 5.3 Como escrever uma Função 5.4 Regras e Propriedades 6. Análise Numérica 6.1 Otimização 6.2 Integração Numérica 6.3 Solução de Equações Diferenciais Curso Introdutório de MATLAB 6.5 2 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 7. Polinômios 7.1 Raízes 7.2 Multiplicação 7.3 Adição 7.4 Divisão 7.5 Cálculo de Polinômios 7.6 Derivada de Polinômios 8. Gráficos 8.1 Gráficos Bidimensionais 8.2 Estilos de Linhas e Símbolos 8.3 Números Complexos 8.4 Escala Logarítmica, Coordenada Polar e Gráfico de Barras 8.5 Gráficos Tridimensionais 8.6 Anotações no Gráfico 9. Simulink 9.1 Introdução ao Simulink 9.2 Exemplos 10. Referências Bibliográficas 11. Anexos Curso Introdutório de MATLAB 6.5 3 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 1 INTRODUÇÃO 1.1. HISTÓRIA DO MATLAB - Desenvolvido no final da década de 70 na Universidade do Novo México e na Universidade de Stanford, onde a primeira versão foi lançada em 1984; - É destinado aos cursos de teoria matricial, álgebra linear e análise numérica; - Atualmente esse software está tão desenvolvido que sua capacidade se estende muito além do "Laboratório de Matrizes" – tradução para a palavra MATLAB; - MATLAB é um software interativo e uma linguagem de programação aplicada tanto para computação técnica como científica em geral; - Ele integra a capacidade de fazer cálculos, visualização gráfica e programação em um ambiente fácil de usar. O elemento básico é uma matriz e não requer dimensionamento à priori. Isso permite solucionar muitos problemas numéricos em uma fração de tempo menor do que seria necessário para escrever um programa em uma linguagem como FORTRAN, Basic ou C; - A forma de expressar a solução de problemas no MATLAB é quase a mesma na qual eles são escritos matematicamente; - A matemática é a linguagem comum de grande parte das ciências e da engenharia. As matrizes, equações diferenciais, conjuntos de dados, gráficos e diagramas são os blocos básicos tanto da matemática aplicada quanto do MATLAB. Sendo essa base matemática que torna o MATLAB acessível e poderoso; Alguns exemplos das muitas áreas onde o MATLAB tem sido utilizado: • • • Um estudante de pós-graduação em Física analisando e visualizando dados de seus experimentos com campos magnéticos de super condutores; Um parque de diversões modelando os sistemas de controle para seus brinquedos; Um estudante de primeiro grau aprendendo multiplicação; - Já existem mais de 500.000 usuários ao redor do mundo, no Brasil o MATLAB tem estado presente nas Universidades e Faculdades de primeira linha bem como nos departamentos de engenharia e desenvolvimento das principais empresas e instituições do país: Companhia Vale do Rio Doce, Embraer, Renault do Brasil, Motorola do Brasil, Petrobrás, BankBoston, Banco do Brasil, Banco Central do Brasil e outros. - Em todos esses casos e em milhares de outros, o fundamento matemático do MATLAB torna-o útil em locais e aplicações muito além do que se pode imaginar. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 4 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 1.2. TOOLBOXES O MATLAB é tanto um ambiente quanto uma linguagem de programação e um de seus aspectos mais poderosos é o fato de que a linguagem MATLAB permite-lhe construir suas próprias ferramentas reutilizáveis. Pode-se facilmente criar suas próprias funções e programas especiais (conhecidos como arquivos M) em linguagem MATLAB. • TOOLBOX: uma coleção especializada de arquivos M para trabalhar em classes particulares de problemas, traduzindo, são bibliotecas de rotinas MATLAB (m-files), aplicadas a áreas específicas tais como: controle, estatística, álgebra, lógica nebulosa (lógica fuzzy). Essas bibliotecas são construídas usando a linguagem do MATLAB e isso tem algumas implicações: • É possível uma integração direta e perfeita com o Simulink e quaisquer outras toolboxes que se tenha disponível; • Como todas as toolboxes estão escritas em linguagem MATLAB, pode-se tirar proveito da característica de sistema aberto do MATLAB e também examinar os arquivos M, editá-los ou utilizá-los como modelos de referência quando estiver criando suas próprias funções; • Toda toolbox é disponível para qualquer tipo de sistema que execute o MATLAB; Alguns exemplos de toolboxes: - Toolbox de Processamento de Sinais - Toolbox de Identificação de Sistemas - Toolbox de Otimização - Toolbox de Sistemas de Controle - Toolbox de Estatística Existem ainda muitas outras toolboxes tais como: • Lógica Fuzzy – Fuzzy Logic • Redes Neurais – Neural Network • Matemática Simbólica e Algébrica – Simbolic Math Toolbox 1.3. APRENDENDO A UTILIZAR O MATLAB Uma maneira fácil de visualizar o MATLAB é pensar (imaginar) que se está trabalhando com uma calculadora científica. Lembrando que nessa calculadora além das operações elementares como: adição, subtração, multiplicação e divisão ela também opera com números complexos, raízes quadradas, potenciações, logaritmos e simulações complexas de sistemas lineares e não lineares entre outras aplicações. Uma grande vantagem do MATLAB é a facilidade em programar na sua própria linguagem e com isso armazenar e recuperar dados, criar, executar e armazenar seqüências de comandos para automatizar os cálculos. Também é possível plotar Curso Introdutório de MATLAB 6.5 5 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia dados de diversas maneiras, manipular polinômios, integrar funções, manipular equações simbolicamente e ainda programar suas próprias funções de acordo com a necessidade. Na realidade, o MATLAB oferece muitas outras características e é muito mais versátil do que qualquer calculadora: • É uma ferramenta para fazer cálculos matemáticos; • É uma linguagem de programação com características mais avançadas; • Fácil de aplicar quando comparado às linguagens de programação como: BASIC, Pascal ou C/C++. Esse software apresenta um ambiente rico para a visualização de dados graças à sua poderosa capacidade gráfica. É uma plataforma de desenvolvimento de aplicações, na qual conjuntos de ferramentas inteligentes para solução de problemas em aplicações específicas, podem ser desenvolvidos de forma relativamente fácil. 1.4. MATLAB NO AMBIENTE WINDOWS Para iniciar o MATLAB é muito simples; basta clicar no ícone: Ou menu: iniciar/programas/Matlab6.5/Matlab6.5 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 6 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia A Janela inicial do MATLAB é a seguinte: 1. Comand Window: • • • • É a área de trabalho onde os comandos (as instruções) são digitados; as operações podem ser realizadas e seus resultados são mostrados; Também é nessa janela que se pode executar um arquivo m-file; O prompt “>>” indica que o programa está pronto aguardando uma instrução; Com as teclas “↑” (seta para cima) e “↓” (seta para baixo) é possível recuperar todos os comandos já digitados. 2. Workspace: • É a área na qual são exibidas todas as variáveis definidas na área de trabalho; • Essa janela possui quatro colunas indicando o nome, dimensão, número de bytes e a classe de cada variável; • As variáveis podem ser editadas e visualizadas nessa própria janela, basta dar um click-duplo para editá-las; • Há um menu flutuante que é possível: 1. 2. 3. 4. 5. Open - abrir a janela Graph – criar gráficos a partir dos dados contidos na variável Select All – selecionar todas as variáveis Import Data – importar variáveis de um arquivo para o workspace Save Selection As – salvar as variáveis selecionadas em um arquivo Curso Introdutório de MATLAB 6.5 7 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 6. Save Workspace As – salvar todas as variáveis do workspace em um arquivo 7. Copy – copiar a variável para a área de transferência de dados do Windows 8. Delete – apagar a variável do workspace 9. Clear Workspace – apagar todas as variáveis do workspace 10. Rename – renomear a variável. 3. Current Directory Área onde é exibida uma lista dos arquivos contidos no diretório corrente; 4. Command History Área onde ficam armazenadas todas as instruções executadas no MATLAB; Curso Introdutório de MATLAB 6.5 8 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 5. Menus pop-up São os comandos de configuração do ambiente MATLAB; 1.5. COMANDOS BÁSICOS NO COMMAND WINDOW E DECLARAÇÕES DE VARIÁVEIS Para iniciar o nosso trabalho no MATLAB é necessário aprender alguns comandos essenciais da janela de trabalho (command window) e na seqüência vamos aplicá-los. who whos clear clc dir ou ls cd ou pwd what which Mostra as variáveis do espaço de trabalho. Mostra as variáveis do espaço de trabalho com detalhes. Limpa a memória do espaço de trabalho. Limpa a tela. Mostra o conteúdo do diretório que se encontra. Informa ou altera diretório corrente. Exibe os arquivos MATLAB contidos no diretório. Identifica e localiza arquivo Assim como qualquer outra linguagem de programação, o MATLAB tem regras a respeito do nome de variáveis. Os nomes devem ser palavras únicas, sem inclusão de espaços e não devem conter caracteres acentuados. Mais especificamente, as regras para variáveis são: Regras para Nomes de Variáveis As variáveis são sensíveis a maiúsculas e minúsculas; As variáveis podem conter no máximo 31 caracteres; o que ultrapassar esse número é ignorado. Os nomes das variáveis devem começar com uma letra, podem ser seguidos de um número, letras ou sublinhados. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 Comentários e Exemplos Itens, itens, itEns e ITEns. São todas variáveis diferentes. oquevoceachadessenomedevariavel O_que_você_acha_deste_nome X51483 9 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Além dessas regras de nomes de variáveis, o MATLAB possui algumas variáveis especiais: Variável ans pi inf NaN (ou) nan i (e) j realmin realmax Valor Variável-padrão usada para resultados 3.14159265358979... Infinito ex:1/0 Não Numérico ex: 0/0 i=j=sqrt(-1) raiz imaginária Menor número real utilizável (2.2251e-308) Maior número real utilizável (1.7977e+308) Exemplos de declarações de variáveis: >>A=5 >>borrachas=7 >>blocos=6; Há uma diferença na execução dessas três variáveis, está relacionada com o ponto e vírgula “;” no final da atribuição. Se o último caractere da declaração é um ponto e vírgula ";" a impressão na tela é suprimida, mas a tarefa é realizada. Esse procedimento é usado em arquivos com extensão ".m" e em situações onde o resultado é uma matriz de grandes dimensões e há interesse em apenas alguns dos seus elementos. Se acaso não for declarado o nome de uma variável o MATLAB tem como padrão uma variável chamada ans (answer). Exemplo: >>borrachas+blocos ans= 13 Isso só ocorre porque não foi atribuído o resultado da soma a uma variável específica. >>s=borrachas+2*blocos s= 19 Todas as funções devem ser escritas em letras minúsculas: >> who Your variables are: A blocos borrachas s Curso Introdutório de MATLAB 6.5 10 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia e não WHO em letra maiúscula. Para saber os detalhes dessas variáveis, é só digitar: » whos Name A blocos borrachas s Size 1x1 1x1 1x1 1x1 Bytes Class 8 double array 8 double array 8 double array 8 double array Grand total is 4 elements using 32 bytes As variáveis do espaço de trabalho podem ser excluídas incondicionalmente usando-se o comando clear: >> clear A >> clear blocos s >> clear b* % exclui somente a variável A. % exclui as variáveis blocos e s. % exclui as variáveis que iniciam com a letra b. Obs.: Não há solicitação de confirmação, todas as variáveis serão apagadas e não poderão ser recuperadas. >>borrachas=5; >>canetas=8; >>lapiseiras=3; >>r=borrachas+canetas+lapiseiras Para salvar os dados do Command Window: Uma das alternativas é ir até o menu: File/ Save Workspace As / digitar o nome do arquivo: Por exemplo: exe1.mat Para recuperar os dados é só ir no menu: File / Open e abrir o arquivo desejado: >>clear Em seguida abrir o arquivo exe1.mat. Se desejar salvar algumas variáveis em específico também é possível a partir da Janela de Comandos: >> save nome do arquivo variáveis desejadas >>save exe2 borrachas lapiseiras >>clear Para carregar essas variáveis da Janela de Comandos é só digitar: >> load exe2.mat Curso Introdutório de MATLAB 6.5 11 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 1.6. NÚMEROS E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS A seguir são mostrados alguns exemplos de números aceitos no MATLAB: 3 9.637458638 -99 1.602E-20 0.00001 6.06375e23 As expressões podem ser construídas usando os operadores aritméticos usuais e as regras de precedência: 1 + Adição 2 - Subtração 3 * Multiplicação 4 / Divisão 5 ^ Potenciação Exemplos: >> a=6; >>b=8; >>c=a-b -2 >>d=a-2*b -10 >>e=2*a-2^b -244 Para expressões utilizar sempre os parênteses: >>resp=2*(a-3*b)^1/2-5*(2*a-sqrt(b)) -63.858 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 12 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 1.7. FORMATO DE SAÍDA O formato numérico exibido na tela pode ser modificado utilizando-se o comando format, que afeta somente o modo como as matrizes são mostradas, e não como elas são computadas ou salvas. Se todos os elementos das matrizes são inteiros exatos, a matriz é mostrada em um formato sem qualquer ponto decimal. Por exemplo, >> x = [-1 0 1] resulta em: x= -1 0 1 Se pelo menos um dos elementos da matriz não é inteiro exato, existem várias possibilidades de formatar a saída. O formato "default", chamado de formato short, mostra aproximadamente 4 dígitos decimais ou usam notação científica. Por exemplo, a matriz: >> x = [4/3 1.2345e-6] é mostrada , para cada formato usado, da seguinte maneira: format short 1.3333 0.0000 4 dígitos decimais format short e 1.3333e+000 1.2345e-006 4 dígitos em notação científica format long 1.33333333333333 0.000000123450000 15 dígitos decimais format long e 1.333333333333333e+000 1.234500000000000e-006 15 dígitos em notação científica format hex 3ff5555555555555 3eb4b6231abfd271 Hexadecimal format rat 4/3 1/810045 Fração format bank 1.33 0.00 2 dígitos decimais format + ++ Positivos + e negativos - O formato + é uma maneira compacta de mostrar matrizes de grandes dimensões. Os símbolos "+", "-", e "espaço em branco" são mostrados, respectivamente para elementos positivos, elementos negativos e zeros. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 13 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Exemplo: » a=[1.23 125.365 -115845 125.025 0 -22114.025 154.024 0.2025 0 01.0114 -1.0025 -1121] a= +++++ +-Exercícios Numéricos: 1) Considere o problema de estimar a altura de um edifício como ilustrado na figura. Estando o observador está a uma distância D do edifício, com um ângulo θ e sendo a altura do observador h deseja-se saber a altura do edifício. Dados: h=1.83m θ=60° D=46m 2) Vc decidiu comprar um carro novo por R$18500.00. O vendedor está oferecendo duas opções de financiamento: a) Uma taxa mensal de juros de 0.99% paga durante 4 anos; b) Uma taxa mensal de juros de 1.30% paga durante 4 anos e um desconto de fábrica de R$1800.00. Pergunta-se: Qual das duas opções é o melhor negócio? E qual é a economia?  R (1 + R ) M  P = A  M  (1 + R ) − 1 T=P.M P=pagamento mensal R=taxa de juros M=número de meses T=total a ser pago Curso Introdutório de MATLAB 6.5 14 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 1.8. MATRIZES SIMPLES As matrizes podem ser introduzidas no MATLAB por diferentes caminhos: - digitadas na Janela de Comando (lista explícita de elementos), - geradas por comandos e funções, - criadas em arquivos ".m", - carregadas a partir de um arquivo de dados externo. O método mais fácil de entrar com pequenas matrizes no MATLAB é usando uma lista explícita. Os elementos de cada linha da matriz são separados por espaços em branco ou vírgulas e as colunas separadas por ponto e vírgula, colocando-se colchetes em volta do grupo de elementos que formam a matriz. Por exemplo, entre com a expressão: >> A=[ 1 2 3;4 5 6;7 8 9 ] Pressionando o MATLAB mostra o resultado A= 1 4 7 2 5 8 3 6 9 As matrizes podem, também, ser introduzidas linha a linha, o que é indicado para matrizes de grande dimensão. Por exemplo: >>A = [1 2 3 456 7 8 9] Com o comando load pode-se ler matrizes geradas pelo MATLAB, armazenadas em arquivos binários ou matrizes geradas por outros programas armazenadas em arquivos ASCII. Nos exemplos anteriores, os valores dos elementos de um vetor são digitados um a um, isto só é fácil quando se têm poucos elementos, e o que se faz para inúmeros elementos? >> x=[0:0.1:1]*pi x= 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416 >> x=linspace(0,pi,11) x= 0 0.3142 0.6283 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 15 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia No primeiro exemplo de x, é utilizada a forma do valor inicial do vetor, o passo, ou seja, o incremento desse vetor e o último valor. x=[valor inicial : incremento : valor final] No segundo exemplo é utilizada a função linspace, primeiramente o valor inicial, depois o valor final e por último o número de pontos que se deseja desse vetor. linspace(valor inicial, valor final, número de pontos) 1.9. ELEMENTOS DAS MATRIZES Os elementos das matrizes podem ser qualquer expressão do MATLAB, por exemplo: >> x = [-1.3 sqrt(2) ((1+2+3)*4/5)^2] resultando em : x= -l.3000 1.4142 23.0400 Um elemento individual da matriz pode ser reverenciado com índice entre parênteses. Continuando o exemplo, >> x(6) = abs(x(1)) o que produz: x= -1.3000 1.4142 23.0400 0 0 1.3000 Note que a dimensão do vetor x é aumentada automaticamente para acomodar o novo elemento e que os elementos do intervalo indefinido são estabelecidos como zero. Grandes matrizes podem ser construídas a partir de pequenas matrizes. Por exemplo, pode-se anexar outra linha na matriz A usando: >> r= [ 10 11 12]; >> A= [A;r] Curso Introdutório de MATLAB 6.5 16 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia que resulta em: A= 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 13 Note que o vetor r não foi listado porque ao seu final foi acrescentado ";". Pequenas, matrizes podem ser extraídas de grandes matrizes usando ":". Por exemplo, >> A = A(1:3,:); seleciona as três primeiras linhas e todas as colunas da matriz A atual, modificando-a para sua forma original. 1.10. INDEXAÇÃO DE ELEMENTOS DE MATRIZES O MATLAB utiliza a forma tradicional para indexar matrizes: a i , j = a (i, j) onde i representa número de linhas e j número de colunas Exemplo: >>A=[1 2 3 4 5; 6 7 8 9 10; 11 12 13 14 15] 1 2 3 4 5 A = 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >>A(2,4) ans= % o elemento da segunda linha e quarta coluna 9 >>A(11) % o décimo primeiro elemento ans= 9 (1)1 (4)2 (7)3 (10)4 (13)5 A = (2)6 (5)7 (8)8 (11)9 (14)10 (3)11 (6)12 (9)13 (12)14 (15)15 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 17 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >>b=A(2,2:4) % cria uma matriz utilizando a segunda linha de A e as colunas 2, 3 e 4 de A b= 7 8 9 >>c=A(:,3) c= 3 8 13 % gera uma matriz c utilizando todas as linhas de A e somente a terceira coluna >>d=A(1, :) %gera uma matriz d utilizando a primeira linha de A e todas as colunas d= 1 2 3 4 5 >>e=A(3,3:end) última coluna de A e= 13 14 15 %gera uma matriz e utilizando a terceira linha de A e da terceira até a 1.11. DIMENSÃO DE VETORES E MATRIZES As funções mais utilizadas para fornecer informações de uma matriz são: Size que mostra a ordem da matriz, número de linhas e número de colunas; Length mostra o número de linhas ou número de colunas, mostra somente o maior valor. Por exemplo: >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]' A= 1 4 7 2 5 8 3 6 9 >> B=[ -1 2 -5 -3 6 B= -1 2 -3 4 -7 8 -9] 4 -7 -5 8 6 -9] >> C=1:9 C= 1 2 3 4 5 6 7 8 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 9 18 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> B=[B; 1 1 1] B= -1 4 2 -5 3 6 1 1 1 1 -7 8 9 1 1 >> size(B) ans = 5 3 >> length(B) ans = 5 1.12. MATRIZES ESPECIAIS O MATLAB dispõe de algumas matrizes especiais, onde algumas delas são de uso geral, enquanto outras são matrizes voltadas para aplicações especializadas. As matrizes de uso geral incluem: Find => retorna os índices de uma matriz, por exemplo, dos elementos não nulos. >> B=[B; 1 1 1; 1 2 3] B= -1 4 2 -5 3 6 1 1 1 2 -7 8 9 1 3 >> c=find(B<0) c= 1 7 11 zeros => retorna uma matriz nula na ordem que o usuário especificar: >> zeros(2,3) ans = Curso Introdutório de MATLAB 6.5 19 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 0 0 0 0 0 0 >> zeros (3) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ones => retorna uma matriz de elementos iguais a 1: >> ones(3,1) ans = 1 1 1 >> ones(4) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 rand => retorna uma matriz de números aleatórios uniformemente distribuídos entre 0 e 1. >> rand(3) ans = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.7621 0.4565 0.0185 0.8214 >> rand(2,3) ans = 0.4447 0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 randn => retorna uma matriz de números aleatórios que seguem a distribuição normal, com média zero e variância igual a 1. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 20 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> randn(3,4) ans = -0.4326 0.2877 1.1892 0.1746 -1.6656 -1.1465 -0.0376 -0.1867 0.1253 1.1909 0.3273 0.7258 eye => retorna uma matriz identidade da ordem desejada: >> eye(5) ans = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 >> eye(3,4) ans = 1 0 0 0 1 0 Funções Sintaxe Det – determinante de uma matriz Diag – diagonal de uma matriz ou matriz diagonal a partir de um vetor Inv – retorna a inversa da matriz Reshape – reformata as dimensões de uma matriz, mantendo o número original de elementos Numel – Retorna o número de elementos de uma matriz Ndims – retorna o número de dimensões da matriz Tril – retorna a matriz triangular inferior da matriz dada Triu – retorna a matriz triangular superior da matriz dada det(A) diag(A) inv(A) reshape(A, m,n) numel(A) ndims(A) tril(A) triu(A) 1.13. NÚMEROS E MATRIZES COMPLEXAS Números complexos são permitidos em todas operações e funções no MATLAB. Os números complexos são introduzidos usando-se as funções especiais i e j. Por exemplo >> z= 3 + 4*i ou >> z= 3 +4*j As seguintes declarações mostram dois caminhos convenientes para se introduzir matrizes complexas no MATLAB: Curso Introdutório de MATLAB 6.5 21 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> A= [1 2; 3 4]+i*[5 6;7 8] e >> A= [1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i] que produzem o mesmo resultado. 1.14. FUNÇÕES MATEMÁTICAS ELEMENTARES A "força" do MATLAB vem de um conjunto extenso de funções. O MATLAB possui um grande número de funções intrínsecas que não podem ser alteradas pelo usuário. Outras funções estão disponíveis em uma biblioteca externa distribuída com o programa original (MATLAB TOOLBOX), que são na realidade arquivos com a extensão ".m" criados a partir das funções intrínsecas. A biblioteca externa (MATLAB TOOLBOX) pode ser constantemente atualizada à medida que novas aplicações são desenvolvidas. As funções do MATLAB, intrínsecas ou arquivos ".m", podem ser utilizadas apenas no ambiente MATLAB. As categorias gerais de funções matemáticas disponíveis no MATLAB incluem: · · · · · · · · · Matemática elementar; Funções especiais; Matrizes elementares; Matrizes especiais; Decomposição de matrizes; Polinômios; Solução de equações diferenciais; Equações não-lineares e otimização; Integração numérica; Alguns exemplos: >>x=0.5 >>sin(x) >>cos(x) >>sqrt(x) >>exp(x) 1.15. AS FACILIDADES DO HELP (AJUDA) O MATLAB possui um comando de ajuda (help) que fornece informações sobre a maior parte dos tópicos. Digitando: Curso Introdutório de MATLAB 6.5 22 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> help Obtém-se uma lista desses tópicos disponíveis: matlab\general - General purpose commands. matlab\ops - Operators and special characters. matlab\lang - Programming language constructs. matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation. matlab\elfun - Elementary math functions. matlab\specfun - Specialized math functions. matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra. matlab\datafun - Data analysis and Fourier transforms. matlab\audio - Audio support. matlab\polyfun - Interpolation and polynomials. matlab\funfun - Function functions and ODE solvers. matlab\sparfun - Sparse matrices. matlab\graph2d - Two dimensional graphs. matlab\graph3d - Three dimensional graphs. matlab\specgraph - Specialized graphs. matlab\graphics - Handle Graphics. matlab\uitools - Graphical user interface tools. matlab\strfun - Character strings. matlab\iofun - File input/output. matlab\timefun - Time and dates. matlab\datatypes - Data types and structures. matlab\verctrl - Version control. matlab\winfun - Windows Operating System Interface Files (DDE/ActiveX) matlab\demos - Examples and demonstrations. toolbox\local - Preferences. simulink\simulink - Simulink simulink\blocks - Simulink block library. . . . MATLABR12\work - (No table of contents file) For more help on directory/topic, type "help topic". Para obter informações sobre um tópico específico, digite help tópico. Por exemplo: >> help plot que fornece uma lista de todos os comandos relacionados com gráficos bidimensionais: PLOT Linear plot. PLOT(X,Y) plots vector Y versus vector X. If X or Y is a matrix, then the vector is plotted versus the rows or columns of the matrix, Curso Introdutório de MATLAB 6.5 23 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia whichever line up. If X is a scalar and Y is a vector, length(Y) disconnected points are plotted. PLOT(Y) plots the columns of Y versus their index. If Y is complex, PLOT(Y) is equivalent to PLOT(real(Y),imag(Y)). In all other uses of PLOT, the imaginary part is ignored. Various line types, plot symbols and colors may be obtained with PLOT(X,Y,S) where S is a character string made from one element from any or all the following 3 columns: b blue . point - solid g green o circle : dotted r red x x-mark -. dashdot c cyan + plus -- dashed m magenta * star y yellow s square k black d diamond v triangle (down) ^ triangle (up) < triangle (left) > triangle (right) p pentagram h hexagram For example, PLOT(X,Y,'c+:') plots a cyan dotted line with a plus at each data point; PLOT(X,Y,'bd') plots blue diamond at each data point but does not draw any line. PLOT(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,X3,Y3,S3,...) combines the plots defined by the (X,Y,S) triples, where the X's and Y's are vectors or matrices and the S's are strings. For example, PLOT(X,Y,'y-',X,Y,'go') plots the data twice, with a solid yellow line interpolating green circles at the data points. The PLOT command, if no color is specified, makes automatic use of the colors specified by the axes ColorOrder property. The default ColorOrder is listed in the table above for color systems where the default is blue for one line, and for multiple lines, to cycle through the first six colors in the table. For monochrome systems, PLOT cycles over the axes LineStyleOrder property. PLOT returns a column vector of handles to LINE objects, one handle per line. The X,Y pairs, or X,Y,S triples, can be followed by parameter/value pairs to specify additional properties of the lines. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 24 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia See also SEMILOGX, SEMILOGY, LOGLOG, PLOTYY, GRID, CLF, CLC, TITLE, XLABEL, YLABEL, AXIS, AXES, HOLD, COLORDEF, LEGEND, SUBPLOT, STEM. Overloaded methods help cfit/plot.m help cgrules/Plot.m help xregtwostage/plot.m help xregtransient/plot.m help xregmodel/plot.m help localmod/plot.m help sweepset/plot.m help mdevtestplan/plot.m help cgdatasetnode/plot.m help cgdatadisplay/plot.m help idmodel/plot.m help iddata/plot.m help ntree/plot.m help dtree/plot.m help wvtree/plot.m help rwvtree/plot.m help edwttree/plot.m Finalmente, para obter informações sobre um comando específico, por exemplo title, digite: >> help title e informações mais detalhadas sobre este comando serão exibidas: >> help title TITLE Graph title. TITLE('text') adds text at the top of the current axis. TITLE('text','Property1',PropertyValue1,'Property2',PropertyValue2,...) sets the values of the specified properties of the title. H = TITLE(...) returns the handle to the text object used as the title. See also XLABEL, YLABEL, ZLABEL, TEXT. Note que no exemplo mostrado para adicionar o título em um gráfico, TITLE (‘text’) está escrito em letras maiúsculas somente para destacar. Deve-se lembrar que todos os comandos do MATLAB devem ser escritos em letras minúsculas, portanto, para adicionar o texto "Título do Gráfico" em um gráfico, digite: >> title (‘Título do Gráfico’) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 25 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 2. OPERAÇÕES COM MATRIZES As operações com matrizes no MATLAB são as seguintes: · · · · · · · Adição; Subtração; Multiplicação; Divisão à direita; Divisão à esquerda; Potenciação; Transposta; As operações serão mostradas com mais detalhes e um exemplo de cada. 2.1 TRANSPOSTA O caracter apóstrofo, " ' " , indica a transposta de uma matriz. A declaração de: >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] >> B = A' que resulta em: A= B= 1 4 7 1 2 3 2 5 8 4 5 6 3 6 0 7 8 0 e >> x = [-1 O 2]' produz|: x= -1 0 2 Se Z é uma matriz complexa, Z’ será o conjugado complexo composto. Para obter simplesmente a transposta de Z deve-se usar Z.’, como mostra o exemplo: Curso Introdutório de MATLAB 6.5 26 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> Z = [1 2; 3 4] + [5 6; 7 8]*i >> Z1 = Z’ >> Z2 = Z.’ que resulta em: Z= 1.0000 + 5.0000i 6.0000 + 7.0000i 2.0000 + 6.0000i 4.0000 + 8.0000i 1.0000 - 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 - 7.0000i 4.0000 - 8.0000i 1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i Z1 = Z2 = 2.2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO A adição e subtração de matrizes são indicadas, respectivamente, por "+" e "-". As operações são definidas somente se as matrizes têm as mesmas dimensões. Por exemplo, a soma com as matrizes mostradas acima, A + x, não é correta porque A é 3x3 e x é 3x1. Porém, >> C = A + B é aceitável, e o resultado da soma é: C= 2 6 10 6 10 14 10 14 0 A adição e subtração também são definidas se um dos operadores é um escalar, ou seja, uma matriz l x l. Neste caso, o escalar é adicionado ou subtraído de todos os elementos do outro operador. Por exemplo: >> y = x - 1 resulta em: y= -2 -1 1 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 27 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 2.3 MULTIPLICAÇÃO A multiplicação de matrizes é indicada por "*". A multiplicação x*y é definida somente se a segunda dimensão de x for igual à primeira dimensão de y, ou seja, o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Assim a multiplicação pode ser executada como: >> x'* y É aceitável, e resulta em: ans = 4 É evidente que o resultado da multiplicação y'*x será o mesmo. Existem dois outros produtos que são transpostos um do outro. >> x*y’ Ans = 2 0 -4 l 0 -2 -l 0 2 2 1 -1 0 0 0 -4 -2 2 >> y*x’ Ans = O produto de uma matriz por um vetor também pode ser executado, por exemplo, A e x: >> b = A*x que resulta em: b= 5 8 -7 Naturalmente, um escalar pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer matriz. >> pi*x Curso Introdutório de MATLAB 6.5 28 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Ans = -3.1416 0 6.2832 Para realizar a multiplicação de elemento por elemento de duas matrizes é necessário utilizar o símbolo de multiplicação escalar pontuada .*. O ponto precede o asterisco, símbolo padrão da multiplicação, diz ao MATLAB para fazer a multiplicação elemento por elemento. A multiplicação sem o ponto significa multiplicação matricial. >> g=[1 2 3 4 5678 9 10 11 12] g= 1 5 9 2 6 10 3 4 7 8 11 12 >> h=[1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3] h= 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 >> g.*h ans = 1 10 27 2 3 4 12 14 16 30 33 36 2.4 DIVISÃO Existem dois símbolos para divisão de matrizes no MATLAB "\" e "/". Se A é uma matriz quadrada não singular, então A\B e A/B correspondem respectivamente a inv(A)*B e A*inv(B), por exemplo: >>A=[1 2; 3 4] >>B=[5 6; 7 8] Curso Introdutório de MATLAB 6.5 29 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >>A/B ans = 3.0000 -2.0000 2.0000 -1.0000 >>A\B ans = -3.0000 -4.0000 4.0000 5.0000 >> g./h ans = 1.0000 2.5000 3.0000 2.0000 3.0000 3.3333 3.0000 3.5000 3.6667 4.0000 4.0000 4.0000 2.5 POTENCIAÇÃO A expressão A^p eleva A à p-ésima potência e é definida se A é matriz quadrada e p um escalar. Se p é um inteiro maior do que um, a potenciação é computada como múltiplas multiplicações. Por exemplo: >> A^3 ans = 279 684 738 360 873 900 306 684 441 >> g.^2 ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 30 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> 2.^g ans = 2 32 512 4 64 1024 8 16 128 256 2048 4096 2 36 1000 3 4 49 64 1331 1728 >> g.^h ans = 1 25 729 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 31 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 3. OPERAÇÕES RELACIONAIS E LÓGICAS 3.1. OPERADORES RELACIONAIS < <= > >= == ~= Menor que Menor ou igual a Maior que Maior ou igual a Igual a Diferente de Exemplos: >> A=1:9 >> B=9-A A=1 2 3 4 5 6 7 8 9 B=8 7 6 5 4 3 2 1 0 >> vf=A>4 vf = 0 0 0 0 1 >> vf1=(A==B) vf1 = 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A comparação é feita entre os pares de elementos correspondentes e o resultado é uma matriz composta dos números um e zero, com um representando VERDADEIRO e zero, FALSO. Por exemplo, >> 2 + 2 ~= 4 ans = 0 3.2. OPERADORES LÓGICOS & | ~ E Ou Não Pode-se usar, também os operadores lógicos como mostrados a seguir: >> 1= = 1 & 4 = = 3 ans = 0 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 32 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> 1 = = 1 | 4 = = 3 ans = 1 3.3. ARQUIVOS M DE COMANDOS Para problemas simples, é mais rápido introduzir comandos no prompt do MATLAB, ou seja, no próprio Command Window. Entretanto, se o número de comandos é grande e você vai precisar repetir tais cálculos, então é melhor abrir um arquivo de texto simples e depois pedir para o MATLAB executar esse programa. Esses arquivos são chamados de arquivos M ou arquivos de comandos. São salvos com a extensão .m. Para criar um arquivo basta selecionar New do menu File e, então, selecione M-File. Esse procedimento abre uma janela do editor de texto na qual você pode escrever os comandos do MATLAB. Em virtude da grande utilidade dos arquivos de comandos o MATLAB possui várias funções apropriadas para o uso em arquivos M. Essas funções são: Comandos disp(ans) echo input pause pause (n) waitforbuttonpress Descrição Mostra os resultados sem identificar o nome das variáveis Controla a exibição dos comandos dos arquivos M na janela de comandos Solicita ao usuário que forneça um dado de entrada Suspende a execução até que o usuário pressione alguma tecla Suspende a execução por n segundos Suspende a execução até que o usuário pressione uma tecla ou um botão do mouse. Exemplos de arquivos M 1) Calcular a soma de três números: %Exemplo da soma de tres numeros % echo on n1=input('Entre com o primeiro numero: '); n2=input('Entre com o segundo numero: '); n3=input('Entre com o terceiro numero: '); soma=n1+n2+n3; disp(' ' ) disp(' ') disp(['o resultado da soma é: ' num2str(soma)]) 2)Utilizando a função sum, elaborar um programa que calcule: 3 4 5 2 s = x1 − x 2 + x 3 − x 4 − x 5 5 8 2 3 Entrada de dados: x 1 = 1 x2=-3 x3=12 x4=-1/8 x5=20/7 3) Calcular o somatório dos números ímpares de 3 a 65 e o produtório dos números pares de 8 a 64. O aluno deve usar as funções: sum e prod. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 33 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 4. CONTROLE DE FLUXO Os comandos que controlam o fluxo especificam a ordem em que a computação é feita. No MATLAB estes comandos são semelhantes aos usados na linguagem C, mas com uma estrutura diferente (mais simples). 4.1. LAÇO FOR O laço for é o controlador de fluxo mais simples e usado na programação MATLAB. Estrutura Geral for x = :: comandos end Os comandos entre as instruções “for” e “end” são executados uma vez para cada coluna do vetor. Por exemplo: >> for i=1:5, X(i)=i^2; end O laço for possibilita que uma série de comandos seja repetida por um número de vezes fixo e pré-definido. O comando end é usado como limite inferior do corpo do laço. É comum construções com conjuntos de laços for aplicados a implementações de matrizes: for i= 1:8 for j= 1:8, A(i,j)= i+j; B(i,j)= i-j; end end C=A +B; Exemplos: 1) Calcular a tabuada do número 17. for n=0:10 tab(n+1)=17*n; end Curso Introdutório de MATLAB 6.5 34 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia disp(tab) 2) Mostrar todos os números pares de 0 a 100. soma=0; for n=0:2:100 soma=soma+n; end disp(soma) 3) Calcular o fatorial de um número n. n=input(‘Digite um valor para calcular o fatorial: ‘) ; fatorial=1; for a=1:n fatorial=fatorial*a; end disp(fatorial) 4.2. LAÇO WHILE Ao contrário do Laço For, que executa um grupo de comandos um número fixo de vezes, o laço while executa um grupo de comandos um número indefinido de vezes. A estrutura geral é: while expressão comandos end Os comandos entre as instruções while e end são executados enquanto todos os elementos de expressão forem verdadeiros. Exemplos: 1) Calcular o fatorial de um número qualquer. %Fatorial com While x=input('Digite um valor: '); fat=1; while x>0 fat=fat*x; x=x-1; end disp(fat) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 35 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 2) Calcule a seguinte série com 50 termos: x= 1 3 5 7 + + + + .... 2 2 2 2 %Cálculo da Série n=0; x=1; serie=0; while n<50 serie=serie+x/2; x=x+2; n=n+1; end disp(serie) 1250 No laço while apenas a condição é testada. Por exemplo, na expressão: a = l; b = 15; while a5 custo=(1-20/100)*custo; end disp(custo) Outra forma de usar a estrutura é: if expressão comandos executados se Verdadeiro else comandos executados se Falso end Exemplos: 1) Dado qualquer distância que um veículo deve percorrer (valor real em km), a capacidade do tanque de combustível (valor real em l) e a média de consumo de combustível do veículo (valor real em km/l). Supondo que o tanque estará cheio na partida, mostrar umas das mensagens: DEVE HAVER REABASTECIMENTO OU NÃO DEVE HAVER REABASTECIMENTO % DISTÂNCIA % d=input('Digite a distância a ser percorrida: '); mc=15; %media de consumo ct=45; %capacidade do tanque if mc*ct>=d Curso Introdutório de MATLAB 6.5 37 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia disp('Não deve haver reabastecimento') else disp('Deve haver reabastecimento') end testar para 780km e 600km 15*45=675km 2) Os funcionários contratados pela prefeitura de uma cidade são classificados em 3 (três) níveis conforme a pontuação obtida em 2 (duas) provas aplicadas de acordo com o seguinte critério: Nível A B C Pontuação Superior a 8 em pelo menos uma das provas ou soma dos pontos superior a 14. Superior a 6 em pelo menos uma das provas ou soma dos pontos superior a 9. Nenhum dos casos acima. Em cada prova a pontuação é um valor real de 0 a 10. Desenvolva um programa que receba 2 (duas) notas de um funcionário e mostre como resposta o nível em que está classificado. %Classificação de Funcionários nota1=input('Digite a primeira nota: '); nota2=input('Digite a segunda nota: '); if nota1>=8 | nota2>=8 | (nota1+nota2)>=14 disp('aluno nível A') elseif nota1>=6 | nota2>=6 | (nota1+nota2)>=9 disp('aluno nível B') else disp('aluno nivel C') end 4.4. ESTRUTURA SWITCH-CASE Essa estrutura funciona como uma chave seletora, escolhendo a expressão correta para executar os comandos. Estrutura geral switch expressão case teste_expressão1 comandos 1 case {teste_expressão2, teste_expressão3, teste_expressão4} comandos 2 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 38 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia otherwise comandos 3 end A expressão pode ser um escalar ou string de caracteres. Quando expressão é um escalar o comando case testa se expressão == teste_expressão e quando é um string o teste é efetuado pelo comando strcmp que compara duas strings e retorna 1 se são iguais e o caso contrário. Exemplos: 1) Conversão de unidades: %Conversão de unidades % x=input('Entre com o valor numérico: '); unidades=input('Digite a unidade desejada: '); switch unidades case{'polegadas','pol'} y=x/2.54; disp([num2str(y) 'pol']) case{'pes', 'p'} y=x/(2.54*12); disp([num2str(y) 'pes']) case{'metros','m'} y=x/100; disp([num2str(y) 'm']) case{'centimetros','cm'} y=x; disp([num2str(y) 'cm']) otherwise disp(['Unidade Desconhecida: ' unidades]) end 2) Faça um programa que o usuário possa digitar qualquer mês do ano e como resultado seja mostrado o número de dias do mês correspondente. %Programa para saber quantos dias tem o mes % mes=input('digite o mes desejado: '); switch mes case {'Janeiro','Marco','Maio','Julho','Agosto','Outubro','Dezembro'} disp('31 dias') case {'Fevereiro'} disp('28 ou 29 dias') case {'Abril','Junho','Setembro','Novembro'} disp('30 dias') Curso Introdutório de MATLAB 6.5 39 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia otherwise disp('Esse mes nao existe') end Nesse caso em especial a variável mês é uma string, portanto a entrada de dados deve ser também uma string para que haja comparação em cada caso. Pode-se usar ao invés de uma string simplesmente um escalar, é só nomear cada variável mês como um escalar. %Programa para saber quantos dias tem o mes % janeiro='Janeiro'; marco='Marco'; fevereiro='Fevereiro'; abril='Abril'; maio='Maio'; junho='Junho'; julho='Julho'; agosto='Agosto'; setembro='Setembro'; novembro='Novembro'; dezembro='Dezembro'; mes=input('digite o mes desejado: '); switch mes case {'Janeiro','Marco','Maio','Julho','Agosto','Outubro','Dezembro'} disp('31 dias') case {'Fevereiro'} disp('28 ou 29 dias') case {'Abril','Junho','Setembro','Novembro'} disp('30 dias') otherwise disp('Esse mes nao existe') end 3) Outro exemplo seria entrar com um número de 1 a 12 e o programa lhe fornecer o mês correspondente. %Programa para saber quantos dias tem o mes mes=input('digite o mes desejado em numero: '); switch mes case 1 disp('Janeiro') case 2 disp('Fevereiro') case 3 disp('Marco') case 4 disp('Abril') case 5 disp('Maio') Curso Introdutório de MATLAB 6.5 40 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia case 6 disp('Junho') case 7 disp('Julho') case 8 disp('Agosto') case 9 disp('Setembro') case 10 disp('Outubro') case 11 disp('Novembro') case 12 disp('Dezembro') otherwise disp('Esse mes nao existe') end Curso Introdutório de MATLAB 6.5 41 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 5. ARQUIVOS M DE FUNÇÕES É um programa elaborado como arquivo.m e que calcula algo desejado pelo programador, devolvendo somente o valor da resposta. Os comandos executados por esse programa ficam ocultos. Você só visualiza o que entra e o que sai, ou seja, uma função é uma caixa preta. Saída Entrada Cálculo 5.1. PORQUE USAR FUNÇÕES? São necessárias quando existe uma seqüência de comandos que são sempre úteis para serem calculados ou mesmo funções matemáticas. Exemplo de uma função do próprio Matlab: flipud => inverte as linhas de uma matriz 1 2 0 X = − 1 2 1   3 0 − 1  3 0 − 1 flipud(X)=  − 1 2 1   1 2 0  5.2. PRINCIPAL DIFERENÇA ENTRE ARQUIVO.M DE FUNÇÕES E ARQUIVO.M DE COMANDOS: A principal diferença é que o arquivo.m de função se comunica com o Matlab apenas por meio das variáveis de entrada e saída que ela cria. As variáveis intermediárias definidas internamente pela função não aparecem nem interage com o espaço de trabalho do Matlab. 5.3. COMO ESCREVER UMA FUNÇÃO Linha 1 → indica que o arquivo M contém uma função e especifica seu nome (que vem a ser o nome do arquivo sem a extensão .m) . Essa linha também define as variáveis de entrada e saída. Próximas Linhas → São comentários (texto) explicando o que essa função calcula. 5.4. REGRAS E PROPRIEDADES 1) O nome da função tem que ser idêntico ao nome do arquivo. Por exemplo, a função flipud é armazena em um arquivo denominado flipud.m. 2) Cada função possui seu próprio espaço de trabalho, separada do espaço de trabalho do Matlab. A única ligação é em relação as variáveis de entrada e saída da função. 3) Pode-se verificar se a quantidade de argumentos de entrada e saída de uma função está correta através da variável nargin e nargout, são variáveis dentro do espaço de trabalho das funções. São usadas para atribuir valores pré-definidos à variáveis de entrada e determinar que variáveis de saída o usuário deseja. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 42 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Por exemplo, a função linspace. Se os argumentos de entrada for igual a 2 ele usa números de pontos igual a 100 como padrão. Os arquivos m de funções podem conter mais funções dentro deles, ou seja, uma função dentro de outra função. Exemplos: 1) Calcular o fatorial de um número usando função: % Calculo do Fatorial de um numero g=input('digite um numero: '); f=fatorial(g); disp(['Este eh o resultado: ' num2str(f)]) function fat=fatorial(x) %Calcula o fatorial fat=1; for n=1:x fat=fat*n; end 2) Calcular as raízes de uma equação de segundo grau: %Calcula as raizes de uma equacao de segundo grau. % g=input('entre com 1 numero: '); h=input('entre com 2 numero: '); i=input('entre com 3 numero: '); [r1,r2,t]=baskara(g,h,i) function [x1,x2,m]=baskara(a,b,c) delta=b^2-4*a*c; x1=(-b+sqrt(delta))/2*a; x2=(-b-sqrt(delta))/2*a; if delta>0 m='raizes distintas e reais'; elseif delta==0 m='raizes reais e iguais'; else m='raizes complexas'; end Curso Introdutório de MATLAB 6.5 43 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 3) Colocar três números quaisquer em ordem crescente: %Coloca em ordem crescente tres numeros quaisquer % x=input('numero 1: '); y=input('numero 2: '); w=input('numero 3: '); [a1,a2,a3]=ordem(x,y,w) function [a,b,c]=ordem(a,b,c) if a>b temp=a; a=b; b=temp; end if b>c temp=b; b=c; c=temp; end if a>b temp=a; a=b; b=temp; end 4) Colocar três números quaisquer em ordem crescente, mas usando duas funções (função de função): %Programa principal %Ler três números e colocá-los em ordem crescente usando função de função: % g=input(‘entre com o primeiro numero: ‘); h= input(‘entre com o segundo numero: ‘); i= input(‘entre com o terceiro numero: ‘); [a1,a2,a3]=ordem2(g,h,i); a1 a2 a3 %Função 1 %inverte os valores colocando em ordem crescente [a,b]=troca(a,b); [b,c]=troca(b,c); [a,b]=troca(a,b); Curso Introdutório de MATLAB 6.5 44 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia %Função 2 %realiza a troca dos valores if x>y temp=x; x=y; y=temp; end Curso Introdutório de MATLAB 6.5 45 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 6. ANÁLISE NUMÉRICA Nos casos em que é dificil integrar, derivar ou determinar analíticamente algum valor específico de uma função, o computador pode ser utilizado para aproximar de uma forma numérica a solução desejada. Essa área da ciência da computação e da matemática é conhecida como análise numérica e é claro que o MATLAB possui ferramentas para resolver esses problemas. 6.1. OTIMIZAÇÃO fminbnd = retorna a coordenada X do valor mínimo de uma função de uma variável F(X) em um intervalo fixo. Exemplo: Achar o valor mínimo da função f(x)=x2-x+cos(x) implementada em ‘func01.m’: No intervalo [0:pi] No intervalo [2:3] func01.m: y=func01(x)= x2-x+cos(x) function y=func01(x) %funcao para integrar y=x.^2-x+cos(x); >> xm1=fminbnd('func01',0,pi) xm1 = 0.8879 >> xm2=fminbnd('func01',2,3) xm2 = 2.0001 >> x=0:0.1:pi; >> plot(x,func01(x),xm1,func01(xm1),'r*',xm2,func01(xm2),'go') Curso Introdutório de MATLAB 6.5 46 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia fzero = retorna coordenada X, tal que F(X)=0. Inicia busca a partir de um valor inicial, X0, fornecido. Exemplo: Achar o f(x)=0 da função f(x)=x3-2x+1 implementada em ‘func02.m’: Começando a busca com –1.5 Começando a busca com 0. >> xz1=fzero('func02',-1.5) % f(xz1)=0 , a partir de -1.5 xz1 = -1.6180 >> xz2=fzero('func02',0) %f(xz2)=0, a partir de 0 xz2 = 0.6180 >> x=-2:0.1:2; >> plot(x,func02(x),xz1,func02(xz1),'r*',xz2,func02(xz2),'go') Curso Introdutório de MATLAB 6.5 47 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 6.2. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Os dois comandos do MATLAB para integração usando quadratura são: quad Calcular integral numérica, método de ordem baixa. quadl Calcular integral numérica, método de ordem alta. Exemplo: integral de ‘func01.m’entre –2 e 1 (área abaixo da curva). >> q=quad('func01',-2,1) q= 6.2508 >> q1=quadl('func01',-2,1) q1 = 6.2508 >> x=-3:0.1:3; >> xt=-2:0.2:1; >> yt=func01(xt); >> plot(x,func01(x)) >> hold on >> area(xt,yt) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 48 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 6.3. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS As funções do Matlab usadas para resolver equações diferenciais são: ode45: solver de equações diferenciais non-stiff de ordem média ode23: solver de equações diferenciais non-stiff de ordem baixa ode113: solver de equações diferenciais non-stiff de ordem variável ode23t: solver de equações diferenciais de ordem baixa (regra trapezoidal) ode15s: solver de equações diferenciais stiff de ordem variável ode23s: solver de equações diferenciais stiff de ordem baixa ode23tb: solver de equações diferenciais stiff de ordem baixa sintaxe: [t,y]=ode45(‘funcao’,[Tinicial Tfinal], CondIniciais); Exemplo: function yt=func04 (t,y) %func04 (t,y) retorna as derivadas de estado da equaç~ao % x''-log(x)*x'+sin(x)=0 %considere: %y(1)=x %y(2)=x' %desta forma, teremos: %y(1)'=y(2) %y(2)'=log(y(1))*y(2)-sin(y(1)) yt=[y(2) log(y(1))*y(2)-sin(y(1))]'; %vetor coluna >> Tinicial=0; >> Tfinal=5; >> Yinicial=[1,0]; >> [t,y]=ode45('func04',[Tinicial Tfinal],Yinicial); >> plot(t,y(:,1),'r',t,y(:,2)) Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 49 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0 0.5 1 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 50 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 7. POLINÔMIOS 7.1 RAÍZES Encontrar raízes de um polinômio, isto é, os valores para os quais o polinômio é igual a zero. No MATLAB, um polinômio é representado por um vetor linha contendo seus coeficientes em ordem decrescente. Por exemplo: x 4 − 12 x 3 + 0 x 2 + 25 x + 116 é introduzido como: >> p=[1 –12 0 25 116] p= 1 –12 0 25 116 Dada essa forma, as raízes do polinômio são encontradas usando-se a função roots: >>r= roots(p) r= 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i O MATLAB adota como convenção de colocar os polinômios como vetores linha e as raízes como vetores coluna. Dadas as raízes também é possível construir o polinômio associado, a função que executa isso é a poly como exemplo: » pp=poly(r) pp = 1.0000 -12.0000 -0.0000 25.0000 116.0000 7.2. MULTIPLICAÇÃO A multiplicação polinomial é efetuada por meio da função conv(que faz a convolução entre dois vetores). Consideremos o produto de dois polinômios a( x ) = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 4 e b( x ) = x 3 + 4 x 2 + 9 x + 16 : >> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16]; >>c=conv(a,b) c= 1 6 20 50 75 84 64 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 51 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 7.3.ADIÇÃO O MATLAB possui uma função direta para somar polinômios: >>d=a+b Quando dois polinômios forem de ordens diferentes, aquele que tiver menor ordem terá de ser preenchido com coeficientes iguais a zero, a fim de torná-lo da mesma ordem do polinômio de ordem mais alta. Exemplo: >> e= c+[0 0 0 d] e= 1 6 20 52 81 96 84 7.4. DIVISÃO A função usada no MATLAB é a deconv: >>[q,r]=deconv(c,b) q= r= 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 7.5 . CÁLCULO DE POLINÔMIOS >>x=linspace(-1,3); escolhe 100 pontos entre –1 e 3. >>p=[1 4 -7 -10]; define o polinômio p(x)=x3+4x2-7x-10 >>v=polyval(p,x) calcula p(x) nos valores armazenados em x e armazena o resultado em v. O resultado pode ser representado graficamente usando-se: >>plot(x,v) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 52 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 7.6 . DERIVADA DE POLINÔMIOS polyder = derivada do polinômio Exemplo: Calcular a derivada de: P5( x ) = 4x 5 + 2x 4 + 2x 3 + x 2 + 3x + 4 >>p5=[4 2 2 1 3 4]; >>p5d=polyder(p5) p5d= 20 8 6 2 3 Curso Introdutório de MATLAB 6.5 53 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 8. GRÁFICOS A construção de gráficos no MATLAB é mais uma das facilidades do sistema. Através de comandos simples pode-se obter gráficos bidimensionais ou tridimensionais com qualquer tipo de escala e coordenada. Existe no MATLAB uma vasta biblioteca de comandos gráficos. 8.1. GRÁFICOS BIDIMENSIONAIS Estes são os comandos para plotar gráficos bidimensionais: Gráficos 2d plot Plotar linear. loglog Plotar em escala loglog. semilogx Plotar em semilog. semilogy Plotar em semilog. polar Plotar em coordenada polar. plotyy Plotar duas curvas no mesmo gráfico com escalas y diferentes Gráficos 2d especiais Área Gráfico de área bar Gráfico de barras. barh Gráfico de barras horizontal pie Gráfico de pizza stairs Gráfico escada scatter Gráfico discreto que indica pontos com marcadores stem Gráfico discreto que indica pontos com hastes comet Gera gráfico com exibição de trajetória animada compass Gráficos de vetores feather Gráficos de vetores Ezplot Gráficos a partir de equações de funções ezpolar Gráficos a partir de equações de funções errorbar Plotar erro hist Plotar histograma. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 54 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia rose Plotar histograma em ângulo. fplot Plotar função. plotmatrix Mapeia o grafico da matriz Se Y é um vetor, plot(Y) produz um gráfico linear dos elementos de Y versos o índice dos elementos de Y. Por exemplo, para plotar os números [0.0 0.48 0.84 1.0 0.91 0.6 0.14], entre com o vetor e execute o comando plot: >> Y = [0 0.48 0.84 1.0 0.91 0.6 0.14]; >> plot(Y) e o resultado é mostrado na Janela Gráfica: Se X e Y são vetores com dimensões iguais, o comando plot(X,Y) produz um gráfico bidimensional dos elementos de X versos os elementos de Y, por exemplo >> t = 0:0.05:4*pi; >> y = sin(t); >> plot(t,y) resulta em: Curso Introdutório de MATLAB 6.5 55 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia No MATLAB também é possível plotar múltiplas linhas em apenas um gráfico. Existem duas maneiras, a primeira é usando apenas dois argumentos, como em plot(X,Y), onde X e/ou Y são matrizes. Assim: • • • • Se Y é uma matriz e X um vetor, plot(X,Y) plota sucessivamente as linhas ou colunas de Y versos o vetor X. Se X é uma matriz e Y é um vetor, plot(X,Y) plota sucessivamente as linhas ou colunas de X versos o vetor Y. Se X e Y são matrizes com mesma dimensão, plot(X,Y) plota sucessivamente as colunas de X versos as colunas de Y. Se Y é uma matriz, plot(Y) plota sucessivamente as colunas de Y versos o índice de cada elemento da linha de Y. A segunda, e mais fácil, maneira de plotar gráficos com múltiplas linhas é usando o comando plot com múltiplos argumentos. Por exemplo: >> plot(t, sin(t), t, cos(t), t, sin(t + pi), t, cos(t + pi)) 8.2. ESTILOS DE LINHA E SÍMBOLO Os tipos de linhas, símbolos e cores usados para plotar gráficos podem ser controlados se os padrões não são satisfatórios. Por exemplo, >> X = 0:0.05:1; >> subplot(l,2,l) >> plot(X,X.^2,’k*’) >> subplot(l,2,2) >> plot(X,X.^2,’k --‘) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 56 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Outros tipos de linhas, pontos e cores também podem ser usados: TIPO DE LINHA Solid _______________ -- -------------------- -. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. : .............................. Marcador . ....................... * ******** ° ° ° °° ° ° ° ° ° ° + ++++++++++ X xx x x x x x x S quadrado D losango V Triângulo para baixo ^ Triângulo para cima < Triângulo para esquerda > Triângulo para direita Curso Introdutório de MATLAB 6.5 57 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia P Pentagrama H hexagrama CORES Y amarelo M lilás C azul claro R vermelho G verde B azul escuro W branco K preto Comando subplot = Gera vários eixos em uma mesma janela. Sintaxe: subplot(m,n,p) Parâmetros de entrada: m= número de eixos na vertical (número de linhas). n=Número de eixos na horizontal (número de colunas). p=Índice do eixo corrente As funções de plotagem são executadas no eixo corrente configurado pelos parâmetros indicados na última chamada subplot. Exemplo: subplot(2,3,1)=duas linhas e três colunas, total de 6 gráficos. >> x=0:0.01:pi; >> subplot(2,3,1) >> plot(x,sin(x)) >> subplot(2,3,2) >> plot(x,cos(x)/10) >> subplot(2,3,3) >> plot(x,2.^x) >> subplot(2,3,4) >> plot(x,sin(2*x).*x) >> subplot(2,3,5) >> plot(x,cos(2*x)) >> subplot(2,3,6) >> plot(x,cos(4*x)) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 58 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 8.3. NÚMEROS COMPLEXOS Quando os argumentos para plotar são complexos, a parte imaginária é ignorada, exceto quando é dado simplesmente um argumento complexo. Para este caso especial é plotada a parte real versos a parte imaginária. Então, plot(Z), quando Z é um vetor complexo, é equivalente a plot(real(Z),imag(Z)). Exemplo: >> c=0:0.1:100; >> A=1-2i; >> D=c*A; >> plot(D) 8.4. ESCALA LOGARÍTMICA, COORDENADA POLAR E GRÁFICO DE BARRAS O uso de loglog, semilogx, semilogy e polar é idêntico ao uso de plot. Estes comandos são usados para plotar gráficos em diferentes coordenadas e escalas: Curso Introdutório de MATLAB 6.5 59 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia • • • • polar(theta,r,fmt) plota em coordenadas polares o ângulo theta, em radianos, r que é a variação radial linear, e fmt é a cadeia de caracteres contendo a descrição do tipo de curva a ser traçado (como o plot); loglog plota x e y com eixos logarítmicos ; semilogx plota o eixo x logarítmico e y linear; semilogy plota o eixo y logarítmico e x linear. Exemplos: >> theta=-2*pi:0.1:2*pi; >> whos Name Size Bytes Class A D Y ans b c t theta x y 1x1 1x1001 1x7 1x2 1x16 1x1001 1x26 1x126 1x315 1x26 16 double array (complex) 16016 double array (complex) 56 double array 16 double array 128 double array 8008 double array 208 double array 1008 double array 2520 double array 208 double array Grand total is 2521 elements using 28184 bytes >> rho=1:126; >> polar(theta,rho,'r*') >> x=-2.9:0.2:2.9; >> y=exp(-x.*x); >> subplot(2,2,1) >> bar(x,y) >> title('Grafico de barras de uma curva em forma de sino'); >> subplot(2,2,2) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 60 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia >> bar3(x,y) >> title('Grafico de barras 3-D de uma curva em forma de sino'); >> subplot(2,2,3) >> stairs(x,y) >> title('Grafico em escada de uma curva em forma de sino'); >> subplot(2,2,4) >> barh(x,y) >> title('Grafico de barras horizontal'); 8.5. PLOTANDO GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS E CONTORNOS O MATLAB possui muitos recursos para visualização de dados em 3D. Este item representa as principais funções relacionadas a este tópico. Estes são alguns comandos para plotar gráficos tridimensionais e contornos. Plot3 Cria uma curva no espaço 3D. meshgrid Gera uma superfície. mesh Gera malha de superfície a partir da coordenadas geradas pela função meshgrid. surf meshc Geram variações de gráficos de malhas e superfícies. meshz waterfall Curso Introdutório de MATLAB 6.5 61 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia surfc cylinder Gera cilindro. sphere Gera esfera. Ellipsoid Cria uma elipsóide. Funções Gráficas 3-d Especiais Bar3 Gráfico de barra 3D vertical Bar3h Gráfico de barra 3D horizontal Pie3 Gráfico de pizza 3D comet3 Gráfico com exibição de trajetória 3D animada Ribbon Gráfico tipo faixa com formato dado por plot(x,y) contour contourf Gráficos de curvas de nível. contour3 Ezplot3 Gera gráfico 3D a partir de equações paramétricas x(t) y(t) e z(t) Ezcontour Ezcontourf Ezmesh Geram gráficos a partir de equações de funções. Ezmeshc Ezplot3 ezsurf Aplicações de alguns comandos: >> x=-4*pi:0.1:4*pi; >> y=-4*pi:0.1:4*pi; >> plot3(cos(x),sin(y),(x+y)) Curso Introdutório de MATLAB 6.5 62 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia > >x=-pi:0.5:pi; >> y=-pi:0.5:pi; >> [Mx,My]=meshgrid(x,y); >> Mz=cos(Mx).*sin(My); >> mesh(Mx,My,Mz) >> surf(Mx,My,Mz) 8.6. ANOTAÇÕES NO GRÁFICO O MATLAB possui comandos de fácil utilização para adicionar informações em um gráfico: title Título do gráfico. xlabel Título do eixo-X. ylabel Título do eixo-Y. zlabel Título do eixo-Z. text Inserir anotação no gráfico. Grid Linhas de grade. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 63 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Por exemplo: >> fplot(‘sin’, [-pi pi]) >> title(‘Gráfico da função f(x)=seno(x), -pi> xlabel(‘x’) >> ylabel(‘f(x)’) >> grid Curso Introdutório de MATLAB 6.5 64 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 9. SIMULINK 9.1.Apresentação SIMULINK é um programa utilizado para modelagem, simulação e análise de sistemas dinâmicos. O programa se aplica a sistemas lineares e não lineares, contínuos e/ou discretos no tempo. Utiliza uma interface gráfica com o usuário para construção dos modelos a partir de diagramas em blocos, através de operações de clique-e-arraste do mouse. Com esta interface podem-se criar modelos da mesma forma que se faz com papel e caneta. SIMULINK é o resultado de uma longa evolução de pacotes de simulação anteriores que necessitavam a formulação de equações diferenciais ou de equações de diferenças em linguagens de programação. Inclui bibliotecas de blocos contendo fontes, visualizadores, componentes lineares, não lineares e conectores, com a opção de criação ou personalização de blocos. Após a definição do modelo, a simulação pode ser feita com diferentes algoritmos de resolução, escolhidos a partir dos menus do SIMULINK ou da linha de comando do MATLAB. Os menus são particularmente convenientes para o trabalho interativo, enquanto a linha de comando tem sua utilidade na simulação repetitiva a qual se deseja somente mudar parâmetros. Usando osciloscópios (Scopes) ou outros visualizadores, têm-se o resultado gráfico da simulação enquanto esta está sendo executada. Os resultados da simulação podem ser exportados para o MATLAB para futuro processamento ou visualização. As ferramentas de análise de modelos incluem ferramentas de linearização e ajuste (Trimming) que podem ser acessadas a partir da linha de comando do MATLAB, assim como várias ferramentas do MATLAB e suas TOOLBOXES específicas. Sendo o MATLAB e o SIMULINK integrados, pode-se simular, analisar e revisar os modelos em qualquer dos dois ambientes. 9.2. CONHECENDO E ACESSANDO O SIMULINK Para acessar o SIMULINK deve-se primeiro abrir o MATLAB, pois apesar de ser uma aplicação específica, este não trabalha independente e utiliza suas ferramentas de cálculo. Deve-se clicar duas vezes no ícone do MATLAB. Aberto o programa deve-se então clicar no ícone “Simulink” na barra de ferramentas do MATLAB ou digitar “simulink” na linha de comando e pressionar enter logo em seguida, como mostrado a seguir: >> simulink ou clique no ícone na barra de ferramentas. 9.3.CONSTRUINDO UM MODELO SIMPLES Exemplificando a utilização do SIMULINK, temos um modelo a criar. Este deve resolver a equação diferencial: x& = sen( t ) onde x(0)=0 Sendo o SIMULINK uma extensão do MATLAB, este deve então ser carregado a partir do MATLAB. Inicie o SIMULINK clicando no seu ícone na barra de ferramentas do MATLAB, como mostrado na figura: Curso Introdutório de MATLAB 6.5 65 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Uma janela se abrirá na tela. Essa janela é a biblioteca de blocos do SIMULINK mostrado na figura. Para criar um modelo novo, clique no ícone documento em branco. Dê um click no ícone Sources na janela de bibliotecas do SIMULINK. Arraste o bloco de onda senoidal (Sine Wave) para a janela do modelo. Uma cópia deste bloco deve ser criada nesta janela. Abra a biblioteca de blocos lineares (contínuo) e arraste um bloco integrador (Integrator) para a janela do modelo. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 66 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Abra a biblioteca de dispositivos de saída (Sinks) e arraste um SCOPE para a janela do modelo em construção. A seguir, conecte os blocos para completar o modelo como na figura a seguir: Dê um duplo click no bloco SCOPE e na barra de menu do SIMULINK clique SIMULATION:START. A simulação será executada, resultando no gráfico gerado no bloco SCOPE, mostrado a seguir: Obs.: A integral é definida entre to e tF. Para to = 0, cos(t)=1. Para verificar se o gráfico gerado representa a solução da equação diferencial desejada, deve-se resolver a mesma analiticamente, cujo resultado é: x (t ) = 1 − cos(t ) que corresponde ao gráfico apresentado. 9.4.OUTRO MODELO O modelo anterior serviu como exemplo de implementação no SIMULINK, mas está longe de representar um caso usual de utilização do software devido à pequena quantidade de blocos e ligações. Agora será usado um modelo de um processo biológico para ilustrar vários níveis adicionais de dificuldade na implementação. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 67 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Scheinerman descreveu um modelo simples do crescimento de bactérias isoladas do ambiente externo num pote. Admite-se que as bactérias nascem numa taxa proporcional ao número de bactérias presentes e que elas morrem a uma taxa proporcional ao quadrado do número de bactérias presentes. Se x representa o número de bactérias presentes, a taxa em que as bactérias nascem é definida por: Taxa de Natalidade = bx E a taxa em que elas morrem Taxa de Mortalidade = px 2 A taxa total de mudança na população de bactérias é a diferença entre a natalidade e a mortalidade de bactérias. O sistema pode ser então descrito pela equação diferencial a seguir: x& = bx − px 2 Partindo disto será então construído o modelo do sistema dinâmico supondo que b=1 bactéria/hora e p=0,5 bactéria/hora. Será determinado o número de bactérias contidas no pote após 1 hora, admitindo que inicialmente existiam 100 bactérias presentes. Crie uma nova janela de modelo na barra de menu clicando novamente no ícone documento em branco. Este é um sistema de 1a ordem, o que quer dizer que requer somente um integrador para resolver a equação diferencial. A entrada do integrador é x& e a saída é x. Abra o biblioteca linear (contínuo) e arraste o integrador para a janela do modelo. Ainda na biblioteca Math arraste dois blocos de ganhos (Gain) para a janela do modelo e posicione-os como na figura. O SIMULINK exige que cada bloco tenha seu nome único. Devido a isto, o segundo bloco de ganho será nomeado GAIN1. Arraste ainda um bloco de soma (Sum) . Curso Introdutório de MATLAB 6.5 68 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Abra agora a biblioteca de blocos não lineares (Nonlinear) e arraste um bloco de produto (product) para a posição mostrada. Este bloco será utilizado para calcular o valor de x 2 . Abra a seguir a biblioteca dispositivo de saída (Sinks) e arraste um bloco SCOPE para a janela do modelo seguindo a posição mostrada. A orientação padrão do SIMULINK de todos os blocos é posicionar entradas à esquerda e saídas à direita. Porém este modelo será muito mais legível se invertermos os blocos de ganho e produto. Iniciando com o Produto, deve-se primeiro clicar sobre ele de modo a selecioná-lo. Pequenos quadros pretos aparecerão nas quinas do bloco indicando seleção. No menu do SIMULINK, escolha FORMAT:FLIP BLOCK. Agora as entradas estão à direita e as saídas à esquerda. Repita a operação de inversão para cada bloco de Ganho. O modelo agora deve estar semelhante à figura: Trace agora uma linha de sinal da saída do bloco de soma para a entrada do integrador e outra da saída do integrador para a entrada do SCOPE. A seguir é necessário conectar a linha que liga o integrador ao SCOPE ao bloco de ganho situado na parte inferior da janela, pois esta linha contém o valor de x. Para fazê-lo, vá com o mouse na Curso Introdutório de MATLAB 6.5 69 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia saída do bloco desejado e continue segurando o mouse até a entrada do bloco desejado. O cursor do mouse irá mudar para uma cruz. Conserve a tecla do mouse pressionada enquanto faz a ligação. Leve a linha até a entrada do bloco de ganho. O SIMULINK automaticamente ajusta a linha com um ângulo de 90o. Repita a operação ligando a linha de sinal Integrator-SCOPE até a entrada superior do bloco de produto. Da linha de sinal que liga a entrada superior do bloco de produto repita a operação de ligação para a entrada inferior do mesmo bloco, de modo que o bloco execute a operação x.x = x 2 . Conecte agora a saída do bloco de produto à entrada do ganho na parte superior da janela de modelo. Conecte agora a saída do ganho superior à entrada superior do bloco de soma e a saída do ganho inferior à entrada inferior do mesmo bloco de soma. O modelo agora está completo, mas os blocos devem ser configurados (parametrizados) para que este represente o sistema desejado. O SIMULINK tem como default para os blocos de ganho o valor de 1.0, para o bloco de soma duas entradas positivas e para o integrador o valor inicial 0.0. O valor inicial do integrador representa o número inicial de bactérias presentes no pote. Será iniciada agora a parametrização com os blocos de ganho. Dê um duplo clique no ganho da parte superior e mude o valor de 1.0 para 0.5 na caixa de diálogo que irá aparecer, a seguir clique em Close. Note que o valor do ganho do bloco muda para 0.5 no diagrama em blocos. Agora dê um duplo clique no bloco de soma e no campo List of signs mude de ++ para -+ na caixa de diálogo que abrirá. Os sinais representam os próprios sinais de entrada no bloco. A Curso Introdutório de MATLAB 6.5 70 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia seguir clique em Close. Note agora que no bloco de soma o sinal superior é negativo e o inferior é positivo, sendo então a saída a diferença das entradas que representa x& de acordo com a equação diferencial após substituir os valores de p e b. Para finalizar a configuração, deve-se definir o número inicial de bactérias. Para isto, dê um duplo clique no integrador e no campo Initial condition mude para 100, e após clique Close. A duração da simulação é definida no tempo default de 0 a 10. Neste caso, deseja-se saber o resultado após 1 hora. Para mudar este tempo, seleciona-se na barra de menu a opção Simulation:Parameters e no campo Stop Time digita-se 1, fechando em Close logo a seguir. É sempre aconselhável salvar o modelo antes de executar a simulação. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 71 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia O modelo agora está completo e pronto para ser executado. Para salvar na barra de menu clique em File:Save e entre com o nome desejado. O modelo será salvo com o nome digitado e a extensão.mdl, e seu nome aparecerá na barra de título da janela de edição. Abra agora o SCOPE com um duplo clique e a seguir na barra de menu, clique em Simulation:Start para iniciar a execução. O SCOPE nem sempre mostra a figura numa boa escala para visualização. O botão Autoscale na barra de ferramentas do SCOPE redimensiona a escala para acomodar todos os valores. 9.5.USANDO O HELP DO SIMULINK O SIMULINK possui um extensivo sistema de help on-line. Os arquivos de help foram desenvolvidos para serem visualizados por navegadores internet como Netscape ou Internet Explorer. Uma detalhada documentação on-line para todos os blocos do SIMULINK está disponível no Block-Browser. Um detalhado help também está disponível clicando no botão de help na caixa de diálogo que se abre quando se seleciona Simulantion:Parameters na barra de menu. Para se consultar o help sobre um bloco qualquer deve-se inicialmente dar um clique duplo sobre o bloco desejado. A seguir clica-se no botão de help que aparece na caixa de diálogo que se abre. O help do SIMULINK contém informações valiosas. É boa prática utilizá-lo com freqüência. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 72 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 10.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Hanselmam, D. , Littlefield, B. ; “Versão do Estudante MATLAB 5 – Gu ia do Usuário”, Makron Books, 1997. Matsumoto, E. Y. ; “MATLAB 6 – Fundamentos de Programação” , Editora Érica, 2 edição, 2001. “The Student Edition of SIMULINK – Dinamic System Simulation Software for Technical. Matsumoto, E. Y. ; “MATLAB 6.5 – Fundamentos de Programação” , Editora Érica, 1 edição, 2002. Curso Introdutório de MATLAB 6.5 73 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia 11. ANEXOS Curso Introdutório de MATLAB 6.5 74 Universidade Presbiteriana Mackenzie – Escola de Engenharia Curso Introdutório de MATLAB 6.5 76