Apostila Matematica-final-2016

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APOSTILA 2016 CURSO DE INICIAÇÃO À MATEMÁTICA PLANEJAMENTO DE AULAS 04/06: Aula 1 - Números Naturais 11/06: Aula 2 - Números Naturais 18/06: Aula 3 - Números Naturais 25/06: Aula 4 - Números Naturais 02/07: Aula 5 - Propriedades dos Nºs Naturais 16/07: Aula 6 - Propriedades dos Nºs Naturais 23/07: Aula 7 - Números Decimais 30/07: Aula 8 - Números Decimais 06/08: Aula 9 - Números Decimais 13/08: Aula 10 - Frações 20/08: Aula 11 - Frações 27/08: Aula 12 - Frações 03/09: Aula 13 –Porcentagem 10/09: Aula 14 - Porcentagem 17/09: Aula 15 - Números Negativos 24/09: Aula 16 - Números Negativos 01/10: Aula 17 - Números Negativos 08/10: Aula 18 - Números Negativos 15/10: Aula 19 - Potenciação e Radiciação 22/10: Aula 20 – Prova final e confraternização RESSALTAMOS QUE: Este material e este curso estão continuamente em construção. Queremos a sua ajuda neste processo! Depois comente com a gente o que achou. Mande sugestões e críticas para: [email protected] Bons Estudos!! Índice Sobre o Núcleo de Consciência Negra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Capítulo 1: Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Capítulo 2: Propriedades dos Nos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Capítulo 3: Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Capítulo 4: Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 Capítulo 5: Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Capítulo 6: Números Negativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Capítulo 7: Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Capítulo 8: Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Capítulo 9: Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tabuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Este material está licenciado sob os termos da GNU Free Documentation License versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Direitos Autorais Copyright 2014 Aroldo Adler Argolo Alves Copyright 2014 Cássio Santana Kitazato Copyright 2014 Júlio Bonfim Copyright 2014 Leonardo Ramos Pereira Núcleo de Consciência Negra na USP “Ainda sou poeta meu poema levanta os meus irmãos. Minhas amadas se preparam para a luta, os tambores não são mais pacíficos até as palmeiras têm amor à liberdade” Trecho do poema “Canto dos Palmares” de Solano Trindade Breve histórico da entidade O Núcleo de Consciência Negra na USP, o NCN, foi fundado em maio de 1987 por servidores técnico-administrativos, docentes e estudantes de graduação e pós-graduação da USP com o objetivo de construir a discussão étnico-racial na Universidade e na sociedade. O grupo era vinculado às suas respectivas entidades de classe: a Associação dos Funcionários da USP (atual SINTUSP), a Associação dos Docentes da USP (ADUSP), o Diretório Central dos Estudantes (DCE) e a Associação dos Pós-graduandos da USP (APG). Essas entidades foram fundamentais para o desenvolvimento do projeto. Desde a sua fundação o NCN cumpriu um papel agregador entre ativistas que lutam pelos direitos civis da população negra, e se apresentou por diversas vezes como defensor de um projeto de nação que leve em conta a participação da população negra na elaboração e gestão de políticas públicas. Esta atuação tem se traduzido na realização de atividades de combate ao racismo, através da elaboração e desenvolvimento de projetos educacionais voltados ao acesso Isso se traduz pela luta ao ao conhecimento e pela valorização da cultura afro- brasileira. acesso à Universidade Pública de parcela da população historicamente excluída, através de políticas afirmativas. Acumulou-se, então, mais de vinte anos de debate sobre o conflito racial brasileiro no espaço Universitário e em outros setores da sociedade. Cotas Raciais e Reparações Já! Em meados da década de 1980, na Universidade de São Paulo, a situação não era distinta do que ocorria fora de seus muros: a desigualdade vinculada à cor e à etnia, resultado de um racismo velado. Portanto, era necessário não apenas denunciar para a sociedade essa desigualdade racial e social do saber acadêmico em vigor na USP e nas demais instituições públicas de ensino superior, mas também elaborar e propor políticas públicas que pudessem transformar essa realidade. Foi nessa conjuntura que o NCN iniciou suas atividades. No ano seguinte à sua formação, o NCN organizou a “Semana da Abolição Interrogada” com a presença de Henrique Cunha Jr., Milton Santos, Pretonilha Beatriz, Kabengele Munanga, Eunice Prudente e outros intelectuais comprometidos com a discussão racial. Muitos dos membros do NCN já eram estudiosos e ativistas das questões étnico-raciais e iniciamos as discussões sobre a quase que completa ausência da população negra na USP. Sabíamos que o problema ia além da questão racial. O nosso objetivo era buscar mecanismos pelos quais poderíamos, em curto prazo, alterar esse quadro tão negativo. Nesse período promovemos vários seminários e debates com estudiosos de diversas áreas do conhecimento. Uma das conclusões que obtivemos foi que para que houvesse alguma mudança era necessária a implantação de cotas raciais. Assim, iniciamos no início dos anos noventa um movimento em nível nacional por Cotas Raciais nas Universidades Públicas Brasileiras. Esse período foi muito rico para o Núcleo, porém muito difícil também, pois iniciamos uma discussão que nem os setores mais progressistas da sociedade estavam habituados. O “mito da 4 democracia racial”, tão difundido em nossa sociedade, deixava implícito que os negros eram os responsáveis pelo abismo econômico e social que havia em relação os brancos. Mais grave ainda, esse mito tratava de eximir a sociedade e o Estado da responsabilidade com as questões étnicoraciais e, pior, desqualificava qualquer tentativa de um debate mais aprofundado sobre estas questões. Desconstruir esse discurso ainda faz parte da agenda no Núcleo. Porém, os dados de avaliação de cotas raciais nas Universidades Públicas que adotaram essa medida nos dão a certeza de que estávamos corretos em nossas avaliações. “Estratégias e Políticas de Combate à Discriminação Racial” Foi graças à atuação do Núcleo como fomentador da discussão étnico-racial na USP que em 1995 o professor Kabengele Munanga organizou o seminário “Estratégias e Políticas de Combate à Discriminação Racial” em memória aos trezentos anos da morte de Zumbi. Esse seminário, contou com a colaboração de pesquisadores brasileiros e estrangeiros e culminou com a publicação do livro homônimo com as resoluções do encontro. Esse documento, uma importante referência bibliográfica para a elaboração de políticas públicas, foi publicado pelo Jornal da USP e pela EDUSP. O prefácio foi do professor Jacques Marcovitch, que dois anos depois, em 1997, tornou-se reitor da universidade. Naquele período havia a expectativa de que, finalmente, a USP implementasse políticas de inclusão, mas a prática mostrou que a instituição não tinha interesse de contribuir para a justiça social no país. Reparações Já! O legado deixado por mais de três séculos de escravidão e cinco séculos de ausência de políticas públicas para os africanos e seus descendentes teve como consequência um sistema de exclusão e racismo perverso, algo irreparável para o nosso povo. Porém o Estado Brasileiro tem o dever de adotas políticas de reparações por esse motivo iniciamos outro importante movimento em nível nacional: Reparações Já! Onde cobrávamos do Estado reparações para nosso povo. Atividades exercidas pela entidade Curso Pré-vestibular Em março de 1994, o Núcleo de Consciência Negra na USP fundou o primeiro curso pré-vestibular universitário para alunos afrodescentes no estado de São Paulo. Desde sua formação, o curso é 5 oferecido regularmente em formato de longa duração (extensivo); com o objetivo de reduzir os indicadores sociais e ampliar a inclusão dos negros e afro-descendentes no ensino público superior. Desde seu início, o curso Pré-vestibular foi ministrado por alunos da USP e por professores voluntários. o cursinho popular seria uma maneira de, em curto prazo, combater a exclusão dos afrodescendentes do ensino superior. Atualmente, o Cursinho passa por um período de expansão, contendo turmas no período vespertino e noturno. O custo desprendido pelo aluno está relacionando apenas ao pagamento do material. Princípios pedagógicos – Durante o processo de aprendizagem, os alunos são motivados a questionar, esclarecer dúvidas, investigar razões, resolver problemas, assumir responsabilidades, compreender os fatos e não apenas exercer um papel tradicionalmente passivo de “aluno”. Assim, o NCN acaba por desenvolver habilidades de gestão e cidadania ao longo dos cursos. É esta imersão que possibilitará a autenticidade de uma aprendizagem e sua eficiência. Na didática desenvolvida, três fatores são fundamentais: diálogo, convivência e pensamento crítico. Centro de Estudo de Idiomas – CEI O curso, que já existiu em outros momentos do Núcleo de Consciência Negra, foi reinaugurado no 1º Semestre de 2010 e tem disponibilidade para atender aproximadamente 120 alunos por semestre. Ele faz parte de um dos princípios do Núcleo com relação ao serviço social da instituição em um ambiente público que é, no fim das contas, de restrito acesso. O curso de línguas, bem como o cursinho pré-vestibular, reconhece que a formação educacional é um dos principais pontos para possibilitar a ascensão social. O curso também tem a pretensão de disseminar a cultura africana no Brasil e no ambiente universitário em que o NCN está. São oferecidas aulas de inglês e espanhol. Aulas de Suaíli (um dos principais dialetos da África), também já foram desenvolvidas no espaço e pretendem ser retomadas. Biblioteca Carolina Maria de Jesus O acervo documental da entidade (livros e revistas sobre a temática afrobrasileira) está reunido numa biblioteca batizada com o nome de uma das mais brilhantes escritoras negras do Brasil, Carolina Maria de Jesus. A política de aquisição de livros definida contou com a orientação de dezenas de bibliotecas e com o trabalho dos frequentadores do espaço. O NCN também possui publicações de autoria própria. Em 2003, a entidade lançou a publicação “Negras Questões - O negro na sociedade brasileira”. Recentemente, projetos como a criação de um material confeccionado pelo próprio NCN para as aulas do cursinho pré-vestibular estão entre os planos da entidade. Organização do Núcleo O Núcleo de Consciência Negra na USP é uma entidade civil, autônoma, sem fins lucrativos, de caráter sócio-político-cultural, constituída pelo conjunto de seus filiados. O Núcleo tem sede na Avenida Professor Lúcio Martins Rodrigues, travessa 4, bloco 3, cidade Universitária. Desde sua fundação, o Núcleo tem sido coordenado de forma colegiada. Além dos coordenadores, a entidade conta com o trabalho e com a militância de colaboradores que se dedicam ao auxílio na organização e desenvolvimento de áreas específicas de suas atividades. Todos os coordenadores e colaboradores atuam de maneira voluntária. 6 Matemática NÚMEROS NATURAIS Os números naturais constituem o primeiro tipo de número conhecido pelo homem. São utilizados principalmente para: I. Contar e representar quantidades. Na frase abaixo: “Existem 4 quadros na parede” Utilizamos o número 4 para representar a quantidade de quadros. II. Na Ordenação de elementos. Quando lemos a frase: “Esta é a 2ª maior cidade do país.” Estamos utilizando o número 2 para representar o tamanho de uma cidade em relação às outras. Existem algumas quantidades que não podem ser descritas por números naturais. Por exemplo, na frase “Nessa jarra cabem 3 litros e meio de água.” a quantidade “3 litros e meio” não é um número natural. Assim, apenas quantidades inteiras podem ser representadas por números naturais. Exemplos de números naturais são: 1, 26, 31, 325. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1. Assinale quais desses números são naturais: a) 5 b) – 3 c) 7,4 d) 36 e) 3 2 2. Assinale os exemplos a seguir em que foram utilizados números naturais. a) Para chegar aqui, pego 2 ônibus e 1 metrô. b) A distância da minha casa ao curso de matemática é 7,8 quilômetros. c) Para sair de casa hoje, não gastamos menos do que R$ 7,00 só de passagem. d) Em 2014, o Brasil perdeu da Alemanha por 7x1. e) Fazem 25 anos, 10 meses e 15 dias da primeira eleição presidencial com voto universal no Brasil. f) A economia brasileira pode se tornar a quarta maior do mundo. g) O livro que recebo hoje tem umas 100 páginas. 3. Dos números naturais encontrados no último exercício, diga em quais casos: a) Estão sendo utilizados para representar quantidades. b) Estão sendo utilizados para ordenar elementos. Números e algarismos Qualquer número que conhecemos é formado a partir de dez símbolos, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Estes símbolos são conhecidos como algarismos ou também dígitos. Exemplos • 458 é um número natural formado pelos algarismos 4, 5 e 8. • 65 é um número natural formado pelos algarismos 6 e 5. • 56 é um número natural formado pelos algarismos 6 e 5. 65 e 56 são formados pelos mesmos algarismos (5 e 6), porém sabemos que são números diferentes. A diferença está na posição de cada algarismo. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4. Diga se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a) O número 450 tem 2 algarismos. b) Os números 123 e 560 têm, juntos, 6 algarismos. c) Não existem números com 8 algarismos. d) O número 1002 têm 2 algarismos. e) O número de telefone 9456-3278 é formado por nove algarismos. 5. Escreva todos os números que podemos formar com os algarismos 4, 8 e 9, trocando apenas a posição destes algarismos entre si. 6. Escreva todos os números de três algarismos que podemos formar com os dígitos 0 e 1. O Sistema Decimal A Posição das Unidades Dizemos que o algarismo mais à direita de um número natural ocupa a posição das unidades ou casa das unidades. No número 158 por exemplo, o algarismo 8 ocupa a posição das unidades. No número 2045, o algarismo 5 ocupa a posição das unidades. O maior número que pode ocupar a posição das unidades é o número nove. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 7. Nos números a seguir, diga qual algarismo ocupa a posição das unidades: a) 2000 b) 8 c) 957 d) 625 e) 581 f) 0 g) 63 h) 22 8. Escreva os 5 menores números naturais aonde o 7 ocupa a posição das unidades. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 7 Matemática A posição das dezenas O segundo algarismo mais à direita de um número ocupa a posição das dezenas ou casa das dezenas. No número 123, o algarismo 2 ocupa a posição das dezenas, enquanto o algarismo 3 ocupa a posição das unidades. No número 8, nenhum algarismo ocupa a posição das dezenas. No número 65 o algarismo 6 ocupa a posição das dezenas. O maior algarismo que pode ocupar a posição das dezenas é o nove. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 9. Nos números a seguir, informe qual algarismo ocupa a posição das dezenas: a) 53 b) 47 c) 74 d) 26 e) 98 f) 0 g) 7 h) 9 i) 10 j) 104 k) 278 l) 1045 m) 2044 10. Informe os 6 menores números naturais aonde o algarismo 7 ocupa a posição das dezenas. 11. Complete a frase abaixo com as palavras corretas: O número 75 e o número 57 são formados com os mesmos ____________, porém são números diferentes. O algarismo 7 ocupa a casa das _____________ no número 75 e ocupa a casa das______________ no número 57. Já o algarismo __ ocupa a casa das unidades no número 75 e ocupa a casa das _____________ no número 57. A posição das centenas O terceiro algarismo mais à direita de um número ocupa a posição das centenas ou casa das centenas. No número 425, por exemplo, o algarismo 4 ocupa a posição das centenas. No número 245, o algarismo 2 ocupa a posição das centenas. O maior algarismo que pode ocupar essa posição é o nove. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 12. Informe qual algarismo ocupa a posição das centenas nos seguintes números. a) 12 b) 456 c) 895 d) 95 e) 4 f) 65 g) 1065 h) 4856 i) 0 13. Informe os 6 menores números naturais aonde o 7 ocupa a posição das centenas. 14. Informe os 5 menores números naturais aonde o 7 ocupa a posição das centenas e o 2 ocupa a posição das dezenas. 15. Informe os 5 menores números naturais aonde o 7 ocupa a posição das centenas e o 2 ocupa a posição das unidades. 8 Milhar, dezena de milhar e centena de milhar O quarto algarismo contando-se da direita para a esquerda em um número ocupa a posição dos milhares. O quinto algarismo, obedecendo-se essa mesma contagem, ocupa a posição das dezenas de milhar, o sexto algarismo ocupa a posição das centenas de milhar e assim por diante. Como exemplo o número 327159 na tabela abaixo e as posições ocupadas por cada algarismo. 3 2 7 1 5 9 centena dezena de milhar centena dezena unidade de milhar milhar EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 16. Com as dicas abaixo, descubra qual é o número, sabendo que tem 6 algarismos: I. O algarismo 9 está na posição das centenas. II. O algarismo 8 está na posição das centenas de milhar. III. O algarismo 7 está na posição das unidades. IV. O algarismo 4 está na posição dos milhares. V. Os demais algarismos são iguais a zero. 17. Considere o número 745912 a) Troque de posição o algarismo da posição das unidades com o algarismo da posição dos milhares. Qual o número que resultou? b) Partindo do resultado do ítem a, troque de posição o algarismo da posição das centenas com o algarismo da posição das dezenas de milhar. Qual o número que resultou? c) Partindo do resultado do ítem b, troque de posição o algarismo da posição das centenas de milhar com o algarismo da posição das dezenas. Qual o número que resultou? d) Partindo do resultado do ítem c, troque de posição o algarismo da posição das centenas com o algarismo da posição das unidades. Qual o número que resultou? e) Partindo do resultado do ítem d, troque de posição o algarismo da posição das unidades com o algarismo da posição das dezenas de milhar. Qual o número que resultou? 18. Complete as frases abaixo: a) O sistema de numeração que usamos é um sistema decimal, porque escrevemos os números em posições diferentes cada vez que formamos grupos de ____. Dessa maneira, quando contamos ____ unidades formamos uma dezena, quando contamos _____ dezenas formamos uma centena e quando contamos_____ centenas formamos um milhar. Isso significa também que uma centena possui _____ unidades e um milhar possui ______ dezenas ou _____ unidades. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática b) O sistema decimal utiliza 10 algarismos para representar qualquer quantidade, são eles: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___. c) O valor representado por cada algarismo que forma um número depende da posição em que ele se encontra. Por isso, o sistema decimal também é chamado posicional. Por exemplo, o algarismo 5 no número 3625 ocupa a posição das unidades e por isso indica a quantidade de 5 unidades. O algarismo 2 ocupa a posição das __________ e representa a quantidade de _____ dezenas ou ______ unidades. O algarismo 6 está na posição das ___________ e representa ________ centenas ou _________ dezenas ou _________ unidades. Por último, o algarismo 3 ocupa a posição do milhar e representa ________ milhares ou ________ centenas ou _________ dezenas ou _________ unidades. O valor das unidades e dezenas A unidade representa o número 1. Sendo assim, podemos dizer que o número 7 é constituído por 7 unidades, o número 8 é constituído por 8 unidades, o número 4 é constituído por 4 unidades e assim por diante. Assim, se quisermos juntar catorze reais, fazemos: R$ 14 = 1 nota de R$ 10 e 4 moedas de R$ 1, ou seja, 1 dezena e 4 unidades. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 19. Imagine que você trabalha em uma bilheteria e é responsável por fazer o troco dos clientes. Suponha que você disponha apenas de moedas de R$ 1 e notas de R$ 10. Como você poderia formar as quantias abaixo? a) R$ 17 b) R$ 25 c) R$ 15 d) R$ 30 e) R$ 43 f) R$ 7 g) R$ 5 1 = uma unidade 7 = sete unidades 8 = oito unidades 4 = quatro unidades Para escrever os números de 0 a 9 só utilizamos a posição das unidades. Como utilizamos a posição das dezenas do número 10 em diante, dezena é a palavra utilizada para representar 10 unidades. Ou seja, 1 dezena = 10 unidades Assim sendo, formamos o número 14 da seguinte maneira: 14 = 1 dezena e 4 unidades; Podemos pensar nas unidades como se fossem moedas de um real (R$ 1) e nas dezenas como se fossem notas de dez reais (R$ 10). 20. Apenas com as dezenas e unidades, como podemos formar as quantias abaixo? a) 17 b) 25 c) 15 d) 30 e) 43 f) 7 g) 5 h) 47 i) 26 j) 0 k) 7 l) 9 m) 10 21. Informe, segundo a maneira mais utilizada o número de dezenas e o número de unidades que constituem os seguintes números (lembre-se que não podemos ter mais do que 9 unidades): a) 53 b) 47 c) 74 d) 26 e) 98 f) 0 g) 7 h) 9 i) 10 j) 24 k) 78 l) 45 m) 44 Quando resolvemos o exercício acima, vemos uma coincidência entre o número de dezenas e a posição das dezenas. Também vemos uma coincidência entre o número de unidades e a posição das unidades. • 39 = 3 dezenas (por isso o 3 ocupa a posição das dezenas) e 9 unidades (por isso o 9 ocupa a posição das unidades). • 25 = 2 dezenas (por isso o 2 ocupa a posição das dezenas) e 5 unidades (por isso o 5 ocupa a posição das unidades). Essa coincidência vai valer sempre. Ela é uma propriedade do modo como escrevemos os números naturais. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 9 Matemática O valor das centenas EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Com a posição das unidades e das dezenas, podemos escrever até o número 99. Como utilizamos a posição das centenas só do número 100 em diante (todos os maiores ou iguais a 100), uma centena representa 100 unidades, ou seja: 1 centena = 100 unidades Sabemos que 1 dezena são 10 unidades, 2 dezenas são 20 unidades, 3 dezenas são 30 unidades e assim por diante. Então, 9 dezenas são iguais 90 unidades e 10 dezenas são iguais a 100 unidades, ou seja, 10 dezenas são iguais a 1 centena. 10 dezenas = 100 unidades = 1 centena Sabemos que 1 dezena são 10 unidades, 2 dezenas são 20 unidades, 3 dezenas são 30 unidades e assim por diante. Então, 9 dezenas são iguais 90 unidades e 10 dezenas são iguais a 100 unidades, ou seja, 10 dezenas são iguais a 1 centena. 10 dezenas = 100 unidades = 1 centena Preste atenção nas diferentes formas de constituir o número 147: 147 = 14 dezenas e 7 unidades; 147 = 1 centena, 4 dezenas e 3 unidades; A forma mais utilizada é aquela aonde o número de dezenas e unidades é sempre menor que 9. 22. Dispondo apenas de notas de R$ 1, R$ 10 e R$ 100, de quantos modos podemos formar as seguintes quantias? a) R$ 147 b) R$ 425 c) R$ 27 d) R$ 1000 e) R$ 320 f) R$ 689 g) R$ 222 h) R$ 5 i) R$ 9 23. Usando agora centenas, dezenas e unidades, de quantas maneiras podemos formar os números abaixo? a) 147 b) 425 c) 27 d) 1000 e) 320 f) 689 g) 222 h) 5 i) 9 24. Informe, segundo a maneira mais convencional o número de dezenas e o número de unidades que constituem os seguintes números: a) 12 b) 456 c) 895 d) 95 e) 4 f) 65 g) 765 h) 856 i) 0 O valor dos milhares Como utilizamos a posição dos milhares a partir do número 1000, um milhar equivale a 1000 unidades. Dizemos então que o número 2357 é constituído por 2 milhares, enquanto o número 5897 é constituído por 5 milhares. 1 milhar = 1000 unidades 123 = • 1 centena (posição das centenas ocupada pelo algarismo 1) • 2 dezenas (posição das dezenas ocupada pelo algarismo 2) • 3 unidades (posição das ocupada pelo algarismo 3). unidades Repare que o número de dezenas e unidades é sempre menor que 9. Fazendo uma comparação com centena seria a nota de R$ 100. dinheiro, a Na comparação com dinheiro, o milhar seria uma nota de R$ 1000, a dezena de milhar, seria uma nota de R$ 10.000 e assim por diante. Note que o número 54125 pode ser formado com 54 milhares, 12 dezenas e 5 unidades. Da mesma forma ele pode ser formado com 5 dezenas de milhar, 4 milhares, 1 centena, 2 dezenas e 5 unidades, segundo o modo mais utilizado. Nesse modo o número de unidades, dezenas, centenas e assim por diante não pode ser maior que 9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A maneira mais convencional de formar um número é associando cada algarismo à posição ocupada pelo mesmo. Por exemplo: 25. Informe com quantos milhares, dezenas, centenas e unidades podem ser formados os seguintes números, segundo o modo mais utilizado: a) 1234 b) 10456 c) 2 d) 888 26. Nos números do exercício anterior, informe qual algarismo ocupa a posição dos milhares. 10 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Comparação entre números naturais 31. Diga se é verdadeiro ou falso: Dados dois números naturais, podemos ter três tipos de relação entre eles: e) 125<74 Maior Sequências crescentes e decrescentes a) 8 > 6 Por exemplo, sejam os número 8 e 6. Então posso relacionar os números da seguinte forma: 8 > 6 (lê-se oito é maior do que seis). O símbolo matemático para essa relação é uma “ponta de flecha” apontando para a direita. b) 8 < 6 c) 3<10 f) 45>44 d) 3> 1 g) 5=6 Vamos pensar agora em vários números naturais formando uma sequência como por exemplo: 1,5,9,7,12 Lendo essa sequência da esquerda para a direita identificamos dois tipos de sequência importantes. Menor Sejam os números 5 e 3. Posso relacionar esses números da forma: 3 < 5 (lê-se três é menor que 5). O simbolo matemático para essa relação é uma “ponta de flecha” apontando para a esquerda. Igual Sejam os números 5 e 5. Posso relacionar esses números da seguinte forma 5=5 (lê-se cinco é igual a cinco). EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 27. Tome dois números: 262 e 173. a) Qual dos dois números possui algarismo das unidades? b) Qual dos dois números possui algarismo das dezenas? c) Qual dos dois números possui algarismo das centenas? d) Qual dos dois números então é maior? 28. Tome dois números 423 e 185. a) Qual dos dois números possui algarismo das unidades? b) Qual dos dois números possui algarismo das dezenas? c) Qual dos dois números possui algarismo das centenas? d) Qual dos dois números então é maior? o maior o maior o maior Quando um número que estiver mais a direita for sempre maior do que um número que estiver mais à esquerda. Se houver um caso onde isso não ocorre, a sequência não é considerada crescente. Um exemplo de sequência crescente é 1,5,8,15,17. Sequência decrescente Quando um número que estiver mais a direita for sempre menor do que um número que estiver mais à esquerda. Se houver um caso onde isso não ocorre, a sequência não é considerada decrescente. Um exemplo de sequência decrescente é 98, 95, 5, 1. Existem sequências que não são nem crescentes e nem decrescentes, como a do primeiro exemplo (1,5,9,7,12). EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO o maior o maior o maior 29. Tome dois números 955 e 1003. a) Qual dos dois números possui o maior algarismo das unidades? b) Qual dos dois números possui o maior algarismo das dezenas? c) Qual dos dois números possui o maior algarismo das centenas? d) Qual dos dois números então é maior? Por que? 30. Complete os espaços indicando a relação apropriada entre os números naturais (<, > ou =). a) 5___6 b) 12___7 c) 15_____15 d) 15____14 Sequência crescente 32. Escreva em sequência descrescente os números 20, 5, 37, 24, 41, 85, 123, 1354, 415, 58. 33. Escreva em sequência decrescente números 40, 1014,128, 59, 284, 64, 1000. os Números consecutivos Dois números são consecutivos quando um é maior do que o outro por uma unidade. Por exemplo: 8 e 9 são números consecutivos. 35 e 36 também são números consecutivos. Dizemos, nesse caso, que o 9 é sucessor do 8 e que o 36 é sucessor do 35. Quanto temos dois números consecutivos, o maior é chamado de sucessor e o menor é chamado de antecessor. O 14 é antecessor do 15 (o 15, por sua vez, é sucessor do 14). O 99 é antecessor do número 100, e assim por diante. e) 325____322 f) 7____7 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 11 Matemática EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 34. Assinale quais pares de números abaixo são consecutivos. 39. Forneça, em ordem crescente, os quatro primeiros números cuja soma dos algarismos é 3. a) 85 e 88 b) 95 e 96 c) 15 e 14 d) 0 e 1 e) 32 e 45 f) 99 e 100 40. Escreva as somas de dois algarismos consecutivos que resultam nos números a seguir: 35. Informe os cinco números sucessores do número 27. 36. Informe os cinco números antecessores do número 27. 37. Informe os três sucessores e os três antecessores dos seguintes números: a) 5 b) 999 c) 9999 d) 599 38. Descubra o número a partir das dicas dadas abaixo: a) 7 b) 3 c) 5 d) 1 e) 9 41. Escreva as somas de três algarismos consecutivos que resultam nos números a seguir: a) 9 b) 6 c) 3 Para simbolizar a soma, utilizamos o sinal “+”. Na soma acima, os números 4 e 3 são chamados de parcelas da operação de soma enquanto o número 7 é chamado de resultado da operação de soma. I. É um número maior que 99. II. O sucessor desse número é formado por algumas centenas, 3 dezenas e algumas unidades. III. É um número menor que 500. IV. O antecessor desse número é formado por algumas centenas, algumas dezenas e uma unidade. V. Os algarismos desse número, lidos da direita para a esquerda, formam uma sequência crescente. O conjunto dos números naturais Os matemáticos usam o símbolo ℕ para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Assim temos: ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,...} Adição de números naturais Quando as parcelas da adição são formadas por dois algarismos, como no exemplo: 12 + 35 Devemos proceder da seguinte forma: 1. Somar as unidades: somar os algarismos na posição das unidades entre si (2 unidades + 5 unidades = 7 unidades); 2. Somar as dezenas: somar os algarismos na posição das dezenas entre si (1 dezena + 3 dezenas = 4 dezenas); Logo o resultado será 4 dezenas e 7 unidades, ou seja, 47. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 42. Considere as somas a seguir: Somas simples a) 12 + 36 b) 55 + 22 c) 34 + 35 Usamos a soma (ou adição) quando queremos juntar ou adicionar quantidades. No problema a seguir: d) 87 + 11 e) 65 + 12 f) 32 + 23 “Tenho 4 moedas e ganhei mais 3. Com quantas moedas fiquei?” I) Quantas dezenas possui a primeira parcela? E quantas unidades? Devemos juntar 4 moedas com 3 moedas. O resultado é dado pela soma entre 4 e 3, simbolizada abaixo. II) Quantas dezenas possui a segunda parcela? E quantas unidades? 4+3=7 A resposta do problema, então, seria: “Fiquei com 7 moedas.” 12 Agora, para cada uma, responda: III) Quantas dezenas possui o resultado? E quantas unidades? Quando as parcelas da adição são formadas por mais de dois algarismos, como por exemplo: 124 + 351. Devemos: Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 1. Somar os algarismos na posição das unidades entre si (4 unidades + 1 unidades = 5 unidades); 2. Somar os algarismos na posição das dezenas entre si (2 dezena + 5 dezenas = 7 dezenas); Exemplo: 8 unidades + 4 unidades = 12 unidades = uma dezena e duas unidades. a) 8 unidades + 5 unidades b) 9 unidades + 6 unidades 3. Somar os algarismos na posição das centenas entre si (1 centena + 3 centenas = 4 centenas); c) 5 unidades + 7 unidades 4. E assim por diante (caso houverem milhares, dezenas de milhares, etc...) e) 12 unidades + 5 unidades Logo, o resultado será 475. Para fazer isso de modo mais simples, escrevemos as parcelas da adição de forma empilhada: d) 9 unidades + 9 unidades f) 6 unidades + 6 unidades Regra do “vai-um” Na soma 17 + 5, quando somamos os algarismos das unidades, obtemos o número 12 (7 + 5 = 12). Como esse número contém 1 dezena e duas unidades, a dezena contida será somada junto com o algarismo das dezenas. Esse procedimento é conhecido popularmente como “vai-um”. Note que o traço horizontal separa as parcelas do resultado. Note também que o empilhamento deve deixar os respectivos algarismo das unidades alinhados verticalmente (um em cima do outro). O mesmo ocorre com os algarismos das centenas, dezenas e assim por diante. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 43. Considere as somas a seguir: a) 427 + 511 b) 608 + 271 c) 502 + 321 Esse procedimento acontece sempre que a soma de dois algarismos é maior que 9. d) 654 + 3 e) 550 + 45 f) 249 + 30 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Agora, para cada uma, responda: I) Quantas centenas, dezenas e unidades possui a primeira parcela? 46. Considere as somas a seguir: a) 16 + 36 b) 55 + 27 c) 34 + 9 II) Quantas centenas, dezenas e unidades possui a segunda parcela? d) 77 + 18 e) 65 + 38 f) 77 + 77 III) Quantas centenas, dezenas e unidades possui o resultado? I) Quantas dezenas possui a primeira parcela? E quantas unidades? 44. Faça as contas indicadas a seguir. II) Quantas dezenas possui a segunda parcela? E quantas unidades? a) Some três unidades ao número 625. b) Some duas dezenas ao número 469. c) Some três centenas ao número 357. d) Ao número 1025, somar dois milhares, cinco centenas, quatro dezenas e três unidades. 45. Escrever o resultado das operações de soma, em unidades e dezenas, como no exemplo: Agora, para cada uma, responda: III) Quantas dezenas possui o resultado? E quantas unidades? Da mesma forma, o “vai-um” acontece na soma 124 + 358. Neste caso, note que 4 unidades + 8 unidades = 12 unidades = 1 dezena e duas unidades. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 13 Matemática Neste caso, transformamos 10 unidades do resultado em 1 dezena e somamos o algarismo 1 na posição das dezenas, como na figura abaixo. Propriedades da Soma Propriedade comutativa: em uma soma de dois elementos, não importa a ordem das parcelas, o resultado é o mesmo. Veja os exemplos: • Somar 54 + 37 é o mesmo que somar 37 + 54, ou seja, 54 + 37 = 37 + 54. • 125 + 36 = 36 + 125. Propriedade associativa: podemos fazer uma soma de três elementos em qualquer ordem, que o resultado será o mesmo. Veja os exemplos: Sempre que alguma soma for maior do que 9, esse procedimento será executado. Na soma abaixo, 99 + 88, note que o “vai-um” acontece duas vezes. Na soma 5 + 6 + 7 podemos somar 5+6 primeiramente (=11) e somar o resultado com 7 (11+7=18) ou podemos somar 6+7 (=13) e somar o resultado com 5 (=18). Note que o resultado sempre será o mesmo (18), ou seja, (5 + 6) + 7 = 5 + (6 + 7). Existência de elemento neutro: qualquer número somado com o número 0 (zero) será igual a si mesmo. Por isso o zero é chamado de elemento neutro da adição. Por exemplo: 13 + 0 = 13 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 53. Diga se é verdadeiro ou falso: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO a) 27+4=4+27 b) 4+5+9=9+4+5 47. Calcule e diga quantas vezes ocorre o “vaium”: a) 25 + 32 b) 125 + 9 c) 1999 + 777 d) 365 + 896 e) 123 + 9 f) 123 + 90 c) 8+2≠2+8 d) 6+5+4≠4+6+5 e) 5+0=6 f) 5+0=5 54. Resolva a soma 65+30+117 de duas formas diferentes (deve-se chegar ao mesmo resultado), utilizando a propriedade associativa da adição. 48. Seja o número 324. Quantas unidades devemos somar, no mínimo, para que ocorra o “vai-um”? 55. Nas sentenças a seguir, escreva a propriedade da adição que está sendo utilizada: 49. Seja o número 324. Quantas dezenas devemos somar, no mínimo, para que ocorra o “vai-um”? c) (57+6)+305=57+(6+305) a) 63+0=63 d) 0+4=4+0 b) 654+1029=1029+654 e) 1000+0=1000 f) (0+1)+0=0+(1+0) 50. Seja o número 324. Quantas centenas devemos somar, no mínimo, para que ocorra o “vai-um”? 56. Quais somas de números sucessivos resultam em: a) 5 51. Um vendedor de coco vendeu 24 cocos na sexta-feira, 116 no sábado e 67 no domingo. Quantos cocos ele vendeu nos 3 dias? 52. Um trem do metrô está transportando 156 pessoas. Na estação Sé, 45 pessoas embarcam. Quantas pessoas passam a ser transportadas pelo trem? b) 9 c) 11 d) 23 e) 31 f) 1 Subtração Representa a diferença entre duas quantidades. Considere o seguinte problema: “Haviam 9 pessoas em uma festa. Após as dez horas, 3 pessoas foram embora. Quantas pessoas ficaram na festa?” O número de pessoas que ficaram na festa é a diferença entre 9 e 3, ou seja. 14 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 9–3=6 Na conta de subtração, o número mais à esquerda (o 9, neste caso) é chamado de minuendo, o segundo número mais à esquerda (o 3, neste caso) é chamado de subtraendo e o resultado da subtração (o 6, neste caso) é chamado de diferença. A. Subtraimos as unidades do menor das unidades do maior. B. Subtraimos as dezenas do menor das dezenas do maior. C. Subtraimos as centenas do menor das centenas do maior. D. E assim por diante. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO A pergunta que podemos fazer aqui é: será que trocando a ordem dos números na subtração, alteramos o resultado? Repare que, diferentemente da adição, não podemos trocar a ordem dos números na operação de subtração. Na subtração de números naturais, o maior número deve sempre estar mais à esquerda. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 57. Qual dos problemas a seguir NÃO representa adequadamente a subtração 9 – 5 = 4? a) Tenho 5 bombons. Quantos bombons me faltam para que eu tenha 9 bombons? b) Na minha estante tinham 9 livros. Se eu emprestei 5 livros, com quantos livros fiquei? c) Tenho 9 pratos e ganhei mais 5. Com quantos pratos fiquei? d) Meu filho mais velho tem 9 anos enquanto o mais novo tem 5 anos. De quantos anos a idade do mais velho supera a do mais novo? e) Uma conta de adição tem como resultado o número 9. Uma das parcelas é 5. Qual a outra? Subtrações simples Uma conta de subtração aonde o minuendo e o subtraendo são formados por mais de um algarismo é resolvida abaixo. 58. Tome o número 237. a) Subtrair quatro unidades desse número. Qual o resultado? b) Subtrair três dezenas do resultado do item a. Qual o resultado? c) Subtrair uma centena do resultado do item b. Qual o resultado? 59. Faça as subtrações indicadas: a) 456 – 123 b) 12 – 1 c) 56 – 44 d) 4568 – 2568 e) 5050 – 5050 f) 6052 – 4050 g) 999 – 979 60. Tome um número: 965. a) Subtrair quatro unidades desse número. Qual o resultado? b) Subtrair três dezenas do resultado do item a. Qual o resultado? c) Subtrair cinco centenas do resultado do item b. Qual o resultado? 61. Responda: a) Subtraindo um número do seu sucessor, qual será o resultado? b) Fazendo a subtração de um número menos o seu antecessor, qual será o resultado. c) Se a gente fizer a seguinte subtração: o sucessor de qualquer número menos o antecessor desse mesmo número, qual será o resultado? d) É possível uma pessoa possuir 7 reais e comprar um produto que custa 10 reais? Por quê? e) Baseado na resposta acima, é possível resolver a subtração 7 – 10? Qual a diferença do resultado dessa subtração e do resultado da subtração 10 – 7? O que essa diferença significa? 62. Nas somas a seguir, descubra a parcela que está faltando: a. 47852 + _______ = 59999 b. _____ + 265 = 769 c. 6666 + ______ = 9999 d. 666 + _______ = 9999 e. 358792 + ______ = 969792 Para resolver, fazemos da seguinte forma: f. 99 + ___ = 100 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 15 Matemática O “empresta-um” Atenção: Nenhuma das propriedades vistas para a adição vale para a subtração. Pode acontecer do algarismo das unidades do minuendo ser menor do que o algarismo das unidades do subtraendo, como na subtração: 971 – 354 Escrevendo na forma empilhada, mostrando as posições de centenas, dezenas e unidades, temos: EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 64. Calcule: a) 324 – 128 b) 1025 – 99 c) 102356 – 9865 65. Tome um número: 237. a) Subtrair oito unidades desse número. Qual o resultado? b) Subtrair cinco dezenas do resultado do item a. Qual o resultado? c) Subtrair uma centena do resultado do item b. Qual o resultado? Note que não temos como fazer 1 – 4. Então retiramos uma dezena do algarismo das dezenas do minuendo (no caso o 7), transformamos essa dezena em 10 unidades e as acrescentamos ao algarismo 1 das unidades do minuendo. Esse procedimento de retirar uma unidade do algarismo imediatamente à esquerda é conhecido como “empresta-um”. d) em quais dos itens anteriores ocorreu o procedimento denominado “empresta-um”? 66. Seja o número 776 a) quantas unidades devemos subtrair desse número, no mínimo, para que ocorra o procedimento do “empresta-um”? b) quantas dezenas devemos subtrair desse número, no mínimo, para que ocorra o procedimento do “empresta-um”? 67. A subtração também pode ser usada para comparar duas quantidades. Se um pacote de leite custa 36 reais e um quilo de carne custa 20 reais, de quantos reais o pacote de leite é mais caro do que o quilo de carne? Então fazemos a subtração normalmente, tendo como resultado o número 617. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 63. Calcule: a) 374 – 128 b) 1025 – 19 d) 528 – 444 e) 4388 – 2937 f) 4191 – 1272 h) 400 – 109 c) 356 – 39 g) 403 – 178 i) 7003 – 5007 Existem subtrações aonde são realizados vários procedimentos de “empresta-um”, como no caso: 314 – 276 A resolução está na figura abaixo, em passos: 68. A subtração também pode ser usada para completar uma quantia: Um computador custa 1045 reais. Se eu tenho 645 reais, quanto dinheiro me falta para comprar o computador? 69. Seja o número 623. Podemos subtrair do mesmo a quantia de uma unidade, uma dezena e sete centenas? Por quê? 70. De um certo número subtraímos três unidades e resultou 14. Qual era esse número? 71. De um certo número subtraímos 4 dezenas e 3 unidades, resultando 52. Qual era esse número? 72. Complete as subtrações a seguir com os números que faltam: a) 923 – ______ = 465 b) 874 – 122 = _______ c) ______ – 655 = 1233 d) 5477 – _______ = 1 e) _______ – 4568 = 4569 Então temos: f) _______ – 65 = 65 314 – 276 = 38 g) 65 – ______ = 65 h) 477 – 362 = _______ 16 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 74. Aproveite alguns resultados do exercício anterior e complete a tabuada que está na parte anexa do livro, como referência. Multiplicação Problemas iniciais Como você resolveria os problemas abaixo, se utilizando somente da soma e subtração? A. Se o litro da gasolina custa 3 reais e um carro abastece com 8 litros de gasolina, quanto o motorista desse carro deverá pagar? B. Se todo dia utilizo dois ônibus para ir ao trabalho mais dois ônibus para voltar, quantos ônibus utilizo em um mês? (supor que um mês tem 20 dias de trabalho) Leitura da multiplicação A operação de multiplicação abaixo: 15 x 35 É lida da forma “quinze vezes trinta e cinco”. A outra operação abaixo: 4x3 É lida da forma “quatro vezes três”. E assim por diante. O que é multiplicação? Para aprender a operação de multiplicação, devemos saber muito bem a operação de soma. A multiplicação 4 x 3 é resolvida da seguinte forma: ���� �� 3 𝑥𝑥 4 = �� 3 +�3 +3+ 3 = 12 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑜𝑜 𝑡𝑡𝑡𝑡ê𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 A multiplicação 5 x 9 é resolvida da seguinte forma: �� ��� �� 5 𝑥𝑥 9 = 9 +�� 9�+ 9 +�� 9�+ 9 = 45 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑜𝑜 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 As multiplicações mais simples conhecidas fazem parte de uma tábua de multiplicações, que denominamos “tabuada”, que se encontra no fim do capítulo para completar. Não tente decorar apenas os resultados das operações, mas entender como cada operação que está lá é realizada. 75. João resolver fazer sozinho a tabuada do 11. A tabuada do 12 é o resultado das multiplicações de 12 pelos números de 0 até 10. Veja como João fez essa tarefa: a) 12 x 0 = 0 b) 12 x 1 = 13 c) 12 x 2 = 24 d) 12 x 3 = 36 e) 12 x 4 = 45 f) 12 x 5 = 50 g) 12 x 6 = 62 h) 12 x 7 = 84 i) 12 x 8 = 86 j) 12 x 9 = 108 k) 12 x 10 = 120 Se cada conta certa dessa tabuada vale 3 pontos, quantos pontos João vai ganhar por essa tarefa? 76. A exemplo de João, faça sozinho a tabuada dos números a) 13 b) 10 c) 100 d) 1000 Como usar a multiplicação? CASO 1 Utilizamos a multiplicação para resolver problemas como os do exemplo abaixo: “Comprei cinco caixas de chocolate. Cada caixa contém dez chocolates com diferentes recheios. Quantos chocolates comprei?” Note que, para resolver o problema, temos que somar 10 + 10 + 10 + 10 + 10, ou seja, somar dez cinco vezes. Essa conta corresponde à multiplicação abaixo. 5 x 10 = 50 Esse tipo de problema nos leva a fazer uma mesma soma várias vezes. Um outro problema resolvido pela multiplicação é o do exemplo abaixo: CASO 2 “Conte quantas maçãs existem na figura abaixo, sabendo que todas as fileiras possuem igual número de maçãs.” EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 73. Calcule fazendo as várias somas: a) 2 x 3 b) 6 x 2 c) 5 x 0 d) 2 x 4 e) 1 x 5 f) 5 x 1 g) 2 x 3 x 4 h) 2 x 3 x 1 i) 3 x 2 x 2 h) 2 x 8 x 2 i) 2 x 2 x 8 j) 7 x 5 k) 5 x 7 l) 6 x 0 m) 6 x 1 n) 1 x 6 o) 2 x 26 p) 3 x 30 q) 4 x 25 r) 10 x 10 Note que precisamos contar apenas o número de maçãs em cada linha horizontal (5 maçãs em uma linha horizontal) e quantas linhas horizontais existem (4 linhas). Depois, fazemos: Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 17 Matemática 5 x 4 = 20 maçãs EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 77. Dado que devemos tomar ao menos 2 litros de água por dia, qual quantidade de água devemos ingerir em uma semana? 78. Calcule quantos quadrados existem nas figuras abaixo e diga qual a multiplicação utilizada para fazer esse cálculo: a) O último tipo de problemas que vamos explorar é um pouco mais complicado: b) CASO 3 “Roberto possui 2 tipos de camisa (azul e vermelha) mais 3 tipos de calça (jeans azul, jeans preta e social beje). De quantos modos Roberto pode se vestir?” Para cada tipo de camisa, vejam que Roberto pode utilizar 3 tipos de calça, como mostra a próxima tabela: c) O que significa que Roberto pode se vestir de 6 formas diferentes, pois: d) e) 79. Se um dólar equivale a 3 reais, quanto valem sete dólares? 18 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 80. Se 1 real vale 2 pesos bolivianos, quanto pesos bolivianos valem 1 dólar, de acordo com o exercício anterior? 81. Um restaurante tem duas opções de mistura para o prato feito: carne e filé de frango. Além disso, existem duas opções de salada: pequena (alface e tomate) e grande (com diversos legumes). De quantas formas pode ser montado do prato feito de um cliente, com mistura e salada? 82. Imagine agora que o mesmo restaurante tivesse 4 opções de mistura e 3 opções de salada. De quantas formas poderia ser montado o prato? Seja o exemplo: 123 x 2: O número 123 é formado por: 123 = 1 centena + 2 dezenas + 3 unidades Vamos multiplicar então, cada um dos algarismos de 123 por 2: • 3 unidades x 2 = 6 unidades; • 2 dezenas x 2 = 4 dezenas; • 1 centena x 2 = 2 centenas; 83. Um time de futebol tem camisas de 3 tipos (branca, vermelha e listrada), meias de 3 tipos (branca, vermelha e listrada) e calções de 2 tipos (branco e vermelho). De quantas formas esse tipo pode se vestir para jogar? O resultado da multiplicação então é: Componentes da multiplicação Abaixo, fazemos essa mesma multiplicação da forma empilhada, que é a mais comum: Os números que se multiplicam são os fatores enquanto o resultado é chamado produto. 2 centenas + 4 dezenas + 6 unidades = 246 No exemplo abaixo, os números 9 e 5 são os fatores e o número 45 é o produto. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 84. Escreva todas as multiplicações de dois fatores com números naturais que você pensar cujo produto é: a) 20 b) 10 c) 15 d) 6 e) 40 f) 45 g) 4 h) 8 i) 30 j) 18 k) 17 l) 11 m) 3 n) 7 87. Calcule: 85. Alguns itens acima admitem várias respostas, quais são eles? E quais são os itens que admitem apenas uma resposta? Obs: esses números são chamados de números primos, veremos mais adiante. a) 42 x 2 b) 52 x 4 c) 89 x 1 d) 432 x 3 e) 333 x 2 f) 122 x 4 g) 1423 x 2 h) 2223 x 3 O “vai-um” da multiplicação. Muitas vezes, ao fazer as multiplicações em cada algarismo, obtemos números muito maiores que 9. Seja o caso 103 x 9, por exemplo. 86. Escreva agora alguma multiplicação de três fatores (nenhum deles é 1) cujo produto é: a) 20 b) 8 c) 27 d) 24 O número 103 é constituído por: Multiplicação de um algarismo por qualquer número. Multiplicando cada um dos algarismos por 9, obtemos: Multiplicações entre um fator de um algarismo e um fator qualquer são feitas multiplicando-se primeiramente as unidades, depois as dezenas, depois as centenas e assim por diante. 103 = 1 centena + 0 dezenas + 3 unidades • 3 unidade x 9 = 27 unidades; • 0 dezenas x 9 = 0 dezenas; • 1 centena x 9 = 9 centenas; Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 19 Matemática O número de unidades deu muito maior que 9. Podemos então, trocar uma parte desse número por algumas dezenas: • 3 unidade x 9 = 27 unidades = 2 dezenas e 7 unidades; Note que todas as multiplicações são maiores que 9. Vamos resolver igualmente ao caso anterior: • 6 unidades x 9 = 54 unidades = 5 dezenas e 4 unidades; • 5 dezenas x 9 = 45 dezenas; Vamos deixar só as unidades, depois pegar as dezenas que conseguimos e somar com o resultado das dezenas: • Já fizemos 0 dezenas x 9 = 0 dezenas o • 4 centenas x 9 = 36 centenas; Somando com as 2 dezenas da multiplicação anterior, 0 dezenas + 2 dezenas = 2 dezenas; E a multiplicação das centenas fica como está, pois não resultou em um número maior que 9. • 1 centena x 9 = 9 centenas; Desse modo, a multiplicação resulta em: 9 centenas + 2 dezenas + 7 unidades = 927 45 dezenas + 5 dezenas = 50 dezenas = 5 centenas e 0 dezenas; o 36 centenas + 5 centenas = 41 centenas = 4 milhares e 1 centena; O resultado, então, é dado por: 4 milhares + 1 centena + 0 dezenas + 4 unidades = 4104 Acompanhe a multiplicação abaixo, feita na forma empilhada. Note que sempre é mais fácil começar das unidades. Abaixo fazemos essa mesma multiplicação na forma empilhada. Note que, nesse caso, em vez de “vai-um”, o que acontece seria um “vai-dois”. Note também que sempre é mais fácil fazer da direita para a esquerda, começando das unidades, depois passando para as dezenas e assim por diante: Nesse caso, tivemos dois “vai-cinco” e um “vaiquatro”. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 89. Calcule: 88. Calcule: a) 209 x 4 b) 117 x 8 c) 263 x 2 d) 7061 x 6 e) 9020 x 9 f) 415 x 6 g) 1701 x 8 h) 12 x 6 i) 120 x 6 O “Vai-um” da multiplicação pode ocorrer várias vezes em uma mesma multiplicação. Multiplicando 456 por 9, temos: 456 = 4 centenas + 5 dezenas + 6 unidades 20 • 6 unidades x 9 = 54 unidades; • 5 dezenas x 9 = 45 dezenas; • 4 centenas x 9 = 36 centenas; a) 459 x 3 b) 855 x 2 c) 789 x 5 d) 1258 x 6 e) 45 x 2 x 3 f) 45 x 6 g) 3 x 3 x 3 x 3 h) 4 x 4 x 4 i) 5 x 5 x 5 j) 9 x 9 x 9 k) 65 x 4 l) 789 x 6 m) 125 x 5 90. Se um mês tivesse sempre 4 semanas, quantos dias teria um ano? 91. Uma classe contém 30 alunos. Uma escola possui 7 salas de aula e mantém turmas de manhã, de tarde e de noite. Quantos alunos estudam nessa escola? Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Multiplicação de qualquer número por 10, 100 ou 1000. Para multiplicar um número por 10 então, basta acrescentar um zero à direita do número. Veja os exemplos abaixo: • 27 x 10 = 27 x 1 dezena = 27 dezenas = 270. • 14 x 10 = 14 x 1 dezena = 14 dezenas = 140. • 687 x 10 = 687 x 1 dezena = 687 dezenas = 6870. Para multiplicar um número por 100 então, basta acrescentar dois zeros à direita do número. Veja os exemplos abaixo: • 27 x 100 = 27 x 1 centena = 27 centenas = 2700. • 14 x 100 = 14 x 1 centena = 14 centenas = 1400. • 687 x 100 = 687 x 1 centena = 687 centenas = 68700. Da mesma forma, para multiplicar um número por 1000, basta acrescentar 3 zeros à direita do número, como no exemplo: • 26 x 1000 = 26 x um milhar = 26 milhares = 26000 95. Informe quantas dezenas equivalem a: a) 1 centena b) 3 centenas c) 6 centenas d) 12 centenas e) 0 centenas f) 5 centenas 96. Informe quantas unidades equivalem a: a) 1 centena b) 3 centenas c) 6 centenas d) 12 centenas e) 0 centenas f) 5 centenas Multiplicação de números quaisquer Para multiplicar 1124 por 628, observemos que o número 628 é formado por: 628 = 6 centenas + 2 dezenas + 8 unidades E então multiplicamos 1124 por cada algarismo de 628: 1124 x 8 unidades = 8992 unidades; 1124 x 2 dezenas = 2248 dezenas = 22480; 1124 x 6 centenas = 6744 centenas = 674400; E depois somamos os resultados: EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 92. Calcule e dê o resultado em milhares, centenas, dezenas e unidades: a) 3 x 10 b) 5 x 1000 c) 7 x 100 d) 45 x 10 e) 10 x 10 f) 18 x 100 g) 10 x 10 x 10 f) 10 dezenas e 23 unidades 8992 + 22480 + 674400 = 705872 Que é o resultado. Abaixo, a mesma conta feita de forma empilhada: h) 100 x 100 i) 54 x 1000 j) 458 x 100 k) 7 x 7 x 100 l) 6 x 10 x 3 m) 4 x 100 x 8 n) 32 x 1000 x 2 93. Sabendo que 1 dezena = 10 unidades, informe quantas unidades temos em: a) 5 dezenas b) 9 dezenas c) 10 dezenas d) 20 dezenas 94. Escreva os números a seguir apenas em função das unidades, como no exemplo: Exemplo: 5 dezenas e 4 unidades = 54 unidades a) 7 dezenas e 2 unidades EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO b) 6 dezenas e 3 unidades 97. Calcule: c) 0 dezenas e 4 unidades a) 65 x 41 b) 789 x 62 c) 125 x 53 d) 12 dezenas e 12 unidades d) 456 x 789 e) 25 x 25 f) 200 x 200 e) 9 dezenas e 9 unidades g) 123 x 456 h) 254 x 56 i) 999 x 99 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 21 Matemática 98. Determine: a) O número formado por 2 unidades, 9 dezenas e 4 centenas. b) O número que possui 12 unidades, 14 dezenas e 7 centenas. c) O número que possui 10 unidades, 9 dezenas e 11 centenas. d) O número que possui 9 unidades, 13 dezenas e 2 centenas. e) O número que possui 1 unidades, 12 dezenas e 5 centenas. f) O número que possui 19 unidades, 15 dezenas e 20 centenas. g) O número que possui 3 unidades, 101 dezenas e 14 centenas. 99. Resolva os problemas abaixo, indicando as contas envolvidas: a) Ao comprar 6 dúzias de maçãs, quantas maçãs terei? b) Ao comprar 7 caixas de ovos, quantos ovos comprarei? (Cada caixa contém 12 ovos). c) Se na segunda tenho 15 reais e ganho 7 reais a cada dia, quanto terei no sábado? d) Se tenho 100 reais na segunda e a cada dia perco 21 reais, quanto terei na quinta? Propriedades da Multiplicação As propriedades da multiplicação são: Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto. Por exemplo, tanto faz multiplicar 8× 3 ou 3× 8 que o resultado é o mesmo (24), ou seja: 3× 8 = 8× 3 Associativa: uma multiplicação de 3 fatores pode ser realizada em qualquer ordem. Por exemplo, para multiplicar 5 × 4 × 2 podemos multiplicar o 5 e o 4 (=20) e multiplicar o resultado por 2 (=40) ou multiplicar o 4 pelo 2 (=8) e multiplicar o resultado por 5(=40), ou seja, (5 x 4) x 2 = 5 x (4 x 2) Elemento Neutro: qualquer número multiplicado pelo número 1 é igual a ele mesmo. Por exemplo: 1 x 21 = 21 Por isso, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. Elemento Nulo: qualquer número multiplicado por zero é igual a zero. Por isso, o número 0 é chamado elemento nulo da multiplicação. Distributiva: a multiplicação de um número por uma soma é igual a soma dos produtos deste número por cada uma das parcelas. Por exemplo: Devemos resolver então, multiplicações e depois a soma: primeiro 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 100. Nas sentenças a seguir, informe qual propriedade da multiplicação é utilizada: a) 12 x 69 = 69 x 12 b) 789 x 1 = 789 c) 12 x 0 = 0 d) (12 x 65) x 4 = 12 x (65 x 4) e) 1 x 0 = 0 f) 1 x 0 = 0 x 1 g) 3 x (5 + 8) = 3 x 5 + 3 x 8 101. Calcule a multiplicação 4 x 5 x 6 de duas formas, (chegando no mesmo resultado), utilizando a propriedade associativa da multiplicação. 102. Calcule, utilizando a propriedade distributiva: a) 4 x (5 + 2) b) 6 x (9 – 2) c) 7 x (9 – 3) d) 10 x (5 – 3) e) 8 x (10 – 2) f) 7 x (14 – 7) 103. Qual o resultado da multiplicação dos algarismos do número 985603584? Divisão A divisão significa repartir um número em partes iguais. No problema a seguir: “28 pacotes de arroz precisam ser distribuídos entre 7 famílias. Quantos pacotes de arroz cada família deve receber?” Devemos repartir 28 pacotes de arroz em 7 partes iguais, ou seja, devemos fazer 28÷7. Nessa divisão, o número mais à esquerda é chamado de dividendo. O número mais à direita é o divisor e o resultado será o quociente. Divisões Simples As divisões simples podem ser feitas com o conhecimento da tabuada. Para dividir 28 por 7, devemos nos perguntar: “Qual o número que multiplicado por 7 é igual a 28?” A resposta é 4 (quatro). Portanto, temos que 28 dividido por 7 é igual a 4. 28÷7=4 Dividindo 28 pacotes de arroz igualmente entre 7 famílias, temos então que cada família deverá receber 4 pacotes de arroz. 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 22 as Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Da mesma forma, para dividir 56 por 8, ou seja: 56÷8 Devemos fazer a seguinte pergunta: “Qual o número que, multiplicado por 8 é igual a 56?”. A resposta é 7, portanto, temos que o resultado da divisão é 7. 56÷8=7 Dividindo 56 reais entre 7 pessoas igualmente, temos então que cada pessoa deverá receber 8 reais. Na divisão exata, o dividendo vezes o divisor sempre é igual ao quociente. Observe que: Divisões com Resto Algumas divisões não são tão simples. Imagine que queremos dividir 7 pacotes de feijão entre 3 pessoas. A conta a ser feita é: 7÷3 Neste caso, vemos que não existe um número que, multiplicado por 3 tem 7 como resultado. Não dá para dividir igualmente 7 pacotes de feijão entre 3 pessoas, sem abrir nenhum pacote. Porém sabemos que podemos dar 2 pacotes de feijão para cada uma das 3 pessoas, sendo que vai sobrar 1 pacote para ser distribuído. Assim, temos que: Dividendo ÷ Divisor = Quociente 7÷3 = 2, com resto 1 e que Resto é um número que não tem como entrar na divisão. Nesse caso, o resto é 1 e o quociente é 2. Dividendo = Divisor x Quociente EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 104. Calcule: a) 24÷3 d) 14÷2 g) 72÷8 j) 36÷12 m) 45÷15 p) 100÷10 b) 81÷9 e) 42÷7 h) 72÷9 k) 66÷11 n) 80÷20 q) 90÷30 c) 36÷9 f) 50÷10 i) 56÷8 l) 46÷23 o) 900÷100 r) 360÷60 105. 49 dias equivalem a quantas semanas? 106. Um século equivale a quantas décadas? 107. Para uma encontro foram comprados 18 litros de refrigerante em garrafas de 2 litros. Quantas garrafas foram compradas? 108. Uma parte do livro de matemática foi manchada com tinta. Essa parte era justo o capítulo sobre divisão que continha várias contas feitas, todas corretas. Ao tentar reconstituir essa parte do livro, um professor obteve as contas abaixo. Complete elas com os números que faltam. a) ██ x 3 = 27 b) ██ ÷ 3 = 9 c) 9 ÷ ██ = 3 d) 16 ÷ ██ = 2 e) 20 ÷ 4 = ██ f) 24 ÷ 6 = ██ No caso 11÷3 (onze sacos de feijão divididos por 3 pessoas), temos que cada pessoa receberá 3 sacos de feijão e que sobrarão 2 sacos para serem distribuídos. Logo, 11÷3 = 3, com resto 2 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 109. Calcule, dizendo qual é o resto: a) 5÷2 b) 9÷4 c) 20÷4 d) 39÷6 e) 51÷9 f) 89÷9 g) 0÷2 h) 1÷3 i) 4÷6 j) 43÷5 k) 45÷7 l) 54÷6 m) 47÷10 n) 58÷6 o) 71÷8 p) 7÷7 q) 1÷10 r) 5÷0 110. 53 dias equivalem a quantas semanas completas? Quantos dias sobram? 111. O mês de janeiro tem quantas semanas? Quantos dias sobram? 112. Se cada mini-pacote de bolachas contém 9 bolachas, quantos pacotes eu posso formar com 67 bolachas? Quantas bolachas sobram? 113. Divida os números de 0 até 9 por 3, depois diga se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a) os restos das divisões, se multiplicados, resultam em zero. g) ██ ÷ 3 = 10, pois 10 x 3 = ██ b) os restos das divisões, se somados, resultam h) ██ ÷ 4 = ██, pois 7 x 4 = ██ em 3. i) ██ ÷ ██ = 9, pois 4 x ██ = ██ c) os restos das divisões são, respectivamente: 0, j) 60 ÷ ██ = 6 k) 60 ÷ 10 = ██ l) ██ ÷ 8 = 4 m) 64 ÷ ██ = 8 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 ,3, 3. d) nenhum resto pode ser maior que 1. e) nenhum resto pode ser maior que 2. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 23 Matemática f) os restos das divisões são, respectivamente: 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1 ,2, 0. 115. Qual é o resultado da divisão 1024÷16 dentre as alternativas abaixo? a) 35 g) Se eu dividir os números de 9 a 19 por três, vou obter diferentes restos. b) 24 c) 64 d) 72 e) 58 116. Qual é o quociente da divisão 1029÷16 dentre as alternativas abaixo? h) Se eu continuar dividindo os números por 3, a a) 35 partir do 10, os restos vão obedecer sempre a 117. Qual é o resto da divisão 1029÷16? mesma sequência: 0, 1, 2, 0, 1, 2 ... 118. Quando dividimos por 4, qual o maior resto que podemos obter? Quociente de qualquer divisão 119. Quando dividimos por 9, qual o maior resto que podemos obter? Aonde não existe um número que, multiplicado por 3 resulta em 7, o quociente é o número que, multiplicado por 3 tem como resultado o número mais próximo de 7, sendo também menor que 7. 121. Quando dividimos por 1145, qual o maior resto que podemos obter? Nesse caso, já sabemos que esse número é 2. Multiplicando este número por 3, temos 6, que é o mais próximo menor que 7. A chave facilita o processo de divisão, principalmente quando existe resto. Vejamos o exemplo 7 ÷ 3. Essa divisão através da chave fica da seguinte forma. Quando temos uma divisão do tipo: 7÷3 O resto é dado pela diferença entre 7 e o número mais próximo obtido. Neste caso, o resto é 7 – 6 = 1. Logo, 7÷3 = 2, com resto 1 como já vimos Note também que da mesma forma que: Divisor ÷ Dividendo = Quociente b) 24 c) 58 d) 72 e) 64 120. Quando dividimos por 15, qual o maior resto que podemos obter? Divisões Através da Chave Sabemos que 3 x 2 = 6, que é o número mais próximo de 7 na tabuada do 3, então coloca-se o 2 abaixo da chave alinhado verticalmente com o número 3, como mostra a figura abaixo: Então: Quociente x Divisor + resto = Dividendo. O resto, por não entrar na divisão, deve sempre ser menor do que o divisor. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 114. Uma parte do livro de matemática foi manchada com tinta. Essa parte era justo o capítulo sobre divisão que continha várias contas feitas, todas corretas. Ao tentar reconstituir essa parte do livro, um professor obteve as contas abaixo. Complete elas com os números que faltam. O resto de cada conta está entre parênteses: a) ██ ÷ 3 = 9 (2) b) ██ ÷ 4 = 4 (2) c) 10 ÷ ██ = 3 (1) d) 17 ÷ ██ = 2 (1) e) 20 ÷ 6 = ██ ( ██ ) f) 27 ÷ 7 = ██ ( ██ ) g) ██ ÷ 3 = 10 (1) , pois 10 x 3 + 1 = ██ h) ██ ÷ 4 = ██ (2), pois 5 x 4 + 2 = ██ i) ██ ÷ ██ = 8 ( 2 ), pois 4 x ██ + ██ = ██ j) 60 ÷ ██ = 7 ( 4 ) l) ██ ÷ 8 = 4 ( 3 ) 24 k) 60 ÷ 7 = ██ ( 4 ) Abaixo do 7 colocamos o produto entre o quociente encontrado e o divisor. A subtração entre o dividendo e este produto encontrado resulta no resto. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 122. Mostre como fica o cálculo na chave, indicando o resto: a) 9÷2 b) 91÷9 c) 34÷4 d) 19÷2 e) 56÷7 f) 86÷10 g) 55÷6 h) 59÷9 i) 66÷8 123. Qual é o resultado da divisão 112330÷478 dentre as alternativas abaixo? a) 235 b) 42 c) 158 d) 272 e) 864 124. Baseado no exercício anterior, sem fazer contas, qual é o resto da divisão 112333÷478? m) 64 ÷ ██ = 10 (4) Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Exemplo 1: Então, dividimos as 4 unidades por 2: Considere o seguinte problema: “Em um evento compareceram 64 pessoas, que devem ser distribuídas em dois salões iguais. Quantas pessoas deverão estar em cada um dos salões?” Note que a conta que deve ser feita para distribuir 64 pessoas em dois salões é: 64 ÷ 2 E calculamos também o resto dessa última divisão, obtendo o resultado final: O número 64 é formado por: 64 = 6 dezenas e 4 unidades; Dividimos então por 2 cada algarismo desse número: • 6 dezenas ÷ 2 = 3 dezenas • 4 unidades ÷ 2 = 2 unidades O resultado então será: Ou seja, 64 ÷ 2 = 32. 3 dezenas + 2 unidades = 32; O modo de fazer a conta na chave está descrito abaixo: Note que começamos sempre dividindo o algarismo mais importante do dividendo, que se encontra mais à esquerda. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 125. Calcule baseado no exemplo anterior: Primeiramente dividimos o algarismo mais a esquerda do dividendo por 2. O resultado é escrito abaixo do divisor. Em seguida, calculamos o resto dessa primeira divisão: a) 24÷2 b) 48÷4 c) 96÷3 d) 88÷4 e) 44÷2 f) 44÷4 g) 99÷9 h) 63÷3 i) 86÷2 Exemplo 2: Seja agora a divisão 49 ÷ 2. O número 49 é formado por: 49 = 4 dezenas e 9 unidades Logo depois, passamos as 4 unidades para baixo antes de dividi-las por 2: • Dividindo 4 dezenas por 2, resultam 2 dezenas; • Dividindo 9 unidades por 2 resultam 4 unidades, com resto 1 Logo o resultado da divisão será: 2 dezenas + 4 unidades, com resto 1 unidade Ou seja, 49 ÷ 2 = 24, com resto 1 A conta através da chave é feita da mesma forma que no exemplo onde mostramos que 64 ÷ 2 = 32. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 25 Matemática EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 126. Faça a divisão 49 ÷ 2 na chave. Compare com a divisão 48 ÷ 2. 127. Calcule baseado no exemplo anterior. Se houver resto, indique qual é o resto: a) 65 ÷ 2 b) 47 ÷ 4 c) 89 ÷ 8 d) 69÷6 e) 25÷2 f) 79÷7 g) 87÷4 h) 98÷9 i) 89÷2 128. Escreva os dez menores números que podemos dividir por 4 sem deixar resto (múltiplos de 4). EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 129. Escreva os dez menores números que podemos dividir por 7, sem deixar resto (múltiplos de 7). 136. Calcule baseado no exemplo anterior. Se houver resto, indique qual é o resto: a) 72 ÷ 2 b) 45÷3 c) 36÷2 130. Escreva o menor número que pode ser dividido tanto por 4 quanto por 7, sem deixar resto. d) 95÷3 e) 79÷4 f) 96÷4 g) 99÷8 h) 81÷3 i) 64÷4 j) 60÷5 k) 95÷7 l) 98÷6 131. Escreva os dez menores números que podemos dividir por 6, sem deixar resto (múltiplos de 6). 132. Escreva o menor número que pode ser dividido tanto por 6 quanto por 4 sem deixar resto. Exemplo 4: 133. Escreva o menor número que pode ser dividido tanto por 6 quanto por 7 sem deixar resto. Seja agora a divisão 124 ÷ 2. O número 124 consiste de: 134. Escreva os dez menores números que podemos dividir por 5 sem deixar resto (múltiplos de 5). 124 = 1 centena + 2 dezenas + 4 unidades 135. Escreva o menor número que pode ser dividido tanto por 6 quanto por 5 sem deixar resto. Exemplo 3: Repare que não conseguiremos dividir 1 centena por 2. Devemos então interpretar o número 124 de outro modo. 124 = 12 dezenas + 4 unidades Agora é só dividir cada um desses componentes por 2: Seja agora a divisão 52 ÷ 2. O número 52 é • 12 dezenas ÷ 2 = 6 dezenas formado por: • 4 unidades ÷ 2 = 2 unidades 52 = 5 dezenas + 2 unidades • Dividindo 5 dezenas por 2, resultam 2 dezenas, com resto 1 dezena = 10 unidades. O resultado da divisão então, será: 6 dezenas + 2 unidades = 62 A divisão completa na chave é mostrada abaixo: Essas 10 unidades são somadas às 2 unidades que ainda falta dividir por dois. Então sobraram 12 unidades para dividir por 2. • Dividindo 12 unidades por 2 resultam 6 unidades. O resultado da divisão então será: 2 dezenas + 6 unidades = 26 A divisão feita através da chave vai abaixo: 26 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 137. Calcule baseado no exemplo anterior. Se houver resto, indique qual é o resto: a) 366 ÷ 6 b) 568 ÷ 8 c) 1538 ÷ 3 d) 166 ÷ 4 e) 244 ÷ 7 f) 149 ÷ 2 g) 1285 ÷ 2 h) 816 ÷ 9 i) 1003 ÷ 3 138. Corrigir o texto abaixo, completando os espaços com um ██ com os números ou as palavras que faltam: “Vamos agora, dividir 125 por 2. Já sabemos que Nesse caso: • 38 dezenas ÷ 4 = 9 dezenas com resto 2 dezenas O resto da primeira divisão é de 2 dezena = 20 unidades. Somamos então esse resto com as 6 unidades que faltam ser divididas: 6 unidades + resto de 2 dezenas = 26 unidades • 26 unidades ÷ 4 = 6 unidades, com resto 2 o número 125 pode ser dado por ██ dezenas + O quociente então é dado por: ██ unidades. • ██ dezenas ÷ 2 = ██ dezenas, com resto ██ • ██ unidades ÷ 2 = ██ unidades, com resto ██ 9 dezenas + 6 unidades, com resto 2 = 96, com resto 2. A divisão na chave: Logo, o resultado da divisão será: ██ dezenas + ██ unidades, com resto ██. 125 ÷ 2 = ██, com resto ██ A divisão correspondente na chave é mostrada abaixo. Observe que, assim como 125 ÷ 2 = ██, com resto ██ então 125 = ██ x 2 + ██ EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 143. Calcular, indicando quando há resto: a) 124÷2 b) 255÷4 c) 358÷8 139. Por quais números podemos dividir 9, sem deixar resto? (divisores de 9) 140. Por quais números podemos dividir 5, sem deixar resto? (divisores de 5) 141. Por quais números podemos dividir 12, sem deixar resto? (divisores de 12) 142. Por quais números podemos dividir 18, sem deixar resto? (divisores de 18) Exemplo 5: Seja a divisão, 386 ÷ 4. O número 386 é composto por: d) 777÷5 e) 3654÷9 f) 6950÷7 g) 1852÷6 j) 124÷12 h) 9652÷10 k) 420÷20 i) 5555÷3 l) 1320÷60 m) 195÷13 n) 225÷15 o) 196÷14 144. Se um número tiver o algarismo 0 como o último a direita e for dividido por 10, o resultado é esse mesmo número sem esse algarismo 0 à direita. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? 145. Quais dos números a seguir podem ser divididos por 10 para exemplificar a afirmação anterior? a) 202 b) 40 c) 300 d) 45 e) 360 f) 07 146. Tome os números respondidos na questão anterior e escreva o resultado de suas divisões por 10. 386 = 3 centenas + 8 dezenas + 4 unidades Dado que não podemos dividir 3 centenas por 4, vamos mudar a decomposição do número 384. 384 = 38 dezenas + 4 unidades Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 27 Matemática Exemplo 6: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Como último caso, vamos fazer a divisão 6006 ÷ 2: 148. Calcule, fazendo primeiro as multiplicações e depois descobrindo o resultado de cabeça, sem 6006 = 6 milhares + 0 centenas + 0 dezenas + 6 unidades Assim: 6 milhares ÷ 2 = 3 milhares 0 centenas ÷ 2 = 0 centenas 0 dezenas ÷ 2 = 0 dezenas 6 unidades ÷ 2 = 3 unidades O que nos dá o seguinte quociente: 3 milhares + 3 unidades = 3003 A divisão através da chave é mostrada abaixo. precisar fazer as divisões no papel: a) 6 * 2 ÷ 3 * 2 b) 6 * 3 ÷ 3 * 3 c) 6 * 4 ÷ 3 * 4 d) 6 * 5 ÷ 3 * 5 e) 6 * 6 ÷ 3 * 6 f) 6 * 10 ÷ 3 * 10 g) 6 * 9 ÷ 3 * 8 h) 6 * 7 ÷ 3 * 7 149. Algum dos itens da questão anterior teve resultado diferente do esperado? Porquê? 150. Quais divisões a seguir têm o mesmo resultado de 21÷7? a) 42÷4 b) 44÷11 c) 63÷21 d) 100÷35 e) 210÷70 f) 105÷35 151. Um certo número, dividido por 12 dá o mesmo resultado da divisão de 27 ÷ 3. Qual é esse número? Atenção:Nenhuma das propriedades vistas para a adição e multiplicação vale para a divisão. Sabemos que 72 dividido por 9 é igual a 8. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 147. Calcular, indicando quando há resto: a) 1002÷3 b) 20604÷2 c) 180081÷9 d) 450005÷5 e) 300300÷6 f) 4002÷4 g) 80015÷7 h) 12036÷12 i) 48480÷6 j) 4623÷23 k) 1133÷11 l) 10010÷10 Uma propriedade essencial da divisão é que, se multiplicarmos o dividendo e o divisor pelo mesmo número, o quociente da divisão permanece o mesmo. Veja o exemplo abaixo: Então 72 ÷ 3 dividido por 9 ÷ 3 também será igual a 8! (72 ÷ 3 = 24; 9 ÷ 3 = 3; 24 ÷ 3 = 8) Imagine que deve-se calcular 810 ÷ 90. Se você dividir esses dois números por um mesmo número, o resultado da divisão permanece. Então podemos dividir 810 e 90 por 10. • 810 ÷ 10 = 81 • 90 ÷ 10 = 9 Sabemos que 810 dividido por 90 é igual a 810 ÷ 10 dividido por 90 ÷ 10. Então: • Sabemos que 8 dividido por 2 é igual a 4. • Então, temos que 8 * 3 dividido por 2 * 3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO também será igual a 4! 152. Calcule: Obs: Note que • 8 * 3 = 24 • 2*3=6 • 24÷6 = 4 Da mesma forma, note que 8 * 5 divido por 2 * 5 também será igual a 4! (8 * 5 = 40 e 2 * 5 = 10) 28 Assim como é feito com a multiplicação, se conseguirmos dividir o dividendo e o divisor pelo mesmo número, o quociente da divisão permanece o mesmo. Veja o exemplo abaixo: 810 ÷ 90 = 81 ÷ 9 = 9 a) 210 ÷ 10 b) 360 ÷ 60 c) 4800 ÷ 80 d) 400 ÷ 20 e) 1200 ÷ 30 f) 8100 ÷ 270 g) 72000 ÷ 90 h) 640000 ÷ 8000 i) 180000 ÷ 12000 j) 2400 ÷ 60 k) 575000 ÷ 25000 l) 350520 ÷ 1380 m) 6400 ÷ 1600 n) 102400 ÷ 1600 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 153. Calcular: a) 66÷6 b) 225÷15 c) 1024÷2 d) 81÷3 f) 64÷8 e) 196÷7 154. Tenho 900 laranjas e gostaria de distribuí-las igualmente em 30 caixas. Quantas laranjas serão colocadas em cada caixa? e) Quarenta e cinco dezenas e quatro unidades. f) Uma centena de milhar. g) 23 centenas, 45 dezenas e 12 unidades h) 12 dezenas e 20 unidades i) 44 milhares e 27 centenas 155. Quantas dúzias de maçãs são 60 maçãs? Expressões Numéricas 156. Uma resma de papel equivale a 500 folhas. Quantas resmas de papel temos em 75000 folhas? Expressões numéricas são sequências de operações básicas entre dois ou mais números. Um exemplo de expressão numérica é: 157. Informe quantas centenas equivalem a: a) 100 unidades b) 300 unidades c) 700 unidades d) 800 unidades e) 1100 unidades f) 1700 unidades g) 3000 unidades h) 10000 unidades i) 10 dezenas j) 20 dezenas k) 50 dezenas l) 90 dezenas m) 100 dezenas n) 200 dezenas o) 500 dezenas (Obs: 1 centena = 100 unidades = 10 dezenas) 6+7x5–2 Para resolver as expressões numéricas é preciso seguir uma ordem de prioridade no momento de efetuar os cálculos. Isso quer dizer que não podemos sair calculando qualquer operação na ordem que acharmos mais rápida ou mais simples. Devemos resolvê-las segundo a ordem estipulada em regra. Ordem das operações Quanto às operações deve-se seguir a seguinte ordem de cálculo: 158. Informe quantas dezenas existem em: a) 3 centenas e 20 unidades b) 5 centenas e 60 unidades c) 8 centenas e 60 unidades d) 12 centenas e 120 unidades e) 23 centenas e 30 unidades f) 9 centenas e 30 unidades I - Primeiro são efetuadas as multiplicações e as divisões. Se houver uma multiplicação e uma divisão para serem resolvidas, fazemos primeiro a operação que estiver mais à esquerda. 159. Sabendo que um milhar vale 1000 unidades, responda: a) Quantas dezenas equivalem a um milhar? b) Quantas centenas equivalem a um milhar? Por exemplo: 160. Uma dezena de milhar vale dez mil unidades. Uma centena de milhar vale cem mil unidades. Sabendo disso, responda: a) Qual é o número formado somente por uma dezena de milhar e por duas unidades? b) Quantas dezenas cabem em uma dezena de milhar? c) Quantas dezenas de milhares cabem em uma centena de milhar? d) Quantas centenas cabem em uma dezena de milhar? 161. Escreva, em cada item, qual é o número que é constituído por: a) Dois milhares, duas dezenas e 5 unidades. b) Três centenas e quatro unidades. c) Uma dezena de milhar, quatro milhares, três centenas, cinco dezenas e duas unidades. d) Duas unidades, duas dezenas e duas centenas. II - São efetuadas as adições e as subtrações. Se houver uma adição e uma subtração para serem resolvidas, fazemos primeiro a operação que estiver mais à esquerda. 3+ 7×4 Na expressão acima, o número 7 está ligado pela soma ao número 3 e pela multiplicação ao número 4. Assim, ao resolvê-la devemos efetuar primeiro a operação com maior prioridade. Segundo a regra de prioridade quanto às operações, sabemos que a multiplicação tem prioridade (regra I). Portanto, devemos efetuar primeiro a multiplicação 7x4. 3 + 7 × 4 = 3 + 28 Resolvida a multiplicação, podemos efetuar a soma entre 3 e 28 e obter o resultado final: 3 + 7 × 4 = 3 + 28 = 31 Costuma-se, para organizar melhor o raciocício, escrever as etapas de resolução uma em cima da outra, como na demonstração abaixo: 3+ 7×4 3 + 28 31 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 29 Matemática Note que se fizéssemos a soma primeiro, chegaríamos a um resultado diferente: 3+ 7×4 10 × 4 40 Os sinais de pontuação usados nas expressões numéricas são: os parênteses (), os colchetes [] e as chaves {}. Esse último resultado é considerado incorreto, pois contraria a regra de prioridade adotada na resolução das expressões numéricas. PRA PENSAR E RESPONDER A qual resultado teríamos chegado, se tivéssemos desobedecido a regra de prioridade e calculado a soma antes da multiplicação? Esse resultado estaria correto? Existe uma ordem prioritária para os sinais de pontuação. I - Primeiro são efetuadas as operações que estiverem dentro dos parênteses ( ); II - Depois, são efetuadas as operações que estiverem dentro dos colchetes [ ]; III - Por último, são efetuadas as operações que estiverem dentro das chaves { }; Exemplo: 3 × ( 7 + 4) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO A operação de soma contida pelos parênteses tem prioridade sobre a multiplicação e por isso deve ser efetuada primeiramente como mostrado abaixo: 162. Calcule o valor das expressões abaixo a) 76 – 4 x 15 + 21÷7 b) 20 + 56 ÷ 4 – 4 x 6 c) 270 – 3 x 9 x 5 + 21÷7 d) 38 – 480 ÷ 12 ÷ 8 – 13 e) 108 – 176 ÷ 16 x 8 – 13 f) 48 + 10 x 23 ÷ 5 – 46 g) 3 x 2 – 4 ÷ 2 + 1 h) 2055 x 3 ÷ 3 – 2000 x 4 ÷ 4 i) 9 x 4 – 9 x 3 j) 912 ÷ 24 + 4 x 9 – 7 x 10 k) 100 ÷ 10 + 9 x 10 – 144 ÷ 3 ÷ 4 l) 3 x 3 + 4 x 4 – 5 x 5 m) 99 ÷ 33 – 99 ÷ 11 ÷ 3 n) 76 x 4 x 5 – 76 x 20 o) 49 x 5 – 49 x 10 ÷ 2 163. Diga se as igualdades verdadeiras ou falsas: a) 4 x 7 + 4 x 2 = 4 x 9 b) 12 x 2 x 3 = 12 x 6 c) 12 x 0 + 1 = 12 d) 6 x 6 + 8 x 8 = 10 x 10 e) 12 ÷ 12 – 1 = 11 também são utilizados símbolos de pontuação, que indicam a sequência de resolução. abaixo 3 × ( 7 + 4) 3 × 11 33 Vamos pensar no outro exemplo: [56 ÷ (19 - 6 x 2)+12] Resolvemos este caso fazendo as operações na seguinte ordem: 1º lugar: as duas operações dentro do parênteses (lembre-se que, entre essas duas operações, a multiplicação tem prioridade). 19 – 6 x 2 = 19 – 12 = 7. são Ordem dos sinais de pontuação 2º lugar: as operações dentro dos colchetes. A divisão tem prioridade sobre a soma e deve ser calculada antes. [56 ÷ 7+12] = [8+12]. 3º lugar: a operação que sobrou dentro dos colchetes: [8+12] = 20. Escrevendo sucessivamente esses teríamos ao fim a resposta completa: A maneira como escrevemos a sentenças matemáticas é comparável, de certa forma, com a língua portuguesa escrita. Podemos até ousar um pouco e dizer que expressões numéricas são espécies de frases matemáticas (o nome certinho é sentença). [56 ÷ (19 - 6 x 2)+12] Da mesma maneira que nas frases usamos sinais de pontuação para evitar ambiguidades e confusões na leitura, nas expressões numéricas 20. 30 [56 ÷ (19-12)+12] [56 ÷ 7+12] [8+12] Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt cálculos Matemática Além de resolver as operações na ordem correta, é fundamental ser sistemático e organizado na hora de registrar o raciocínio no papel, de modo a facilitar a correção e o aprendizado da resolução por qualquer pessoa. Algumas boas dicas são: 1) Procure resolver somente uma operação por linha (pode-se resolver mais operações à medida em que for adquirindo mais facilidade). 2) Se for resolver mais de uma operação por linha, assegure-se que a segunda operação não dependa do resultado da primeira. e) (8 + 3) x (8 – 3) + 8 x 8 – 3 x 3 f) 3 x {(105 – 65) ÷ [4 x (1 + 2 x 2)]} 165. Relacione com os sinais >, < ou =: a) 4 + 5 x 2 (4 + 5) x 2 b) 4 + 5 x 2 4 + (5 x 2) c) (4 + 2) + 8 4 + (2 + 8) d) (2 x 6) x 7 2 x (6 x 7) e) (12 + 24) – 3 12 + (24 – 3) f) 9 x (8 ÷ 4) (9 x 8) ÷ 4 3) Lembre-se sempre de copiar os números e os sinais que não forem utilizados em nenhuma operação de uma linha para outra. Erros na cópia de um simples sinal podem prejudicar o resultado de uma expressão inteira. Potenciação A resolução de expressões numéricas exige duas qualidades fundamentais para se ter sucesso em matemática: PACIÊNCIA e CONCENTRAÇÃO. Procure fazer os exercícios sem pressa, pois poucos exercícios resolvidos corretamente valem mais do que muitos exercícios resolvidos erroneamente. João faz compras para um pequeno restaurante. Em cada um dos 7 dias da semana, ele compra 7 sacos de pão. Cada um dos sacos contém 7 pães. Quantos pães João compra por semana para seu restaurante? Se os resultados não baterem com os resultados do gabarito, confira as contas realizadas com atenção. Por isso é importante organizar os cálculos na folha de papel. Lembre-se que corrigir os próprios erros é uma etapa importante do aprendizado. Caso não tenha sucesso na correção, um amigo ou o professor podem ajudar, mas para isso (é bom repetir) é importante que os cálculos estejam registrados organizadamente no papel. Exemplo: { 2 . 5 – 9 : 3 + [ 2 + 5 . 2 ] } + (2 + 2 . 3) = = { 2.5 – 9 : 3 + [ 2 + 10 ] } + (2 + 2 . 3) = = { 2.5 – 9 : 3 + 12 } + (2 + 2 . 3) = = { 10 – 9 : 3 + 12 } + (2 + 2 . 3) = A potenciação acontece quando temos muitas multiplicações de um mesmo número. Veja o problema abaixo: Note que o resultado desse problema é o resultado da conta: 7×7×7 Pois são iguais os dias da semana, o número de sacos de pão e o número de pães em cada saco. Observe como escreveremos a multiplicação acima: 3 7×7×7 = 7 O número de tamanho maior indica qual é o número que está sendo multiplicado por ele mesmo. O número de tamanho menor e mais acima indica quantas vezes essa multiplicação ocorre. Essa forma de representar várias multiplicações é chamada de potenciação. 3 Podemos ler a potenciação 7 da seguinte forma: “sete elevado à terceira potência”. Da mesma forma, podemos escrever: 2 = { 10 – 3 + 12 } + (2 + 2 . 3) = 6 = 6 × 6 (seis elevado à segunda potência) 3 = { 7 + 12 } + (2 + 2 . 3) = 4 = 4 × 4 × 4 (quatro elevado a terceira potência) 5 = 19 + (2 + 2 . 3) = = + 19 + (2 + 6) = = 19 + 8 = 8 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 (oito elevado à quinta potência) Os números na potenciação tem as seguintes denominações: = 27 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 164. Calcule o valor das expressões abaixo a) [18 + 6 x (12 – 8)] ÷ 3 – 7 b) [3 + 14 x (17 x 6 – 81)] ÷ 9 – 18 c) 11 x[56 ÷ (125 ÷ 5 – 18)] – 34 d) 9 x [672 ÷ (144 ÷ 6 + 8 x 9)] A base indica qual número será multiplicado e o expoente indica quantas vezes essa multiplicação 2 é feita, repare acima que 6 = 6 × 6 = 36. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 31 Matemática 2 Quando o expoente é 2, como no caso 6 , podemos ler “seis elevado ao quadrado” ao invés de “seis elevado à segunda potência. Da mesma 3 forma, se o expoente for 3, como no caso 7 , podemos ler “sete elevado ao cubo” ao invés de “sete elevado à terceira potência”. Raiz quadrada EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO √4: raiz quadrada de quatro. 166. Calcular 2 5 a) 7 b) 2 4 8 g) 3 h) 2 3 c) 3 3 i) 9 12 d) 1 3 j) 11 3 e) 4 14 k) 1 7 f) 2 1 l) 7 167. Observe o exemplo abaixo e complete a tabela: Potência 3 4 2 8 9 3 11 3 1 9 7 1 2 8 7 3 6 4 3 5 Base Expoente Resultado 3 4 3 x 3 x 3 x 3 = 81 √9: raiz quadrada de nove. √16: raiz quadrada de dezesseis. A raiz quadrada é a operação inversa da potenciação ao quadrado. Para resolver o exemplo √4 e calcular a raiz quadrada de quatro, devemos fazer pensar: “Qual número elevado ao quadrado é igual a quatro?” 2 A resposta correta é 2, porque 2 = 4. Então temos que a raiz quadrada de quatro é igual a dois, ou seja: 2 √4 = 2, pois 2 = 4. Vamos agora calcular a raiz quadrada de nove, ou seja, √9. Devemos então pensar em: “Qual número elevado ao quadrado é igual a nove?” 2 168. Diga se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: 6 a) Na potenciação 15 , a base é 6. 2 3 b) A expressão 10 × 17 pode ser lida como “Dez sobre dois vezes dezessete sobre três.” 3 5 c) As potenciações 12 e 12 possuem a mesma base. 3 5 d) As potenciações 12 e 12 possuem o mesmo expoente. 2 3 e) A expressão 10 × 17 pode ser lida como “Dez elevado à dois vezes dezessete elevado ao quadrado.” 3 f) 2 = 2 + 2 + 2 3 2 g) (2 ) = 64 2 3 h) A expressão 10 × 17 pode ser lida como “Dez vezes dois vezes dezessete vezes três.” 2 3 i) A expressão 10 × 17 pode ser lida como “Dez elevado à dois vezes dezessete elevado ao cubo.” 169. Calcule as potenciações descritas abaixo: a) Cinco elevado ao cubo. b) Base sete, expoente dois. c) Expoente quatro, base cinco. d) Dois elevado à quarta. e) Base nove, expoente três. 32 Escrevemos a operação de raiz quadrada de um número utilizando o radical “√”, com o número do qual se quer saber a raiz quadrada abaixo do radical. Exemplos: A resposta é três, pois 3 = 9. Temos então que a raiz quadrada de nove é três. 2 √9 = 3, pois3 = 9. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 170. Escreva as seguintes operações resultado: a) Raiz quadrada de dezesseis. b) Raiz quadrada de quarenta e nove. c) Raiz quadrada de trinta e seis. d) Raiz quadrada de sessenta e quatro. e) Raiz quadrada de oitenta e um. e o 171. Calcule as raízes quadradas abaixo seguindo o exemplo do item a. 2 a) √36= 6, porque 6 = 36. b) √100 e) √25 c) √121 f) √1 d) √225 g) √64 Expressões Numéricas com potenciação e raíz quadrada Quando aparecem operações de potência e raiz quadrada nas expressões numéricas, essas passam a ter prioridade sobre a multiplicação e divisão e, por isso, devem ser efetuadas prioritariamente, na ordem que aparecerem. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Tomemos a expressão abaixo como exemplo: [23 × (10 + 5)] Deve-se calcular primeiramente as operações que estão dentro dos parênteses: [23 × (10 + 5)] 3 [2 × 5] Em seguida, resolvemos as operações dentro dos colchetes. Como é possível notar acima, existem duas operações a serem realizadas, a potenciação e a multiplicação. Como a potenciação tem prioridade sobre a multiplicação, ela deve ser resolvida primeiramente: [23 × 5] [8 × 5] Assim, resta apenas a multiplicação dentro do colchetes a ser efetuada. Após efetuá-la, encontramos a reposta final: h) √121 − √81 + 73 i) (32 − 7) × 4 j) √16 × (39 − 12 × 3) k) [122 − 43 ] × √25 Exercícios finais 173 . No texto abaixo, sublinhar as partes aonde há a utilização de números naturais. Além disso, responda se os números naturais encontrados estão sendo utilizados para representar quantidades ou ordenar elementos. (extraído de http://www.brasil.gov.br/saude/2014/10/campanhade-vacinacao-contra-sarampo-e-polio-comeca-emnovembro) Vacinação contra Sarampo e Polio começa em novembro EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Mobilização Nacional acontece entre 8 e 22 de novembro, em todo o Brasil. Meta é vacinar mais de 12 milhões de crianças O Ministério da Saúde anunciou, nesta quinta-feira (30), o lançamento da Campanha de Vacinação Infantil contra os vírus da Poliomielite e Sarampo, que acontece no próximo sábado (8). O Dia D de Mobilização Nacional será realizado em dois momentos: no 1º dia da campanha (8/11), e no dia 22 de novembro, último dia. A expectativa é de 11 milhões de crianças sejam vacinadas até o dia 28 de novembro. O lançamento da campanha será feito pelo ministro da Saúde, Arthur Chioro, no Ceará, estado estrategicamente escolhido por conta do alto número de transmissão de sarampo importado de outros lugares, como também acontece em Pernambuco. Ao todo, serão mais de 100 mil postos e 350 mil profissionais atuando na vacinação infantil. O ministro da saúde enfatizou a importância da mobilização: “É uma possibilidade de contribuir e ao País e ao cenário internacional, no enfrentamento das duas doenças. O Brasil recebe muitos turistas, então é extremamente importante que doenças de transmissão fácil tenha uma arma da prevenção segura.” Este é um ano especial para a saúde brasileira, pois são celebrados 35 anos de campanhas nacionais, sendo o Brasil um dos primeiros países do mundo a implantar a campanha contra poliomielite. "Estamos já há 25 anos sem casos de Poliomielite no Brasil’, comemora o secretário de Vigilância em Saúde, Jarbas Barbosa. 172. Calcule: Poliomelite [8 × 5] 40. Se, em vez da potência, houvesse uma raiz quadrada, seguiríamos a mesma sequência de cálculo, como é mostrado abaixo: [√121 × (10 + 5)] [√121 × 5] [11 × 5] 55. No caso de aparecerem simultaneamente uma potência e uma raiz quadrada, efetuaremos a que vier primeiro (a que estiver mais à esquerda). Vejamos o exemplo abaixo como ilustração: {√81 × 32 + 10} Primeiro resolveremos a raiz quadrada, pois ela aparece antes da potência. Logo em seguida, efetuaremos a potência. Depois são efetuadas, em sequência, a multiplicação e a soma: �√81 × 32 + 10� {9 × 32 + 10} {9 × 9 + 10} {81 + 10} 91 a) 42 − 12 d) 1561 − 122 b) 19 + √36 f)(112 − 111 ) × 6 c) √144 − 120 e) √225 × 33 − 152 g) 266 × �√256 ÷ 42 � Neste ano, serão distribuídas cerca de 17,8 milhões de doses da vacina oral poliomielite (VOP). A vacinação terá como população-alvo crianças a partir de 6 meses até menores de 5 anos. Para crianças com mais de 6 meses de Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 33 Matemática idade que estejam com esquema vacinal atrasado, é recomendada a vacina inativada da poliomielite (VIP), que é feita de forma injetável. Jarbas Barbosa apontou a vantagem da vacina oral: “além de ser segura, produz imunidade intestinal, multiplica o vírus vacinal e produz proteção local. A criança vai expelindo nas fezes o vírus. A vacina produz uma imunidade de rebanho, pois vai sendo liberada no meio ambiente, o que também possibilitou a erradicação da poliomielite.” Sarampo Diferente da poliomielite, o Sarampo ainda é muito presente no mundo inteiro. Há a presença do vírus na Europa, Ásia e África. No total, são 155 mil casos registados no mundo, o que abre espaço ao vírus importado, trazido e levado por viajantes. O Sarampo é uma doença de grande contagiosidade, e por conta disso, é preciso apostar na Campanha de Seguimento, que é voltada não só para quem está com o calendário vacinal atrasado, mas como um reforço para quem já tomou, pois muitas vezes o indivíduo não criou imunidade. O público-alvo da vacinação da chamada Tríplice Viral – que também protege contra rubéola e caxumba - são crianças de 1 a 5 anos incompletos. A estimativa é promover a vacinação de 10,9 milhões de crianças. Tecnologia O ministério da saúde lançou também um aplicativo com a carteira de vacinação online. A tecnologia já está disponível para o sistema Android e em breve será lançada para o sistema IOS. 174. Observe a tabela abaixo e responda se as frases abaixo são verdadeiras ou falsas. 8 3 4 1 5 9 6 7 2 a) Somando-se os algarismos em qualquer uma das linhas, o resultado é sempre 15. b) Somando-se os algarismos em uma mesma coluna, o resultado é 9 na primeira coluna, 17 na segunda coluna e 15 na terceira coluna. c) Somando-se as duas diagonais centrais, o resultado também é sempre 15. o quadrado mágico a seguir de modo que a soma em qualquer linha, coluna e nas duas diagonais centrais seja sempre 12. 1 4 0 176. Descubra você mesmo um quadrado mágico 3 x 3 no qual a soma em qualquer linha, coluna ou diagonais centrais seja sempre 21. Pode utilizar números maiores que 10, se necessário. 177. Calcular: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) 56 + 12 115 + 72 73 − 15 86 − 14 97 − 49 1149 + 147 2495 + 1500 197 − 49 228 + 207 1142 + 5469 7429 + 8947 9174 + 8255 405 + 243 1645 + 8253 101004 + 937000 8404 + 8808 3756 + 5005 102008 + 909902 348 − 121 7889 − 825 7889 − 6850 108890 − 8250 1000000 − 999998 2300000 − 1999998 178. Compare e relacione com o sinal = ou ≠: a) b) c) d) e) f) g) h) 10÷2 e 5 400÷10 e 400 1200÷10 e 10 0÷25 e 0 0÷18 e 18 8÷8 e 8 18÷18 e 1 10÷1 e 10 179. Calcular: 175. A tabela do exercício anterior é chamada de quadrado mágico, por que a soma em cada linha, em cada coluna e nas duas diagonais centrais resulta sempre em um mesmo número. Complete 34 142 × 3 b) 42 ÷ 3 a) Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática n) 192 ÷ 3 417 × 9 524 × 5 247 × 7 923 × 6 1264 × 8 777 × 2 2 × 428 2068 ×1 520 × 0 41×10 636 × 7 o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) z) aa) bb) cc) dd) ee) ff) gg) hh) 425÷25 850÷25 1700÷25 1750÷25 0÷25 430÷1 1800÷100 1810÷10 1215÷27 444÷37 4590÷102 3451÷27 2940÷84 1040÷52 423÷12 832÷15 396÷23 1407÷54 14631÷72 2006÷93 c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) 180. Diga se as comparações matemáticas indicadas são verdadeiras ou falsas. Escreva todas as comparações corretamente, na forma matemática. a) Oitenta e quatro é menor que sessenta e cinco. b) Quarenta e sete é igual a quarenta e sete. c) Cinquenta e nove é menor que cento e dezesseis. d) Quatrocentos e cinco é maior que quatrocentos e cinco. e) mil duzentos e cinqüenta e seis é menor que mil duzentos e cinqüenta e cinco. f) sete milhões quatrocentos e noventa mil é igual do que um milhão e cinco. g) mil e sete é menor que cem mil e seis. 181. Classifique como verdadeiro ou falso cada um dos itens abaixo: a) 78 + 27 < 105 – 89 b) 8*5 < 9*5 c) 5*4 < 3*4 d) 0*8 = 0*10 e) 1*85 < 1*73 f) 98/2 > 5*15 g) 66/2 > 66/3 h) 128/2 > 130/2 182. Classifique como verdadeiro ou falso: a) 9 – 6 > 5 – 4 b) 4 – 5 = 5 – 4 c) 5 – 5 = 20 – 20 d) 9 – 1 = 9 – 3 e) 10 – 6 > 7 – 6 183. No capítulo de divisão, aprendemos que: I. se multiplicarmos o dividendo e o divisor pelo mesmo número, o resultado da divisão permanece o mesmo; II. se dividimos o dividendo e o divisor pelo mesmo número, o resultado da divisão também parece o mesmo; Indique quais igualdades abaixo demonstram essas propriedades: a) 32 ÷ 8 = (32 x 2) ÷ (8 x 2) b) 330 ÷ 15 = (30 + 30) ÷ (3 x 5) c) 330 ÷ 15 = (330 ÷ 3) ÷ (15 ÷ 3) d) 2 ÷ 1 = (2 x 5) ÷ (1 x 5) e) 2 ÷ 1 = (2 x 10) ÷ (1 x 10) f) 1024 ÷ 512 = (1024 ÷ 2) ÷ (512 ÷ 2) 184. A professora de João passou 4 contas de divisão muito difíceis para casa. Para resolver, ele utilizou a propriedade que vimos no exercício anterior, porém ele pode ter errado em algumas contas. Corrija as contas de João abaixo, indicando se existe algum erro. a) 128 ÷ 32 = =(128 ÷ 2) ÷ (32 ÷ 2) = = 64 ÷ 16 = = (64 ÷ 2) ÷ (16 ÷ 2) = = 32 ÷ 8 = = (32 ÷ 2) ÷ (8 ÷ 2) = = 16 ÷ 4 = =4 b) 1980 ÷ 330 = = (198 x 10) ÷ (33 x 10) = = 198 ÷ 33 = =5 c) 1600 ÷ 40 = = (160 x 10) ÷ (4 x 10) = = 160 ÷ 4 = = 40 d) 2400 ÷ 800 = = (24 x 100) ÷ (8 x 100) = = 24 ÷ 8 = =2 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 35 Matemática 185. Em um caderno de 100 folhas, foram utilizadas 67 folhas. Quantas folhas em branco restam? 186. Uma pessoa caminhou em uma esteira por 35 minutos em uma sexta feira, 41 minutos no sábado e 17 minutos no domingo. a) Qual o tempo total de caminhada, em horas e minutos, juntando-se os 3 dias? b) Qual a diferença de tempo de caminhada entre sábado e domingo? 187. Cada engradado de cerveja tem capacidade para 24 garrafas. a) Quantas cervejas consigo armazenar em 4 engradados? b) Quantos engradados são necessários para armazenar 100 garrafas? 188. O edifício mais alto do mundo, nos Emirados Árabes Unidos, tem 828 metros de altura. Já o edifício mais alto do Brasil, em São Paulo, tem 170 metros de altura. a) De quantos metros o edifício mais alto do mundo excede o edifício mais alto do Brasil? b) Quantos edifícios brasileiros poderiam ser “empilhados”, caso isso fosse possível, de modo que a altura total superasse a altura do maior edifício do mundo? 189. O americano Brian Shaw foi eleito o homem mais forte do mundo em 2013. Nesse ano, ele levantou um peso de 509 quilos. Dado que uma pessoa normal pesa 75 quilos, quantas pessoas Brian Shaw conseguiria levantar ao mesmo tempo? 190. Uma “légua terrestre antiga” corresponde a 6.600 metros. (fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Légua). a)Quantos metros temos em 49 léguas? b)Quantas léguas temos em 231000 metros? 191. Um determinado tipo de cerca tem o custo de 75 reais por 5 metros de cerca. Dado que o terreno a ser cercado tinha um comprimento total de 135 metros, qual a quantia em dinheiro gasta para cercar o terreno? 192. Um chocolate custa 3 reais e a barra comprada tem 180 gramas. Um ovo de páscoa custa 15 reais e o peso do mesmo é de 540 gramas. a)Se eu tenho dinheiro para comprar três barras de chocolate, quanto falta para comprar o ovo de páscoa? b) Quantas barras de chocolate são necessárias para que o peso seja igual ao do ovo de páscoa? 36 c) Qual seria o preço total das barras de chocolates calculadas na questão anterior? 193. Ao medir o comprimento de uma mesa, uma pessoa dispunha apenas de uma régua de 30 centímetros. Essa pessoa mediu o comprimento da palma de sua mão, obtendo 15 centímetros e depois mediu a mesa com a sua própria mão, obtendo 13 palmos. a) Qual o comprimento da mesa? b) Se essa pessoa for medir o comprimento de uma tábua de 105 centímetros, quantos palmos ela obterá? 194. Uma fábrica de computadores construiu um galpão para armazenar os computadores até a venda. Então, essa fábrica produziu muitos computadores até o galpão ficar cheio e quando as vendas começaram, todo o estoque foi comercializado. Com essa venda, a empresa arrecadou 546.750 reais. 225 mil reais foram utilizados para pagar o custo de produção e com o lucro restante, constataram que o lucro por cada unidade vendida foi de 715 reais. a) Quantas unidades foram vendidas? b) Qual era o preço de cada computador na loja? 195. Em uma viagem da cidade A para a cidade B, um carro percorre 37 quilômetros antes de parar no primeiro posto de gasolina. Depois percorre 124 quilômetros antes de parar no segundo posto de gasolina e depois percorre mais 65 quilômetros. Ao consultar um mapa para analisar o percurso, o motorista percebe que errou o caminho e retorna 87 quilômetros, chegando finalmente à cidade B. Qual a distância entre as duas cidades? 196. Acompanhe, na lista abaixo, algumas das datas importantes ao longo da história do Brasil. 1500 – A expedição de Pedro Álvares Cabral chega ao Brasil. 1501 – Américo Vespúcio faz uma expedição exploratória na costa brasileira. 1504 – Chegam ao Brasil navegadoresfranceses para exploração do território. 1530 – É instituído o regime de capitanias hereditárias por Dom João III. A expedição colonizadora de Martim Afonso chega ao Brasil. 1549 – A cidade de Salvador é fundada. é constituído o primeiro governo geral do Brasil com Tomé de Souza. 1554 – Fundação da cidade de São Paulo. 1570 – A liberdade dos índios é garantida pela Carta régia. 1567 - Os franceses são expulsos do Rio de Janeiro. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 1624 – Os holandeses invadem a Bahia; os portugueses estabelecem a resistência. 1654 - Expulsão definitiva dos holandeses do Brasil. 1789 – Inconfidência Mineira, primeiro dos movimentos emancipacionistas que caracterizam a crise do Sistema Colonial. 1822 – Dom Pedro proclama a independência do Brasil. (7 de setembro) 1840 - Dom Pedro de Alcântara tem antecipada sua maioridade e se torna o segundo Imperador do Brasil. 1888– Abolição da escravidão por força da Lei Áurea. 1889 – Chega ao fim o período do Império, pois é proclamada a República. 1930 – Inicia no Rio Grande do Sul e no nordeste a Revolução de 1930, dando fim à Primeira República (ou República das Oligarquias) e início da Era Vargas. 1932 - Novo Código Eleitoral estabelece o voto secreto e o direito das mulheres votarem e serem votadas. 1950 - Eleições presidenciais. Vitória de Getúlio Vargas. 1964 - É deflagrado o golpe político-militar que afasta João Goulart (Jango). O marechal Castelo Branco assume a presidência da República. Ato Institucional suspende direitos políticos de centenas de pessoas. 1985 - Em eleições indiretas para a Presidência da República o candidato da oposição Tancredo Neves é eleito o novo Presidente do Brasil, entretanto devido a problemas de saúde não assume e em 21 de abril, é anunciada a sua morte. Adaptado de: http://www.sohistoria.com.br/ef2/lista/ Agora, responda as questões: a) Juntando-se as idades de Salvador e São Paulo, qual o resultado? b) Juntando-se a duração das invasões francesas e holandesas, quantos anos resultam? c) Quanto tempo temos entre a primeira expedição exploratória no Brasil e o fim da escravidão através da Lei Áurea? d) Após a proclamação da república, quanto tempo temos até o direito das mulheres votarem ser estabelecido? e) Quanto tempo temos entre o golpe militar e a primeira eleição direta para presidente após 1964, cujo vencedor foi Tancredo Neves? f) Dado que Dom Pedro de Alcântara governou desde a sua aclamação até o fim do período imperial, quanto tempo governou? g) Quanto tempo durou a República Velha Brasileira, da proclamação da república até a era Vargas? h) Quanto tempo temos entre as eleições presidenciais de 1950 e o golpe militar? i) Há quantos anos ocorreu a inconfidência mineira? 197. Uma determinada bactéria tem a capacidade de se duplicar a cada 1 hora e 48 minutos. Supondo que, em um laboratório, a existência de três bactérias deste tipo tenha sido constatada às 8:00. Qual a quantidade de bactérias no laboratório às 17:00? 198. A primeira tabela abaixo mostra a população dos diversos estados brasileiros. Já asegundatabela mostra os estados brasileiros e as correspondentes regiões. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 37 Matemática d) Quantas barras de chocolate devo comprar para obter a mesma quantidade de chocolate encontrada em um ovo de páscoa? Qual será o preço total dessas barras? e) Um grande restaurante fez uma compra de requeijão neste supermercado, gastando ao todo 150 reais. Qual o peso total, em gramas, de todo o requeijão adquirido? f) O supermercado decidiu fazer uma promoção com o preço do refrigerante. A promoção consistia em vender cada grupo de 6 refrigerantes pelo preço de 5 refrigerantes. Qual a quantidade máxima de litros de refrigerante que podem ser comprados com 41 reais? (fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_unidad es_federativas_do_Brasil_por_popula%C3%A7% C3%A3o). Descubra qual região brasileira é a terceira mais populosa. 199.Observe a tabela de preços do supermercado: Quilo de arroz 2 reais Refrigerante 2 litros 3 reais Barra de chocolate (170 gramas) 4 reais Ovo de páscoa (500 gramas) 15 reais Quilo de limão 1 real Quilo de tomate 2 reais Pote de requeijão (200 g) 3 reais a) Calcule o preço final da seguinte lista de compras: 2 quilos de arroz, 1 garrafa de refrigerante, 2 ovos de páscoa e 3 quilos de limão. b) Calcule o preço final da seguinte lista de compras: 2 quilos de limão, 2 quilos de tomate e dois potes de requeijão. Qual seria o troco para uma nota de 50 reais? c) Quantas barras de chocolate pesam, juntas, 1190 gramas? 38 200. A empresa de taxi “TaxiFast” cobra uma taxa de 2 reais por passageiro e cobra mais 3 reais por quilômetro rodado. Já a empresa “B-Taxi” cobra 8 reais por passageiro e 2 reais por quilômetro rodado. a) Em uma corrida de 5 quilômetros , qual empresa devo escolher para pagar menos pela corrida? De quanto é a diferença de preço entre as duas empresas? b) Em uma corrida de 25 quilômetros , qual empresa devo escolher para pagar menos pela corrida? De quanto é a diferença de preço entre as duas empresas? c) Em uma corrida de 6 quilômetros , qual empresa devo escolher para pagar menos pela corrida? De quanto é a diferença de preço entre as duas empresas? 201. Uma dúzia equivale a 12 unidades. Quantas dúzias de bananas representam 144 bananas? 202. Resma de papel é o nome dado a 500 folhas de papel. Sabendo disso, quantas folhas de papel temos em 25 resmas? 203. Um quilômetro tem 100 metros e um metro tem 100 centímetros. Quantos centímetros tem 1 quilômetro? 204. Em um mapa, resolvemos medir a distância entre São Paulo – capital e Limeira (uma cidade do interior de SP), obtendo o valor de 5 centímetros. a) Sabendo que a escala do mapa é de 1 cm : 3.000.000 cm, determine a distância real de São Paulo a Limeira, em centímetros. b) Sabendo que um quilômetro vale cem mil centímetros, determine essa mesma distância em quilômetros. 205.Quantos segundos tem em uma hora? 206. Quantas semanas completas temos em 1 ano? Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 207. Abaixo, temos uma tabela que mostra o período das estações do ano: Primavera 21 setembro até 20 dezembro Verão 21 dezembro até 20 março Outono 21 março até 20 junho Inverno 21 junho até 20 setembro E logo abaixo, temos outra tabela, que mostra quantos dias tem cada mês: • Janeiro tem 31 dias • Fevereiro tem 28 (ou 29 dias nos anos bissextos) • Março tem 31 dias • Abril tem 30 dias • Maio tem 31 dias • Junho tem 30 dias • Julho tem 31 dias • Agosto tem 31 dias • Setembro tem 30 dias • Outubro tem 31 dias • Novembro tem 30 dias • Dezembro tem 31 dias a) Quantos dias tem a primavera? b) Entre os feriados de 1 de maio de 7 de setembro passam-se quantos dias? E quantas estações do ano? 208. Um ônibus tem 45 lugares. Supondo que hajam ônibus suficientes para transportar 337 pessoas, quantos lugares irão ficar vazios? 209. Em um campeonato de futebol, cada vitória vale 2 pontos, cada empate 1 ponto e cada derrota vale 0 pontos. O campeão é o time que somar o maior número de pontos no campeonato. Em caso de empate no número de pontos somados, o vencedor será o time com maior saldo de gols (diferença entre gols feitos pelo time e gols sofridos pelo time). Em caso de dois times com mesmo número de pontos e mesmo saldo de gols, o campeão será o time com maior número de vitórias. Quatro times (Time A, Time B, Time C e Time D) disputaram este campeonato em dois turnos e a tabela com os resultados é dada abaixo. Com base nesta tabela, descubra qual foi a classificação final do campeonato. 210. Uma piscina tem capacidade para 500 litros de água. A única mangueira disponível enche uma garrafa de 1 litro em 20 segundos. Em quanto tempo essa mangueira pode encher a piscina? 211. Em um posto de gasolina, o custo do combustível é de 3 reais por litro. Um determinado veículo gasta 5 litros desse combustível e percorre uma distância de 75 quilômetros em 1 hora em um dia de sábado. Em um dia normal de semana, o veículo gasta os mesmos 5 litros para percorrer 50 quilômetros em 1 hora, devido ao trânsito. a) Quantos quilômetros o carro percorre por litro em um dia de sábado? E em um dia normal? b) Se esse veículo percorre uma distância de 150 quilômetros, qual será o custo em um dia de sábado? E em um dia normal? c) Nas condições do ítem b, qual será o tempo utilizado pelo veículo em um dia de sábado? E em um dia normal? d) Após encher o tanque em um fim de semana, o carro esgota o combustível após percorrer 675 quilômetros. Calcule a capacidade do tanque de combustível. Calcule quanto tempo demorou essa viagem. 212. Quantos quadrados de 1 metro de lado cabem nas seguintes figuras? Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 39 Matemática 219. Em uma sala quadrada de lado 6 metros, cabem quantos pisos quadrados de 1 metro de lado? a. 220. Em outra sala quadrada cabem 81 pisos quadrados de 1 metro de lado. Qual é o comprimento de cada lado da sala? b. c. 221. As maioria das bactérias se reproduz de forma assexuada e por bipartição, ou seja, conseguem se duplicar sozinhas de modo que, se antes da reprodução existe uma bactéria, após a reprodução existem duas bactérias (adaptado de http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Reinos/bi omonera3.php). Desse modo, suponha que em um laboratório, as 8:00hs exista uma bactéria e que ela se reproduza a cada minuto. Qual será a quantidade de bactérias no laboratório às 8:05hs? d. e. 213. O perímetro de uma figura geométrica é a soma dos seus lados. Sabendo disso, calcule o perímetro das figuras geométricas do exercício 85. 222. Imagine que uma certa dívida no banco dobre a cada cinco anos. Se essa dívida é de cento e quarenta e quatro reais em 1989, quanto ela valerá agora? 223. Observe a pintura abaixo: 214. Se um carro percorre 270 metros em 3 segundos, quantos metros percorre em um segundo? 215. Sabendo que 1 metro tem 100 centímetros, calcule quantos centímetros tem 4 metros. 216. Diga se é verdadeiro ou falso: a) O menor número natural existente é o zero. b) O maior número natural é 10000000056897. c) Na expressão 5 x 9 + 4, resolvemos primeiro a soma. d) Todo número adicionado a 1 é igual a ele mesmo. e) Todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo. 217. Escreva as multiplicações com maior número possível de fatores que resultam nos números a seguir (os fatores devem ser diferentes de 1): a) 50 b) 36 c) 20 d) 45 e) 54 f) 80 g) 100 h) 120 i) 40 218. Resolva as potências a seguir: a) Base quatorze, expoente dois. b) Base treze, expoente três. c) Raiz quadrada de cento e quarenta e quatro. O nome dessa pintura é Melancholia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. No canto superior direito do quadro, em um quadrado parecido com uma janela abaixo do sino, se encontram as inscrições (convenientemente alteradas): d) Raiz quadrada da raiz quadrada de dezesseis. e) Raiz quadrada de nove ao quadrado. f) Raiz quadrada de três à quarta. 40 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática A soma dos números nas posições simbolizadas abaixo é 34. Curiosidade:O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown o símbolo perdido” Complete a tabela com os números que estão faltando, baseado na descrição dada. As inscrições representam os números abaixo. Alguns estão apagados. 3 5 9 6 2 11 8 12 14 1 Segundo o site: http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gi co temos a seguinte descrição dessa tabela. “Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades: Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra. Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra é A), de “Dürer, Albrecht”. A soma dos números de qualquer das linhas é sempre 34 A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34 A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34 A soma dos 4 números que nas 4 casas centrais é 34 A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34 A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34” Mais dois fatos interessantes são: A soma dos números nas posições simbolizadas abaixo é 34. 224. O problema dos quatro quatros. O problema foi apresentado no livro O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, que utiliza o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar os números naturais, através de expressões, utilizando quatro quatros. Observe os exemplos: 0 = 44 - 44 1 = (4 x 4)÷(4 + 4) Escreva os números de 0 a 10 utilizando quatro quatros. Não utilize os exemplos dados. 225. Em um laboratório são estudadas três tipos de bactérias: bactéria A, bactéria B e bactéria C. As bactérias se replicam da seguinte maneira: Bactéria A: duplica a cada minuto. Bactéria B: triplica a cada minuto. Bactéria C: quintuplica a cada minuto. Os três tipos de bactérias estão em três frascos diferentes, e inicialmente há uma bactéria em cada frasco. a) Quantas bactérias haverá de cada tipo após 1 minuto? b) Quantas bactérias A haverão após 10 minutos? Escreva a potência que representa essa quantidade. c) Quantas bactérias B haverão após 6 minutos? Escreva a potência que representa essa quantidade. d) Quantas bactérias C haverão após 5 minutos? Escreva a potência que representa essa quantidade. 226. Uma dona de casa, ao fazer bolinhos de chocolate quebra as barras de chocolate até obter pequenos quadradinhos, todos com aproximadamente 1 centímetro de comprimento. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 41 Matemática Ao preparar a receita, ela se utilizou de 9 quadradinhos que haviam sido guardados na geladeira e comprou mais duas barras de chocolate no supermercado. Uma das barras media 7 centímetros de largura e 3 centímetros de comprimento, enquanto a outra media 5 centímetros de largura e 4 centímetros de comprimento. Ao quebrar essas duas barras em quadradinhos e preparar a receita, ela obteve 25 bolinhos, dos quais 9 foram dados de presente à vizinha. Quantos quadradinhos de chocolate foram utilizados para fazer os 9 bolinhos que a vizinha comeu? Tarefas para Casa Tarefa I 1. Encontre todos os números de três algarismos que podem ser construídos utilizando apenas os algarismos 3, 9, 8. Depois, indique a quantidade de centenas, dezenas e unidades que cada algarismo representa nos números formados. 2. Dentre os números maiores que 10 e menores que 100, escreva aqueles que apresentam a soma dos algarismos igual a 9. 3. Clarice parou de ler um livro na página 86. Sabendo que o livro tem 212 páginas, quantas páginas faltam pra ela terminar a leitura? Em que página do livro ela estará quando faltarem 38 páginas para terminar a leitura? 4. Efetue as operações: a) 758+498 b) 1257+362 c) 843-652 d) 324-192 e) 1615-728 5. Com base nos seus conhecimentos sobre cálculo de idades, responda: a) Quantos anos tem alguém que nasceu em 1953? b) Quantos anos viveu alguém que nasceu em 1898 e faleceu em 2002? c) Quantos anos de descobrimento o Brasil completou em 1987? Leia o texto abaixo para responder à questão 6: Se você perguntasse a alguém nas ruas de São Paulo em qual ano estamos, certamente ouviria 2015 como resposta. No entanto, se estivéssemos num país islâmico, a resposta seria bem diferente. Isso porque em países islâmicos é utilizado um calendário diferente do que é usado nos países ocidentais. Vamos conhecer um pouco mais sobre esses calendários. Calendário gregoriano Nos países ocidentais, é adotado como padrão um calendário de origem européia,promulgado pelo 42 Papa Gregório XIII, em 24 de Fevereiro de 1582. É o chamado calendário gregoriano. Trata-se de um calendário solar, o que significa que ele está sincronizado com o movimento do Sol. No calendário gregoriano,é adotado como início da contagem o nascimento de Jesus. Calendário islâmico Em países islâmicos, é adotado o calendário islâmico que, diferentemente do gregoriano, é lunar e por isso está sincronizado com o movimento da Lua. Isso provoca uma pequena diferença na duração dos anos, fazendo com que o ano lunar seja cerca de 11 dias menor que o ano solar. Outra diferença do calendário islâmico é o marco inicial de contagem. Nele, a contagem começa a partir da viagem que Maomé e seus seguidores fizeram no ano 622, do nosso calendário, partindo da cidade de Meca em direçãoà cidade de Medina. 6) Com base no texto, responda: a) Ignorando a diferença de 11 dias entre o ano solar e o ano lunar, qual é o ano atual num país de calendário islâmico? b) Com base na resposta do item acima, diga em que ano no calendário islâmico nasceu alguém que tem 38 anos de idade? c) A sua idade mudaria se contasse os anos com o calendário islâmico? Explique sua resposta. d) Agora considere a diferença entre a duração entre o ano solar e lunar (11 dias) e calcule o ano atual no calendário islâmico. Tarefa II 1. Uma quitanda comprou 25 caixas de ovos. Cada caixa contém 12 dúzias de ovos. a) Quantos ovos tem em cada caixa? b) Quantos ovos a quitanda comprou no total? 2. O quitandeiro vende os ovos em cartelas com 30 ovos. Quantas cartelas ele pode formar com os ovos comprados? 3. Em cada prateleira o quitandeiro consegue colocar 8 cartelas. Quantas prateleiras são necessárias para acomodar todas as cartelas? 4. O quitandeiro pagou 3 reais por cada dúzia de ovos. E ele vende cada cartela (com 30 ovos) por 15 reais. a) Quanto foi gasto para comprar as 25 caixas? b) Quanto recebeu a quitanda após vender todos os ovos? c) De quantos reais foi o lucro? 5. Se a quitanda consegue vender as 25 caixas de ovos em uma semana, qual será o lucro obtido com a venda de ovos em um ano? Considere que um ano tem 52 semanas. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Leia o texto e responda: “Cidade de São Paulo irá implantar 400 km de ciclovia Data da matéria: 11/06/2014 A Prefeitura de São Paulo pretende implantar 400 km de ciclovias em toda a cidade até dezembro de 2015. O projeto faz parte do Plano de Metas apresentado pelo prefeito Fernando Haddad (PT) para ser executado até 2016, quando termina sua atual gestão.Atualmente, a cidade possui 63 km de ciclovias. O primeiro trecho dos 400 km de ciclovias foi inaugurado como projeto piloto na semana passada e possui cerca de2 km de extensão. O novo trecho começa no Largo do Paissandú, passa pela Rua Antônio de Godói, Rua Cásper Líbero e Rua Mauá, até a Sala São Paulo, no Centro da capital. Segundo estimativas, o custo total das obras é de R$ 80 milhões. Parte dos recursos devem ser disponibilizados pelo Fema (Fundo Municipal do Meio Ambiente) que já possui R$ 10 milhões do total da obra. De acordo com a Secretaria, o projeto pretende não eliminar faixas de rolamento para não provocar impactos no trânsito, a não ser em casos específicos. Nesses casos excepcionais serão retirados da faixa esquerda das vias a cobrança da Zona Azul, espaço reservado para o estacionamento de carros e táxis. De acordo com a administração, o cumprimento da meta deixará São Paulo com total de ciclovias próximo do que há em outras cidades do mundo. O levantamento da administração municipal aponta que Berlim lidera o ranking com 750 quilômetros. Além dos 400 km do novo plano, há previsão de inauguração de 150 quilômetros de ciclovias que devem ser implantadas junto aos futuros corredores de ônibus, além dos 63 km já existentes. A instalação de ciclovias é uma das estratégias apontadas por especialistas em trânsito para oferecer outras opções para o transporte na cidade. Em maio de 2014, São Paulo atingiu novo recorde de congestionamento, com 344 km de vias congestionadas em 23 de Maio. Texto adaptado de: http://g1.globo.com/sao-paulo/noticia/2014/06/sp-ira-implantar400-km-de-ciclovia-ao-custo-de-r-80-milhoes.html http://g1.globo.com/sao-paulo/noticia/2015/04/camera-emciclovia-cria-big-brother-da-prefeitura-para-contar-ciclistas.html 6) Se 400 quilômetros de ciclovia custam 80.000.000 de reais, quanto custa cada quilometro de ciclovia? 7) Qual o custo estimado do projeto piloto feito no centro da cidade? 8) Responda: a) Qual será a extensão total da futura malha cicloviáriade São Paulo se somarmos as ciclovias existentes, o novo plano da prefeitura e a previsão de ciclovias nos futuros corredores? b) De que forma podemos estimar o custo de toda essa malha? 9) Quantos quilômetros de ciclovia é possível construir com o valor que será disponibilizado pelo Fema? 10) Se utilizarmos o valor por quilometro estimado para São Paulo, qual foi o custo para implantar toda a malha de ciclovias da cidade de Nova Iorque? Para responder, observe o gráfico abaixo, que relaciona cada cidade com sua respectiva malha cicloviária, dada em quilômetros. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 43 Matemática Tarefa III 1) Em um laboratório são estudadas três tipos de bactérias: bactéria A, bactéria B e bactéria C. As bactérias se replicam da seguinte maneira: • • • Bactéria A: duplica a cada minuto. Bactéria B: triplica instantaneamente a cada 2 minutos. Bactéria C: quintuplica instantaneamente a cada 3 minutos. Os três tipos de bactérias estão em três frascos diferentes, e inicialmente há uma bactéria em cada frasco. a) Quantas bactérias haverá de cada tipo após 1 minuto? Passados 12 minutos, responda: b) Quantas bactérias A haverão no frasco? Escreva a potência que representa essa quantidade. c) Quantas bactérias B haverão no frasco? Escreva a potência que representa essa quantidade. d) Quantas bactérias C haverão no frasco? Escreva a potência que representa essa quantidade. 2) Em uma rua há 4 estacionamentos, em cada estacionamento há 4 automóveis, em cada automóvel há 4 rodas e em cada roda há 4 parafusos. Qual é o total de parafusos desses 4estacionamentos? 3) José recebeu no celular uma corrente que pedia que a mensagem fosse passada para três pessoas. No dia seguinte José repassou a corrente para 3 pessoas. Passado mais um dia, cada uma dessas pessoas mandou a mensagem para outras 3 pessoas. c) Qual a potência que representa a quantidade de pessoas que terão recebido a mensagem após 30 dias? Leia o texto e responda: “Origem do Nome e do Símbolo da Raiz Quadrada Encontrar a Raiz Quadrada de um número é encontrar um número, que multiplicado por si próprio, seja o valor que está na raiz. Mas o que a palavra "RAIZ" tem a ver com isso? Porque, em nossa língua a palavra RAIZ tem a ver com planta, árvore, mas não com número. Para isso, temos que voltar um pouco na história da matemática, para entender como surgiu a raiz quadrada de um número. Em 1202, no livro líber abbaci (livro do ábaco ou livro de cálculo) de Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, traz da seguinte maneira o que hoje chamamos de raiz quadrada: "radixquadratum9aequalis3" Está escrito em latim, que traduzindo para o português, é: "O lado do Quadrado de 9 é igual a 3". Podemos perceber que a palavra Radix não tem nada a ver com Raiz, pois, a tradução correta de Radix é Lado. Na verdade o que se diz é: o quadrado de área 9 tem lado igual a 3. Observe as figuras: O quadrado acima tem lado medindo 3 e área medindo 9. O quadrado acima tem lado medindo 4 e área medindo 16. Suponha que cada pessoa que recebe a mensagem continuem repassando, após um dia, para outras 3 pessoas. Responda: a) após 4 dias quantas pessoas terão recebido a mensagem? A origem do símbolo √ está associado ao abreviamento da palavra radix, que com o passar do tempo, foram se fazendo cópias em cima de cópias, o que acabou resultando no símbolo que usamos hoje em dia, um alongamento ou variância da letra r.” b) após 6 dias quantas pessoas terão recebido a mensagem? 44 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 6) Calcule 7² e desenhe o quadrado de lado 7. Adaptado de: http://matematicaenigmatica.blogspot.com.br/2009/11/origemdo-simbolo-da-raiz-quadrada.html http://www.prandiano.com.br/html/fr_aula.htm 4) Desenhe o quadrado de lado 5 e calcule √25. 7) José foi ao supermercado e comprou 5 pacotes de feijão a 3 reais cada pacote e 7 caixas de leite a 3 reais cada caixa. José notou que o quilo da sobrecoxa de frango estava 6 reais na promoção, levando então 2 quilos para um churrasco no fim de semana. José pagou com uma nota de 50 reais. a) Qual a expressão que representa o valor que José recebeu de troco? b) Resolva essa expressão, descobrindo o resultado correto. 5) Desenhe o quadrado de área 36 e calcule √36 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 45 Matemática PROPRIEDADES DOS NOS NATURAIS Neste capítulo estudaremos algumas propriedades dos Números Naturais. Na verdade, vamos estudar mais profundamente a multiplicação e, principalmente, a divisão de números naturais. Não tem como estudar este capítulo sem saber fazer essas duas operações. Se ainda tiver alguma dificuldade em em qualquer uma das operações, volte ao capítulo de números naturais, pois elas serão muito utilizadas aqui. O assunto que vamos estudar agora é também chamado de Teoria dos Números. Divisibilidade Dizemos que um número natural é divisível por outro quando ao dividirmos um pelo outro não sobra resto. Exemplos: 1) 8 é divisível por 2 pois: q) 27 é divisível por 3 e também por 4. r) 12 é divisível por 2, 3, 4 e 6. s) 1014 é divisível por 27. t) Qualquer número é divisível por zero. u) 2*3*7 é divisível por 2, por 3 e por 7. v) 8814 é divisível por 113. w) 30045 é divisível por 2003. 2. Informe: a) os cinco menores números divisíveis por 7. b) os dez menores números divisíveis por 3. c) o menor número divisível por 8 e por 3 ao mesmo tempo. 3. Preciso dividir 32 bombons em várias caixas de modo que sejam colocadas quantidades iguais de bombom em cada caixa. a) De quantas formas pode-se fazer isso? b) E se fossem 12 bombons? c) E se fossem 11 bombons? d) Como a divisibilidade ajuda a resolver este exercício? 2) 15 é divisível por 3 pois: 4. Responda: a) O número 16 é divisível por quais números naturais? b) O número 14 é divisível por quais números naturais? EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Uma propriedade interessante da divisibilidade e da multiplicação é a seguinte: em uma multiplicação, o resultado é sempre divisível por qualquer um dos fatores da multiplicação. Por exemplo, sabemos que 21 = 3 x 7. Então podemos dizer que 21 é divisível por 3 e também por 7. Note que 21 ÷ 7 = 3 (sem resto) e 21 ÷ 3 = 7 (também sem resto). 1. Informe se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a) 7 é divisível por 3; b) 16 é divisível por 2; c) 8 é divisível por 24; d) qualquer número natural é divisível por 1; e) 93 é divisível por zero; f) 36 é divisível por 18; g) 180 é divisível por 45; h) 18 é divisível por 2 e também por 3; i) 100 é divisível por 10 e por 15; j) 45 é divisível pelos números 3, 5 e 15; k) qualquer número natural é divisível por si mesmo; l) qualquer número natural é divisível por um e também por si mesmo; m) 16 é divisível por 4. n) 81 é divisível por 7. o) 144 é divisível por 12. p) 14400 é divisível por 100. 46 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 5. Informe se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a) Sabendo que 15 = 3 x 5, podemos concluir que 15 é divisível por 3, mas não por 5. b) Sabendo que 1961 = 53 x 37, podemos concluir que 1961 é divisível por 53 e por 37. Porém não podemos saber quanto é 1961 ÷ 37 sem fazer as contas antes. c) Sabendo que 30 = 2 x 3 x 5, podemos concluir que 30 é divisível por 2, por 3 e por 5. d) Todas as multiplicações com resultado igual 30 são: 1 x 30 = 30, 2 x 15 = 30, 3 x 10 = 30, 5 x 6 = 30. Podemos concluir então, que 30 é divisível por 8 números naturais distintos. e) Sabendo que 16 = 4 x 4 e que 4 = 2 x 2, podemos concluir que 16 = 2 x 2 x 2 x 2 f) Se o ítem anterior estiver correto, mesmo assim não podemos concluir que 16 é divisível por 2. CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática g) Sabemos que 12 é divisível por 4 e por 2. Então podemos dizer que 12 = 4 x 2. h) Sabemos que 45 = 5 x 9 = 5 x 3 x 3. Então 45 será divisível por 5, por 9 e por 3. e) 695 f) 666 g) 954875 i) 52 j) 235 k) 654654 6. O número 36 é divisível por 9 números naturais distintos. a) Faça uma lista de todas as multiplicações cujo resultado é 36. b) A partir do ítem anterior, encontre os 9 números que dividem o 36 sem deixar resto. 12. Quais os cinco primeiros números divisíveis por 3 maiores do que 1256? 7. O número 20 é divisível por 6 números naturais distintos. a) Faça uma lista de todas as multiplicações cujo resultado é 20. b) A partir do ítem anterior, encontre os 6 números que dividem o 20 sem deixar resto. Vamos agora estudar algumas regras de divisibilidade que eliminam o trabalho de ter que fazer muitas contas. Divisibilidade por 2 h) 3000000 l) 987987 11. Qual o primeiro número divisível por 3 maior do que 777? 13. Em um estacionamento de motos, contando-se o número de rodas, o resultado pode ser 51? Por quê? 14. Assinale as alternativas cujos números são divisíveis por dois e por três ao mesmo tempo: a) 52 b) 53 c) 54 d) 89 e) 546 f) 1098 15. Fazendo as divisões, verifique quais números do exercício anterior são divisíveis por 6 (Obs: 6 = 2x3). 16. Escreva: a) os cinco menores números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. b) os cinco menores números que são divisíveis por 2, mas não por 3. c) os cinco menores números que são divisíveis por 3, mas não por 2. Um número é divisível por 2 quando for par, ou seja, o último algarismo desse número for 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: 17. Escreva os cinco menores números divisíveis por 2 cuja metade também é divisível por 2. Números divisíveis por 2: 6070, 106, 954, 10258 Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4 ou forem 00 (zero e zero). Números não divisíveis por 2: 671, 487, 14569. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3. Exemplos: Obs: para verificar se os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4, este número deve ser par e a sua metade também deve ser par.Exemplos: 1) 108 é divisível por 3 pois 1+0+8 = 9 que é divisível por 3. 1) 108 é divisível por 4, pois 08 é divisível por 4. 2) 62124 é divisível por 3 pois 6+2+1+2+4 = 15 que é divisível por 3. 3) 1112 não é divisível por 3 pois 1+1+1+2 = 5 que não é divisível por 3. cujos 3) 1112 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4. 4) 2007 não é divisível por 4, pois 07 não é divisível por 4. 5) 500 é divisível por 4, pois termina com 00. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 8.Assinale as alternativas divisíveis por 2: a) 1024 b) 10259 e) 845 f) 100002 i) 555 j) 330 2) 62124 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. números são c) 568 d) 2350 g) 887 h) 129 k) 966 l) 1111 9. Qual o próximo número divisível por 2 maior do que cento e quarenta e três mil duzentos e sessenta e quatro? 10. Assinale as alternativas cujos números são divisíveis por 3: a) 404 b) 3 c) 999321405 d) 123455 Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando o último algarismo da direita for 5 ou 0 (zero). Exemplos: 1) 108 não é divisível por 5. 2) 62124 não é divisível por 5. 3) 245 é divisível por 5. 4) 110 é divisível por 5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 18. Assinale a seguir os números divisíveis por 4: a) 1996 b) 1024 c) 1033 d) 412 e) 848 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 47 Matemática f) 100004 g) 886 h) 129 i) 555 j) 330 k) 964 l) 1110 19. Assinale a seguir os números divisíveis por 5: a) 10844 b) 12935 c) 10045 d) 1000066 e) 5 f) 666 g) 654654 h) 954875 i) 888 20. Um ano bissexto é um ano com 366 dias, um a mais do que um ano normal. Sabemos se um ano é bissexto quando esse ano é um número divisível por quatro. Sabendo disso, informe quais dos anos a seguir foram ou serão bissextos. a) 1952 b) 2003 c) 2008 d) 2014 e) 3056 f) 4123 g) 10002 21. Informe qual será o primeiro ano bissexto depois de 3050. 22. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Porquê? 23. Uma sala de aula foi dividida em quatro grupos, todos com o mesmo número de alunos: grupo vermelho, grupo amarelo, grupo laranja e grupo verde. O professor de educação física quer desfazer esses grupos e dividir a sala em somente dois grupos: grupo azul e grupo branco. Porém, o professor não quer que sobre nenhum aluno. Baseado nisso, responda: a) Você acredita que dá para dividir essa sala em dois grupos sem sobrar nenhum aluno? Por que? b) Se conseguimos dividir algum objeto ou grupo em 4 partes, conseguiremos dividir esse grupo ou objeto também em 2 partes? 24. Baseado no exercício anterior, caso um número for divisível por 4, pode-se dizer que ele também é divisível por 2? Se a resposta for não, dê exemplos. 25. E o contrário? Caso um número for divisível por 2, pode-se dizer que ele também é divisível por 4? Se a resposta for não, dê exemplos. 26. Informe: a) os três menores números divisíveis por 2, 3 e 4 ao mesmo tempo. b) o menor número divisível por 2, 3, 4 e 5 ao mesmo tempo. 27. Diga se os números abaixo são divisíveis por 2, 3 ou 5. Pode acontecer ainda de um número ser divisível por mais de um deles e também pode acontecer de um número não ser divisível por nenhum dentre eles. Quando isso acontecer, deixar indicado. a) 12268 b) 402975 c) 0 d) 1 e) 219942 f) 1000277 g) 845729103 h) 845729102 i) 6000000 j) 2x2x2x2 48 Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 1) 108 é divisível por 6 pois é par (divisível por 2) e 1+0+8=9 que é divisível por 3. 2) 62124 é divisível por 6 pois é par (portanto divisível por 2) e 6+2+1+2+4=15 que é divisível por 3. 3) 245 não é divisível por 6 pois não é par (não é divisível por 2). 110 não é divisível por 6, pois 1+1+0=2 que não é divisível por 3. Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7. Exemplos: 1) 245 é divisível por 7 pois 5x2 = 10 e 24 – 10 = 14 que é divisível por 7. 2) 110 não é divisível por 7 pois 2x0 = 0 e 11 – 0 = 11 que não é divisível por 7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 28. Informe quais números são divisíveis por 6. a) 544 b) 9564 c) 85675 d) 121212 e) 848 f) 100004 g) 886 h) 129 i) 555 j) 330 k) 964 l) 1110 29. Informe quais números são divisíveis por 7. a) 544 b) 9564 c) 85675 d) 121212 e) 848 f) 100004 g) 886 h) 129 i) 555 j) 330 k) 964 l) 1110 30. Qual o menor número natural divisível por 6 e por 7 ao mesmo tempo? Qual o segundo menor natural divisível por 6 e por 7 ao mesmo tempo? 31. Nos números a seguir, informe se são divisíveis por algum número entre 2 e 7. a) 246 b) 840 c) 385 d) 51 Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos 3 últimos algarismos da direita for divisível por 8 ou forem 000. Exemplos: 1) 3112 é divisível por 8 pois 112 é divisível por 8. 2) 64124 é divisível por 8 pois 124 é divisível por 8 3) 27810 é divisível por 8 pois 810 é divisível por 8 4) 32110 não é divisível por 8 pois 110 não é divisível por 8. CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 1) 108 é divisível por 9 pois 1+0+8 = 9 que é divisível por 9. 2) 62124 não é divisível por 9 pois 6+2+1+2+4 = 15 que não é divisível por 9. 3) 1112 não é divisível por 9 pois 1+1+1+2 = 5 que não é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando termina com 0 (zero). Exemplos: Números divisíveis por 10: 10, 1540, 6630 Números não divisíveis por 10: 151, 423, 633. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 32. Informe os cinco menores números naturais divisíveis por 8. 33. Assinale os números divisíveis por 8. a) 1064 b) 2040 c) 4000 d) 7264 e) 100112 34. Assinale os números divisíveis por 9. a) 404 b) 3 c) 999321405 d) 123455 35. Uma sala de aula foi dividida em 8 grupos, todos com o mesmo número de alunos. a) Você acha que seria possível desfazer esses grupos e dividir a sala em 4 grupos, ao invés de 8, sem sobrar nenhum aluno sem grupo? Como? b) Você acha que seria possível desfazer esses 8 grupos e dividir a sala em 2 grupos, ao invés de 8, sem sobrar nenhum aluno sem grupo? Como? 36. Informe os dois menores números divisíveis por 9 e por 10 ao mesmo tempo. 37. Informe se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas. a) Se um número é divisível por 8, também será divisível por 2. b) Se um número é divisível por 5, também será divisível por 10. c) Se um número é divisível por 6, também será divisível por 2. d) Se um número é divisível por 9 também será divisível por 3. e) Se um número é divisível por 10 quando o último algarismo é 0, então será divisível por 100 quando os dois últimos algarismos forem 00. Divisores de um Número Uma pergunta: o número 9 é divisível por quais números? Fazendo as contas, veremos que esses números são 1, 3 e 9. Esses números são chamados de divisores de 9. Os divisores de 8 são os números pelos quais 8 é divisível, ou seja, 1, 2, 4 e 8. Qualquer divisor de um número vai ser sempre menor ou igual a esse número. Divisor de um número é aquele que ao dividir este número não deixa resto. Como exemplo acharemos o conjunto dos divisores de 32: 32 ÷ 1 = 32 32 ÷ 2 = 16 32 ÷ 4 = 8 32 ÷ 8 = 4 32 ÷ 16 = 2 32 ÷ 32 = 1 Os números 1, 2, 4, 8, 16 e 32 ao dividirem 32 não deixam resto, portanto eles são os divisores de 32, e escrevemos: D(32) = {1, 2, 4, 8, 16 e 32} Esse conjunto possui 6 elementos. São 6 os divisores de 32. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 38. Encontre os divisores dos seguintes números: a) 24 b) 8 c) 16 d) 45 e) 54 f) 17 39. Um professor quer dividir o conjunto de alunos em grupos. Cada grupo deve possuir, rigorosamente, o mesmo número de alunos. De quantas formas isso pode ser feito para uma classe de: a) 30 alunos b) 20 alunos c) 40 alunos d) 21 alunos e) 23 alunos f) 17 alunos g) 18 alunos h) 19 alunos 40. No exercício anterior, em alguns ítens não conseguimos dividir os alunos em grupos. Quais são esses casos? 41. Encontre os seguintes números: a) Encontre os números que são divisores de 24 e também de 32. b) Encontre os números que são divisores de 45 e também de 54. c) Encontre os cinco menores números naturais divisíveis por 9. 42. Informe se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a) o conjunto dos divisores de 36 tem quatro elementos. b) D(100) = {0, 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100} c) A soma dos elementos de D(6) é 6. d) A soma dos elementos de D(10) é 10. CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 49 Matemática e) Todos os elementos de D(6) também se encontram em D(12). f) Todos os elementos de D(30) se encontram também em D(15). g) O número 4 é o maior entre os que estão em D(12) e em D(16) simultaneamente. 43. Lucas preparou umas bolachas caseiras e gostaria de vendê-las. Ele preparou uma fornada com 42 bolachas e gostaria de dividi-las em pacotes, sendo que os pacotes deveriam ter a mesma quantidade de bolachas. De quantas formas ele poderia fazer isso? 44. Como ficaria o exercício anterior se fossem 41 bolachas? Múltiplos de um Número Uma pergunta: quais números são divisíveis por 9? Resposta: 9, 18, 27, 36, 45, etc, ou seja, são infinitos números. Esses números são chamados múltiplos de 9. Da mesma forma, os múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, etc... Repare que o 5 é divisor de todos eles. Podemos ver que os conceitos de divisor e múltiplo estão ligados: 14 é múltiplo de 7, 7 é divisor de 14. Para encontrar os múltiplos de um número devemos multiplicar este número por números naturais. 1) Por exemplo, vamos encontrar os múltiplos de 3: 3×0=0 3×1=3 3×2=6 3×3=9 3 × 4 = 12 3 × 5 = 15 Então 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... são múltiplos de 3. Como existem infinitos números naturais podemos encontrar infinitos múltiplos de 3. Para representar os múltiplos de 3, usaremos a seguinte notação: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24, … } EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 45. Complete as frases com as palavras múltiplo, divisor ou deixe o espaço em branco caso não se tratar de múltiplos nem de divisores: a) 4 é __________________ de 2. b) 12 é __________________ de 6. c) 4 é __________________ de 20. d) 5 é __________________ de 2. e) 7 é __________________ de 42. f) 9 é __________________ de 3. g) 9 é __________________ de 27. 50 46. Informe se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a) 14 é um divisor de 28 e também é um múltiplo de 7. b) qualquer número é múltiplo e divisor de si mesmo. c) o maior múltiplo de um número é ele mesmo. d) o menor divisor de um número é 1. e) 1 é divisor de qualquer número, 100 é múltiplo de qualquer número. f) zero não é múltiplo nem divisor de nenhum número. g) Todos os múltiplos de 7 são divisores de 28. h) Existem infinitos divisores de 10000. i) O número 24 se encontra em M(3) e em M(4). j) O número 21 se encontra em M(4) e em M(5). k) O número 14 está em D(28) e em M(7). 47. Um trem para Guaianases passa a cada 5 minutos, enquanto um trem para Calmon Viana passa a cada 6 minutos. Às 8:00 hs, os dois trens passaram ao mesmo tempo na estação da Luz. a) Escreva os 11 primeiros horários após as 8:00 nos quais o trem para Guaianases vai passar. b) Escreva os 11 primeiros horários nos quais o trem para Calmon Viana vai passar. c) Em que horas os trens estarão ao mesmo tempo na estação da Luz? 48. Assinale os números dos quais 225 é múltiplo: a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10 49. Das alternativas da questão anterior, quais números são divisores de 225? Números Primos Números primos são todos os números naturais que possuem apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Exemplos: 1) O 2 é primo pois D(2) = {1 e 2} 2) O 3 é primo pois D(3) = {1 e 3} 3) O 5 é primo pois D(5) = {1 e 5} 4) O 6 não é primo pois D(6) = {1, 2, 3 e 6} 5) O 9 não é primo pois D(9) = {1, 3 e 9} OBS: o número 1 por definição não é incluído no conjunto dos números primos. O número 2 é o único número primo que é par. Pode-se provar que a quantidade de números primos é infinita. A seguir mostramos apenas os números primos menores que 50: P50 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47} CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 50. Diga se as sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas: a) Um número primo tem apenas dois múltiplos. b) Um número primo sempre é divisível por 2. c) Um número primo é divisível apenas por 1 e por metade de si mesmo. d) Número primo é aquele que não tem múltiplos nem divisores. e) Um número primo tem infinitos múltiplos, mas apenas dois divisores. f) Apenas dois números são divisíveis por um número primo: um e ele mesmo. g) Um número primo só é divisível por um e por si mesmo. h) Infinitos números são divisíveis por um mesmo número primo. 51. Informe: a) os dez primeiros números primos. b) os cinco primeiros números primos maiores que cinquenta. 52. Os números a seguir são o resultado da multiplicação de dois números primos (que podem ser iguais em alguns casos). Escreva, em cada caso, quais são esses números: a) 10 b) 4 c) 6 d) 15 e) 77 f) 22 g) 26 h) 121 i) 35 j) 21 k) 33 l) 39 m) 143 n) 65 53. Os números a seguir são o resultado da multiplicação de três números primos (que podem ser iguais em alguns casos). Escreva, em cada caso, quais são esses números: a) 20 b) 30 c) 110 d) 154 e) 44 f) 105 54. Podemos escrever todos os números não-primos como uma multiplicação de números primos. Veja os exemplos: I. 4 não é primo. Pode ser escrito como 2x2 (2 é primo). II. 6 não é primo. Pode ser escrito como 2x3 (2 e 3 são primos). III. 8 não é primo. Pode ser escrito como 2x2x2. IV. 9 não é primo. Pode ser escrito como 3x3. V. 10 não é primo. Pode ser escrito como 2x5. Siga o exemplo, escreva os números não-primos entre 12 e 30 como uma multiplicação de números primos. 55. Considere o número 456. Indique se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a) Sabemos que 456 = 2 x 223. Então 456 é divisível por 2. b) 456 não é divisível por 2. c) 456 não é divisível por 2, mas é divisível por 3. d) 456 é divisível por 2 e por 3. Se dividir 456 por 2, o resultado não será divisível por 3. e) 456 é divisível por 2 e por 3. Se dividir 456 por 3, o resultado não será divisível por 2. f) 456 não é divisível por 3, mas é divisível por 2. g) 456 é divisível por 2 e por 3. Se dividir 456 por 2, o resultado será divisível por 3. h) 456 = 2 x 227 i) 456 = 2 x 228 j) 456 = 2 x 2 x 228 k) 456 = 2 x 228 e 228 = 2 x 114. Logo, 456 = 2 x 2 x 114. l) 456 é um número primo. m) 456 = 2 x 2 x 2 x 57, e 57 é um número primo. n) 456 = 2 x 2 x 2 x 57 e 57 é divisível por 3. o) 456 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17 p) 456 = 2 x 2 x 2 x 3 x 19, 19 é divisível por 9 e então será divisível por 3. q) 456 = 2 x 2 x 2 x 3 x 19, 19 é primo. r) A multiplicação 2 x 2 x 2 x 3 x 19, que resulta em 456, contém números não primos. s) A multiplicação 2 x 2 x 2 x 3 x 19, que resulta em 456, contém apenas números primos. Então dizemos que 2 x 2 x 2 x 3 x 19 é a decomposição de 456 em fatores primos. Teorema Fundamental da Aritmética Este teorema afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos). Exemplos: 1) 24 = 2 x 2 x 2 x 3 2) 350 = 2 x 5 x 5 x 7 Existe um modo simples para encontrar os fatores primos de um número. Dividimos este número pelo seu menor divisor primo. A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo deste quociente. Assim repetimos até obter o quociente 1. Exemplo: 1) Vamos encontrar os fatores primos de 420: Portanto, 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 51 Matemática EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 56. Encontre os fatores primos dos seguintes números, escrevendo a multiplicação correspondente: a) 21 b) 48 c) 51 d)18 e) 57 f) 100 g) 64 h)144 i) 189 j) 700 k) 180 l) 300 57. Informe o número que seguintes fatores primos: a) 2, 3, 5 b) 3, 5, 5 d) 41 e) 2, 3, 7 g) 2, 2, 11 h) 3, 3, 5 j) 47 k) 2, 2, 2, 2, 3 m) 2, 5, 5 é decomposto nos c) 2, 2, 2, 2 f) 43 i) 2, 23 l) 49 58. Um aluno decompôs alguns números em fatores primos e pediu para o professor que corrigisse. As respostas dadas vão abaixo. O professor viu que em cada ítem havia um erro. Diga qual: a) 65 = 11x5 b) 99 = 33x3 c) 12 = 2x6 d) 57 = 57x1 e) 60 = 2 x 6 x 10 f) 66 = 11x5 g) 100=2 x 5 x 10 h) 128 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 59. No ítem e do exercício anterior, podemos ver que a multiplicação está correta (60 = 2 * 6 * 10). Por que então, a decomposição em fatores primos está errada? Quais fatores dessa decomposição não podem existir e porquê? 60. Considere o número 300 e complete os espaços abaixo, caso necessário: Pense no número 2, o menor número primo. a) 300 é divisível por 2? Caso sim, complete a sentença: 300 = 2 x _____ . b) Pegue o número que você obteve na item anterior. Ele é divisível pro 2 novamente? Caso sim, complete a expressão: 300 = 2 x 2 x _____ . c) Pegue o número que você obteve na item anterior. Ele é divisível pro 2 novamente? Caso sim, complete a expressão: 300 = 2 x 2 x 2 x _____ . Pense agora no número 3, o segundo menor número primo. d) Pegue o número que você obteve na item anterior. Ele é divisível por 3? Se sim, complete a sentença matemática: 300 = 2 x 2 x 3 x _____ . e) Pegue o número que você obteve na item anterior. Ele é divisível por 3 novamente? Se sim, complete a sentença matemática: 300 = 2 x 2 x 3 x 3 x _____ . Pense agora no número 5, o terceiro menor número primo. 52 f) Pegue o número que você obteve na item anterior. Ele é divisível por 5? Se sim, complete a sentença matemática: 300 = 2 x 2 x 3 x 5____ . g) Apresente a decomposição do número 300 em fatores primos. 61. Considere a divisão de 315 por 45: a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado? b) Decomponha o divisor e o dividendo em fatores primos. c) Qual a diferença entre os fatores primos do 45 e do 315? d) Existe alguma relação entre essa diferença entre os fatores primos e o resultado da divisão? 62. Considere a divisão de 132 por 22: a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado? b) Decomponha o divisor e o dividendo em fatores primos. c) Qual a diferença entre os fatores primos do 132 e do 22? d) Existe alguma relação entre essa diferença entre os fatores primos e o resultado da divisão? 63. Considere a divisão de 672 por 56: a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado? b) Decomponha o divisor e o dividendo em fatores primos. c) Qual a diferença entre os fatores primos do 672 e do 56? d) Existe alguma relação entre essa diferença entre os fatores primos e o resultado da divisão? 64. Considere a divisão de 42 por 30: a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado? Qual o resto? b) Decomponha o divisor e o dividendo em fatores primos. c) Qual a diferença entre os fatores primos do 42 e do 30? Existe algum fator primo não compartilhado? d) Qual a diferença entre as decomposições deste exercício e do exercício anterior? 65. Considere a divisão de 84 por 40: a) Faça a divisão do modo normal. Qual o resultado? Qual o resto? b) Decomponha o divisor e o dividendo em fatores primos. Existe algum fator primo não compartilhado? c) Qual a diferença entre os fatores primos do 84 e do 40? Existe algum fator primo não compartilhado? d) Conseguimos afirmar que 84 não é divisível por 30 observando apenas os fatores primos? 66. Fazendo a decomposição em fatores primos, diga se: a) 1024 é divisível por 512 b) 66 é divisível por 6 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática c) 66 é divisível por 20 d) 270 é divisível por 2730. 67. Decompor o número 50 em fatores primos. a) Quais fatores primos você obteve? b) Quais deles são divisores de 50? c) Multiplique dois fatores primos quaisquer que você obteve. Pode-se dizer que o resultado é sempre um divisor de 50? 68. Decompor o número 2310 em fatores primos. a) Quais fatores primos você obteve? b) Quais deles são divisores de 2310? c) Multiplique dois fatores primos quaisquer que você obteve. Pode-se dizer que o resultado é sempre um divisor de 2310? 69. Baseado no exercício anterior, considere a frase: “Um número é divisível por qualquer fator primo presente na decomposição desse número.” Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Encontrando Divisores de um Número É muito fácil encontrar múltiplos de qualquer número. Porém, se o número for muito grande, pode ser difícil determinar todos os seus divisores. Para determinar todos os divisores de um número utilizamos os seus fatores primos. Inicialmente decompomos o número em fatores primos. Ao lado fazemos uma coluna que será dos divisores e acima colocamos o número 1, pois o 1 é divisor de qualquer número. Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo. Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Exemplo: Vamos obter os divisores de 150: 72. O número 8 é um divisor comum entre 16 e 40 pois 8 é um divisor de 16 e também é um divisor de 40. Encontre os divisores comuns entre 40 e 64. 73. Encontre os divisores comuns entre: a) 14 e 35 b) 21 e 33 c) 77 e 33 d) 6 e 10 e) 65 e 39 f) 14 e 21 g) 64 e 100 h) 16 e 55 i) 72 e 128 74. Escreva o maior divisor comum (ou seja, o máximo divisor comum – mdc) entre os números de cada item do exercício anterior. 75. Em quais itens do exercício 73 os números são primos entre si? Dica: números primos entre si é quando apenas o número 1 é um divisor comum entre esses números. 76. Faça a decomposição em fatores primos dos números 210 e 180. a) Quais fatores primos esses números têm em comum? b) Quantos desses fatores primos em comum são divisores dos dois números (180 e 210)? c) Multiplicando quaisquer dois fatores primos em comum, podemos afirmar que o resultado vai sempre ser um divisor de 180 e também de 210? 77. Faça a decomposição em fatores primos dos números 924 e 385. a) Quais fatores primos esses números têm em comum? b) Quantos desses fatores primos em comum são divisores dos dois números (924 e 385) ao mesmo tempo? c) Multiplicando quaisquer dois fatores primos em comum, podemos afirmar que o resultado vai sempre ser um divisor de 924 e também de 385? M. D. C. – Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Para explicar como encontramos o máximo divisor comum usaremos o seguinte exemplo: 1) Vamos encontrar o MDC de 12 e 30. Primeiro devemos achar os divisores de 12 e 30: Logo: D(150) = {1, 2, 3, 5,6,10, 15, 25, 30, 50, 75 e 150} EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 70. Obtenha os divisores de: a) 15 b) 10 c) 20 d) 13 e) 16 h) 64 i) 100 j) 330 k) 121 l) 41 o) 66 p) 90 f) 18 g) 23 m) 50 n) 60 71. Quais são os números primos dados no exercício anterior? Quais são seus divisores? D(12) = {1, 2, 3, 4, 6 e 12} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30} Observando os divisores dos dois números percebemos que 1, 2, 3 e 6 são divisores comuns à 12 e 30. Portanto o maior dos divisores comuns, ou máximo divisor comum, de 12 e 30 é o 6, e indicamos: MDC (12,30) = 6 Existe um modo simples de encontrar o MDC de dois ou mais números. Basta decompor esses números nos seus fatores primos. O MDC será a CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 53 Matemática multiplicação dos fatores primos comuns a esses números. Exemplo: 1) Vamos encontrar o MDC(36,90): 36 = 2 x 2 x 3 x 3 Dentre os múltiplos, destacamos aqueles que são comuns à 4 e 6. Ou seja, os números 0, 12, 24 e 36 são múltiplos tanto do 4 quanto do 6, portanto, dizemos que eles são múltiplos comuns. Assim o menor dos múltiplos comuns, ou mínimo múltiplo comum, de 4 e 6 é o 12. E escrevemos: 90 = 2 x 3 x 3 x5 Destacamos os fatores que são comuns aos dois números. Portanto o MDC de 36 e 90 será a multiplicação desses fatores: MDC(36,90) = 2 x 3 x 3 = 18 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 78. Calcule o MDC entre os seguintes números. a) 24 e 56 b) 30 e 36 c) 82 e 45 d) 150 e 180 e) 75 e 45 f) 22 e 35 g) 30 e 42 h) 70 e 110 i) 30 e 70 j) 105 e 42 k) 110 e 66 79. Diga se é verdadeiro ou falso: a) 24 é múltiplo de 2. b) 52 é múltiplo de 4. c) 50 é múltiplo de 8. d) 49 é múltiplo de 7. e) 75 é múltiplo de 10. 80. Informe os dez primeiros múltiplos de sete maiores do que 100. MMC(4,6) = 12 OBS: não consideramos o 0 (zero) pois ele é múltiplo de todos os números naturais. 2) Vamos encontrar o MMC(5,15): M(5) = {0, 5, 10, 15, 20,25, 30, 35, 40, 45, … } M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, … } Portanto MMC(5,15) = 15 . Podemos encontrar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números através do processo da decomposição simultânea. Neste processo decompomos em fatores primos todos os números ao mesmo tempo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o MMC desses números. Exemplo: 1) Vamos encontrar MMC(15, 50): 15, 50 │2 15, 25 │3 81. Informe cinco números que são múltiplos de 3 e 4 ao mesmo tempo. 5, 25 │5 82. Informe o menor número múltiplo de 7, 2, e 5 ao mesmo tempo. 1, 1 │ 83. Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Não são aceitas equipes com funcionários de áreas diferentes. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. 1, 5 │5 Logo o MMC(15, 50) = 2 x 3 x 5 x 5 = 150 2) Vamos encontrar MMC(15,24,60): 15, 24, 60 │2 15, 12, 30 │2 15, 6, 15 │2 15, 3, 15 │3 5, 1, 5 │5 1, 1, 1 │ Logo o MMC(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 M. M. C. – Mínimo Múltiplo Comum Explicaremos como se faz para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números através do seguinte exemplo: Vamos encontrar o MMC de 4 e 6: Primeiro devemos calcular os múltiplos de cada número: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,32,36, … } M(6) = {0, 6, 12, 18, 24,30, 36,42, 48, … } 54 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 84. Realize as tarefas a seguir: a) Escreva os 10 primeiros números divisíveis por 5. Esses números são chamados de 10 menores múltiplos de 5. b) Baseado no ítem anterior, escreva os 8 menores múltiplos de 10. c) Escreva agora os divisores de 10, para entender a diferença entre múltiplos e divisores. d) Escreva agora os 20 menores múltiplos de 2. CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática e) Escreva os 2 menores números que são múltiplos de 2 e de 7 ao mesmo tempo (múltiplos comuns entre 2 e 7). f) Escreva os 10 menores múltiplos de 4. g) Escreva os 3 menores múltiplos comuns entre 4 e 6. h) O menor múltiplo comum (mínimo múltiplo comum) entre 4 e 6. i) O menor múltiplo comum (mínimo múltiplo comum) entre 2 e 7. 85. Calcule os seguintes MMC’s. a) MMC(4,10) b) MMC(9,18) c) MMC(7,13) d) MMC(20,25) e) MMC(8,7,56) f) MMC(5,9,12) g) MMC(7,21) h) MMC(5,20) i) MMC(6,7,9) 196, 42 │2 98, 21 │2 49, 21 │3 49, 7 │7 7, 1 │7 1, 1 │ Repare que apenas o 2 e o 7 dividiram os dois números na mesma rodada. Então: MDC(196,42) = 2 * 7 = 14 Também existe outra relação super importante entre o MMC e o MDC de dois números: 86. (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, em qual dia as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. M. M. C. e M.D.C Podemos, com a mesma estrutura utilizada para calcular o m.m.c, encontrar o m.d.c entre dois números. Veja o primeiro exemplo quando calculamos do m.m.c entre 50 e 15. 15, 50 │2 15, 25 │3 5, 25 │5 1, 5 │5 “Multiplicando-se o MDC de dois números pelo MMC desses mesmos números, o resultado será o produto desses números.” Exemplo: 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(8,12) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(8,12) = 8��� ∗ 12 �� ����� ∗ ������� 4 24 =4∗24=96 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(196,42) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(196,42) = �� 196 ��� ∗�� 42 �� ������� ∗ ��������� 14 588 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO =14∗588=8232 87. Calcule o MDC’s e o MMC entre os pares de números a seguir. a) 33 e 55 b) 25 e 75 c) 490 e 510 d) 60 e 50 e) 6 e 5 f) 20 e 30 g) 2 e 3 h) 14 e 15 i) 20 e 21 Exercícios para fixação 1, 1 │ Note que, nessa decomposição, apenas o 5 dividiu os dois números na mesma rodada. Logo, MDC(50,15) = 5 Da mesma forma, MMC(15,24,60): Vamos ver mais um exemplo, vamos calcular MDC(196, 42) observe o cálculo do 15, 24, 60 │2 15, 12, 30 │2 15, 6, 15 │2 15, 3, 15 │3 5, 1, 5 │5 1, 1, 1 │ Veja que apenas o 3 dividiu os três números na mesma rodada. Logo MDC(15,24,60) = 3. 88. Tenho 36 bolinhas de gude. De quantas formas posso agrupá-las em fileiras? Cada fileira deve ter uma quantidade igual de bolinhas de gude. 89. Realize as tarefas de cada ítem a seguir: a) Escreva o número 105 como um produto de números primos (use as regras de divisibilidade). b) Sobre o ítem anterior, quandos números primos precisam ser multiplicados para resultar em 105? c) Quantos desses fatores primos são divisores de 105. d) é verdade que, se multiplicarmos qualquer desses fatores primos, o resultado será sempre um divisor de 105? Mostre dois exemplos. e) Escreva o número 30 como um produto de números primos (use as regras de divisibilidade). f) Sobre o ítem anterior, quandos números primos precisam ser multiplicados para resultar em 30? CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 55 Matemática g) Quantos desses fatores primos são divisores de 30? h) é verdade que, se multiplicarmos qualquer desses fatores primos, o resultado será sempre um divisor de 30? Mostre dois exemplos. i) Escreva o número 210 como um produto de números primos (use as regras de divisibilidade). j) Sobre o ítem anterior, quandos números primos precisam ser multiplicados para resultar em 210? k) Quantos desses fatores primos são divisores de 210. l) é verdade que, se multiplicarmos qualquer desses fatores primos, o resultado será sempre um divisor de 210? Mostre dois exemplos. 90. “Números perfeitos” são números cujos divisores menores que o mesmo, quando somados, resultam no próprio número. O seis é o menor número perfeito que existe. Seus divisores são 1, 2, 3 e 6. Além disso, temos que: 1 + 2 + 3 = 6, ou seja, o 6 é a soma dos seus divisores (exceto ele mesmo). Pitágoras, na Grécia antiga, atribuía um significado místico e religioso a esses números. Qual dos números abaixo pode ser considerado um número perfeito? a) 14 b) 20 c) 28 d) 36 e) 40 91. “Números amigos” são números aonde cada um é igual à soma dos divisores do outro. Eles também tinham significado místico e religioso aos olhos de Pitágoras. Você poderia afirmar que 284 e 220 são números amigos? Por quê? 92. (Vunesp) Um carpinteiro recebeu a incumbência de cortar 40 toras, de 8 metros cada uma, e 60 toras, de 6 metros cada uma, em toras de um mesmo tamanho, sendo este tamanho o maior possível. Nestas condições, quantas toras deverão ser obtidas ao todo pelo carpinteiro? a) 1800 b) 1360 c) 680 d) 340 e) 200 93. (Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes "piscam" com freqüências diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 94. (Liceu) Três ônibus realizam percursos de ida e volta de diferentes extensões e partem de um mesmo terminal. O ônibus X faz seu percurso de ida e volta em 35 minutos, o ônibus Y, em 15 minutos e o ônibus Z, em 25 minutos. Sabendo que os três ônibus partem juntos do terminal às 7 horas da manhã e que não ocorrem atrasos, qual é o próximo horário do dia em que partirão juntos novamente? a) 8h e 15 min c) 15h e 45 min b) 8h e 45 min d) 15h e 15 min 56 95. Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos? 96. (UEL adaptado) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente? 97. (PUC adaptado) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.” Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, qual o menor número de bairros a serem visitados? 98. (Mackenzie – SP – adaptado) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. Qual foi a soma do número das aparições diárias dos partidos na TV? 99. (ACAFE) Num painel de propaganda, três luminosos se acendem em intervalos regulares: o primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em dado instante, os três se acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a se acender, simultaneamente, depois de: a) 2 minutos e 30 segundos b) 3 minutos c) 2 minutos d) 1 minuto e 30 segundos e) 36 segundos CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática 100. (UFSC adaptado) Um pais lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então qual o número de dias para o próximo alinhamento? 101. (VUNESP) No estoque de uma papelaria, há uma caixa com várias borrachas iguais e, para facilitar as vendas, o dono dessa papelaria decidiu fazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade de borrachas. Ao fazer isso, notou que era possível colocar 3 ou 4 ou 5 borrachas em cada pacotinho e, assim, não sobraria borracha alguma na caixa. O menor número de borrachas que essa caixa poderia conter era: a) 80 b) 65 c) 60 d) 70 e) 75 102. SAP SP 2013 adaptado – Questão 27. Uma pizzaria funciona todos os dias da semana e sempre tem promoções para seus clientes. A cada 4 dias, o cliente tem desconto na compra da pizza de calabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas, ganha uma mini pizza doce, e uma vez por semana tem a promoção de refrigerantes. Se hoje estão as três promoções vigentes, esse ocorrido voltará a acontecer daqui a quantas semanas? 103. (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. 104. (FUVEST – SP) Duas composições de metrô partem simultaneamente de um mesmo terminal fazendo itinerários diferentes. Uma delas torna a partir desse terminal a cada 80 minutos, enquanto a outra torna a partir a cada hora e meia. Determine o tempo decorrido entre duas partidas simultâneas dessas composições, nesse terminal. 105. (UPE/2013) Três colegas caminhoneiros, Santos, Yuri e Belmiro, encontraram-se numa sextafeira, 12 de agosto, em um restaurante de uma BR, durante o almoço. Santos disse que costuma almoçar nesse restaurante de 8 em 8 dias, Yuri disse que almoça no restaurante de 12 em 12 dias, e Belmiro, de 15 em 15 dias. Com base nessas informações, diga se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas: a. Os três caminhoneiros voltarão a se encontrar novamente no dia 13 de dezembro. b. O dia da semana em que ocorrerá esse novo encontro é uma sexta-feira. c. Santos e Yuri se encontrarão 4 vezes antes do novo encontro dos três colegas. 106. (UNIR RO/2010) Uma empresa tem em seu quadro de funcionários gerentes, supervisores e fiscais. Cada um desses cargos é preenchido por meio de eleições entre os funcionários dos vários setores da empresa. Admita que os gerentes sejam eleitos para o mandato de 8 anos, os supervisores para o mandato de 6 anos e os fiscais para o mandato de 4 anos, e que, em 2009, houve eleições simultâneas para todos esses cargos. A partir dessas informações, assinale a alternativa correta: a. Em 2020, serão realizadas eleições simultâneas para os cargos de gerente e supervisor. b. Em 2033, serão realizadas eleições simultâneas para todos os cargos. c. Em 2020, serão realizadas eleições simultâneas para os cargos de gerente e fiscal. d. Em 2017, serão realizadas eleições simultâneas para os cargos de supervisor e fiscal. e. Em 2033, será realizada eleição somente para o cargo de gerente. 107. (Unifacs BA/2013) Em uma caixa, estão guardadas algumas bolas, do tipo utilizado em sorteios de concursos de loterias, cada uma marcada com um número inteiro positivo. Sabendo-se que, na caixa, existem bolas marcadas com os quinze primeiros múltiplos de 6, com os quinze primeiros múltiplos de 9 e com os oito primeiros múltiplos de 18, pode-se afirmar que o número total de bolas guardadas nessa caixa é, no mínimo, igual a: a. 22 b. 23 c. 26 d. 32 e. 38 108. (UFSCar SP/2013) Uma padaria faz uma torta salgada de formato retangular de 63 cm de largura por 1,08 m de comprimento, que, antes de ser colocada à venda, é dividida em pedaços, conforme ilustra a figura. Considerando que todos os pedaços da torta sejam quadrados de mesmo tamanho, com o maior lado possível, e que a torta seja dividida sem que ocorra nenhuma sobra, é correto afirmar que o número de pedaços obtidos é a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84 109. (UNIMONTES MG/2013) Um comerciante quer distribuir 70 maçãs, 42 mangas, 56 peras e 84 laranjas entre várias sacolas, de modo que cada uma receba o mesmo e o maior número possível de um mesmo tipo de fruta. Qual é o número total de sacolas necessárias? a. 15 b. 13 c. 18 d. 20 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 57 Matemática Tarefas para casa Tarefa I 1) Cláudia é uma menina muito precavida e preocupada com a segurança de seu perfil do Facebook, por isso ela muda semanalmente a senha. Normalmente, ela usa nome de pássaros, mas hoje ela decidiu usar uma regrinha para formar a senha: seu nome escrito de trás pra frente seguido de um número de três algarismos que seja divisível por 3, 5, 7. Com base nisso, escreva todas as opções de senha que Cláudia terá para usar seguindo essa regrinha de formação. 2) Um fato bastante conhecido é que podemos obter um número a partir da multiplicação de dois números. Por exemplo o número 12. Ele pode ser obtido pelas multiplicações: 2x6, 3x4 e 1x12. Isso significa que o número 12 tem seis divisores: 2, 3, 4, 6 e 12. Os números, a exemplo do 12, que podem ser obtidos por mais de uma multiplicação entre dois números, ou seja, os números que tem mais de dois divisores, são chamados de números compostos. Com base nessas informações, diga se o número 18 é ou não composto. 3) Escreva as multiplicações entre dois números que resultam nos números 16, 19, 21, 23, 27 e 31. Note que alguns desses números podem ser obtidos por mais de uma multiplicação, por isso não se esqueça de escrever todas as multiplicações possíveis. 4) Escreva os múltiplos de 6 que são maiores que 20 e menores que 60. 5) Apesar do vasto avanço da Matemática ao longo da história, existe ainda uma série de problemas que não foram compreendidos e resolvidos pelos matemáticos. Um deles é a Conjectura de Goldbach. A Conjectura de Golbach afirma que todos os números pares maiores que 4 podem ser obtidos pela soma entre dois números primos. Por exemplo, o número 8 pode ser obtido pela soma entre 3 e 5 que, como você já deve saber, são primos. O que ainda não foi possível demonstrar é que essa Conjectura é completamente válida. Apesar disso já foi possível mostrar que ela vale para todos os números pares maiores que 4 e menor que 40. Sabendo disso, encontre as somas entre dois números primos que resultam em 8, 12, 24 e 36. 6) Existem diversas maneiras de se encontrar números primos até um certo valor limite. Uma das formas mais simples e prática de se realizar essa tarefa foi inventado pelo o matemático grego Erastóstenes, que viveu no século III a.C.. Em sua homenagem, esse método é hoje conhecido como Crivo de Erastóstenes. Ele consiste am aplicar a uma tabela de números uma série de procedimentos para eliminar os números compostos de forma que sobrem apenas os números primos. Vamos aplicar esse método para encontrar os números primos menores 58 ou iguais a 100. Para isso, vamos utilizar a tabela abaixo e seguir os procedimentos indicados abaixo da tabela: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Procedimentos: I - Elimine o número 1 (o número 1 não é primo); II - Elimine todos os números divisíveis por 2, exceto o próprio 2 que é um número primo; III - Elimine todos os números divisíveis por 3, exceto o próprio 3 que é um número primo; IV - Elimine todos os números divisíveis por 5, exceto o próprio 5 que é um número primo; V- Elimine todos os números divisíveis por 7, exceto o próprio 7 que é um número primo; VI – Pronto! Observe a tabela e verifique que os números restantes são todos primos. 7) Decompor um dado número em fatores primos consiste em encontrar a multiplicação envolvendo apenas números primos que resulta nesse dado número. Sendo assim, faça a decomposição dos números 6, 15, 24, 42 e 60 usando fatores primos. 8) Alice e Fernando são primos e compartilham a mesma avó. Os dois gostam tanto da avó que não ficam sequer uma semana sem visitá-la, cada um com uma certa freqüência. Alice costuma fazer a visita a cada 5 dias, enquanto Fernando faz a visita a cada 4 dias. Na última visita que fizeram aconteceu de se encontrarem. Quantos dias depois dessa última visita eles voltarão a se encontrar? 9) Um carpinteiro tem duas chapas de madeira de largura e espessura iguais e de comprimento diferentes. Uma delas tem 120 cm de comprimento ao passo que a outra tem 180 cm. Para construir um móvel, ele pretende cortar essas chapas para obter tábuas de mesmo comprimento. Ele ainda não sabe o tamanho dessas tábuas, mas deseja que elas tenham o maior comprimento possível e não quer desperdiçar nenhum pedaço das chapas, ou seja, ele vai utilizar integralmente cada uma das chapas para produzir tábuas. Com base nisso, responda: a) Qual tamanho deverá ter cada uma das tábuas depois do corte? b) Qual o número total de tábuas? CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática NÚMEROS DECIMAIS 10 décimos = 1 unidade , ou 10 x 1 décimo = 1 unidade , No capítulo de números naturais vimos que a unidade era indivisível, ou seja, a menor parte que consideramos para contar, enumerar ou ordenar era a unidade: um saco de feijão, um pacote de bolachas, etc. Mas podemos pensar que em um saco de feijão tem muitos feijões, certo? E em um pacote de bolacha há também algumas bolachas. Então que tal aprendermos a fazer matemática com divisões da unidade? Dividir a unidade pode parecer estranho, mas já fazemos isso habitualmente, vinte e cinco centavos de real, por exemplo é uma parte de uma unidade que é o real. Quando o professor Aroldo pede meio quilo de mortadela na padaria, está pedindo uma parte da unidade ‘um kilograma de mortadela’. Percebam a diferença entre vinte e cinco centavos e vinte e cinco Reais. Isso mesmo! A diferença está em dizer se o número vinte e cinco representa a unidade (Reais) ou uma parte da unidade (centavos). Essa idéia de divisão da unidade vai se estender por dois capítulos nessa apostila, esse dos Números decimais, em que vamos aprender ou relembrar as operações com os números escritos com uma vírgula, que separa exatamente a parte Inteira da Decimal; e no capítulo seguinte veremos a idéia de Frações. Sistema Decimal Nos números naturais aprendemos que em um número cada algarismo ocupa uma posição, e que cada posição representa uma quantidade de uma parte – uma dezena representa dez unidades, uma centena representa cem unidades e também dez dezenas. Agora vamos considerar da mesma forma divisões da unidade e para facilitar o entendimento de qualquer pessoa que leia o número que vamos escrever, usamos a vírgula para separar as divisões menores que a unidade: 0,_ posição do décimo Essa casa representa o décimo e um número nessa posição significa uma décima parte de uma unidade. O número 1 nessa posição significa uma parte de dez, como a unidade representa uma das dez partes de uma dezena,ou uma dezena representa uma das dez partes da centena. e 1 décimo = 0,1 unidade uma unidade um décimo EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Um saco de laranjas contém uma dezena de laranjas. Uma laranja representa então __ do saco de laranjas. 2. Se comemos duas partes de um bolo dividido em dez pedaços, qual número representa a quantidade comida do bolo? 3. Quando vamos à papelaria comprar papel sulfite, compramos pacotes de 100 folhas. Se um pacote de 100 folhas custa 5 reais, por quanto se vende dez folhas sulfite avulsas? 0,0_ posição do centésimo Essa casa representa o centésimo e um número nessa posição significa uma parte de cem que compõem uma unidade. Um centavo, por exemplo, é uma divisão da unidade real em cem partes, e se dividimos o metro em cem partes iguais, temos o centímetro. Nos dois casos o número que representa o centavo e o centímetro em suas respectvas unidades seriam: 0,01 real = 1 centavo 0,01 metro = 1 centímetro ou um centésimo de real = um centavo um centésimo de metro = um centímetro EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4. Passe as medidas para metro, como no exemplo: ex: 135 centímetros = 135 x 0,01 metro = 1,35 metro a) 140 centímetros b) 20 centímetros c) 10 centímetros d) 49 centímetros e) 99 centímetros f) 185 centímetros g) 2012 centímetros 59 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática 0,00_ posição do milésimo Aqui, a casa representa o milésimo e um número representa uma parte de mil que forma uma unidade. Se dividimos 1 quilômetro em mil partes, cada uma delas é um metro. Ou uma milésima parte de um kilograma é uma grama. A régua mostra as divisões decimais que estamos estudando. Os números indicam os centímetros, mas cada centímetro é ainda dividido em dez partes, os milímetros. Por exemplo, aquelas réguas que medem de 0 a 10 cm tem medida 1 dm (essa é a unidade), e tem, pelo menos, dez divisões de 1 cm. Ou seja, 1 cm = 0,1 dm c) imagine agora a situação do item b, mas quando o professor Cassio foi cortar os pães de metro em pedaços de 10cm, ele não usou uma régua, mas mediu cada pedaço comparando com o tamanho do guardanapo que seria servido. Cortando dessa forma, cada pão de metro foi dividido em 8 pedaços iguais e sobrou um pedaço menor que um guardanapo, ao invés dos dez pedaços de dez cm imaginados. Qual o tamanho de cada um dos pedaços iguais do lanche se a medida do pedaço menor é de 8cm? Com esse tamanho de lanche, uma pessoa que comer 4 pedaços comerá quantos cm de lanche? Números Decimais a partir da divisão um centímetro equivale a um décimo de um decímetro Uma balança de mercado pesa em kilogramas, mas o número que representa o peso tem até três casas decimais. Então: 1,450 kg = 1450 g Quando fazemos a divisão e chegamos ao resto, esse resto é um número menor que o divisor em relação à parte inteira. Mas no sistema decimal podemos continuar efetuando a divisão e encontrando os algarismos da parte decimal. Veja um exemplo: 23 ∟5 uma grama -20 equivale a 3 Aqui a divisão teve como resto 3 unidades. Como o divisor é maior que o resto, essa divisão nos dará um número decimal, como se segue. 4 um milésimo de um kilograma EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Ao considerarmos a vírgula, faremos a divisão de 30 décimos por cinco e encontraremos o algarismo da casa do décimo sublinhada. Efetue a divisão e coloque no espaço o número encontrado. Confira com outras pessoas da sala se chegaram ao mesmo valor. 23 ∟5 -20 4, 5. Para organizar a comida da festa de confraternização do curso de iniciação à matemática do ano passado, os professores decidiram “chutar” uma quantidade de pedaços de 0,1m de pão de metro. Estimamos 5 pedaços de 10 cm, por pessoa. Veja se consegue encontrar as soluções: a) Número de pães de metro encomendados se a festa teve 30 convidados. E se fossem convidadas 45 pessoas, quantos pães de metro se precisaria? Obs: Não se pode fazer meio pão de metro, será que dá pracortar pedaços de 0,3 metro. b) Considerando que foram convidadas 45 pessoas, mas somente 30 compareceram ao evento. Quantos pedaços de pão de metro de 0,1m cada pessoa poderá comer? Esse número é razoável para representar uma quantidade? Tente pensar em uma maneira de tornar esse número melhor. 60 30 Decimal Exato É o número representado por um número finito de algarismos. Exemplos: 1) 1,2 2) 12,25 3) 0,125 Dízima Periódica Simples Neste tipo de representação decimal logo após a vírgula aparece uma repetição infinita de um grupo de algarismos chamado período. Exemplos: 1) 2) 0,3333. . . = 0,3 o período é o 3. 0,252525. . . = 2,25 o período é o 25 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática Dízima Periódica Composta Neste caso, entre a vírgula e o período aparece um grupo de algarismos que não se repete, denominado anteperíodo. Exemplos: 1) 0,1272727. . . = 0,127 : o anteperíodo é o 1 e o período é o grupo 27. 2) 6,24845845. . . = 6,24845: o anteperíodo é o grupo 24 e o período é o grupo 845. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 6. Efetue as divisões e encontre o número decimal, indicando a dízima quando ela aparecer: b) 10,1 c) 4,23 10 4,4 d) 1,086 1,086000 e) 1,075 1,0098 f) 8,011 6,95 g) 1,601 1,6 h) 7,009 7,01 i) 8,5200 8,52 j) 4,007 4,02 9. Coloque em ordem crescente os números abaixo: 2,3 2,31 2,01 1,5 0,7 0,19 1,21 a) 3 : 2 b) 5 : 2 c) 11 : 2 d) 42 : 12 e) 46 : 4 f) 10 : 4 g) 9 : 4 h) 19 : 4 i) 3 : 4 j) 9 : 5 k) 13 : 5 l) 21 : 5 m) 37 : 5 n) 5 : 6 o) 9 : 6 p) 15 : 6 Adição e subtração q) 49 : 6 r) 52 : 6 s) 9 : 7 t) 52 : 7 u) 33 : 7 v) 36 : 7 w) 11 : 9 Para efetuar estas operações não podemos, por exemplo, somar o algarismo do décimo com o algarismo do centésimo. É preciso efetuar a operação dos algarismos de cada casa decimal separadamente e fazer a equivalência. y) 88 : 9 Operações com números decimais x) 33 : 9 z) 101 : 9 Comparando Números Decimais Para comparar números decimais, primeiramente observe a parte inteira. Números com parte inteira maior são maiores e, portanto, seguem a lógica dos números naturais. Observe o exemplo abaixo: 0,02< 0,501 < 1,2 < 4,1 < 6,99 < 7 Se dois números decimais tiverem a parte inteira igual, devemos comparar a parte decimal, casa por casa. Primeiro comparamos os décimos, depois os centésimos, em seguida os milésimos, e assim por diante. Observe os exemplos: 7,36 < 7,37 10 < 10,1 11,2 > 11,16 0,123 < 0,13 7,38 > 7,37 10 < 10,001 11,2 < 11,16 0,133 > 0,13 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Armamos a conta colocando “vírgula embaixo de vírgula”; 2) para igualar as casas após a vírgula, colocamos zeros onde não há números; 3) Somamos ou subtraímos os números da mesma maneira que fazíamos com números inteiros; 4) No resultado, colocamos a vírgula na mesma posição onde ela se encontra em relação aos números somados ou subtraídos. Exemplos 1) 12,4 + 3,65 2) 6,547 – 3,25 7. Coloque em ordem crescente os números abaixo: 3,65 2,61 23,011,09 2,507 0,09 1,1 8. Usando os sinais =, > ou <, compare os números abaixo. a) 3,8 8,3 61 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 10. Calcule: 12. Calcule: a) 12,2 + 3,9 b) 0,45 + 0,865 a) 10 x 1,08 b) 100 x 0,572 c) 2,1 – 1,55 d) 14 + 9,73 c) 1000 x 1,7 d) 10 x 0,92 e) 5,4 + 0,309 + 2,141 f) 8,73 – 8,092 g) 4,05 + 0,96 + 0,09 h) 90,2 – 72,37 i) 0,9 – 0,477 j) 0,076 + 0,33 + 1,5 Obs: Você notou algo no resultado dessas multiplicações? Compare os fatores com o resultado. O que acontece com a vírgula? k) 21 – 18,77 l) 13,6 + 25 + 1,481 e) 10 x 0,098 f) 1000 x 0,0029 m) 1,66 + 1,066 + 1,666 g) 100 x 2,066 h) 100 x 1,8 n) 9,01 – 7,766 o) 100 – 69,99 i) 10 x 43,75 j) 10000 x 123,2 p) 7,71 – 5,208 + 3,7 q) 9,03 + 9,003 – 10,09 k) 1000 x 11,12 l) 100 x 15 r) 0,1 – 0,064 – 0,0025 s) 1,011 – 0,901 + 2,101 11. Calcule: 13. Calcule: a) 5 x 6,7 b) 13 x 8,1 c) 7 x 1,35 a) 14,9– 13,2 b) 0,662 – 0,23 d) 25 x 0,88 e) 21 x 6,5 f) 3,2 x 1,47 c)3,15 – 2,35 d) 21,9 – 21,3 g) 9,5 x 4,02 h) 7,8 x 4,2 i) 0,9 x 11,7 e)3,4 + 0,3 f) 6,173 + 6,327 j) 3,25 x 0,8 k) 7,7 x 4,4 l) 0,85 x 2,68 g) 4,03 + 10,93 h) 190,1 – 72,37 m) 4,2 x 0,8 n)0,6 x 6,7 o) 0,7 x 0,9 i) 0,3 + 0,477 j) 0,016 + 0,44 + 1,1 p) 1,2 x 1,5 x 0,8 k) 24 + 28,97 l) 13,6 – 5,001 + 1,481 r) 14,2 x 0,4 x 2,5 q) 16,4 x 0,3 x 0,7 s) 9,05 x2,5 x 2,5 Multiplicação 1) Multiplicamos os ignorando as virgulas; números normalmente, 2) Somamos o número de casas decimais do primeiro fator com o número de casas decimais do segundo fator. Esse será o número de casas decimais do resultado. Divisão 1) Igualamos as casas decimais após a vírgula colocando zeros; 2) Cortamos as vírgulas e fazemos a divisão da mesma maneira que os números inteiros. Exemplos Exemplo 1) 56 ÷ 2,8 1) 3,57 x 6,5 Armando a conta: Fazendo o passo 1: Passo 1: Igualamos as casas decimais Passo 2: Cortamos as vírgulas Fazendo o passo 2: 3,57 – 2 casas decimais Divisão e resultado 6,5 – 1 casa decimal 2 + 1 = 3 casas decimais no resultado: 23,205 62 Logo 56 ÷ 2,8 = 20. CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática 2) 5,5 ÷ 11 se resolver a raiz é análoga à maneira como resolvemos para os números naturais: Passo 1: Igualamos as casas com zeros. √0,49 = 0,7 porque √49 = 7 e √0,01 = 0,1 e 0,49 = 49 x 0,01 Passo 2: Cortamos as vírgulas: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Divisão passo a passo: Para medirmos quantidades de volume utilizamos normalmente o Litro (L) e o mililitro (mL), mas se consideramos uma caixa d’água, uma piscina ou um caminhão pipa, essas unidades não são boas porque os números ficam muito grandes. Nesses casos podemos considerar o metro cúbico(m³) como medida de volume. No caso, um metro cúbico equivale a mil Litros: 1 m³ = 1000 L Logo 5,5 ÷ 11 = 0,5. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Com essas informações, tente resolver o exercício abaixo: 14. Calcule: 15. Para construir uma segunda casa em seu terreno, uma pessoa construiu antes uma cisterna para acumular a água de chuva e assim economizar na conta de água durante a construção e depois dela. A cisterna construída tem capacidade de 3,5 m³. a) 39,5÷10 b) 642÷100 c) 11÷10 Obs: Você notou algo no resultado dessas divisões? Compare um dos números da divisão com o resultado. O que acontece com a vírgula? d) 2102÷100 e) 6,4÷100 g) 557÷1000 h) 84,3÷100 j) 70,8÷0,6 k) 13÷5,2 m) 5,12÷0,064 n) 15÷1,2 p) 5÷0,8 q) 21,4÷2,14 s) 1,87÷0,11 t) 3,045÷1,5 f) 2,7÷10 i) 217,8÷10 l) 0,14÷2,8 o) 0,16÷0,008 r) 29,44÷32 u) 1,035÷4,5 Potência e Raiz Quadrada Quando elevamos um número decimal à segunda potência encontramos o resultado com o dobro das casas decimais. Por exemplo: 1,1² = 1,21 1,3² = 1,69 0,09² = 0,0081 vemos que o resultado é coerente com a potência quadrada dos números naturais, mas também vemos que: 0,1² = 0,01 0,01² = 0,0001 o que pode ajudar nos cálculos, como se segue: (1,4)² = (14 x 0,1)² = 14² x 0,1² = 196 x 0,01 = 1,96 A raiz quadrada de um decimal leva em consideração a potência quadrada dos decimais, como exposto acima. Dessa forma, a maneira de a) Sabendo que a cisterna está com 2,75 m³ de água acumulada e que para cada saco de cimento se utiliza cinco baldes de água de 20 L para fazer a massa e limpar o canteiro após a obra. Quantos sacos de cimento pode se utilizar nessa construção? Se cada saco de cimento custou R$ 23,75 quantos reais foram gastos para essa quantidade de sacos? b) Após a construção da casa a pessoa notou que poderia comercializar a água acumulada na cisterna para uma pequena empreitera de seu bairro. Decidiu então vender 1 m³ de água a R$ 50,25. Qual volume de água precisa ser vendida para que a pessoa receba de volta o valor gasto com os sacos de cimento mais R$ 4.874,56 de outros materiais utilizados na construção da segunda casa? Arredondamento de números decimais Quando efetuamos cálculos com números decimais, vez ou outra nos deparamos com números com muitos algarismos na parte decimal. Sabendo agora o que representa a sexta casa após a vírgula, sabemos que sua representatividade no número final não 63 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática influenciará muito, dependendo do caso. Se estamos considerando o sistema monetário brasileiro, desconsideramos os algarismos após os centavos. Isso porque nossa menor moeda é a de um centavo. Se consideramos, em contrapartida, as dimensões de uma área em kilometros, a terceira casa após a vírgula representará o metro. Errar as medidas do terreno em 9 metros pode ser grave! Enfim, para facilitar a apresentação dos números decimais, podemos efetuar o arredondamento. Esse processo consiste em dois passos: 1. Escolher ou seguir a indicação de quantas casas decimais trabalharemos; 2. Analisar o primeiro algarismo à direita da última casa decimal que consideraremos; Venda de veículos (em mil unidades) a)Em qual mês desse período a venda de veículos foi maior? b) Em março de 2007 foram vendidos mais veículos do que em agosto de 2007. Quantos veículos a mais? c) Qual o total de veículos vendidos nos cinco últimos meses de 2006? d) Calcule o total de veículos vendidos por essa indústria nos cinco primeiros meses de 2007. 19. A balança está em equilíbrio. Que número decimal devemos colocar no lugar da interrogação? 3. Se esse algarismo for maior que 4, somamos uma unidade ao número da última casa. Exemplos considerando duas casas decimais: 1,5687 → 1,57 24,9876 → 24,99 159,369871289 → 159,37 20. João tem R$ 84,30. Pedro tem R$ 31,50 a mais que João, e José tem R$ 54,25 a menos que 75,36012 → 75,36 123,05325 → 123,05 Pedro. Quanto têm os três juntos? Exercícios Finais 16. Um caminhão pode transportar, no máximo 2000 quilogramas. Se ele deve levar 683,5 quilogramas de batata, 428,75 quilogramas de cebola, 428,75 quilogramas de alho e 1050 quilogramas diversos, seria possível transportar toda essa carga de uma única vez? Se houver excesso de carga, de quantos quilogramas é o excesso? 21. O preço à vista de um automóvel é R$ 21 335,00. O mesmo automóvel a prazo custa R$ 4 740,50 de entrada, mais 6 prestações de R$ 3 567,75. Qual a diferença entre o valor total da compra à vista e a prazo? 22. Calcule e responda: a) Em 1º de março de 2005, um dólar valia R$ 2,66. Se nessa época você comprasse 75 dólares, quantos reais você gastaria? 17. Resolva e coloque em ordem crescente: b) Em 13 de outubro de 2007, um dólar valia a) 0,33² b) 0,49² R$ 1,70. Quanto estaria valendo os 75 dólares que d) 0,54 x 9 e) 1,02² c) (5 - 1,45)² 18. O gráfico mostra a venda de veículos de uma indústria fictícia, em determinado período de tempo. você comprou 1 ano e sete meses atrás? c) Se você tivesse comprado os 75 dólares como investimento, você teria ganhado ou perdido dinheiro? Quanto? 23. O cálculo da área de um quadrado ou de retângulos, como já visto no capítulo de números naturais, consiste em multiplicar as medidas dos lados. Calcule as medidas das áreas das figuras a seguir: 64 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática a) Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m : h², onde m é a massa em quilogramas e h é a altura em metros. 2,25 m 1 b) 3,2 m 3,2 m 24. O cálculo do IPTU de acordo com a legislação envolve o desmembramento do valor venal nas diversas faixas definidas na lei, aplicação dos percentuais de acréscimo e desconto para cada faixa e soma de todos esses resultados parciais. Para facilitar o cálculo do imposto a pagar pode ser utilizada a tabela abaixo, na qual se verifica a faixa de enquadramento do valor venal do imóvel, multiplicando-o pelo fator correspondente e subtraindo-se a parcela indicada. No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos. Tabela – Imóveis utilizados exclusiva ou predominantemente como residência Faixas de Valor Venal (R$) A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são: Multiplicar por Subtrair Até R$ 150.000,00 0,007 R$ 0,00 De R$ 150.001,00 a R$ 300.000,00 0,009 R$ 300,00 atenção, essa questão é de múltipla escolha. Faça os cálculos, os interprete e escolha a alternatia correta. R$ 900,00 a) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. De R$ 300.001,00 a R$ 600.000,00 0,011 De R$ 600.001,00 a R$ 1.200.000,00 0,013 R$ 2.100,00 Acima de R$ 1.200.000,00 0,015 R$ 4.500,00 b) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso. João vai comprar um imóvel cujo valor venal é de R$ 195.500,50 e o corretor que está efetuando a venda lhe disse que o IPTU do imóvel é de R$ 1.955,06. Qual o valor do IPTU desse imóvel que João vai comprar? O corretor passou a informação correta? c)Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. d) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal. e) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal. 25. (ENEM 2011)A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o 65 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática Tarefas para casa Tarefa 1 1) Frequentemente os números decimais são associados a quantias em dinheiro. Assim, se cada unidade vale um real, cada dezena valerá dez reais, cada centena valerá cem reais e assim por diante. Assinale qual dos itens abaixo valerá um centavo, de acordo com o raciocínio exposto acima: a) uma dezena b) um décimo de unidade d) um centésimo de unidade c) um milésimo de unidade e) um milhar 2) O Professor Leonardo economizou as moedas que conseguiu durante um ano inteiro e no Natal quis comprar um presente para os pais. Depois de esvaziar o cofre, contou as seguintes quantidades de moedas: 1357 de dez centavos, 1293 de vinte e cinco centavos, 1303 de cinqüenta centavos, 1351 de um real. a) Quantos reais ele conseguiu juntar? b) O Professor Leonardo levou as moedas para um banco para trocar por dinheiro, o banco devolveu o mínimo de notas possível (por exemplo, para trocar cem reais dá somente uma nota de cem ao invés de duas de cinqüenta). Com quais notas e em que quantidade Leonardo saiu do banco? c) Se ele comprar uma máquina de lavar louça numa promoção por 1399,75. Quanto ainda sobra de dinheiro? 3 (ENEM-2010) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? Escolha uma alternativa abaixo. a) 476 b) 675 c) 923 d) 965 e) 1538 4 (Enem- 2011) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm; e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha a medida mais próxima do que precisa. Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro: a) 68,21 mm b) 68,102 mm c) 68,02 mm d) 68,012 mm e) 68,001 mm Tarefa 2 1 (FATEC- SP-2010) Há seis anos, os nanotubos eram utilizados em laboratórios acadêmicos ou industriais interessados em nanociência e nanotecnologia. O preço comercial dos nanotubos era, então, extremamente elevado. Enquanto uma empresa belga vendia o grama de nanotubos por 500 euros,, uma empresa americana vendia a mesma quantidade por 500 dólares. (www.inovacao.unicamp.br – Acesso em 13/03/2010) 66 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática Considere as informações apresentadas e faça a conversão em reais, admitindo a cotação do dólar a 1,76 reais e a do euro em 2,43 reais. Nestas condições, você conclui que, para cada grama, o preço da empresa belga é superior, em reais, a um valor igual a: a) 335 b) 380 c) 425 d) 487 e) 530 2 (ENEM- 2010) Existe uma cartilagem entre os ossos qe vai crescendo e se calcificando desde a infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interromppido. Assim, quanto maior a área não calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros. Revista Cláudia. Abril 2010 (adaptado) De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura: a) mínima de 1,458 m b) mínima de 1,477 m d) máxima de 1,720 m e) máxima de 1,750 m c) máxima de 1,480 m 3 (UNESP-SP-2008) O gráfico representa o consumo mensal de água em uma determinada residência no período de um ano. As tarifas de água para essa residência são dadas a seguir. Assim, por exemplo, o gasto no mês de março, que corresponde ao consumo de 34 m³, em reais é: 10 x 0,50 + 10 x 1,00 + 10 x 1,50 + 4 x 2,00 = 38,00 Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no ano todo. a) Note que nos meses de janeiro e fevereiro, juntos, foram consumidos 56 m³. Calcule o valor da conta de janeiro, a de fevereiro e a soma das duas contas. b) Note que o consumo de julho e agosto juntos foram iguais ao consumo de janeiro e fevereiro juntos. Calcule agora o valor da conta de julho e a de agosto e a soma das duas. Qual a diferença entre as somas de janeiro e fevereiro e a de julho e agosto? Tarefa 3 1) Calcule: 3 b) (0,75 x 2) : 0,5 + 1 a) 0,3 2 5 d) (4,45) + (0,22 x 3 + 0,44) : 0,12 3 c) (1 : 4) x [ 0,03 + (1,65 – 1) x 2 + 0,77] 2 e) 0,7 x 10 2 3 f) 0,0498 x 10 2) Leia as notícias e responda às questões abaixo 67 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática A lucrativa - e benéfica - indústria que fabrica papel a partir de fezes de elefante Gitonga Njeru Njeru da BBC no Quênia 22 maio 2016 O empreendedor queniano John Metano descobriu uma forma de aproveitar as fezes dos elefantes para lucrar. O empresário de 58 anos usa o esterco do animal para produzir papel. "Sempre me perguntam se o papel de fezes de elefante tem uma qualidade razoável, e a resposta é sim, sem dúvida", garante Metane, que emprega 42 pessoas em sua empresa e tem um lucro anual de US$ 23 mil. Para manter sua fonte de produção contínua, o empreendedor é um forte apoiador da preservação dos elefantes. Apesar de algumas pessoas acharem estranho pensar que as fezes de um elefante possam se converter em papel, essa é uma indústria crescente no Quênia. Atualmente, 17 empresas participam desse negócio "peculiar", de acordo com os números oficiais. A maior parte delas está concentrada no santuário de Mwaluganje, uma zona de proteção de elefantes de 36 quilômetros quadrados a 45 km da cidade de Mombasa. A indústria de papel de esterco de elefante teve início em um projeto piloto em 1994. Foi só uma década mais tarde, porém, que seu produto final começou a ser comercializado por agricultores locais como Matano. Por gerações, os habitantes da região tiveram de conviver com os elefantes que viviam na reserva estatal de Nacional Shimba Hills. Eles invadiam suas propriedades e destruíam seus cultivos, o que gerava conflitos graves entre as pessoas e os animais. Por conta disso, o santuário Mwaluganje foi criado em 1993 junto à reserva nacional, tanto para proteger os elefantes como para ajudar os cerca de 200 agricultores locais (o projeto tem financiamento da Agência dos Estados Unidos para o Desenvolvimento Internacional e da fundação britância Born Free Foundation) A ideia era que os agricultores da região recebessem uma parte do lucro do santuário com turismo para compensá-los pela destruição de cultivos pelos elefantes. Além disso, o santuário buscava estimular os agricultores a explorarem novas fontes de receitas como a apicultura e a venda de esterco de elefante na cadeia de produção de papel. Como se faz Segundo Matano, é "fácil" fabricar papel a partir do esterco de elefante. Primeiro, é preciso lavar as fezes, que estão cheias de ervas e outras fibras vegetais decompostas no sistema digestivo do animal. "Depois, ferve-se a fibra por quatro horas para garantir sua limpeza. A maior parte do processo restante é parecido ao da fabricação de papel normal (da madeira)", diz Matano. "Um elefante médio consome 250 quilos de comida por dia. A partir dessa quantidade são produzidos 50 quilos de esterco, que podem originar 125 folhas de papel tamanho carta." Ele assegura que tanto o preço quanto a qualidade desse produto são similares aos do papel normal, com a vantagem de o método alternativo ajudar a reduzir o desmatamento. "Isso previne a destruição de árvores nativas em florestas da região", diz Matano, que agora tem escritórios de sua empresa em Mombasa e na capital, Nairóbi. "O negócio é estável e tem um futuro promissor. É importante para que a caça (de animais selvagens) e a exportação ilegal de madeira se reduzam até serem zeradas." Proteção e negócio O Serviço de Vida Silvestre do Quênia (KWS, na sigla em inglês), uma agência do governo, diz que a indústria do papel feito de fezes de elefante está ajudando a proteger as cerca de 7 mil espécimes que vivem no Quênia e a reduzir o desmatamento ilegal. 68 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática "É um esforço importante, que ajuda a fazer as pessoas conviverem bem com os elefantes", afirma Paul Gathitu, porta-voz da organização. Segundo Kafe Mwarimo, diretor do santuário de Mwaluganke, essa indústria já ajudou mais de 500 moradores da região a saírem da pobreza. Também há médias e grandes empresas de olho no filão. Na Transpaper Kenia, uma conhecida produtora de papel sediada em Nairóbi, cerca de 20% da produção já provêm de esterco de elefante. "O papel feito a partir dos excrementos do elefante tem a mesma qualidade que o papel 'normal'. E o preço também é praticamente o mesmo", diz Jane Muihia, da Transpaper Kenia. "Ele não tem cheiro ruim, passa pelas mesmas etapas habituais de fabricação do papel." Muihuia afirma que sua empresa produziu 2.809 toneladas de papel usando esterco de animais no ano passado - e espera que esse número triplique até o final do ano. Fonte: www.bbc.com/portuguese 30/05/2016 Com quantas árvores se faz um caderno? Descubra como se fabrica o papel que tanto usamos por aí A essa altura você já deve saber: 2011 é o Ano Internacional das Florestas e uma ótima oportunidade para pensar sobre elas. Além de abrigarem uma diversidade enorme de seres vivos, cores e cheiros, as florestas nos fornecem a base para objetos muito presentes em nosso cotidiano, como o papel. Mas não pense que, para fazer papel, é preciso sair por aí derrubando árvores – já foi assim, mas, atualmente, existem plantações de árvores feitas especialmente para esse fim. São florestas formadas por apenas um tipo de árvore, especialmente escolhido para fabricar papel. “Antigamente, usava-se todo tipo de fibra para a produção de papel, até capim!”, conta o engenheiro florestal Helton Damin, da Embrapa Florestas. Hoje, as espécies mais usadas são o eucalipto e o pinus. O pinus veio do hemisfério norte e o eucalipto, lá da Oceania. Mas os dois se adaptaram muito bem aos solos brasileiros e permitiram um grande aumento na produção de papel no país. “Na década de 1960, todo o papel que existia no Brasil era importado. Agora, nós até exportamos papel”, diz Helton. Mas como a árvore vira papel? Assim que ela é cortada na floresta, seu tronco é picado em vários pedaços e apenas o recheio se tornará papel. Os galhos e folhas voltam para o solo e ajudam a adubá-lo, e a casca é usada para gerar energia por meio de sua queima. A madeira, então, passa por uma série de processos que a tornam mais mole, retiram a lignina – substância que tornaria o papel mais escuro – e separam suas fibras. Na fábrica, o papel toma cor e forma, isto é, fica branco e achatado. E é aí que se transforma em papel de caderno, de livro e até de parede! “Cada árvore de eucalipto fabrica cerca de 23 resmas de papel A4”, conta o engenheiro. Agora vamos fazer as contas: se cada resma tem 500 folhas, quantos cadernos escolares (de 90 folhas) podem ser feitos com uma árvore? Se você disse 128, acertou! Fonte: http://chc.org.br/com-quantas-arvores-se-faz-um-caderno/ De acordo com os dados dos textos, responda as questões: a) Quanto papel pode ser produzido por um único elefante, em um ano, pela empresa de John Matano? b) Essa quantidade de papel feito com esterco de um único elefante pode evitar o corte de quantos eucaliptos? c) Se considerarmos as fezes de todos os 7 mil elefantes do Quênia produzindo papel, quantas árvores deixam de ser cortadas em um ano? 69 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática FRAÇÕES As frações são números empregados nas situações em que precisamos representar quantidades resultantes da divisão de um objeto inteiro em diversas partes. Elas são formadas sempre utilizando dois números inteiros, escritos um em cima do outro e separados por uma barra. Veja o exemplo: 1 2 O número que ocupa a posição superior é chamado de numerador. O número que ocupa a posição inferior é chamado de denominador. No exemplo, 1 é o numerador e 2 é o denominador. Toda fração tem um nome próprio. Esse nome é formado por duas partes. Uma parte do nome depende do denominador e outra depende do numerador. Para entender como nomeamos as frações, vamos considerar a fração do exemplo 1. Como a fração tem denominador 2, ela é uma fração da família dos meios. O numerador indica quantos meios a fração representa. Como a fração tem numerador igual a 1, ela representa um meio e, portanto, recebe o nome de um meio. 1 = um meio 2 A mesma ideia é válida se estivermos nos referindo a frações de outras famílias, ou seja, frações que tem denominador igual a 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 100, 1000, etc. As frações de denominador 3 são chamadas de terços. As frações de denominador 4 são chamadas quartos, as de denominador 5 são chamadas quintos, as de denominador 6 são chamadas sextos e, assim sucessivamente, até os décimos. Observe alguns exemplos: 2 = dois terços 3 3 = três quartos 4 4 = quatro sextos 6 5 = cinco nonos 9 As frações cujos denominadores são maiores do que 10 são nomeadas de uma forma diferente. Para nomeá-las, deve-se escrever por extenso o numerador e o denominador, adicionando ao final da frase a palavra avos. Veja os exemplos: 70 1 = um doze avos 12 2 = dois treze avos 13 Algumas frações recebem nomes especiais. É o caso das frações de denominador 10, que são chamadas de décimos. As frações de denominador 100, chamadas de centésimos e as de denominador 1000, chamadas de milésimos. Veja alguns exemplos: 1 = um décimo 10 5 = cinco décimos 10 10 1 = um centésimo = dez centésimos 100 100 1 = um milésimo 1000 100 = cem milésimos 1000 frações como divisões As frações podem ser definidas como uma forma de representar divisões entre números inteiros. Nesse caso, o numerador da fração corresponde ao dividendo da divisão e o denominador corresponde ao divisor da divisão. Lembre-se que dividendo é o número que desejamos dividir e divisor é o número de partes em que queremos dividir o dividendo. Observe o exemplo: Qual é a fração que representa a divisão 4÷5? Como o dividendo da divisão é 4 e o divisor é 5, a fração que representa a divisão é: 4 5 É importante frisar que a divisão de qualquer número por zero é vista como algo impossível de ser realizado. Por essa razão, pode-se concluir que frações de denominador zero não existem, ou seja, não tem significado real, por mais que possamos escrevê-la no papel. Frações e os Números Decimais Como toda fração representa uma divisão, podemos sempre associar a ela um número decimal, que é o resultado da divisão que a fração representa. Veja os exemplos: 3 = 0, 75 4 6 = 1, 2 5 1 2 = 0,1 = 0, 02 10 100 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Classificação das Frações As frações são classificadas em frações próprias, impróprias, aparentes e equivalentes. Fração própria é a fração cujo numerador é menor do que o denominador. Exemplos: 1 2 5 7 3 10 Fração imprópria é a fração cujo numerador é maior do que o denominador. Exemplos: 6 5 4 3 13 10 Fração aparente é a fração cujo numerador é múltiplo do denominador. Exemplos: 3 3 5 1 6 3 15 5 5 =5 1 6 =2 3 15 =3 5 20 =5 4 Exercícios de fixação 1. Dê nome para as frações abaixo: 1 2 3 4 6 7 5 a) b) c) d) e) f) g) 20 6 3 2 4 5 7 h) 9 4 5 10 200 i) j) k) l) 13 12 10 100 1000 2. Escreva as frações abaixo na forma de números decimais. a) 1 3 2 1 2 9 10 b) c) c) d) e) f) 6 10 8 2 4 5 4 13 14 2 g) i) j) 5 16 15 7 k) 8 Você deve ter observado que as três frações correspondem ao número 0,5 (cinco décimos). Isso significa que, embora tenham sido escritas com numeradores e denominadores diferentes, todas elas representam o mesmo valor. Devido a isso, podemos dizer que essas frações são equivalentes. 1 2 3 = = = ... 2 4 6 Observe que indicamos as frações equivalentes usando o sinal de igualdade. Isso significa que podemos substituir uma fração pela outra sempre que for conveniente, já que elas são iguais. 20 4 Cabe ressaltar que as frações aparentes representam uma divisão cujo resultado é um número inteiro: 3 =1 3 1 =1 ÷ 2 = 0,5 2 2 = 2 ÷ 4 = 0,5 4 3 = 3 ÷ 6 = 0,5 6 13 l) 25 3. Quais frações do exercício anterior são frações próprias, quais são impróprias e quais são aparentes? 4. É possível existir frações de denominador igual a zero? Explique a sua resposta. Frações Equivalentes Frações equivalentes são frações que representam valores iguais. Por exemplo, observe as frações abaixo e o número decimal que é associado a cada uma delas: As reticências (três pontinhos) indicam que a lista de frações equivalentes a 0,5 continua indefinidamente (são infinitas). É possível afirmar isso com segurança, pois sabemos que sempre poderemos encontrar divisões envolvendo números cada vez maiores, resultando todas elas no valor 0,5. Como obter frações equivalentes? Para obter frações equivalentes, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma certa fração por números de nossa escolha. Por exemplo, vamos considerar a fração três quintos: 3 5 Multiplicando numerador e denominador por 3 obtemos a fração nove quinze avos: 3 3× 3 9 = = 5 5 × 3 15 Fazendo a divisão de 9 por 15, percebemos que o resultado é o mesmo da divisão de 3 por 5, isto é, seis décimos (0,6), o que comprava que as duas frações são equivalentes: 3 9 = = 0, 6 5 15 Agora, vamos considerar a fração cinco quinze avos e mostrar que, em vez de multiplicar, podemos também encontrar frações equivalentes por meio da divisão do numerador e denominador por um número que seja divisor tanto do numerador quanto do Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 71 Matemática denominador, ou seja, quando o número é um divisor comum de ambos: 12 16 Podemos encontrar uma fração equivalente se dividirmos numerador e denominador pelo número 4, que é divisor comum de 12 e de 16: 12 12 ÷ 4 3 = = 16 16 ÷ 4 4 Fazendo a divisão de 3 por 4, percebemos que o resultado é o mesmo da divisão de 12 por 16, isto é, setenta e cinco centésimos (0,75), o que comprava que as duas frações são equivalentes. 12 3 = = 0, 75 16 4 Esse procedimento de obtenção de frações equivalentes por meio da divisão do numerador e denominador é também chamado de simplificação de frações. Ele é bastante útil ao realizar operações com frações de numerador e denominador grandes. Vamos explorar um pouco essa técnica que usaremos bastante ao manipular frações. Logo, a fração três quartos é a forma simplificada da fração dezoito vinte e quatro avos. Inverso de uma Fração O conceito de número inverso já foi introduzido no capítulo 1 (Números Naturais). Saiba, no entanto, que esse conceito também é válido para as frações. Para encontrarmos o inverso de uma fração basta trocar o denominador e o numerador de lugar: o denominador passa a ser o numerador e o numerador passa a ser o denominador. Veja os exemplos: 1) O inverso de 1 2 é . 2 1 2) O inverso de 4 5 é . 5 4 Exercícios de fixação 5. Nos itens abaixo, encontre 3 frações equivalentes, multiplicando numerador e denominador das frações dadas pelos números 4, 5 e 6: a) 1 1 3 1 2 5 1 2 7 b) c) d) e) f) g) h) i) 3 4 9 5 2 5 6 10 3 Veja alguns exemplos de simplificação de frações: Exemplo 1: 15 25 A primeira medida a ser tomada é encontrar o máximo divisor comum (M.D.C.) de 15 e 25. Caso você não se lembre de como encontrar o M.D.C. de dois números, volte ao capítulo 2 e faça uma rápida revisão desse assunto. O máximo divisor comum (M.D.C.) de 15 e 25 é 5. Portanto, para simplificar a fração devemos dividir numerador e denominador da fração por 5: 15 15 ÷ 5 3 = = 25 25 ÷ 5 5 6. Marque o item com a fração equivalente a a) 1 2 b) 1 3 c) 3 4 d) 5 7 a) 10 6 b) 5 12 c) 15 12 d) 20 24 5 : 6 6 e) 5 8. Na coluna da esquerda temos algumas frações. Cada uma está identificada com uma letra de A até F. Marque na coluna da direita a letra que corresponde à fração equivalente da coluna da esquerda: 18 24 O máximo divisor comum (M.D.C.) de 18 e 24 é 6. Portanto, para simplificar a fração devemos dividir numerador e denominador da fração por 6: 18 18 ÷ 6 3 = = 24 24 ÷ 6 4 72 2 5 7. Marque o item com a fração equivalente a Logo, a fração três quintos é a forma simplificada da fração quinze vinte e cinco avos. Exemplo 2: e) 15 : 21 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 4 ( A) 8 3 ( B) 2 12 (C ) 15 4 ( D) 7 10 (E) 8 1 (F ) 10 4 ( ) 5 5 ( ) 4 12 ( ) 24 10 ( ) 100 15 ( ) 10 20 ( ) 35 9. Encontre uma fração equivalente a três meios que tenha denominador igual a 12. 10. Encontre uma fração equivalente a quatro terços que tenha denominador igual a 9. 11. Encontre uma fração equivalente a cinco quartos que tenha denominador igual a 24. Frações de denominadores iguais Quando as frações tem denominadores iguais, basta comparar os numeradores. A fração que tiver o maior numerador é a fração maior. A fração que tiver o menor numerador é a fração menor. Veja o exemplo: 1) Compare as frações 2 1 e 3 3 A fração dois terços é maior que a fração um terço, pois o numerador 2 é maior que o numerador 1. Podemos dizer isso, usando o sinal de maior (>) ou o sinal de menor (<): 2 1 > 3 3 ou 1 2 < 3 3 Frações de denominadores diferentes Quando as frações têm denominadores diferentes, precisamos encontrar frações equivalentes de denominador igual, antes de fazer a comparação. Em seguida, executamos o mesmo procedimento descrito para o caso de denominadores iguais. Veja o exemplo: 12. Encontre uma fração equivalente a um sétimo que tenha denominador igual a 35. 13. Encontre uma fração equivalente a 20 doze avos que tenha denominador igual a 4. 14. Encontre uma fração equivalente a dez quintos que tenham denominador igual a 1. 15. Simplifique as frações: a) 8 9 10 27 32 70 b) c) e) f) d) 12 25 40 12 36 18 14 49 g) h) 42 35 16. Encontre o inverso das frações abaixo: a) 3 10 13 1 2 8 9 b) c) e) f) d) g) 4 8 5 2 5 2 6 comparação de frações Comparar frações consiste em dizer se uma fração é maior, menor ou igual a outra fração. Para indicar essa comparação utilizamos os sinais de comparação: maior (>), menor (<) ou igual (=). Ao comparar duas frações podemos nos deparar com duas situações. Ou as frações comparadas têm denominadores iguais ou denominadores diferentes. 1) Compare as frações 2 3 e 3 4 Para encontrar frações equivalentes, calculamos o M.M.C. dos denominadores. primeiro Caso você não se lembre de como encontrar o M.M.C. de dois números, volte ao capítulo 2 e faça uma rápida revisão desse assunto. O M.M.C. de 3 e 4 é 12, portanto devemos encontrar frações equivalentes de denominador 12: 2 2× 4 8 = = 3 3 × 4 12 3 3× 3 9 = = 4 4 × 3 12 A fração oito doze avos é menor que a fração nove doze avos, pois o numerador 8 é menor que o numerador 8. Podemos dizer isso, usando o sinal de maior (>) ou o sinal de menor (<): 2 3 < 3 4 2) Compare as frações ou 3 2 > 4 3 2 3 e 3 4 Para encontrar frações equivalentes, calculamos o M.M.C. dos denominadores. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt primeiro 73 Matemática O M.M.C. de 3 e 4 é 12, portanto devemos encontrar frações equivalentes de denominador 12: Exercícios de fixação 2 2× 4 8 = = 3 3 × 4 12 18. Efetue as somas abaixo e, se possível, simplifique os resultados: 3 3× 3 9 = = 4 4 × 3 12 a) A fração oito doze avos é menor que a fração nove doze avos, pois o numerador 8 é menor que o numerador 8. Podemos dizer isso, usando o sinal de maior (>) ou o sinal de menor (<): 2 3 < 3 4 ou Exercícios de fixação 17. Compare as frações usando os sinais de comparação (>, < ou =): 2 4 3 2 5 8 e b) e c) e 6 6 7 7 6 3 6 6 7 8 6 7 e) e f) e g) e 9 12 4 5 5 6 18 12 i) e 27 18 19. Efetue as subtrações abaixo e, se possível, simplifique os resultados: 7 1 8 7 11 7 18 3 b) − c) d) − − − 3 3 2 2 4 4 5 5 13 4 10 6 18 3 4 4 e) f) g) h) − − − − 15 15 9 9 10 10 8 8 a) 3 2 > 4 3 a) 4 3 3 7 8 12 1 2 c) + b) + + d) + 3 3 2 2 4 4 5 5 1 2 7 5 5 4 2 4 e) + f) g) + h) + + 8 8 15 15 6 6 9 9 1 1 e 2 5 15 12 h) e 20 16 d) Operações com Frações Soma e subtração de frações de denominadores diferentes Quando a soma ou subtração envolver frações de denominadores diferentes é necessário primeiro convertê-las em frações equivalentes de denominadores iguais. Apenas após esse procedimento podemos efetuar a soma e subtração. Vejamos como exemplo a soma entre as frações dois quartos e dois terços: 2 2 + 4 3 Já aprendemos no capítulo sobre números naturais quais são as operações básicas da aritmética. São elas: a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão. Vamos estudar agora como realizamos essas operações com frações. Observamos de imediato que as frações têm denominadores diferentes. A primeira ação que devemos tomar, portanto, é encontrar o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores 4 e 3. Soma e subtração de fração de denominadores iguais Caso você não se lembre de como encontrar o M.M.C. de dois números, volte ao capítulo 2 e faça uma rápida revisão desse assunto. Quando a soma e a subtração envolver frações de denominadores iguais, devemos efetuar os cálculos apenas entre os numeradores, conservando os denominadores. O M.M.C. de 4 e 3 é 12. Portanto, para prosseguirmos com a soma, precisamos encontrar frações equivalentes a dois quartos e a dois terços que tenham denominador 12. Como resultado da soma ou subtração entre duas frações de denominadores iguais, é obtida uma nova fração, em que numerador será igual à soma ou subtração entre os numeradores e o denominador será igual ao denominador das frações somadas ou subtraídas. Para encontrar a fração equivalente a dois quartos de denominador 12, precisamos multiplicar numerador e denominador por 3: Para entender melhor, veja os exemplos abaixo: Para encontrar a fração equivalente a dois terços de denominador 12, precisamos multiplicar numerador e denominador por 4: 3 1 3 +1 4 + = = 2 2 2 2 1 2 1+ 2 3 += = 3 3 3 3 4 1 4 −1 3 −= = 5 5 5 5 5 2 5−2 3 −= = 7 7 7 7 74 2 2×3 6 = = 4 4 × 3 12 2 2× 4 8 = = 3 3 × 4 12 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Depois disso, podemos refazer a soma, trocando as frações originais pelas frações equivalentes, seis doze avos e oito doze avos: 4 7 8 7 1 − = − = 5 10 10 10 10 6 8 + 12 12 Soma e subtração entre um número inteiro e uma fração Agora que os denominadores são iguais, podemos executar o procedimento padrão da soma de frações, ou seja, somar os numeradores e conservar o denominador: 6 8 6 + 8 14 + = = 12 12 12 12 O resultado é a fração catorze doze avos. Por último, cabe observar que todo esse procedimento explicado é válido também para o caso em que se deseja efetuar subtrações entre frações. Veja um exemplo com subtação: 2 2 8 6 8−6 2 − = − = = 3 4 12 12 12 12 Pode ocorrer de precisarmos somar ou subtrair um número inteiro e uma fração. Nesse caso precisamos, transformar o número inteiro numa fração, antes de prosseguir com a operação. Para isso basta lembrar que qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de fração, adicionando o número 1 como denominador. Veja o exemplo: Exemplo 3: 2 + 3 2 O número inteiro 2 escrito como fração é: 2= Abaixo seguem alguns exemplos resolvidos: 2 1 Exemplo 1: + 3 4 Trocando o número 2 pela fração acima, obtemos uma soma entre duas frações: 2+ M.M.C. entre 3 e 4 = 12. Frações equivalentes de denominador igual a 12: 3 2 3 = + 2 1 2 O M.M.C de 1 e 2 é 2. 2 2× 4 8 = = 3 3 × 4 12 Fração equivalente de denominador 2: 2 2× 2 4 = = 1 1× 2 2 1 1× 3 3 = = 4 4 × 3 12 Soma com as frações equivalentes de denominador 12: 2 1 8 3 11 + = + = 3 4 12 12 12 Exemplo 2: 2 1 4 7 − 5 10 Soma com as frações equivalentes de denominador 2: 2 3 4 3 7 + = + = 1 2 2 2 2 Exemplo 4: 1 − 3 4 O número inteiro 1 escrito como fração é: 1= M.M.C. entre 5 e 10 = 10. Note que a fração sete décimos já possui denominador igual a 10, por isso precisamos achar apenas a fração equivalente a quatro quintos. Trocando o número 1 pela fração acima, obtemos uma subtração entre duas frações: Achar fração equivalente de denominador igual a 10: 4 4× 2 8 = = 5 5 × 2 10 Efetuando a subtração: 1 1 1− 3 1 3 = − 4 1 4 O M.M.C. de 1 e 4 é 4. Fração equivalente de denominador 4: Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 75 Matemática 1 1× 4 4 = = 1 1× 4 4 multiplicação. Para isso executamos o seguinte procedimento: Troca-se o sinal da divisão pelo sinal da multiplicação e inverte-se a fração da direita. Dessa forma, transformamos a divisão numa multiplicação. Subtração com as frações equivalentes de denominador 4: 1 3 4 3 1 − = − = 1 4 4 4 4 Para facilitar a compreensão veja o exemplo: Exercícios de fixação 1 5 1 3 ÷ = × 4 3 4 5 20. Efetue as somas abaixo e simplifique o resultado, quando possível: 4 3 a) + 3 2 3 2 + 4 5 f) 1 4 + 4 12 1 5 b) + 4 3 g) 6 + 4 8 3 5 c) + 2 6 h) 3 6 + 15 10 4 d) 2 + 5 i) e) 4 +1 12 21. Efetue as subtrações abaixo e simplifique o resultado, quando possível: a) 6 6 1 4 3 1 1 3 b) 1 − c) − d) − e) 1 − − 9 8 5 7 2 5 4 7 f) 13 4 4 4 1 1 g) 1 − h) − i) 1 − − 7 25 10 8 6 9 Multiplicação e divisão entre frações O resultado da multiplicação entre duas frações é também uma fração. Essa fração é obtida aplicandose uma regra que pode ser enunciada assim: Agora basta aplicar a regra de multiplicação entre frações: 1 5 1 3 1× 3 3 ÷ = × = = 4 3 4 5 4 × 5 20 É importante destacar o caso de multiplicação e divisão entre frações e números inteiros. Veja o exemplo: 4× 3 5 Para resolver casos desse tipo, devemos transformar um número inteiro numa fração. Para isso, basta escrever esse número como uma fração de denominador igual a 1. O número inteiro 4 pode ser transformado na fração: 4 1 Substituindo o número 4 pela sua fração, chegamos num caso comum de multiplicação entre duas frações: 4 3 4 × 3 12 ×= = 1 5 1× 5 5 Veja mais alguns exemplos resolvidos: Quando duas frações são multiplicadas, deve-se multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. 1) 6 2 6 × 2 12 ×= = 5 3 5 × 3 15 Para facilitar a compreensão, veja o exemplo: 2) 1 7 1× 7 7 ×= = 6 3 6 × 3 18 1 5 1× 5 5 ×= = 4 3 4 × 3 12 O resultado da divisão entre duas frações é também uma fração. É possível aplicar uma regra análoga àquela usada na multiplicação, ou seja, dividir numerador com numerador e denominador com denominador, no entanto essa regra pode ser de difícil aplicação, pois na maioria das situações ela levaria a divisões não exatas. Em razão disso, geralmente utilizamos um método alternativo para dividir frações. Esse método alternativo consiste em transformar a divisão numa 76 4 3 4 2 4× 2 8 ÷ = × = = 3 2 3 3 3× 3 9 1 1 1 2 1× 2 2 = 4) ÷ = × = 5 2 5 1 5 ×1 5 3) 5) 7× 3 7 3 7 × 3 21 = × = = 7 1 7 1× 7 7 6) 1÷ 1 1 1 1 2 1× 2 2 = ÷ = × = = 2 1 2 1 1 1× 1 1 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Exercícios de fixação 22. Efetue as multiplicações abaixo e simplifique o resultado, quando possível: a) 5 9 1 2 2 7 4 6 4 × d) 2 × e) × × b) × c) 12 6 11 5 5 6 8 8 7 f) 8 × 3 6 7 3 10 49 6 g) i) × h) × × 21 8 36 14 22 15 9 23. Efetue as divisões abaixo e simplifique o resultado, quando possível: a) f) 4 3 12 3 1 1 1 10 b) 2 ÷ c) ÷ d) ÷ e) 5 ÷ ÷ 8 2 5 7 2 5 15 7 Que fração representa quanto da circuferência acima foi pintado? A circunferência acima foi dividida em 9 partes iguais, dos quais 7 foram pintados. A fração que representa quanto da circunferência foi pintada tem como denominador o total de partes em que a figura foi dividida e como numerador o número de partes pintadas. Logo, a fração que indica quanto do retângulo foi pintado é: 7 9 Exemplo 3: 14 4 1 1 1 6 5 g) 1 ÷ h) i) ÷ ÷ ÷ 21 14 15 10 3 8 16 O retângulo acima foi dividida em 6 partes iguais, sendo que todas foram pintados. Aplicações Vimos no decorrer do capítulo os conceitos fundamentais das frações. Agora podemos avançar e explorar as situações mais comuns em que elas são utilizadas. Relação Parte-todo Note que todo o retângulo foi pintado. Logo, a fração que indica quanto do retângulo foi pintado é igual a 1: 6 =1 6 As frações podem ser usadas para indicar a quantidade de partes em relação a um todo. Observe que nesse caso a fração representa o todo, que é sempre igual 1. Não se esqueça disso: o todo é sempre representado pelo número 1. Nesse caso, o numerador será o número de partes que estamos tomando e o denominador será o número de partes do todo. Exemplo 4: Represente a fração Exemplo 1: Que fração representa quanto do retângulo foi pintado? O retângulo acima foi dividido em 4 partes iguais, das quais 3 foram pintadas. A fração que indica quanto do retângulo foi pintado tem como denominador o total de partes em que o retângulo foi dividido e como numerador o número de partes pintadas. Logo, a fração que indica quanto do retângulo foi pintado é: 3 4 Exemplo 2: partes pintadas total de partes 2 usando o retângulo: 5 O denominador da fração indica a quantidade de partes iguais em que devemos dividir o todo. O numerador indica quantas dessas partes devemos tomar. Portanto, devemos dividir a figura em 4 partes e tomar 3 delas. Exemplo 5: Num colégio há 120 estudantes, dentre os quais 64 são meninas e 56 são meninos. Que fração que representa a quantidade de meninos e meninas em relação ao total de estudantes? A fração que representa a quantidade de meninas em relação ao total é: total de meninas Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 77 Matemática 64 120 Exercícios de fixação total de alunos Após simplificar: 24. Escreva as frações que indicam quanto de cada figura foi pintado: 64 64 ÷ 8 8 = = 120 120 ÷ 8 15 A fração que representa a quantidade de meninas em relação ao total é: 48 120 a) b) c) d) e) f) total de meninos total de alunos Após simplificar: 56 56 ÷ 8 7 = = 120 120 ÷ 8 15 Operador Multiplicativo 25. João convidou 36 pessoas para sua festa de aniversário, porém, apenas 12 pessoas confirmaram presença. a) Qual é a fração que representa o número de pessoas que confirmaram presença? outra aplicação comum é a partir de uma fração determinar a quantidade de partes de um todo. b) Qual é a fração que representa o número de pessoas ausentes? nesses casos, devemos multiplicar a fração pelo todo. o resultado será a quantidade de partes de um todo expressa pela fração. 26. Marta comprou uma caixa de bombom que continha 15 unidades. Ela deixou que sua irmã Lúcia, Exemplo 1: que é apaixonada por bombons, comesse até 2 de uma turma de 60 alunos tem mais de 16 anos 3 de idade. Quantos alunos dessa turma tem mais de 16 anos? Podemos resolver esse tipo de problema de duas maneiras. O resultado da multiplicação fornece a 2 quantidade de alunos correspondente à fração : 3 2 2 60 120 × 60 = × = =40 alunos 3 3 1 3 Exemplo 2: 3 de uma hora tem quantos minutos? 4 Encontramos a resposta multiplicando a fração pelo total de minutos contidos em um hora (60 minutos): 3 3 60 180 × 60 = × = =45 minutos 4 4 1 4 bombons. Qual é o número de bombons que Lúcia está autorizada a comer? 27. Antes de viajar para a praia, Renata encheu o tanque de seu carro com 50 litros de gasolina. Chegando à praia, percebeu que tinha consumido dois quintos do tanque. a) Quantos litros de gasolina foram consumidos na viagem? b) Supondo que Renata vá consumir na viagem de volta o mesmo que consumiu na ida, ela precisará reabastecer o carro antes de voltar? 28. Numa sala de aula com 60 alunos, três quintos dos alunos são mulheres. Quantos homens há nessa sala de aula? Tarefa para casa Tarefa 1 1. Calcule: a) 2 4 6 3 b) + + 3 5 7 4 c) 1 1 − 2 4 d) 5 1 − 7 3 2. Calcule: 78 3 dos 5 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática a) 7 12 16 3 b) × × 9 21 21 4 c) 3 1 ÷ 2 4 d) 5 15 ÷ 24 8 3. Escreva as frações abaixo em ordem crescente (da menor para a maior): a) 4 3 5 6 , , , 3 4 6 5 b) 5 8 9 11 , , , 18 12 24 30 4. Escreva as frações abaixo em ordem decrescente (da maior para a menor): 5 3 1 2 a) , , , 9 8 2 3 3 2 1 4 b) , , , 4 3 2 5 Tarefa 2 1. Represente as frações nas figuras abaixo: a) segunda fase. Depois de 3 jogos, Pedro conseguiu obter 8 pontos. Que fração dos pontos necessários para se classificar Pedro já obteve? Que fração dos pontos necessários falta para Pedro se classificar? Tarefa 3 2. Uma caixa de cerveja custa 12 reais. Qual é o preço de 1 de uma caixa? 3 3. Para construir um muro um pedreiro precisa de 180 tijolos. Quantos tijolos são necessário para construir 5 desse muro? 6 4. Clara é uma leitora voraz, mas só tem tempo de ler aos finais de semana. Ela comprou um livro na sexta- 2 3 feira, no sábado ela leu mais b) 1 de duas horas? 3 1. Quantos minutos há em 4 6 1 do livro, no domingo ela 4 1 e ainda sobraram 70 páginas. Quantas 3 páginas tem esse livro? 4 de uma faixa mede 15 metros. Quantos metros 5 2 5mede dessa faixa? 5 5. c) 5 5 6. Se 3 de uma estrada mede 450 km, quanto mede 5 a estrada inteira? d) 5 3 3. Ana está há 4 horas viajando para visitar uma amiga. O motorista do ônibus informou que faltam ainda 5 horas de viagem. Que fração da viagem Ana já percorreu? Que fração falta para que Ana complete a viagem? 4. Pedro está competindo num torneio de xadrez em que são necessários 15 pontos para se classficar à Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 79 Matemática PORCENTAGEM Para escrever a porcentagem correspondente a 2 ou 5 Porcentagem é um modo econômico de escrever frações de denominador igual a 100. 40 , basta omitir a base e colocar o sinal de 100 O sinal de porcentagem (%) é o símbolo utilizado para indicar que o denominador da fração é 100. O numerador da fração é o número que vem antes do sinal %. porcentagem depois do numerador: 40 = 40% 100 Veja o exemplo: 25% = Pronto. A fração 25 100 40%. Quando for possível, podemos simplificar a fração de denominador 100, dividindo o numerador e denominador por um mesmo número. Por exemplo, vamos simplificar a fração 25 100 dividindo numerador e denominador por 25: Como as frações e 1 4 são EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Transforme as porcentagens abaixo em frações de base 100: a) 35% b) 45% c) 75% d) 20% e) 10% f) 30% g) 15% 2. Agora simplifique as frações obtidas no exercício anterior a fim de obter frações equivalentes com a menor base possível. 25 25 ÷ 25 1 = = 100 100 ÷ 25 4 25 100 2 equivale à porcentagem 5 frações 3. Transforme as frações abaixo em porcentagem. a) 1/5 b) 3/10 c) 2/4 d) 8/20 e) 5/8 f) 4/5 g) 2/12 equivalentes, ambas representam a porcentagem 25%. Da mesma forma que podemos escrever uma porcentagem na forma de fração, podemos também escrever qualquer fração como uma porcentagem. Vamos usar a fração 2 como exemplo. 5 Encontramos essa fração equivalente através da multiplicação do numerador e denominador por um número que produza um denominador igual a 100. 2 , que número será esse? 5 Para descobrir esse número, basta dividir 100 por 5. Como o resultado dessa divisão é 20, concluímos que devemos multiplicar tanto o numerador quanto a base de com base igual a 100: 2 2 × 20 40 = = 5 5 × 20 100 80 25% dos jogadores de um time de futebol tem mais de 30 anos. Sabendo que esse time tem 24 jogadores, quantos jogadores tem mais de 30 anos? A porcentagem representa uma quantidade de um todo de coisas. No exemplo acima, o todo corresponde ao número de jogadores do time, ou seja, o todo corresponde a 24 jogadores. Para encontrar a quantidade que equivale a 25%, precisamos descobrir que fração é representada pela porcentagem 25%, ou seja, precisamos transformar 25% numa fração: 25 100 25 1 Como já vimos, e são frações equivalentes, 4 100 1 certo? Vamos usar então a fração no lugar da 4 25 fração , para facilitar nossas contas. 100 25% = 2 por 20. 5 Fazendo isso, obtemos uma fração equivalente a Agora vamos ver como são usadas as porcentagens na prática. Observe o exemplo abaixo: Para transformá-la numa porcentagem, primeiro devemos encontrar uma fração equivalente de denominador 100. No caso da fração Aplicação 2 5 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Para encontrar a quantidade de jogadores maiores 1 de 30 anos, devemos multiplicar a fração pelo 4 total de jogadores: 1 24 1 24 ×1 24 24 × = × = = = 6 4 1 4 1× 4 4 Chegamos então ao resultado de 6. Logo, existem 6 jogadores maiores de 30 anos. Vejamos agora outra forma de usar porcentagens. Agora devemos escrever a fração 60 usando o 100 símbolo de porcentagem: 60 = 60% 100 Pronto! Chegamos ao que queríamos: 60% dos convidados compareceram à festa. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Agora temos em mãos um problema inverso ao interior. 4. Responda as perguntas abaixo: a) Quanto é 10% de 120? b) Quanto é 45% de 260? c) Quanto é 75% de 40? d) Quanto é 1% de 200? e) Quanto é 60% de 450? f) Quanto é 10% de 120? Em vez de descobrir qual a quantidade de presentes, precisamos encontrar que porcentagem equivale aos 12 convidados presentes na festa. 5. Numa escola de 600 alunos, 35% dos alunos não pratica nenhum esporte regularmente. Quantos alunos não praticam esportes regularmente? Precisamos saber primeiro qual é o todo. No presente caso, o todo é o total de pessoas convidadas, ou seja, o todo é igual a 20. 6. Uma empresa teve em 2015 um lucro de 150 mil reais. O lucro obtido deverá ser dividido entre os seus três sócios: Antônio, Clarice e Marta. Antônio tem direito a 25% dos lucros, Clarice tem direito a 35% e Marta tem direito a 40%. Quanto cada um deverá ganhar? Observe o exemplo abaixo: Carla convidou 20 pessoas para sua festa de 30 anos, mas apenas 12 convidados apareceram. Qual a porcentagem dos convidados estava presente na festa? Agora precisamos encontrar a fração que representa a quantidade de presentes. O denominador da fração que procuramos corresponde à quantidade de convidados, já o numerador corresponde à quantidade de convidados que estava presente, ou seja, a base é 16 e o numerador é 12. Portanto, a fração procurada é: 12 20 7. Responde as perguntas abaixo: a) 45 equivale a que porcentagem de 90? b) 15 equivale a que porcentagem de 80? c) 105 equivale a que porcentagem de 140? d) 1 equivale a que porcentagem de 100? Dessa forma, descobrimos qual é a fração que representa a quantidade de presentes. e) 36 equivale a que porcentagem de 60? Para encontrar a porcentagem correspondente a essa fração, precisamos encontrar uma fração 8. Fernanda leu 150 páginas de um livro de 250 páginas. Que porcentagem do livro ela leu? equivalente a 12 de denominador 100. 20 Para isso, precisamos multiplicar o numerador e denominador de 12 por qual número? Por 5, certo? 20 E por que 5? Porque 100 dividido por 20 é igual a 5. Logo, a fração equivalente a 12 de denominador 100 20 é obtida multiplicando o numerador e o denominador por 5: 12 12 × 5 60 = = 20 20 × 5 100 f) 200 equivale a que porcentagem de 500? 9. Mário pesquisou o preço de um celular que pensava comprar de presente para sua namorada. Há três meses atrás o celular custava 1000 reais, hoje o celular custa 1200 reais. Que porcentagem representa o aumento no preço do celular? 10. A conta de telefone de Beatriz há dois meses custou de 40 reais. Na última conta, o valor da conta caiu 4 reais. Qual porcentagem representa a redução no valor da conta? 11. Um feirante aumentou o preço do quilo de batatas em 12%. Se o preço do quilo antes do aumento era 9 reais, qual será o preço depois do aumento? Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 81 Matemática 12. A mensalidade da escola do filho de Marta custava 700 reais em 2015. Em 2016, Marta recebeu um desconto de 30% na mensalidade por ter indicado um novo aluno. Quanto ela passou a pagar de mensalidade depois do desconto? 13. Pedro tinha uma dívida de 1460 reais no cartão de crédito. Depois da negociação, recebeu um desconto de 20%. Quanto ele terá que pagar para quitar sua dívida? Tarefas para casa Tarefa 1 1. Escreva as porcentagens abaixo na forma de fração: a) 1% b) 5% c) 12% d) 20% e) 25% f) 50% g) 75% h) 100% i) 200% j) 300% 2. Escreva as frações abaixo na forma de porcentagens: a) 1 3 b) 10 5 c) 15 25 d) 7 20 e) 12 3 f) 16 8 h) 24 32 3. Num concurso realizado para professor de matemática, o índice de faltas foi de 25%. Sabendo que havia 300 inscritos no concurso, quantos se ausentaram? 4. Antonio atrasou o pagamento do cartão de crédito e deve pagar multa de 12% sobre o valor da fatura. Sabendo que a fatura atrasada tem o valor de R$ 284,00, quanto Antonio terá de pagar pela multa? Tarefa 2 1. Ao anotar seus gastos mensais de Agosto, Leonardo notou que sua conta de celular havia subido 12% em relação a de Julho. Sabendo que a conta de Julho custou R$ 45, quanto custou a conta de Agosto? 2. Carla reparou que sua conta de luz teve uma redução de R$ 12 em relação ao mês anterior. Sabendo que a conta anterior custou R$ 60, qual porcentagem representa a redução obtida? 3. Uma loja de eletrodomésticos foi denunciada ao PRONCON por propaganda enganosa. A denúncia afirmava que a loja havia descumprido a promessa de oferecer desconto de 20% em todos os produtos. O PROCON decidiu que a empresa deveria indenizar os clientes enganados. Patrícia comprou nessa loja uma TV por R$ 1.200 que antes custava RS 1.500 e não sabe se tem direito à indenização. Patrícia tem direito ou não à indenização? 82 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática NÚMEROS NEGATIVOS Números Negativos Como vimos, os Números Naturais surgiram da necessidade de contar objetos. Os números naturais são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Quando somamos números naturais sempre obtemos outro número natural, por exemplo: 2+6=8 21 + 35 = 56 10 + 7 = 17 Da mesma forma podemos fazer algumas contas de subtração com números naturais resultando em outro número natural: 5–2=3 5–4=1 5–3=2 5–5=0 Mas qual é o resultado das subtrações abaixo? 5–6=? 5–8=? 5–7=? 5–9=? O resultado dessas operações não são números naturais, são números negativos e aparecem sempre que subtraímos um número natural de outro menor que ele. Os Números negativos são indicados com um traço na frente do número: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, ... Assim como os números naturais, existem infinitos números negativos. Podemos relacionar os números negativos com fatos do dia-a-dia. Observe os exemplos. Exemplo 1 Pedro e Bia possuem contas no banco. Pedro tem 100 reais no banco e Bia tem 250 reais na sua conta. Se ambos pagarem uma conta de 150 reais, quanto dinheiro ficará na conta de cada um? Como Bia tinha 250 reais e pagou uma dívida de 150 reais, concluímos que sobraram 100 reais na sua conta. Já Pedro tinha apenas 100 reais na conta, e para pagar os 150 reais, teve que ficar devendo 50 reais ao banco. Seu saldo é de –50 (menos cinquenta). Exemplo 2 Na cidade A, a temperatura no fim da tarde era de 8 graus centígrados. E na cidade B a temperatura era de 2 graus centígrados. Durante a noite houve uma redução de 5 graus em ambas as cidades. Qual a temperatura que cada cidade atingiu durante a noite? Números Inteiros Os Números Inteiros são formados a partir da junção dos números naturais com os números negativos. O conjunto dos Números Inteiros é normalmente representado com a letra 𝑍𝑍. 𝑍𝑍 = {...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...} Representação dos Números Inteiros na Reta Numérica Um recurso para representar os números inteiros é a reta numérica. Seu uso é muito comum, por exemplo, em réguas e termômetros. Escolhemos na reta um ponto de origem (que corresponde ao número zero) e, a partir de uma distância padrão, marcamos os demais pontos. Cada ponto dessa reta corresponde um número inteiro. Na reta abaixo temos indicados alguns números inteiros: Sinal O sinal “+” (mais) indica que o número é positivo (maior do que zero) e o sinal “–“ (menos) indica que é negativo (menor do que zero). Quando o número está sem o sinal consideramos que ele é positivo. Números Opostos Dizemos que dois números inteiros são opostos (ou simétricos) quando possuem a mesma distância até a origem da reta (o número zero). Exemplos: • Os números +4 e -4 são opostos, pois estão a uma mesma distância da origem (o número zero); • Os números +15 e -15 são opostos, pois estão a uma mesma distância da origem; • Os números + 21 e -21 são opostos. Módulo Chamamos de módulo de um número (ou valor absoluto) a distância que este número está da origem da reta. Por exemplo: • O módulo dos números +4 e -4 é 4, pois 4 é a distância desses números até a origem (número zero); Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 83 Matemática • O módulo dos números +15 e -15 é 15, pois 15 é a distância desses números até o número zero. OBS: se tiver dúvidas sobre os símbolos “>” (maior que) e “<” (menor que), volte ao primeiro capítulo. • O módulo dos números 21 e -21 é 21, pois 21 é a distância desses números até a origem (número zero); 1. Coloque os números inteiros a seguir em ordem crescente:– 10, 5, 0, – 2, 3, – 21, 32 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2. Indique na reta numérica o oposto de cada número do exercício anterior. 3. Complete a tabela abaixo: -12 Oposto 38,74 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 6. Coloque os números inteiros em ordem crescente. a) 5; – 1; 4; 1; – 3; – 11; 12 b) 21; 14; – 20; – 21; – 13; 7; 0 Módulo +57 -0,5 Resolução – 21 < – 10 < – 2 < 0 < 3 < 5 < 32 1. Construa uma reta numérica e localize os seguintes números inteiros: +7, – 4, 1, 0, –2 e 6. Número 20 Exercício Resolvido 100 55,61 7. Coloque os números em ordem crescente. a) 1,5 1,51 10,1 b) 2,7 –2,09 –1,5 –0,2 –0,15 –10,0 0,1 3,11 –3,12 0,3 –2,1 8. Identifique se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Corrija as que forem falsas. a) +7 = 7 b) +7 = –7 c) 7 = +7 f) 0 > –7 g) –85 < –83 e) 68 < –69 d) 42 > – 43 h) –10 > 9 4. Quais são os números inteiros que têm módulo menor que 3. Adição e subtração 5. Quais números inteiros têm módulo maior que 7 e menor que 11. Para entender como somamos ou subtraímos dois números inteiros, utilizaremos a reta numérica. Comparação entre Números Inteiros Se pegarmos dois números inteiros, aquele que estiver mais a direita na reta numérica será o maior. Por conseguinte o que estiver mais a esquerda será o menor. ... < – 4 < – 3 < – 2 < – 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < ... Dessa maneira um número positivo é maior do que qualquer número negativo. Quando comparamos dois números positivos, o maior é aquele mais distante do zero. E quando comparamos dois números negativos, o maior é o mais próximo do zero. Observe a reta e analise os exemplos: 84 –3<0 ou 0 > –3 –7<–4 ou –4>–7 –5<2 ou 2>–5 0<3 ou 3>0 3<6 ou 6>3 Começamos sempre do zero. Números positivos são casas que andaremos para direita, e números negativos são casas que andaremos para esquerda. Observe os exemplos: Exemplo 1 2+5=7 Partimos do zero, andamos 2 unidades para direita e mais 5 unidades para a direita, chegando ao número 7. Exemplo 2 –3+7=4 Nesse caso, partimos do zero, andamos 3 unidades para esquerda e 7 unidades para a direita, chegando ao número 4. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Exemplo 3 10. Calcule usando a reta numérica: a) 5 – 3 g) –5 + 3 m) –7 – 3 b) 5 – 4 h) –5 + 4 n) –1 – 4 c) 5 – 5 i) –5 + 5 o) –7 – 2 d) 5 – 6 j) –5 + 6 p) –2 – 0 e) 5 – 7 k) –5 + 7 q) 0 + 5 Partimos do zero, andamos 7 unidades para esquerda e 6 unidades para a direita, chegando ao número – 1. f) 5 – 8 l) –5 + 8 r) 2 + 5 Exemplo 4 a) 15 – 3 b) –15 + 3 c) –15 – 3 d) 21 – 17 e) –22 + 14 f) –65 – 35 g) 16 – 25 h) –65 + 15 i) –21 – 0 j) 32 – 35 k) –97 + 100 l) –20 – 50 m) 0 – 27 n) –64 + 70 o) +78 + 2 p) 51 – 82 q) –40 + 80 r) +87 – 33 a) 5,7 – 2,4 b) –9,8 + 3,3 c) –1,5 – 3,12 d) 2,9 – 1,9 e) –15 + 13,5 f) –21,7 – 3,21 –7+6=–1 7–5=2 Partimos do zero, andamos 7 unidades para direita e 5 unidades para a esquerda, chegando ao número 2. Exemplo 5 4–7=–3 11. Calcule: 12. Calcule: g) 12,6 – 20,8 h) –42,5 + 15,7 i) –2,1 – 0,9 j) 36,12 – 41 k) –40,2 + 51,1 l) –27,35 – 50,21 m) 0,9 – 27 n) –53 + 70,7 o) +78,52 + 2,48 13. Calcule: Partimos do zero, andamos 4 unidades para direita e 7 unidades para a esquerda, chegando ao número – 3. Exemplo 6 –1–6=–7 Partimos do zero, andamos 1 unidade para esquerda e mais 6 unidades para a esquerda, chegando ao número – 7. 3 1 a) − 8 4 1 4 d) − 9 3 7 17 g) − 2 3 2 1 j) − 15 3 5 1 b) − + 6 2 12 2 e) − + 7 3 7 1 h) − + 12 2 12 15 k) − + 11 7 Multiplicação c) − 2 − 1 3 7 −3 10 12 i) − 7 − 7 25 l) − 1 − 7 f) − Observe os exemplos: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 9. Observe outros exemplos, e tente relacionar com a reta numérica fazendo desenhos: (+2) x (+3) = +6 (+2) x (–3) = –6 (–2) x (+3) = –6 (–2) x (–3) = +6 a) 10 + 0 = 10 b) – 21 + 15 = – 6 c) 15 + 1 = 16 d) – 32 + 45 = 13 e) – 17 + 0 = –17 f) 0 + 51 = 51 O símbolo “ x ” indica multiplicação. Outro símbolo utilizado é “•”. Quando multiplicamos números inteiros colocamos os fatores entre parênteses para indicar o sinal. Quando o sinal é omitido, entendemos que o número é positivo. g) – 12 + 7 = –5 h) – 64 + 64 = 0 Observe que: i) 12 – 0 = 10 j) – 18 – 12 = – 30 k) – 25 – 1 = 26 l) 32 – 15 = 17 m) – 29 – 0 = –29 n) 0 – 65 = 65 • Se os números tiverem o mesmo sinal, o resultado da multiplicação será positivo; • Se tiverem sinais diferentes, o resultado será negativo. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 85 Matemática Regra de sinais Observe que: (+) x (+) = (+) (+) x (–) = (–) (–) x (+) = (–) (–) x (–) = (+) Exemplos: • Se os números tiverem o mesmo sinal, o resultado da divisão será positivo; • Se tiverem sinais diferentes, o resultado será negativo. Regra de sinais (+) ÷ (+) = (+) –4 x (–5) = –20 (+) ÷ (–) = (–) (+4)x (–5) = –20 (–4) x (+5) = –20 (–) ÷ (+) = (–) 4x (–5) = –20 –4 x 5 = –20 (–) ÷ (–) = (+) 4 x 5 = 20 (–4) x (–5) = –20 (+4) x (+5) = +20 Note que os parênteses são obrigatórios somente no caso em que o segundo fator é um número negativo. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 14. Calcule a) 3 x 7 b) 4x (– 9) c) –5 x (– 6) d) – 6 x 8 e) +7 x (– 8) f) 0 x (– 9) g) –8 x (+4) h) (– 9) x 6 i) (+5) x (+8) a) 3 x 17 b) 14 x (– 5) c) –15 x (– 6) d) – 10 x 7 e) +17 x (– 8) f) 21 x (– 21) g) –8 x (+24) h) (– 29) x 16 i) (+15) x (+81) 15. Calcule: Note que a regra de sinais é a mesma tanto na multiplicação como na divisão. Exemplos: 72 ÷ 8 = 9 (– 72) ÷ (– 8) = – 9 (+72) ÷ (+8) = +9 – 72÷ (– 8) = – 9 (+72) ÷ (– 8) = –9 (– 72) ÷ (+8) = – 9 72÷ (– 8) = –9 – 72÷ 5 = – 9 Observe que os parênteses são obrigatórios em poucos casos. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 18. Calcule: a) 21÷ 7 b) 45 ÷ (– 9) c) –54 ÷ (– 6) d) –64 ÷ 8 e) +72 ÷ (– 8) f) 0 ÷ (– 9) d) 5,5 x (– 2,3) e) 26 x (–12,5) f) –2,17 x (–3,21) g) –24 ÷ (+4) h) (–18) ÷ 6 i) (+56) ÷ (+8) g) 14,6 x (–2,9) h) –13,5 x 1,57 i) 2,13 x (–0,913) 19. Calcule: 17. Calcule e simplifique quando possível: a) 102÷17 b) +140÷(–5) c) –156÷ (–6) d) –126÷7 e) 108÷(–18) f) 216÷(– 216) g) –96÷(+24) h) (–1284)÷6 i) (+588) ÷ (+7) 16. Calcule: a) 5 x 2,4 b) –1,8 x 3 2 1 a) × 5 4 12 5 d) × �− � 19 3 Divisão 15 2 × 6 3 11 12 e) − × 6 5 b) − c) –2,2 x (–3,1) 5 c) − 4 × �− � 2 121 f) − × (−5) 10 a) 1,2 ÷ (–2,4) b) –9,8 ÷ 1,96 c) –3,12 ÷ (–1,5) d) 2 ÷ (–1,25) Observe os exemplos: (+6) ÷ (+3) = +2 (+6) ÷(–3) = –2 (–6) ÷ (+3) = –2 (–6) ÷ (–3) = +2 O símbolo “÷” indica divisão. Assim como na multiplicação, quando dividimos números inteiros colocamos os fatores entre parênteses para indicar o sinal. Quando o sinal é omitido, entendemos que o número é positivo. 86 20. Calcule: e) –17 ÷ 13,5 f) 852,51÷(–27,15) g) –1,02 ÷ 1,7 h) – 42,25 ÷ 5 i) –2,175 ÷ (–0,9) 21. Calcule: 7 21 a) ÷ �− � 8 4 2 6 d) ÷ �− � 9 13 15 1 ÷ 6 2 12 21 e) − ÷ 17 4 b) − 1 c) − 3 ÷ �− � 3 7 f) − ÷ (−21) 13 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Soma e subtração com parênteses Potenciação com Números Inteiros São situações onde o número 1 está oculto e existe uma multiplicação a ser feita, também oculta. Basta realizar as regras de sinais para multiplicação que caímos numa situação sem parênteses. Veja os exemplos: Como vimos, a potência indica uma multiplicação sucessiva de um mesmo número. O mesmo vale para os números negativos. Observe os exemplos: 2 (–2) = (–2) x (–2) = 4 3 Exemplo 1 (–2) = (–2) x (–2) x (–2) = –8 4 (–2) = (–2) x (–2) x (–2) x (–2) = 16 15 – (– 6) = 5 (–2) = (–2) x (–2) x (–2)x (–2) x (–2) = –32 15 – 1 x (– 6) = 2 (–3) = (–3) x (–3) = 9 15 + 6 = 21 3 (–3) = (–3) x (–3) x (–3) = – 27 Note “– 1 • (– 6) = + 6 ” devido à regra de sinal: menos vezes menos é mais. Exemplo 2 Devido à regra de sinais, temos que: • Um número negativo elevado a um número par resulta em um número positivo; • Um número negativo elevado a um número ímpar resulta em um número negativo. 15 – (+ 6) = 15 – 1 x (+ 6) = 15 – 6 = 9 Note “– 1 • (+ 6) = – 6 ” devido à regra de sinal: menos vezes mais é menos. Exemplo 3 15 + (– 6) = 15 + 1 x (– 6) = Para os números negativos continuam valendo as regras: • Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo; • Todo número elevado a 0 é igual a 1. Exemplos: 15 – 6 = 21 1 (–13) = –13 Note “+ 1 • (– 6) = – 6 ” devido à regra de sinal: mais vezes menos é mais. Exemplo 4 0 (–13) = 1 1 (–27) = – 27 0 (–27) = 1 15 + (+ 6) = 15 + 1 x (+ 6) = 15 + 6 = 21 Note “+ 1 x (+ 6) = + 6” devido à regra de sinal: mais vezes mais é mais. Observação Os parênteses são importantes quando usamos potência com base negativa. Observe: 2 (–2) = (–2) x (–2) = 4 2 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO –2 = – 2 x 2 = – 4 Portanto: 22. Calcule: a) –7 + (+ 6) b) +14 + (–5) c) 6 – (+10) d) –9 – (– 16) e) –21 + (– 9) f) 24 + (– 39) EXERCÍCIO g) 35 – (–18) h) –49 – (+16) i) +68 + (–95) 24. Calcule: j) –44 + (+37) k) (+60) – (+50) l) (–75) + (+85) a) (– 4) 2 b) (– 4) 3 c) (– 3) m) (–99) + (–2) n) (+93) – (–12) o) (–36) – (–42) d) (– 3) 5 e) (– 2) 6 f) (– 2) 23. Calcule: a) –12 + 9 g) (– 4) 1 h) (– 4) 0 i) (– 5) 4 4 l) (– 7) 0 b) +27 – 15 c) 16 – (+10) d) –17 – (– 25) e) –51 – 19 f) 43 + (– 69) g) 65 – (–88) h) –59 – (+32) i) 72 – 105 j) –44 + (+37) k) –49 – (+16) l) +68 + (–95) (–2) ≠ –2 2 j) (– 7) 3 k) (– 7) m) (– 2,5) p) (– 1,5) 2 1 3 7 n) (– 3,71) q) (– 1,5) 4 4 0 o) (– 0,2) 4 r) (– 3,17) Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 2 87 Matemática Raiz quadrada de Números Inteiros Como vimos no capítulo anterior: observada. Tomemos a expressão abaixo como exemplo: [23 × (−10 + 5)] 2 √4 = 2,pois 2 = 4 Deve-se calcular primeiramente as operações que estão dentro dos parênteses: 2 √49 = 7,pois 7 = 49 [23 × (−10 + 5)] Porém qual é o resultado de: √−4 = ? Estamos procurando o número que elevado ao quadrado resulta em – 4. Note que: 2 (–2) = (–2) x (–2) = 4 2 2 =2x2=4 [23 × (−5)] Em seguida, resolvemos as operações dentro dos colchetes. Existem duas operações a serem realizadas, a potenciação e a multiplicação. Como a potenciação tem prioridade sobre a multiplicação, ela deve ser resolvida antes: [23 × (−5)] Concluímos que não existe número que elevado ao quadrado resulta em – 4. De maneira geral, podemos dizer que não existe número que elevado ao quadrado resulta em um número negativo. E, portanto, não existe raiz quadrada de número negativo. [8 × (−5)] Assim, resta apenas uma operação dentro do colchetes a ser efetuada, a multiplicação. Após efetuá-la, encontramos a reposta final: [8 × (−5)] EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 25. Calcule a raiz quadrada dos números abaixo, se existir. a) √−1 b) √1 c) √−9 h) √100 i) √121 d) √16 e) −√16 j) √169 k) −√169 g) √−49 l) −√196 m) √196 n) √225 a) √−0,01 b) √0,01 c) √−0,09 h) √1,21 i) −√1,21 P 26. Calcule a raiz quadrada, se existir. d) √0,16 e) −√0,16 j) √1,69 k) −√1,69 g) √−0,49 P o) √−225 f) √0,49 l) −√1,96 Expressões numéricas No capítulo anterior vimos que existe uma ordem de prioridade na resolução das expressões numérica envolvendo as operações básicas. As operações de potência e raiz quadrada, introduzidas nesse capítulo, também aparecem nas expressões numéricas e possuem prioridade maior do que a multiplicação e divisão. Isso significa que antes de efetuarmos multiplicações e divisões devemos resolver as potências e raízes quadradas, na ordem que aparecerem. Apesar disso, a prioridade entre os sinais gráficos (parênteses, colchetes e chaves) continua existindo e também precisa ser 88 Se, em vez da potência, houvesse uma raiz quadrada, seguiríamos a mesma sequência de cálculo, como é mostrado abaixo: [√121 × (−10 + 5)] f) √49 P −40. [√121 × (−5)] [11 × (−5)] −55. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 27. Resolva as expressões numéricas. a) −(−9) − (+5) + (−6) − 7 b) 6 − (−32 + 15) c) 97 − [18 + (13 − 20)] + 24 d) −5 + [6 − (+11) − 7] e) −2 − [3 + (−11 − 10 + 7) − 4] f) 11 + [15 × (−4) − 13 × (−2)] g) 24 − [9 × (3 − 12)] h) 27 ÷ (−9) − [−96 ÷ (−8) + 15] i) −9 × (−49) ÷ (+7) − 5 × [(−6 − 8)] j) 15 + {6 + [8 + (−48) ÷ 12 × (−2)] × 7} ÷ 2 k) 26 × (−3) + [(−45) ÷ (+9) × (−3)] l) 57 − [14 × (−4)] ÷ [(−8) × (42 ÷ 6)] m) (−13) × [(−72) × (+18) ÷ (+16)] − (−22) n) 81 ÷ [−37 + 15 × (−4) ÷ (−6)] o) [−238 ÷ (+7)] − [(−25) × (−3)] Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática 32. Observe a tabela que descreve a movimentação de dinheiro em uma conta de banco. O sinal positivo dos números da coluna “Movimentação” indicam que foi feito um depósito e os sinais negativos indicam que foi feito uma retirada de dinheiro. Exercícios Finais 28. 17. Calcule as expressões numéricas. a) −√256 ÷ [(−2) × 22 ] b) 15 × (512 ÷ 23 ) − �√400 × (52 − 5)� c) [54 − (−3)3 ] ÷ [(−6) × 22 + 15] Data Movimentação (reais) Saldo (reais) 12/01/2014 –– 1020 13/01/2014 – 640 380 13/01/2014 + 45 29. 16. Resolva as expressões numéricas: 14/01/2014 – 694 a) −(−10,3) − (+5,27) + (−0,6) − 7,15 b) −12,7 + [3,21 + (−21 + 10,95 − 27,1) − 4] c) 51,28 − [15,3 × (−24,9) + 23,2 × (−12)] d) [−20 × (−4,95)] ÷ 7,5 − 5,2 × (−6,78 − 8,52) 17/01/2014 – 79 19/01/2014 + 170 20/01/2014 + 737 d) (−4)3 − �√144 × (53 − 120)� 0 e) 24 ÷ f) (−1)2 2 − �8 ÷ (−√64)� (−26 + 82 − 128) ÷ (−1238)2 33. Se a temperatura em Santa Catarina foi de 15 graus ontem e de –7 graus hoje, qual foi a queda de temperatura entre os dois dias? 30. Resolva as expressões numéricas: 9 2 5 3 a) − �− � − �+ � + (− 2 5 7 4 b) − − � + �−1 − c) 11 7 d) − +� 9 16 15 × 14 �− × ��− 4 10 7 4 + �− � 3 8 15 4 1 �− 15 21 48 �÷ 5 1 )− 12 3 2 × �− �� (+3)� − 4 × 15 5 4 �− − 2� 31. Altitude de um ponto é a distância vertical medida entre aquele ponto e o nível do mar. Um avião encontra-se a 1500 metros de altitude. Ao longo da viagem são registradas quatro variações de altitude: 100 metros, – 75 metros, – 200 metros e 39 metros. Calcule a altitude em que estava o avião após as 4 variações. 34. Na física, utilizamos muitas vezes a medida de temperatura na escala Kelvin. Para passar uma medida de temperatura em graus Celsius para Kelvin, basta adicionar 273 à medida em graus Celsius. Acompanhe o exemplo: 20 graus Celsius = 20 + 273 = 293 Kelvin = 293 K. Baseado nisso, transforme as seguintes temperaturas para a escala Kelvin: a) 27 ºC b) – 45 ºC c) – 56 ºC d) – 71 ºC e) – 256 ºC 35. 21. Baseado no exercício anterior, transforme as seguintes medidas de temperatura da escala Kelvin para a escala em graus Celsius: a) 0 K b) 35 K c) 158 K d) 203 K e) 405 K Tarefas para casa Tarefa 1 1) Sete amigos viajaram nas férias para sete cidades diferentes. Cada um dos amigos registrou a temperatura que estava marcando no momento que chegou ao destino. Com essas informações foi possível montar a seguinte tabela: NOME CIDADE TEMPERATURA Paula Belo Horizonte 25,6° C Rafaela Porto 5,7° C Leandro Estocolmo – 20,1° C Joaquim Luanda 32,1° C Ana Montevideo – 0,7° C Pedro Joanesburgo 12,7° C Maria Quebec – 15,7° C a) Em qual país fica cada uma dessas cidades? Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 89 Matemática b) Qual cidade registrava a maior temperatura? E a menor? c) Coloque as temperaturas em ordem crescente. Em seguida coloque as temperaturas em uma reta numérica. 2) Se algo está acima do nível do mar, usamos um número positivo para representar sua altura. Se está abaixo do nível do mar, usamos um número negativo para representar sua altura. Portanto o nível do mar está na altura zero. Leia os exemplos. A Fossa das Marianas é o local mais profundo da terra, atingindo uma altura de – 11.035 metros. O Monte Everest e o ponto mais alto do planeta e está a 8.848 metros acima do nível do mar. Fontes: http://porviagensmelhores.com/2014/10/fossa-das-marianas-o-lugar-mais-fundo-da-terra/ https://eco4u.wordpress.com/tag/fossa-das-marianas/ 90 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Observe a figura abaixo e responda: a) Em qual altura está o helicóptero? E o cesto do balão? b) Em qual altura está o casco do navio? E o navio naufragado? Fonte: https://matematicasdivertidas6.wordpress.com/recta-numerica/ Tarefa 2 1) Leia o exercício 2 da tarefa 1 e responda: a) Qual a distância entre o ponto mais alto do planeta Terra e o ponto mais baixo? b) Qual a distância entre o barco naufragado e o helicóptero? 2) Na lista abaixo (fictícia) está o nome de várias pessoas e sua situação financeira em relação à receita federal. Algumas pessoas são credoras ou seja, a receita federal deve dinheiro à elas. Outras pessoas são devedoras, ou seja, devem dinheiro à receita federal. João da Silva – R$ 1.450,26 Ricardo Cortez R$ 2.902,01 Rafael Perez R$ 976,55 Leonardo Mourão – R$ 15,68 Lucas Pontes – R$ 464,24 Adriana Moura – R$ 4880,05 Rebeca da Silva – R$ 1.027,98 Marta Pinheiro – R$ 893,75 Silvia de Souza R$ 500,34 Gabrieal Moraes R$ 0,00 Sabe-se que Marta Pinheiro é devedora, ou seja, deve R$ 893,75 à receita. a) Quais são os devedores listados na tabela? Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 91 Matemática b) Quais são os credores listados na tabela? c) Quem é o maior devedor? d) E quem é o maior credor? e) Faça uma outra tabela quase igual a essa, porém colocando os valores em ordem crescente junto com as pessoas associadas a esses valores. f) Quanto a receita federal vai receber dos devedores? g) Quanto a receita federal vai pagar no total a todos os credores? h) Imagine que você é o funcionário da receita federal que vai regularizar a situação de todas essas pessoas. Após você pagar e receber de todos, quanto dinheiro ficará? 2) Leia o texto abaixo, adaptado de https://pt.wikipedia.org/wiki/Kelvin Escala kelvin O kelvin (símbolo K) é nome de uma unidade de medida para temperaturas. Outra unidade de medida de temperatura conhecida é o grau Cesius. A escala kelvin recebeu este nome em homenagem ao físico e engenheiro irlandês William Thomson (1824 – 1907), 1º barão Kelvin, que escreveu sobre a necessidade de uma "escala termométrica absoluta". A escala kelvin foi proposta em 1854 por William Thomson (Lorde Kelvin), que escreveu em seu artigo, On an Absolute Thermometric Scale, a necessidade de uma escala em que "frio infinito" (zero absoluto - a temperatura mais baixa possível) fosse o ponto zero da escala. Thomson calculou que o zero absoluto é equivalente a –273,15 °C. Esta escala absoluta é conhecida hoje como a escala de temperatura termodinâmica kelvin. O zero absoluto, na escala Kelvin, é a temperatura de menor energia de um sistema, no entanto nenhum sistema pode ser esfriado até tal temperatura. Uma das temperaturas mais baixas já atingidas em laboratório foi de 4 K. Nessa temperatura, o hélio torna-se líquido. O texto acima diz que zero absoluto é uma temperatura muito baixa. Dois modos muito conhecidos de medir temperatura são as escalas Celsius (a mais utilizada) e Kelvin. A temperatura chamada de zero absoluto é 0 Kelvin (ou 0 K). A temperatura medida em graus Celsius é aquela que vemos todos os dias na previsão do tempo por exemplo. Quando a jornalista diz que a máxima é de 25 graus (ou 25 °C) em São Paulo, ela quer dizer 25 graus Celsius. Se conhecemos uma medida em Kelvin e queremos conhecê-la em graus Celsius, basta subtrair 273,15 dessa medida. O resultado será a medida em graus Celsius. Se conhecemos uma medida em graus Celsius e queremos conhecê-la em Kelvin, basta somar 273,15 dessa medida. O resultado será a medida em Kelvin. Observe os exemplos: 1º exemplo: 30 K equivale à – 243,15º C, pois 30 – 273,15 = – 243,15 1º exemplo: 25º C equivale à – 298,15 K, pois 25 + 273,15 = 298,15 Responda as questões: a) Qual é a temperatura de zero absoluto em graus Celsius? b) A medida de 30 Kelvin equivale a qual medida em graus Celsius? c) A medida de 100 graus Celsius equivale a qual medida em Kelvin? 3) Um caderno de laboratório continha a seguinte tabela de temperaturas, medidas em um dos seus experimentos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 355 °C 10 K 81,87 K 1 °C – 45 °C 20 K – 81,01 °C 192,1 K 100 K Utilizando os conhecimentos da questão anterior, coloque as medidas em ordem decrescente. 92 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática Tarefa 3 1) Num jogo de perguntas e respostas a pontuação é contabilizada da seguinte maneira: • Se o jogador acerta a pergunta, ele ganha 2 pontos; • Se o jogador erra a pergunta, ele perde 3 pontos; • Se o jogador decidir pular a pergunta, ele perde 1 ponto; Sabendo que o jogo tem o total de 10 perguntas, responda: a) Qual a máxima pontuação que se pode fazer? b) Qual a mínima pontuação que se pode fazer? c) O quadro abaixo indica o desempenho de quatro jogadores. Com base nele, determine a pontuação final após o fim do jogo e diga como ficou a classificação: Jogador Acertos Erros Pulos Lucas 8 1 1 Silvana 4 4 2 Rafael 6 1 3 Clarice 8 2 0 Pontuação 2) Complete a tabela abaixo com o resultado das multiplicações: x +6,5 –8 +2,67 +7 –3 +4 (+4) x (– 8) = - 32 – 5,2 0 0 x (– 2) = 0 3) Complete a tabela abaixo com o resultado das divisões: ÷ +24 – 48 3 +0,72 – 2,4 +4 (– 48) ÷ (+ 4) = – 12 –6 +0,5 (3) ÷ (+ 0,5) = 6 4) Complete os quadradinhos abaixo, conforme o que se pede:  Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor resultante da soma do número +6 ao valor do quadradinho da esquerda. – 24 + (+6) = – 18 – 24 – 18  Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor que se encontra subtraindo o número +6 do valor do quadradinho da esquerda. –12 – (+6) = – 18 – 12 – 18 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 93 Matemática  Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor resultante da soma do número -8 ao valor do quadradinho da esquerda. +30 + (– 8) = + 22 +30 + 22  Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor que se encontra subtraindo o número -8 do valor do quadradinho da esquerda. – 6 – (– 8) = + 2 –6 +2  Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor resultante da soma do número +4,7 ao valor do quadradinho da esquerda. – 24 + (+4,7) = – 19,3 – 24 – 19,3  Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor que se encontra subtraindo o número +6 do valor do quadradinho da esquerda. –12,1 – (+0,6) = – 12,7 – 12,1 – 12,7  Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor resultante da soma do número -8 ao valor do quadradinho da esquerda. +30,29 + (– 8,16) = + 22,13 +30,29  + 22,13 Preencha, sucessivamente, o quadradinho da direita com o valor que se encontra subtraindo o número -8 do valor do quadradinho da esquerda. – 62,48 – (– 41,37) = – 21,11 – 62,48 94 – 21,11 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática POTENCIAÇÃO 3. Calcule: Vimos até aqui como a potenciação ocorre nos diferentes números: naturais, inteiros, racionais e frações. Até aqui, os expoentes da fração sempre apareceram como números positivos como nos exemplos: 1 2 2 3 3 , � � , (- 2) , etc... 4 Vamos agora estudar algumas propriedades da potenciação e também os casos em que os expoentes da potenciação podem ser números negativos, como nos exemplos abaixo: 1 −5 -2 4 A potenciação, na matemática, simboliza a ocorrência de repetidas multiplicações. No caso abaixo: 2 =2x2x2= 8 (Lê-se: “dois elevado à terceira potência é igual a oito” ou “dois à terceira é igual a oito”) vemos que o número 3, sobrescrito, indica que devemos fazer uma multiplicação com três fatores do número dois, ou seja, devemos “multiplicar o 3 número dois três vezes para obter 2 ”. Da mesma forma, no caso abaixo: −33 = �� −3�𝑥𝑥���� − 3� 𝑥𝑥�− �� 3 = −27 3 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 (Lê-se: “três negativo elevado à terceira potência é igual a vinte e sete negativo” ou “menos três à terceira é igual a menos vinte e sete”) Como já vimos, no caso anterior, o – 3 é chamado de base, o 3 positivo é o expoente e é o resultado. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 5 c) 3³ g) 5² h) 7³ i) 8 0 d) 3² 1 j) 9 e) 10³ f) 4² 2 k) 10 2. Calcule: a)(−10)2 b)(−2)5 i) (−8)4 j) (−9)1 m) −72 q) −33 j) (−1,1)3 f)(−6)2 n) (−7)2 r) (−3)3 c) (−3)3 d)(−3)2 k) (−10)0 l) −62 g) (−5)3 o) −14 32 5 g) − 2 h) (−7)3 p) (−1)4 −32 h) (1,5)2 5 k) (−3,65)0 l) (−4,658)1 4. Calcule o valor das expressões abaixo: a) 102 × 23 b) 24 + 25 − (−3)2 103 d) 32 × (−2)1 + 20 102 f) ((−2)2 )3 + ((−2)3 )2 g) ((24 )0 )32 64 i) 3 6 33 j) 2 3 n)81 x 8² v) � h) (23 − 32 ) × 52 (−3)1 z) (- 1,1) � 2 26 l) 4 2 k) 2³ x 2² o) (2 + 3)3 2 w) 7,1 aa) �− � 5 2 3 � (−7)1 u) (- 0,4)² 2 0 x) � (−7)3 q) - 2 2 3 t) � m) 5 p) 10² s) - 3² 22 � 1 y) 9,6 8 5 5. Existe alguma diferença entre as expressões – 2 2 0,2 e (- 0,2) ? Pode-se dizer que os parênteses alteram o resultado? 6. Observe o exemplo abaixo e complete a tabela: Potência 3,00 4 -2,00 8 0,90 3 -1,25 2 2 − 3 (-7) 1. Calcule: e) (−10)3 (−5)2 f)− 3 2 5 d) − �− � i)−3 × ��(−3−2) × (−1)3 � × 51 � × [(−7 + 2 × 3)0 ]2 r) 0,3³ 3 vezes b) 2 1 2 3 c) − �− � e) (−7)2 − 52 Relembrando.... a) 10² 3 5 5 1 3 3 b) �− � e) − �− � c) 3 , � � , etc... 3 1 2 3 a)�− � Base Expoente Resultado 3 4 3 x 3 x 3 x 3 = 81 3 1 9 10 2 0,654 − 6 5 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 81 100 0,64 1 − 216 125 95 Matemática Jeito II: 22 × 21 = 22+1 = 23 = 8 Propriedades Propriedade 1 A potenciação se distribui na multiplicação e na divisão. Veja os exemplos abaixo: 1. (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100 2. (−3 × 4)3 = (−3)3 × 43 = −27 × 64 = −1728 4 3 � −2 43 3. � = (−2)3 = 64 −8 = −8 (Note que cada uma dessas contas também pode ser resolvida de uma outra forma, efetuando-se a multiplicação ou a divisão primeiro.) e)73 × 7 7. Resolva as expressões a seguir de duas formas, seguindo a resolução dos itens a e b. a) (2 𝑥𝑥 5)2 Resolução: Jeito I: (2 × 5)2 = (10)2 = 100 Jeito II: (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100 4 3 � −2 = 2 x 2x 2 1) 23 22 = 23−2 = 21 = 2 =2x2 = (-4) x (-4) x (-4) (−4)3 (−4)1 Jeito II: c) �3 𝑥𝑥 (−4)� 2 4 � −4 f) � 2 g) = (−2)3 = −8 4 3 � � −2 = 9 43 (−2)3 d) � � −10 3 � � 5 −3 3 = 64 −8 = −8 e) (4 𝑥𝑥 4)2 Se houver uma multiplicação de potências de mesma base, podemos apenas somar os expoentes. Exemplos: 1) 23 × 22 = 22+3 = 25 = 32 =2x2x2x2x2 2) (−3)1 × (−3)3 = (−3)1+3 = (−3)4 = 81 = -3 = -3 x -3 x 3 = -3x -3 x -3 x -3 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 8. Resolva as expressões a seguir de duas formas, seguindo a resolução do item a. Resolução: 22 × 21 Jeito I: 22 × 21 = 4 × 2 = 8 96 = (-4) = (-4) x (-4) = (−4)2 = 16 9. Resolva as expressões a seguir de duas formas, seguindo a resolução do item a. a) 22 21 Resolução: Jeito II: b) 22 21 (−3)2 (−3)2 22 21 4 2 = =2 = 22−1 = 21 = 2 44 42 c) 82 80 d) e) (−7)3 −7 Obs: Note que quando dividimos uma potência por ela mesma o resultado deve ser 1. Veja o exemplo abaixo: 4 2 = 1= 2 4− 4= 20 4 2 Propriedade 2 =2x2x2=2x2 = (−4)3−1 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Resolução: 4 3 � −2 d)82 × 80 Se houver uma divisão de potências de mesma base, podemos apenas subtrair os expoentes. Exemplos: Jeito I: Jeito I:� c)42 × 43 Propriedade 3 2) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO b) � b) (−3)2 × (−3)2 É por isso que 20 = 1. E, consequentemente, qualquer número elevado a 0 é igual a 1. Propriedade 4 Se um número é submetido a duas potências, simultaneamente, podemos multiplicar os expoentes.Exemplo: 1) (23 )2 = 22 𝑥𝑥 3 = 26 = 64 2) ((−4)32 )0 = (−4)32 𝑥𝑥 0 = (−4)0 = 1 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10. Resolva as expressões a seguir de duas formas, seguindo a resolução do ítem a. a) (23 )2 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática e) 8−2 Resolução: h)10−1 i) 2−2 Jeito I:(23 )2 = (8)2 = 64 Jeito II: (23 )2 = 23 𝑥𝑥 2 = 26 = 64 b) ((−2)3 )2 c) (42 )2 e) (25 )2 Potencia com expoente negativo Note que: 2 3− 5 = 2− 2 5= 2 2 Ou seja, se o expoente no denominador for maior do que no numerador, podemos cair em uma situação com expoente negativo. Como resolver? Basta lembrar que: 2 8 1 1 2 = = =� � 5 2 32 4 2 2 1 2 =� � 2 40 43 1 3 1 1 3 = 4−3 = 43 = �4� e daí 4−3 = �4� Resumindo: quando o expoente da potenciação for negativo, devemos inverter a base da potenciação para tornar o expoente positivo. Veja os exemplos abaixo: 1 2 I. 9−2 = � � = II. 9 (−4)−3 = �− � = − 1 1 IV. 3−1 = � � = 1 3 1 I: � � 4 5 −2 II:� � 4 =� � = 2 4 2 =� � = 5 0,5 4 64 � = (−2)4 = 16 16 4 16 25 =4 = 0,64 11. Siga o modelo do ítem a, resolvendo as potenciações com expoente negativo: 1 2 6 b) 3−2 i) �− � 5 −1 8 f) �− � 1 −3 5 h) � � Observação: Todas as propriedades estudadas até o momento valem quando o expoente for negativo. Veja os exemplos: 1 1 1 I. (2 × 5)−2 = 2−2 × 5−2 = × = = 0,01 2 −3 � � 3 2−3 = �3−3 � = 1 8 1 27 1 8 4 = × 27 1 25 = 27 8 100 = 3,375 1 III. 2−3 × 2−4 = 2−3+(−4) = 2−7 = 2−3 2−4 = 2−3−(−4) = 2−3+4 = 21 = 2 1 4 3 128 V.((−3)2 )−2 = (−3)−4 = �− � = 1 VI. 63 × 6−5 = 63+(−5) = 6−2 = VII. 3 −4 ÷ 3 −8 =3 −4−(−8) VIII. (83 )−2 = 83×(−2) = 8−6 4 36 1 81 = 3 = 81 1 36 c)2−3 1 2 31022 1 b) 1020 − 3 3 c)(−2 + 3 − 5)2 × [−2 × (−5 + 2 × (−3 − 1)2 )] × (−2)3 (−5)2 2 d) −3 × ��(−3−2) × (−1)3 � 𝑥𝑥 51 � × ((−7 + 2 × 3)0 )2 e) f) (4−2×3)3 −2 ×�−5 ×� �23 ×24 � 254 8 −6 �× 5�−(−2)2 −2 × 22 − 3 × (−1) 14. Quantos quadrados, de um metro de lado, cabem em um outro quadrado maior, de 4 metros de lado? Faça um desenho simples da situação descrita por esse problema. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO a) 6−2 = � � = 1 −3 5 5 −1 8 8 −4 � 16 3 3 4 2 1 −3 2 e) � � a) 2 − 2 x 3 1 Quando uma fração é elevada a um expoente negativo ela também deve ser invertida. Nesse caso, o numerador e o denominador trocam de lugar. Veja os exemplos abaixo. 2 −2 c) �− � 13. Resolva as expressões: 1 3 III. (−0,5)−4 = �− 1 −2 4 Exercícios finais 1 81 4 1 −4 2 IV. Da mesma forma, se fizermos: k) 1−5 b) � � d)�− � II. Então, como as duas formas de resolver tem que apresentar o mesmo resultado, temos que: −2 6 −2 5 a) � � g) �− 3 g)2−1 j) (−5)−3 12. Calcule: d) ((−5)2 )1 3 f) (−9)−3 d) (−7)−2 15. Quantos quadrados, de um metro de lado, cabem em um outro quadrado maior, de 3 metros de lado? Faça um desenho simples da situação descrita por esse problema. 16. A área de uma figura geométrica plana (que tem apenas duas dimensões, comprimento e Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 97 Matemática largura) é uma medida do espaço contido naquela figura. Calculamos a área de um quadrado tomando a medida do seu lado e elevando ao quadrado (potência 2), como mostra o exemplo. A área de um quadrado com 5 metros (m) de lado é 6 6 2 8 2 52= 25 metros quadrados (m2). 5 metros 8 5 metros 5 metros 5 metros Sabendo disso, calcule a área das seguintes figuras: Um quadrado com 6 metros de lado. Um quadrado com 8 metros de lado. Um quadrado com 13 centímetros de lado. Um quadrado com 16 milímetros de lado. Um quadrado com 20 metros de lado. 17. Calcule agora a área das seguintes figuras (partes em azul), compostas por quadrados. 18. Se fossemos escolher um salão para dar uma festa, teríamos que escolher o salão com maior área possível. Imagine que temos 3 opções de salão, que equivalem aos itens B, C e D do exercício 17, respectivamente. Em qual desses salões seria mais vantajoso dar uma festa? 19. Se quatro quadrados iguais têm área de 100 2 m , qual será a medida do lado de cada um dos quadrados? 20. O volume de uma figura geométrica tridimensional (que tem três dimensões, comprimento, largura e altura) é uma medida do espaço contido naquela figura. Calculamos a área de um cubo tomando a medida do seu lado e elevando ao cubo (potência 3), como mostra o exemplo. Ex: O volume de um cubo com 5 metros 3 3 (m) de lado é 5 = 125 metros cúbicos (m ). 5m a) 5m 30 m 5m 5m 30 m 30 m 5m 5m Sabendo disso, calcule o volume das seguintes figuras tridimensionais: 30 m b) Um cubo com 2 metros de lado. 7m Um cubo com 10 m de lado. Um cubo com 8 cm de lado. Um cubo com 4 m de lado. 21. Na física, as quantidades são escritas de uma forma chamada potências de dez. Essa forma consiste em um número multiplicado por 10 elevado a alguma potência, como no exemplo: 4m c) Ex:Se uma distância a ser percorrida é de 200 2 metros, escrevemos que ela é de 2 x10 metros. 2 Note que 2 x 10 = 200. É assim que se escreve em potência de dez. 9m 6m 6m 9m Baseado no descrito acima, escreva o valor seguintes quantidades em potência de 10. 5 b) 8 x 10 quilos 2 d) 5 x 10 Newtons a) 2 x 10 metros c) 4 x 10 Kilômetros d) 98 3 e) 10 x 10 segundos 2 1 8 f) 3 x 10 m/s Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt das Matemática 22. Escreva agora os valores a seguir em potências de 10. a) 2000 b) 80 c) 900 d) 30000 e) 100 f) 7000000 23. Transforme numa só potência: 9 a) 7 x 7–2 5 b) 10 –2 6 x10–2 x 10–2 5 c) (5 ) x 5 d)− �− 5 e) 27 𝑥𝑥35 3 –4 2 x2 x2 2– 2 2 � –4 24. (Fuvest) O valor de (0,2)³ + (0,16)², é: a) 0,0264 b) 0,0336 d) 0,2568 e) 0,6256 c) 0,1056 25. (FEI) O valor de (–2) + (–3) x (– 2) 1 3) é: a) –5/6 b) 5/6 c) 1 26. (EUCE) O valor de a) –15/17 : (– d) –5/3 e) –5/2 2−1 −(−2)2 +(−2)−1 b) –16/17 –1 22 +2−2 c) –15/16 é: d) –17/16 27. (ENEM 2003) Dados divulgados pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais mostraram o processo de devastação sofrido pela Região Amazônica entre agosto de 1999 e agosto de 2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de 20 000 quilômetros quadrados de floresta. Um órgão de imprensa noticiou o fato com o seguinte texto: “O assustador ritmo de destruição é de um campo de futebol a cada oito segundos.” Considerando que um ano tem aproximadamente 6 32 x 10 s (trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da área oficial de um campo de -2 2 km (um futebol é aproximadamente 10 centésimo de quilômetro quadrado), as informações apresentadas nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de desmatamento, em um ano, implica a destruição de uma área de: 2 a) 10 000 km , e a comparação dá a idéia de que a devastação não é tão grave quanto o dado numérico nos indica. 2 b) 10 000 km , e a comparação dá a idéia de que a devastação é mais grave do que o dado numérico nos indica. 2 c) 20 000 km , e a comparação retrata exatamente o ritmo da destruição. 2 d) 40 000 km , e o autor da notícia exagerou na comparação, dando a falsa impressão de gravidade a um fenômeno natural. 2 e) 40 000 km e, ao chamar a atenção para um ato realmente grave, o autor da notícia exagerou na comparação. 28. (ETEs-2007) As tecnologias atuais, além de tornar os equipamentos eletroeletrônicos mais leves e práticos, têm contribuído para evitar desperdício de energia. Por exemplo, o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and Computer) foi o primeiro computador eletrônico digital e entrou em funcionamento em fevereiro de 1946. Sua memória permitia guardar apenas 200 bits, possuía milhares de válvulas e pesava 30 toneladas, ocupando um galpão imenso da Universidade da Pensilvânia – EUA. Consumia energia correspondente à de uma cidade pequena. O ENIAC utilizava o sistema numérico decimal, o que acarretou grande complexidade ao projeto de construção do computador, problema posteriormente resolvido pelo matemático húngaro John Von Neumann, que idealizou a utilização de recursos do sistema numérico binário, simplificando o projeto e a construção dos novos computadores. Os microprocessadores usam o sistema binário de numeração para tratamento de dados. • No sistema binário, cada dígito (0 ou 1) denominase bit (binary digit). • Bit é a unidade básica para armazenar dados na memória do computador. • Cada seqüência de 8 bits, chamada de byte (binary term), corresponde a um determinado caractere. • Um quilobyte (Kb) corresponde a 210 bytes. • Um megabyte (Mb) corresponde a 210 Kb. • Um gigabyte (Gb) corresponde a 210 Mb. • Um terabyte (Tb) corresponde a 210 Gb. Atualmente, existem microcomputadores que permitem guardar 160 Gb de dados binários, isto é, são capazes de armazenar n caracteres. Nesse caso, o valor máximo de n é 20 30 40 b) 160 x 2 c) 160 x 2 a) 160 x 2 50 60 e) 160 x 2 d) 160 x 2 29. (ETEs-2007) O Sol, responsável por todo e qualquer tipo de vida no nosso planeta, encontrase, em média, a 150 milhões de quilômetros de distância da Terra. Sendo a velocidade da luz 3.105 km/s pode-se concluir que, a essa distância, o tempo gasto pela irradiação da luz solar, após ser emitida pelo Sol até chegar ao nosso planeta é, em minutos, aproximadamente, a) 2. b) 3. c) 5. d) 6. e) 8. Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 99 Matemática 30. (Fuvest-1981) Dos números abaixo, o que está mais próximo de (5,2)4 . (10,3)3 (9,9)2 é: a) 0,625 b) 6,25 c) 62,5 d) 625 e) 6250 31. (Fuvest-1991 adaptado) 22 a) Qual a metade de 2 ? 32. (IBMEC-2005) Os astrônomos estimam que, no universo visível, existem aproximadamente 100 bilhões de galaxias, cada uma com 100 bilhões de estrelas. De acordo com estes números, se cada estrela tiver, em média, 10 planetas a sua volta, então existem no universo visível aproximadamente: 12 a) 10 planetas. 17 b) 10 planetas. 23 c) 10 planetas. 121 d) 10 planetas. 220 e) 10 planetas 33. (Mack – 2006) A fração 9 e) 1,5 x 10 vezes a capacidade do reservatório novo. 35. (OBM-1998) Qual dos números a seguir é o maior? 45 a) 3 20 b) 9 14 c) 27 39 d) 24 12 e) 81 36. (Uneb-1998 adaptado) O diâmetro de certa -6 bactéria é 2 x 10 metros. Enfileirando-se uma certa quantidade dessas bactérias, obtém-se o comprimento de 1mm. A quantidade de bactérias que foi enfileirada é: a) 10 000 b) 5000 c) 2000 d) 1000 e) 500 37. (Unicamp-1995) a) Calcule as seguintes potências: 3 3 -2 )-3 a = 3 , b = (-2) , c = 3 e d = (-2 . b) Escreva os números a, b, c, d em ordem crescente. 38. (Vunesp-1992) O valor da expressão É igual a: a) 1 b) - 11/6 c) 2 d) - 5/2 e) 7/4 34. (Novo ENEM - 2009) Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani. O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros. Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado). Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é 2 a) 1,5 x 10 vezes a capacidade do reservatório novo. 3 b) 1,5 x 10 vezes a capacidade do reservatório novo. 6 c) 1,5 x 10 vezes a capacidade do reservatório novo. 8 d) 1,5 x 10 vezes a capacidade do reservatório novo. 100 é: a) 0,3 b) -0,3 5−1 − c) -0,2 1 2 d) 0,2 e) 0 39. (UFSM) Números que assustam: * 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta * 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje. * 90 milhões nascem a cada ano. * 800 milhões passam fome. * 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda. * 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres. * 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três décadas. (Fonte: ONU) De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente: 9 6 6 a) 568 x 10 ; 9 x 10 ; 8 x 10 6 6 6 b) 5,68 x 10 ; 9 x 10 ; 8 x 10 7 7 7 c) 568 x 10 ; 9 x 10 ; 80 x 10 9 9 9 d) 56,8 x 10 ; 90 x 10 ; 8 x 10 8 6 6 e) 568 x 10 ; 90 x 10 ; 80 x 10 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática RADICIAÇÃO Dado um número real a e um número natural n, a raizenésima de a é indicada por: n √a Onde n é chamado índice e a chama-se radicando. O símbolo √ é chamado radical. Quando n é igual a 2, chamamos de raiz quadrada. Quando n é igual a 3, chamamos de raiz cúbico. Vamos iniciar com a raiz quadrada. Raiz quadrada A operação de “raiz quadrada” é composta pelo radical e por um número escrito abaixo do radical, que é chamado de radicando. Veja os exemplos. √9 : lê-se raiz quadrada de nove. O nove é o radicando dessa operação. √25 : lê-se raiz quadrada de 25. O 25 é o radicando dessa operação. Observe que sempre que estamos trabalhando com raiz quadrada omitimos o número do índice. O resultado de uma raiz quadrada é o número que, elevado ao quadrado, resulta no radicando que estiver sendo utilizado. Veja os exemplos: √9 = 3 , porque 3² = 9 √25 = 5, porque 5² = 25 √16 = 4, porque 4² = 16 Por definição a raiz quadrada de um número nunca será negativa. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1. Segundo os exemplos acima, descubra a raiz quadrada dos números naturais abaixo: a) √25 f) √400 k) √256 b) √16 g) √169 l) √324 Lembre que: NÃO EXISTE negativos. c) √49 h) √196 m) √1 raiz d) √64 i) √225 n) √0 quadrada de e) √81 j) √289 números A raiz quadrada pode ser aplicada às frações. Veja osexemplos: 25 � � 16 49 5 25 = 4, porque�54� ² = 16 7 = 9 ,porque �79� ² = 81 49 81 Note que para tirar a raiz quadrada de uma fração, basta tirar a raiz quadrada do numerador e do denominador. No primeiro exemplo anterior, veja que a raiz de 25 é 5 e a raiz de 16 é 4. Da mesma forma, a raiz quadrada é aplicada aos números decimais. Veja os exemplos. √1,44 = 1,2 porque(1,2)² = 1,44 √0,36 = 0,6porque(0,6)² = 0,36 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2. Calcule, simplificando os resultados se possível: 16 a) � 25 100 e) � 16 64 i) � 16 b) � 4 36 100 f) � j) � 25 9 81 3. Coloque V ou F: a) �0,5 = 0,25 d) √0,01 = 0,1 g) √0,1 = 0,01 49 c)� g)� 100 49 25 81 k) � 9 b) √0,81 = 0,9 e) √0,16 = 0,04 h) √0,64 = 0,8 64 d) � 36 16 h) � 16 36 l) � 9 c) √0,49 = 0,6 f)√0,04 = 0,2 Números irracionais Porém, existem números que não possuem raiz quadrada exata, ou seja, a raiz quadrada desses números não pode ser escrita na forma de fração, portanto não são racionais. Essas raízes pertencem ao conjunto dos números irracionais. Veja os exemplos: √2 = 1,41421356237309504 … ≅ 1,41 √3 = 1,732050807568877293527 … ≅ 1,73 √5 = 2,2360679774997896964091 … ≅ 2,23 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4. Cite os 10 menores números inteiros positivos cujas raízes fazem parte do conjunto dos números irracionais. Propriedades As propriedades que seguem são válidas quando os radicandos são positivos. P1. A raiz quadrada se distribui na multiplicação. Veja os exemplos: 1)√9 × 4 = √9 × √4 = 3 × 2 = 6 2) √36 × 64 = √36 × √64 = 6 × 8 = 48 3)√900 = √9 × 100 = √9 × √100 = 3 × 10 = 30 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 101 Matemática P2. “A multiplicação das raízes é a raiz da multiplicação”. Essa propriedade é o inverso da propriedade anterior. Veja os exemplos: 3 1)√9 × √4 = √9 × 4 = √36 = 6 O resultado de uma raiz cúbica é o único número que elevado ao cubo (potência 3), resulta no radicando que estiver sendo utilizado. Veja os exemplos: 2)√8 × √2 = √8 × 2 = √16 = 4 (Note que a multiplicação de duas raízes com resultados irracionais deu uma raiz com resultado exato) P3. A raiz quadrada se distribui na divisão. Veja os exemplos: 36 4 1)� 2)� 100 25 √36 √4 = √100 = √25 6 2 = 5 =2 2) √100 3) = � = √4 = 2 √2 √25 √−36 100 = � √−4 25 3 √8 = 2 , porque 2³ = 2 x 2 x 2 = 8. 3 √27 = 3 , porque3³ = 9 x 9 x 9 = 27. Note que: A raiz cúbica de um número positivo será outro número positivo e a raiz cúbica de um número negativo será outro número negativo. Veja os exemplos. 3 (–2)³ = – 8 √−27 = −3, porque (–3)³ = –27 √−8 = −2 , porque 3 8 √8 √64 : lê-se raiz cúbica de 64. O 64 é o radicando. A raiz cúbica do número 0 será sempre 0. P4. “A divisão das raízes é a raiz da divisão”. Essa propriedade é o inverso da propriedade anterior. Veja os exemplos. 1) 3 A raiz cúbica do número 1 será sempre 1. =3 10 = √8 : lê-se raiz cúbica de 8. O oito é o radicando. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO = √4 = 2 8. Segundo os exemplos acima, descubra a raiz cúbica dos números naturais abaixo: (−36) = � = √9 = 3 (−4) 3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO a) √64 5. Calcule apenas as raízes que existem e que são exatas (se o resultado não existir, escreva “não existe”): g) √1 a) √49 x 100 b) √49 x 49 d) √1 x 82 j) √8100 m) √16 x 25 d) √4 x √16 7. Calcule: 225 25 a) � e) 64 � 16 f) √121 x 36 n) √2500 o) √169 x 196 k) √6400 6. Calcule: a) √18 x √2 e) √−2 x 25 h) √17 x 2 g) √1600 b) √27 x √3 e) √−4 x √−4 b) � c) √−64 x 81 144 9 196 f)� 49 144 16 c) � g) √72 √2 i) √3600 l) √625 d) � h) 64 4 √243 √3 Raiz Cúbica A operação denominada “raiz cúbica” é composta pelo radical, por um número escrito abaixo do radical, que é chamado de radicando, e pelo índice, que nesse caso é o 3. Veja os exemplos. 102 3 d) √343 3 3 e) √−729 3 h) √0 3 c) √125 3 f) √1000 Números irracionais Existem números cuja raiz cúbica não é exata e não pode ser escrita em forma de fração, ou seja, a raiz cúbica desses números não é racional. Então, dizemos que a raiz cúbica desses números é um número irracional. Veja o exemplo. 3 √−2 = −1,732050807568877293527. .. c) √7 x √7 f) √10 x √40 3 b) √−216 3 3 √2 = 1,732050807568877293527. .. √5 = 1,7099759466766969893531 … EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 9. Calcule somente as raízes que forem exatas: 3 a) √64 3 d) √−100 3 g) √−343 3 b) √−512 3 e) √−729 3 h) √12 Propriedades 3 c) √15 3 f) √−1000 3 i) √−216 Da mesma forma que a raiz quadrada, a raiz cúbica pode ser aplicada às frações, aos números decimais e todas as propriedades estudadas com Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática raízes quadradas valem para as operações de raiz cúbica. Veja os exemplos: 3 3 3 3 1) √8000 = √8x1000 = √8 𝑥𝑥 √1000 = 2𝑥𝑥10 = 20 1000 3 � 2) 3 −125 3 3 √1000 = 3 3 24 √−125 3 10 = −5 = −2 3 3) √−3 x √9 = √−3 x 9 = √−27 = −3 3 √24 4) 3 √−3 3 e) √216000 3 g) 3 −729 � √54 i) 3 √−2 k) 3 √5 x √125 3 3 3 5 4 i) √16 = −2 k) √1 = −1 −512 3 3 3 3 Raizes com índice maior que 3 Da mesma forma que existem raízes quadradas e cúbicas, podemos falar de raízes quartas (símbolo 5 4 √ ), raízes quintas (símbolo √ ), raízes sextas, sétimas e assim por diante. O princípio de resolução é o mesmo. Veja os exemplos: √−100000 = −10, porque 10 √1024 = 2 , porque 5 (–10) = –100000. 10 2 = 1024 Note que: A raiz de qualquer ordem do número 1 será sempre 1. a) √4 5 Quando o índice da raiz for par (raiz quadrada, raiz quarta, raiz sexta, etc...),a raiz será sempre positiva. Nesse caso, NÃO EXISTIRÃO raízes de números negativos. Quando o índice da raiz for ímpar (raiz cúbica, raiz quinta, raiz sétima, etc...), só existirá uma resposta, com o mesmo sinal do radicando, que pode ser positivo ou negativo. 1)√4 = 2 3 f) √−32 8 i) √256 4 c) √−8 6 g) √64 9 j) √−512 l) √100000000 8 10 4 d) √16 7 h) √−128 k) √−1024 m) √100000000 Propriedades As propriedades estudadas anteriormente continuam válidas. Veja os exemplos: 4 256 1) � 4 16 = 4 √256 4 √16 4 = =2 4 2 4 2) √256 x 16 = √256 x √16 = 4 x 2 = 8 4 4 4 4 3) √10000 x √16 = √10000 x 16 = √160000 = 20 4) 10 √10240 10 √10 10 = � 10240 10 10 = √1024 = 2 32 16 𝑜𝑜𝑜𝑜 Porém uma observação se faz necessária: perceba que NÃO podemos fazer a operação: 5 √32 4 A raiz de qualquer ordem do número 0 será sempre 0. Veja os exemplos: 12 3 5 4 l) √−1 = 0 b) √8 e) √32 7 f) √128 = 2 j) √−36 = 6 13. Calcule: 64 5 c) √32 = −2 h) √10000 = −10 10 n) √100 x √−10 5 8 e) √0 = 1 g) √100000 = 10 3 3 m) √8 x √8 3 6 f) √−512000 3 13 i) √0 b) √64 = 2 d) √32 = 2 l) √4 x √−16 √−5 15 h) √1 a) √64 = 8 j) √−3 x √−3 𝑥𝑥 √−3 3 5 f) √32 12. Coloque V ou F: 3 3 c) √64 e) √−1 7 d) √−64000 � 3 b) √−27 g) √−1 3 3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO d) √−16 b) √512 x 216 h) −27 5 4 10. Calcule: 3 5 4) √1024 = 4 e √−1024 = −4 3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO c) √−64 x 729 3 a) √−8 = �−3 = √−8 = −2 3 3 3) √8 = 2e √−8 = −2 11. Calcule: 3 a) √343 x 64 4 2) √2401 = 7 √16 5 =� 5 √32 4 √16 4 = � 32 16 Só podemos aplicar as propriedades quando o radical das duas raízes for igual. Além disso, existem três importantes propriedades que ainda não foram vistas. P5. Toda radiciação é equivalente a uma potenciação com expoente fracionário. Observe os exemplos: 1) √4 2) 3 1 = 42 1 √64 = 643 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 103 Matemática 3) 2 5 √72 = 75 O radicando torna-se a base, o índice da raiz é o denominador da potência e o expoente do radicando torna-se o numerador da potência. P6. Podemos ter situações em que aparece uma raiz dentro de outra raiz, como no exemplo: � 5√1024 Nesse caso, multiplicamos os índices. Veja como a operação é resolvida: 5 � √1024 = Da mesma forma: 2x5 10 √1024 = √1024 6 � √4� 3 8 3 6 3)� √4� 3 4)� √2� =2 3 3 16 8 3 6 2 =2 =4 3 b) √29 c) √22 e) d) 2 3 5 4 � √1044 � x � �1015 10 1 =2 =2 =2 7 8 5 a) √4 c) √5 b) √3 15. Coloque V ou F: 1 b) 83 7 a) 76 = √6 =2 1 c) 812 = 9 16. Determine o valor das potências. 1 b) 810,25 a) 83 1 c) 642 a) √5 b) 8 √34 c) √7 d) a) �√64 19. Calcule: 3 b) � √64 4 1 �√103 �6 18. Calcule, multiplicando os radicais: 3 5 √327 x �315 10 √390 2 3 8 5 � √256 � x � √245 20 √2100 x 4100 3 h) �2x √2� 6 Baseados nas propriedades já vistas da radiciação, veremos como realizar operações (se for possível) quando os radicais não têm resolução individualmente. Multiplicação e divisão Essas operações já foram vistas nas propriedades dos radicais Podemos multiplicar ou dividir radicais apenas quando tiverem o mesmo índice.Basta multiplicar ou dividir os valores dosradicandos. Veja os exemplos: c) �√256 3 3 3 √4 x √2 = √8 5 5 Simplificação 5 √56 5 √8 5 = √7 Seja a seguinte radiciação:√45. Note que não podemos resolvê-la, mas decompondo o 45 em fatores primos, temos: √45 = √3 x 3 x 5 = √3 x √3 x√5 = √9x √5 = 3√5 Quando transformamos √45 em 3√5, ao diminuir o valor do radicando, estamos fazendo uma simplificação.A simplificação de radicais então, passa por dois passos: I. Decompor o radicando em fatores primos; 17. Escreva na forma de potência. 7 3 √−7 x √10 = √−70 = 4 = 4 = √4 = 2 𝑜𝑜𝑜𝑜 − 2 3 3 f) √10190 5 1 2 14. Escreva as radiciações a seguir como potenciação com expoente fracionário: 104 10 √2 x √3 = √6 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 5 a) � √2� 9 = 23 = 23 = 8 2) √216 � 6√404−400 Operações com Radicais Nesse caso pode-se resolver primeiro a potenciação ou a radiciação, o resultado deverá ser o mesmo. Podemos dividir o expoente da potenciação pelo índice da radiciação ou simplificar: 1) √29 4 � 6√5 x � 3√800 x 6√1000 20. Calcule, aplicando todas as propriedades que você conhece: 2 P7. Podemos ter situações em que aparecem um radical e uma potenciação, como nos exemplos: � 29 b) g) �2x√2� �√16 = 4√16 = 2 3 4 a) �√2187 x √3 II. Aplicar as propriedades já estudadas; Veja outros exemplos: 1)√8 = √2 x 2 x 2 = √2 x √2 x √2 = √4 x √2 = 2√2 2)√12 = √3 x 2 x 2 = √3 x √2 x √2 = √3 𝑥𝑥√4 = 2√3 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt Matemática EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 21. Simplifique: 22. Verifique se as sentenças são verdadeiras ou falsas: a) √20 e) √45 i) √27 m) √32 6 q) √729 3 u) √343 7 y) √2187 b) √18 f) √50 o) √40 p)√81 k) √16 n) √32 t) √81 8 w) √81 4 z) √9 x √8 b2) √250 4 s) √1024 5 3 l) √24 10 r) √625 a) √7 + √5 = √12 h) √125 3 3 v) �√32 d) √28 g) √75 j) √343 4 c) √63 a2) c2) √720 4 √75 4 3 3 3 a) 2√7 + 5√7 b) 9√2 + 2√2 − 6√2 4 4 3 d) 4√125 − 3√45 3 e) √16 + 2 √128 4 √3 Exercícios finais Podemos somar radicais quando possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. Exemplos: 3 d) √2 + √2 = √4 c) √6 + 6 √6 Somando e Subtraindo Radicais 1) √5 + 2√5 = 3√5 c) √5 − √5 = 0 23. Calcule as somas. x) √3 x √12 4 b) √3 + √3 = 2√3 f) √75 + √12 − √48 24. Na geometria, a diagonal de um retângulo é representada pela linha tracejada na figura abaixo: 2) 5 √10 + 2 √10 − 6 √10 = √10 5 5 5 3) 2√3 + √6 + 3 √6 − 3√3 = 4 √6 − √3 4) −√2 + 2√7 + 6√2 + 3√7 − 8√7 = 5√2 − 3√7 Atenção: Expressões como √2 + √5 não podem somadas. Note que √2 + √5 ≠ √7, pois: ser d =�(4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5 1,41 + 2,23 ≠ 2,64 Sabendo que √2 ≅ 1,41, √5 ≅ 2,23 e √7 ≅ 2,64 Às vezes, temos que simplificar os radicais antes de somar, como por exemplo, na expressão: Veja a resolução: √50 + √18 Os radicais também podem ser apresentados na forma de fração, como no exemplo a seguir: A resolução envolve diversas estudadas, como é visto a seguir: Calcule o comprimento seguintes retângulos: a) 40 das diagonais dos 30 b) √50 + √18 = √2 x 5 x 5 + √2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥3 = 5√2 + 3√2 = 8√2 √50 √18 + 5 9 O comprimento da diagonal é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos lados. No exemplo da figura, o comprimento da diagonal ‘d’ destacada é: 8 6 c) 32 24 operações √50 √18 9√50 + 5√18 + = 5 9 45 9√2 x 5 x 5 + 5√3 x 3 x 2 = 45 (9 x 5)√2 + (5 x 3)√2 = 45 45√2 + 15√2 60√2 4√2 = = = 45 45 3 já d) 20 15 e) 24 18 Este material está licenciado sob os termos da GNU FreeDocumentationLicense versão 1.3 ou posterior, como publicado pela Free Software Foundation em: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt 105 Matemática GABARITO NÚMEROS NATURAIS • vinte; l) 9 unidades c) 8 • centenas; m)1 dezena e) 0 f) 0 • seis; 21. h) 8 i) 0 • sessenta; e 3 • a. 5 dezenas unidades seiscentas; • b. 4 dezenas unidades e 7 três; • trinta; e 4 • trezentas; c. 7 dezenas unidades • três mil; d. 2 dezenas unidades e 6 e. 9 dezenas unidades e 8 f. 0 dezenas unidades e 0 g. 0 dezenas unidades e 7 h. 0 dezenas unidades e 9 d)3 notas de R$ 10,00 e) 4 notas de R$ 10,00 e 3 notas de R$ 1,00 i. 1 dezena unidades e 0 b) 792415 c) 192475 f) 7 notas de R$ 1,00 e 4 d) 192574 g) 5 notas de R$ 1,00 j. 2 dezenas unidades e) 142579 20. k. 7 dezenas unidades e 8 5 1. Alternativas A e D 12. 2. Alternativas A, D, E, F e G. a) 0 b) 4 d) 0 g) 0 3. Representar quantidades: A,D,E e G Ordenar elementos: F 4. a. Falso b. Verdadeiro c. Falso d. Falso e. Falso 13. 700, 701, 702, 703, 704, 705 14. 720, 721, 722, 723, 724 19. 15. 702, 712, 722, 732, 742 5. 489, 498, 984, 948, 894, 849 16. 804907 a) 1 nota de R$ 10,00 e 7 notas de R$ 1,00 b)2 notas de R$ 10,00 e 5 notas de R$ 1,00 c) 1 nota de R$ 10,00 e 5 notas de R$ 1,00 6. 100, 101, 110, 111 17. a) 742915 7. a) 0 d) 5 g) 3 b) 8 e) 1 h) 2 c) 7 f) 0 8. 7, 17, 27, 37, 47 9. 18. a) a) 5 b) 4 c) 7 d) 2 e) 9 f) 0 g) 0 h) 0 i) 1 j) 0 k) 7 l) 4 m) 4 10. 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76 7 l 4 dezenas unidades e b)2 dezenas unidades e 5 m. 4 dezenas unidades e 4 e 5 22. a critério do leitor dez; • dez; c)1 dezena unidades • dez; d)3 dezenas • dez; • e)4 dezenas unidades cem; • cem; • mil; • algarismos; • dezenas; c) • unidades; • dezenas; • 5; • • duas; dezenas; 106 e • b) 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 11. a)1 dezena unidades 23. a critério do leitor e 3 24. a. 1 dezenas unidades f) 7 unidades e 2 b. 4 centenas, 5 dezenas e 6 unidades g) 5 unidades h)4 dezenas unidades e 7 c. 8 centenas, 9 dezenas e 5 unidades i)2 dezenas unidades e 6 d. 0 centenas, 9 dezenas e 5 unidades 0 e. 0 centenas, 0 dezenas e 4 unidades j) 0 dezenas unidades e k) 7 unidades CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática f. 0 centenas, 6 dezenas e 5 unidades g. 10 centenas, 6 dezenas e 5 unidades h. 48 centenas, 5 dezenas e 6 unidades i. 0 centenas, 0 dezenas e 0 unidades 25. a. 1 milhar, 2 centenas, 3 dezenas e 4 unidades b. 10 milhares, 4 centenas, 5 dezenas e 6 unidades c. 0 milhares, 0 centenas, 0 dezenas e 2 unidades. d. 0 milhares, 8 centenas, 8 dezenas e 8 unidades 26. a. Algarismo 1 b. Algarismo 0 c. Algarismo 0 d. Algarismo 0 27. a) 173 b) 173 c) 262 a. Verdadeiro 12 = 1 dezena e 2 unidades b. Falso 36 = 3 dezenas e 6 unidades c. Verdadeiro d. Falso e. Falso 48 = 4 dezenas (1 + 3) e 8 unidades (2 + 6) f. Verdadeiro b. g. Falso 55 + 22 = 77 32. 5, 20, 24, 37, 41, 58, 85, 123, 415, 1354 55 = 5 dezenas e 5 unidades 33. 1014, 1000, 284, 128, 64, 59, 40 22 = 2 dezenas e 2 unidades 34. Alternativas b, c, d ef 77 = 7 dezenas (5 + 2) e 7 unidades (5 + 2) 35. 28, 29, 30, 31, 32 c. 36. 26, 25, 24, 23, 22 34 + 35 = 69 37. 34 = 3 dezenas e 4 unidades a. Sucessores: 6, 7, 8 Antecessores: 2, 3, 4 b. Sucessores: 1000, 1001, 1002 Ancecessores: 997, 998 996, c. Sucessores: 10. 000, 10. 001, 10. 002 Antecessores: 9. 996, 9. 997, 9. 998 35 = 3 dezenas e 5 unidades 69 = 6 dezenas (3 + 3) e 9 unidades (4 + 5) d. 87 + 11 = 98 87 = 8 dezenas e 7 unidades 11 = 1 dezena e 1 unidade 43. a. 427 + 511 = 938 427 = 4 centenas, 2 dezenas e 7 unidades 511 = 5 centenas + 1 dezena + 1 unidade 938 = 9 centenas + 3 dezenas + 8 unidades b. 608 + 271 = 879 608 = 6 centenas + 0 dezenas + 8 unidades 271 = 2 centenas + 7 dezenas + 2 unidades 879 = 8 centenas + 7 dezenas + 9 unidades c. 502 + 321 = 823 502 = 5 centenas + 0 dezenas + 2 unidades 321 = 3 centenas + 2 dezenas + 1 unidade 823 = 8 centenas + 2 dezenas + 3 unidades d. 604 + 3 = 607 d. Sucessores: 601, 602 600, Antecessores: 597, 598 596, a) 185 b) 185 c) 423 d) 423 38. 432 65 + 12 = 77 607 = 6 centenas + 0 dezenas + 7 unidades 29. 39. 3, 12, 21, 30. e. a) 955 b) 955 c) 955 40. 65 = 6 dezenas e 5 unidades d) 1003, pois possui algarismo dos milhares maior do que 955. a) 3 + 4 b) 1 + 2 c) 2 + 3 d) 0 + 1 d) 262 28. 98 = 9 dezenas (8 + 1) e 8 unidades (7 + 1) e. 12 = 1 dezena e 2 unidades 604 = 6 centenas + 0 dezenas + 4 unidades 3 = 3 unidades 550 + 45 = 595 550 = 5 centenas + 5 dezenas + 0 unidades e) 4 + 5 77 = 7 dezenas (6 + 1) e 7 unidades (5 + 2) 41. f. a) 2 + 3 + 4 32 + 33 = 65 595 = 5 centenas + 9 dezenas + 5 unidades c. > (maior) b) 1 + 2 + 3 f. d. > (maior) c) 0 + 1 + 2 32 = 3 dezenas e 2 unidades 30. a. < (menor) b. > (maior) e. > (maior) f. = (igual) 31. 42. a. 12 + 36 = 48 33 = 3 dezenas e 3 unidades 65 = 6 dezenas (3 + 3) e 5 unidades (2 + 3). CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 45 = 4 dezenas + 5 unidades 249 + 30 = 279 249 = 2 centenas + 4 dezenas + 9 unidades 107 Matemática 30 = 3 dezenas + 0 unidades 279 = 2 centenas + 7 dezenas + 9 unidades 44. a) 628 b) 489 c) 657 d) 3568 45. a. 13 unidades = 1 dezena e 3 unidades b. 17 unidades = 1 dezena e 7 unidades c. 12 unidades = 1 dezena e 2 unidades d. 18 unidades = 1 dezena + 8 unidades e. 17 unidades = 1 dezena e 7 unidades f. 12 unidades = 1 dezena e 2 unidades 77 + 18 = 95 77 = 7 dezenas + 7 unidades 18 = 1 dezena + 8 unidades 95 = 9 dezenas + 5 unidades e. 65 + 38 = 103 65 = 6 dezenas + 5 unidades 38 = 3 dezenas + 8 unidades 103 = 1 centena + 0 dezenas + 3 unidades f. 77 + 77 = 154 77 = 7 dezenas + 7 unidades Jeito 1: (65+30)+117 = 95+117=212 Jeito 2: 65+(30+117) = 65+147=212 a. Elemento Neutro e. Elemento neutro a. 2 + 3 b. 4 + 5 d. 11 + 12 e. 15 + 16 f. 0 + 1 57. Alternativa c a. 232 b. 202 c. 102 16 + 36 = 52 a. 57 (não ocorre) d. 2000 e. 0 16 = 1 dezena e 6 unidades b. 134 (1 vez) f. 2002 g. 20 c. 2776 (3 vezes) 60. d. 1261 (3 vezes) a. 961 b. 931 c. 431 e. 132 (1 vez) 61. f. 213 (1 vez) a. 1 b. 48. 6 unidades 55 + 27 = 82 49. 8 dezenas 55 = 5 dezenas e 5 unidades 50. 7 centenas d. A princípio não é possível, a não ser que a pessoa concorde em ficar devendo 3 reais. 62. a. Verdadeiro 34 = 3 dezenas + 4 unidades b. Verdadeiro d. 108 c. 2 54. 34 + 9 = 43 43 = 4 dezenas + 3 unidades b. 1 f. Verdadeiro 53. 9 = 9 unidade 59. e. Não é possível resolver a subtração 7 – 10 nos números naturais. Nos números inteiros, temos que 7 – 10 = - 3 e 10 – 7 = 3, ou seja, a diferença entre as duas operações é o sinal negativo. O sinal negativo indica que o resultado está 3 unidades abaixo de zero, ou seja, a subtração ficou “devendo” 3 unidades. c. c. Falso d. Falso e. Falso f) 2919 64. 65. a. 229 b. 179 c. 79 d. itens a e b 66. a. 7 unidades 58. c. 12 52. O trem passa a transportar 201 pessoas. a) 246 b) 1006 c. 92491 56. a. 333 b. 11 82 = 8 dezenas + 2 unidades f. 1 a. 196 b. 926 f. Associativa 47. 27 = 2 dezenas + 7 unidades e. 611000 g) 225 h) 291 i) 1996 d. Comutativa a. 51. Ele vendeu 207 cocos. e. 9333 e) 1451 c. Associativa 46. 52 = 5 dezenas e 2 unidades c. 3333 c) 317 d) 84 b. Comutativa 154 = 1 centena + 5 dezenas + 4 unidades 36 = 3 dezenas e 6 unidades b. 504 63. 55. c. 5 + 6 a. 12147 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP b. 8 dezenas 67. O pacote de leite é 16 reais mais caro do que o quilo de carne. 68. Me faltam 400 reais para comprar o computador. 69. Não, pois 623 não contém 7 centenas para subtrair. 70. 17 71. 95 72. a. 458 b. 752 c. 1888 d. 5476 f. 130 e. 9137 g. 0 h. 115 73. a. 3 + 3 = 6 b. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 c. 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 d. 4 + 4 = 8 e. 5 f. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 g. 3 x 4 + 3 x 4 = 3 + 3 +3+3+3+3+3+3 = 24 Matemática h. 3 x 1 + 3 x 1 = 1 + 1 +1+1+1+1=6 i. 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 = 2+2+2+2+2+2= 12 j. 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 k. 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 l. 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0=0 m. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =6 n. 6 o. 26 + 26 = 52 p. 30 + 30 + 30 = 90 q. 25 + 25 + 25 + 25 = 100 r. 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100 b. 1 x 10, 2 x 5 k. 260 l. 4734 m. 625 e. 0 dezenas c. 1 x 15, 3 x 5 90. 336 dias f. 50 dezenas d. 1 x 6, 2 x 3 91. 630 alunos 96. e. 1 x 40, 2 x 20, 4 x 10, 5 x 8 92. a. 100 unidades a. 3 dezenas b. 300 unidades b. 5 milhares c. 600 unidades c. 7 centenas d. 1200 unidades f. 1 x 45, 3 x 15, 5 x 9 g. 1 x 4, 2 x 2 h. 1 x 8, 2 x 4 i. 1 x 30, 2 x 15, 3 x 10, 5x6 j. 1 x 18, 2 x 9, 3 x 6 k. 1 x 17 d. 4 centenas dezenas e 5 f. 500 unidades e. 1 centena 97. f. 1 milhar e 8 centenas g. 1 milhar l. 1 x 11 h. 1 dezena de milhar m. 1 x 3 i. 5 dezenas de milhar e 4 milhares n. 1 x 7 85. Os itens que admitem só uma resposta são k, l, m e n. Os outros admitem várias respostas. e. 0 unidades j. 4 dezenas de milhar, 5 milhares e 8 centenas a) 2665 b) 48918 c) 6625 d) 359784 e) 625 f) 40000 g) 56088 h) 14224 i) 98901 k. 4 milhares centenas e 9 e 8 86. l. 1 centena dezenas a. 5 x 2 x 2 m. 8 centenas g) 15013 75. 18 pontos b. 2 x 2 x 2 99. 76. Pesquisar a tabuada em livros, na internet ou com o professor para comparar o resultado. c. 3 x 3 x 3 n. 6 dezenas de milhar e 4 milhares 77. 14 litros d. 1296 78. f. 488 a. 3 x 5 = 15 h. 6669 b. 3 x 3 = 9 88. 74. Pesquisar a tabuada em livros, na internet ou com o professor para comparar o resultado 93. d. 4 x 2 x 3 a) 50 unidades 87. a. 84 b. 208 c. 89 e. 666 94. a. 72 unidades a) 836 b) 936 c) 526 d. 5 x 9 = 45 d) 42366 e. 5 x 4 = 20 e) 81180 80. 6 pesos bolivianos 81. 4 formas 82. 12 formas 83. 18 formas 84. a. 1 x 20, 2 x 10, 4 x 5 g) 13608 b. 63 unidades c. 4 unidades f) 2490 h) 72 d. 132 unidades e. 99 unidades f. 123 unidades i) 720 95. 89. a. 1377 b. 1710 c. 3945 d. 7548 e. 270 f. 270 h. 64 c) 100 unidades d) 200 unidades g. 2846 c. 8 x 7 = 56 79. 21 reais b) 90 unidades i. 125 g. 81 j. 729 a. 10 dezenas b. 30 dezenas c. 60 dezenas d. 120 dezenas CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 98. a) 492 b) 852 c) 210 d) 339 e) 621 f) 2169 a. Terei 72 maçãs, pois 6 x 12 = 72. b. Comprarei 84 ovos, pois 7 x 12 = 84. c. Terei 57 reais, pois ganharei 7 x 6 = 42 reais que, somando com o que eu já tenho ficam 42 + 15 = 57. d. Terei 16 reais, pois perderei 21 x 4 = 84 e me sobrarão 100 – 84 = 16. 100. a. Comutativa b. Elemento neutro c. Elemento nulo d. Associativa e. Elemento nulo f. Comutativa g. Distributiva 109 Matemática 101. Forma 1: (4 x 5) x 6 = 20 x 6 = 120 Forma 2: 4 x (5 x 6) = 4 x 30 = 120 111. 4 semanas e 3 dias 112. 6 pacotes sobram 4 bolachas a. Verdadeiro a. 4 x 5 + 4 x 2 = 28 b. Falso c. 7 x 9 – 7 x 3 = 42 d. 10 x 5 – 10 x 3 = 20 e. 8 x 10 – 8 x 2 = 64 f. 7 x 14 – 7 x 7 = 49 103. 0 a. 8 c. 4 d. 22 e. 22 f. 11 h) 90, resto 6 g. 33 h. 21 i. 43 i) 334, resto 1 138. 12, 5, 12, 6, 0, 5, 2, 1, 6, 2, 1, 62, 1, 62, 1, 62, 1 139. 1 e 3 b. 11, resto 3 c. Falso 140. 1 e 5 c. 11, resto 1 d. Falso 141. 1, 2, 3, 4, 6 e 12 d. 11, resto 3 e. Verdadeiro 142. 1, 2, 3, 6, 9 e 18 e. 12, resto 1 f. Verdadeiro 143. f. 11, resto 2 g. Verdadeiro a) 29 g) 642, resto 1 a. 32, resto 1 a. 62 g. 21, resto 3 b. 63, resto 3 h. 10, resto 8 114. b. 9 c. 32 127. h. Verdadeiro 104. b. 12 126. 24, resto 1 113. 102. b. 6 x 9 – 6 x 2 = 42 e a. 12 b) 18 c) 3 c. 44, resto 6 i. 44, resto 1 d. 155, resto 2 128. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 d. 7 e. 6 f. 5 d) 8 g. 9 h. 8 i. 7 g) 31, 31 j. 12 k. 6 l. 2 h) 22, 5, 22 129. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 m. 3 n. 4 o. 9 i) 34, 4, 8, 2, 34 130. 28 h. 965, resto 2 p. 10 q. 3 r. 6 j) 8 131. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 i. 1851, resto 2 105. 7 semanas 106. 10 décadas 107. 9 garrafas e) 3, 2 f) 3, 6 k) 8 l) 35 m) 6 115. Alternativa c 116. Alternativa e 108. 117. 5 a. 9 b. 27 c. 3 118. 3 d. 8 e. 5 f. 4 119. 8 g. 30 h. 28, 7, 28 120. 14 i. 36, 4, 9, 36 j. 10 121. 1144 k. 6 m. 8 122. l. 32 109. a. 4, resto 1 a. 1 b. 1 c. 0 b. 10, resto 1 d. 3 e. 6 f. 7 c. 8, resto 2 g. 0 h. 1 i. 4 d. 9, resto 1 j. 3 k. 3 l. 0 e. 8, resto 0 m. 7 n. 4 o. 7 f. 8, resto 6 p. 0 q. 1 r. essa divisão não é possível nos números naturais. 110. sete semanas e 4 dias g. 9, resto 2 h. 6, resto 5 i. 8, resto 2 123. Alternativa a 124. 3 132. 12 133. 42 134. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 b. 15 c. 18 k. 21 l. 22 n. 15 o. 14 m. 15 144. Verdadeira b) 40 ÷ 10 = 1 e) 360 ÷ 10 = 36 e. 19, resto 3 147. f. 24 a. 334 b. 5151 g. 12, resto 3 i. 18 j. 12 k. 13, resto 7 l. 16, resto 2 c. 20009 d. 90001 e. 50050 f. 1000, resto 2 137. b) 71 c) 512, resto 2 d) 41, resto 2 e) 34, resto 6 f) 74, resto 1 125. 110 j. 10, resto 4 c) 300 ÷ 10 = 30 d. 31, resto 2 a) 61 g. 308, resto 4 146. 136. h. 27 f. 992, resto 6 145. Alternativas b, c, e 135. 30 a. 36 e. 406 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP g. 11430, resto 5 h. 1003 j. 201 i. 8080 k. 103 l. 1001 148. a. 2 b. 2 c. 2 d. 2 e. 2 f. 2 Matemática g. 3 h. 2 e) √81 = 9 d. 132 dezenas a. < (maior) e. 233 dezenas b. = (igual) f. 93 dezenas c. = (igual) a. já feito 159. d. = (igual) b. 10, pois 10 = 100 149. ítem g. Neste caso, o dividendo e o divisor não foram multiplicados pelo mesmo número, alterando o resultado da divisão. a) 100 dezenas e. = (igual) c. 11, pois 11 = 121 b) 10 centenas f. = (igual) d. 15, pois 15 = 225 150. Alternativa a 160. 166. e. 5, pois 5 = 25 151. 108 a) 10002 a. 49 b. 32 c. 27 f. 1, pois 1 = 1 152. b) mil d. 1 e. 64 f. 128 g. 8, pois 8 = 64 h. 256 i. 729 b. 6 c. 60 c) dez g. 81 d. 20 e. 40 f. 30 161. j. 1331 k. 1 g. 800 h. 80 i. 15 j. 40 l. 254 a. 2025 (dois mil e vinte e cinco). n. 64 b. 304 quatro) a. 11 b. 15 c. 512 d. 27 e. 28 f. 8 c. 14352 (quatorze mil trezentos e cinquenta e dois) m. 4 153. 154. 30 laranjas 155. 5 dúzias (trezentos d. 222 (duzentos vinte e dois) e e 2 2 2 2 a. 21 k. 23 171. l. 7 2 2 172. a. 4 b. 25 c. 11 167. d. 12 e. 180 f. 660 2, 8, 256 g. 266 h. 345 i. 8 9, 3, 729 j. 12 11, 3, 1331 1, 9, 1 173. Pendente de troca do texto. 7, 1, 7 174. 2, 8, 256 a) Verdadeiro 7, 3, 343 b) Falso 6, 4, 1296 c) Verdadeiro 175. k. 400 156. 150 resmas e. 454 (quatrocentos e cinquenta e quatro) 157. f. 100. 000 (cem mil) 3, 5, 243 a. 1 centena g. 2762 168. b. 3 centenas h. 140 a) Falso c. 7 centenas i. 46700 b) Falso d. 8 centenas 162. c) Verdadeiro e. 11 centenas a. 19 b. 10 c. 138 d) Falso f. 17 centenas d. 20 e. 7 f. 48 e) Falso 177. g. 30 centenas g. 5 h. 55 i. 9 f) Falso a. 68 h. 100 centenas j. 4 k. 88 l. 0 g) Falso d. 3753 e. 48 i. 1 centena m. 0 n. 0 o. 0 h) Falso f. 1296 g. 3995 j. 2 centenas 163. i) Verdadeiro h. 148 i. 435 j. 6611 k. 5 centenas a) Verdadeiro 169. k. 16376 l. 9 centenas b) Verdadeiro a) 125 b) 49 m. 10 centenas c) Falso d) 16 n. 20 centenas d) Verdadeiro 170. o. 1038004 o. 50 centenas e) Falso p. 17212 158. 164. a) √16 = 4 r. 1011910 a. 32 dezenas a. 7 b. 15 b. 56 dezenas d. 63 e. 110 f. 6 u. 1039 c. 86 dezenas 165. c) √36 = 6 c. 54 1 6 5 8 4 0 3 2 7 10 3 8 5 7 9 6 11 4 176. c) 625 e) 243 b) √49 = 7 d) √64 = 8 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP b. 187 c. 58 l. 17429 m. 648 n. 9898 s. 227 v. 100640 q. 8761 t. 7064 w. 2 111 Matemática x. 300002 181. 178. a. Falso a. = (igual) b. Verdadeiro b. < (menor) c. Falso c. > (maior) d. Verdadeiro d. = (igual) e. Falso e. < (menor) f. Falso 195. 139 Km f. < (menor) g. Verdadeiro g. = (igual) h. Falso h. = (igual) 182. 179. a. Verdadeiro 196. a) 925 anos b) 93 anos c) 387 anos d) 110 anos e) 21 f) 49 anos g) 41 anos h) 14 anos i) 225 anos a. 426 b. 14 c. 64 b. Falso d. 3753 e. 2620 c. Verdadeiro f. 1729 g. 5538 d. Falso h. 10112 e. Verdadeiro. i. 1554 183. Alternativas a, c, e, f j. 856 k. 2068 l. 0 m. 410 n. 4452 184. Alternativas a, c estão corretas. o. 17 p. 34 q. 68 r. 70 s. 0 t. 430 u. 18 v. 181 w. 45 x. 12 y. 45 185. Restam 33 folhas em branco. 186. a) 1 :33 minutos b) 24 minutos. z. 203 aa. 35 bb. 20 cc. 35; resto 3 dd. 55; resto 7 ee. 17; resto 5 ff. 26; resto 3 gg. 203; resto 15 hh. 21; resto 53 180. 187. a) 96 cervejas b) 5 engradados 188. a) 658 m b) 5 edifícios de 170 metros. 189. 6 pessoas c. Verdadeiro (59 < 116) 190. a) 49 léguas = 323400mts b) 231000 m = 35 léguas d. Falso (405 = 405) 191. 2025 reais a. Falso (84 > 65) b. Verdadeiro (47 = 47) e. Falso (1256 > 1255) f. Falso (7490000>1000005) g. Verdadeiro (1007 < 100006) 112 192. a) Para comprar o ovo faltam 6 reais. b) necessito de 3 barras de chocolate c) preço 9 reais 193. a) comp. da mesa= 195cm b) 7 palmos 194. a) 450 computadores b) valor 1215 reais b) 130 semanas 208.22 lugares vazios 209.time B 7 pontos; time A 6 pontos; time C 5 pontos; time D 4 pontos 210. 10.000 segundos 211. a) tempo 9 hs; Dia normal 50km; fim de semana 75km b) Preço da gasolina sábado 30 reais; Dia normal 45 reais c) Tempo sabado 2 hs; dia normal 3 hs. d) 55 litros; 11 horas 197. 96 bactérias 212. 198. Centro-Oeste a. 4 quadrados b. 16 quadrados 199. a) 40 reais b) 12 reais com troco de 38 reais c) 7 Barras de chocolate d) 3 barras a 12 reais e) 10.000 gramas f) 13 refrigerantes e leva 2 grátis. 200. a) empresa A; 3 reais b) empresa B; 19 reais c) igual valor c. 21 quadrados d. 16 quadrados e. 12 quadrados 213. a. 8 metros b. 20 metros c. 20 metros d. 16 metros e. 14 metros 201. 12 dúzias de bananas 214. 90 metros 202.12.500 folhas 215. 400 centímetros 203. 100.000 cm 216. 204. a) 15.000.000 cm b) 150 Km 205. 3600 s a. Verdadeiro b. Falso c. Falso d. Falso 206. 48 semanas 207. a) 89 dias primavera ou verão CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP e. Verdadeiro 217. Matemática a. 2*5*5 Bactéria C: 5 bactérias e) 887 b. 2*2*3*3 b) 5. Bactéria bactérias A: Bactéria bactérias B: 3 C: 5 g. 2*2*5*5 Bactéria bactérias h. 2*2*2*3*5 c) c. 2*2*5 d. 3*3*5 e. 2*3*3*3 f. 5*2*2*2*2 i. 2*2*2*5 2 10 10 10 a) 63 4. Desenhar o quadrado para facilitar a solução do problema. b) 104 c) 487 6. a) 1394 b) 1356 c) Não. d) 1437 Tarefa II Bactéria A: 2 bactérias 6 Bactéria B: 3 bactérias 6 a) 144 ovos b) 3600 ovos Bactéria C: 5 bactérias 2. 120 cartelas a. 196 b. 2197 b) 3. 15 prateleiras c. 12 Bactéria A: 2 bactérias e. 9 f. 9 219. 36 quadrados 5 4. 5 a) 900 reais; 5 Bactéria C: 5 bactérias b) 3600 reais; 226. 18 quadradinhos c) 2700 reais; Bactéria B: 3 bactérias 5. 140400 reais 220. 9 metros 221. 32 bactérias 222. 4608 reais 223. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 8 12 4 15 14 1 224. 0 = 44 – 44 1 = (4 x 4) ÷ (4 x 4) 2 = (4 x 4)÷ (4 + 4) 3 = (4 + 4 + 4) ÷ 4 4 = 4 + (4 – 4) ÷ 4 a) 50 – (5x3 + 7x4 + 2x6) b) 2 reais. 218. d. 2 6. Desenhar o quadrado para facilitar a solução do problema. 7. 1. 6 5. Desenhar o quadrado para facilitar a solução do problema. Tarefas para Casa Obs: as respostas deste tópico se encontram de forma resumida. Serão cobradas do aluno respostas completas e abrangentes. 6. 200.000 reais 7.400.000 reais 8. a) 613 kilometros b) 122.600.000 reais 9. 50 quilômetros 10. 135.000.000 reais Tarefa I 1. São seis números. Dois deles são 398 e 983. A separação em unidades, dezenas e centenas fica a cargo do leitor. Tarefa III 1. a) Bactéria A: 2 bactérias Bactéria B: 1 bactéria; Bactéria C: 1 bactéria; 5 = (4 x 4 + 4) ÷ 4 2. São nove números. Dois deles são: b) Bactéria A: 2 6 = 4 + (4 + 4) ÷ 4 18, pois 1 + 8 = 9 c) Bactéria B: 3 7 = 4 + 4 – (4 ÷ 4) 27, pois 2 + 7 = 9 d) Bactéria C: 5 8 = 4 + 4 + (4 – 4) 3. 2. 256 parafusos 9=4+4+4÷4 a) 126 páginas 3. 10 = (44 – 4) ÷ 4 b) página 174 a) 81 pessoas 225. 4. b) 729 pessoas a) a) 1256 b) 1619 Bactéria A: 2 bactérias c) 191 d) 132 12 6 4 30 c) 3 Bactéria B: 3 bactérias CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 113 Matemática PROPRIEDADES DOS NOS NATURAIS 1. a. 1 x 36 = 36; 2 x 18 = 36; 3 x 12 = 36; 4 x 9 = 36; 6 x 6 = 36; 9 x 4 = 36; 12 x 3 = 36; 18 x 2 = 36; 36 x 1 = 36. b) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 a. Falso b. Verdadeiro c. Falso d. Verdadeiro e. Falso f. Verdadeiro g. Verdadeiro h. Verdadeiro i. Falso a. 1 x 20 = 20; 2 x 10 = 20; 4 x 5 = 20; 5 x 4 = 20; 10 x 2 = 20; 20 x 1 = 20; j. Verdadeiro k. Verdadeiro l. Verdadeiro b. 1, 2, 4, 5, 10, 20 m. Verdadeiro n. Falso o. Verdadeiro 8. a, c, d, f, j, k p. Verdadeiro q. Falso r. Verdadeiro 10. b, c, f, h, k, l s. Falso t. Falso u. Verdadeiro 11. 780 v. Verdadeiro w. Verdadeiro 7. 9. 143266 12. 1257, 1260, 1263, 1266, 1269 2. a) 6, 12, 18, 24, 30 13. Não, pois não é divisível por 2 que é o número de rodas em cada moto. b) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. 14. c, e, f c) 24 16. 3. a. 7, 14, 21, 28, 35. a. c. 3, 9, 15, 21, 27 15. c, e, f • 2 caixas com 16 bombons cada; 17. 4, 8, 12, 16, 20 • 4 caixas com 8 bombons cada; 18. a, b, d, e, f, k • 8 caixas com 4 bombons cada; 20. a, c , e • 16 caixas com 2 bombons cada; 21. 3052 b. • 2 caixas com 6 bombons cada; • 3 caixas com 4 bombons cada; • 4 caixas com 3 bombons cada; • 6 caixas com 2 bombons cada; b. 4, 8, 12, 16, 20. 19. b, c, e, h 22. Não pode ser 42. Pode ser 72. Porque 72 é múltiplo de 4 e 42 não é. Como cada carro tem 4 rodas, o número total de rodas deve ser múltiplo de quatro. 23. c. Não haveria como dividir, a não ser que fossem 11 caixas com 1 bombom cada uma. a) Sim, o professor poderia, por exemplo, colocar o grupo vermelho e o grupo amarelo dentro do grupo azul. Depois, colocar o grupo laranja e o grupo verde dentro do grupo branco. d. O número total de bombons deve ser divisível pelo número de bombons em cada caixa. O número total de bombons deve ser divisível pelo número de caixas de bombons. b) Sim. Como podemos ver no exemplo acima, sempre que dividimos algo em 4 partes, também conseguimos dividir em 2 partes. O contrário nem sempre é verdadeiro. 4. 24. Sim. Qualquer número divisível por 4 será, automaticamente, divisível também por 2. a. 2, 4, 8 e 16 b. 1, 2, 7 e 14. 5. a. Falso b. Falso c. Verdadeiro d. Verdadeiro e. Verdadeiro f. Falso g. Falso h. Verdadeiro 6. 25. O inverso do que vimos no último exercício nem sempre é verdadeiro. Pode acontecer de um número divisível por 2 não ser divisível por 4. Um bom exemplo é o número 6, que é divisível por 2 mas não por 4. O 10 seria outro exemplo e assim por diante. 26. a. 12, 24, 36 b. 60 27. 114 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática a. divisível por 2 • 5 grupos de 6 alunos; b. divisível por 3 e por 5 • 6 grupos de 5 alunos; c. não divisível por nenhum deles • 10 grupos de 3 alunos; d. não divisível por nenhum deles • 15 grupos de 2 alunos; e. divisível por 2 e por 3 • 30 grupos de 1 aluno; g. divisível por 3 • 1 grupo de 20 alunos; h. divisível por 2 • 2 grupos de 10 alunos; i. divisível por 2, 3 e 5 • 4 grupos de 5 alunos; • 5 grupos de 4 alunos; • 10 grupos de 2 alunos; • 20 grupos de 1 aluno; • 1 grupo de 40 alunos; • 2 grupos de 20 alunos; • 4 grupos de 10 alunos; • 5 grupos de 8 alunos; • 8 grupos de 5 alunos; • 10 grupos de 4 alunos; • 20 grupos de 2 alunos; • 40 grupos de 1 aluno; 36. 90, 180 • 1 grupo de 21 alunos; 37. • 3 grupos de 7 alunos; a. Verdadeira • 7 grupos de 3 alunos; b. Falsa. Vide o número 15. • 21 grupos de 1 aluno; d. Verdadeira • 1 grupo de 23 alunos; e. Verdadeira • 23 grupos de 1 aluno; f. não divisível por nenhum deles b. j. divisível por 2 28. b, e, j, l 29. d 30. 42 e 84 31. a. 2, 3 b. 2, 3, 4, 5, 6, 7 c. 5 c. d. 3 32. 8, 16, 24, 32, 40 33. a, b, c, d, e 34. c 35. a) Sim, um jeito possível de fazer isso é o seguinte: Os grupos antigos 1 e 2 formam o novo grupo 1. Os grupos antigos 3 e 4 formam o novo grupo 2. Os grupos antigos 5 e 6 formam o novo grupo 3. Os grupos antigos 7 e 8 formam o novo grupo 4. b) Sim, um jeito possível de fazer isso é o seguinte: Os grupos antigos 1, 2, 3 e 4 formam o novo grupo 1. Os grupos antigos 5, 6, 7 e 8 formam o novo grupo 2. d. e. c. Verdadeira 38. f. a. 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24 b. 1, 2, 4, 8 • 1 grupo de 17 alunos; c. 1, 2, 4, 8, 16 d. 1, 3, 5, 9, 15, 45 • 17 grupos de 1 aluno; f. 1, 17 • 1 grupo de 18 alunos; 39. • 2 grupos de 9 alunos; e. 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 a. g. • 3 grupos de 6 alunos; • 1 grupo de 30 alunos; • 6 grupos de 3 alunos; • 2 grupos de 15 alunos; • 9 grupos de 2 alunos; • 3 grupos de 10 alunos; • 18 grupos de 1 aluno; CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 115 Matemática i. Verdadeiro h. • 1 grupo de 19 alunos; j. Falso • 19 grupos de 1 aluno; k. Verdadeiro. 40. itens e, f, h 41. 47. a. 1, 2, 4, 8 a. 8:05, 8:10, 8:15, 8:20, 8:25, 8:30, 8:35, 8:40, 8:45, 8:50, 8:55 b. 1, 3, 9 c. 9, 18, 27, 36, 45 b. 8:06, 8:12, 8:18, 8:24, 8:30, 8:36, 8:42, 8:48, 8:54, 9:00, 9:06 42. c. 8:30 a. Falso. Tem mais que quatro elementos. 48. alternativas a, b, c, d. b. Falso. Zero não pertence ao conjunto. 49. alternativas a, b, c, d. c. Falso. 1 + 2 + 3 + 6 = 12 50. d. Falso. e. Verdadeiro. a. Falso b. Falso c. Falso f. Verdadeiro. g. Verdadeiro. f. Verdadeiro d. Falso e. Verdadeiro 43. g. Verdadeiro h. Verdadeiro - 2 pacotes com 21 bolachas cada; 51. - 3 pacotes com 14 bolachas cada; a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - 6 pacotes com 7 bolachas cada; b. 53, 59, 61, 67, 71 - 7 pacotes com 6 bolachas cada; 52. - 14 pacotes com 3 bolachas cada; a. 2*5 b. 2*2 c. 2*3 - 21 pacotes com 2 bolachas cada; d. 3*5 e. 7*11 f. 2*11 44. Não teria uma forma de dividir, a menos que fossem 41 pacotes com 1 bolacha cada. g. 2*13 h. 11*11 i. 7*5 a. 2*5*2 b. 2*3*5 c. 2*5*11 d. 2*7*11 e. 2*2*11 f. 3*5*7 53. 45. a. múltiplo b. múltiplo 54. c. divisor d. (em branco – não é múltiplo nem divisor) e. divisor f. múltiplo g. divisor 46. a. Verdadeiro b. Verdadeiro c. Falso. d. Verdadeiro e. Falso f. Verdadeiro g. Falso h. Falso 116 12 = 2 x 2 x 3; 14 = 2 x 7; 15 = 3 x 5; 16 = 2 x 2 x 2 x 2; 18 = 2 x 3 x 3; 20 = 2 x 2 x 5; 21 = 7 x 3; 22 = 2 x 11; 24 = 2 x 2 x 2 x 3; 25 = 5 x 5; 26 = 2 x 13; 27 = 3 x 3 x 3; 28 = 2 x 2 x 7; 30 = 2 x 3 x 5; 55. a. Falso b. Falso c. Falso d. Falso e. Falso f. Falso g. Verdadeiro h. Falso i. Verdadeiro j. Falso k. Verdadeiro l. Falso m. Falso n. Verdadeiro o. Falso p. Falso r. Falso s. Verdadeiro CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática a. 12 56. b. 672 = 2*2*2*2*2*3*7 e 56=2*2*2*7 a. 21 = 3x7 b. 48 = 2x2x2x2x3 c. 51 = 3x17 d. 18 = 2x3x3 e. 57 = 57 f. 100 = 2x2x5x5 g. 64 = 2x2x2x2x2x2 h. 144 = 2x2x2x2x3x3 i. 189 = 3x3x3x7 j. 700 = 2x2x3x5x7 k. 180 = 2x2x3x3x5 l. 300 = 2x2x3x5x5 57. a. 30 b. 75 c. 16 d. 41 e. 42 f. 43 g. 44 h. 45 i. 46 j. 47 k. 48 l. 49 m. 50 58. c. 672 tem os seguintes fatores primos a mais: 2, 2 e 3 d. Sim, o resultado da divisão (12=2*2*3) é o produto dos fatores primos que o 672 tem a mais. 64. a. resultado 1, resto 12 b. 42 = 2*3*7 e 30=2*3*5 c. O 42 tem um fator primo exclusivo (7) e o 30 também tem (5). d. Nos outros exercícios apenas um dos números possuía algum fator primo exclusivo em relação ao outro. Nesse caso a divisão não é exata. 65. a. decomposição errada: 65 = 11*5 b. 33 não é primo a. resultado 2, resto 4 b. 84=2*2*3*7 e 40=2*5*2*2 c. 6 não é primo d. 57 não é primo (divisível por 3) c. o fator primo 7 pertence só ao 84 enquanto o fator primo 5 pertence só ao 40. f. multiplicação errada: 66 = 11*6 d. Sim. Quando os dois números possuem fatores primos exclusivos em relação ao outro, a divisão não será exata. g. 10 não é primo 66. h. decomposição errada: 128 = 2*2*2*2*2*2*2 a. Sim, pois: 59. 10 e 6 não são primos pois 10 é divisível por 2 e 5 enquanto 6 é divisível por 2 e 3. 1024=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 e. 6 e 10 não são primos 512=2*2*2*2*2*2*2*2*2 60. a. 150 b. 75 c. 75 não é divisível por 2 Logo, apenas o maior número tem fatores primos exclusivos em relação ao menor. d. 25 e. 25 não é divisível por 3 b. Sim, pois: f. 5 g. 2 x 2 x 3 x 5 x 5 66=11*2*3 e 6 = 2*3 61. a. 7 Logo, apenas o maior número tem fatores primos exclusivos em relação ao menor. b. 315 = 3*3*5*7 e 45 = 3*3*5 c. Não pois: c. O 7 é o único fator primo que 315 tem a mais do que 45. 66=11*2*3 e 20=2*2*5 d. Esse fator primo constitui o resultado da divisão feita no ítem a. Assim, 66 tem um fator exclusivo (11) em relação ao 20 e o 20 tem um fator exclusivo (5) em relação ao 66. Não será divisível. 62. d. a. 132 ÷ 22 = 6 270=2*3*3*3*5 b. 132 = 2*2*3*11 e 22 = 2*11 2730=2*3*5*91 c. O 2 (repetido) e o 3 são os fatores primos pertencentes exclusivamente ao 132. Logo, o 270 tem um fator primo exclusivo (3) e o 2730 tem outro fator primo exclusivo (91). Logo não é divisível. d. Sim, o resultado da divisão é 6 = 2*3. O 2 e o 3 são os fatores primos pertencentes apenas ao 132. 63. 67. 50 = 2*5*5 a. três fatores primos, dois deles repetidos. CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 117 Matemática b. todos eles são divisores de 50 b. Todos c. Sim, tanto 2*5=10 quanto 5*5=25 são divisores de 50. c. Sim. 68. 77. 924=2*2*3*7*11 e 385=5*7*11 a. 7 e 11 a. 2310=2*3*5*7*11 b. Todos b. Todos eles são divisores de 2310. c. Sim qualquer multiplicação entre os fatores primos resulta em um divisor. 69. Verdadeira. 70. a. D(15) = {1, 3, 5,10, 15 e 30} c. Sim. 78. a. MDC(24,56) = 8 b. MDC(30,36) = 6 c. MDC(82,45) = 1 d. MDC(150,180) = 30 e. MDC(75,45) = 15 f. MDC(22,35) = 1 b. D(10) = {1, 2, 5 e 10} g. MDC(30,42) = 6 h. MDC(70,110) = 10 i. MDC(30,70) = 10 j. MDC(105,42) = 21 d. D(13) = {1 e 13} 79. c. D(20) = {1, 2, 4, 5, 10 e 20} k. MDC(110,66) = 22 e. D(16) = {1, 2, 4, 8 e 16} a. V g. D(23) = {1 e 23} 81. 12, 24, 36, 48, 60 f. D(18) = {1, 2,3,6,9 e 18} b. V c. F d. V e. F 80. 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168. h. D(64) = {1, 2, 4, 8,16, 32 e 64} i. D(100) = {1, 2, 4, 5,10, 20, 25, 50 e 100} 82. 70 k. D(121) = {1, 11 e 121} a. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 m. D(50) = {1, 2,5,10,25,50} c. 1, 2, 5 e 10 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, j. D(330) = � � 55, 66, 110, 165 e 330 l. D(41) = {1 e 41} 83. 19 equipes com 6 funcionárioscada. 84. b. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 n. D(60) = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} d. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 p. D(90) = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90} e. 14, 28 f. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 72. 2, 4, 8 h. 12 73. i. 14 o. D(66) = {1,2,3,6,11,22,33,66} 71. itens d, g, l. Os divisores de um número primo sempre são 1 e ele mesmo. g. 12, 24, 36 a. 2, 4 b. 1 c. 2, 4, 8 85. d. 2, 3, 6, 10 e. 3, 5, 15 f. 1 a. MMC(4,10) = 20 b. MMC(9,18) = 18 g. 2, 4 h. 1 i. 2, 4. 8 c. MMC(7,13) = 91 d. MMC(20,25) = 100 e. MMC(8,7,56) = 56 f. MMC(5,9,12) = 180 74. a. 4 b. 1 c. 8 g. MMC(7,21) = 21 d. 10 e. 15 f. 1 i. MMC(6,7,9) = 276 g. 4 h. 1 i. 8 86. 14 de dezembro h. MMC(5,20) = 20 75. itens b, f e h 76. 210 = 2*3*5*7 e 180=2*2*3*3*5 78. a. 2, 3 e 5 a. mdc(33,55)=11, mmc(33,55)=165 118 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática b. mdc(25,75)=25, mmc(25,75)=75 100. 90 dias c. mdc(490,510)=10, mmc(490,510)=24990 101. c d.mdc(60,50)=10, mmc(60,50)=300 102. 12 semanas e.mdc(6,5)=1, mmc(6,5)=30 103. 14 de dezembro f. mdc(20,30)=10, mmc(20,30)=60 104. 720 minutos = 12 horas g. mdc(2,3)=1, mmc(2,3)=6 105. h.mdc(14,15)=1, mmc(14,15)=210 a. Falsa i.mdc(20,21)=1, mmc(20,21)=420 c. Verdadeira 88.Podemos dividir em grupos de 1, 2, 3, 6, 9, 18 ou 36 fileiras. Ou seja, há 7 maneiras. 106. b 107.c b. Falsa 108. e 109. c 89. Tarefas para casa – Propriedades dos Números Naturais a. 105 = 3 x 5 x 7 b. três c. todos d. sim, 3 x 5 = 15 é divisor de 105 e 5 x 7 = 35 também é divisor de 105 e. 30 = 2 x 3 x 5 Tarefa I 1. Duas opções de senha são aidualc210 e aidualc315. 2. Pense em alguma multiplicação que tem 18 como resultado. f. três h. sim, 2 x 3 = 6 é divisor de 30 e 2 x 5 = 10 é divisor de 30. 3. Para o número 16, as multiplicações possíveis seriam: 1 x 16 = 16, 2 x 8 = 16, 4 x 4 = 16, 8 x 2 = 16 e 16 x 1 = 16. Pense as multiplicações possíveis com outros números. i. 210 = 2 x 3 x 5 x 7 4. Os três menores números são: 24, 30 e 36. j. quatro 5. Para o número 8 foi feita, para o número 12 é 12 = 7 + 5. Encontre para os outros números. g. todos k. todos l. sim, 2 x 3 = 6 é divisor de 210 e 2 x 7 = 14 é divisor de 210. 6. Seguir os procedimentos descritos no exercício. 7. A decomposição do 6 e do 15 é mostrada abaixo: 90. c 6 = 2 x 3; 91. 15 = 3 x 5; Divisores de 284 (exceto o 284): 1,2,4,71,142 Faça para os demais números. Divisores de 220 (exceto o 220): 8. 20 dias 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 Soma dos divisores de 284 = 220; 9. a) 60 cm b) 5 tábuas Soma dos divisores de 220 = 284; 92. d 93. a Números Decimais 94. c 95.Podemos dividir em grupos de 1, 2, 3, 6, 9 ou 18 elementos. Ou seja, há 6 modos. 96. Eles se encontrarão depois de 6 minutos. O primeiro ciclista terá dado 9 voltas, o segundo terá dado 10 voltas e o terceiro, 12 voltas. 97. 41 bairros. 98. 19 aparições 1. 0,1 2. 0,2 3. R$ 0,50. cinquenta centavos 4. a) 1,4m b) 0,2m c)0,1m d)0,49m e) 0,99m f)1,85m g)20,12m 99. b CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 119 Matemática 5. 9. a) Para 30 convidados seriam encomendados 15 pães de metro. Para 45 pessoas seriam encomendados 23 pães de metro, porque não poderiamos pedir 22,5 pães de metro. 0,19 < 0,7 < 1,21 < 1,5 < 2,01 < 2,3 < 2,31 b) A conta 230 ÷ 30, ou 230 décimos de metro de pão divididos por 30 pessoas, dá o resultado: 7,6 uma dízima periódica. Como não podemos cortar um lanche de metro nessa medida, podemos tirar dois pães de metro da divisão e dividir 210cm por 30 pessoas, o que dá 7 pedaços por pessoa. Obs.: Se separarmos metade de um lanche da divisão, teríamos os 225 décimos de metro e 225 ÷ 30 = 7,5 pedaços, mas também não seria fácil dividir um pedaço exatamente na metade, certo? c) Se subtrairmos 8cm de um metro, temos 92cm. Então 92÷8 = 11,5cm que é o pedaço do lanche cortado. Se uma pessoa comer seis pedaços comerá 11,5cm x 4 = 46cm. a) 1,5 b) 2,5 c) 5,5 d) 3,5 e) 11,5 g) 2,25 h) 4,75 i) 0,75 j) 1,8 m) 7,4 n) 0,833... k) 2,6 f) 2,5 l) 4,2 o) 1,5 p) 2,5 q) 8,166... s) 1,285714285714... t) 7,428571... u) 4,714285... v) 5,142857... w) 1,222... x) 3,666... y) 9,777... z) 11,222... 7. 0,09 < 1,09 < 1,1 < 2,507 < 2,61 < 3,65 < 23,01 b) 10,1 > 10 c) 4,23 < 4,4 d) 1,086 = 1,086000 e) 1,075 > 1,009 f) 8,011 > 6,95 g) 1,601 > 1,6 h) 7,009 < 7,01 i) 8,52 = 8,5200 j) 4,007 < 4,02 c) 0,55 d) 23,73 e) 7,969 f) 0,638 g) 5,12 h) 17,83 i) 0,423 j) 1,906 k) 2,23 l) 40,081 m) 4,392 n) 1,244 o) 30,0 p) 6,20 q) 7,94 r) 0,0335 s) 2,211 11. a) 1,7 b) 0,432 e) 3,7 f) 12,5 c) 0,8 d) 0,6 g) 14,96 h) 117,73 k) 52,97 l) 10,08 12. a) 10,8 b) 57,2 c) 1700 d) 9,2 e) 0,98 f) 2,9 g) 200,6 h) 180 i) 437,5 j) 1232000 k) 11120 l) 1500 b) 105,3 c) 9,45 13. a) 33,5 d) 22 e) 136,5 f) 4,704 g) 38,19 h) 32,76 i) 10,53 j) 2,6 k) 33,88 l) 2,278 m) 3,36 n) 4,02 r) 14,2 o) 0,63 p) 1,44 s) 56,5625 14. a) 3,95 b) 6,42 c) 1,1 d) 2,102 e) 0,064 f) 0,27 g) 0,0557 i) 21,78 j) 118 k) 2,5 l) 0,05 m) 80 n) 12,5 o) 20 p) 6,25 q) 10 120 b) 1,315 q) 3,4442 8. a) 3,8 < 8,3 a) 16,1 i) 0,777 j) 1,556 6. r) 8,66... 10. r) 0,92 s) 17 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP h) 0,557 t) 2,03 u) 0,23 Matemática 15. a) 2,7 m² a) 27 sacos e meio de cimento podem ser utilizados. 24. R$ 665,00 em sacos de cimento, relativo a 28 sacos. Não, o IPTU é: R$ 1.459,5045 b) 10,24m² 25. b) 110,24 m³ ou 110.240 L IMC Duílio = 27,27478 (Sobrepeso) 16. 2591 kg. Excesso de 591 kg. IMC Sandra = 29,06574 (Sobrepeso) 17. alternativa correta é b a)0,1089 b)0,2401 c)12. 605 d)4,86 e)1,0404 ordem é: a < b < e < d < c 18. a) março de 2007: 14,61 mil unidades Tarefas para casa – Números Decimais Tarefa 1 1) d b) 2,9 mil unidades 2) c) 58,42 mil unidades a) R$ 2461,45 d) 64,25 mil unidades 19. b) O professor Leonardo saiu do banco com as seguintes quantidades de notas: 1,25 kg 24 notas de 100 reais: R$ 2400,00 20. uma nota de 50 reais: R$ 50,00 João: R$ 84,30 uma nota de dez reais: R$ 10,00 Pedro: R$ 84,30 + R$ 31,50 = R$ 115,80 mais R$ 1,45 em moedas José: R$ 115,80 - R$ 54,25 = R$ 61,55 c) Ainda sobram R$ 1061,70 Três juntos: 84,30 + 115,80 + 61,55 = R$ 261,65 3) c 21. 4) e R$ 4812,00 Tarefa 2 22. a) R$ 199,50 b) R$ 127,50 c) perdido, R$ 72,00 23. 1) a 2) e 3) a) jan07: R$ 46,00 fev07: R$ 13,00 juntas (jan07+fev07): R$ 59,00 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 121 Matemática b) jul07: R$ 24,00 ago07: R$ 30,00 juntas(jul07+ago07): R$ 54,00 5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 4/8, 5/10 e 6/12 4/12, 5/15 e 6/18 12/16, 15/20 e 18/24 4/36, 5/45 e 6/54 8/20, 10/25 e 12/30 20/24, 25/30 e 30/36 4/20, 5/25 e 6/30 28/40, 35/50 e 42/60 8/12, 10/15 e 12/18 6. D 2) 7. D a) 45625 folhas de papel carta. 8. C, E, A, F, B, D b) 3 árvores deixam de ser cortadas em um ano. 9. 18/12 c) 27771 árvores deixam de ser cortadas em um ano 10. 12/9 11. 30/24 12. 5/35 a diferença é de R$ 5,00 Tarefa 3 1) a) 0,027 b) 4 d) 33,22341666... c) 0,06890625 e) 70 f) 49,8 Frações 1. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) um meio dois terços três quartos quatro quintos cinco sextos seis sétimos sete vinteavos nove trezeavos quatro dozeavos cinco décimos dez centésimos duzentos milésimos 13. 5/4 14. 2/1 15. a) b) c) d) e) f) g) h) 2/3 3/4 2/5 3/4 4/5 35/9 2/5 7/6 2. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 0,5 0.75 0.4 0.25 0.2 1.5 0.8 2.6 0.875 0.52 16. a) b) c) d) e) f) g) 2/1 4/3 5/2 2/8 6/9 8/10 5/13 17. a) b) c) d) e) f) g) h) i) < (menor) > (maior) < (menor) > (maior) > (maior) = (igual) > (maior) = (igual) < (menor) 3. Próprias: ítens a, b, c, d, e, j, k, l Impróprias: ítens f, g, h, m Aparente: nenhum 4. zero. 122 Não é possível, pois não tem como dividir por CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP Matemática 18. a) b) c) d) e) f) g) h) 3 20/3 5/2 3/5 3/2 1/5 3/2 2/3 19. a) b) c) d) e) f) g) h) 3 1/3 1 3 3/2 3/5 0 4/9 20. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 17/6 3/2 23/6 14/5 23/20 7/12 13/2 4/5 4/3 21. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 9/14 7/8 13/35 3/10 2/3 3/25 1/2 1/18 3/7 22. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 7/24 3/7 15/24 8/5 2/55 12/11 7/4 10/45 7/12 23. a) b) c) d) e) f) 1 14 28/15 5/2 15/2 7/3 g) h) i) 3 2/3 12/5 24. a) b) c) d) e) f) 1/2 1/3 1/4 2/5 1/2 5/8 25. a) b) 1/3 2/3 26. Lúcia esta autorizada a comer 9 bombons. 27. a) Foram consumidos 20 litros de gasolina. b) Não, pois o total consumido de gasolina será 2/5 + 2/5 = 4/5 do tanque, ou seja, 40 litros. Como o tanque foi abastecido com 50 litros, a viagem poderá ser feita sem reabastecimento de combustível. 28. Se 3/5 dos alunos são mulheres, então 2/5 dos 60 alunos são homens. Fazendo as contas, vemos que 24 alunos são homens. Porcentagem 1. a) b) c) d) e) f) g) 35/100 45/100 75/100 20/100 10/100 30/100 15/100 2. a) b) c) d) e) f) g) 7/20 9/20 3/4 1/5 1/10 3/10 3/20 3. a) b) c) d) e) f) g) 20% 30% 50% 40% 62.5% 80% 16.67% CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 123 Matemática 4. a) b) c) d) e) f) 4. –2, –1, 0, 1 e 2 12 117 53.33 2 270 12 6. a) –11, –3, –1, 1, 4, 12 b) –21, –20, –13, 0, 7, 14, 21 8.a) V b) +7 ≠ –7 e) 68 > –69 5. 210 alunos não praticam esportes regularmente. 6. Antônio deverá ganhar R$ 37500.00, Clarice deverá ganhar R$ 52500.00 e Marta deverá ganhar R$ 60000.00 50% 18.75% 75% 1% 60% 40% 8. Fernanda leu 60% do livro. 9. O celular aumentou 20%. 10. A conta de tel de Beatriz reduziu em 10%. d) –1 e) –2 g) –2 h) –1 i) 0 j) 1 k) 2 l) 3 o) –9 p) –2 q) 5 r) 7 m) –10 n) –5 c) –18 d) 4 e) –8 f) –100 g) –9 h) –50 i) –21 j) –3 k) 3 l) –70 m) –27 n) 6 o) 80 p) –31 q) 40 r) 54 b) –36 c) 30 d) –48 h) –54 i) 40 f) –441 Números Negativos 1. f) –3 b) –12 15. a) 51 13. Para quitar sua dívida, Pedro terá que pagar 1168 reais após o desconto. h) –10 < 9 c) 0 f) 0 12. Após o desconto, Marta passou a pagar 490 reais de mensalidade. g) V b) 1 14. a) 21 11. O preço do quilo de batatas após o aumento será de R$ 10.08 f) V d) V 10. a) 2 11. a) 12 7. a) b) c) d) e) f) c) V g) –32 b) –70 c) 90 g) –192 h) –464 d) –70 b) –5 c) 9 d) –8 f) 0 g) –6 h) –3 i) 7 f) – 1 e) –136 i) 1215 18. a) 3 19. a) 6 e) –56 b) –28 c) 26 g) –4 h) –214 i) 84 d) 7 e) –9 d) –18 e) –6 22. a) –1 b) 9 c) – 4 e) –30 f) –15 g) 53 h) – 65 i) –27 j) –7 k) 10 l) 10 m) –101 n) 105 o) 6 24. a) 16 b) –64 c) 81 d) –243 e) 64 f) –128 g) – 4 h) 1 i) 625 j) –343 k) 2401 l) 1 m) n) o) p) q) r) 2. 3. 25. a)∄ b) 1 f) 7 g) ∄ k) –13 Número Oposto Módulo 20 –20 20 – 57 +57 57 –12 12 12 f) 0,7 100 (ou –100) –100 (ou 100) 100 k) –1,3 0,5 –0,5 0,5 38,74 –38,74 38,74 –55,61 (ou 55,61) 55,61 (ou –55,61) 55,61 124 l) –14 OBS: ∄ = não existe 26. a)∄ b) 0,1 g) ∄ l) –1,4 OBS: ∄ = não existe 27. a) –9 b) 23 c) ∄ d) 4 e) –4 h) 10 i) 11 j) 13 m) 14 n) 15 o) ∄ c) ∄ h) 1,1 m) 14 c) 110 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP d) 0,4 i) –1,1 n) 15 d) –17 e) –0,04 j) 1,3 o) ∄ e) 13 Matemática f) –23 g) 105 h) –30 i) 133 j) 74 l) 56 m) 1075 n) –3 o) –109 k) –63 28. a) 2 e) 9 b) 560 c) – 9 d) –124 f) 0 32. j. -1,331 k. 1 l. -4,658 a. 800 b. 39 c. 10 d. -17 e. 24 f. 128 g. 1 h. -25 i. 6 j. 3 k. 32 l. 4 m. 49 n. 512 o. 125 4. Data Movimentação (reais) Saldo (reais) 12/01/2014 –– 1020 13/01/2014 – 640 380 13/01/2014 + 45 425 p. 100 q. – 32 r. 0,027 14/01/2014 – 694 – 269 s. – 9 t. 8/125 u. 0,16 17/01/2014 – 79 – 348 v. 16/9 w. 357,911 x. 1 19/01/2014 + 170 – 178 y. 9,6 z. 1,21 aa. – 8/125 20/01/2014 + 737 559 33. Foi de 22 graus. 34. a) 300 K d) 202 K b) 228 K e) 17 K 35. a) – 273 ºC d) – 70 ºC c) 217 K b) – 238ºC e) 132 ºC 5. Sim, no primeiro caso a base da potenciação é o número 0,2 e no segundo caso, devido aos parênteses, a base da potenciação é o número - 0,2. Como a potência é par, o resultado é diferente nos dois casos, de modo que os parênteses acabam afetando o resultado. c) – 115 ºC 6. Potência Potenciação 1. a. 100 d. 9 b. 32 c. 27 e. 1000 g. 25 h. 343 j. 9 k. 100 f. 16 i. 1 Base Expoente Resultado 3,00 4 3 4 3 x 3 x 3 x 3 = 81 -2,00 8 2 8 -256 0,90 3 0,9 3 0,243 -1,25 2 1,25 2 -1,5625 3 − − 2 3 3 1 (-7) 9 10 2. a. 100 b. -32 c. -27 d. 9 e. -1000 f. 36 g. -125 h. -343 i. 4096 j. -9 k. 1 l. -36 m. -49 n. 49 o. -1 p. 1 q. -27 r. -27 3. a. 1 9 d. − g. − 9 25 9 5 b. − e. 1 27 243 3125 9 f. − h. = 2,25 4 9 5 c. − 1 9 i. -1875 2 − 2 3 -7 9 10 1 8 27 -7 81 100 2 0,80 2 0,8 2 0,64 0,654 0 0,654 0 1 7 − 6 5 3 − 6 5 c. 144 d. -27 f. 1 g. -8 8. b. 81 c. 1024 9. b. 1 c. 16 d. 64 10. b. -32 c. 256 − 3 216 125 e. 256 d. 64 e. 2401 e. -7 d. 25 CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP e. 1024 125 Matemática 22. 11. b. e. h. 1 c. 64 f. − 9 1 1 10 k. 1 i. 1 8 1 4 d. 1 g. 729 1 49 1 2 j. − 1 125 12. a. 25 36 b. 16 e. g. 16 h. 125 3 b. 8x10 2 d. 3x10 4 e. 10 f. 7x10 b. 10 c. 5 c. 9x10 2 6 23. 7 a. 7 14 -7 -1 d. -3 e. 2 24. b. 0,0336 25. e. -5/2 26. b. -16/17 27. e 28. b 29. E 30. E 31. 2 32. c 33. B 34. E 35. e c. -8 8 d. 16 a. 2x10 f. − 5 8 5 i. -125 13. 21 36. e a. -10 b. 6 d. -1875 e. − c. 6912 37. 1 f. 16 6 a) a = 27, b = - 8, c = 1/9, d = - 1/8 b) b, d, c, a 14. 16 38. b Radiciação 15. 9 16. a. 36m² b. 64m² d. 256mm² e. 400m² c. 169cm² 17 a. 900m² b. 65m² c. 45m² 1. a. 5 d. 8 g. 13 j. 17 m. 1 a. d. 19. 5m g. 20. a. 8m³ b. 1000m³ c. 512cm³ d. 64m³ j. 3 4 a. 200.000m b. 800 kg d. 50 N e. 10.000 s f. 300.000.000 m/s c. 400 km c. 7 f. 20 i. 15 l. 18 b. 5 8 e. 6 7 1 3 2 c. 6 10 4 c. F h. V 10 i. 2 k. 3 b. V g. F 7 f. 2 h. 1 5 a. F f. V 21. 126 b. 4 e. 9 h. 14 k. 16 n. 0 2. d. 92m² 18. d 39. C l. 2 d. V e. F 4. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13. 5. a. 70 d. não é exata b. 49 e. não existe CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP c. não existe f. 66 Matemática g. 40 j. 90 m. 20 h. não é exata i. 60 k. 80 l. 25 n. 50 o. 182 2 15. 6. a. 6 d. 8 b. 9 e. não existe c. 7 f. 20 7. a. 3 d. 4 g. 6 b. 4 e. 2 h. 9 c. 3 f. 2 8. a. 4 d. 7 g. 1 b. - 6 e. - 9 h. 0 c. 5 f. 10 9. a. 4 b. -8 c. d. não é exata g. -7 e. -9 f. -10 h. não é exata i. -6 c. 58 b. V c. V 16. a. 2 b. 3 c. 8 17. a.57 1 a. 2 1 b. 32 4 19. 20. a. 4 d. 27 g. 8 a. √6561 = 9 b. 2 1 c. 72 1 d. 104 c. 2 12 b. √1012 = 10 b. 8 e. 10000 h. 256 c. 2 f. 4 b. 3√2 c. 3√7 21. não 10. a. 28 d. -40 g. 3 j. -3 m. 4 b. 48 e. 60 h. -2 k. -5 n. -10 c. -36 f. -80 i. -3 l. -4 11. a. -2 d. não existe g. -1 b. -3 e. não existe h. 1 c. 8 f. 2 i. 0 é a. 2√5 d. 2√7 g. 5√3 j. 7√7 m. 4√2 p. 9 s. 2 v. √2 y. 3 3 n. 2 √4 b. F e. F h. F k. F c. F f. V i. F l. F c. -2 f. -2 i. 2 l. 100 d. 2 g. 2 j. -2 m. 10 h. 5√5 3 k. 2 √2 o. 2√10 q. 3 t. 3 w. √3 z. 2√6 3 22. a. F f. 5√2 e.3√5 b2. 5 √2 12 13. a. 2 b. 2 e. 2 h. -2 k. não existe b. 35 a. F 18. exata a. F d. F g. V j. F 1 1 a. 27 14. c2. 12√5 b. V c. V i. 3√3 l. 2√6 r. 5 u. 7 x. √6 a2. √5 d. F 23. a. 7√7 d. 11√5 b. 5√2 3 e. 10 √2 24. a. 50m b. 10cm d. 25km e. 30m CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP 4 c. 7 √6 f. 3√3 c. 40m 127 Matemática TABUADA Apresentamos nesta seção a tábua das multiplicações básicas. A ideia é que elas sejam calculadas e depois consultadas inicialmente até a posterior memorização dos resultados. É importante frisar também que deve-se entender o significado de cada uma das multiplicações presentes. Por exemplo, na multiplicação 4 x 6 temos a soma 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24, e assim por diante. Tabuada do 2 Tabuada do 8 2x1=2 5x1=5 8x1=8 2 x 2 = __ 5x2= 8x2= 2x3= 5x3= 8x3= 2x4= 5x4= 8x4= 2x5= 5x5= 8x5= 2x6= 5x6= 8x6= 2x7= 5x7= 8x7= 2x8= 5x8= 8x8= 2x9= 5x9= 8x9= 2 x 10 = 5 x 10 = 8 x 10 = Tabuada do 3 Tabuada do 6 Tabuada do 9 3x1=3 6x1=6 9x1=9 3x2= 6x2= 9x2= 3x3= 6x3= 9x3= 3x4= 6x4= 9x4= 3x5= 6x5= 9x5= 3x6= 6x6= 9x6= 3x7= 6x7= 9x7= 3x8= 6x8= 9x8= 3x9= 6x9= 9x9= 3 x 10 = 6 x 10 = 9 x 10 = Tabuada do 4 128 Tabuada do 5 Tabuada do 7 Tabuada do 10 4x1=4 7x1=7 10 x 1 = 10 4x2= 7x2= 10 x 2 = 4x3= 7x3= 10 x 3 = 4x4= 7x4= 10 x 4 = 4x5= 7x5= 10 x 5 = 4x6= 7x6= 10 x 6 = 4x7= 7x7= 10 x 7 = 4x8= 7x8= 10 x 8 = 4x9= 7x9= 10 x 9 = 4 x 10 = 7 x 10 = 10 x 10 = CURSINHO POPULAR DO NÚCLEO DE CONSCIÊNCIA NEGRA NA USP