Apostila De Isostática Cap. 3

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Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano Capítulo 3 – Diagramas de esforços em vigas isostáticas 3.1 – Diagramas de esforços Cada esforço secional em uma seção transversal de uma estrutura submetida a um sistema de forças ou cargas atuantes já foi definido como uma das componentes de forças e momentos resultantes que se transmitem de um lado para o outro da estrutura quando se supõe que ela seja cortada pelo plano da seção transversal considerada. Assim, um esforço seccional é função das cargas atuantes de um dos lados da seção de corte e, conseqüentemente, da própria seção considerada. Linhas de estado ou diagramas de esforços são, para cada esforço seccional considerado, curvas traçadas sobre o eixo longitudinal da estrutura (quando ela é composta de barras), que têm por objetivo representar como varia o esforço considerado ao longo das sucessivas seções transversais da estrutura. Para o traçado dos diagramas de esforços tomam-se como eixos coordenados em cada barra o seu eixo longitudinal (eixo das abscissas, onde se identificam as seções transversais) e o eixo a ele ortogonal (eixo das ordenadas, sobre o qual se assinalam, em escala, os valores do esforço considerado, função da seção transversal). As características dos diagramas de esforços são função das equações fundamentais da estática. 3.2– Equações fundamentais da estática Seja a viga abaixo, submetida ao carregamento indicado: qdx x xo q=q(x) a b dx S Va Vb s Os esforços seccionais em S são dados por: M S = Va s − ∫ (s − x ).q( x )dx = Va s − s ∫ q( x )dx + ∫ x.q( x )dx s s s xo xo xo Q S = Va − ∫ q( x )dx s xo Derivando-se as duas expressões acima em relação à abscissa s que define a seção transversal na qual são quantificados os esforços, obtém-se: Ultima atualização em 29/6/2007 29 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano s dM S = Va − ∫ q( x )dx = Q S xo ds → Equações fundamentais da estática dQ S = − q(s ) ds Sabendo Quadro 7 - Características dos diagramas + Sabendo-se que a derivada do momento é igual ao cortante e a derivada negativa do cortante é o carregamento, podem-se relacionar algumas características importantes que devem ser observadas nos diagramas de esforços seccionais em um trecho de uma barra submetido a um carregamento distribuído qualquer: 1. Em um trecho de barra onde não haja carregamento distribuído (q=0), o diagrama de cortantes será uma reta horizontal (Q=cte) e o diagrama de momentos será retilíneo (coeficiente angular da tangente à curva =cte). 2. Em um trecho de barra onde haja carregamento uniformemente distribuído (q=cte), o diagrama de cortantes será uma reta inclinada (curva de 1o grau) e o diagrama de momentos será uma curva de 2o grau (parábola). 3. Em um trecho de barra onde haja carregamento triangular, o diagrama de cortantes será uma parábola e o diagrama de momentos será uma curva de 3o grau. 4. Em uma seção transversal onde houver uma carga concentrada aplicada, haverá necessariamente uma descontinuidade no diagrama de esforços cortantes, sem, no entanto, haver diferença em sua inclinação nos dois lados da seção. O diagrama de momentos fletores apresenta, nesse caso, um ponto anguloso na seção onde se encontra a carga concentrada. 5. Em uma seção transversal onde houver um momento aplicado, haverá necessariamente uma descontinuidade no diagrama de momentos fletores, sem, no entanto, haver diferença em sua inclinação nos dois lados da seção. 6. Nas seções correspondentes a pontos de máximo ou mínimo no diagrama de momentos fletores (coeficiente angular nulo), o valor do esforço cortante será nulo. 7. O coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. 8. O coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção, com sinal trocado. As equações fundamentais da estática permitem, desta forma, a verificação da coerência de diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores traçados, entre si e em relação ao carregamento atuante na estrutura. 30 Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 3.3– Diagramas para vigas bi-apoiadas 3.3.1 - Carga concentrada x P A B S VA a b l VB Condições de equilíbrio: ∑V = 0 ⇒ V + V = P ∑ M = 0 ⇒ P × a =V A B A B ×l M Ms Q Pa l Pb VA = l VB = + _ Cálculo dos esforços: Pb ⎧ x⇒x≤a ⎪V A x = M (x ) = ⎨ l ⎪⎩V A x − P ( x − a ) ⇒ x ≥ a ⎧V ⇒ x 〈 a Q (x ) = ⎨ A ⎩− V B ⇒ x 〉 a ⇒ na seção S (x=a) ⇒ M S = M (a ) = Pab l ⇒ na seção S (x=a) ⇒ descontinuidade A solução é análoga para mais de uma carga concentrada aplicada na viga. É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 1 e 4 citadas na página anterior. Ultima atualização em 29/6/2007 31 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 3.3.2 - Carga uniformemente distribuída qx ql q B A S VA x VB l Condições de equilíbrio: ∑V = 0 ⇒ V ∑M A = 0⇒ M Ms + VB = q × l ql 2 = VB × l 2 ql 2 ql VA = 2 VB = Mmax Q A + _ Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de abscissa x: x ql qx 2 M S = M ( x ) = V A x − qx = x − ⇒ Curva do segundo grau em x (parábola) 2 2 2 para x=0 → M(x)=0 para x=l → M(x)=0 Pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: l dM ( x ) ql M(x) é máximo → = Q (x ) = 0 → − qx = 0 → x = 2 dx 2 2 ⎛ l ⎞ ql M max = M ⎜ ⎟ = 8 ⎝2⎠ Q S = Q ( x ) = V A − qx = ql − qx 2 ql para x=0 → Q ( x ) = 2 ql para x=l → Q ( x ) = − 2 l para x = → Q ( x ) = 0 2 ⇒ curva do primeiro grau em x (reta) É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 2 e 6. 32 Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 3.3.3 - Carga triangular R= pl 2 l /3 px l p A B S VA Condições de equilíbrio: x VB l M Q ∑M Ms A A =0⇒ + VB = pl 2 pl l × = VA × l 2 3 pl 6 pl VB = 3 VA = Mmax + ∑V = 0 ⇒ V _ Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de abscissa x: px 2 x pl px 3 M S = M (x ) = V A x − x− × = 2l 3 6 6l ⇒ Curva do terceiro grau em x para x=0 → M(x)=0 para x=l → M(x)=0 Pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: pl px 2 dM ( x ) M(x) é máximo → − = 0 → x = 0,577l = Q (x ) = 0 → 6 2l dx M max = M (0,577l ) = 0,064 pl 2 Q S = Q (x ) = V A − px 2 pl px 2 = − 2l 6 2l ⇒ curva do segundo grau em x (parábola) para x=0 → Q ( x ) = pl 6 pl para x=l → Q (x ) = − 3 para x = 0,577l → Q (x ) = 0 Ultima atualização em 29/6/2007 33 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano Pode-se verificar a coerência dos diagramas observando as características 3, 6 e 8. 3.3.4 - Carga-momento Condições de equilíbrio: M A B - As reações de apoio capazes de equilibrar uma carga momento é o binário composto por: M V A = VB = l - Os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes mostrados na figura são, então, imediatamente obtidos. S VA a VB b l Ma/l M Mb/l _ Q -M/l É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 1 e 5. 3.3.5 - Caso geral de carregamento: É comum na prática o caso de viga submetida a carga continuamente distribuída que não abrange todo o seu vão, como mostrado na figura abaixo: q A B D q C B MB C VD VA MC VA VD a MB M MB MC MC qa2 8 qa2 8 +VA Q + _ -VD 34 Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano Um dos métodos de traçado geral de diagramas, que recai num problema conhecido, é romper a viga nas seções B e C, desde que se aplique nesses pontos os esforços ali atuantes, de forma a manter o equilíbrio de cada trecho obtido. Feito isto, o trecho BC , por exemplo, poderá ser tratado como uma viga biapoiada independente submetida ao carregamento externo que lhe está diretamente aplicado e às cargas e momentos concentrados que representam a ação dos respectivos esforços seccionais em suas extremidades. Os diagramas de momentos e de cortantes podem então ser traçados, separadamente, para cada um dos trechos considerados. Outros métodos de traçado podem ser vistos no quadro 8. Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 5 e 6. 3.4– Diagramas para vigas engastadas ou biapoiadas com balanços Em vigas engastadas ou biapoiadas com balanços, todos os conceitos e artifícios apresentados até o momento são aplicáveis no cálculo e traçado de diagramas dos esforços seccionais da peça. O quadro 8 apresenta um resumo passo a passo do que levar em consideração. P MC q A C Condições de equilíbrio: VC ∑V = 0 ⇒ V B a b C = q×l + P ql 2 ∑ M C = 0 ⇒ M C = 2 + Pb l Esforços na seção B: qb 2 8 qa 2 8 MC qa 2 2 Q B = − qa MB = MB M Q QB P _ VC Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 5, 6 e 7. Ultima atualização em 29/6/2007 35 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano Sabendo + Quadro 8 – Traçado fácil de diagramas Sabendo-se que a derivada do momento é igual ao c Pode-se observar que o diagrama de momentos da viga completa AD é obtido assinalando-se nos pontos A, B, C e D, respectivamente, os momentos fletores calculados para essas seções e “pendurando-se” na linha tracejada que une tais valores em cada trecho da viga, o diagrama de momentos característico de uma viga biapoiada submetida ao carregamento que lhe é diretamente aplicado. Aqui são apresentadas algumas regras práticas para simplificar o traçado de diagramas: Esforço Normal: - Marcar os pontos onde existe carregamento na direção da barra; - Calcular o esforço normal nos trechos entre estes pontos e traçar (compressão para baixo e tração para cima). Esforço Cortante: Seguindo da esquerda para a direita, plotar, a partir do eixo da estrutura, as componentes de forças perpendiculares a barra, a medida em que forem surgindo: da seguinte forma (observar diagrama de cortantes de exemplo do item 3.3.5).: - Nos trechos sem carregamento, seguir paralelamente ao eixo até o próximo carregamento concentrado ou distribuido.. - Nas seções com carga concentrada, desenhar o vetor da força a partir do úlitimo ponto marcado. - Nos trechos com carregamento uniforme, traçar uma reta inclinada variando o total do carregamento no comprimento carregado. - Nos trechos com carregamento distribuido triangular ou de fprma livre, traçar uma reta inclinada tracejada variando o total do carregamento no comprimento carregado. Depois desenhar a função real (integral do carregamento) . - No final da barra, ao aplicar as últimas cargas a direita; o resultado final deve chegar ao zero (corpo em equilíbrio). . Momento Fletor: 36 Marcar os seguintes pontos fundamentais do diagrama de momentos: - Apoios; - Extremidades das barras; - Pontos de apicação de cargas concentradas; - Extremidades de cargas distribuidas; - Seções imediatamente antes e depois dos pontos de aplicação de momentos; Calcular o valor do momento fletor em cada uma destas seções, marcando no diagrama sempre do lado tracionado; Ligar os pontos com linhas tracejadas nos trechos com carregamento distribuido e linhas cheias nos demais trechos; A partir da linha tracejada, traçar o efeito dos carregamentos distribuidos como se estivessem atuando em uma viga bi-apoiadam considerando a linha tracejada como o eixo da viga. Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano q P1 A P2 B P1 P4 P3 C q P1 D P2 P3 P3+P4 MB P4 MC VB VC MC MB M P3 + + VB Q _ P1 _ P4 VC P2 Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 6, 7 e 8. 3.5– Vigas inclinadas Em algumas estruturas (coberturas, rampas, etc.) é comum encontrar barras inclinadas submetidas ao peso próprio e a ações externas. Como calcular os esforços atuantes na viga inclinada apresentada a seguir, admitindo-se que a carga concentrada horizontal P se encontra aplicada exatamente no meio do vão e a carga distribuida q se apresenta ao longo de sua projeção horizontal a? Ultima atualização em 29/6/2007 37 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano q b P a Há duas reações (vertical e horizontal) no segundo apoio e uma reação vertical no primeiro apoio. ⎧n ⎪∑ X i = 0 : H B = P ⎪ i =1 ⎪⎪ n ⎨∑ Yi = 0 : VA + VB = q ⋅ a ⎪ i =1 ⎪n b a qa Pb − ⎪∑ Mzi = 0 : ∑ M B = 0 = P ⋅ + VA ⋅ a − qa ⋅ → VA = 2 2 2 2a ⎪⎩ i =1 qa Pb + VB = qa − VA = 2 2a Verifica-se que na utilização trivial das equações de equilíbrio não foi preciso considerar o ângulo de inclinação da viga. Desta forma, não há diferença na resolução de vigas horizontais e inclinadas na fase de cálculo das reações de apoio. q P qa Pb + 2 2a P qa Pb − 2 2a Para traçar os diagramas de esforços normal e cortante, precisamos de forças perpendiculares ou paralelas a barra. Desta forma precisamos decompor todas as forças atuantes nestas direções. Como fazer isso? A decomposição das forças pode ser feita de uma forma bem simplificada por semelhança de triângulos considerando-se a barra como a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b. Desta forma, o comprimento da barra pode ser dado por l = a 2 + b 2 e os seno e cosseno em b a relação a horizontal seriam sen θ = e cos θ = respectivamente. l l 38 Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano l b a Como as forças horizontais e verticais devem ser decompostas nas direções paralela e perpendicular a barra, a semelhança de triangulos deve ser feita de forma que as forças sejam as hipotenusas dos triângulos semelhantes, logo: FV b l b FV a l FH b l a FH a l Pela semelhança de triângulos fica fácil perceber que no diagrama de esforço normal devemos a usar as forças horizontais multiplicadas pelo cos θ = e as forças verticais multiplicadas pelo l b sen θ = : l Pb 2 a +P 2al l Pb 2 a qa b +P + 2al 2 l l 2 ⎛ qa Pb ⎞ b qa b Pb −⎜ − = ⎟ + 2 l 2al ⎝ 2 2a ⎠ l N ⎛ qa Pb ⎞ b −⎜ − ⎟ ⎝ 2 2a ⎠ l Ultima atualização em 29/6/2007 39 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano No caso do esforço cortante devemos usar as forças verticais multiplicadas pelo cos θ = forças horizontais multiplicadas pelo sen θ = − a e as l b , logo: l ⎛ qa Pb ⎞ a −⎜ − ⎟ ⎝ 2 2a ⎠ l Pb b Pb +P = 2l 2l l Q ⎛ qa Pb ⎞ a − ⎜ ⎟ ⎝ 2 2a ⎠ l Pb ⎛ qa Pb ⎞ a qa a =− − ⎜ ⎟ − 2 l 2l ⎝ 2 2a ⎠ l Para traçar o diagrama de momentos fletores não é preciso decompor as forças, bastando multiplicar as forças horizontais ou verticais pelas distâncias perpendiculares às forças em relação à seção desejada. ⎛a⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠ 8 M 2 ⎛a⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠ 8 2 2 Pb ⎛ qa Pb ⎞ a qa a qa = − − ⎜ ⎟ − 8 4 ⎝ 2 2a ⎠ 2 2 4 Deve-se ressaltar que o momento no meio do vão também pode ser calculado pela superposição dos efeitos de uma carga distribuida uniforme e uma carga concentrada no meio do vão. Sabendo Quadro 9 – Superposição de efeitos + Em geral, uma viga costuma estar submetida a mais de um dentre os exemplos de carregamentos apresentados. Neste caso, é sempre válido o princípio da superposição de efeitos, ou seja, o diagrama de qualquer esforço na viga será igual à soma dos diagramas obtidos para cada uma das cargas aplicadas sobre a viga, isoladamente. + 40 = Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 3.6 – Vigas Gerber Seja a estrutura apresentada na figura abaixo: B C A D Se o trecho CD for carregado, sua estabilidade estará condicionada à capacidade do trecho AC de, através do ponto C, absorver as forças transmitidas e oferecer as reações necessárias ao equilíbrio do trecho CD. Se, por outro lado, for AC o trecho carregado, como esse trecho tem estabilidade própria o carregamento encontrará nele mesmo suas reações equilibrantes e nenhum efeito será transmitido ao trecho CD. Tudo se passa, portanto, como se o trecho CD se apoiasse sobre o trecho AC da estrutura. No exemplo, o ponto C é um ponto de transmissão de forças e não de momento fletor, já que não impede a rotação relativa entre os trechos que liga. Ele pode ser representado por uma rótula no esquema estático da estrutura, que será o mostrado na figura abaixo: P1 P2 P3 A P4 P5 P6 B D C P5 D C HC VC P1 P2 P3 A P4 P6 VD VC B HC C Do esquema deduz-se que o trecho AC será resolvido com as cargas que lhe são diretamente aplicadas, acrescidas das reações Vc e Hc transmitidas invertidas pela rótula C, recaindo-se, assim, na resolução de uma viga biapoiada (CD) e de uma viga biapoiada com balanço (AC). Chama-se viga Gerber a esse tipo de associação de vigas com estabilidade própria sobre as quais se apoiam outras vigas, constituindo, assim, um conjunto estável. Ultima atualização em 29/6/2007 41 Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano Sabendo Quadro 10 – Rótulas + No item 1.2.1, falamos sobre os diversos tipos de apoios existentes. Os apoios representam vínculos externos entre a estrutura e o meio onde estão inseridas, capazes de produzir reações que impeçam os movimentos da estrutura. Após apresentarmos o conceito de esforços internos já é possível conceituar vínculo interno. Vimos que uma seção transversal é capaz de transmitir tensões de um lado para o outro da estrutura que ela secciona e que as resultantes dessas tensões são os chamados esforços seccionais. Assim, as seções transversais podem ser interpretadas como vínculos entre as duas partes da estrutura que elas separam. Através de tais vínculos internos à estrutura, desenvolvem-se reações de um lado sobre o outro da estrutura que, além de garantirem o equilíbrio de cada uma das partes, impedem os movimentos relativos da estrutura na seção considerada. Um tipo de vínculo interno que merece ser destacado é a rótula. A rótula é um vínculo interno que restringe os deslocamentos relativos (longitudinal e transversal), mas permite a rotação relativa entre as duas ou mais barras que ela liga. Em estruturas de máquinas e mesmo em algumas estruturas metálicas, são exemplos de rótulas as dobradiças e alguns tipos de ligações aparafusadas. Em edificações de concreto, o exemplo mais comum é o dente Gerber. Os exemplos citados são apresentados abaixo: barra A barra A barra B barra B dobradiça dente ligação aparafusada flexível Pode-se dizer, assim, que através da seção transversal que contém uma rótula transmitem-se esforços normais e cortantes, mas não se transmitem momentos fletores, ou seja, o momento fletor na seção da rótula é sempre nulo. Como conhecemos, a priori, o valor do momento fletor na seção da rótula, que é igual a zero, concluímos que cada rótula existente em uma estrutura pode fornecer uma equação adicional para determinar as reações de apoio em uma estrutura. Para melhor compreensão, apresenta-se abaixo, dois exemplos de estruturas isostáricas. R Incógnitas: VA, VB, HB Equações: Equações: A VA 42 B HB VB ⎧∑ H = 0 ⎪⎪ ⎨∑ V = 0 ⎪ ⎪⎩∑ M = 0 Incógnitas: VA, VB, HA HB HA A B HB VA VB ⎧∑ H = 0 ⎪ ⎪∑ V = 0 ⎨ ⎪∑ M = 0 ⎪ ⎩M R = 0