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Apostila Completa De Circuitos I

Desde análise básica de circuitos até circuitos trifásicos senosoidais.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CTC - Centro Tecnológico Disciplina de Circuitos Elétricos I APOSTILA DE CIRCUITOS Professor: Colaboradores: Florianópolis 2003 Patrick Kuo Peng Júlio Trevisan Maurício Rigoni Willian Hamada I 2 Sumário Sumário ______________________________________________________________ 2 Plano de Ensino ________________________________________________________ 3 Análise de circuitos: Uma visão geral. ______________________________________ 4 CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS __________________________________ 5 CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ___________________________ 10 CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS _______________________________ 17 CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS __________________ 26 CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL_______________________ 53 CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES ___________________________ 64 CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS ___________________ 78 CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ________________ 93 CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS ______________________________ 107 CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS _____________________________________________________ 122 Bibliografia__________________________________________________________ 130 3 Plano de Ensino Circuitos Elétricos I Capítulo I: Variáveis Elétricas Capítulo II: Elementos dos circuitos Capítulo III: Circuitos resistivos simples Capítulo IV: Técnicas de análise de circuitos Capítulo V: O amplificador operacional Capítulo VI: Indutores e Capacitores Capítulo VII: Análise de circuitos senoidais Capítulo VIII: Potência em circuitos senoidais Capítulo IX: Circuitos trifásicos Capítulo X: Respostas em freqüência 4 Análise de circuitos: Uma visão geral. Circuito elétrico = modelo matemático de um sistema elétrico real. Análise de circuito: permite prever o comportamento do circuito e de seus componentes Roteiro para análise de circuito: • Identificar claramente os dados e o que é pedido. • Simplificar ou redesenhar o circuito. • Escolher o método de análise mais simples. • Verificar se a solução encontrada é fisicamente possível. 5 CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS 6 VARIÁVEIS ELÉTRICAS 1. O Sistema Internacional de Unidades • Unidades de base Grandeza Comprimento Massa Tempo Corrente elétrica Temperatura Intensidade luminosa • Símbolo m kg s A K cd Unidades derivadas úteis na teoria de circuitos Grandeza Freqüência Força Energia ou trabalho Potência Carga elétrica Potencial elétrico Resistência elétrica Condutância elétrica Capacitância Fluxo magnético Indutância • Unidade metro quilograma segundo Ampère Kelvin Candela Nome / Símbolo Hertz (Hz) Newton (N) Joule (J) Watt (W) Coulomb (C) Volt (V) Ohm (Ω) Siemens (S) Farad (F) Weber (Wb) Henry (H) Fórmula dimensional s-1 kg.m/s2 N.m J/s A.s W/A V/A A/V C/V V.s Wb/A Principais múltiplos e submúltiplos das unidades 10-12 pico(p) Tera(T) 10-9 10-6 nano(n) micro(μ) 10-3 mili(m) 0 103 quilo(K) 106 109 Mega(M) Giga(G) 1012 7 2. Conceitos básicos de eletricidade a) Cargas elétricas Qualquer matéria é formada por átomos. O do Hidrogênio é o átomo mais simples, o qual é constituído por duas partículas (prótons→ carga positiva e elétrons→ carga negativa). Unidade da carga elétrica = coulomb (C) Átomos normalmente neutros ⇒ N° de elétrons = N° de prótons. Retirando elétrons ⇒ átomo terá carga positiva. Adicionando elétrons ⇒ átomo terá carga negativa. • • Matérias onde é fácil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de condutores (cobre, alumínio, etc...). Matérias onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...). b) Corrente elétrica: movimento dos elétrons. corrente elétrica em Ampère [A] carga em Coulomb i= dq dt tempo em segundos [s] Relação de integral: 8 ∫ t c) Tensão elétrica ou diferença de potencialq (:t )Energia − q (t 0 ) =usada i (t ).para dt t0 mover uma unidade de carga através do elemento. Energia em Joule [J] dW v= dq Tensão em Volt [V] Carga em Coulomb [C] d) Potencia e energia: • Potência = trabalho ou energia por unidade de tempo. Potência em Watt [W] Energia em Joule [J] p= dW dt Tempo em segundos [s] dW = vdq ⇒ • dW dq =v = vi dt dt ∴ p = vi Energia t w(t ) = ∫ p (t ).dt ⇒ w(t ) − w(t 0 ) = ∫ v(t ).i (t ).dt t0 9 • Convenção de sinais Potência ou energia > 0 ⇒ o elemento absorve potência Potência ou energia < 0 ⇒ o elemento fornece potência 10 CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS 11 Elementos dos circuitos I. Introdução Os circuitos podem ter 5 elementos básicos: • • • • • Fontes de tensão; Fontes de corrente; Resistores; Indutores; Capacitores. II. Fontes ideais de tensão e de corrente Fontes = dispositivos capazes de gerar energia elétrica Existem 2 categorias de fontes: • • Fontes independentes e Fontes dependentes (fontes controladas). 1. Fontes independentes • Fonte ideal independente de tensão: estabelece uma tensão que não depende das ligações externas, ou seja, v é fixa, independente de i. Símbolos Característica tensão/corrente A A ou 12V B 12V v [V] 12 B i [A] • Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente que não depende das ligações externas, ou seja, i é fixa, independente de v. 12 Símbolo Característica tensão/corrente A i [A] 5A 5 B v [V] 2. Fontes dependentes ou controladas Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão ou uma corrente que depende do valor da tensão ou corrente em outro ponto do circuito. • Fonte de tensão controlada por tensão v1 • v2 = α ⋅ v1 v1 - tensão de controle v2 - tensão controlada α - ganho de tensão (adimensional) Fonte de tensão controlada por corrente i1 v 2 = r ⋅ i1 • i1 - corrente de controle r – transresistência (Ω) Fonte de corrente controlada por corrente i1 i2 = β ⋅ i1 β – ganho de corrente (adimensional) 13 • Fonte de corrente controlada por tensão v1 i2 = g ⋅ v1 g – transcondutância (S) III. Resistência elétrica (Lei de Ohm) 1. Resistência elétrica Capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou especificamente a circulação das cargas. R= S ρ ⋅l S R – resistência ( Ω ) ρ - resistividade do material ( Ω ⋅ m ) l - comprimento (m) S – seção transversal ( m 2 ) l Resistor: elemento do circuito que possui resistência elétrica. Símbolo Exemplos (resistor não linear): varistor ( R = f (v) ), termistor ( R = f (T ) ). 2. Lei de Ohm Estabelece uma relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor. Num resistor linear é utilizando a convenção passiva, esta lei pode ser escrita da seguinte forma: 14 i ∗ v v v = + Ri v = − Ri Condutância i= ∗ i ou 1 v 1 (condutância em mho ou S (siemens) ) = v = Gv ; G = R R R Potência num resistor i i v v P = v⋅i P = −v ⋅ i Ora, v = Ri . Ora, v = − Ri . Então, P = Ri ⋅ i = Ri Então, P = −( − Ri ) ⋅ i = Ri 2 v2 i2 = = v 2G . Outras expressões usuais: P = R G ∗ Observações Curto-circuito ⇔ resistência nula ⇔ tensão nula independente da corrente. v R=0 v = Ri = 0 ; ∀i 2 15 Circuito aberto ⇔ resistência infinita ⇔ corrente nula, independente da tensão. v i= R=∞ v = 0 ; ∀v R IV. Leis de Kirchhoff 1. Definições Nó: ponto de interconexão entre 2 ou mais elementos do circuito. Laço: caminho fechado passando apenas uma vez em cada nó e terminando no nó de partida. Malha: laço que não contém nenhum outro por dentro. Exemplo: 2 E R1 I 3 4 R2 R3 • 4 nós • 3 laços • 2 malhas 1 2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK) “A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula” N ∑ in = 0 n =1 ⇔ Σ correntes entrando no nó = Σ correntes saindo do nó. 16 Convenção Corrente entrando no nó, atribuir sinal + Corrente saindo do nó, atribuir sinal - 3. Lei de Kirchhoff para tensões “A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre nula”. N ∑ vn = 0 n =1 Convenção Percorrer o caminho fechado no sentido horário, escrevendo a tensão com o primeiro sinal encontrado. Exemplo: R1 VR1 VR 2 E1 R2 VR 3 R3 − E1 + VR1 + VR 2 − VR 3 = 0 17 CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS 18 1. Resistores em série Associação série ⇔ mesma corrente em todos os elementos. I V1 V2 Vn R1 R2 Rn I ⇔ V V Req V = Req .I V = V1 + V2 + ... + Vn = R1 .I + R2 .I + ... + Rn .I = ( R1 + R2 + ... + Rn ).I Req = R1 + R2 + ... + Rn 2. Resistores em paralelo Associação paralelo ⇔ todos os elementos sujeitos à mesma tensão. 19 I I V I1 I2 In R1 R2 Rn ⇔ Req V = Req .I I = I1 + I 2 + ... + I n = V V V V + + ... + R1 R2 Rn ⎛1 1 1 ⎞ ⎟⎟.V = ⎜⎜ + + ... + R R R 2 n ⎠ ⎝ 1 1 = Req 1 1 1 1 = + + ... + Req R1 R2 Rn ou Geq = G1 + G2 + ... + Gn Observação: R2 R1 // R2 R1 R3 ou R 1 //( R2 + R3 ) R1 // R3 Ok! 20 R1 R2 R1 .R 2 ⇔ R1 + R 2 3. Associação de fontes 3.1. Fontes de tensão em série A A V1 ⇔ V2 V1 + V 2 + V3 V3 B B 3.2. Fontes de Tensão em paralelo Fontes de tensão em paralelo só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor. 5V 5V 10V 5V 21 3.3. Fontes de corrente em série Fontes de corrente em série só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor. 2A 2A 4A 2A 3.4. Fontes de corrente em paralelo I1 I2 ⇔ I3 I1 + I 3 − I 2 4. Divisão de tensão i i V V V1 R1 V1 V2 R1 R2 V2 R2 V1 = R1 .i ⇒ V = ( R1 + R2 ).i V2 = R2 .i De maneira geral Rn V1 = G2 .V G1 + G2 ou V1 = R1 .V R1 + R2 V2 = G1 .V G1 + G2 22 V1 = R1 .V R1 + R2 + ... + Rn 5. O circuito divisor de corrente I V I1 = I1 I2 R1 R2 R1 .R2 .I R1 ( R1 + R2 ) V= e I2 = I1 = V R1 e R1 .R2 .I R1 + R2 V R2 I2 = R1 .I ( R1 + R2 ) ou I1 = G1 .I (G1 + G2 ) I2 = G2 .I (G1 + G2 ) Mais geral I V I1 I2 R1 R2 I1 = Rn R2 // R3 // ... // Rn .I R1 + Req ou I1 = G1 .I G1 + G2 + ... + Gn 23 6. Transformação Δ→Υ ou Υ→Δ R AB A B R AC R AB A ⇔ R BC B R AC R BC C C C A B A RB RA ⇔ RC C RA RB RC C B 24 A B A R AB B R BC RB RA R AC C RC C Resistência equivalente entre A e B R AB ( R AC + R BC ) = R A + RB R AB + R AC + R BC (1) Resistência equivalente entre B e C R BC ( R AB + R AC ) = R B + RC R AB + R AC + R BC (2) Resistência equivalente entre A e C R AC ( R AB + R BC ) = R A + RC R AB + R AC + R BC (3) Transformação Δ → Υ RA = R AB .R AC R AB + RBC + R AC Transformação Υ → Δ RB = R AB .RBC R AB + RBC + R AC RC = R AC .RBC R AB + RBC + R AC 25 R AB = R A .RB + R A .RC + RB .RC RC R AC = R A .RB + R A .RC + RB .RC RB RBC = R A .RB + R A .RC + RB .RC RA R AB B RB A RA R BC RC C R AC 26 CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS 27 Técnicas de Análise de Circuitos I. Definições Ramo: caminho que liga 2 nós. Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de cruzem. Exemplo: Circuitos planares R1 R1 R4 R5 R3 R2 R5 R2 Circuito não planar II. Método das tensões de nó (análise nodal) É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK). Incógnitas são tensões. No de tensões incógnitas = No de nós – 1 . R4 R3 28 G A i V V i = GVAB = G (VA − VB ) B i = − G V AB = − G (V A − V B ) = G (V B − V A ) AB G A i B AB Roteiro: a. Converter as resistências em condutâncias; b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão incógnita (tensão de nó); d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando todas as correntes saindo do nó (por convenção); e. Resolver o sistema de equações. 1. Fontes do circuito: só fontes de corrente a. Só fontes de corrente independentes V1 2S V2 0,5Ω 0,5Ω 6A 2S 5S 0,2Ω 0 −3 A Nó 1 − 6 + 2V1 + 2(V1 − V2 ) = 0 Nó 2 2(V2 − V1 ) + 5V2 − 3 = 0 ... ⎡ 4 − 2⎤ ⎡V1 ⎤ ⎡6⎤ ⎢− 2 7 ⎥ ⎢V ⎥ = ⎢3⎥ ⎣ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ... V1 = 2V V2 = 1V 29 b. Incluindo também fonte de corrente controlada 2i 5S V1 6A 0,5Ω 0,5Ω 2S V2 0,2Ω −3A 2S Nó 1 − 6 − 2 i + 2 V 1 + 2 (V 1 − V 2 ) = 0 ⇒ ⎧4V1 + 8V2 = 6 ⇔ ⎡ 4 ⎨ ⎢ Nó 2 ⎩2V1 + 3V2 = −3 ⎣ 2 2(V2 − V1 ) + 5V2 + 2i − 3 = 0 ... V2 = 6V i i = −5V2 −21 V1 = V 2 8⎤ ⎡V1 ⎤ ⎡ 6 ⎤ = 3⎥⎦ ⎢⎣V2 ⎥⎦ ⎢⎣ −3⎥⎦ 2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dependentes ou independentes) a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência 30 1S V1 1S V2 4V 6A 2S V3 V4 −4 A Nó 2 1(V2 − V1 ) − 6 + 1(V2 − V3 ) = 0 ⎧V1 = 4V ⎨ ⎩V4 = −2V 2V ⎧V2 = 6V ⇒⎨ ⎩V3 = 2V Cada fonte de tensão ligada ao nó de referência diminui o número de tensões incógnitas em 1 unidade Nó 3 1(V3 − V2 ) − 4 + 2(V3 − V4 ) = 0 b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência 2S V1 10V V2 ix 4A Ia 1S ix 2 V3 2S 2A V1 = 10V Nó 2 2(V2 − V1 ) − 4 + 1V2 + I a = 0 Nó 3 − I a + 2V3 + 2 = 0 Problema: não se conhece a corrente I a na fonte de tensão Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó (supernó) ⇔ curtocircuitar nós 2 e 3. 31 2(V2 − V1 ) − 4 + 1V2 + 2V3 + 2 = 0 No supernó, V2 − V3 = i x = 2(V1 − V2 ) ⎡3 2 ⎤ ⎡V2 ⎤ ⎡22⎤ ⎢2 − 1⎥ ⎢V ⎥ = ⎢10 ⎥ ⎣ ⎦⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ix 2 ⎧V2 = 6V ⎪V = 2V ⎪ 3 ⇒ ⎨i = 8 A x ⎪ ⎪ Pix = 24W ⎩ 2 II. Método das correntes de malha (análise de malha) É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK). Incógnitas são correntes. o N de incógnitas = No de correntes de malha . 32 i1 i2 i4 I1 i3 i5 I2 Correntes de ramo, em função das correntes de malha: i1 = I1 I3 i2 = − I 2 i3 = I 3 Correntes de malha: I1 , I 2 , I 3 . i4 = I1 − I 2 i5 = I 3 − I 2 Roteiro: a. Converter as condutâncias em resistências; b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; c. Aplicar a LTK em cada malha; d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha. 1. Fontes do circuito: só fontes de tensão a. Só fontes de tensão independentes 33 i1 i2 R3 R1 VR1 V1 I1 i3 VR2 R2 VR2 V2 2 malhas ⇒ 2 correntes incógnitas I2 Malha 1 −V1 + VR1 + VR3 = 0 ⇔ −V1 + R1i1 + R2i3 = 0 Malha 2 VR3 + V2 − VR3 = 0 ⇔ R3i2 + V2 − R2i3 = 0 Usando correntes de ramos, temos 3 incógnitas e 2 equações. Mas i1 = I1 ⎫ ⎪ ⎧−V1 + R1I1 + R2 ( I1 − I 2 ) = 0 i2 = I 2 ⎬ ⇒ ⎨ V + R3 I 2 + R2 ( I 2 − I 2 ) = 0 i3 = I1 − I 2 ⎪⎭ ⎩ 2 2 equações, 2 incógnitas − R2 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡ V1 ⎤ ⎡( R1 + R2 ) ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ... − + ( R R R − I V 2 2 3) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 ⎣ ⎦ b. Incluindo também fontes de tensão controladas 1Ω 3 malhas ⇒ 3 correntes incógnitas I2 5Ω 50V I1 iϕ Malha 1: −50 + 5( I1 − I 2 ) + 20( I1− I 3 ) = 0 4Ω 20Ω I3 15iϕ Malha 2: 1I 2 + 4( I 2 − I 3 ) + 5( I 2 − I1 ) = 0 Malha 3: 4( I 3 − I 2 ) + 15iϕ + 20( I 3 − I1 ) = 0 iϕ = I1 − I 3 ⎧ I1 = 29,6 A ⎡ 25 −5 20 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡50 ⎤ ⎪ ⇒ ⎢ −5 10 −4 ⎥ ⎢ I 2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ... ⎨ I 2 = 26 A ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ I = 28 A ⎢⎣ −5 −4 9 ⎥⎦ ⎢⎣ I 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎩ 3 34 2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de corrente a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma única malha Calcular a potência na fonte de tensão: 1Ω 3 malhas ⇒ 3 incógnitas 26V i I1 2Ω 2Ω I2 I3 Do circuito, obtém-se imediatamente I1 = 5 A e I 3 = −2 A . 3Ω Malha 2: 2 I 2 + 2( I 2 − I1 ) − 26 + 1I1 + 2( I 2 − I 3 ) = 0 ⇒ I 2 = 4 A Potência na fonte de tensão: P = +V ⋅ I = 26( I1 − I 2 ) = = 26(5 − 4) = 26W ⇒ Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o número de incógnitas em 1 unidade. 35 b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha Calcular V1 : 1Ω 3 malhas ⇒ 3 incógnitas I2 I1 4A V1 2Ω v1 4Ω 5V1 I3 9Ω supermalha Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha ⇒ 2 incógnitas apenas. I1 = 4 A Malha 2: 1I 2 + v1 + 4( I 2 − I 3 ) = 0 Malha 3: 2( I 3 − I1 ) + 4( I 3 − I 2 ) − v1 + 9 I 3 = 0 Problema: não se conhece a tensão na fonte de corrente ( v1 não é incógnita principal do sistema). Solução: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT na supermalha. 2( I 3 − I1 ) + 1I 2 + 9 I 3 = 0 No interior da supermalha temos: 5V1 = I 2 − I 3 ora V1 = 2( I1 − I 3 ) Assim I 2 = 184 A e I 3 = −16 A 36 IV. Análise nodal ou análise de malhas? a) Simplificar o circuito, b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo. Incógnitas Análise Nodal Tensões de nó Análise de Malha Correntes de malha Número de incógnitas Número de nós –1 Número de malhas Critério para reduzir o número de incógnitas Fonte de tensão ligada ao nó Fonte de corrente que de referência pertence a uma única corrente de malha Caso especial Fonte de tensão não ligada ao nó de referência ⇒ aplicar conceito de supernó Fonte de corrente que pertence a duas correntes e malha ⇒ aplicar conceito de supermalha Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele. O método de análise mais adequado será aquele que leva a escrever o menor número de equações. 37 Exemplo 1 Determinar a potência na fonte de tensão controlada 300 Ω 150 Ω 256V 100 Ω 200 Ω i 250 Ω 50i 500 Ω 400 Ω 128V 38 Exemplo 2 Determinar V1 e V2 . 4Ω 2,5Ω 2Ω V1 0,41V1 193V 0,5 A V2 6Ω 7,5Ω 8Ω 0,8V2 39 V. Transformações de fontes 1. Fonte real de tensão Modelo Característica tensão-corrente VL fonte ideal de tensão a IL RV Vs VL RL fonte real b IL VL = Vs − RV I L 2. Fonte real de corrente Modelo Característica tensão-corrente IL fonte ideal de corrente a IL Is RI VL RL fonte real b VL IL = Is − 1 VL RI 40 3. Equivalência de fontes Objetivo: transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente ou vice-versa. • Fonte de tensão fonte de corrente a a RV Vs VL RL ⇒ Is = Vs RV RI = RV b • RL b fonte de tensão Fonte de corrente a a RV Is RL RI ⇒ Vs = R I I s VL b RL b Observações: • A equivalência deve valer para qualquer valor de RI . • A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão equivalente. R1 a a R2 ⇔ R2 b b R1 R1 a a ⇔ R2 b b 41 VI. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton 1. Circuito equivalente de Thèvenin A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer. RTH a IL VL ⇔ b a IL VL VTH b Onde VTH é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada. RTH é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). B. Determinação de VTH e RTH : 1o método VTH : desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b) iCC : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito no sentido (a) RTH = VTH iCC (b) 42 Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin 3Ω a I1 2V 4Ω 2I1 Rcarga b 43 C. Determinação de RTH e VTH : 2o método Objetivo: determinar os valores de RTH e VTH de tal forma que visto dos terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes. RTH a ⇔ Rede linear a VTH b b Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com valor I T nos dois circuitos, as tensões Vab nos dois circuitos devem ser equivalentes. a Rede linear VAB IT ⇔ RTH a VTH VAB b Vab = XIT + Y (1) IT b Vab = RTH IT + VTH (2) Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que RTH = X VTH = Y Observação: se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é invertida, 44 RTH a VTH VAB a IT Rede linear b Vab = − RTH IT + VTH VAB b RTH = − X VTH = Y IT 45 Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin. 3Ω a I1 2V 4Ω 2I1 Rcarga b 46 D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes a Rede linear Rcarga b • Determinação de VTH : desconectar a carga e determinar a tensão vista dos terminais (a) e (b). • Determinação de RTH : desconectar a carga e determinar a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes independentes em repouso. Fonte de tensão em repouso ⇔ V = 0 (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ I = 0 (circuito aberto). Exemplo: determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga RL . 3Ω 12V 7Ω a 6Ω RL b 47 2. Circuito equivalente de Norton A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer. a IL IL a Rede linear VL ⇔ IN RN b VL b Onde: I N é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito; RN é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). B. Determinação de RN e I N : 1o método Idem primeiro do Thèvenin: I N = iCC V RN = TH iCC C. Determinação de RN e I N : 2o método a Rede linear I ab a VT IN De (1) e (2) ⇒ R N = 1 e IN = Y X VT RN b b I ab = XVT + Y (1) I ab I ab = 1 VT + I N (2) RN 48 D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes Determinação de RN : idem a RTH Determinação de I N : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b). Exemplo: 3Ω 12V 7Ω a 6Ω RL b 49 E. Determinação de RN e I N : 3o método A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes. RTH a a RL ⇒ I N = VTH VTH RTH RN b RL b VII. Transferência máxima de potência Objetivo: obter a máxima potência possível de uma rede qualquer. RTH Rede linear VTH RL IL RL ⇒ Determinar RL de tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima: 2 ⎛ VTH ⎞ ⎟⎟ PRL = RL I L2 = RL ⎜⎜ R R + ⎝ TH L ⎠ dPRL Maximizar PRL ⇔ = 0 ⇔ RL = RTH dRL Então PRL ,máx ⎛ VTH = RTH ⎜⎜ ⎝ RTH + RTH 2 2 ⎞ VTH ⎟⎟ = 4 RTH ⎠ 50 PL VTH2 4 RTH RL RTH Rendimento 2 η= PRL PVTH ⎛ VTH ⎞ ⎟⎟ RL ⎜⎜ R R + RL L ⎠ = = ⎝ TH V TH RTH + RL VTH ⋅ RL + RTH η 0,5 RTH RL Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de potência 51 VIII. O princípio da superposição Circuito linear: se o circuito é alimentado por mais de uma fonte de energia, a resposta total é igual ao Σ das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso. Observações: Fonte de tensão em repouso ⇔ V = 0 (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ I = 0 (circuito aberto). Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso. i V Rede linear i V Rede linear i I Rede linear I 52 Exemplo: obter V X por superposição. 3Ω I1 2V 4Ω 2I1 3A VX 53 CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL 54 1. Introdução Amplificador operacional: circuito integrado composto por uma associação de transistores, capacitores, resistores etc... Funções: • • • • Associado aos resistores pode desempenhar operação tais como adição, subtração, troca de sinal e multiplicação por um fator constante; Associado aos capacitores e/ou indutores, realiza operações como integração e diferenciação; Comparadores; Osciladores. 2. Terminais do Amplificador Operacional Considerar o Amp. Op. como uma caixa preta cujos terminais são mostrados a seguir: Entrada inversora – Entrada não inversora + VCC– 1 8 2 7 3 6 4 5 VCC + Saída ua 741 Símbolo Alimentação + Entrada Não Inversora + Saída Entrada Inversora _ _ Alimentação 55 3. Tensões e correntes nos terminais do Amp. Op. • Sentidos das correntes e polaridade das tensões no Amp. Op. ic + ip V+ + Vp + _ • + iin Vn io _ Vcc + _ V- ic − + _Vcc Vo _ Regiões de operação do Amp. Op.: Vo Saturação positiva Vcc Vo = -Vcc se A(Vp - Vn) < -Vcc −Vcc A Saturação negativa Re gi ã o lin e ar Vo = A(Vp - Vn) se -Vcc ≤ A(Vp - Vn) ≤ Vcc Vcc A (V p − V n ) Vo = Vcc se A(Vp - Vn) > Vcc −Vcc Curva de transferência de tensão do Amp. OP. O Amplificador operacional opera na região linear quando |Vp - Vn| < Vcc/A. Como A é um valor geralmente grande, então |Vp - Vn| deve ser pequeno. 56 No caso ideal: Vp = Vn ⇒ A = ∞ resistência de entrada elevada ⇒ ip = in = 0 De acordo com as leis de Kirschhoff para corrente: ip + in + io + ic- + ic+ = 0 i0 = - (ic+ + ic-) ora, ip = in = 0 Observações: o ip = In = 0 não significa que i0 = 0; o As tensões de alimentação não precisam ser simétricas. Ex.: V+ = 12V e V- = -8V Na região linear –8V ≤ Vo ≤ 12V Exemplo 1: 220k 12V 22k 1 2 Va 4,7k -12V 40k Vo Vb o Supondo o Amplificador ideal. Calcule Vo para: a) Va = 3V e Vb = 2V; b) Va = 1,5V e Vb = 2,5V. c) para Vb = 4V, especifique o intervalo no qual deve ser mantida a tensão Va para que o amplificador não entre na região de saturação. 4. Modo de operação do amplificador operacional 57 4.1. Sem realimentação Este modo é denominado “operação em malha aberta”. Funciona sempre em modo saturação. Utilizado como circuito comparador. Ex. circuito de controle Vin Vp Vcc Vo −Vcc 4.2. Com realimentação positiva Realimentação significa que uma fração da tensão de saída é reinjetada numa das entradas. Na realimentação positiva o sinal de saída é reinjetado na entrada não inversora. Muito instável, utilizado em osciladores. Ex. geradores de sinais. Vcc Vg −Vcc Vo 4.3. Realimentação negativa Este tipo é o mais importante meio de realimentação, pois estabiliza o sinal e tende a aproximar as características do amplificador ideal. 5. O circuito amplificador-inversor Hipótese: Amp. op. ideal Amp. op. operando na região linear 58 if Rf Objetivo: Vo = f(Vs) Rs is −Vcc Vn Vs Vcc 1 Vo Vp No nó 1 temos terra virtual, pois Vn = Vp. Ora, Vp = terra ⇒ Vn = terra. No nó 1: is + if = 0 ⇔ V s − V n Vo − V n + =0 Rs Rf Como o Amp. op. é ideal Vn = Vp, ip = in = 0 Ora, Vp = 0 ⇒ Vn =0 Logo Vo = − Rf Vs ; a tensão de saída é uma reprodução invertida do sinal Rs de entrada, multiplicada por uma constante ⇒ amp. inversor. 6. O circuito amplificador-somador Hipótese: Amp. op. ideal ⇒ Vn = Vp; ip = in = 0 Amp. op. operando na região linear if Ra Rf ia Rb Va ib 1 in Vcc Rc ic Vb −Vcc Vc ia + ib + ic + if = in = 0 V a − V n Vb − V n V c − V n Vo − V n + + + =0 Ra Rb Rc Rf Vo 59 Rf Rf ⎛ Rf ⎞ Vo = −⎜⎜ Va + Vb + Vc ⎟⎟ Rb Rc ⎠ ⎝ Ra ⇒ tensão de saída = - (soma das tensões de entrada multiplicada por um fator de escala). Se Ra = Rb = Rc = Rf ⇒ Vo = - (Va + Vb + Vc). Ex. misturador de áudio. 7. O circuito amplificador não inversor Rf Rs Rg Vg Vn = Vp ip = in 0 Vcc −Vcc Vo Vn = R s Vo Rs + R f Vg = R s Vo Rs + R f ora, Vn = Vp = Vg Vo = Rs + R f Rs ⇒ Vg A tensão de saída é uma reprodução do sinal de entrada, multiplicada por uma constante. 8. O circuito amplificador diferença 60 Rb Ra Vcc 1 2 −Vcc Rc Va Vb Vn Rd V p Vo No nó 1: Vn − Va V n − Vo + + in = 0 Ra Rb No amplificador operacional ideal in=0 =ip e Vn=Vp Vn = V p = R d Vb Rc + Rd Vo = R d (R a + R b ) R Vb − b V a R a (R c + R d ) Ra se Ra R = c Rb R d ⇒ Vo = Rb (Vb − V a ) Ra ⇒ a tensão de saída é proporcional à diferença entre as tensões de entrada. Uma característica importante de uma conexão de circuito diferencial é sua capacidade de amplificar consideravelmente sinais opostos nas duas entradas, enquanto amplifica suavemente sinais comuns a ambas as entradas. Vamos escrever as tensões de entrada em função de duas outras tensões chamadas de tensão do modo diferencial e de tensão do modo comum: Vdm = Vb – Va (tensão de modo diferencial) Vcm = ½ (Va + Vb) (tensão de modo comum) Então Va = Vmc – ½ Vmd Vb = Vmc + ½ Vmd 61 Rb Ra Vmd 2 Vmc Vcc −Vcc Vmd 2 Rc Vo Rd ⎡ R R − Rb R c ⎤ ⎡ R d (R a + R b ) + R b (R c + R d ) ⎤ Vo = ⎢ d a ⎥ V mc + ⎢ ⎥ V md ( ) + R R R 2 R a (R c + R d ) d ⎣ a c ⎦ ⎣ ⎦ Vo = Amc Vmc + Amd Vmd ganho de modo comum ganho de modo diferencial Fator de rejeição de modo comum é um parâmetro usado para indicar até que ponto um amplificador diferença se aproxima de um amplificador ideal. CMRR = Amd Amc ⇒ quanto maior CMRR, melhor o Amp. op. No Amp. op. ideal Amc = 0 e Amd elevado. 9. Modelo mais realista para o amplificador operacional No Amp. Op não ideal, a resistência de entrada Ri é de valor finito, o ganho A é de valor finito e a resistência de saída R0 ≠ 0. Assim o circuito equivalente do Amp. Op. mais realista é apresentado abaixo. 62 ip Ro io Ri Vp ( in A V p − Vn ) Vo Vn Exemplo: Determinar Vo = f(parâmetros do circuito) Amplificador não ideal Rf Rs Vcc −Vcc Vs Vo nó 1: V s − V n Vo − V n V n + = Rs Rf Ri ( Vo − A V p − V n Ro então V0 = ) + Vo − V n =0 Rf ( − A + Ro R f ora Vp = 0 ) ⎞ R Rs ⎛ R ⎞ ⎛R ⎜⎜1 + A + o ⎟⎟ + ⎜⎜ s + 1⎟⎟ + o Rf ⎝ Ri ⎠ ⎝ Ri ⎠ Rf Vs 63 Obs.: Ro = 0 Ri → ∞ A→∞ ⇒ Vo = −R f Rs Vs Amp. op. ideal 64 CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES 65 Indutores e Capacitores Estudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de armazenar energia). I. O Indutor 1. Características do indutor Basicamente o Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio condutor, enrolado em espiral. i (t ) O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos magnéticos. A aplicação de uma corrente variável no indutor produz um campo magnético variável no seu redor. v (t ) Um campo magnético variável induz uma tensão nos terminais do indutor e essa tensão é proporcional à taxa de variação de corrente que o atravessa. Matematicamente: Fluxo magnético concatenado Corrente [A] Φ = Li ⎫ ⎪ ⇒ d Φ ⎬ Lei de Faraday { v = dt ⎪⎭ Tensão em Volts v=L di dt Tempo [s] Indutância em Henry [H] 66 i (t ) L i (t ) v (t ) v (t ) = L L v (t ) di ( t ) dt v (t ) = − L di ( t ) dt 67 Observações: Quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um indutor ideal é nula . Assim, o indutor se comporta como um curtocircuito para corrente contínua. A corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente, ou seja, existe inércia de corrente no indutor. Se a corrente variar bruscamente é porque há tensão infinita (imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de tensão nos terminais do indutor. 2. Corrente em um indutor em função da tensão entre os terminais do indutor: v(t ) = L di (t ) 1 ⇔ di (t ) = v(t )dt dt L t i (t ) t 0 0) 0 1 1 ⇒ ∫ di (t ) = ∫ di = ∫ v(t )dt L i (t Lt t t 1 1 t ⇒ i (t ) − i (t0 ) = ∫ v(t )dt ⇒ i (t ) = i (t0 ) + ∫ v(t )dt Lt L t0 0 3. Potência e energia nos indutores: di (t ) ⎧ = ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) p t v t i t Li t ⎪⎪ dt ⎨ ⎪ p (t ) = dW (t ) ⇒ dW (t ) = p (t )dt ⎪⎩ dt t t 0 0 di (t ) di (t ) ⇒ dW (t ) = Li(t ) dt ⇒ ∫ dW (t ) = L ∫ i (t ) dt dt dt t t W (t ) ⇒ ∫ W ( t0 ) i (t ) dW = L ∫ idi ⇒ W (t ) − W (t0 ) = i ( t0 ) ⇒ W (t ) − W (t0 ) = 1 ⎡2 L ⎣i (t ) − i 2 (t0 ) ⎤⎦ 2 1 ⎡ 2 ⎤ i (t ) L i 2 ⎣ ⎦ i ( t0 ) 68 Se i (t0 ) = 0 , e W (t0 ) = 0 , então W (t ) = 1 2 Li . 2 69 II. O Capacitor O capacitor é um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutoras separadas por um isolante. O comportamento do capacitor se baseia em fenômenos associados ao campo elétrico. Δv Os campos elétricos são produzidos por uma separação de cargas elétricas, ou seja, por tensão. Então a carga é proporcional à diferença de potencial e podemos escrever que q = C v. Ora sabemos que i = dq/dt. Assim a relação tensãocorrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma: Corrente [A] Tensão [V] i=C dv dt Capacitância, em Farads [F] Observações: Quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor ideal é nula, ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente contínua. A tensão nos terminais de um capacitor não pode variar instantaneamente: Existe inércia de tensão no capacitor. Se a tensão variar bruscamente, é porque há corrente infinita (imposta por um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de corrente passando pelo capacitor. 2. Relações integrais para o capacitor 70 t t 0 0 dv(t ) 1 i (t ) = C ⇒ ∫ dv(t ) = ∫ i (t )dt dt Ct t v (t ) t t 0 0 1 1 ⇒ ∫ dv = ∫ i (t )dt ⇒ v(t ) = v(t0 ) + ∫ i (t )dt Ct Ct v (t ) 0 71 3. Potência e energia nos capacitores dv(t ) ⎧ p ( t ) v ( t ) i ( t ) v ( t ) C = ⋅ = ⎪⎪ dt ⎨ ⎪ p (t ) = dW (t ) ⇒ dW (t ) = p (t )dt ⎪⎩ dt t t 0 0 W (t ) v (t ) dv(t ) ⇒ ∫ dW (t ) = C ∫ v(t ) ⇒ ∫ dW = C ∫ vdv dt t t W (t ) v (t ) 0 0 1 ⇒ W (t ) = W (t0 ) + C ⎡⎣v 2 (t ) − v 2 (t0 ) ⎤⎦ 2 Se W (t0 ) = 0 e v(t0 ) = 0 , W (t ) = 1 2 Cv (t ) 2 III. Associações de indutores e capacitores em série e em paralelo 1. Associações de indutores A. Indutores em série i (t ) v (t ) L1 L2 Ln v1 (t ) v2 (t ) vn (t ) c i (t ) v (t ) Leq v(t ) = v1 (t ) + v2 (t ) + ... + vn (t ) di (t ) di (t ) di (t ) + L2 + ... + Ln dt dt dt di (t ) = Leq dt ∴ Leq = L1 + L2 + ... + Ln = L1 Os indutores em série se associam como resistores em série. 72 B. Indutores em paralelo i (t ) i (t ) v (t ) i1 ( t ) i2 ( t ) in (t ) L1 L2 Ln ⇔ v (t ) Leq i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) + ... + in (t ) t t t 0 0 0 1 1 1 = ∫ v(t )dt + i1 (t0 ) + v(t )dt + i2 (t0 ) + ... + v(t ) dt + in (t0 ) ∫ L1 t L2 t Ln t∫ t ⎛1 1 1 ⎞ ⇒ i (t ) = ⎜ + + ... + ⎟ ⋅ ∫ v(t )dt + i1 (t0 ) + i2 (t0 ) + ... + in (t0 ) 1444424444 3 L1 L2 Ln ⎠ t ⎝144 i ( t0 ) 42444 3 0 1 Leq 1 1 1 1 = + + ... + Leq L1 L2 Ln Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo. Para 2 indutores, Leq = L1L2 . L1 + L2 73 2. Associações de capacitores A. Capacitores em paralelo i (t ) i1 ( t ) i2 ( t ) in (t ) i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) + ... + in (t ) = v (t ) C1 C2 Cn dv(t ) dv(t ) dv(t ) + C2 + ... + Cn = dt dt dt dv(t ) = (C1 + C2 + ... + Cn ) = dt dv(t ) = Ceq dt C1 c i (t ) Ceq = C1 + C2 + ... + Cn v (t ) C eq Os capacitores em paralelo se associam como condutâncias em paralelo. B. Capacitores em série i (t ) v (t ) C1 C2 Cn v1 ( t ) v2 (t ) v n (t ) i (t ) ⇔ v (t ) C eq 74 v(t ) = v1 (t ) + v2 (t ) + ... + vn (t ) = 1 t 1 t 1 t = i (t )dt + v1 (t0 ) + i (t )dt + v2 (t0 ) + ... + i (t )dt + vn (t0 ) = C1 t∫0 C2 t∫0 Cn t∫0 ⎛ 1 1 1 ⎞t ⎟⎟ ∫ i (t ) dt + v1 (t0 ) + v2 (t0 ) + ... + vn (t0 ) = ⎜⎜ + + ... + 14444244443 C C C ⎝14 1 2 n ⎠t 0 v (t 0 ) 442444 3 1 C eq 1 1 1 1 = + + ... + . Os capacitores em série se associam como Ceq C1 C2 Cn condutâncias em série. IV. Dualidade Definição: dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que caracteriza o outro. Capacitor i=C dv dt Indutor v=L di dt Grandeza Tensão Carga Resistência Indutância Curto-circuito Impedância Nó (não-referência) Nó de referência Ramo de árvore Série LKT i↔v ⎫ ⎬ Grandezas duais C ↔ L⎭ Dual Corrente Fluxo Condutância Capacitância Circuito aberto admitância Malha Malha externa (laço) Ramo de ligação Paralelo LKC Exemplo: Determinação de um circuito dual utilizando a tabela acima 75 R1 1. Colocar um nó em cada malha + um nó de referência C V R2 L 2. Aplicar as regras de dualidade c C I G1 L G2 V. Resposta natural de um circuito RL O circuito estava operando em regime permanente quando em t = 0 a chave passa da posição A para a posição B. Determine il (t ) para t ≥ 0. R1 A B t =0 E E = 100V R1 = 30Ω L R3 R2 R2 = 20Ω R3 = 4Ω L = 5H t<0 (antes do chaveamento): regime permanente R1 iL R2 R3 ⇔ E R1 Req R1 R2 iL R3 76 E R1 = 2,5 A iL = Req + R3 Req ⋅ iL (0− ) = 2,5 A t= 0+ ( logo depois do chaveamento) R1 L L iL (t ) VL (t ) R3 ⇔ R2 E VL (t ) + VR3 (t ) = 0 diL (t ) + R3iL (t ) = 0 dt R R diL (t ) di (t ) = − 3 dt ⇒ ∫ L = − 3 ∫ dt iL (t ) L iL (t ) L L R − 3t R3 ⇒ ln(iL (t )) = − t + k ⇒ i (t ) = e L ⋅ ek L K e ⇒ iL (t ) = Ke k − R3 t L K depende das condições iniciais: iL (0+ ) = Ke0 = K − + Como há inércia de corrente no indutor, iL (0 ) = iL (0 ) = 2,5 A = K ⇒ iL (t ) = 4 − t 2,5e 5 R3 VR3 (t ) 77 iL (t )( Ampères ) 2,5 0 Calcular t (s) diL + − em t = 0 e t = 0 : dt a) utilizando as expressões da corrente em t = 0- e em t = 0+ diL (0+ ) = d ⎡ −0,8t ⎤ ⎡ −0,8 ⋅ 2,5e −0,8t ⎤ = −2 A / s 2,5 e = ⎦t =0 ⎣ ⎦t =0 dt ⎣ diL (0− ) =0 dt b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento diL (0+ ) diL (0+ ) −4 ⋅ 2,5 vL (0 ) = L ⇒ = vL (0+ ) = = −2 A / s dt dt 5 + Calcular dVR3 (t ) dt : t =0 + VR3 = R3iL (t ) ⇒ dVR3 (0+ ) dt diL (0+ ) = R3 = 4 ⋅ (−0,8) ⋅ 2,5e −0,8t = −8V / s t =0 dt 78 CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS 79 1. Fontes senoidais. Fontes de tensão (corrente) senoidal produzem uma tensão (corrente) que varia com o tempo. i (t ) = I p sen wt i(t) v(t ) = V p cos wt v(t) 1 ciclo Ip x 1 Vp x 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 0 1.5708 3.1459 4.7124 wt 6.2832 7.854 9.4248 rad 0 1.5708 3.1416 4.7124 wt 6.2832 7.854 9.4248 rad obs.: • • A função senoidal é uma função periódica isto é ela se repete em intervalos regulares. Um ciclo da função é um trecho que começa em uma certa amplitude e termina na mesma amplitude. O tempo necessário para percorrer um ciclo é chamado período. • A freqüência é o número de ciclo por segundo f = • Freqüência angular • Função cosseno defasado • wt = 2π → w = 1 [ Hz ] ou ciclo/s. T 2π [rad / s ] T f (t ) = A cos( wt + ϕ ) Onde ϕ é o ângulo de fase da função cosenoidal e é geralmente apresentado em graus. Ex.: v(t ) = 20 cos( 2t + 30 o ) Transformação para radianos rad/s 80 v(1) = 20 cos(2.1 + • 30.π ) 180 Para determinar a defasagem entre 2 funções senoidais. Seja v1 (t ) = V p1 cos( wt + α ) e v2 (t ) = V p 2 cos( wt + β ) então, v1 (t ) está adiantado de α − β em relação à v2 (t ) Ex.: v1 (t ) = 100 sen (7t − 30o ) v2 (t ) = 40 cos(7t + 10 o ) v1 (t ) = 100 cos(7t − 30 o − 90 o ) = 100 cos(7t − 120 o ) v2 (t ) = 40 cos(7t + 90 o + 10 o ) = 40 sen(7t + 100 o ) v1 (t ) está adiantada de − 30 o − 100 o = −130 o em relação à v2 (t ) . ou v1 (t ) está atrasada de + 130 o em relação à v2 (t ) . 2. Respostas senoidais V p cos wt R L VR VL Hipótese: circuito está em regime permanente i (t ) V p cos wt = VR (t ) + v L (t ) V p cos wt = R.i (t ) + L di (t ) (1) dt Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter a solução particular da equação diferencial (1). 81 A solução particular da equação diferencial tem a mesma forma que a fonte de excitação, então vamos supor que i (t ) = I p cos( wt + ϕ ) . Objetivo: determinar I p e ϕ. sen( A ± B) = sen A. cos B ± sen B. cos A cos( A ± B) = cos A. cos B ± sen A.sen B V p cos wt = R.I p cos( wt + ϕ ) + L(− w) I p sen( wt + ϕ ) o o V p cos wt = R.I p [cos wt. cosϕ − sen wt.sen ϕ ] − LwI p [sen wt. cosϕ + sen ϕ . cos wt ] = [ RI p . cosϕ − LwI p .sen ϕ ].cos wt + [− RI p .sen ϕ − wLI p . cosϕ ].sen wt Por identificação de variável RI p cos ϕ − wLI p sen ϕ = V p − RI p sen ϕ − wLI p cos ϕ = 0 (2) (3) fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos: R 2 I p2 + ( wL) 2 I p2 = V p2 ⇒ I p = Vp R 2 + (Lw) 2 e da eq. 3 temos, RI p sen ϕ = − wLI p cos ϕ ⇒ ϕ = −arctg wL R portanto, i (t ) = Vp R 2 + ( Lw) 2 . cos(wt − arctg wL ) R podemos constatar que a corrente está atrasada de ϕ em relação à tensão. 3. Fasores. Definição: Fasor é um número complexo que representa uma tensão ou uma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidal em t=0. 82 O conceito fasor é baseado na identidade de Euler: e ± jθ = cosθ ± j sen θ A transformada fasorial de uma tensão senoidal é feita da seguinte forma: v = V p cos( wt + ϕ ) { } = V ℜe{e e } = ℜe{V e ϕ e } = V p ℜe e j ( wt +ϕ ) jwt jwt p j jwt p Forma polar Fasor tensão V& = V p e jϕ = V p ∠ϕ Forma retangular ⇒ Transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio da freqüência. Ex.: v1 (t ) = 100 cos( 2t + 50) [V] V&2 = 20∠ − 63o [V] V&1 = 100∠50 [V] v2 (t ) = 20 cos( wt − 63o ) [V] 4. Excitação Complexa rede v(t) i(t) linear 83 v1 (t ) = V p cos( wt + θ v ) ⇒ i1 (t ) = I p cos( wt + θ i ) v2 (t ) = jV p sen( wt + θ v ) ⇒ i2 (t ) = jI p sen( wt + θ i ) Utilizando o conceito de superposição v(t ) = v1 (t ) + v2 (t ) = V p [cos(wt + θ v ) + j sen(wt + θ v )] = V p e j ( wt +θ v ) ⇒ i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = I p [cos(wt + θ i ) + j sen(wt + θ i )] = I p e j ( wt +θi ) rede V pe j ( wt + θ v ) I pe j ( wt + θ i ) linear jwt Fator e aparece em todos os termos, o mesmo pode então ser suprimido ficando subentendido. Assim o circuito no domínio da freqüência é: rede V pe jθ v I pe linear 5. Elementos passivos no domínio da freqüência 5.1) Para o resistor. jθ i 84 v (t ) i (t ) Utilizando uma excitação complexa do tipo R teremos uma corrente do tipo v(t ) = V p e j ( wt +θv ) i (t ) = I p e j ( wt +θi ) Aplicando a Lei de Ohm V p e j ( wt +θ v ) = R.I p e j ( wt +θi ) v(t ) = R.i (t ) ⇒ V p e jθ v = R.I p e jθi ⇒ no domínio da freqüência: V& = R.I& O circuito no domínio da freqüência é I& V& Tensão e corrente em fase R 5.2) Para o indutor i (t ) v (t ) L Vpe jθ v = jLw.I p e v(t ) = L di (t ) dt d I p e j ( wt +θi ) dt = jLwI p e j ( wt +θi ) V p e j ( wt +θ v ) = L I& jθ i V& jLw 85 V& = jLw.I& = Lw.I&∠90 o No indutor, a corrente esta atrasada de 90° em relação à tensão. 5.3) Para o capacitor i (t ) = C i (t ) v(t ) dv(t ) dt I p e j ( wt +θi ) = C C d [V p e j ( wt +θ v ) ] = jCwV p e j ( wt +θ v ) dt I p e jθi = jCwV p e jθv I& = jCwV& I& 1 & V& = I jwC V& 1 jCw I& V& = ∠ − 90 o Cw No capacitor, a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente. R L i (t ) V p cos wt 86 No domínio da freqüência: I& = jLw R V p ∠0 o R + jwL V p ∠0 o = R 2 + ( wL) 2 ∠arctg I& V p ∠ 0o I& = V p ∠0 o ∠ − arctg Lw R R 2 + ( wL) 2 i (t ) = Vp R 2 + ( Lw) 2 cos(wt − arctg 6. Impedância ( Z ) e admitância ( Y ) a) Impedância( Z ) É a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente. Z= I& V& Z V& I& ( Ω) Z é um número complexo mas não é um fasor ℜe{Z } = A = resistência Z = Z ∠θ = A + jB Ιm{Z } = B = reatância As impedâncias se associam da mesma forma que as resistências. Série Z eq = Z1 + Z 2 + ... + Z n Paralelo 1 1 1 1 = + + ... + Z eq Z1 Z 2 Zn b) Admitância ( Y ) É a razão entre o fasor corrente e o fasor tensão em um elemento. V& Y = Y I& V& ( S ou Ω I& Lw R ) Lw ) R 87 I& = Y V& Y = 1 Z Y = Y ∠θ y = G + jB Condutância Susceptância Admitâncias se associam da mesma forma que as capacitâncias. Série 1 1 1 1 = + + ... + Yeq Y1 Y2 Yn Paralelo Yeq = Y1 + Y2 + ... + Yn Observação: Z = a + jb 1 1 a − jb Y = = = G + jB = 2 Z a + jb a + b2 G ≠a B ≠b a a2 + b2 b B= 2 a + b2 G= 7. Análise de circuitos alimentados por fontes senoidais. Determinar o circuito equivalente no domínio da freqüência do circuito estudado. 7.1) Análise nodal Mesmo procedimento que no capítulo 4. 7.2) Análise de malha Idem capitulo 4. 7.3) Transformação de fontes Ver capítulo 4. 7.4) Teorema de Thèvenin ou Norton 88 obs.: fonte teste = fonte de amplitude I T e fase 0. I&T = I T ∠0 o 7.5) Superposição v R (t ) 20Ω 5Ω 2H 20 sen( 20t 10 cos(10t o + 30 ) + 60o ) 15V w = 10rad / s V&1 20Ω 5Ω 10∠30 j 20Ω o V&1 = 5 10∠30 o 5 + ( j 20 // 20) V&1 = 2,77∠ − 3,69 o V w = 0rad / s V&1′ 20Ω ′ V&1 = −15V 5Ω 15V 89 w = 20rad / s V&1″ 20Ω j 40Ω ″ V&1 = 20∠60o − 5 // j 40 20∠60 o 20 + (5 // j 40) ″ V&1 = −3,98∠ − 65,7 o V ′ ″ V&R ≠ V&1 + V&1 + V&1 pois não estão na mesma freqüência. v R (t ) = 2,77 cos(10t − 3,69 o ) − 15 − 3,98 sen(20t − 65,7 o )V 8. Diagramas fasoriais São representações no plano complexo de todos os fasores de tensão e de corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagem entre os fasores tensões e correntes. Regra para construção dos diagramas: • • • • • No resistor a corrente está em fase com a tensão. No indutor a corrente está atrasada de 90° em relação a V. No capacitor a corrente está adiantada de 90° em relação a V. 90 Exemplo 1: IC IL V& I0 IR 800μF 0,2mH R Use um ou mais diagramas fasoriais para determinar R para que a corrente no resistor I R fique atrasada de 45° em relação à corrente da fonte I 0 . w = 5000rad / s I&o = I&L + I&C + I&R I&C & V p ∠0 o V I&L = = = V p ∠ − 90 o −3 Z L j 5000 × 0,2 × 10 I&S I&C + I&L V& I&C = = 4V p ∠90 o ZC 3Vp 45o 45 VP tg 45o = V& V I&R = P R I&L R 3VP ⇒ 3VP = VP R ⇒ I&R = R = 0.333Ω V p ∠0 o R 91 Exemplo 2: No circuito abaixo, o amperímetro indica 5 A. Adotando o fasor V& como referência, desenhar o diagrama fasorial e determinar V&S . I& I&2 5Ω V&X V& I&1 10 Ω S j 4Ω V& 50 V& (20V ) 65 I&2 (5 A) θi 10 = 20 = 2A 10 V&X I& V& = j 4 × I&2 = 4 × 5 = 20V V&X = 26,93 I&2 = 5 A 38 I& = I&1 + I&2 I& = 2 I&1 + I&2 θ i = arctg 2 = 5 2 + 2 2 = 5,39 I&2 −5 = arctg = −68.2 o &I1 2 V&X = 5 I& = 5 × 5,39 = 26,93 V&S = V&X + V& Componente horizontal de V&S = V& + V&X cosθ i = 20 + 26,93 cos(−68,2 o ) = 30V o Componente vertical de V&S = V&X sen θ i = 26,93 sen(−68,2 ) = −25V V&S = 30 2 + (−25) 2 = 39,05V θi θV θi V& Re f 65 A I&1 = I&1 (2 A) V&S = 39,05∠ − 39,8o [V ] V&S 92 θ V = arctg S − 25 = −39,8o 30 93 CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS 94 1. Potência instantânea i (t ) p (t ) = v(t ) i (t ) rede linear v (t ) 2. Potência média p (t ) P= t0 + T 1 ∫ p(t ) dt T t 0 t0 T t (s) 3. Valores eficazes de corrente e tensão Método para comparar a potência média dissipada num resistor alimentada por forma de onda diferente. I0 R P1 = R I 02 I (t ) = I p cos(ω t + ϕ ) P2 = P1 se R i (t ) = I p cos(ω t + ϕ ) I p = I0 2 Verificação: Potência no resistor alimentado por CC 95 P1 = R I 02 Potência no resistor alimentado por CA p (t ) = Ri (t ) 2 = R I p2 cos2 (ω t + ϕ ) 1 ora cos 2 A = (1 + cos 2 A) 2 R I p2 = [1 + cos2(ω t + ϕ )] 2 P1 = P2 ⇔ R I 0 = 2 Ip I0 = 2 R I p2 2 → I p = I0 2 Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a potência que uma corrente constante de valor Ip 2 I p dissipa sobre um resistor. Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza 2 ⎛ I ⎞ 1 t +T 2 P = R ⎜ p ⎟ = R I rms = ∫t R i 2 (t ) dt T ⎝ 2⎠ 0 0 I rms = 1 t +T 2 ∫ i (t ) dt T t Obs.: para senoide 0 0 I rms = Ip 2 , Vrms = Vp 2 4. Potência em elementos passivos a mesma 96 4.1. Caso geral (impedância qualquer) ϕ = θv −θi ο v(t ) = Vp cosω t I ο V Z= Z φ ° ° I= V Vp 0 Vp = = −φ = I p −φ Z Z ϕ Z i (t ) = I p cos(ω t − ϕ ) p (t ) = v(t ) i (t ) = Vp cos(ω t ) I p cos(ω t − ϕ ) 1 ⎡1 ⎤ p (t ) = Vp I p ⎢ cos(ω t − ω t + ϕ ) + cos(2ω t − ϕ ) ⎥ ,ora 2 ⎣2 ⎦ 1 cos Acos B = [ cos( A − B ) + cos( A + B )] 2 1 1 p (t ) = Vp I p cos(ϕ ) + Vp I p cos(2ω t − ϕ ) 2 2 p (t ) = Vrms I rms cos(ϕ ) + Vrms I rms cos(2ω t − ϕ ) ,ora cos( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B p (t ) = Vrms I rms cos(ϕ ) + Vrms I rms [ cos(2ω t ) cos(ϕ ) + sin(2ω t )sin(ϕ ) ] p (t ) = Vrms I rms cos(ϕ ) [1 + cos(2ω t )] + Vrms I rms sin(ϕ )sin(2ω t ) potência instantânea na parte resistiva de Z • potência instantânea na parte reativa de Z Potência média: 1T P = ∫ p (t ) dt = Vrms I rms cos(ϕ ) , [ W ] T0 • Potência reativa: 97 Valor de pico da potência instantânea da parte reativa. Q = Vrms I rms sin(ϕ ) 4.2. Circuito resistivo Tensão e corrente em fase. θv = θi ⇒ ϕ = 0 . p (t ) = Vrms I rms [1 + cos(2ω t ) ] 1T PR = ∫ Vrms I rms [1 + cos(2ω t ) ] dt T0 Vrms2 2 PR = Vrms I rms = R I rms = R QR = 0 4.3. Circuito exclusivamente indutivo θ v = 0 θ i = −90° ⇒ ϕ = 90° p (t ) = Vrms I rms sin(2ω t ) PL = 0 QL = Vrms I rms = X L I rms 2 Vrms2 = XL 4.4 Circuito exclusivamente capacitivo θ v = 0 θ i = 90° ⇒ ϕ = −90° p (t ) = −Vrms I rms sin(2ω t ) PC = 0 QC = −Vrms I rms = − X C I rms 2 Vrms2 =− XC 98 5. Potência aparente e fator de potência a) Potência aparente: S = Vrms I rms , [VA] potência desenvolvida pela fonte. b) Fator de potência: Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem entre a tensão e a corrente. Fp = cos(ϕ ) = cos(θ v − θ i ) [adimensional] Como a função coseno é uma função par, cos(θ v − θ i ) = cos(θ i − θ v ) . Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se a corrente da carga é adiantada em relação à tensão. • Fluxo da potência num circuito: F o n t e R L C Carga • Relações adicionais: P = S cos(ϕ ) Q = S sin(ϕ ) S = P2 + Q2 Q tan(ϕ ) = P 99 6. Potência complexa ° I = I rms θ i φ = θv −θ i ° Z= Z φ V = Vrms θ v P = Vrms I rms cos(φ ) = Vrms I rms cos(θ v − θ i ) P = ℜ {Vrms I rms cos(θ v − θ i ) + jVrms I rms sin(θ v − θ i )} P = ℜ {Vrms I rms e j (θ −θ ) } v i P = ℜ {Vrms e jθ I rms e − jθ } v i { } ° ° * P=ℜ V I P = ℜ {S } ° ° * Definindo a potência complexa Portanto P = ℜ {S } Q = Im {S } S=S Fp = cos(φ ) S =V I = S φ S = P + jQ 100 • Conservação da potência complexa: ° I ° ° * ° ° I1 I2 S =V I ° ( ° ° * S = V I1 + I 2 ° V ° ° * ° ° S = V I1 + V I 2 S = S1 + S 2 * ) * ⇒ Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar todas as potências complexas de cada elemento. • Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência complexa): ϕ > 0→ S Q ϕ P • Relações adicionais: ° ° V =ZI ° ° * ° ° * S = V I = Z I I ⇒ S = Z I rms = 2 ° * ° =V V * Z ⇒S= Vrms * Z 2 I rms Y 2 * = Y Vrms2 carga indutiva 101 7. Correção do fator de potência Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem alterar a energia útil absorvida pela carga. S Q S' ϕ Q' ϕ' P Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz a) Determinar a corrente da carga b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da capacitância requerida. c) Calcular a nova corrente da carga. Solução: S 500 × 103 = = 36, 2 Arms a) I = V 13,8 × 103 ° = 500 × 103 53,13° VA = 300k + j 400k P = 300kW b) S 1 Q = 400kVAR cos(ϕ ) = 0,6 ⇒ ϕ = 53,13° Q ' = arc cos(0,9) = 25,84° P = 333,33kVA S'= cos(ϕ ') Q ' = S 'sin(ϕ ') = 145,3kVAR S ϕ Q S' Q' ϕ' P 102 Potência reativa do capacitor: QC = Q '− Q = −254,7 kVAR Potência complexa no capacitor: ° ° ° * SC =V C I C = P 0 C + jQC C ° V ° ° * V C I C = jQC ° ° VC * VC * ZC ZC = = jQC ⇒ VC ZC 2 * = jQC * 1 1 ⇒ ZC = jcω − jcω C=− 254,7 × 103 = 3,55μ F C=− 2π × 60 × −13,8 × 103 S ' 333,33 × 103 = = 24,15 A c) I ' = 13,8 × 103 V QC 2π f VC 2 103 8. Transferência máxima de potência Objetivo: obter Z L de modo que a potência ativa na carga seja máxima. Z S = RS + jX S A ° VS Z L = RL + jX L B 8.1 Carga puramente resistiva → Z L = RL ZS ° IL ° VS RL ° ° ° VS VS = IL = Z S + RL RS + jX S + RL VS IL = ( RS + RL ) 2 + X S2 Potência na carga: RL VS2 PL = RL I L = ( RS + RL ) 2 + X S2 2 PL max se dPL =0 dRL 104 RL = RS2 + X S2 = Z S 8.2 Carga com RL fixo e XL variável ZS A ° IL ° RL VS jX L B ° ° IL = VS ( RS + RL ) + j ( X S + X L ) ° ° IL = VS ( RS + RL ) 2 + ( X S + X L ) 2 105 Potência na carga: 2 PL = RL I L 2 RL VS = ( RS + RL ) 2 + ( X S + X L ) 2 PL max se X S = − X L 2 PL max RL VS = ( RS + RL ) 2 8.3 Carga com RL variável e XL fixo ZS A RL VS jX L B IL = VS (R S PL = (R S então + RL ) + ( X S + X L ) 2 RL VS 2 2 + RL ) + ( X S + X L ) 2 RL = RS2 + ( X S + X L ) 2 2 ; PL max se dPL =0 dRL 106 8.4 Carga com RL variável e XL variável ZS ° RL VS jX L PL = (R S Fazendo Então: RL VS + RL ) + ( X L + X S ) 2 2 X L variar: PL max para X L = − X S . PL ' = RL VS (R S 2 + RL ) Em seguida, fazendo Então: 2 2 . RL variar: PL max se Z L = RS − jX S = Z S * . dPL ' = 0 ⇔ RL = RS . dRL 107 CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS 108 1. Tensões trifásicas equilibradas • Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3 tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma freqüência mas defasadas entre si de 120º. • As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c. • Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase): ° Vcn ° Van ° Vbn Seqüência abc, positiva ou direta ° Van = VP 0° ° Vbn = VP −120° ° Vcn = VP +120° ° Vbn ° Van ° Vcn Seqüência acb, negativa ou indireta ° Van = VP 0° ° Vbn = VP 120° ° Vcn = VP −120° 109 ° ° ° Van + Vbn + Vcn = 0 • Tipos de ligações possíveis de um gerador 3φ ideal: a a ° Van ° ° ° Vca Vab ° Vcn Vbn b ° Vbc b c c tipo Δ tipo Y 2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado) ° I aA a A ° Van Z ° I Nn ° n N ° Vcn Vbn c ° I bB b B Z Z ° I cC • Tensões nas fases: Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos terminais de cada elemento. ° ° ° Na fonte: Van , Vbn , Vcn ° ° ° Na carga: VAN , VBN , VCN • Tensões de linhas: Tensões entre as linhas C 110 ° ° ° Na fonte = na carga : Vab , Vbc , Vca . • Corrente no neutro: ° ° ° ° ° ° ° ° Van Vbn Vcn I Nn = I aA + I bB + I cC I Nn = Z + Z + = Z ° ° ⎞ 1⎛ ° ⎜ Van + Vbn + Vcn ⎟ = 0 Z⎝ ⎠ Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema equilibrado. Então: ⇒ Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode ser considerado como um curto circuito. ⇒ Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser colocado no circuito para efeito de cálculo. • Relação entre as tensões de fase e de linha: Supondo seqüência ⊕ então: ° Van = VP 0° ° Vbn = VP −120° ° Vcn = VP 120° ° ° ° Sabendo que Vab = Van + Vnb ° ° = Van − Vbn = VP 0° − VP −120° ⎡3 3⎤ = VP − VP (cos(−120°) + j sin(−120°)) = VP ⎢ + j ⎥ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 Logo ° Vab = 3 VP 30° ° Vbc = 3 VP −90° ° Vca = 3 VP 150° ° da forma mais geral V fase = VP ϕ ° Vlinha = 3 VP φ + 30° 111 ° Vcn ° Vab ° 30° Van ° Vbn • Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema equilibrado): a,b,c A,B,C ° Van ° Z Vbn ° Vcn n N 3. Análise do circuito Y-Δ (equilibrado) 112 ° Van ° I aA a A ZΔ ZΔ ° Vbn ° b n ° ° I AB I bB I CA ZΔ C ° B I BC c ° I cC ° Vcn Correntes de fase: ⎛ ° ° ° ⎞ Na carga: ⎜ I AB , I BC , ICA ⎟ Na fonte: ⎝ ⎠ ⎛ ° ° ° ⎞ ⎜ I aA , I bB , I cC ⎟ ⎝ ⎠ Correntes de linhas: ⎛ ° ° ° ⎞ Na carga = na fonte: ⎜ I aA , IbB , I cC ⎟ ⎝ • ⎠ Determinação das correntes de linhas: ° a,b,c ° I aA I bB A,B,C ° I cC Ex.: Z ZY = 3 ° I aA = ° I bB = n N Circuito monofásico equivalente ° Van ZY ° Vbn ZY ° I cC = ° Vcn ZY 113 • Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre correntes de linhas e correntes de fase: ° ° ° I aA = I AB − I CA ° ° Supondo seqüência ⊕: I AB = I p 0° ° I BC = I p −120° ° I CA = I p 120° ° I aA = I p 0° − I p 120° ° I aA = I p − I p (cos(120°) + j sin(120°)) ° ⎛3 3⎞ I aA = I p ⎜ − j ⎟ ⎜2 2 ⎟⎠ ⎝ ° I aA = 3 I p −30° ° I bB = 3 I p −150° ° I cC = 3 I p 90° da forma mais geral, ° I fase = I p 0° ° I linha = 3 I p φ − 30° Observação: se o gerador estiver ligado em Δ, substitui-se o mesmo por um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma. a a 220 220 120° 3 220 0° 220 3 −30° 90° b 220 −120° 220 c 3 −150° b c seqüência ⊕ Vlinha = 3 V fase 30° ⇒ V fase = Vlinha 3 −30° 114 4. Circuitos 3φ desequilibrados 4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro ° IA A ZA ° IN N ZC ° IB ZB B C ° IC 3 circuitos independentes. ° ° ° ° I N = I A + I B + IC ≠ 0 Neste caso ° ° IA = VAN ° IB = VBN ° VCN IC = ZA ° ZB ° ZC 4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro 115 ° Van ° IA ZA ° I1 Vbn ° IB ZB I2 ZC ° IC ° Vcn Utiliza-se o método das malhas. ° ° I A = I1 ° ° ° ° I B = I 2 − I1 ° IC = − I 2 4.3. Carga desequilibrada em Δ • Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o circuito Δ por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas. Zg Zg Z2 Z1 Z3 Zg • Conhece-se as tensões de linha na carga: ⇔ 116 ° Van ° Ia A ° I AB Z1 ° Z2 Vbn Z3 B C ° Vcn ° I AB ° V = AB Z1 ° I CA = ° ° VCA ° ° => I a = ICA − I AB Z2 5. Potência em sistema 3φ I A (t ) A Z A = Z A φA Z B = Z B φB ZA Z C = Z C φC ZC I B (t ) Tensões de fase instantâneas: Correntes de fase instantâneas: ZB B φ A, B ,C = θ vA,B ,C − θ iA,B ,C C IC (t ) v AN (t ) = VAp cos(ω t + θ vA ) i AN (t ) = I Ap cos(ω t + θ iA ) v BN (t ) = VBp cos(ω t + θ vB ) i BN (t ) = I Bp cos(ω t + θ iB ) v CN (t ) = VCp cos(ω t + θ vC ) iCN (t ) = I Cp cos(ω t + θ iC ) 1 2 Sabendo que cos A cos B = [ cos( A + B) + cos( A − B)] Potências instantâneas em cada fase: 117 ⎡ ⎛ ⎢ PA (t ) = v AN (t ) iA (t ) = VA rms (t ) I A rms (t ) cos φ A + VA rms (t ) I A rms (t ) cos ⎢ 2 ⎜ ω t + θ v A ⎜ B B B B B B B B B ⎢⎣ ⎜⎝ C C C C C C C C C Potência instantânea total: p(t ) = p A (t ) + pB (t ) + pC (t ) Potência ativa total: P = PA + PB + PC = VA rms I A rms cos φ A + VB rms I B rms cos φ B + VC rms I C rms cos φC 5.1. Para um sistema equilibrado VA rms = VB rms = VC rms = Vrms Z A = Z B = Z C = Z ⇒ φ A = φ B = φC = φ I A rms = I B rms = I C rms = I rms • Potência instantânea: p(t ) = 3 Vrms I rms cos ϕ • Potência média: P = 3Vrms I rms cos ϕ → Para carga ligada em Y I fase = I linha 3 V fase = Vlinha PY = 3 Vlinha I linha cos ϕ ⇒ PY = 3 Vlinha I linha cos ϕ 3 → Para carga ligada em Δ V fase = Vlinha 3 I fase = I linha P =3 P =P Y I linha 3 Vlinha cos ϕ ⇒ P = 3 I linha Vlinha cos ϕ ⎤ ⎞ ⎟ −φ ⎥ ⎟⎟ BA ⎥ ⎠ C ⎥⎦ 118 Resumo: V e I em valores eficazes. Total Por fase Potência ativa Pf = V f I f cos ϕ PT = 3 V f I f cos ϕ = 3 VL I L cos ϕ Potência reativa Q f = V f I f sin ϕ QT = 3 V f I f sin ϕ = 3 VL I L sin ϕ Potência aparente S f = Vf I f ST = 3V f I f = 3 VL I L Potência complexa Fator de potência ° ° ° °* ST = 3V f I f Fp = cos ϕ Fp = cos ϕ 5.2. Para um sistema desequilibrado PT = PA + PB + PC Potência ativa total: Potência reativa total: QT = QA + QB + QC Potência aparente total: ST = PT2 + QT2 Fator de potência: cos ϕT = Potência complexa total: ° ° PT ST ° ° ST = S A + S B + SC 6. Medida da potência média em um circuito 3φ 6.1. O Wattímetro ° °* S f =V f I f 119 bobina da corrente (resistência baixa) I V C A R G A bobina da tensão (resistência alta) Observação: Bobina da corrente em série com a carga Bobina da tensão em paralelo com a carga. W = V I cos(θ v − θ i ) 6.2. O método dos dois Wattímetros W1 a W1 = Vac I a cos(θ vac − θ I a ) ou b W2 = Vbc I b cos(θ vbc − θ Ib ) P = W1 + W2 W2 Y c Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y: Seqüência ⊕ Van = V 0° 120 Vbn = V −120° Vcn = V 120° Z =Zϕ Vlinha = 3 V fase 30° ° Vbc = 3 Vbn 30° ° Vbc = 3 V −120° 30° ° Vbc = 3 V −90° ° ° Vac = − Vca ° Vca = 3 Vcn 30° ° Vca = 3 V 30° 120° ° Vca = 3 V 150° ° ⇒ V = − 3 V 150° = 3 V 330° = 3 V −30° ° Ia = ° Ib = ° Van Z = V 0° = I −ϕ Zϕ = V −120° = I −ϕ − 120° Zϕ ° Vbn Z W1 = 3 V I cos(−30° − (−ϕ )) W1 = VL I L cos(ϕ − 30°) W2 = 3 V I cos(−90°(−ϕ − 120°)) W2 = VL I L cos(ϕ + 30°) Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência da carga. W1 = VL I L [ cos(ϕ ) cos(30°) + sin(ϕ ) sin(30°) ] W2 = VL I L [ cos(ϕ ) cos(30°) − sin(ϕ ) sin(30°) ] (W2 + W1 ) = 2 VL I L cos(ϕ ) cos(30°) (W2 − W1 ) = −2 VL I L sin(ϕ ) sin(30°) W2 + W1 cos(30°) cos(ϕ ) =− W2 − W1 sin(ϕ ) cos(30°) 121 3 cos(ϕ ) W2 + W1 − 3 2 =− = 1 W2 − W1 tan( ϕ) sin(ϕ ) 2 W1 − W2 tan(ϕ ) = 3 W1 + W2 ⇒ W1 = W2 tan(ϕ ) = 0 ⇒ ϕ = 0 ⇒ cos(ϕ ) = 1 ⇒ carga resistiva W1 = W2 com sinais apostos → carga reativa pura W1 > W2 ⇒ ϕ > 0 ⇒ carga indutiva W1 < W2 ⇒ ϕ < 0 ⇒ carga capacitiva 122 CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 123 1. Introdução Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito ⇒ resposta em freqüência do circuito. jLω se ω = 0 ⇔ se ω = ∞ ⇔ 1 jCω se ω = 0 ⇔ se ω = ∞ ⇔ Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa ⇒ circuitos de seleção de freqüência ou Filtros. Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, etc. Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda de passagem, filtro de banda de rejeição. Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de componentes passivos. 2. Filtros passa-baixas 124 R L Vi Vo R C Vi Vo Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de freqüência no domínio da freqüência. jLω ° ° Vi R ° ° Vo ° ° RVi V R Vo = ⇒ H ( jω ) = °o = R + jLω R + jLω Vi ° H ( jω ) = R L jω + R L θ ( jω ) = − arctan R L ⇒ H ( jω ) = ⎛R⎞ ⎟ ⎝L⎠ ω2 + ⎜ 2 Lω R Gráfico de amplitude: H ( jω ) 1 Banda passante altas 1 Para freqüências o circuito deixa passar pouco sinal. Banda rejeitada 2 0 ωc ω 125 Gráfico de fase: θ ( jω ) 0 a ω −90° à Tensão de saída atrasada de 90º em relação à tensão de entrada. A freqüência limite entre a banda rejeitada e banda passante é chamada freqüência de corte ωc . Ela corresponde freqüência pela qual H ( jωc ) = 1 2 H max .⇔ Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo possível. Razão da escolha de • H max 2 para definir ωc : Potência máxima na saída: 2 PR = • 1 VR max 2 R Potência na saída quando ω = ωc : H ( jωc ) = 1 2 H max ⇒ Vo ⇒ VR ( jωc ) = 1 2 VR max 2 Pωc = 1 VR ( jωc ) R 2 2 ⎛ 1 ⎞ VR max ⎟ 2 ⎜ 1 2 ⎠ = 1 VR max = ⎝ R R3 2 2 122 PR Pωc = 1 PR 2 126 No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média fornecida à carga = 50% da potência média máxima. ωc = freqüência de meia potência. ⇒ Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima. 3. Filtros de banda de passagem Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa. Exemplo: L C i R Vo R Vi Vi No domínio da freqüência: jLω ° R Vi ° I= 1 jCω ° V 1 ⎞ ⎛ R + j ⎜ Lω − C ω ⎟⎠ ⎝ ° i C L Vo 127 ° H ( jω ) = I ° V H ( jω ) = = 1 1 ⎞ ⎛ R + j ⎜ Lω − Cω ⎟⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − C ω ⎠⎟ ⎝ 1 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − C ω ⎟⎠ ⎝ 1 ⎛ ⎜ Lω − Cω θ ( jω ) = − arctan ⎜ R ⎜⎜ ⎝ • = 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ Freqüência de ressonância ω0 : 2 1 ⎛ ⎜ Lω − Cω − arc tan ⎜ R ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 128 Freqüência pela qual H ( jω ) é máxima. H max = 1 I = . R V Na freqüência de ressonância a impedância equivalente do circuito é um resistor puro. As impedâncias do capacitor e do indutor têm módulos iguais e de sinais opostos. ⇒ a tensão de entrada e a corrente estão em fase. 1 ⎞ ⎛ Z eq = R + j ⎜ Lω − , como na ressonância Z eq (ω0 ) = R C ω ⎟⎠ ⎝ 1 1 ⇒ Lω0 − = 0 ⇒ ω0 = Cω0 LC • Freqüências de cortes ω1 e ω 2 Potência máxima = Potência na freqüência de ressonância P0 = 1 R I 2p max . 2 Freqüências de cortes = Freqüência para I = potência. 2 Pω1 = Pω2 = 1 ⎛ I p max ⎞ 1 I p max 1 = P0 R ⎜⎜ ⎟ = R ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2 2 I (ω1 ) = I (ω 2 ) = I p max 2 = 2 Vp R 2 = Vp 2R2 = Vp R2 + R2 Vp I= 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − Cω ⎟⎠ ⎝ 2 2 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ R 2 = ⎜ Lω − ⎟ ⇒ R = ± ⎜ Lω − Cω ⎟ ω C ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 ⇒ Lω 22 − Rω 2 − = 0 a) R = Lω 2 − Cω 2 C R ± R2 + ω2 = 2L R + R2 + ω2 = 4L C 4L C 2L b) R = 1 1 − Lω1 ⇒ Lω12 + Rω1 − = 0 Cω1 C I p max 2 =freqüência ½ 129 −R ± R2 + ω1 = 4L C 2L −R + R2 + ω1 = • 4L C 2L Banda passante Δω Largura de banda da passagem: Δω = ω 2 − ω1 = R L ω0 = ω1ω 2 • Fator de qualidade Q Q= ω0 Lω0 = Δω R Q maior, circuito mais seletivo. 130 Bibliografia 1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1. 2) Fundamentos de análise de Circuitos Elétricos, David E. Johnson, John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil, Quarta Edição, 1994. ISBN 85-7054-047-7. 3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS Publisching Company, 1998. ISBN 0-534-95095-7. 4) Introdução à Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed. Prentice Hall do Brasil, 8a Edição, 1998. ISBN 85-7054-078-7. 5) Análise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. Pearson Education, 4a Edição, 2000. ISBN 85-346-0693-5. 6) Análise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973. 7) Circuitos Elétricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.