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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA CTC - Centro Tecnológico Disciplina de Circuitos Elétricos I
APOSTILA DE CIRCUITOS
Professor: Colaboradores:
Florianópolis 2003
Patrick Kuo Peng Júlio Trevisan Maurício Rigoni Willian Hamada
I
2
Sumário Sumário ______________________________________________________________ 2 Plano de Ensino ________________________________________________________ 3 Análise de circuitos: Uma visão geral. ______________________________________ 4 CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS __________________________________ 5 CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ___________________________ 10 CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS _______________________________ 17 CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS __________________ 26 CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL_______________________ 53 CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES ___________________________ 64 CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS ___________________ 78 CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ________________ 93 CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS ______________________________ 107 CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS _____________________________________________________ 122 Bibliografia__________________________________________________________ 130
3
Plano de Ensino Circuitos Elétricos I Capítulo I: Variáveis Elétricas
Capítulo II: Elementos dos circuitos
Capítulo III: Circuitos resistivos simples
Capítulo IV: Técnicas de análise de circuitos
Capítulo V: O amplificador operacional
Capítulo VI: Indutores e Capacitores
Capítulo VII: Análise de circuitos senoidais
Capítulo VIII: Potência em circuitos senoidais
Capítulo IX: Circuitos trifásicos
Capítulo X: Respostas em freqüência
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Análise de circuitos: Uma visão geral.
Circuito elétrico = modelo matemático de um sistema elétrico real.
Análise de circuito: permite prever o comportamento do circuito e de seus componentes
Roteiro para análise de circuito: • Identificar claramente os dados e o que é pedido. • Simplificar ou redesenhar o circuito. • Escolher o método de análise mais simples. • Verificar se a solução encontrada é fisicamente possível.
5
CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS
6 VARIÁVEIS ELÉTRICAS
1. O Sistema Internacional de Unidades •
Unidades de base
Grandeza Comprimento Massa Tempo Corrente elétrica Temperatura Intensidade luminosa •
Símbolo m kg s A K cd
Unidades derivadas úteis na teoria de circuitos
Grandeza Freqüência Força Energia ou trabalho Potência Carga elétrica Potencial elétrico Resistência elétrica Condutância elétrica Capacitância Fluxo magnético Indutância •
Unidade metro quilograma segundo Ampère Kelvin Candela
Nome / Símbolo Hertz (Hz) Newton (N) Joule (J) Watt (W) Coulomb (C) Volt (V) Ohm (Ω) Siemens (S) Farad (F) Weber (Wb) Henry (H)
Fórmula dimensional s-1 kg.m/s2 N.m J/s A.s W/A V/A A/V C/V V.s Wb/A
Principais múltiplos e submúltiplos das unidades 10-12
pico(p) Tera(T)
10-9
10-6
nano(n) micro(μ)
10-3
mili(m)
0
103
quilo(K)
106
109
Mega(M) Giga(G)
1012
7
2. Conceitos básicos de eletricidade
a) Cargas elétricas Qualquer matéria é formada por átomos. O do Hidrogênio é o átomo mais simples, o qual é constituído por duas partículas (prótons→ carga positiva e elétrons→ carga negativa).
Unidade da carga elétrica = coulomb (C)
Átomos normalmente neutros ⇒
N° de elétrons = N° de prótons.
Retirando elétrons ⇒ átomo terá carga positiva. Adicionando elétrons ⇒ átomo terá carga negativa. • •
Matérias onde é fácil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de condutores (cobre, alumínio, etc...). Matérias onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...).
b) Corrente elétrica: movimento dos elétrons. corrente elétrica em Ampère [A] carga em Coulomb
i=
dq dt
tempo em segundos [s] Relação de integral:
8
∫
t
c) Tensão elétrica ou diferença de potencialq (:t )Energia − q (t 0 ) =usada i (t ).para dt t0 mover uma unidade de carga através do elemento.
Energia em Joule [J]
dW v= dq Tensão em Volt [V] Carga em Coulomb [C]
d) Potencia e energia: •
Potência = trabalho ou energia por unidade de tempo.
Potência em Watt [W] Energia em Joule [J]
p=
dW dt Tempo em segundos [s]
dW = vdq ⇒
•
dW dq =v = vi dt dt
∴ p = vi
Energia t
w(t ) = ∫ p (t ).dt ⇒ w(t ) − w(t 0 ) = ∫ v(t ).i (t ).dt t0
9
•
Convenção de sinais
Potência ou energia > 0 ⇒ o elemento absorve potência Potência ou energia < 0 ⇒ o elemento fornece potência
10
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS
11
Elementos dos circuitos I. Introdução Os circuitos podem ter 5 elementos básicos: • • • • •
Fontes de tensão; Fontes de corrente; Resistores; Indutores; Capacitores.
II. Fontes ideais de tensão e de corrente Fontes = dispositivos capazes de gerar energia elétrica Existem 2 categorias de fontes: • •
Fontes independentes e Fontes dependentes (fontes controladas).
1. Fontes independentes •
Fonte ideal independente de tensão: estabelece uma tensão que não depende das ligações externas, ou seja, v é fixa, independente de i. Símbolos
Característica tensão/corrente
A
A ou
12V B
12V
v [V]
12
B i [A]
•
Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente que não depende das ligações externas, ou seja, i é fixa, independente de v.
12 Símbolo
Característica tensão/corrente
A
i [A]
5A
5
B v [V]
2. Fontes dependentes ou controladas Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão ou uma corrente que depende do valor da tensão ou corrente em outro ponto do circuito. •
Fonte de tensão controlada por tensão
v1
•
v2 = α ⋅ v1
v1 - tensão de controle v2 - tensão controlada
α - ganho de tensão (adimensional)
Fonte de tensão controlada por corrente
i1 v 2 = r ⋅ i1
•
i1 - corrente de controle r – transresistência (Ω)
Fonte de corrente controlada por corrente
i1 i2 = β ⋅ i1
β – ganho de corrente (adimensional)
13
•
Fonte de corrente controlada por tensão
v1
i2 = g ⋅ v1
g – transcondutância (S)
III. Resistência elétrica (Lei de Ohm) 1. Resistência elétrica Capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou especificamente a circulação das cargas.
R= S
ρ ⋅l S
R – resistência ( Ω ) ρ - resistividade do material ( Ω ⋅ m )
l - comprimento (m)
S – seção transversal ( m 2 )
l
Resistor: elemento do circuito que possui resistência elétrica. Símbolo
Exemplos (resistor não linear): varistor ( R = f (v) ), termistor ( R = f (T ) ). 2. Lei de Ohm Estabelece uma relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor. Num resistor linear é utilizando a convenção passiva, esta lei pode ser escrita da seguinte forma:
14
i
∗
v
v
v = + Ri
v = − Ri
Condutância
i=
∗
i
ou
1 v 1 (condutância em mho ou S (siemens) ) = v = Gv ; G = R R R
Potência num resistor
i
i v
v
P = v⋅i
P = −v ⋅ i
Ora, v = Ri .
Ora, v = − Ri .
Então, P = Ri ⋅ i = Ri
Então, P = −( − Ri ) ⋅ i = Ri
2
v2 i2 = = v 2G . Outras expressões usuais: P = R G ∗
Observações Curto-circuito ⇔ resistência nula ⇔ tensão nula independente da corrente.
v
R=0
v = Ri = 0 ; ∀i
2
15 Circuito aberto ⇔ resistência infinita ⇔ corrente nula, independente da tensão.
v
i=
R=∞
v = 0 ; ∀v R
IV. Leis de Kirchhoff 1. Definições Nó: ponto de interconexão entre 2 ou mais elementos do circuito. Laço: caminho fechado passando apenas uma vez em cada nó e terminando no nó de partida. Malha: laço que não contém nenhum outro por dentro.
Exemplo:
2
E
R1
I
3
4
R2
R3
• 4 nós • 3 laços • 2 malhas
1 2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK)
“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula” N
∑ in = 0
n =1
⇔
Σ correntes entrando no nó = Σ correntes saindo do nó.
16
Convenção Corrente entrando no nó, atribuir sinal + Corrente saindo do nó, atribuir sinal -
3. Lei de Kirchhoff para tensões “A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre nula”. N
∑ vn = 0
n =1
Convenção Percorrer o caminho fechado no sentido horário, escrevendo a tensão com o primeiro sinal encontrado.
Exemplo:
R1 VR1 VR 2
E1
R2
VR 3
R3
− E1 + VR1 + VR 2 − VR 3 = 0
17
CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS
18
1. Resistores em série Associação série ⇔ mesma corrente em todos os elementos.
I
V1
V2
Vn
R1
R2
Rn
I ⇔
V
V
Req
V = Req .I
V = V1 + V2 + ... + Vn = R1 .I + R2 .I + ... + Rn .I = ( R1 + R2 + ... + Rn ).I
Req = R1 + R2 + ... + Rn
2. Resistores em paralelo Associação paralelo ⇔ todos os elementos sujeitos à mesma tensão.
19
I
I
V
I1
I2
In
R1
R2
Rn
⇔
Req
V = Req .I
I = I1 + I 2 + ... + I n =
V
V V V + + ... + R1 R2 Rn
⎛1 1 1 ⎞ ⎟⎟.V = ⎜⎜ + + ... + R R R 2 n ⎠ ⎝ 1 1 = Req
1 1 1 1 = + + ... + Req R1 R2 Rn ou Geq = G1 + G2 + ... + Gn
Observação:
R2 R1 // R2
R1
R3
ou
R 1 //( R2 + R3 )
R1 // R3 Ok!
20
R1
R2
R1 .R 2
⇔
R1 + R 2
3. Associação de fontes
3.1. Fontes de tensão em série
A
A V1
⇔
V2
V1 + V 2 + V3
V3
B
B
3.2. Fontes de Tensão em paralelo Fontes de tensão em paralelo só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.
5V
5V
10V
5V
21
3.3. Fontes de corrente em série Fontes de corrente em série só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.
2A
2A
4A
2A
3.4. Fontes de corrente em paralelo
I1
I2
⇔
I3
I1 + I 3 − I 2
4. Divisão de tensão
i
i V V
V1
R1
V1 V2
R1 R2
V2
R2
V1 = R1 .i ⇒
V = ( R1 + R2 ).i
V2 = R2 .i
De maneira geral
Rn
V1 =
G2 .V G1 + G2
ou
V1 =
R1 .V R1 + R2
V2 =
G1 .V G1 + G2
22
V1 =
R1 .V R1 + R2 + ... + Rn
5. O circuito divisor de corrente
I
V
I1 =
I1
I2
R1
R2
R1 .R2 .I R1 ( R1 + R2 )
V=
e
I2 =
I1 =
V R1
e
R1 .R2 .I R1 + R2
V R2
I2 =
R1 .I ( R1 + R2 )
ou
I1 =
G1 .I (G1 + G2 )
I2 =
G2 .I (G1 + G2 )
Mais geral
I
V
I1
I2
R1
R2
I1 =
Rn
R2 // R3 // ... // Rn .I R1 + Req
ou
I1 =
G1 .I G1 + G2 + ... + Gn
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6. Transformação Δ→Υ ou Υ→Δ
R AB
A
B
R AC
R AB
A ⇔
R BC
B
R AC
R BC
C
C
C A
B
A
RB
RA
⇔
RC C
RA
RB RC C
B
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A
B
A R AB
B R BC
RB
RA
R AC
C
RC C
Resistência equivalente entre A e B
R AB ( R AC + R BC ) = R A + RB R AB + R AC + R BC
(1)
Resistência equivalente entre B e C
R BC ( R AB + R AC ) = R B + RC R AB + R AC + R BC
(2)
Resistência equivalente entre A e C
R AC ( R AB + R BC ) = R A + RC R AB + R AC + R BC
(3)
Transformação Δ → Υ
RA =
R AB .R AC R AB + RBC + R AC
Transformação Υ → Δ
RB =
R AB .RBC R AB + RBC + R AC
RC =
R AC .RBC R AB + RBC + R AC
25
R AB =
R A .RB + R A .RC + RB .RC RC
R AC =
R A .RB + R A .RC + RB .RC RB
RBC =
R A .RB + R A .RC + RB .RC RA
R AB
B
RB
A
RA
R BC
RC
C
R AC
26
CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
27 Técnicas de Análise de Circuitos
I. Definições Ramo: caminho que liga 2 nós. Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de cruzem. Exemplo: Circuitos planares
R1
R1
R4
R5
R3
R2
R5
R2
Circuito não planar
II. Método das tensões de nó (análise nodal) É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK). Incógnitas são tensões. No de tensões incógnitas = No de nós – 1 .
R4 R3
28
G
A i
V
V
i = GVAB = G (VA − VB )
B
i = − G V AB = − G (V A − V B ) = G (V B − V A )
AB
G
A i
B
AB
Roteiro: a. Converter as resistências em condutâncias; b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão incógnita (tensão de nó); d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando todas as correntes saindo do nó (por convenção); e. Resolver o sistema de equações.
1. Fontes do circuito: só fontes de corrente a. Só fontes de corrente independentes
V1
2S V2
0,5Ω 0,5Ω
6A
2S
5S
0,2Ω
0
−3 A
Nó 1 − 6 + 2V1 + 2(V1 − V2 ) = 0 Nó 2 2(V2 − V1 ) + 5V2 − 3 = 0 ...
⎡ 4 − 2⎤ ⎡V1 ⎤ ⎡6⎤ ⎢− 2 7 ⎥ ⎢V ⎥ = ⎢3⎥ ⎣ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ...
V1 = 2V V2 = 1V
29 b. Incluindo também fonte de corrente controlada
2i 5S
V1
6A
0,5Ω 0,5Ω
2S
V2
0,2Ω
−3A
2S
Nó 1
− 6 − 2 i + 2 V 1 + 2 (V 1 − V 2 ) = 0 ⇒ ⎧4V1 + 8V2 = 6 ⇔ ⎡ 4 ⎨ ⎢ Nó 2 ⎩2V1 + 3V2 = −3 ⎣ 2 2(V2 − V1 ) + 5V2 + 2i − 3 = 0 ... V2 = 6V i i = −5V2 −21 V1 = V 2
8⎤ ⎡V1 ⎤ ⎡ 6 ⎤ = 3⎥⎦ ⎢⎣V2 ⎥⎦ ⎢⎣ −3⎥⎦
2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dependentes ou independentes) a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência
30
1S
V1
1S
V2
4V
6A
2S
V3
V4
−4 A
Nó 2
1(V2 − V1 ) − 6 + 1(V2 − V3 ) = 0
⎧V1 = 4V ⎨ ⎩V4 = −2V
2V
⎧V2 = 6V ⇒⎨ ⎩V3 = 2V
Cada fonte de tensão ligada ao nó de referência diminui o número de tensões incógnitas em 1 unidade
Nó 3
1(V3 − V2 ) − 4 + 2(V3 − V4 ) = 0
b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência
2S
V1
10V
V2
ix 4A
Ia
1S
ix 2
V3 2S
2A
V1 = 10V Nó 2 2(V2 − V1 ) − 4 + 1V2 + I a = 0 Nó 3 − I a + 2V3 + 2 = 0
Problema: não se conhece a corrente I a na fonte de tensão
Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó (supernó) ⇔ curtocircuitar nós 2 e 3.
31 2(V2 − V1 ) − 4 + 1V2 + 2V3 + 2 = 0 No supernó, V2 − V3 =
i x = 2(V1 − V2 ) ⎡3 2 ⎤ ⎡V2 ⎤ ⎡22⎤ ⎢2 − 1⎥ ⎢V ⎥ = ⎢10 ⎥ ⎣ ⎦⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦
ix 2
⎧V2 = 6V ⎪V = 2V ⎪ 3 ⇒ ⎨i = 8 A x ⎪ ⎪ Pix = 24W ⎩ 2
II. Método das correntes de malha (análise de malha) É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK). Incógnitas são correntes. o N de incógnitas = No de correntes de malha .
32
i1
i2 i4
I1
i3 i5
I2
Correntes de ramo, em função das correntes de malha:
i1 = I1
I3
i2 = − I 2 i3 = I 3
Correntes de malha: I1 , I 2 , I 3 .
i4 = I1 − I 2 i5 = I 3 − I 2
Roteiro: a. Converter as condutâncias em resistências; b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; c. Aplicar a LTK em cada malha; d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha. 1. Fontes do circuito: só fontes de tensão a. Só fontes de tensão independentes
33
i1
i2 R3
R1
VR1 V1
I1
i3 VR2 R2
VR2
V2
2 malhas ⇒ 2 correntes incógnitas
I2
Malha 1
−V1 + VR1 + VR3 = 0 ⇔ −V1 + R1i1 + R2i3 = 0
Malha 2
VR3 + V2 − VR3 = 0 ⇔ R3i2 + V2 − R2i3 = 0
Usando correntes de ramos, temos 3 incógnitas e 2 equações.
Mas
i1 = I1 ⎫ ⎪ ⎧−V1 + R1I1 + R2 ( I1 − I 2 ) = 0 i2 = I 2 ⎬ ⇒ ⎨ V + R3 I 2 + R2 ( I 2 − I 2 ) = 0 i3 = I1 − I 2 ⎪⎭ ⎩ 2
2 equações, 2 incógnitas
− R2 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡ V1 ⎤ ⎡( R1 + R2 ) ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ... − + ( R R R − I V 2 2 3) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 ⎣ ⎦ b. Incluindo também fontes de tensão controladas
1Ω 3 malhas ⇒ 3 correntes incógnitas
I2 5Ω
50V
I1
iϕ
Malha 1: −50 + 5( I1 − I 2 ) + 20( I1− I 3 ) = 0
4Ω
20Ω
I3
15iϕ Malha 2: 1I 2 + 4( I 2 − I 3 ) + 5( I 2 − I1 ) = 0 Malha 3: 4( I 3 − I 2 ) + 15iϕ + 20( I 3 − I1 ) = 0 iϕ = I1 − I 3
⎧ I1 = 29,6 A ⎡ 25 −5 20 ⎤ ⎡ I1 ⎤ ⎡50 ⎤ ⎪ ⇒ ⎢ −5 10 −4 ⎥ ⎢ I 2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ... ⎨ I 2 = 26 A ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ I = 28 A ⎢⎣ −5 −4 9 ⎥⎦ ⎢⎣ I 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎩ 3
34
2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de corrente a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma única malha
Calcular a potência na fonte de tensão:
1Ω 3 malhas ⇒ 3 incógnitas
26V i
I1
2Ω
2Ω I2
I3
Do circuito, obtém-se imediatamente I1 = 5 A e
I 3 = −2 A .
3Ω Malha 2:
2 I 2 + 2( I 2 − I1 ) − 26 + 1I1 + 2( I 2 − I 3 ) = 0 ⇒ I 2 = 4 A
Potência na fonte de tensão:
P = +V ⋅ I = 26( I1 − I 2 ) =
= 26(5 − 4) = 26W
⇒ Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o número de incógnitas em 1 unidade.
35
b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha
Calcular V1 :
1Ω 3 malhas ⇒ 3 incógnitas
I2 I1
4A
V1
2Ω
v1
4Ω
5V1 I3
9Ω supermalha
Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha ⇒ 2 incógnitas apenas.
I1 = 4 A Malha 2: 1I 2 + v1 + 4( I 2 − I 3 ) = 0
Malha 3: 2( I 3 − I1 ) + 4( I 3 − I 2 ) − v1 + 9 I 3 = 0 Problema: não se conhece a tensão na fonte de corrente ( v1 não é incógnita principal do sistema). Solução: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT na supermalha.
2( I 3 − I1 ) + 1I 2 + 9 I 3 = 0 No interior da supermalha temos:
5V1 = I 2 − I 3 ora V1 = 2( I1 − I 3 ) Assim I 2 = 184 A e I 3 = −16 A
36
IV. Análise nodal ou análise de malhas? a) Simplificar o circuito, b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo.
Incógnitas
Análise Nodal Tensões de nó
Análise de Malha Correntes de malha
Número de incógnitas
Número de nós –1
Número de malhas
Critério para reduzir o número de incógnitas
Fonte de tensão ligada ao nó Fonte de corrente que de referência pertence a uma única corrente de malha
Caso especial
Fonte de tensão não ligada ao nó de referência ⇒ aplicar conceito de supernó
Fonte de corrente que pertence a duas correntes e malha ⇒ aplicar conceito de supermalha
Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele.
O método de análise mais adequado será aquele que leva a escrever o menor número de equações.
37 Exemplo 1
Determinar a potência na fonte de tensão controlada
300 Ω
150 Ω 256V
100 Ω
200 Ω
i
250 Ω 50i
500 Ω 400 Ω
128V
38 Exemplo 2
Determinar V1 e V2 .
4Ω
2,5Ω
2Ω
V1 0,41V1
193V
0,5 A
V2
6Ω
7,5Ω
8Ω
0,8V2
39
V. Transformações de fontes 1. Fonte real de tensão Modelo
Característica tensão-corrente
VL
fonte ideal de tensão
a
IL
RV Vs
VL
RL fonte real
b
IL
VL = Vs − RV I L 2. Fonte real de corrente Modelo
Característica tensão-corrente
IL
fonte ideal de corrente
a
IL Is
RI
VL
RL fonte real
b
VL
IL = Is −
1 VL RI
40 3. Equivalência de fontes Objetivo: transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente ou vice-versa.
•
Fonte de tensão
fonte de corrente
a
a
RV Vs
VL
RL
⇒
Is =
Vs RV
RI = RV
b
•
RL
b
fonte de tensão
Fonte de corrente
a
a
RV Is
RL
RI
⇒ Vs = R I I s
VL
b
RL
b
Observações: • A equivalência deve valer para qualquer valor de RI . • A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão equivalente.
R1
a
a
R2
⇔
R2 b
b
R1
R1
a
a
⇔
R2 b
b
41
VI. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton 1. Circuito equivalente de Thèvenin A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.
RTH
a IL
VL ⇔ b
a IL
VL
VTH b
Onde
VTH é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada. RTH é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). B. Determinação de VTH e RTH : 1o método
VTH : desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b) iCC : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito no sentido (a)
RTH =
VTH iCC
(b)
42 Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin
3Ω a
I1 2V
4Ω
2I1 Rcarga b
43 C. Determinação de RTH e VTH : 2o método Objetivo: determinar os valores de RTH e VTH de tal forma que visto dos terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes.
RTH
a
⇔
Rede linear
a
VTH b
b
Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com valor I T nos dois circuitos, as tensões Vab nos dois circuitos devem ser equivalentes. a Rede linear
VAB
IT ⇔
RTH
a
VTH
VAB
b
Vab = XIT + Y (1)
IT
b
Vab = RTH IT + VTH (2)
Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que
RTH = X VTH = Y
Observação: se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é invertida,
44
RTH
a
VTH
VAB
a
IT
Rede linear
b
Vab = − RTH IT + VTH
VAB b
RTH = − X VTH = Y
IT
45 Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin.
3Ω a
I1 2V
4Ω
2I1 Rcarga b
46 D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes a Rede linear
Rcarga b
•
Determinação de VTH : desconectar a carga e determinar a tensão vista dos terminais (a) e (b).
•
Determinação de RTH : desconectar a carga e determinar a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes independentes em repouso. Fonte de tensão em repouso ⇔ V = 0 (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ I = 0 (circuito aberto).
Exemplo: determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga RL .
3Ω
12V
7Ω a 6Ω
RL b
47 2. Circuito equivalente de Norton A. Objetivo Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer. a IL
IL
a Rede linear
VL ⇔
IN
RN
b
VL b
Onde: I N é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito;
RN é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). B. Determinação de RN e I N : 1o método Idem primeiro do Thèvenin:
I N = iCC V RN = TH iCC C. Determinação de RN e I N : 2o método
a Rede linear
I ab
a
VT
IN
De (1) e (2) ⇒ R N =
1 e IN = Y X
VT
RN b
b
I ab = XVT + Y (1)
I ab
I ab =
1 VT + I N (2) RN
48 D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes
Determinação de RN : idem a RTH Determinação de I N : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b). Exemplo:
3Ω
12V
7Ω a 6Ω
RL b
49 E. Determinação de RN e I N : 3o método A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes.
RTH
a
a
RL ⇒ I N =
VTH
VTH RTH
RN
b
RL b
VII. Transferência máxima de potência Objetivo: obter a máxima potência possível de uma rede qualquer.
RTH Rede linear
VTH
RL
IL RL
⇒ Determinar RL de tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima: 2
⎛ VTH ⎞ ⎟⎟ PRL = RL I L2 = RL ⎜⎜ R R + ⎝ TH L ⎠ dPRL Maximizar PRL ⇔ = 0 ⇔ RL = RTH dRL Então PRL ,máx
⎛ VTH = RTH ⎜⎜ ⎝ RTH + RTH
2
2 ⎞ VTH ⎟⎟ = 4 RTH ⎠
50
PL
VTH2 4 RTH
RL
RTH
Rendimento 2
η=
PRL PVTH
⎛ VTH ⎞ ⎟⎟ RL ⎜⎜ R R + RL L ⎠ = = ⎝ TH V TH RTH + RL VTH ⋅ RL + RTH
η
0,5
RTH
RL
Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de potência
51
VIII. O princípio da superposição Circuito linear: se o circuito é alimentado por mais de uma fonte de energia, a resposta total é igual ao Σ das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso. Observações: Fonte de tensão em repouso ⇔ V = 0 (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso ⇔ I = 0 (circuito aberto). Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso.
i V
Rede linear
i V
Rede linear
i I
Rede linear
I
52 Exemplo: obter V X por superposição.
3Ω
I1
2V
4Ω
2I1 3A
VX
53
CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL
54 1. Introdução
Amplificador operacional: circuito integrado composto por uma associação de transistores, capacitores, resistores etc... Funções:
• • • •
Associado aos resistores pode desempenhar operação tais como adição, subtração, troca de sinal e multiplicação por um fator constante; Associado aos capacitores e/ou indutores, realiza operações como integração e diferenciação; Comparadores; Osciladores.
2. Terminais do Amplificador Operacional
Considerar o Amp. Op. como uma caixa preta cujos terminais são mostrados a seguir:
Entrada inversora – Entrada não inversora + VCC–
1
8
2
7
3
6
4
5
VCC + Saída
ua 741 Símbolo Alimentação + Entrada Não Inversora
+
Saída
Entrada Inversora
_ _ Alimentação
55
3. Tensões e correntes nos terminais do Amp. Op.
•
Sentidos das correntes e polaridade das tensões no Amp. Op.
ic +
ip
V+
+
Vp
+
_
•
+
iin
Vn
io
_ Vcc
+
_
V-
ic −
+ _Vcc
Vo _
Regiões de operação do Amp. Op.: Vo
Saturação positiva
Vcc
Vo = -Vcc se A(Vp - Vn) < -Vcc
−Vcc A
Saturação negativa
Re gi ã
o
lin e
ar
Vo = A(Vp - Vn) se -Vcc ≤ A(Vp - Vn) ≤ Vcc Vcc A
(V p − V n )
Vo = Vcc se A(Vp - Vn) > Vcc
−Vcc
Curva de transferência de tensão do Amp. OP. O Amplificador operacional opera na região linear quando |Vp - Vn| < Vcc/A. Como A é um valor geralmente grande, então |Vp - Vn| deve ser pequeno.
56
No caso ideal:
Vp = Vn ⇒ A = ∞ resistência de entrada elevada ⇒ ip = in = 0
De acordo com as leis de Kirschhoff para corrente: ip + in + io + ic- + ic+ = 0 i0 = - (ic+ + ic-) ora, ip = in = 0 Observações: o ip = In = 0 não significa que i0 = 0; o As tensões de alimentação não precisam ser simétricas. Ex.: V+ = 12V e V- = -8V Na região linear –8V ≤ Vo ≤ 12V Exemplo 1: 220k
12V
22k
1 2
Va
4,7k
-12V 40k
Vo
Vb
o Supondo o Amplificador ideal. Calcule Vo para: a) Va = 3V e Vb = 2V; b) Va = 1,5V e Vb = 2,5V. c) para Vb = 4V, especifique o intervalo no qual deve ser mantida a tensão Va para que o amplificador não entre na região de saturação. 4. Modo de operação do amplificador operacional
57 4.1. Sem realimentação Este modo é denominado “operação em malha aberta”. Funciona sempre em modo saturação. Utilizado como circuito comparador. Ex. circuito de controle
Vin Vp
Vcc
Vo −Vcc
4.2. Com realimentação positiva Realimentação significa que uma fração da tensão de saída é reinjetada numa das entradas. Na realimentação positiva o sinal de saída é reinjetado na entrada não inversora. Muito instável, utilizado em osciladores. Ex. geradores de sinais.
Vcc
Vg
−Vcc
Vo
4.3. Realimentação negativa Este tipo é o mais importante meio de realimentação, pois estabiliza o sinal e tende a aproximar as características do amplificador ideal.
5. O circuito amplificador-inversor Hipótese: Amp. op. ideal Amp. op. operando na região linear
58
if Rf Objetivo: Vo = f(Vs)
Rs
is
−Vcc
Vn
Vs
Vcc
1
Vo
Vp
No nó 1 temos terra virtual, pois Vn = Vp. Ora, Vp = terra ⇒ Vn = terra. No nó 1: is + if = 0 ⇔
V s − V n Vo − V n + =0 Rs Rf
Como o Amp. op. é ideal Vn = Vp, ip = in = 0 Ora, Vp = 0 ⇒ Vn =0 Logo Vo = −
Rf
Vs ; a tensão de saída é uma reprodução invertida do sinal Rs de entrada, multiplicada por uma constante ⇒ amp. inversor.
6. O circuito amplificador-somador Hipótese: Amp. op. ideal ⇒ Vn = Vp; ip = in = 0 Amp. op. operando na região linear
if Ra
Rf
ia Rb
Va
ib
1
in
Vcc
Rc ic
Vb
−Vcc
Vc
ia + ib + ic + if = in = 0 V a − V n Vb − V n V c − V n Vo − V n + + + =0 Ra Rb Rc Rf
Vo
59
Rf Rf ⎛ Rf ⎞ Vo = −⎜⎜ Va + Vb + Vc ⎟⎟ Rb Rc ⎠ ⎝ Ra
⇒ tensão de saída = - (soma das tensões de entrada multiplicada por um fator de escala). Se Ra = Rb = Rc = Rf ⇒ Vo = - (Va + Vb + Vc). Ex. misturador de áudio.
7. O circuito amplificador não inversor
Rf Rs Rg Vg
Vn = Vp ip = in 0
Vcc
−Vcc
Vo
Vn =
R s Vo Rs + R f
Vg =
R s Vo Rs + R f
ora, Vn = Vp
= Vg
Vo =
Rs + R f Rs
⇒
Vg
A tensão de saída é uma reprodução do sinal de entrada, multiplicada por uma constante.
8. O circuito amplificador diferença
60
Rb Ra
Vcc
1 2
−Vcc
Rc Va
Vb
Vn
Rd V p
Vo
No nó 1: Vn − Va V n − Vo + + in = 0 Ra Rb
No amplificador operacional ideal in=0 =ip e Vn=Vp Vn = V p =
R d Vb Rc + Rd
Vo =
R d (R a + R b ) R Vb − b V a R a (R c + R d ) Ra
se
Ra R = c Rb R d
⇒ Vo =
Rb (Vb − V a ) Ra
⇒ a tensão de saída é proporcional à diferença entre as tensões de entrada. Uma característica importante de uma conexão de circuito diferencial é sua capacidade de amplificar consideravelmente sinais opostos nas duas entradas, enquanto amplifica suavemente sinais comuns a ambas as entradas. Vamos escrever as tensões de entrada em função de duas outras tensões chamadas de tensão do modo diferencial e de tensão do modo comum: Vdm = Vb – Va (tensão de modo diferencial) Vcm = ½ (Va + Vb) (tensão de modo comum) Então Va = Vmc – ½ Vmd Vb = Vmc + ½ Vmd
61
Rb
Ra Vmd 2
Vmc
Vcc
−Vcc
Vmd 2
Rc
Vo Rd
⎡ R R − Rb R c ⎤ ⎡ R d (R a + R b ) + R b (R c + R d ) ⎤ Vo = ⎢ d a ⎥ V mc + ⎢ ⎥ V md ( ) + R R R 2 R a (R c + R d ) d ⎣ a c ⎦ ⎣ ⎦
Vo = Amc Vmc + Amd Vmd
ganho de modo comum
ganho de modo diferencial
Fator de rejeição de modo comum é um parâmetro usado para indicar até que ponto um amplificador diferença se aproxima de um amplificador ideal. CMRR =
Amd Amc
⇒ quanto maior CMRR, melhor o Amp. op.
No Amp. op. ideal Amc = 0 e Amd elevado.
9. Modelo mais realista para o amplificador operacional
No Amp. Op não ideal, a resistência de entrada Ri é de valor finito, o ganho A é de valor finito e a resistência de saída R0 ≠ 0. Assim o circuito equivalente do Amp. Op. mais realista é apresentado abaixo.
62
ip Ro
io
Ri
Vp
(
in
A V p − Vn
)
Vo
Vn
Exemplo: Determinar Vo = f(parâmetros do circuito) Amplificador não ideal
Rf Rs
Vcc
−Vcc
Vs
Vo
nó 1: V s − V n Vo − V n V n + = Rs Rf Ri
(
Vo − A V p − V n Ro
então V0 =
)
+
Vo − V n =0 Rf
(
− A + Ro R f
ora Vp = 0
)
⎞ R Rs ⎛ R ⎞ ⎛R ⎜⎜1 + A + o ⎟⎟ + ⎜⎜ s + 1⎟⎟ + o Rf ⎝ Ri ⎠ ⎝ Ri ⎠ Rf
Vs
63 Obs.: Ro = 0 Ri → ∞ A→∞
⇒ Vo =
−R f Rs
Vs
Amp. op. ideal
64
CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES
65
Indutores e Capacitores Estudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de armazenar energia).
I. O Indutor 1. Características do indutor Basicamente o Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio condutor, enrolado em espiral.
i (t )
O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos magnéticos. A aplicação de uma corrente variável no indutor produz um campo magnético variável no seu redor.
v (t )
Um campo magnético variável induz uma tensão nos terminais do indutor e essa tensão é proporcional à taxa de variação de corrente que o atravessa. Matematicamente: Fluxo magnético concatenado
Corrente [A]
Φ = Li ⎫ ⎪ ⇒ d Φ ⎬ Lei de Faraday { v = dt ⎪⎭
Tensão em Volts
v=L
di dt
Tempo [s]
Indutância em Henry [H]
66
i (t )
L
i (t )
v (t ) v (t ) = L
L v (t )
di ( t ) dt
v (t ) = − L
di ( t ) dt
67 Observações: Quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um indutor ideal é nula . Assim, o indutor se comporta como um curtocircuito para corrente contínua. A corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente, ou seja, existe inércia de corrente no indutor. Se a corrente variar bruscamente é porque há tensão infinita (imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de tensão nos terminais do indutor.
2. Corrente em um indutor em função da tensão entre os terminais do indutor:
v(t ) = L
di (t ) 1 ⇔ di (t ) = v(t )dt dt L
t
i (t )
t
0
0)
0
1 1 ⇒ ∫ di (t ) = ∫ di = ∫ v(t )dt L i (t Lt t t
1 1 t ⇒ i (t ) − i (t0 ) = ∫ v(t )dt ⇒ i (t ) = i (t0 ) + ∫ v(t )dt Lt L t0 0
3. Potência e energia nos indutores:
di (t ) ⎧ = ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) p t v t i t Li t ⎪⎪ dt ⎨ ⎪ p (t ) = dW (t ) ⇒ dW (t ) = p (t )dt ⎪⎩ dt t
t
0
0
di (t ) di (t ) ⇒ dW (t ) = Li(t ) dt ⇒ ∫ dW (t ) = L ∫ i (t ) dt dt dt t t W (t )
⇒
∫
W ( t0 )
i (t )
dW = L
∫
idi ⇒ W (t ) − W (t0 ) =
i ( t0 )
⇒ W (t ) − W (t0 ) =
1 ⎡2 L ⎣i (t ) − i 2 (t0 ) ⎤⎦ 2
1 ⎡ 2 ⎤ i (t ) L i 2 ⎣ ⎦ i ( t0 )
68
Se i (t0 ) = 0 , e W (t0 ) = 0 , então W (t ) =
1 2 Li . 2
69
II. O Capacitor O capacitor é um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutoras separadas por um isolante. O comportamento do capacitor se baseia em fenômenos associados ao campo elétrico.
Δv
Os campos elétricos são produzidos por uma separação de cargas elétricas, ou seja, por tensão. Então a carga é proporcional à diferença de potencial e podemos escrever que q = C v. Ora sabemos que i = dq/dt. Assim a relação tensãocorrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma: Corrente [A]
Tensão [V]
i=C
dv dt
Capacitância, em Farads [F] Observações: Quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor ideal é nula, ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente contínua. A tensão nos terminais de um capacitor não pode variar instantaneamente: Existe inércia de tensão no capacitor. Se a tensão variar bruscamente, é porque há corrente infinita (imposta por um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso temos um impulso de corrente passando pelo capacitor.
2. Relações integrais para o capacitor
70 t
t
0
0
dv(t ) 1 i (t ) = C ⇒ ∫ dv(t ) = ∫ i (t )dt dt Ct t v (t )
t
t
0
0
1 1 ⇒ ∫ dv = ∫ i (t )dt ⇒ v(t ) = v(t0 ) + ∫ i (t )dt Ct Ct v (t ) 0
71 3. Potência e energia nos capacitores
dv(t ) ⎧ p ( t ) v ( t ) i ( t ) v ( t ) C = ⋅ = ⎪⎪ dt ⎨ ⎪ p (t ) = dW (t ) ⇒ dW (t ) = p (t )dt ⎪⎩ dt t
t
0
0
W (t )
v (t )
dv(t ) ⇒ ∫ dW (t ) = C ∫ v(t ) ⇒ ∫ dW = C ∫ vdv dt t t W (t ) v (t ) 0
0
1 ⇒ W (t ) = W (t0 ) + C ⎡⎣v 2 (t ) − v 2 (t0 ) ⎤⎦ 2 Se W (t0 ) = 0 e v(t0 ) = 0 , W (t ) =
1 2 Cv (t ) 2
III. Associações de indutores e capacitores em série e em paralelo 1. Associações de indutores A. Indutores em série
i (t ) v (t )
L1
L2
Ln
v1 (t )
v2 (t )
vn (t )
c i (t ) v (t )
Leq
v(t ) = v1 (t ) + v2 (t ) + ... + vn (t ) di (t ) di (t ) di (t ) + L2 + ... + Ln dt dt dt di (t ) = Leq dt ∴ Leq = L1 + L2 + ... + Ln = L1
Os indutores em série se associam como resistores em série.
72 B. Indutores em paralelo
i (t )
i (t )
v (t )
i1 ( t )
i2 ( t )
in (t )
L1
L2
Ln
⇔
v (t )
Leq
i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) + ... + in (t ) t
t
t
0
0
0
1 1 1 = ∫ v(t )dt + i1 (t0 ) + v(t )dt + i2 (t0 ) + ... + v(t ) dt + in (t0 ) ∫ L1 t L2 t Ln t∫ t ⎛1 1 1 ⎞ ⇒ i (t ) = ⎜ + + ... + ⎟ ⋅ ∫ v(t )dt + i1 (t0 ) + i2 (t0 ) + ... + in (t0 ) 1444424444 3 L1 L2 Ln ⎠ t ⎝144 i ( t0 ) 42444 3 0 1 Leq
1 1 1 1 = + + ... + Leq L1 L2 Ln Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo.
Para 2 indutores,
Leq =
L1L2 . L1 + L2
73 2. Associações de capacitores A. Capacitores em paralelo
i (t ) i1 ( t )
i2 ( t )
in (t )
i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) + ... + in (t ) =
v (t ) C1
C2
Cn
dv(t ) dv(t ) dv(t ) + C2 + ... + Cn = dt dt dt dv(t ) = (C1 + C2 + ... + Cn ) = dt dv(t ) = Ceq dt
C1 c i (t )
Ceq = C1 + C2 + ... + Cn v (t )
C eq
Os capacitores em paralelo se associam como condutâncias em paralelo.
B. Capacitores em série
i (t )
v (t )
C1
C2
Cn
v1 ( t )
v2 (t )
v n (t )
i (t ) ⇔
v (t )
C eq
74
v(t ) = v1 (t ) + v2 (t ) + ... + vn (t ) = 1 t 1 t 1 t = i (t )dt + v1 (t0 ) + i (t )dt + v2 (t0 ) + ... + i (t )dt + vn (t0 ) = C1 t∫0 C2 t∫0 Cn t∫0 ⎛ 1 1 1 ⎞t ⎟⎟ ∫ i (t ) dt + v1 (t0 ) + v2 (t0 ) + ... + vn (t0 ) = ⎜⎜ + + ... + 14444244443 C C C ⎝14 1 2 n ⎠t 0 v (t 0 ) 442444 3 1 C eq
1 1 1 1 = + + ... + . Os capacitores em série se associam como Ceq C1 C2 Cn condutâncias em série. IV. Dualidade Definição: dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que caracteriza o outro. Capacitor
i=C
dv dt
Indutor
v=L
di dt
Grandeza Tensão Carga Resistência Indutância Curto-circuito Impedância Nó (não-referência) Nó de referência Ramo de árvore Série LKT
i↔v ⎫ ⎬ Grandezas duais C ↔ L⎭ Dual Corrente Fluxo Condutância Capacitância Circuito aberto admitância Malha Malha externa (laço) Ramo de ligação Paralelo LKC
Exemplo: Determinação de um circuito dual utilizando a tabela acima
75
R1
1. Colocar um nó em cada malha + um nó de referência
C
V
R2
L
2. Aplicar as regras de dualidade
c C
I
G1
L
G2
V. Resposta natural de um circuito RL O circuito estava operando em regime permanente quando em t = 0 a chave passa da posição A para a posição B. Determine il (t ) para t ≥ 0.
R1
A B t =0
E
E = 100V R1 = 30Ω
L R3
R2
R2 = 20Ω R3 = 4Ω L = 5H
t<0 (antes do chaveamento): regime permanente
R1
iL R2
R3 ⇔
E R1
Req
R1 R2
iL R3
76
E R1 = 2,5 A iL = Req + R3 Req ⋅
iL (0− ) = 2,5 A t= 0+ ( logo depois do chaveamento)
R1
L
L
iL (t )
VL (t ) R3 ⇔
R2
E
VL (t ) + VR3 (t ) = 0 diL (t ) + R3iL (t ) = 0 dt R R diL (t ) di (t ) = − 3 dt ⇒ ∫ L = − 3 ∫ dt iL (t ) L iL (t ) L
L
R
− 3t R3 ⇒ ln(iL (t )) = − t + k ⇒ i (t ) = e L ⋅ ek L
K
e ⇒ iL (t ) = Ke k
−
R3 t L
K depende das condições iniciais:
iL (0+ ) = Ke0 = K
−
+
Como há inércia de corrente no indutor, iL (0 ) = iL (0 ) = 2,5 A = K
⇒ iL (t ) =
4 − t 2,5e 5
R3 VR3 (t )
77
iL (t )( Ampères )
2,5
0 Calcular
t (s)
diL + − em t = 0 e t = 0 : dt
a) utilizando as expressões da corrente em t = 0- e em t = 0+
diL (0+ ) =
d ⎡ −0,8t ⎤ ⎡ −0,8 ⋅ 2,5e −0,8t ⎤ = −2 A / s 2,5 e = ⎦t =0 ⎣ ⎦t =0 dt ⎣
diL (0− ) =0 dt b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento
diL (0+ ) diL (0+ ) −4 ⋅ 2,5 vL (0 ) = L ⇒ = vL (0+ ) = = −2 A / s dt dt 5 +
Calcular
dVR3 (t ) dt
: t =0
+
VR3 = R3iL (t ) ⇒
dVR3 (0+ ) dt
diL (0+ ) = R3 = 4 ⋅ (−0,8) ⋅ 2,5e −0,8t = −8V / s t =0 dt
78
CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS
79
1. Fontes senoidais. Fontes de tensão (corrente) senoidal produzem uma tensão (corrente) que varia com o tempo.
i (t ) = I p sen wt i(t)
v(t ) = V p cos wt v(t)
1 ciclo
Ip x 1
Vp x 1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
-1 0
1.5708
3.1459
4.7124
wt
6.2832
7.854
9.4248 rad
0
1.5708
3.1416
4.7124
wt
6.2832
7.854
9.4248 rad
obs.:
•
•
A função senoidal é uma função periódica isto é ela se repete em intervalos regulares. Um ciclo da função é um trecho que começa em uma certa amplitude e termina na mesma amplitude. O tempo necessário para percorrer um ciclo é chamado período.
•
A freqüência é o número de ciclo por segundo f =
•
Freqüência angular
•
Função cosseno defasado
•
wt = 2π → w =
1 [ Hz ] ou ciclo/s. T
2π [rad / s ] T
f (t ) = A cos( wt + ϕ )
Onde ϕ é o ângulo de fase da função cosenoidal e é geralmente apresentado em graus. Ex.:
v(t ) = 20 cos( 2t + 30 o ) Transformação para radianos rad/s
80
v(1) = 20 cos(2.1 +
•
30.π ) 180
Para determinar a defasagem entre 2 funções senoidais.
Seja
v1 (t ) = V p1 cos( wt + α )
e
v2 (t ) = V p 2 cos( wt + β )
então,
v1 (t ) está adiantado de α − β em relação à v2 (t )
Ex.:
v1 (t ) = 100 sen (7t − 30o )
v2 (t ) = 40 cos(7t + 10 o )
v1 (t ) = 100 cos(7t − 30 o − 90 o ) = 100 cos(7t − 120 o ) v2 (t ) = 40 cos(7t + 90 o + 10 o ) = 40 sen(7t + 100 o ) v1 (t ) está adiantada de − 30 o − 100 o = −130 o em relação à v2 (t ) . ou
v1 (t ) está atrasada de + 130 o em relação à v2 (t ) . 2. Respostas senoidais
V p cos wt
R
L
VR
VL
Hipótese: circuito está em regime permanente
i (t ) V p cos wt = VR (t ) + v L (t )
V p cos wt = R.i (t ) + L
di (t ) (1) dt
Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter a solução particular da equação diferencial (1).
81 A solução particular da equação diferencial tem a mesma forma que a fonte de excitação, então vamos supor que i (t ) = I p cos( wt + ϕ ) . Objetivo: determinar I p e
ϕ.
sen( A ± B) = sen A. cos B ± sen B. cos A cos( A ± B) = cos A. cos B ± sen A.sen B V p cos wt = R.I p cos( wt + ϕ ) + L(− w) I p sen( wt + ϕ ) o o
V p cos wt = R.I p [cos wt. cosϕ − sen wt.sen ϕ ] − LwI p [sen wt. cosϕ + sen ϕ . cos wt ] = [ RI p . cosϕ − LwI p .sen ϕ ].cos wt + [− RI p .sen ϕ − wLI p . cosϕ ].sen wt Por identificação de variável
RI p cos ϕ − wLI p sen ϕ = V p − RI p sen ϕ − wLI p cos ϕ = 0
(2) (3)
fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos:
R 2 I p2 + ( wL) 2 I p2 = V p2 ⇒ I p =
Vp R 2 + (Lw) 2
e da eq. 3 temos,
RI p sen ϕ = − wLI p cos ϕ ⇒
ϕ = −arctg
wL R
portanto,
i (t ) =
Vp R 2 + ( Lw) 2
. cos(wt − arctg
wL ) R
podemos constatar que a corrente está atrasada de ϕ em relação à tensão.
3. Fasores. Definição: Fasor é um número complexo que representa uma tensão ou uma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidal em t=0.
82 O conceito fasor é baseado na identidade de Euler:
e ± jθ = cosθ ± j sen θ A transformada fasorial de uma tensão senoidal é feita da seguinte forma:
v = V p cos( wt + ϕ )
{ } = V ℜe{e e } = ℜe{V e ϕ e } = V p ℜe e j ( wt +ϕ ) jwt
jwt
p
j
jwt
p
Forma polar Fasor tensão
V& = V p e jϕ = V p ∠ϕ
Forma retangular
⇒ Transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio da freqüência. Ex.:
v1 (t ) = 100 cos( 2t + 50) [V]
V&2 = 20∠ − 63o [V]
V&1 = 100∠50 [V]
v2 (t ) = 20 cos( wt − 63o ) [V]
4. Excitação Complexa
rede v(t)
i(t)
linear
83
v1 (t ) = V p cos( wt + θ v )
⇒
i1 (t ) = I p cos( wt + θ i )
v2 (t ) = jV p sen( wt + θ v )
⇒
i2 (t ) = jI p sen( wt + θ i )
Utilizando o conceito de superposição
v(t ) = v1 (t ) + v2 (t ) = V p [cos(wt + θ v ) + j sen(wt + θ v )] = V p e j ( wt +θ v )
⇒
i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = I p [cos(wt + θ i ) + j sen(wt + θ i )] = I p e j ( wt +θi )
rede V pe
j ( wt + θ v )
I pe
j ( wt + θ i )
linear jwt
Fator e aparece em todos os termos, o mesmo pode então ser suprimido ficando subentendido. Assim o circuito no domínio da freqüência é:
rede V pe
jθ v
I pe
linear
5. Elementos passivos no domínio da freqüência 5.1) Para o resistor.
jθ i
84
v (t )
i (t )
Utilizando uma excitação complexa do tipo
R
teremos uma corrente do tipo
v(t ) = V p e j ( wt +θv ) i (t ) = I p e j ( wt +θi )
Aplicando a Lei de Ohm
V p e j ( wt +θ v ) = R.I p e j ( wt +θi )
v(t ) = R.i (t ) ⇒
V p e jθ v = R.I p e jθi
⇒
no domínio da
freqüência:
V& = R.I& O circuito no domínio da freqüência é
I& V&
Tensão e corrente em fase
R
5.2) Para o indutor
i (t ) v (t )
L
Vpe
jθ v
= jLw.I p e
v(t ) = L
di (t ) dt d I p e j ( wt +θi ) dt = jLwI p e j ( wt +θi )
V p e j ( wt +θ v ) = L
I&
jθ i
V&
jLw
85
V& = jLw.I& = Lw.I&∠90 o
No indutor, a corrente esta atrasada de 90° em relação à tensão.
5.3) Para o capacitor
i (t ) = C
i (t ) v(t )
dv(t ) dt
I p e j ( wt +θi ) = C
C
d [V p e j ( wt +θ v ) ] = jCwV p e j ( wt +θ v ) dt
I p e jθi = jCwV p e jθv I& = jCwV&
I&
1 & V& = I jwC
V&
1 jCw
I& V& = ∠ − 90 o Cw No capacitor, a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente.
R
L i (t )
V p cos wt
86 No domínio da freqüência:
I& =
jLw
R
V p ∠0 o R + jwL
V p ∠0 o
=
R 2 + ( wL) 2 ∠arctg
I&
V p ∠ 0o
I& =
V p ∠0 o ∠ − arctg
Lw R
R 2 + ( wL) 2
i (t ) =
Vp R 2 + ( Lw) 2
cos(wt − arctg
6. Impedância ( Z ) e admitância ( Y ) a) Impedância( Z ) É a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente.
Z=
I& V&
Z
V& I&
( Ω)
Z é um número complexo mas não é um fasor
ℜe{Z } = A = resistência
Z = Z ∠θ = A + jB
Ιm{Z } = B = reatância
As impedâncias se associam da mesma forma que as resistências. Série
Z eq = Z1 + Z 2 + ... + Z n
Paralelo
1 1 1 1 = + + ... + Z eq Z1 Z 2 Zn
b) Admitância ( Y ) É a razão entre o fasor corrente e o fasor tensão em um elemento.
V&
Y =
Y
I& V&
( S ou
Ω
I&
Lw R
)
Lw ) R
87
I& = Y V&
Y =
1 Z
Y = Y ∠θ y = G + jB Condutância
Susceptância
Admitâncias se associam da mesma forma que as capacitâncias. Série
1 1 1 1 = + + ... + Yeq Y1 Y2 Yn
Paralelo
Yeq = Y1 + Y2 + ... + Yn
Observação:
Z = a + jb 1 1 a − jb Y = = = G + jB = 2 Z a + jb a + b2
G ≠a B ≠b
a a2 + b2 b B= 2 a + b2
G=
7. Análise de circuitos alimentados por fontes senoidais. Determinar o circuito equivalente no domínio da freqüência do circuito estudado. 7.1) Análise nodal Mesmo procedimento que no capítulo 4. 7.2) Análise de malha Idem capitulo 4. 7.3) Transformação de fontes Ver capítulo 4. 7.4) Teorema de Thèvenin ou Norton
88 obs.: fonte teste = fonte de amplitude I T e fase 0.
I&T = I T ∠0 o 7.5) Superposição
v R (t )
20Ω
5Ω
2H
20 sen( 20t
10 cos(10t o
+ 30 )
+ 60o )
15V
w = 10rad / s
V&1
20Ω
5Ω 10∠30
j 20Ω
o
V&1 =
5 10∠30 o 5 + ( j 20 // 20)
V&1 = 2,77∠ − 3,69 o V
w = 0rad / s
V&1′
20Ω ′ V&1 = −15V
5Ω
15V
89
w = 20rad / s
V&1″
20Ω j 40Ω
″ V&1 =
20∠60o
− 5 // j 40 20∠60 o 20 + (5 // j 40)
″ V&1 = −3,98∠ − 65,7 o V
′ ″ V&R ≠ V&1 + V&1 + V&1 pois não estão na mesma freqüência.
v R (t ) = 2,77 cos(10t − 3,69 o ) − 15 − 3,98 sen(20t − 65,7 o )V
8. Diagramas fasoriais São representações no plano complexo de todos os fasores de tensão e de corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagem entre os fasores tensões e correntes. Regra para construção dos diagramas:
• • • • •
No resistor a corrente está em fase com a tensão. No indutor a corrente está atrasada de 90° em relação a V. No capacitor a corrente está adiantada de 90° em relação a V.
90
Exemplo 1:
IC
IL V&
I0
IR
800μF
0,2mH
R
Use um ou mais diagramas fasoriais para determinar R para que a corrente no resistor I R fique atrasada de 45° em relação à corrente da fonte I 0 .
w = 5000rad / s I&o = I&L + I&C + I&R
I&C
& V p ∠0 o V I&L = = = V p ∠ − 90 o −3 Z L j 5000 × 0,2 × 10
I&S
I&C + I&L
V& I&C = = 4V p ∠90 o ZC
3Vp 45o 45
VP tg 45o =
V&
V I&R = P R
I&L
R
3VP
⇒
3VP =
VP R
⇒
I&R =
R = 0.333Ω
V p ∠0 o R
91 Exemplo 2: No circuito abaixo, o amperímetro indica 5 A. Adotando o fasor V& como referência, desenhar o diagrama fasorial e determinar V&S .
I&
I&2
5Ω
V&X V&
I&1 10 Ω
S
j 4Ω
V&
50
V& (20V )
65
I&2 (5 A)
θi
10
=
20 = 2A 10
V&X
I&
V& = j 4 × I&2 = 4 × 5 = 20V
V&X = 26,93
I&2 = 5 A
38
I& = I&1 + I&2 I& =
2 I&1 + I&2
θ i = arctg
2
= 5 2 + 2 2 = 5,39
I&2 −5 = arctg = −68.2 o &I1 2
V&X = 5 I& = 5 × 5,39 = 26,93
V&S = V&X + V& Componente horizontal de
V&S = V& + V&X cosθ i = 20 + 26,93 cos(−68,2 o ) = 30V o Componente vertical de V&S = V&X sen θ i = 26,93 sen(−68,2 ) = −25V
V&S = 30 2 + (−25) 2 = 39,05V
θi
θV
θi
V&
Re f
65
A
I&1 =
I&1 (2 A)
V&S = 39,05∠ − 39,8o [V ]
V&S
92
θ V = arctg S
− 25 = −39,8o 30
93
CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
94
1. Potência instantânea
i (t )
p (t ) = v(t ) i (t )
rede linear
v (t )
2. Potência média p (t )
P=
t0 + T
1 ∫ p(t ) dt T t 0
t0
T
t (s)
3. Valores eficazes de corrente e tensão
Método para comparar a potência média dissipada num resistor alimentada por forma de onda diferente.
I0
R P1 = R I 02
I (t ) = I p cos(ω t + ϕ )
P2 = P1 se
R
i (t ) = I p cos(ω t + ϕ )
I p = I0 2 Verificação: Potência no resistor alimentado por CC
95
P1 = R I 02 Potência no resistor alimentado por CA
p (t ) = Ri (t ) 2 = R I p2 cos2 (ω t + ϕ )
1 ora cos 2 A = (1 + cos 2 A) 2
R I p2 = [1 + cos2(ω t + ϕ )] 2
P1 = P2 ⇔ R I 0 = 2
Ip
I0 =
2
R I p2 2
→ I p = I0 2
Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a potência que uma corrente constante de valor
Ip 2
I p dissipa
sobre um resistor.
Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza 2
⎛ I ⎞ 1 t +T 2 P = R ⎜ p ⎟ = R I rms = ∫t R i 2 (t ) dt T ⎝ 2⎠ 0
0
I rms =
1 t +T 2 ∫ i (t ) dt T t
Obs.: para senoide
0
0
I rms =
Ip 2
,
Vrms =
Vp 2
4. Potência em elementos passivos
a mesma
96
4.1. Caso geral (impedância qualquer)
ϕ = θv −θi
ο
v(t ) = Vp cosω t
I ο
V
Z= Z φ
°
°
I=
V Vp 0 Vp = = −φ = I p −φ Z Z ϕ Z i (t ) = I p cos(ω t − ϕ )
p (t ) = v(t ) i (t ) = Vp cos(ω t ) I p cos(ω t − ϕ ) 1 ⎡1 ⎤ p (t ) = Vp I p ⎢ cos(ω t − ω t + ϕ ) + cos(2ω t − ϕ ) ⎥ ,ora 2 ⎣2 ⎦ 1 cos Acos B = [ cos( A − B ) + cos( A + B )] 2 1 1 p (t ) = Vp I p cos(ϕ ) + Vp I p cos(2ω t − ϕ ) 2 2 p (t ) = Vrms I rms cos(ϕ ) + Vrms I rms cos(2ω t − ϕ ) ,ora
cos( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B p (t ) = Vrms I rms cos(ϕ ) + Vrms I rms [ cos(2ω t ) cos(ϕ ) + sin(2ω t )sin(ϕ ) ]
p (t ) = Vrms I rms cos(ϕ ) [1 + cos(2ω t )] + Vrms I rms sin(ϕ )sin(2ω t )
potência instantânea na parte resistiva de Z
•
potência instantânea na parte reativa de Z
Potência média:
1T P = ∫ p (t ) dt = Vrms I rms cos(ϕ ) , [ W ] T0 •
Potência reativa:
97 Valor de pico da potência instantânea da parte reativa.
Q = Vrms I rms sin(ϕ )
4.2. Circuito resistivo Tensão e corrente em fase.
θv = θi ⇒ ϕ = 0 . p (t ) = Vrms I rms [1 + cos(2ω t ) ] 1T PR = ∫ Vrms I rms [1 + cos(2ω t ) ] dt T0 Vrms2 2 PR = Vrms I rms = R I rms = R QR = 0 4.3. Circuito exclusivamente indutivo
θ v = 0 θ i = −90° ⇒ ϕ = 90° p (t ) = Vrms I rms sin(2ω t ) PL = 0
QL = Vrms I rms = X L I rms 2
Vrms2 = XL
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo
θ v = 0 θ i = 90° ⇒ ϕ = −90° p (t ) = −Vrms I rms sin(2ω t ) PC = 0
QC = −Vrms I rms = − X C I rms 2
Vrms2 =− XC
98
5. Potência aparente e fator de potência
a) Potência aparente:
S = Vrms I rms , [VA]
potência desenvolvida pela fonte.
b) Fator de potência: Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem entre a tensão e a corrente. Fp = cos(ϕ ) = cos(θ v − θ i ) [adimensional] Como a função coseno é uma função par, cos(θ v − θ i ) = cos(θ i − θ v ) . Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se a corrente da carga é adiantada em relação à tensão.
•
Fluxo da potência num circuito:
F o n t e
R
L
C Carga
•
Relações adicionais:
P = S cos(ϕ ) Q = S sin(ϕ ) S = P2 + Q2 Q tan(ϕ ) = P
99
6. Potência complexa
°
I = I rms θ i
φ = θv −θ i °
Z= Z φ
V = Vrms θ v
P = Vrms I rms cos(φ ) = Vrms I rms cos(θ v − θ i ) P = ℜ {Vrms I rms cos(θ v − θ i ) + jVrms I rms sin(θ v − θ i )}
P = ℜ {Vrms I rms e j (θ −θ ) } v
i
P = ℜ {Vrms e jθ I rms e − jθ } v
i
{ } ° ° *
P=ℜ V I P = ℜ {S }
° ° *
Definindo a potência complexa Portanto
P = ℜ {S } Q = Im {S } S=S Fp = cos(φ )
S =V I = S φ
S = P + jQ
100
•
Conservação da potência complexa: °
I ° ° *
°
°
I1
I2
S =V I °
(
°
°
*
S = V I1 + I 2
°
V
°
°
*
°
°
S = V I1 + V I 2 S = S1 + S 2
*
)
*
⇒ Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar todas as potências complexas de cada elemento. •
Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência complexa):
ϕ > 0→ S
Q
ϕ
P
•
Relações adicionais: °
°
V =ZI ° ° *
° ° *
S = V I = Z I I ⇒ S = Z I rms = 2
° * °
=V
V *
Z
⇒S=
Vrms *
Z
2 I rms
Y
2 *
= Y Vrms2
carga indutiva
101
7. Correção do fator de potência
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem alterar a energia útil absorvida pela carga.
S
Q S'
ϕ
Q'
ϕ'
P Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz a) Determinar a corrente da carga b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da capacitância requerida. c) Calcular a nova corrente da carga. Solução:
S 500 × 103 = = 36, 2 Arms a) I = V 13,8 × 103 °
= 500 × 103 53,13° VA = 300k + j 400k P = 300kW
b) S 1
Q = 400kVAR
cos(ϕ ) = 0,6 ⇒ ϕ = 53,13°
Q ' = arc cos(0,9) = 25,84° P = 333,33kVA S'= cos(ϕ ') Q ' = S 'sin(ϕ ') = 145,3kVAR
S ϕ
Q S' Q'
ϕ'
P
102
Potência reativa do capacitor:
QC = Q '− Q = −254,7 kVAR
Potência complexa no capacitor: °
°
°
*
SC =V C I C = P
0
C
+ jQC
C
°
V
°
°
*
V C I C = jQC ° °
VC
*
VC *
ZC
ZC =
= jQC ⇒
VC ZC
2 *
= jQC
* 1 1 ⇒ ZC = jcω − jcω
C=−
254,7 × 103 = 3,55μ F C=− 2π × 60 × −13,8 × 103
S ' 333,33 × 103 = = 24,15 A c) I ' = 13,8 × 103 V
QC 2π f VC
2
103
8. Transferência máxima de potência Objetivo: obter
Z L de modo que a potência ativa na carga seja máxima.
Z S = RS + jX S A
°
VS
Z L = RL + jX L
B
8.1 Carga puramente resistiva →
Z L = RL
ZS °
IL °
VS
RL
°
°
°
VS VS = IL = Z S + RL RS + jX S + RL VS IL = ( RS + RL ) 2 + X S2 Potência na carga:
RL VS2 PL = RL I L = ( RS + RL ) 2 + X S2 2
PL max se
dPL =0 dRL
104
RL = RS2 + X S2 = Z S 8.2 Carga com RL fixo e XL variável ZS A
°
IL °
RL
VS
jX L
B
° °
IL =
VS ( RS + RL ) + j ( X S + X L ) °
°
IL =
VS ( RS + RL ) 2 + ( X S + X L ) 2
105 Potência na carga: 2
PL = RL I L
2
RL VS = ( RS + RL ) 2 + ( X S + X L ) 2
PL max se X S = − X L
2
PL max
RL VS = ( RS + RL ) 2
8.3 Carga com RL variável e XL fixo
ZS A
RL
VS
jX L
B
IL =
VS
(R
S
PL =
(R
S
então
+ RL ) + ( X S + X L ) 2
RL VS
2
2
+ RL ) + ( X S + X L ) 2
RL = RS2 + ( X S + X L )
2
2
;
PL max se
dPL =0 dRL
106
8.4 Carga com RL variável e XL variável
ZS
°
RL
VS
jX L
PL =
(R
S
Fazendo Então:
RL VS
+ RL ) + ( X L + X S ) 2
2
X L variar: PL max para X L = − X S .
PL ' =
RL VS
(R
S
2
+ RL )
Em seguida, fazendo Então:
2
2
.
RL variar: PL max se
Z L = RS − jX S = Z S
*
.
dPL ' = 0 ⇔ RL = RS . dRL
107
CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS
108 1. Tensões trifásicas equilibradas • Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3 tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma freqüência mas defasadas entre si de 120º.
•
As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c.
•
Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase):
°
Vcn
°
Van
°
Vbn
Seqüência abc, positiva ou direta °
Van = VP 0° °
Vbn = VP −120° °
Vcn = VP +120° °
Vbn
°
Van
°
Vcn
Seqüência acb, negativa ou indireta °
Van = VP 0° °
Vbn = VP 120° °
Vcn = VP −120°
109
°
°
°
Van + Vbn + Vcn = 0
•
Tipos de ligações possíveis de um gerador 3φ ideal: a
a
°
Van
°
°
°
Vca
Vab
°
Vcn
Vbn
b
°
Vbc
b
c
c
tipo Δ
tipo Y 2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado) °
I aA
a
A
°
Van
Z
°
I Nn °
n
N
°
Vcn
Vbn
c
°
I bB
b
B
Z
Z
°
I cC
•
Tensões nas fases: Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos terminais de cada elemento. °
°
°
Na fonte: Van , Vbn , Vcn °
°
°
Na carga: VAN , VBN , VCN
•
Tensões de linhas: Tensões entre as linhas
C
110 °
°
°
Na fonte = na carga : Vab , Vbc , Vca .
•
Corrente no neutro: °
°
°
°
°
°
°
°
Van
Vbn
Vcn
I Nn = I aA + I bB + I cC
I Nn =
Z
+
Z
+
=
Z
° ° ⎞ 1⎛ ° ⎜ Van + Vbn + Vcn ⎟ = 0 Z⎝ ⎠
Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema equilibrado. Então:
⇒ Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode ser considerado como um curto circuito. ⇒ Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser colocado no circuito para efeito de cálculo. •
Relação entre as tensões de fase e de linha: Supondo seqüência ⊕ então: °
Van = VP 0° °
Vbn = VP −120° °
Vcn = VP 120° °
°
°
Sabendo que Vab = Van + Vnb °
°
= Van − Vbn = VP 0° − VP −120° ⎡3 3⎤ = VP − VP (cos(−120°) + j sin(−120°)) = VP ⎢ + j ⎥ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2
Logo °
Vab = 3 VP 30° °
Vbc = 3 VP −90° °
Vca = 3 VP 150°
°
da forma mais geral V fase = VP ϕ °
Vlinha = 3 VP φ + 30°
111 °
Vcn
°
Vab °
30°
Van
°
Vbn •
Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema equilibrado): a,b,c
A,B,C
°
Van °
Z
Vbn °
Vcn
n
N
3. Análise do circuito Y-Δ (equilibrado)
112 °
Van
°
I aA
a
A
ZΔ
ZΔ
°
Vbn
°
b
n
°
°
I AB
I bB
I CA ZΔ
C
°
B
I BC
c °
I cC
°
Vcn
Correntes de fase: ⎛
°
°
°
⎞
Na carga: ⎜ I AB , I BC , ICA ⎟ Na fonte:
⎝ ⎠ ⎛ ° ° ° ⎞ ⎜ I aA , I bB , I cC ⎟ ⎝ ⎠
Correntes de linhas: ⎛
°
°
°
⎞
Na carga = na fonte: ⎜ I aA , IbB , I cC ⎟ ⎝
•
⎠
Determinação das correntes de linhas: °
a,b,c
°
I aA I bB
A,B,C
°
I cC
Ex.: Z ZY = 3
°
I aA =
°
I bB =
n
N
Circuito monofásico equivalente
°
Van ZY °
Vbn ZY
°
I cC =
°
Vcn ZY
113 •
Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre correntes de linhas e correntes de fase: °
°
°
I aA = I AB − I CA °
°
Supondo seqüência ⊕: I AB = I p 0° °
I BC = I p −120° °
I CA = I p 120° °
I aA = I p 0° − I p 120° °
I aA = I p − I p (cos(120°) + j sin(120°)) ° ⎛3 3⎞ I aA = I p ⎜ − j ⎟ ⎜2 2 ⎟⎠ ⎝
°
I aA = 3 I p −30° °
I bB = 3 I p −150° °
I cC = 3 I p 90°
da forma mais geral, °
I fase = I p 0° °
I linha = 3 I p φ − 30°
Observação: se o gerador estiver ligado em Δ, substitui-se o mesmo por um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma.
a
a
220
220 120°
3
220 0° 220 3
−30°
90°
b 220 −120°
220
c
3
−150°
b c
seqüência ⊕ Vlinha = 3 V fase 30° ⇒ V fase =
Vlinha 3
−30°
114
4. Circuitos 3φ desequilibrados 4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro °
IA
A
ZA °
IN
N
ZC
°
IB
ZB
B C
°
IC
3 circuitos independentes. °
°
°
°
I N = I A + I B + IC ≠ 0
Neste caso
°
°
IA =
VAN
°
IB =
VBN
°
VCN
IC =
ZA °
ZB °
ZC
4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro
115 °
Van
°
IA ZA
°
I1
Vbn
°
IB ZB I2
ZC °
IC
°
Vcn
Utiliza-se o método das malhas. °
°
I A = I1
°
°
°
°
I B = I 2 − I1
°
IC = − I 2
4.3. Carga desequilibrada em Δ
•
Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o circuito Δ por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas. Zg
Zg
Z2
Z1
Z3
Zg
•
Conhece-se as tensões de linha na carga:
⇔
116 °
Van
°
Ia
A °
I AB
Z1
°
Z2
Vbn Z3
B
C
°
Vcn °
I AB
°
V = AB Z1
°
I CA =
°
°
VCA
°
°
=> I a = ICA − I AB
Z2
5. Potência em sistema 3φ I A (t )
A
Z A = Z A φA Z B = Z B φB ZA
Z C = Z C φC
ZC I B (t )
Tensões de fase instantâneas: Correntes de fase instantâneas:
ZB
B
φ A, B ,C = θ vA,B ,C − θ iA,B ,C
C IC (t )
v AN (t ) = VAp cos(ω t + θ vA )
i AN (t ) = I Ap cos(ω t + θ iA )
v BN (t ) = VBp cos(ω t + θ vB )
i BN (t ) = I Bp cos(ω t + θ iB )
v CN (t ) = VCp cos(ω t + θ vC )
iCN (t ) = I Cp cos(ω t + θ iC ) 1 2
Sabendo que cos A cos B = [ cos( A + B) + cos( A − B)] Potências instantâneas em cada fase:
117 ⎡ ⎛ ⎢ PA (t ) = v AN (t ) iA (t ) = VA rms (t ) I A rms (t ) cos φ A + VA rms (t ) I A rms (t ) cos ⎢ 2 ⎜ ω t + θ v A ⎜ B B B B B B B B B ⎢⎣ ⎜⎝ C C C C C C C C C
Potência instantânea total: p(t ) = p A (t ) + pB (t ) + pC (t ) Potência ativa total:
P = PA + PB + PC = VA rms I A rms cos φ A + VB rms I B rms cos φ B + VC rms I C rms cos φC
5.1. Para um sistema equilibrado VA rms = VB rms = VC rms = Vrms Z A = Z B = Z C = Z ⇒ φ A = φ B = φC = φ I A rms = I B rms = I C rms = I rms
•
Potência instantânea: p(t ) = 3 Vrms I rms cos ϕ
•
Potência média: P = 3Vrms I rms cos ϕ
→ Para carga ligada em Y I fase = I linha
3 V fase = Vlinha PY = 3
Vlinha
I linha cos ϕ ⇒ PY = 3 Vlinha I linha cos ϕ
3
→ Para carga ligada em Δ V fase = Vlinha
3 I fase = I linha P =3
P =P Y
I linha 3
Vlinha cos ϕ ⇒ P = 3 I linha Vlinha cos ϕ
⎤ ⎞ ⎟ −φ ⎥ ⎟⎟ BA ⎥ ⎠ C ⎥⎦
118 Resumo: V e I em valores eficazes. Total
Por fase Potência ativa
Pf = V f I f cos ϕ
PT = 3 V f I f cos ϕ = 3 VL I L cos ϕ
Potência reativa
Q f = V f I f sin ϕ
QT = 3 V f I f sin ϕ = 3 VL I L sin ϕ
Potência aparente
S f = Vf I f
ST = 3V f I f = 3 VL I L
Potência complexa Fator de potência
°
°
°
°*
ST = 3V f I f
Fp = cos ϕ
Fp = cos ϕ
5.2. Para um sistema desequilibrado PT = PA + PB + PC
Potência ativa total: Potência reativa total:
QT = QA + QB + QC
Potência aparente total:
ST = PT2 + QT2
Fator de potência:
cos ϕT =
Potência complexa total:
°
°
PT ST °
°
ST = S A + S B + SC
6. Medida da potência média em um circuito 3φ
6.1. O Wattímetro
° °*
S f =V f I f
119
bobina da corrente (resistência baixa)
I
V
C A R G A
bobina da tensão (resistência alta)
Observação: Bobina da corrente em série com a carga Bobina da tensão em paralelo com a carga. W = V I cos(θ v − θ i )
6.2. O método dos dois Wattímetros
W1 a
W1 = Vac I a cos(θ vac − θ I a )
ou
b
W2 = Vbc I b cos(θ vbc − θ Ib ) P = W1 + W2
W2
Y
c
Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y: Seqüência ⊕ Van = V 0°
120 Vbn = V −120° Vcn = V 120° Z =Zϕ Vlinha = 3 V fase 30° °
Vbc = 3 Vbn 30° °
Vbc = 3 V −120° 30° °
Vbc = 3 V −90° °
°
Vac = − Vca °
Vca = 3 Vcn 30° °
Vca = 3 V 30° 120° °
Vca = 3 V 150° °
⇒ V = − 3 V 150° = 3 V 330° = 3 V −30° °
Ia = °
Ib =
°
Van Z
=
V 0° = I −ϕ Zϕ
=
V −120° = I −ϕ − 120° Zϕ
°
Vbn Z
W1 = 3 V I cos(−30° − (−ϕ )) W1 = VL I L cos(ϕ − 30°)
W2 = 3 V I cos(−90°(−ϕ − 120°)) W2 = VL I L cos(ϕ + 30°)
Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência da carga. W1 = VL I L [ cos(ϕ ) cos(30°) + sin(ϕ ) sin(30°) ]
W2 = VL I L [ cos(ϕ ) cos(30°) − sin(ϕ ) sin(30°) ]
(W2 + W1 ) = 2 VL I L cos(ϕ ) cos(30°) (W2 − W1 ) = −2 VL I L sin(ϕ ) sin(30°)
W2 + W1 cos(30°) cos(ϕ ) =− W2 − W1 sin(ϕ ) cos(30°)
121
3 cos(ϕ ) W2 + W1 − 3 2 =− = 1 W2 − W1 tan( ϕ) sin(ϕ ) 2 W1 − W2 tan(ϕ ) = 3 W1 + W2
⇒
W1 = W2 tan(ϕ ) = 0 ⇒ ϕ = 0 ⇒ cos(ϕ ) = 1 ⇒ carga
resistiva W1 = W2 com sinais apostos → carga reativa pura W1 > W2 ⇒ ϕ > 0 ⇒ carga indutiva W1 < W2 ⇒ ϕ < 0 ⇒ carga capacitiva
122
CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
123
1. Introdução
Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito ⇒ resposta em freqüência do circuito.
jLω
se ω = 0 ⇔
se ω = ∞ ⇔ 1 jCω
se ω = 0 ⇔
se ω = ∞ ⇔ Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa ⇒ circuitos de seleção de freqüência ou Filtros. Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, etc. Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda de passagem, filtro de banda de rejeição. Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de componentes passivos.
2. Filtros passa-baixas
124 R
L
Vi
Vo
R
C
Vi
Vo
Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de freqüência no domínio da freqüência. jLω
°
°
Vi
R
°
°
Vo
°
° RVi V R Vo = ⇒ H ( jω ) = °o = R + jLω R + jLω Vi
°
H ( jω ) =
R L jω +
R L
θ ( jω ) = − arctan
R L
⇒ H ( jω ) =
⎛R⎞ ⎟ ⎝L⎠
ω2 + ⎜
2
Lω R
Gráfico de amplitude: H ( jω ) 1
Banda passante
altas
1
Para freqüências o circuito deixa passar pouco sinal.
Banda rejeitada
2
0
ωc
ω
125
Gráfico de fase:
θ ( jω )
0
a
ω
−90°
à
Tensão de saída atrasada de 90º em relação à tensão de entrada. A freqüência limite entre a banda rejeitada e banda passante é chamada freqüência de corte ωc . Ela corresponde freqüência pela qual H ( jωc ) =
1 2
H max .⇔
Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo possível.
Razão da escolha de
•
H max 2
para definir ωc :
Potência máxima na saída: 2
PR =
•
1 VR max 2 R
Potência na saída quando ω = ωc : H ( jωc ) =
1 2
H max ⇒ Vo ⇒ VR ( jωc ) =
1 2
VR max
2
Pωc =
1 VR ( jωc ) R 2
2
⎛ 1 ⎞ VR max ⎟ 2 ⎜ 1 2 ⎠ = 1 VR max = ⎝ R R3 2 2 122 PR
Pωc =
1 PR 2
126 No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média fornecida à carga = 50% da potência média máxima. ωc = freqüência de meia potência.
⇒ Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima.
3. Filtros de banda de passagem
Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa. Exemplo:
L
C
i R
Vo
R
Vi
Vi
No domínio da freqüência: jLω
°
R
Vi
°
I=
1 jCω
°
V 1 ⎞ ⎛ R + j ⎜ Lω − C ω ⎟⎠ ⎝
°
i
C
L
Vo
127 °
H ( jω ) =
I °
V
H ( jω ) =
=
1 1 ⎞ ⎛ R + j ⎜ Lω − Cω ⎟⎠ ⎝
1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − C ω ⎠⎟ ⎝
1 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − C ω ⎟⎠ ⎝
1 ⎛ ⎜ Lω − Cω θ ( jω ) = − arctan ⎜ R ⎜⎜ ⎝
•
=
1
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
Freqüência de ressonância ω0 :
2
1 ⎛ ⎜ Lω − Cω − arc tan ⎜ R ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
128
Freqüência pela qual H ( jω ) é máxima. H max =
1 I = . R V
Na freqüência de ressonância a impedância equivalente do circuito é um resistor puro. As impedâncias do capacitor e do indutor têm módulos iguais e de sinais opostos. ⇒ a tensão de entrada e a corrente estão em fase. 1 ⎞ ⎛ Z eq = R + j ⎜ Lω − , como na ressonância Z eq (ω0 ) = R C ω ⎟⎠ ⎝ 1 1 ⇒ Lω0 − = 0 ⇒ ω0 = Cω0 LC
•
Freqüências de cortes ω1 e ω 2 Potência máxima = Potência na freqüência de ressonância P0 =
1 R I 2p max . 2
Freqüências de cortes = Freqüência para I = potência. 2
Pω1 = Pω2 =
1 ⎛ I p max ⎞ 1 I p max 1 = P0 R ⎜⎜ ⎟ = R ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2 2
I (ω1 ) = I (ω 2 ) =
I p max 2
=
2
Vp R 2
=
Vp 2R2
=
Vp R2 + R2
Vp
I=
1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ Lω − Cω ⎟⎠ ⎝
2
2
1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ R 2 = ⎜ Lω − ⎟ ⇒ R = ± ⎜ Lω − Cω ⎟ ω C ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 ⇒ Lω 22 − Rω 2 − = 0 a) R = Lω 2 − Cω 2 C R ± R2 +
ω2 =
2L R + R2 +
ω2 =
4L C 4L C
2L
b) R =
1 1 − Lω1 ⇒ Lω12 + Rω1 − = 0 Cω1 C
I p max 2
=freqüência ½
129
−R ± R2 +
ω1 =
4L C
2L −R + R2 +
ω1 =
•
4L C
2L
Banda passante Δω Largura de banda da passagem: Δω = ω 2 − ω1 =
R L
ω0 = ω1ω 2
•
Fator de qualidade Q Q=
ω0 Lω0 = Δω R
Q maior, circuito mais seletivo.
130
Bibliografia 1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1. 2) Fundamentos de análise de Circuitos Elétricos, David E. Johnson, John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil, Quarta Edição, 1994. ISBN 85-7054-047-7. 3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS Publisching Company, 1998. ISBN 0-534-95095-7. 4) Introdução à Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed. Prentice Hall do Brasil, 8a Edição, 1998. ISBN 85-7054-078-7. 5) Análise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. Pearson Education, 4a Edição, 2000. ISBN 85-346-0693-5. 6) Análise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973. 7) Circuitos Elétricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.