Anéis Zm

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Cap´ıtulo 1 Notas sobre os an´ eis Zm Estas notas complementam o texto principal, no que diz respeito ao estudo que a´ı se faz dos grupos e an´eis Zm . Referem algumas propriedades mais espec´ıficas dos suban´eis de Zm , e estabelecem resultados preliminares sobre homomorfismos e isomorfismos definidos nestas estruturas. 1.1 Subgrupos e Suban´ eis de Zm No contexto de um dado anel A, ´e em geral indispens´avel distinguir cuidadosamente os seus subgrupos, os seus suban´eis, e os seus ideais. Exemplo 1.1.1. No anel Z[i] dos inteiros de Gauss, note-se que • os imagin´ arios puros formam um subgrupo que n˜ao ´e subanel, e • os inteiros usuais formam um subanel que n˜ao ´e um ideal. Tal n˜ao ´e o caso nos an´eis Zm e em Z, onde qualquer subgrupo ´e um subanel, e qualquer subanel ´e um ideal. No que se segue, e quando no contexto de um destes an´eis (Zm ou Z), usaremos sobretudo o termo subanel, mas esta op¸c˜ao ´e essencialmente arbitr´aria. Recordamos que Zm tem precisamente um subanel com n elementos, para cada um dos divisores n de m. Em particular, o n´ umero de suban´eis de Zm ´e o n´ umero de divisores naturais de m, que ´e muito f´acil de calcular sabendo a factoriza¸c˜ao prima de m. O subanel de Zm com n elementos ´e gerado pela classe d, onde d = m/n, e portanto ´e formado pelas classes da forma dk, e designado por < d >. Exemplo 1.1.2. Z40 tem 8 suban´eis (subgrupos, ideais), porque 40 = 23 51 tem (3 + 1)(1 + 1) divisores naturais. O seu u ´nico subanel com 4 elementos ´e gerado por 10, porque 10 = 40/4. Temos neste caso < 10 >= {10, 20, 30, 0}. 1 ´ ZM CAP´ITULO 1. NOTAS SOBRE OS ANEIS 2 Quando m ´e claro do contexto, designamos por Bn o subanel de Zm com n elementos. Algumas das quest˜oes sobre Bn que desejamos esclarecer s˜ao: • Quais s˜ao os geradores de Bn ? • Quando ´e que Bn ´e unit´ario? • Sendo Bn unit´ario, qual ´e a sua identidade? Exemplo 1.1.3. ´ f´ E acil ver que em Z36 temos B3 =< 12 >=< 24 >, e portanto 24 ´e igualmente gerador de B3 . O subanel B3 n˜ao ´e unit´ario, e na verdade o produto de quaisquer dois dos seus elementos ´e sempre nulo (12x × 12y = 144xy = 0). 1.1.1 Geradores dos Suban´ eis de Zm Recorde-se do texto principal que no anel Zm , onde m = nd, < a >=< d >= Bn se e s´o se d = mdc(a, m), i.e., Teorema 1.1.4. Os geradores de Bn ⊆ Zm , onde m = nd, s˜ ao as classes dos inteiros a que satisfazem mdc(a, m) = d. Como a = dx e mdc(a, m) = mdc(dx, dn) = d, temos mdc(x, n) = 1. A contagem e c´alculo dos geradores a reduz-se assim `a contagem e c´alculo dos naturais 0 < x < n primos relativamente a n, que s˜ao em n´ umero de ϕ(n), onde ϕ ´e a cl´assica fun¸c˜ ao de Euler. Notamos que Bn tem tantos geradores quantos os geradores de Zn , e ´e igualmente f´acil de verificar que os restantes elementos n˜ao-nulos de Bn s˜ao divisores de zero. Exemplos 1.1.5. 1. Consideramos primeiro o caso de B12 em Z36 : • B12 =< 3 >, porque 36 = 3 × 12. • Os geradores de B12 s˜ao da forma a = 3x, com mdc(3x, 36) = 3, donde mdc(x, 12) = 1. • Os valores relevantes para x s˜ao 1, 5, 7 e 11, e portanto os geradores de B12 s˜ ao as classes 3, 15, 21 e 33. 2. No caso do subanel B9 do mesmo anel Z36 temos: • B9 =< 4 >, porque 36 = 4 × 9. • Os geradores de B9 s˜ao da forma a = 4x, com mdc(x, 9) = 1. • Os valores poss´ıveis para x s˜ao 1, 2, 4, 5, 7 e 8, e portanto os geradores de B9 s˜ ao as classes 4, 8, 16, 20, 28 e 32. ´ DE ZM 1.1. SUBGRUPOS E SUBANEIS 1.1.2 3 Suban´ eis Unit´ arios de Zm Como j´a vimos, em geral os an´eis Bn n˜ao s˜ao unit´arios, e portanto n˜ao podem ser sempre isomorfos ao correspondente anel Zn . Exemplos 1.1.6. 1. O u ´nico subanel n˜ ao-trivial de Z4 ´e B2 = {0, 2}. O anel B2 n˜ao ´e unit´ario, porque o produto de quaisquer dois dos seus elementos ´e sempre nulo: xy = 0 para quaisquer x, y ∈ B2 , donde B2 6' Z2 . 2. Os suban´eis n˜ ao-triviais de Z6 s˜ao B2 =< 3 >= {3, 0}, e B3 =< 2 >= {2, 4, 0}. Tanto B2 como B3 s˜ ao an´eis unit´arios, sendo 3 a identidade de B2 , e 4 a identidade de B3 . Temos na realidade B2 ' Z2 e B3 ' Z3 . 3. O subanel B12 em Z36 n˜ ao ´e unit´ ario. Podemos verificar este facto notando, por exemplo, que os produtos de elementos de B12 n˜ao reproduzem todos os 12 elementos de B12 : se x, y ∈ B12 ent˜ ao x = 3n e y = 3m, donde xy = 9nm ∈ B4 , que tem apenas 4 elementos. 4. O subanel B9 em Z36 ´e unit´ ario. Vimos nos exemplos 1.1.5 que B9 =< 28 >, e como 282 = 784 ≡ 28 (mod 36), temos 28k × 28 = 28k, ou seja, x × 28 = x, para qualquer x ∈ B9 . Passamos a estabelecer o seguinte resultado: Teorema 1.1.7. Sendo m = nd, ent˜ ao Bn ⊆ Zm ´e unit´ ario se e s´ o se mdc(n, d) = 1, e neste caso a sua identidade i ´e determinada por  (1.1.7.1) i ≡ 0 (mod d) e i ≡ 1 (mod n). Demonstra¸c˜ ao. Temos duas afirma¸c˜oes a provar: ´ • Supomos primeiro que Bn ⊆ Zm ´e unit´ario, com identidade i. E evidente que d ∈ Bn , e portanto i × d = d, ou seja, id ≡ d (mod m). Notamos que esta u ´ltima congruˆencia ´e equivalente a (a) i ≡ 1 (mod n). Como i ∈ Bn =< d >, ´e igualmente claro que d|i, ou seja, (b) i ≡ 0 (mod d). Segue-se de (b) que i = dx, e de (a) que dx ≡ 1 (mod n), donde d tem inverso (mod n), e portanto mdc(n, d) = 1. ´ ZM CAP´ITULO 1. NOTAS SOBRE OS ANEIS 4 • Supomos agora que mdc(n, d) = 1, e recordamos que o Teorema Chinˆes do Resto garante a existˆencia de uma solu¸c˜ao i para o sistema (1.1.7.1), que ´e ali´as u ´nica (mod m). Para mostrar que i ´e a identidade de Bn , notamos que (1) i satisfaz a equa¸c˜ao i2 = i, porque, como d|i e n|(i − 1), ´e claro que m|i(i − 1) = i2 − i, ou seja, i2 ≡ i (mod m). (2) i ´e um gerador de Bn , porque como i ≡ 1 (mod n) ent˜ao mdc(x, n) = 1, donde mdc(i, m) = mdc(dx, dn) = d. (3) De acordo com (2) qualquer elemento b ∈ Bn ´e da forma b = ik, e de acordo com (1) temos b×i = ik×i = i2 k = ik = b. Conclu´ımos assim que i ´e efectivamente a identidade de Bn . Corol´ ario 1.1.8. As identidades dos suban´eis unit´ arios de Zm s˜ ao as solu¸c˜ oes 2 da equa¸c˜ ao x = x em Zm . Demonstra¸c˜ ao. Vimos na demonstra¸c˜ao do teorema anterior que a identidade de Bn ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao x2 = x em Zm . Resta-nos por isso mostrar que qualquer solu¸c˜ao da equa¸c˜ao x2 = x em Zm ´e identidade de algum subanel de Zm . Supomos para isso que i2 = i em Zm , ou seja, i(i − 1) = 0, ou ainda, i(i − 1) ≡ 0 (mod m). Sendo d = mdc(i, m), ´e ´obvio que i ≡ 0 (mod d). Escrevemos m = dn e i = dx, e notamos que i(i − 1) ≡ 0 (mod m) ⇔ x(i − 1) ≡ 0 (mod n). Como mdc(x, n) = 1, segue-se que i−1 ≡ 0 (mod n), e conclu´ımos que i ≡ 0 (mod d) e i ≡ 1 (mod n). Em particular, e de acordo com a demonstra¸c˜ao anterior, temos mdc(n, d) = 1 e Bn ´e um anel unit´ario com identidade i. Exemplos 1.1.9. 1. Os suban´eis triviais de Zm , ou seja, {0} e Zm , s˜ao unit´arios, e correspondem as decomposi¸c˜ ` oes d = m, n = 1, e d = 1, n = m. 2. O anel Zm tem suban´eis n˜ao-triviais unit´arios se e s´o se m tem mais do que ´ f´ um divisor primo. E acil ver que se m tem n divisores primos distintos ent˜ao n Zm tem 2 suban´eis unit´arios, incluindo os suban´eis triviais. 3. 4 dos 9 suban´eis de Z36 s˜ao unit´arios. Os suban´eis unit´arios n˜ao triviais s˜ao B4 e B9 . 1.2. HOMOMORFISMOS DEFINIDOS EM ZM 5 • A identidade de B9 calcula-se resolvendo o sistema   i ≡ 0 (mod 4) 1 + 9x ≡ 0 (mod 4) ⇔ ⇔ i ≡ 1 (mod 9) i = 1 + 9x  x ≡ 3 (mod 4) ⇔ i = 1 + 9x  x = 3 + 4y ⇔ i ≡ 28 i = 1 + 9(3 + 4y) (mod 36) • A A identidade de B4 calcula-se resolvendo o sistema   i ≡ 0 (mod 9) i = 9x ⇔ ⇔ i ≡ 1 (mod 4) 9x ≡ 1 (mod 4)  i = 9x ⇔ x ≡ 1 (mod 4)  i = 9(1 + 4y) ⇔i≡9 x = 1 + 4y (mod 36) 4. Se m = nd e mdc(n, d) = 1 ent˜ao as identidades in de Bn e id de Bd satisfazem in + id = 1 e in × id = 0 (porquˆe?). Em particular, x2 − x = (x − in )(x − id ) no anel Zm [x]. Continuando o exemplo anterior, temos em Z36 que x2 − x = (x − 9)(x − 28). 1.2 Homomorfismos definidos em Zm Supomos aqui que A ´e um qualquer grupo (resp., anel). Propomo-nos determinar os homomorfismos de grupo (resp., de anel) φ : Zm → A. Come¸camos por estudar o problema mais simples dos 1.2.1 Homomorfismos definidos em Z Supondo que G ´e um grupo, ´e muito f´acil verificar que Teorema 1.2.1. Para qualquer elemento a ∈ G existe um u ´nico homomorfismo ψ : Z → G tal que ψ(1) = a ∈ G.(1 ). Demonstra¸c˜ ao. Usando nota¸c˜ao multiplicativa para o grupo G, temos que se ψ ´e um homomorfismo e ψ(1) = a ∈ G ent˜ao • ψ(n) = an para qualquer n ∈ N (por indu¸c˜ao) • ψ(0) = 1 = a0 , e • ψ(−n) = ψ(n)−1 = a−n para qualquer n ∈ N. Conclu´ımos assim que ψ(n) = an para qualquer n ∈ Z. Como esta fun¸c˜ao ´e um homomorfismo de grupos, existe um u ´nico homomorfismo que satisfaz a condi¸c˜ao ψ(1) = a. 1´ E por esta raz˜ ao que Z ´e o chamado grupo livre no conjunto X com um elemento. ´ ZM CAP´ITULO 1. NOTAS SOBRE OS ANEIS 6 Claro que escrevemos ψ(n) = na se G ´e um grupo aditivo, em particular se G = A ´e um anel. Notamos que: • ψ(Z) =< a > ´e o subgrupo c´ıclico de G gerado por a, e portanto ψ ´e sobrejectivo se e s´o se G ´e c´ıclico e ´e gerado por a. Registamos que G ´e c´ıclico se e s´o se existe um homomorfismo sobrejectivo ψ : Z → G. • ψ ´e injectivo se e s´o se o grupo gerado por a ´e infinito, caso em que (Z, +) '< a >. Em particular, qualquer grupo c´ıclico infinito ´e isomorfo ao grupo aditivo dos inteiros. • Se G = A ´e um anel, a ∈ A e ψ(n) = na, ent˜ao ψ ´e um homomorfismo de anel se e s´o se a2 = a, e neste caso a ´e a identidade do subanel B =< a >. Exemplos 1.2.2. 1. A fun¸c˜ ao f2 : Z → Z6 dada por f2 (x) = 2x ´e um homomorfismo de grupos. Existem exactamente 6 homomorfismos de grupo, dados por fk (x) = kx. 2. Como Z6 s´ o tem os geradores 1 e 5, apenas os homomomorfismos f1 e f5 s˜ao sobrejectivos. 3. Temos em Z6 que x2 = x se e s´o se x ∈ {0, 1, 3, 4}. Conclu´ımos assim que os homomorfismos f0 , f1 , f3 e f4 s˜ao de anel. 4. Existem 1000 homomorfismos de grupo f : Z → Z1000 , cada um da forma f (x) = ax, onde a = f (1) ∈ Z1000 . Como Z1000 tem ϕ(1000) = 400 geradores (elementos invert´ıveis), 400 destes homomorfismos s˜ao sobrejectivos, porque se a ∈ Z∗1000 ent˜ ao f (Z) =< a >= Z1000 . 5. Z1000 tem 2 suban´eis unit´arios n˜ao triviais, que s˜ao B125 e B8 . As respectivas identidades obtˆem-se de: B125 : i ≡ 0 (mod 8) e i ≡ 1 (mod 125) ⇔ i ≡ 376 (mod 1000), e B8 : i ≡ 0 (mod 125) e i ≡ 1 (mod 8) ⇔ i ≡ 625 (mod 1000). Existem portanto quatro homomorfismos de anel f : Z → Z1000 , dados por f0 (x) = 0, f1 (x) = x, f376 (x) = 376x e f625 (x) = 625x. 6. Em geral, se f : Z → A ´e um homomorfismo, e f (Z) tem n elementos, ent˜ao N (f ) =< n >. Porquˆe? 1.2.2 Homomorfismos definidos em Zm Suponha-se que G ´e um grupo multiplicativo. As seguintes observa¸c˜oes s˜ao simples mas fundamentais: • Tal como no caso de Z, qualquer homomorfismo ψ : Zm → G ´e determinado pelo seu valor ψ(1) = a ∈ G, porque, sendo n ∈ Z, temos necessariamente nψ(1) = an = ψ(n). 1.2. HOMOMORFISMOS DEFINIDOS EM ZM 7 • Contrariamente ao que observ´amos no caso de Z, o valor a ∈ G n˜ao ´e arbitr´ario, porque quando n = m ´e indispens´avel que mψ(1) = am = ψ(m) = ψ(0) = 1, ou seja, a tem que satisfazer a equa¸c˜ao am = 1.(2 ) • Se am = 1 ent˜ao podemos definir ψ(r) = ar para 0 ≤ r < m, e notamos que a equa¸c˜ao ψ(n) = an ´e v´alida para qualquer n = mq+r ∈ Z, donde se segue que ψ ´e um homomorfismo de grupos. Conclu´ımos que Teorema 1.2.3. Dado a ∈ G com am = 1 existe um u ´nico homomorfismo ψ : Zm → G tal que ψ(1) = a, dado por ψ(n) = an , para qualquer n ∈ Z. ´ claro que em nota¸c˜ao aditiva escrevemos ψ(n) = na, e devemos ter E ma = 0. Notamos ainda que • O homomorfismo ψ ´e sobrejectivo se G ´e gerado por a, i.e., se e s´o se G ´e c´ıclico, e a ´e um dos seus geradores. • ψ ´e injectivo quando m ´e o menor natural tal que am = 1. Isto ocorre exactamente quando o subgrupo < a > gerado por a tem m elementos, e neste caso ψ : Zm →< a > ´e um isomorfismo. • Registamos em particular que se G ´e um grupo c´ıclico de m elementos gerado por a ent˜ao ψ(n) = an ´e um isomorfismo entre Zm e G, ou seja, qualquer grupo c´ıclico com m elementos ´e isomorfo a Zm . (3 ) • Continuando a observa¸c˜ao anterior, podemos concluir que os grupos Rn (das ra´ızes-n da unidade), Bn e Zn s˜ao isomorfos. • Se G = A ´e um anel, o homomorfismo de grupo ψ : Zm → G ´e de anel se e s´o se a2 = a, e neste caso a ´e a identidade do anel gerado por a. Exemplos 1.2.4. 1. Para determinar os homomorfismos φ : Z8 → S3 , notamos que s˜ao da forma φ(n) = π n , onde π ∈ S3 , e π 8 = 1. Notamos que π 8 = 1 s´o ocorre quando π ´e a identidade de S3 , ou quando π ´e uma das 3 transposi¸c˜oes α, β e γ. Existem por isso 4 homomorfismos φi : Z8 → S3 , dados por φ1 (n) = 1, φα (n) = αn , φβ (n) = β n , φγ (n) = γ n . 2. Para determinar os homomorfismos φ : Z8 → Z20 , notamos que s˜ao da forma ψ(n) = na, onde a ∈ Z20 , e 8a = 0. Temos 8a = 0 ⇔ 20|8a ⇔ 5|2a ⇔ 5|a, 2 Note que estas observa¸c˜ oes s˜ ao aplic´ aveis a qualquer grupo c´ıclico. Se H ´e c´ıclico, e β ´e um seu gerador, ent˜ ao H = {β n : n ∈ Z}, e qualquer homomorfismo ψ : H → G fica ´ claro que se β m = 1 ent˜ determinado por a = ψ(β), porque ψ(β n ) = an . E ao devemos ter m igualmente a = 1. 3 Vimos j´ a que qualquer grupo c´ıclico infinito ´e isomorfo a Z (ou Z0 ). Podemos por isso dizer que os grupos c´ıclicos s˜ ao (a menos de isomorfismos) os grupos Zm , com m ≥ 0. 8 ´ ZM CAP´ITULO 1. NOTAS SOBRE OS ANEIS e conclu´ımos que a = 5k = 5, 10, 15, ou 20 = 0. Existem portanto 4 homomorfismos, dados por f1 (n) = 5n, f2 (n) = 10n, f3 (n) = 15n, e f4 (n) = 0. Destes, apenas f1 e f4 s˜ ao homomorfismos de an´eis. 3. As imagens e n´ ucleos dos homomorfismos acima referidos s˜ao • f1 (Z8 ) =< 5 >, com 4 elementos, N (f1 ) =< 4 >, com 2 elementos, • f2 (Z8 ) =< 10 >, com 2 elementos, N (f2 ) =< 2 >, com 4 elementos, • f3 (Z8 ) =< 3 >=< 5 >, N (f3 ) =< 4 >, e • f4 (Z8 ) =< 0 >= {0}, N (f4 ) = Z8 . 4. Podemos generalizar estas observa¸c˜oes como se segue: Sendo d = mdc(n, m) e m = dk, os homomorfismos φ : Zn → Zm s˜ ao da forma φ(x) = ax, onde a ´e um qualquer m´ ultiplo de k. Basta notar que m|na ⇔ k|a. 5. Se d ´e um divisor comum de n e de m, existem homomorfismos φ : Zn → Zm tais que φ(Zn ) = Bd ⊆ Zm .Por exemplo, para determinar φ : Z30 → Z45 com φ(Z30 ) = B5 , podemos tomar φ(x) = 9x. Existem na realidade 4 homomorfismos poss´ıveis, j´a que B5 tem 4 geradores, sendo que um deles ´e um homomorfismo de anel, porque B5 ´e um anel unit´ario. 6. Continuando a observa¸c˜ao anterior, suponha-se que Zm tem um subanel Bn e m = nd. A fun¸c˜ ao φ : Zn → Zm dada por φ(x) = dx ´e um homomorfismo ´ portanto evidente que os grupos injectivo de grupos e φ(Zn ) =< d >= Bn . E (Bn , +) e (Zn , +) s˜ ao isomorfos, como ali´as j´a observ´amos anteriormente. N˜ao se segue deste resultado que os an´eis Bn e Zn sejam isomorfos, mas ´e f´acil adaptar este argumento para mostrar que estes an´eis s˜ao isomorfos desde que Bn seja unit´ ario, para o que basta redefinir φ(x) = ix, sendo i a identidade de Bn . 7. A fun¸c˜ ao φ : Zn → Zm dada por φ(x) = x ´e um homomorfismo (ali´as, sempre um homomorfismo sobrejectivo de an´eis) se e s´o n1 = 0 em Zm , i.e., se e s´o se m|n. 8. Suponha-se que G = A ´e um anel unit´ario, com identidade I e caracter´ıstica ´ f´acil concluir que Zm ' ψ(Zm ), e m, e ψ : Zm → A ´e dado por ψ(k) = kI. E em particular deduzir que qualquer anel com m elementos e caracter´ıstica m ´e isomorfo a Zm . 9. Analogamente, podemos mostrar que se A ´e um anel unit´ario com m elementos e (A, +) ´e um grupo c´ıclico ent˜ao os an´eis A e Zm s˜ao isomorfos, o que generaliza a observa¸c˜ao sobre o isomorfismo entre Bn e Zn quando Bn ´e unit´ ario. ´ f´ 10. E acil obter propriedades de uma qualquer grupo c´ıclico a partir das correspondentes propriedades do grupo Zm apropriado. Por exemplo, conhecendo os subgrupos de Z8 , e um isomorfismo ψ8 : Z8 → R8 , ´e f´acil descrever todos os subgrupos de R8 : • Z8 tem 4 subgrupos, que s˜ao < 1 >, < 2 >, < 4 >, e < 0 >. • A fun¸c˜ ao ψ8 : Z8 → R8 dada por ψ8 (n) = αn ´e um isomorfismo, desde que α seja um gerador de R8 , e podemos tomar α = eiπ/4 . 1.2. HOMOMORFISMOS DEFINIDOS EM ZM 9 Conclu´ımos que os subgrupos de R8 s˜ao ψ8 (< 1 >) =< α >= R8 , ψ8 (< 2 >) =< α2 >= {α2 , α4 , α6 , 1} = R4 , ψ8 (< 4 >) =< α4 >= {α4 , 1} = R2 , ψ8 (< 0 >) =< α0 >= {1}. Analogamente, como os geradores de Z8 s˜ao 1, 3, 5, e 7, conclu´ımos que • Os geradores de R8 s˜ ao α, α3 , α5 , e α7 . Para um exemplo algo mais complexo, determin´amos acima os homomorfismos de grupo de Z8 → Z20 . Podemos daqui obter os homomorfismos de R8 → R20 : • Se β ´e um gerador de R20 (e.g., β = eiπ/10 ), ent˜ao ψ20 : Z20 → R20 dada por ψ20 (n) = β n ´e um isomorfismo de grupos, • ψ8−1 : Z8 → R8 dada por ψ8−1 (αn ) = n ´e um isomorfismo de grupos, • Os homomorfismos de Z8 → Z20 s˜ao como vimos as fun¸c˜oes fk : Z8 → Z20 da forma fk (n) = 5kn. Podemos assim concluir que os homomorfismos de R8 → R20 s˜ao da forma φk = ψ20 ◦ fk ◦ ψ8−1 , ou seja, φk (αn ) = β 5kn , tal como ilustrado no diagrama seguinte. fk (n)=5kn ZO 8 ψ8−1 (αn )=n / Z20 ψ20 (n)=β n  R8 _ _ _ _ _ _n _ _5kn_ _ _ _/ R20 φk (α )=β Existem assim 4 homomorfismos φ : R8 → R20 , dados por φ1 (αn ) = β 5n , φ2 (αn ) = β 10n , φ3 (αn ) = β 15n , e φ4 (αn ) = 1. Note-se a t´ıtulo de curiosidade que, como β 5 = α2 , temos φk (αn ) = α2kn , i.e., φk (z) = z 2k (4 ). As fun¸c˜ oes aqui referidas s˜ao portanto φ1 (z) = z 2 , φ2 (z) = z 4 , φ3 (z) = z 6 , e φ4 (z) = z 8 = 1. Recordamos finalmente que a projec¸c˜ao can´onica πm : Z → Zm ´e um homomorfismo sobrejectivo de an´eis. Se φ : Zm → A ´e um homomorfismo de grupo (resp. de anel), ent˜ao a fun¸c˜ao composta ψ = φ ◦ πm : Z → A ´e um homomorfismo do mesmo tipo, e na realidade o teorema 1.2.3 pode ser reformulado como se segue 4´ E simples generalizar esta observa¸c˜ ao ao c´ alculo dos homomorfismos de Rn → Rm , para quaisquer valores de n e de m. ´ ZM CAP´ITULO 1. NOTAS SOBRE OS ANEIS 10 Teorema 1.2.5. Os homomorfismos de grupo (resp., de anel) φ : Zm → A s˜ ao da forma φ(x) = ψ(x), onde ψ : Z → A ´e um homomorfismo de grupo (resp., de anel) tal que N (πm ) ⊆ N (ψ), i.e., tal que m ∈ N (ψ). ψ Z πm  w w w w w w w w w w w w w w / w; A φ Zm Esta vers˜ao ´e facilmente generaliz´avel, como veremos, a quaisquer grupos e an´eis quociente.