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Campus - Mossoró Profª Adricia Fonseca Mendes
Algoritmo Simplex – Continuação
Problemas de PL nos quais todas as restrições são (≤) com lados direitos não negativos oferecem uma solução básica viável conveniente na qual todas as variáveis são de folga. Isso não acontece com os modelos que envolvem restrições (=) e/ou (≥).
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a
O Procedimento para iniciar a resolução de problemas de PL ‘mal comportados’ com restrições (=) e/ou (≥) é usar variáveis artificiais que desempenham o papel de folgas na primeira iteração e então descartá-las legitimamente em iterações posteriores. Dois métodos fortemente utilizados: M-grande e Método das duas fases. Iremos aprender o método das duas fases.
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a
Fase I tenta achar uma solução básica viável inicial e, se ela for encontrada, a Fase II é invocada para resolver o problema original.
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a
Fase I: o Expresse o problema na forma de equações e adicione as variáveis artificiais necessárias para garantir uma solução básica inicial; o Em seguida, ache um solução básica com as equações resultantes que, independentemente do problema de PL ser de maximização ou minimização, sempre minimizará a soma das variáveis artificiais; oSe o valor mínimo da soma for positivo, o problema de PL não tem nenhuma solução viável, o que encerra o processo (lembre-se de que uma variável artificial positiva significa que uma restrição original não foi satisfeita). Caso contrário, passe para a Fase II. 5
a
Fase II: o Use a solução viável da Fase I como uma solução básica Viável inicial para o problema original.
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Minimizar z = 4x1+ x2 Sujeito a: 3x1 + x2 = 3 4x1+ 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥0
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Forma Padrão Minimizar z = 4x1+ x2 Sujeito a: 3x1 + x2 = 3 4x1+ 3x2 - x3 =6 x1 + 2x2 +x4 = 4 x1, x2 , x3 , x4 ≥0
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Adicionando variáveis artificiais
(Fase I) Minimizar z = 4x1+ x2 Sujeito a: 3x1 + x2 + R1 =3 4x1+ 3x2 x3 + R2 = 6 x1 + 2x2 + x4 =4 x1, x2 , x3 , x4 , R1 , R2 ≥ 0
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Minimize a soma das variáveis artificiais (Fase I) Minimizar w = R1+ R2
(0)
Sujeito a: 3x1 + x2 + R1 =3 4x1+ 3x2 x3 + R2 = 6 x1 + 2x2 + x4 =4 x1, x2 , x3 , x4 , R1 , R2 ≥ 0
(1) (2) (3) (4)
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Fase I A tabela associada é dada Variável básica z R1
Nº da x1 equação 0 0 1 3
0 1
Coeficientes x3 R1 0 -1 0 1
-1 0
0 0
0 3
x2
R2
x4
Valor
R2
2
4
3
-1
0
1
0
6
x4
3
1
2
0
0
0
1
4
• É necessário transformar as colunas de R1 e R2 em uma base canônica.
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Fase I
Variável básica z R1
Nº da x1 equação 0 7 1 3
4 1
Coeficientes x3 R1 -1 0 0 1
0 0
0 0
9 3
x2
R2
x4
Valor
R2
2
4
3
-1
0
1
0
6
x4
3
1
2
0
0
0
1
4
=Eq.0+(Eq.1+Eq.2)
•Fazendo as operações normais no algoritmo simplex, teremos:
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– Fase I Entra
Variável básica z R1
Nº da x1 equação 0 7 1 3
4 1
Coeficientes x3 R1 -1 0 0 1
0 0
0 0
9 3
3/3=1
x2
R2
x4
Valor
R2
2
4
3
-1
0
1
0
6
6/4=1,5
x4
3
1
2
0
0
0
1
4
4/1=4
Sai
Pivô
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– Fase I
x2 5/3 1/3
Coeficientes x3 R1 -1 - 7/3 0 1/3
R2 0 0
x4 0 0
0
5/3
-1
- 4/3
1
0
5/3
0
- 1/3
0
Variável básica z x1
Nº da equação 0 1
x1 0 1
R2
2
x4
3
Valor 2 1
(-7)Eq.1+Eq.0
0
2
(-4)Eq.1+Eq.2
1
3
(-1)Eq.1+Eq.3
÷3
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– Fase I Entra
x2 5/3 1/3
Coeficientes x3 R1 -1 - 7/3 0 1/3
R2 0 0
x4 0 0
0
5/3
-1
- 4/3
1
0
5/3
0
- 1/3
0
Variável básica z x1
Nº da equação 0 1
x1 0 1
R2
2
x4
3
Valor 2 1
1/(1/3)=3
0
2
2/(5/3)=1,2
1
3
3/(5/3)=1,8
Pivô
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Sai
– Fase I
Coeficientes x3 R1 0 -1 1/5 3/5
Variável básica z x1
Nº da equação 0 1
x1 0 1
x2 0 0
x2
2
0
1
- 3/5
x4
3
0
0
1
R2 -1 - 1/5
x4 0 0
- 4/5
3/5
1
-1
Valor 0 3/5
(-5/3)Eq.2+Eq.0
0
6/5
÷ (5/3)
1
1
(-1/3)Eq.2+Eq.1 (-5/3)Eq.2+Eq.3
Neste ponto, as variáveis artificiais concluíram sua missão e podemos eliminar totalmente sua colunas e passar para Fase II.
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Fase II Após eliminar as colunas artificiais, escrevemos o problema original como
Minimizar z = 4x1+ x2 Sujeito a: x1 + (1/5)x2 = 3/5 x2 –(3/5) x3 =6/5 x1 + x4 = 1 x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0
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Fase II A tabela associada é dada Coeficientes x2 x3 -1 0 0 1/5
Variável básica z x1
Nº da equação 0 1
x1 -4 1
x2
2
0
1
- 3/5
0
6/5
x4
3
0
0
1
1
1
x4 0 0
Valor 0 3/5
• É necessário transformar as colunas de x1 e x2 em uma base canônica. •Continuem resolvendo. 18
Referência • Taha, H. A. Pesquisa Operacional São Paulo: Pearson, 2008.
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