Transcript
Vibrações
6. SISTEMAS DE 2 GRAUS DE LIBERDADE 6.1 Introdução : Sistemas que requerem 2 ou mais coordenadas independentes para descrever o seu movimento são denominados "Sistemas de N Graus de Liberdade". Para se calcular o número de graus de liberdade (GDL) pode-se usar a seguinte regra: Número GDL de massas do Sistema = envolvidas no Sistema
Número de possíveis tipos de movimentos para cada massa
Sistemas com 2 Graus de Liberdade (2 GDL) podem ser formulados e resolvidos por meio de equações diferenciais com 2 variáveis de deslocamento, sendo uma para cada GDL. Em diversos sistemas, estas equações estão acopladas, isto é, cada equação envolve a utilização de ambas as variáveis de deslocamento. Se em cada deslocamento, uma solução harmônica é adotada, as equações dinâmicas geram uma expressão que permite calcular as 2 freqüências naturais do sistema.
6.2 Vibração Livre de um Sistema Não Amortecido
k1 m1 x1
k2 m2 k3
Prof. Airton Nabarrete
x2
m1
→
m1 x1 =− k1 x1 − k 2 ( x1 − x2 )
m2
→
m2 x2 =− k 3 x2 − k 2 ( x2 − x1 ) Pag. 54
Vibrações
Reescrevendo, temos :
m1 x1 + (k1 + k 2 )x1 =k 2 x2 m2 x2 + (k 2 + k3 )x2 =k 2 x1 Adotam-se soluções harmônicas para x1 e x2 :
x2 = X 02 sen (ωt )
x1 = X 01 sen (ωt ) Derivando temos: x1 = −ω 2 X 01 sen (ωt )
x2 = −ω 2 X 02 sen(ωt )
e
− m1ω 2 X 01 + (k1 + k 2 ) X 01 = k 2 X 02
→
(1)
− m2ω 2 X 02 + (k 2 + k3 )X 02 = k 2 X 01
→
(2)
Através de manipulação algébrica, em seguida, vem:
de (1) →
X 02 (k1 + k 2 ) − m1ω 2 = X 01 k2
de (2 ) →
X 02 k2 = X 01 (k 2 + k3 ) − m2ω 2
∴
(k1 + k 2 ) − m1ω 2 k2
=
k2 (k2 + k3 ) − m2ω 2
(m1m2 ) ω 4 − { (k1 + k 2 ) m2 + (k 2 + k3 ) m1 } ω 2 + { (k1 + k 2 )(k 2 + k3 ) − k 22 } = 0 A equação acima é denominada equação característica e a solução desta equação indica as freqüências naturais do sistema. As raízes da equação acima são dadas por: 1 (k + k ) m + (k 2 + k3 ) m1 ω12 ,ω 22 = 1 2 2 2 m1m2 2 (k1 + k 2 )(k 2 + k3 ) − k 22 1 (k1 + k 2 ) m2 + (k 2 + k3 ) m1 ± − 4 2 m1m2 m1m2
Prof. Airton Nabarrete
1
2
Pag. 55
Vibrações
Isto mostra que é possível ao sistema ter uma solução harmônica não trivial quando ω é igual a ω1 e ω2 que são as freqüências naturais do sistema. Cada uma destas freqüências representa um modo de vibração diferenciado. Para representar estes modos fazemos: (i ) X 02 − m1ω i2 + (k1 + k 2 ) = (i ) X 01 k2
Substituindo cada freqüência natural encontrada anteriormente, obtém-se a relação
X 02 X 01 para cada modo de vibração.
Exemplo 1: Com relação ao sistema massa-mola ao lado, encontrar as freqüências naturais e modos de vibração, sabendo que o sistema
k1 = k
move-se somente na vertical: Assume-se solução harmônica para a vibração livre.
m1 = 5 kg
Se forem medidos x1 e x2 a partir das posições de equilíbrio estático das massas m1 e m2, respectivamente, podem-se obter as equações de
x1
k2 = k
movimento e as respectivas soluções para k1 = k 2 = k3 = 1000 N m .
m2 = 10 kg
As equações de movimento são:
m1 x1 + 2k x1 = k x2
→ 5 x1 + 2000 x1 = 1000 x2
m2 x2 + 2k x2 = k x1
→ 10 x2 + 2000 x2 = 1000 x1
x2
k3 = k
Assumem-se soluções harmônicas xi (t ) = X i cos(ωt ) , para i = 1,2 e substituindo-se nas equações com algumas manipulações algébricas, obtém-se: 50 ω 4 − 30000 ω 2 + 3000000 = 0 Cujas soluções são:
ω1 = 11,26 rad s ω 2 = 21,75 rad s As relações de amplitude são dadas por: X 02(1) − 5ω12 + 2000 = = +1,37 X 01(1) 1000
Prof. Airton Nabarrete
X 02( 2) − 5ω 22 + 2000 = = −0,37 X 01( 2) 1000
Pag. 56
Vibrações
Os modos naturais são dados por: X 0(11 ) cos(11.26 t ) (1) Modo 1 = x (t ) = (1) X 02 cos(11.26 t ) X 0(12) cos(21.75 ⋅ t ) ( 2) Modo 2 = x (t ) = ( 2) − X 02 cos(21.75 ⋅ t )
m1 m1
m2
m2
m1 m1
m2 m2
Primeiro Modo
Nó
m1 m1
m1 m1 m2 Nó
m2
m2 m2 Segundo Modo
Prof. Airton Nabarrete
Pag. 57
Vibrações
6.3 Sistemas Torsionais : θ1
Mt2
θ2
Mt1
kt1
kt2
kt3 J2
J1
θ1
kt1θ1
θ2
kt3θ2
kt2(θ2-θ1)
Considere um sistema torsional de dois discos conforme figura acima. Os 3 segmentos do eixo têm constantes de mola rotacionais kt1 , kt 2 e kt 3 . Os discos possuem momentos de inércia J 1 e J 2 . Para a análise de vibração livre do sistema temos: J1θ1 + (kt1 + k t 2 ) θ1 = kt 2θ 2
J 2θ2 + (k t 2 + kt 3 ) θ 2 = kt 2θ1 A análise apresentada anteriormente pode ser aplicada aos sistemas torsionais com as devidas substituições Exemplo 2: A figura ao lado indica um sistema torsional. Encontrar as freqüências naturais
e modos de vibração considerando J 1 = J 0 , J 2 = 2J 0 e
kt1 = kt 2 = kt . Considerar para o
cálculo que: J0 = 1,5 kg m2 e kt = 935 Nm. Assume-se solução harmônica para a vibração livre. As
kt1
equações diferenciais do movimento reduzem-se a: J 0θ1 + 2ktθ1 = k tθ 2
J1
θ1 kt2
2 J 0θ2 + ktθ 2 = ktθ1 J2
Prof. Airton Nabarrete
θ2
Pag. 58
Vibrações
Rearranjando e substituindo a solução harmônica:
θ i (t ) = Θ i cos(ωt ),
i = 1,2
gera a equação de freqüência:
(2 J )ω − (5 J k ) ω 2 0
4
2
0 t
+ k t2 = 0
e a solução fornece as freqüências naturais:
ω1 = 11,7 rad / s ω 2 = 37,7 rad / s As relações de amplitude são dadas por: Θ (21) = 1,78 Θ1(1) Θ (22) = −0,28 Θ1( 2)
6.4 Acoplamento de Coordenadas : Um sistema com n GDL requer n coordenadas independentes para descrever sua configuração e normalmente estas coordenadas são
quantidades
geometricamente
independentes da posição de equilíbrio do corpo em vibração. Por outro lado é possível selecionar um outro conjunto de n coordenadas a fim de descrever a configuração do sistema. Cada um destes conjuntos de n coordenadas é denominado coordenadas generalizadas.
C.G.
m,J0
A
B l1
k1
l2 k2
A figura mostra um exemplo de um torno mecânico, cujo modelo é simplificado e a base considerada suportada sobre molas nos extremos. O modelo final indica um corpo rígido de massa total m e momento de inércia J0 em torno de seu centro de gravidade.
Prof. Airton Nabarrete
Pag. 59
Vibrações
C.G.
A
B
x(t)
x1(t)
x2(t)
A'
C.G.'
θ(t) B'
l1
l2
Para este sistema com 2 graus de liberdade, qualquer um dos seguintes conjuntos de coordenadas pode ser utilizado como variáveis para a descrição do movimento: 1.
Deflexões x1(t) e x2(t) nas duas extremidades da base AB.
2.
Deflexão x(t) do centro de gravidade e rotação θ(t).
3.
Deflexão x1(t) da extremidade A e rotação θ(t).
No caso 2, usando x(t) e θ(t), como variáveis de deslocamento, tem-se: mx = − k1 ( x − l1θ ) − k 2 ( x + l2θ ) J 0θ = k1 ( x − l1θ )l1 − k 2 (x + l2θ )l2
6.5 Leitura Recomendada Thomson, W.T. - Teoria da Vibração com Aplicações - Cap. 5 - pg. 129 a 138. Den Hartog, J.P. - Vibrações dos Sistemas Mecânicos - Cap. 2 - pg. 64 a 69. Rao, S.S. – Mechanical Vibrations – Cap. 5 – Pág. 331 a 349.
Prof. Airton Nabarrete
Pag. 60
Vibrações
6.6 Exercícios Propostos : 1) Determinar as freqüências naturais do conjunto pendular abaixo.
m1 = 1 kg; m2 = 2 kg; l = 0,7 m; a = 0,4 m; k = 1000 N/m; I = ml2.
a
θ2
θ1 Fm k l
I1
I2
m1
m2
m1g
2) Determinar as freqüências dos movimentos angular (Pitch) e vertical (Bounce) e as
localizações dos centros de oscilação (nós) de um automóvel com as seguintes características: Bounce Pitch
CG
l2
l1
Referência CG
Dados:
massa = 1000 kg;
raio de giração = 0.9 m;
JCG = m r2 ;
distância entre eixo dianteiro e o CG = l1 = 1m; distância entre eixo traseiro e o CG = l2 = 1,5m; Constante da mola dianteira k1 = 18 kN/m; Constante da mola traseira k2 = 22 kN/m.
Prof. Airton Nabarrete
Pag. 61
