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5. CASOS DE EXCITAÇÃO HARMÔNICA 5.1 Movimento do Apoio O movimento do apoio atuante em sistemas suspensos por molas e amortecedores é muito comum. Pode-se citar o caso da suspensão do automóvel que recebe excitação harmônica da superfície do solo por meio das rodas. Outro caso, se refere às máquinas de precisão que são montadas sobre elementos elásticos quando posicionadas em pavimentos que oscilam harmonicamente devido à vibração de outras máquinas. A figura abaixo demonstra as forças resultantes que aparecem no corpo livre devido ao movimento do apoio: x
m
k
..
mx
m
c y
k (x - y)
.
.
c (x - y)
base
Efetuando a soma das forças aplicadas ao corpo livre tem-se: m!x! + c(x! − y! ) + k (x − y ) = 0 Assume-se que o movimento da base seja harmônico, então, y (t ) = Y0 cos(ω t ) Desenvolvendo a equação dinâmica, tem-se: m!x! + cx! + kx = −cY0ω sen (ω t ) + kY0 cos(ω t ) Na equação acima tem-se que os dois termos da direita se referem às forças induzidas na massa, pela mola e pelo amortecedor. Assim, a equação dinâmica é excitada por duas forças harmônicas cujas amplitudes são F01= - cω Y0 e F02= k Y0. A solução é obtida da mesma forma
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resolvida no capítulo anterior, porém, ao invés de uma solução, tem-se duas soluções particulares, ou seja, xp(1) e xp(2).
xp
(1)
(t ) =
− cω Y0 k
(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2
2
sen (ω t − φ1 ) e x p
(2 )
k Y0 k
(t ) =
(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2
2
cos(ω t − φ1 )
Simplificando a solução acima, tem-se: xp
(1)
(t ) =
− 2ζ r Y0
(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2
2
sen (ω t − φ1 ) e x p
(2 )
Y0
(t ) =
(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2
2
cos(ω t − φ1 )
Sendo que, φ 1 é a fase que ocorre entre o deslocamento da base e os deslocamentos xp(1) ou xp(2). Esta fase ocorre devido a presença de amortecimento no sistema excitado harmonicamente e é calculada por: 2ζ r φ1 = arctg 2 1− r Pelo princípio da superposição linear, o resultado final para a solução particular é, x p (t ) = x p x p (t ) = Y0
(1)
(t ) + x p (2 ) (t )
1 + (2ζ r )
2
(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2
2
cos(ω t − φ1 − φ 2 )
A nova fase φ 2 se deve à soma de xp(1) e xp(2), as quais são funções ortogonais. A amplitude da solução final X0 e a fase φ 2 são: 1 + (2ζ r )
2
X 0 = Y0
2 2
φ 2 = arctg (2ζ r )
e
(1 − r ) + (2ζ r )
2
A razão X0 /Y0 é chamada de transmissibilidade de deslocamento e é usada para descrever como o movimento da base é transmitido para a massa em função da freqüência. X0 = Tr = Y0
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1 + (2ζ r )
2
(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2
2
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A soma das forças F01= - cω Y0 e F02= k Y0 , transmitidas pelos componentes de mola e amortecedor, é a força de excitação resultante na carroceria e é calculada por: F0 = Y0 k 2 + (cω )
2
A função da força que é aplicada na carroceria é: F (t ) = F0 cos(ω t − φ 2 ) O gráfico abaixo apresenta a variação da transmissibilidade em função de r (razão de freqüências). Cada curva do gráfico representa o comportamento da transmissibilidade em função de um fator de amortecimento específico.
Tr
3
ζ =0 2.5
ζ = 0.25
2
1.5
ζ = 0.5
1
0.5
0 0
0.5
1
2
2
2.5
3
r
Note que, para todas as curvas traçadas no gráfico, a transmissibilidade quando r < 2 é sempre maior que 1 e indica que o movimento da massa m está amplificado em relação ao movimento que o originou na base. Esta formulação desenvolvida para a transmissibilidade é muito útil no projeto de sistemas mecânicos e para a proteção contra vibrações indesejadas. Neste último caso, pode-se atenuar o problema, quando as vibrações são reduzidas, ou seja, quando no projeto especifica-se que r > 2 , por exemplo. Esta solução se refere ao chamado isolamento de vibrações. Como não se pode eliminar completamente as vibrações em determinados sistemas, a atenuação ou diminuição do problema pela correta especificação da freqüência natural no projeto (especificando k ou m) pode ser suficiente. Prof. Airton Nabarrete
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5.1.1 Exemplo de Aplicação A figura abaixo mostra um modelo simplificado de um veículo motorizado que oscila na direção vertical (1 gdl ) enquanto move-se sobre uma estrada ondulada. A carroceria suspensa do veículo tem uma massa de 1200 kg e o sistema de suspensão tem constante equivalente de mola de 400 kN/m e constante de amortecimento de 20 kNs/m. Se a velocidade do veículo é de 100 km/h, determine a amplitude X0 do movimento da carroceria. Sabe-se que a superfície da estrada varia segundo uma senóide com amplitude Y0 = 0.05 m e λ = 6 m. x(t) 100 km/h m k
c
y(t) Y0
λ No modelo simplificado de 1 gdl tem-se que o movimento vertical da carroceria é causado pelo movimento das rodas do veículo. A excitação harmônica, neste caso, aparece na forma do deslocamento das rodas e se transforma em forças atuantes na carroceria por meio das molas e amortecedores. A freqüência natural do modelo é:
ωn =
k = m
400000 rad = 18,3 1200 s
O fator de amortecimento é calculado por:
ζ =
20000 c = = 0,46 2mω n 2 × 1200 × 18,3
Se a velocidade é 100 km/h, então, v=
λ T
→ T=
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ω 6 29 = 0,216 s → ω = 29 rad / s → r = = = 1,6 100 ω n 18,3 3,6
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X0 = Y0
1 + (2 × 0,46 × 1,6 )
2
= 0,83
(1 − 1,6 ) + (2 × 0,46 × 1,6) 2 2
2
X 0 = 0,83 × 0,05 = 0,0415 m
5.2
Desbalanceamento Rotativo
É muito comum a existência de máquinas com eixos rotativos. Por sua vez, pequenas irregularidades na distribuição de massas rotativas destes eixos, quando em movimento, podem causar vibrações devido ao desbalanceamento rotativo. A figura abaixo apresenta um esquema do desbalanceamento rotativo de uma máquina. Fdesb
md
θ=ω t
ω e
O módulo da força centrífuga de desbalanceamento é obtido pela relação: Fdesb = md e ω 2 Na expressão, md é a massa rotativa de desbalanceamento, e é a excentricidade desta massa e
ω é a velocidade angular do sistema rotativo da máquina. A equação diferencial do problema acima, o qual inclui o amortecimento na suspensão da máquina, é dada por: m!x! + cx! + kx = F0 cos(ω t )
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onde,
F0 = md e ω 2
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A solução da equação dinâmica anterior tem a mesma expressão da apresentada anteriormente na seção 4.3, ou seja, x(t ) = X 0 cos(ω t − φ ) Sendo para esta última:
X0 =
md e ω 2 k
(1 − r ) + (2ζ r ) 2 2
2
e
2ζ r φ = arctg 2 1− r
Para analisar melhor este problema, foi traçado um gráfico específico do ganho X0 / Xest em função da razão r = ω /ωn, conforme a figura abaixo. Neste gráfico, k= 1 N/m, ωn= 1 rad/s, md= 0,1 kg, e= 0,1 m e os fatores de amortecimento indicados na figura. Como na expressão da amplitude o numerador também depende da freqüência de excitação, o gráfico se modifica em relação ao apresentado no item 4.3 anterior.
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5.3
Leitura Recomendada
Thomson, W.T., 1978, Teoria da Vibração com Aplicações, Interciência, Cap.3, pág. 54 a 56, Rio de Janeiro. Rao, S.S., 1995, Mechanical Vibrations, Addison-Wesley, 3rd Ed., Cap.3, pág. 191 a 197, New York.
5.4
Exercícios Propostos
1. Uma máquina com massa m está apoiada sobre um conjunto de isoladores de borracha fixos ao piso da fábrica. Devido à operação de outras máquinas vizinhas a esta, o piso possui um movimento oscilatório dado por xA
= 1,5x10-3 sen(30t). Determinar a equação do
deslocamento x(t) da máquina se m = 200 kg , keq = 2000 Nm e ζ = 0,3.
2. Um compressor de um cilindro possui massa de 100 kg e está instalado em suportes de borracha como mostrado abaixo. A rigidez e a constante de amortecimento da borracha são respectivamente 106N/m e 2000 N.s/m. Se o desbalanceamento do compressor é equivalente a uma massa de 0,1 kg localizada no ponto A, determine a resposta do compressor para uma rotação da manivela de 3000 rpm. Admitir r = 10 cm.
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3. Uma máquina industrial com massa de 450 kg é suportada por molas cuja deflexão estática é de 5 mm. Se a máquina possui um desbalanceamento de 900 g.mm, determinar a amplitude de vibração a 1200 rpm.
4. Se a máquina do exercício anterior for montada sobre um bloco de concreto de massa 1130 kg e, a rigidez das molas sob o bloco for aumentada de modo que a deflexão estática seja mantida em 5 mm, qual será a nova amplitude do movimento?
5. Um motor elétrico é montado conforme a figura abaixo. Sabendo que o rotor apresenta desbalanceamento de 10.000 g.cm, k = 12.000 N/m e mmot = 100 kg, pede-se: a) Determinar a amplitude do movimento do motor quando o rotor opera a 820 rpm. b) Traçar o gráfico (X0 x n) para n variando de 0 a 1000 rpm. X0 [m]
F0 0,005
ω m
n [rpm]
keq
0 0
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