Transcript
Notas de aulas
Vibrações em Sistemas Mecânicos .
.
1
Deslocamento (mm)
10
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100
10
-1
10
-2
100 10
-3
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
Freq (Hz) Node(1) E C / E F = 0.0015 Node(1) E C / E F = 0.015 Node(1) E C / E F = 0.15
2000
Deslocamento [mm]
.
50 0 -50 -100
0
0.25
0.5 Tempo [s]
Prof. Dr. Airton Nabarrete Centro Universitário da FEI
4ª Edição – 2005
0.75
1
Vibrações
1. INTRODUÇÃO Atualmente, muitos estudos são feitos com objetivo de motivar as aplicações das vibrações em engenharia, como o projeto de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle etc. Problemas com vibração podem ocorrer devido ao desbalanceamento em motores alternativos ou mesmo em qualquer sistema rotativo, porém o desbalanceamento excessivo indica erros de projeto ou um processo de fabricação pobre. Em motores diesel, o desbalanceamento pode provocar muito ruído em áreas urbanas. Nos motores a gasolina a grande preocupação atual é a redução das vibrações para o aumento do conforto do condutor. Na instalação de novas máquinas operatrizes na indústria metalúrgica, como exemplo, centros de usinagem, tornos CNC, retificadoras de precisão, etc., há grande preocupação com a isolação das vibrações de modo a não piorar a precisão das mesmas durante a sua utilização posterior. Em muitas indústrias estas máquinas são instaladas na proximidade de máquinas geradoras de vibração, como: prensas excêntricas, tesouras guilhotinas, etc. Quando temos a freqüência natural do sistema mecânico coincidindo com a freqüência de vibração devida a operação, temos o aparecimento da ressonância, que leva o sistema a deslocamentos excessivos e até à ruptura de algumas partes. Por causa do efeito desastroso que as vibrações podem causar às estruturas e às máquinas, testes de vibrações foram incluídos nas normas e procedimentos de projeto e de verificação experimental nos diversos ramos da engenharia.
1.1 Definição de vibração Qualquer movimento que se repete depois de um intervalo de tempo é chamado de vibração ou oscilação. A teoria das vibrações trata do estudo dos movimentos oscilatórios dos corpos e das forças associadas aos mesmos. Um sistema vibratório inclui um meio de armazenar energia potencial (mola ou elasticidade dos materiais), um meio de armazenar energia cinética ( massa ou inércia ) e um meio pelo qual a energia é dissipada (amortecedor ou atrito).
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Vibrações
Sistema Massa-Mola
Etotal = Ecin + E pot Etotal
k
1 1 = m x! 2 + k x 2 2 2
t
m x
x0 x
A vibração de um sistema ocorre pela transformação da energia potencial em energia cinética e de energia cinética em potencial alternadamente. Se o sistema for amortecido, alguma energia é dissipada em cada ciclo de vibração e precisa ser reposta por uma fonte externa se o estado da vibração é para ser mantido.
1.2 Modelo Massa-Mola em Vibração Livre Neste caso de vibração, o sistema é considerado como conservativo e, após ser fornecido uma quantidade de energia inicial, o mesmo se movimenta eternamente, pois não há dissipação de energia. No modelo simplificado da figura abaixo, m representa a massa e k a rigidez da mola. Neste modelo percebemos a possibilidade do sistema oscilar na direção x em função da elasticidade da mola ligada à massa. A direita temos o esquema de corpo livre com as forças que atuam sobre o mesmo. x -
+
k m
-kx mg
N
Na vertical, as forças que agem sobre o corpo estão em equilíbrio. Na horizontal, se o corpo de massa for deslocado para a direita, a força resultante promove a aceleração do corpo para a esquerda. Prof. Airton Nabarrete
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Vibrações
A equação dinâmica do sistema é :
∑f
= m !x!
→
m !x!(t ) = − k x(t )
A equação obtida é uma equação diferencial de 2ª ordem. Reposicionando os termos, temos: m !x!(t ) + k x(t ) = 0 Podemos utilizar o mesmo procedimento para a análise de um sistema torcional. Na figura abaixo, kt representa a rigidez torcional do eixo vertical e J o momento de inércia da roda inferior.
kt θ
J
Efetuando a análise para o corpo livre da roda, teremos:
∑ M t = J θ!!
J θ!! + kt θ = 0
→
A análise de vibrações tem por objetivo prever a resposta de movimento para o sistema vibratório, portanto é desejável conhecer a resposta para estas equações diferenciais. Felizmente, a solução da equação diferencial acima é bem conhecida dos cursos introdutórios de cálculo e física. Assim, a solução para a variável x(t) é : x(t ) = A cos(ω t − φ ) A é a amplitude e representa o máximo valor da função x(t) ,
ω é a freqüência circular (expressa em rad/s), e φ representa o ângulo de fase ou simplesmente fase . A escolha da função coseno pode ter como alternativa a função seno, pois ambas são funções que descrevem movimentos periódicos de oscilação. A solução da equação diferencial indicada por x(t) é chamada de resposta livre, pois não existem
forças
dinâmicas
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que
provoquem
a
vibração
do
modelo
massa-mola.
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Vibrações
Consequentemente, a vibração livre acontece sempre com a mesma freqüência de vibração, a qual é denominada de freqüência natural e recebe o índice n, ou seja, ωn . Para verificar que x(t) é a solução procurada, deve-se derivar a mesma e substituir na equação diferencial. x! (t ) = − A sen (ω n t − φ )ω n !x!(t ) = − A cos (ω n t − φ ) ω n2 = − ω n2 x(t ) Substituindo na equação diferencial, temos:
{
}
m − ω n2 x(t ) + k x(t ) = 0
⇒
x(t ) (− m ω n2 + k ) = 0
Como x(t) não pode ser zero, ou seja, é o deslocamento medido na vibração, então: − m ω n2 + k = 0
⇒
ωn =
k m
Pela expressão acima, entendemos que a freqüência natural do modelo massa-mola é função apenas da massa e da rigidez da mola. Analogamente, a freqüência natural do sistema torcional é dada por :
ωn =
kt J
Na função x(t) ainda restam duas incógnitas, ou seja, A e φ . Para determiná-las é necessário informar as condições de contorno que regem o problema diferencial. No caso da resposta livre de vibração, condições de contorno estão representadas pelas condições iniciais do problema. Como são duas incógnitas, necessitamos de conhecer duas condições iniciais. Portanto, fica estabelecido que devemos conhecer o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da vibração livre. x0 = x(0 ) = A cos(ω n 0 − φ ) = A cos(− φ ) v0 = x! (0 ) = −ω n A sen (ω n 0 − φ ) = −ω n A sen (− φ ) Para resolver estas equações, tem-se: cos(− φ ) = cos(φ ) sen (− φ ) = − sen (φ ) Prof. Airton Nabarrete
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Vibrações
x0 = A cos(φ ) ⇒ cos(φ ) = v0 = ω n A sen (φ ) ⇒ sen (φ ) =
x0 A v0 ωn A
Utilizando relações trigonométricas, tem-se:
[cos(φ )]2 + [sen(φ )]2 = 1 2
2 x0 v0 = 1 ⇒ + A ωn A
v sen (φ ) = 0 cos(φ ) ω n x0
A = x0
2
v + 0 ωn
2
v ⇒ φ = arctg 0 ω n x0
O quadro abaixo resume o movimento vibratório do modelo massa-mola.
Movimento Harmônico Simples – Sumário Deslocamento, x(t) v0 = tg(θ)
+
θ Amplitude, A
x0 tempo, t
-
2π ω Período, T
x(t ) = x0
2
2
v v + 0 cos ω n t − arctg 0 ωn ω n x0
x0 = deslocamento inicial
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v0 = velocidade inicial
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1.3 Movimento Harmônico Se depois de um intervalo de tempo o movimento é repetido, o mesmo é chamado de movimento periódico. O tipo mais simples de movimento periódico é o movimento harmônico.
O movimento do mecanismo mostrado na figura acima é um exemplo de um movimento harmônico simples. Quando a roda gira com uma velocidade angular ω, a extremidade S do elemento Q é deslocada de sua posição central de uma quantidade x dada por : x = A sen (θ ) = A sen (ωt ) x! (t ) =
A velocidade no ponto S é dada por :
E a aceleração por :
!x!(t ) =
d 2x dt
2
dx = ω A cos (ωt ) dt
= −ω 2 A sen (ωt ) = −ω 2 x(t )
Pode ser visto que a aceleração é proporcional ao deslocamento.
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Vibrações
O movimento harmônico pode ser representado convenientemente por meio de um vetor posição OP de magnitude A girando a uma velocidade angular ω.
y y = A sen(ω t)
y P A
ω
θ=ωt
O
x
P A
θ O
π
2π
3π
T " Na figura acima, as projeções do vetor posição X = OP no eixo vertical e no eixo horizontal são dadas por : y = A sen (ω t ) e x = A cos(ω t ) . " O vetor X pode ser representado no espaço cartesiano e também no espaço complexo: Imag
" X = a + ib
b
i = −1
onde,
A
φ O
a
Re
" a e b são as componentes real e imaginária do vetor X . A representa o módulo do vetor e φ o argumento ou ângulo entre o vetor e o eixo real (eixo horizontal). Utilizando as relações trigonométricas, escreve-se: a = A cos (φ ) , Portanto,
b = A sen (φ ) ,
A = a2 + b2
e
b φ = arctg a
" X = A cos (φ ) + i A sen (φ )
Das relações dos números complexos, obtém-se: Prof. Airton Nabarrete
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A [cos (φ ) + i sen (φ )] = A e iφ = A e iω t Utilizando λ como uma constante diferente de zero, escreve-se: iω = λ
→
" X = Ae iω t = Ae λ t
" A diferenciação do vetor posição X no tempo gera :
(
(
)
"! d " X= A eλ t = λ A eλ t = λ X dt
)
" !"! d λ A e λ t = λ2 A e λ t = λ2 X X = dt
Estas quantidades são mostradas na figura abaixo como vetores rotativos. Observa-se que o vetor aceleração está defasado de 90o em relação ao vetor velocidade e este último está defasado de 90o em relação ao vetor deslocamento.
Na figura, observa-se que o deslocamento é obtido pela função: x(t ) = A sen (ω t ) " Assim, pode-se dizer que somente a parte imaginária do vetor X foi utilizado. Pode-se utilizar a notação complexa na forma abaixo para representar o deslocamento, velocidade e aceleração.
(
)
x(t ) = Im A e λ t = A sen (ω t )
(
)
π x! (t ) = Im λA e λ t = ω A sen ω t + 2
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(
)
!x!(t ) = Im λ2 A e λ t = ω 2 A sen (ω t + π )
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1.4 Amortecimento Viscoso Em observações reais, percebemos que as oscilações livres em sistemas mecânicos se reduzem ao longo do tempo até que sejam totalmente extintas, porém a resposta em deslocamento obtida anteriormente pelo modelo massa-mola mostra que a oscilação ocorre eternamente com a mesma amplitude. Portanto, o modelo massa-mola resolve apenas o problema do cálculo de freqüências naturais. Para incluir o efeito do decaimento da amplitude deve-se incluir, no modelo anterior, a energia dissipada pelo sistema durante as oscilações. O amortecimento viscoso é a forma mais comum de incluir a dissipação de energia nos sistemas mecânicos. A figura abaixo demonstra os componentes de um amortecedor de automóvel. Neste caso, quando o êmbolo se desloca em relação à carcaça, o amortecimento viscoso é resultante da passagem do óleo de uma câmara para a outra através de orifícios estreitos.
O escoamento de óleo pelos orifícios do êmbolo na figura acima causa uma força de amortecimento que é proporcional à velocidade do pistão, porém em direção oposta ao mesmo. O novo modelo matemático tem a forma:
x -
+
k
-kx m .
c
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-cx mg
N
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A força de amortecimento é dada por: Famort ( t ) = − c x! ( t )
onde: c = constante de amortecimento
A equação dinâmica do modelo da figura anterior é, portanto : − k x(t ) − c x! (t ) = m !x! Reposicionando os termos da equação acima, temos: m !x!(t ) + c x! (t ) + k x(t ) = 0 Esta equação diferencial tem solução homogênea que corresponde fisicamente a uma resposta transiente de movimento, ou seja, não duradoura. A solução para a equação é: x = A eλ t Substituindo na equação diferencial, temos:
(m λ
2
)
+ c λ + k A eλ t = 0
Como a constante A não pode ser nula, então: m λ2 + c λ + k = 0 As soluções possíveis para a expressão acima são descritas como:
λ 1, 2
2
c k c =− ± − 2m m 2m
λ1 e λ2 podem ser reais ou complexos dependendo do resultado interno do radical na equação. Para a solução geral da equação diferencial admite-se a expressão: x(t ) = a e λ1 t + b e λ 2 t Pela solução apresentada, pode-se concluir que se λ for real então o resultado para x(t) se apresenta como uma função exponencial e não demonstra o comportamento de oscilações, porém se λ for um número complexo, então o resultado de x(t) representa um movimento harmônico como demonstrado anteriormente no item 1.3.
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1.4.1 Fator de amortecimento Para demonstrar a idéia utilizada para definir o fator de amortecimento, busca-se inicialmente o resultado para o λ que descreva um movimento harmônico. O movimento harmônico ocorre se o resultado interno da raiz for: 2
k c − <0 m 2m Para obter uma solução, escreve-se o termo do radical da expressão de λ na forma: 2
k c = − m 2m
k c 2 − (− 1) = i m 2m
k c − m 2m
2
Por este procedimento, percebe-se que uma forma de verificar se a solução é harmônica, isto é complexa, pode ser a comparação dos valores de k/m e (c/2m)2. Se (c/2m)2 for maior ou igual a k/m não existe movimento harmônico. Um amortecimento crítico é definido como a constante de amortecimento que resulta no radical nulo. Assim, 2
k cc − =0 m 2m
→
cc = 2m
k m
O fator de amortecimento é então definido como a relação entre o valor real da constante de amortecimento e o valor do amortecimento crítico.
ζ =
c cc
Quando, ζ < 1, tem-se um movimento harmônico ou oscilatório como resultado. Na prática, costuma-se orientar as faixas de valores para o fator de amortecimento que melhor atendem esta ou aquela aplicação, independente do porte do sistema.
1.4.2 Sub-amortecimento ( ζ < 1 ) Utilizando do fator de amortecimento, pode-se calcular : c =ζ 2m
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k = ζ ωn m
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Vibrações
Aplicando este resultado, tem-se que :
λ 1, 2 = −ζ ω n ± i ω n 2 − (ζ ω n )2 O radical se denomina freqüência natural amortecida, ou seja, ωa.
λ 1, 2 = −ζω n ± iω a
→
ωa = ωn 1−ζ 2
A solução para o caso de sub-amortecimento é, então:
(
x = e −ζ ω n t a ei ω a t + b e −i ω a t
)
Aplicando as relações trigonométricas descritas no item 1.3 em conjunto com constantes complexas A e B, na forma apresentada abaixo, tem-se a solução do problema:
(a e
eiω t = cos(ω t ) + i sen (ω t )
a =c+i d
e−iω t = cos(ω t ) − i sen (ω t )
a =c−i d
iω a t
)
+ b e −iω a t = [ − 2c cos (ω at ) − 2d sen (ω at ) ]
Os termos (-2c) e (-2d) são constantes reais. Como já demonstrado no item 1.3 a solução final pode ser escrita na forma : x(t ) = e −ζω n t [A cos (ω a t − φ )] As constantes A e f são calculadas em função das condições iniciais que promovem a oscilação amortecida, assim como no caso da vibração sem amortecimento anteriormente descrita no item 1.2. Assim, conhecendo-se o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da vibração livre tem-se: A = x0
2
v + ζω n x0 + 0 ω a
2
e
v + ζω n x0 φ = arctg 0 ω x a 0
As equações acima podem ser melhor compreendidas se observarmos o gráfico de x(t). Este tipo de gráfico é chamado de resposta temporal ou resposta no tempo. Na figura seguinte, observa-se o gráfico de x(t) com um decaimento nas amplitudes da curva que representa a vibração do sistema sub-amortecido, pois considera os valores: k=1 N/m, m=0.1 kg e c=0.08 Ns/m . Prof. Airton Nabarrete
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Na figura, pode-se interpretar a redução de amplitude como sendo decorrente da energia dissipada pelo amortecedor a cada ciclo.
1.4.3 Super-amortecimento ( ζ > 1 ) Neste caso, admite-se que o resultado da raiz seja um número real, ou seja: 2
k c − >0 m 2m Em função do fator de amortecimento, tem-se:
(ζ
2
)
−1 ωn2 > 0
A solução para este caso é: x=
−ζ + ζ 2 −1 ω t n A e
−ζ − ζ 2 −1 ω t n + B e
1.4.4 Amortecimento Crítico ( ζ = 1 ) O resultado da raiz é nulo, então a solução para este caso é: x = (A + B ) e −ζ ω n t A figura abaixo apresenta um gráfico comparativo do deslocamento de um sistema mecânico com amortecimento crítico e com super-amortecimento. Considerou-se os valores: k=1 N/m, Prof. Airton Nabarrete
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m=0.1 kg e c=1.5 Ns/m . A constante de amortecimento crítico vale cc=0.632 Ns/m . Em ambos os casos foi aplicado um golpe inicial de mesma intensidade. Pode-se notar que estas soluções não representam oscilações harmônicas.
1.4.5 Variação na Equação Diferencial A equação diferencial que representa o comportamento do sistema massa-mola-amortecedor, pode ser escrita usando os valores de freqüência natural e fator de amortecimento. Para obter esta nova expressão, basta dividir toda a equação pela massa m do sistema. !x! +
c k x! + x = 0 m m
Assim, concluímos que: !x!(t ) + 2ζω n x! (t ) + ω n 2 x(t ) = 0
1.5 Terminologia da Oscilação Harmônica A terminologia utilizada na discussão de problemas de vibrações envolve algumas outras quantidades que não foram discutidas. Freqüência de oscilação : É o número de ciclos por unidade de tempo. f =
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1 ω = T 2π
ciclos rad / s −1 rad / ciclo = s = s = Hz Pag. 14
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Na expressão acima, o período de oscilação T é o tempo tomado para completar um ciclo completo de movimento harmônico. T=
2π ω
s rad / ciclo rad / s = ciclo
O Valor de pico em uma oscilação harmônica é o valor de máximo deslocamento da vibração e está representado pela própria amplitude A. O deslocamento total da massa (Deslocamento pico-a-pico) durante a vibração equivale a duas vezes a amplitude. Outra quantidade útil para descrever as vibrações é o Valor Médio da oscilação. Este é definido por : 1 T ∫ x(t ) dt T →∞ T 0
x = lim
Como a energia potencial é calculada com base no quadrado do deslocamento, o Quadrado do Valor Médio do deslocamento é útil em alguns problemas de vibração. 1 T 2 ∫ x (t ) dt T →∞ T 0
x 2 = lim
A raiz quadrada deste valor é utilizada em muitos casos e é mais conhecida com o respectivo nome no idioma inglês, ou seja, Root Mean Square (rms) . Na análise de vibrações é comum, também, encontrar valores de deslocamento elevado em determinadas freqüências e valores muito baixos em outras. Desta forma para representar os deslocamentos como função da freqüência é necessário se utilizar de escalas logarítmicas. Uma unidade muito utilizada tanto para valores de amplitudes como para valores rms é o decibel (db) que é definido por : x dB = 10 log 1 x2
2
Na expressão acima, x1 é o valor calculado ou medido e x2 é o valor de referência.
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Vibrações
Grau de Liberdade é o número mínimo de coordenadas independentes (angulares ou lineares) requeridas para determinar completamente as posições de todos os componentes de um sistema dinâmico em qualquer instante de tempo. Na tabela abaixo, estão demonstrados alguns modelos de sistemas mecânicos com as respectivas indicações dos graus de liberdade.
x
k
Sistemas de 1 grau de liberdade
kt
m θ
x1 k1 Sistemas de 2 graus de liberdade
x2
J
J1 kt
k2 m1
J2
m2 θ2
θ1
1.6 Exercícios 1) Encontre ζ e ωn para o sistema amortecido. Responda se o sistema é sub-amortecido, super-amortecido ou amortecido criticamente. ( m = 1 kg; c = 2 kg/s; k = 10 N/m ). 2) Encontre a solução para a equação diferencial !x!(t ) + 4 x! (t ) + x(t ) = 0 para x0 = 1 mm e v0 = 0 mm/s. Desenvolva a solução utilizando o programa MathCAD ou MATLAB e imprima o gráfico da solução em função do tempo. 3) Trace o gráfico do deslocamento de um sistema amortecido cuja freqüência natural é igual a 2 Hz e as condições de contorno são x0 = 1 mm e v0 = 0 mm/s. Considere um gráfico contendo várias curvas, sendo: ζ = 0.01, ζ = 0.2 e ζ = 0.6 . Utilize programas como o MathCAD ou MATLAB.
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Vibrações
2. MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS A descrição do movimento de determinado sistema físico por meio de um sistema de equações é chamado de modelagem matemática do sistema. Ao descrever o sistema massa-mola mencionado no item 1.1, procurou-se utilizar a equação dinâmica e relacionar o movimento da massa com a força exercida pela mola. Neste caso, foi possível se utilizar da 2ª lei de Newton para descrever o movimento do sistema. Entretanto, em casos que envolvam a combinação de massas, inércias de rotação, molas torcionais, por exemplo, é comum se utilizar de métodos de energia para obter as equações dinâmicas do sistema. Neste capítulo, procurou-se relacionar e revisar as equações dos componentes básicos existentes em sistemas vibratórios. No próximo capítulo, serão apresentados os métodos de energia que são aplicados para obter as equações dinâmicas destes sistemas.
2.1 Molas Uma mola é uma ligação flexível entre dois pontos de um sistema mecânico. Como a massa das molas é usualmente pequena, a força medida dinamicamente nas suas extremidades é normalmente igual. Desta maneira, a força da mola é proporcional a deformação da mesma, F =kx
onde : x = x1 − x2
∆x F
F é a força que age na mola e x é a sua deformação. Algumas molas não se comportam com a equação acima e admite-se então uma função polinomial para representação geral da força em relação a deformação das molas, F = k0 + k1 x + k 2 x 2 + k 3 x 3 # Neste curso, será considerado que somente molas de comportamento linear ou quase-linear sejam equacionadas nos diversos problemas. Considera-se, também, que as molas tem
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Vibrações
deformação nula quando a força é nula, então, k0 = 0. As constantes que multiplicam os termos polinomiais de ordem 2 ou superior serão consideradas de pequeno valor, então: F =k x O coeficiente k representa a constante elástica ou constante de mola linear e indica a rigidez que a mola possui. A energia potencial para molas lineares é dada por: V=
1 2 kx 2
onde,
x = x1 − x2
2.1.1 Elementos Estruturais como Molas A vibração em algumas estruturas pode envolver a tração ou compressão axial de barras ou vigas, como é mostrado na figura abaixo.
x
x
A,E
k
m
F(t) m
F(t)
L
(a) Estrutura com barra e bloco
(b) Sistema equivalente com mola
Sabe-se que a deformação de uma barra sujeita a uma força axial, se comporta como a lei de Hooke. Utiliza-se a expressão de Hooke para obter a relação entre força e deslocamento:
σ =Eε
→
F x =E A L
→
F=
AE x L
Na expressão acima, E é o módulo de elasticidade do material, A é a área da seção transversal da barra e L é o comprimento anterior à deformação. Comparando a equação obtida com a equação da mola helicoidal, tem-se que : k=
AE L
Se a massa da barra for pequena em relação a massa do bloco, o sistema axial acima é modelado como um sistema massa-mola equivalente.
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Vibrações Material
Módulo de Elasticidade
Densidade
Módulo de Cisalhamento
E [N/m2]
ρ [kg/m ]
G [N/m2]
Aço
2.05E+11
7.80E+03
8.00E+10
Alumínio
7.10E+10
2.70E+03
2.67E+10
Cobre
6.00E+10
2.40E+03
2.22E+10
Concreto
3.80E+09
1.30E+03
-
Borracha
2.30E+09
1.10E+03
8.21E+08
Madeira Laminada
5.40E+09
6.00E+02
-
3
A tabela acima indica as constantes físicas de alguns materiais comuns. Outro exemplo de elemento estrutural funcionando como mola é o caso das vigas sujeitas a carregamentos transversais.
m
m
y k
y L/2
L/2
Na viga bi-apoiada da figura acima, o deslocamento devido ao carregamento proporcionado pela massa apoiada sobre um ponto qualquer da mesma, é : y=
PL3 48EI
→
P=
48EI L3
y
Se a massa da viga é muito pequena em relação a m, o sistema pode ser modelado como um sistema massa-mola, onde a mola equivalente terá constante elástica igual a k=
48 EI L3
O sistema composto de eixo e disco da figura ao lado,
disco oscila em torno da posição angular de equilíbrio
M
J
está sujeito a um momento oscilatório rotativo. Portanto, o
JP ,G
estático e o eixo (barra cilíndrica) tem o comportamento similar a uma mola torcional.
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L
θ Pag. 19
Vibrações
Este efeito ocorre, por exemplo, nos eixos das caixas de câmbio, pois funcionam como molas de torção, enquanto que as engrenagens funcionam como discos de inércia. Quando o disco de inércia gira de um ângulo θ a partir da posição de equilíbrio, o momento de torção que o disco impõe ao eixo, é escrito por : M=
JP G θ L
Na expressão, G é o módulo de elasticidade transversal, JP é o momento polar de inércia de área da seção do eixo e L é o comprimento do eixo. Uma mola torcional é considerada linear quando há uma relação proporcional entre o momento aplicado e o deslocamento angular. Chama-se de kt , a constante elástica torcional. M = kt θ Comparando as expressões anteriores, a constante elástica torcional do eixo é obtida como: kt =
JP G L
A tabela abaixo resume algumas constantes de mola obtidas a partir de elementos estruturais:
Mola helicoidal sob carga axial (d = diâmetro do arame, D = diâmetro da espira e n= número de espiras)
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k eq =
Gd4 8nD 3
Viga bi-engastada com carga transversal no centro da viga
k eq =
192 EI
Viga simplesmente engastada com carga transversal na extremidade
k eq =
3 EI
Eixo tubular sob torção (D = diâmetro externo, d = diâmetro interno)
kt =
L3
L3
(
πG 4 D − d4 32 L
)
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Vibrações
2.1.2 Molas Equivalentes Quando as molas estão posicionadas em paralelo, e a deformação de cada uma é a mesma, a força total é a soma direta das forças desenvolvidas em cada mola que depende das respectivas constantes elásticas. x
k1 m
k2 kn
A substituição das molas em paralelo por uma única de constante elástica keq é feita pelo procedimento abaixo: n F = k1x + k 2 x + k3 x + # + k n x = ∑ ki x i =1
→
F = keq x
n
k eq = ∑ ki
→
i =1
Quando as molas estão posicionadas em série, a mesma força é desenvolvida em todas as molas quando deformadas. Entretanto, a deformação sofrida por cada mola é diferente e depende das constantes elásticas individuais.
x k1
kn
k2
m
O deslocamento na extremidade do conjunto, a partir da posição de equilíbrio, é obtido pela soma das deformações de cada mola, x = x1 + x2 + x3 +#+ xn =
n
∑ xi i =1
→
xi =
Portanto, a constante elástica equivalente é obtida como :
F ki
n
F i =1 ki
x=∑
→
keq =
1 n
1
∑k
i =1 i
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Vibrações
No exemplo abaixo, deve-se determinar a constante elástica equivalente do sistema. x
2k 3k
k
2k m
k Efetuando associações em paralelo e em série, tem-se : x 3k/5
x 2k
13k/5
m
m
2.1.3 Posição de Equilíbrio Estático A posição de equilíbrio estático de um sistema mecânico é a posição na qual o sistema permanecerá em equilíbrio na ausência de oscilações. Como já observado nas disciplinas de física, oscilações ocorrem em torno da posição de equilíbrio estático e são causadas pela presença de energia cinética ou potencial ou por uma força externa. Os sistemas da figura abaixo têm molas deformadas na posição de equilíbrio estático e é importante saber quantificar esta deformação estática. À esquerda a mola está deformada com
δest = mg/k . Na direita, a massa da barra está dividida igualmente entre os dois apoios, portanto a deformação estática da mola é δest = mg/(2k) .
mg/2 l0
k
k
δest
m k
m mg
Abaixo, ambos os sistemas não estão deformados, pois não sofrem da força gravitacional.
k
k1 m
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m1
k2 m2
m3 Pag. 22
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2.2 Massas ou Inércias As propriedades de massa ou de momento de inércia nos corpos rígidos são utilizadas na determinação da força de inércia ou do momento inercial respectivamente. Pode-se determinar este tipo de força ou momento utilizando a 2ª Lei de Newton. M = J θ!!
F = m !x!
As energias cinéticas de translação e de rotação destes corpos são calculadas por : Ec =
1 m x! 2 2
Ec =
1 J θ! 2 2
2.2.1 Efeitos de Inércia em Molas Quando uma força é aplicada para deslocar um bloco de massa da sua posição de equilíbrio, o trabalho efetuado pela força é convertido em energia de deformação armazenada na mola. Se a massa é deixada nesta posição e depois solta, a energia potencial da mola se converte em energia cinética para os dois componentes, o bloco e a mola. Se a massa da mola não é muito menor que a massa do bloco, sua energia cinética é não pode ser considerada desprezível. Para a mola, as velocidades nas diversas posições do seu comprimento variam. Se o suporte da mola não se movimenta, a velocidade da mola junto ao suporte é zero e na extremidade presa ao bloco de massa a velocidade é a própria velocidade do bloco como se pode observar no diagrama de velocidades da figura abaixo.
m
x!
dz
u!
L z
k u! ( z ) =
z x! l
A relação entre a velocidade do comprimento infinitesimal e a velocidade do bloco de massa está descrita pela expressão ao lado da figura.
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Como a energia cinética é o produto da massa pela velocidade ao quadrado, devemos integrar ao longo da mola as energias cinéticas de cada comprimento infinitesimal da mola para obter a energia cinética total da mola. A energia cinética infinitesimal é :
(dEc )mola = 1 dm [ u! ( z )]2 = 1 mmola dz [u! ( z )]2 2
2
l
A energia total cinética da mola é obtida então, por :
(Ec ) mola = ∫ (dEc )mola = ∫0 l
l 2 1 m 1 mmola x! 2 z 3 1 m mola zx! = mola x! 2 dz = 3 2 l 2 l l 3 0 2 3
Para o sistema massa-mola temos que a massa equivalente da mola que deve ser adicionada a massa do sistema, é :
[meq ] mola = mmola 3 2.3 Amortecimento Viscoso O amortecimento viscoso representa a dissipação da energia de movimento nos sistemas mecânicos e ocorre quando as superfícies de contato dos dois componentes estão separadas por um filme de fluído viscoso. Conforme já comentado anteriormente, o fluído provoca uma força de restrição ao movimento que é proporcional a velocidade relativa dos corpos. Se for um amortecedor hidráulico convencional, temos que o êmbolo e o cilindro têm velocidades v1 e v2, respectivamente. F = c ∆v
onde : ∆v = v1 − v2
Em cada ciclo de oscilação uma parcela da energia existente no sistema é perdida. A potência dissipada pelo amortecedor é então calculada por: Pdissip = F ∆v = c (∆v )2
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2.4 Resumo dos componentes Sistemas Lineares ou de Translação: x
c
k
m
Constante e Unidade
Força
Energia ou Potência
F = keq x
keq [ N / m]
EP = V =
1 keq x 2 2
Massa
F = meq !x!
meq [kg ]
EC = T =
1 meq x! 2 2
Amortecedor
F = ceq x!
ceq [ Ns / m]
Pdissip = ceq x! 2
Momento
Constante e Unidade
Energia ou Potência
Mola
Sistemas Angulares ou de Rotação:
J kt M θ
Mola Torcional
ct M = kt
eq
θ
kt
eq
[ N m]
EP = V =
1 kt θ 2 2 eq
EC = T =
1 J θ! 2 2 eq
Inércia
M = J eq θ!!
J eq [kg m 2 ]
Amortecedor Angular
M = ct eq θ!
ct eq [ N s m]
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Pdissip = ct eq θ! 2
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2.5 Leitura Recomendada Rao, S.S., 1995, Mechanical Vibrations, Addison Wesley, 3a ed., Cap.I, pág.1-55, Nova York.
2.6 Exercícios Propostos Admitindo que k1 = 5 N/m, k2 = 10 N/m, kt1 = 5 Nm e kt2 = 10 Nm, determine a constante equivalente de mola dos sistemas abaixo:
x
k1
α
kt1 J
θ
m
c)
kt2
a)
k2
0,3
kt1 kt2
k1
0,2 0,5
J
θ b)
m x
d)
a) Rotores acoplados por engrenagens: z1=60 kt1 n1 kt2 n2
e)
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z2=20
kt1
J
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3. MÉTODOS DE ENERGIA 3.1 Soma de Energias Cinéticas Muitas vezes é necessário analisar o movimento completo de sistemas vibratórios que são compostos de alavancas, engrenagens e outras ligações e complicam aparentemente a análise, pois cada componente tem movimento diferente. Estando estes componentes rígidos ligados de forma tal que a movimentação de um seja vinculada a movimentação dos outros, é vantajoso, em geral, a redução do sistema para um equivalente mais simples. Assim, a associação de massas é obtida por meio da soma das energias cinéticas. Para melhor compreensão, utilizou-se o exemplo do sistema de acionamento da válvula do motor, indicado na figura ao lado. As velocidades dos pontos A e B podem ser escritas em função da velocidade angular da alavanca, ou seja: x! = a θ!
y! = b θ!
A energia cinética total dos componentes oscilantes do sistema é calculada como: Ec =
1 !2 1 1 1m Jθ + (mvalv ) y! 2 + (mhaste ) x! 2 + mola y! 2 2 2 2 2 3
Substituindo as velocidades e rearranjando alguns termos, obtém-se o Jeq de uma alavanca maior que substitui todos os componentes no cálculo. Ec =
1 1 m J + (mvalv )b 2 + (mhaste ) a 2 + mola b 2 θ! 2 = J eq θ! 2 2 2 3
Substituindo a velocidade do ponto A na expressão, obtém-se a massa equivalente em A: m J + mvalv b 2 + mhaste a 2 + mola b 2 1 3 x! 2 = 1 (m A ) x! 2 Ec = 2 2 2 a Prof. Airton Nabarrete
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Vibrações
3.2 Método da Energia Conservativa Além de aplicar a 2ª lei de Newton para obter a equação dinâmica (equação diferencial do modelo), podemos utilizar também o método da conservação da energia. Neste método ressaltamos o seguinte postulado: “A soma das energias cinética e potencial para um sistema conservativo é igual a uma constante desde que a energia total do sistema seja representada somente em função destes dois tipos de energia”. Sendo a energia total constante, temos que a variação da energia é zero. ETOTAL = EC + E P = cte
∂ ( EC + E P ) = 0 ∂t
⇒
A vantagem deste método é que a diferenciação da energia total no tempo nos dá a equação dinâmica do sistema, porém somente podemos aplicá-lo quando desconsiderarmos qualquer forma de amortecimento e forças externas ao sistema vibratório. Para efeito de comparação, no exemplo da massa, polia e mola, a equação dinâmica será obtida pelo método de forças dinâmicas (2ª lei de Newton) e também pelo método de energia. Método das forças dinâmicas: a figura abaixo descreve a análise de corpo livre para o bloco de massa e para a polia. A massa do cabo foi desprezada neste exemplo. Análise Estática
Análise Dinâmica
M r
θest
O
O mg
O T
k δest
k m
k (δest+x) T
mg m
x
θest+ θ
m mg
mg
Do equilíbrio estático na polia, podemos dizer que :
∑ MO = 0
→
(m g ) r = (k δ est ) r
O cabo que sustenta a massa é o mesmo que está ligado à mola, portanto qualquer deslocamento da massa se reflete em deformação para a mola.
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Vibrações
A equação de compatibilidade entre os deslocamentos da massa e da polia é escrita como : x =rθ
!x! = r θ!!
∴
Como a deformação da mola é equivalente ao deslocamento da massa, então :
δ est = r θ est Aplica-se a 2ª lei de Newton para escrever a equação dinâmica para o bloco de massa m,
∑ F = m !x!
→
m g − T = m !x! ,
então
T = m g − m !x!
A equação dinâmica para a polia, é :
∑ M O = J θ!!
→
T r − [k (δ est + x )] r = J θ!!
Relacionando as equações acima, pode-se escrever : T = m g − m r θ!! J θ!! = (m g − m r θ!!) r − [k r (θ est + θ )] r Aplicando a condição de equilíbrio estático, obtém-se a equação dinâmica: ( J + m r 2 ) θ!! + k r 2θ = 0 Método da Energia Conservativa: Como primeiro passo, efetua-se a soma das energias cinéticas e potenciais envolvidas no exemplo : ET = EC ( massa ) + EC ( polia ) + E P ( mola )
→
m x! 2 J θ! 2 k x 2 ET = + + = cte 2 2 2
No segundo passo, escreve-se as equações de compatibilidade entre as diversas variáveis de deslocamento e substitui-se na equação da energia total conservativa : x =rθ
→
x! = r θ!
( )
1 1 2 1 ET = m rθ! + J θ! 2 + k (rθ )2 2 2 2
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Vibrações
O terceiro passo é a diferenciação da energia total sabendo que seu valor é constante :
∂ ET = 0 = m r 2θ! θ!! + J θ! θ!! + k r 2θ θ! ∂t
(m r θ!! + J θ!! + k r θ )θ! = 0 2
2
Como θ! não pode ser nulo sempre, então :
(m r
2
)
+ J θ!! + k r 2θ = 0
Por fim, pode-se calcular a freqüência natural não-amortecida do sistema massa-polia-mola :
ωn =
k r2 (J + m r 2 )
Num segundo exemplo, representado na figura abaixo, uma barra rígida de massa m, comprimento l e seção transversal uniforme, é articulada no ponto O e suportada por uma mola.
Neste exemplo, o amortecedor será desconsiderado para poder aplicar o método da energia conservativa. a) Expressão da energia total: ET = EC (barra ) + E P ( mola )
→
ET =
J O θ! 2 k x 2 + = cte 2 2
b) Equação de compatibilidade entre os deslocamentos: x = aθ
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→
ET =
1 1 J O θ! 2 + k (aθ )2 2 2
Pag. 30
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c) Diferenciação da equação de energia:
∂ ET = 0 = J O θ! θ!! + k a 2θ θ! ∂t
(J
)
θ!! + k a 2θ θ! = 0
O
Portanto, J O θ!! + k a 2θ = 0 Para a barra de seção uniforme, tem-se que: J CG =
ml 2 12
Aplica-se o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia no ponto O, então, 2
J O = J CG + md 2
→
JO =
ml 2 ml 2 l + m = 12 3 2
Finalmente, tem-se: ml 2 !! θ + k a 2θ = 0 3
→
ωn =
3 k a2 ml 2
Um terceiro exemplo será utilizado para determinar a equação dinâmica do pêndulo simples com massa m na extremidade da haste de comprimento l. Como procedimento de modelagem, admite-se que a massa tem dimensões reduzidas em relação ao comprimento da haste. Além disto, a massa da haste é desprezível quando comparado à massa m.
O
a) Expressão da energia total: l
ET = EC + E P ( gravitacional )
y 3
ET =
θ
!2
JO θ + mgl (1 − cosθ ) = cte 2
1 m
2 mg
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l - l cos(θ )
Pag. 31
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b) A equação de compatibilidade não é necessária, pois o sistema está todo escrito em função de θ . c) Diferenciação da equação de energia:
∂ ET = 0 = J O θ! θ!! + mgl (senθ )θ! ∂t J O θ!! + mgl (sen θ ) = 0 O momento de inércia do pêndulo é escrito na forma: J O = ml 2 Portanto, ml 2 θ!! + mgl (sen θ ) = 0 Ou ainda, g θ!! + (senθ ) = 0 l A equação obtida é uma equação diferencial não-linear. Entretanto, aplicamos uma simplificação, admitindo que o pêndulo oscile com pequenos ângulos. Para condições iniciais que façam o pêndulo oscilar com pequenos ângulos, tem-se : sen θ ≅ θ
g θ!! + θ = 0 l
→
ωn =
g l
3.3 Amortecimento equivalente Nos sistemas em que é necessário determinar o amortecedor equivalente, devemos fazer uso da técnica usada no item 3.1 . Se houver vários amortecedores, a potência dissipada é obtida pela expressão: Pdissip = ∑ ci (∆v )i2 i
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Vibrações
No exemplo da figura abaixo, vários amortecedores são montados em uma alavanca de comprimento l que oscila em torno do ponto O.
c1
O
c3
c2
m y
a
x
z
k
b Para o cálculo da equação dinâmica na rotação da alavanca é necessário determinar o amortecimento angular equivalente. Então, utiliza-se a expressão de potência dissipada :
[Pdissip ]Total = ct eq θ!2 = c1 y! 2 + c2 z! 2 + c3 x! 2 As equações de compatibilidade para este caso são : y = aθ
, z = bθ
, x=lθ
Portanto, a constante equivalente de amortecimento é escrita como :
( )
( )
( )
2 2 2 ct eq θ! 2 = c1 a θ! + c2 bθ! + c3 l θ!
→
ct eq = c1 a 2 + c2 b 2 + c3 l 2
A constante de mola também pode ser obtida por procedimento semelhante ao apontado no item 3.1 . Assim, tem-se : EP =
1 1 kt eq θ 2 = k x 2 2 2
Aplicando-se a compatibilidade dos deslocamentos, 1 1 kt eq θ 2 = k (l θ )2 2 2
→ kt eq = k l 2
Portanto, utilizando do momento de inércia encontrado no exemplo 2 do item 3.2, faz-se :
(
) ( )
m l2 θ!! c a 2 c b2 c l 2 θ! + k l 2 θ = 0 3 + 1 + 2 + 3
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