2.-variação - De - Funções

Transcript

2. Variação de Funções 2.1 Crescimento e Decrescimento Seja y  f (x) uma função e seja I um intervalo contido no domínio de f. Dizemos que f é estritamente crescente em I se para todos r e s que pertencem a I com r  s tem-se f r   f s  . Se f r   f s  então f será estritamente decrescente em I. f é estritamente crescente em I. Em cada ponto x interior ao intervalo I tem-se f’(x > 0 f é estritamente decrescente em I. Em cada ponto x interior ao intervalo I tem-se f’(x) < 0 y  f (x) f ( x)  0 f ( x)  0 2.2 Pontos de Máximo e Mínimo locais Seja y  f (x) uma função e seja I um intervalo contido no domínio de f Seja x 0 em I. Dizemos que x 0 é um ponto de máximo local ou que f(x 0 ) é valor máximo local de f em I se f(x)  f(x 0 ) para todos x em I. Se f(x)  f(x 0 ) para todo x em I, então x 0 é ponto de mínimo local ou f(x 0 ) é valor mínimo local de f em I. Se x 0 é ponto de máximo ou de mínimo local certamente f (x 0 )  0 e x 0 é ponto critico de f. Se para x  x 0 f (x) for estritamente crescente e para x  x 0 f for estritamente decrescente, então x 0 é ponto de máximo local. Se para x  x 0 f (x) for estritamente decrescente e para x  x 0 f for estritamente crescente então x 0 será ponto de mínimo local é ponto de máximo é ponto de mínimo local. Prof. Irã Assis Rocha local. Página 9 Notas de Aulas de Cálculo II Para cada função, pede-se dar os intervalos de crescimento e decrescimento e identificar pontos de máximo e mínimos locais a) f ( x)   x 2  6 x  10 . b) f ( x)  x 3  3x  10 . Solução: Dois números positivos têm soma 90 . Quais são esses números se o produto de um deles pelo quadrado do outro é o máximo possível ? Resposta: A partir de uma chapa quadrada com 60 cm de lado, quer-se construir uma caixa sem tampa, cortando-se um quadrado em cada canto da chapa e depois dobrando-se convenientemente como mostra a figura. Qual deve ser o tamanho dos quadrados a serem cortados para que a caixa encerre o maior volume possível? Solução; Seja x > 0 a medida do lado de cada quadrado cortado nos quatro cantos da chapa quadrada. Prof. Irã Assis Rocha Página 10 Notas de Aulas de Cálculo II 1. Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento, identificando os pontos de máximos e 1 1 1 mínimos locais. a) f(x)  3x 3  2 x 2  2 b) f (x)  - x 3  6 x  1 c) f(x)  - x 3  x 2  x  1 3 4 2 4   4 ,    f é estritamente decrescente em:  0 ,  . 9   9 a)f é estritamente crescente em:  -  , 0    4 é ponto de mínimo local. 9 b) f é estritamente crescente em: - 2 , 2 , f é estritamente decrescente em: -  , - 2  2 ,  . x  0 é ponto de máximo local e x        x   2 é ponto de mínimo local, e x  2 é ponto de máximo local. 1   c) f é estritamente crescente em:  - 1 ,  , f é estritamente decrescente em:  - , - 1    1 ,   2  2   1 x  1é ponto de mínimo local e x  é ponto de máximo local. 2 A altura de uma bola lançada do solo em função do tempo é dada por h(t )  60t  6t 2 onde t é o tempo dado em segundos e a altura em metros. Pede-se calcular: a ) em qual instante é atingida a altura máxima b) o valor altura máxima atingida. Respostas: a) 5 s b) 150 m. 3. Um fazendeiro tem 10 m de grade para cercar três lados de um galinheiro retangular, o quarto sendo uma parede já existente. Dê as dimensões para que a área que será ocupada pelas galinhas seja máxima. Resposta: Dois lados iguais a 2,5m e outro de 5 m Repetir o exercício 3 supondo agora que a grade é utilizada nos quatro lados do galinheiro Resposta: O galinheiro deverá ser quadrado de lado 2,5 m. 5. Uma caixa sem tampa é construída a partir de um pedaço retangular de papelão de dimensões 8 m e 5 m , eliminado os quatros quadrados congruentes dos seus vértices . Qual deve ser o tamanho do lado do quadrado retirado para que o volume da caixa seja máximo? Resposta: Cada quadrado cortado deverá ter 1 m de lado. O proprietário de uma chácara quer cercar 64 m² dela para construir um pomar retangular ABCD, usando materiais distintos , cujos custos são dados a seguir : em AB 9R$ / metro , em BC 1,5 R $ / metro , em CD e DA 1R$ /metro . Quais são as dimensões do pomar para que o custo seja mínimo? Resposta: AB=CD = 4 cm e AB=DC=16 cm Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máximo. Resposta: O número é 1 . 2 Encontre o ponto da curva y  1 , x  0 que está mais próximo da origem. Sugestão: Minimize a x função: quadrado da distância de um ponto à origem. Resposta: 1 , 1 Quer-se construir uma piscina de base quadrada e que encerre um volume de 32 m 3. O preço do m ² da base equivale a 2 salários mínimos, enquanto que o preço do m² das faces laterais equivale a 16 salários mínimos. Quais as dimensões da piscina para que se tenha preço mínimo? Resposta: O custo da piscina seja mínimo, se o lado da base for 8m e a profundidade ½ m. Determinar as dimensões do retângulo de área máxima inscrito numa circunferência de raio igual a 4m. Resposta: O retângulo de área máxima é um quadrado de lado 2 2 m. Prof. Irã Assis Rocha Página 11 Notas de Aulas de Cálculo II ( _ 2. Uma caixa sem tampa é construída a partir de um pedaço retangular de papelão de dimensões 8 m e 5 m , eliminado os quatros quadrados congruentes dos seus vértices . Qual deve ser o tamanho do lado de cada quadrado retirado para que o volume da caixa seja máximo? Para produzir x unidades de certo produto, um fabricante tem um custo total C ( x)  2 x 3  6 x 2  110 x  60 e uma receita total R( x)  100 x Determine quantas unidades serão produzidas para que o lucro L( x)  R( x)  C ( x) seja máximo. Prof. Irã Assis Rocha Página 13 Notas de Aulas de Cálculo II