04 Analise Fourier I

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Análise de Fourier série de Fourier - primeira parte análise de Fourier 01 marcelo bj 1 Introdução  Sinais elétricos são em geral descritos no domínio do tempo.  Representação no domínio do tempo:  medidas de: amplitude, valor máximo, período, potência, ...  em muitas situações a representação no domínio do tempo não é suficiente para descrevê-lo completamente.  Representação no domínio da frequência:  espectro de frequência, componentes de frequência importantes, largura de banda, ... • série de Fourier (para sinais periódicos). • transformada de Fourier (para sinais aperiódicos). • espectro Densidade de Potência (para sinais de informação sinais aleatórios). análise de Fourier 01 marcelo bj 2 Resposta de um sistema LIT a exponenciais complexas  Considere um sistema LIT, com resposta ao impulso h(t), em que que é aplicado na entrada uma exponencial complexa, x(t), tal que: xt   e s0t  em que s0 é um número complexo da forma: s0 = 0 + j0 xt   e s0t  h(t) y(t) como, y t   xt * ht  análise de Fourier 01 marcelo bj 3  utilizando a integral de convolução calculamos a saída y(t): yt      h e s0 t   d  e s0 t    h e  s0 d H s0   assim, a resposta do sistema apresenta a seguinte forma: yt   e s0t H s0  • observe que o mesmo sinal da entrada está presente na saída, somente que alterado por H(s0). análise de Fourier 01 marcelo bj 4 xt   e st  entrada: exponencial complexa ou senóide   yt   e H s  st  saída: exponencial complexa ou senóide  Observações:  a saída apresenta a mesma forma da entrada, • ela é modificada por H(s) em amplitude e fase, pois H(s) é um número complexo.  est  é chamada de autofunção do sistema.  H(s)  é chamada de autovalor.  observe também que a operação de convolução entre a entrada e saída foi substituída pela operação de multiplicação. análise de Fourier 01 marcelo bj 5  aplicando uma combinação de exponenciais na entrada tem-se: xt   a1e s1t  a2e s2t    aN e sN t H[ . ] como o sistema é LIT yt   a1e H s1   a2e H s2    aN e s1t s 2t yt   N  sN t H s N  ak e sk t H sk  k 1  a saída é uma combinação linear de exponenciais complexas.  pista: sinais podem ser representados por uma combinação linear de exponenciais complexas do tipo eskt . análise de Fourier 01 marcelo bj 6 Representação em série de Fourier de sinais periódicos  anteriormente foi apresentado dois tipos de sinais periódicos: cosw0 t   sinal cossenoidal e jw0t  cosw0t   j senw0t   exponencial complexa  e o conjunto de exponenciais ejkwot complexas, relacionadas harmonicamente:  k t   e jkw0t , k  0,  1,  2,  wk  k w0  frequência de cada harmônico T0 Tk  k  período de cada harmônico (k ≠ 0) análise de Fourier 01 marcelo bj 7  Uma combinação linear do conjunto de exponenciais complexas pode ser escrita da seguinte maneira: xt     ak e jkw0t k   A equação acima é a série de Fourier para sinais periódicos. ak  Ak e jk  são os coeficientes da série  complexos k  0  a0  termo constante ou dc k  1  w0  primeiro harmônico ( freq. fundamental ) k  2  2 w0  segundo harmônico ... análise de Fourier 01 marcelo bj 8  exercício 1: considere a série exponencial abaixo: xt   3  ak e jkw0t w0  2 k  3  1 a0  2 a2  a2 1  2 1 a1  a 1  4 1 a3  a  3  3 expandindo a equação acima e agrupando os sinais de mesma frequência tem-se:      1 1 j 2 t 1 j 4 t 1 j 6 t  j 2 t  j 4 t xt    e e  e e  e  e  j 6 t 2 4 2 3 1 1 2 xt    cos2t   cos4t   cos6t  2 2 3 w0 análise de Fourier 01 2w0 marcelo bj 3w0 9   exercício 1 (continuação) x0  2 0 -2 2 1 2 2 0 -2 1 x1  cos2t  2 2 0 -2 2 0 -2 2 0 -2 x0 x0 + x 1 0 -2 x2  cos4t  x0 + x 1 + x 2 2 0 -2 2 x3  cos6t  3 análise de Fourier 01 x0 + x 1 + x 2 + x 3 2 0 -2 marcelo bj 10 Determinação dos coeficientes da série de Fourier xt    a e k jkw0t k    multiplicando ambos os lados da equação acima por xt e  jnw0t    e  jnw0t ak e jkw0t e  jnw0t k    integrando em um período: T0  0 xt e  jnw0t dt     T0 0 ak e jkw0t e  jnw0t dt k    trocando a ordem da integral com a somatória: análise de Fourier 01 marcelo bj 11 T0  0 xt e  jnw0t  dt  a  T0 k k   e j k  n w0t dt 0  como: T0  e j k  n w0t 0 e jkw0t 0, dt   T0 , kn k n  funções ortogonais  base para funções periódicas  portanto: 1 ak  T0 análise de Fourier 01 T0  0 xt e  jkw0t dt marcelo bj 12  Observações:  o intervalo de integração não precisa ser o anterior, basta que seja feito em um período,  o par de equações que define a série exponencial de Fourier é mostrado abaixo: xt     ak e jkw0t equação de síntese: reescreve o sinal a partir dos coeficientes ak. k   1 ak  T0 análise de Fourier 01  T0 xt e  jkw0t dt equação de análise: calcula os coeficientes ak. marcelo bj 13 Condições de existência da série  A convergência da série é garantida se as condições de Dirichlet forem satisfeitas:  x(t) é um sinal limitado (absolutamente integrável ou somável em um período),  x(t) apresenta um número finito de máximos e mínimos em um período,  se x(t) apresenta um número finito de descontinuidades em um período.  Se o sinal satisfizer as condições acima e não for contínuo então a série convergirá para o ponto médio de x(t) em cada descontinuidade. exercícios: análise de Fourier 01 marcelo bj 14  exercício 2: 1   xt    senw0t   2 cosw0t   cos 2 w0 t   2 4  3.207 |ak| 1.0 ak 1.12 fase ímpar módulo par 0.5 -2 -1 análise de Fourier 01 -2 -1 0 1 2 0 1 2 kw0 kw0 marcelo bj 15  exercício 3: onda quadrada 1  1, t   xt     0 ,   t  T0 / 2 1 ak  T0  e  jkw0t  dt -T0/2 -  T0/2 1 ak  senkw0 , k  0 k 2 a0  T0 To = 4 To = 8 sen k / 2  ak  , k 0 k sen k / 4  ak  , k 0 k OBS: neste caso, em particular os coeficientes são reais análise de Fourier 01 marcelo bj 16  Gráficos dos coeficientes ak ak To = 4 sen k / 2  ak  , k 0 k k 0 ak To = 8 sen k / 4  ak  , k 0 k k 0 análise de Fourier 01 marcelo bj 17 Espectro de amplitude e de fase |ak| Espectro de Amplitude w -2w0 wo 0 w0 2wo  Espectro de Fase ak w - análise de Fourier 01 marcelo bj 18 Função sinc sen x  sinc  x   x sinc(x) 1 lóbulo principal -3 -2 -1  OBS: análise de Fourier 01 lim sin cx   x 0 senx  x marcelo bj 0 1 2 3 x 1 19  exercício 4: onda dente de serra xt   t , t 1  t0  2 s ak 1 -1 w0   rad / s 1 t 3 -1   1k  j j cosk k k a0  0 ou 1 j k  / 2  ak  e k análise de Fourier 01 marcelo bj 20 análise de Fourier 01 marcelo bj 21 análise de Fourier 01 marcelo bj 22 análise de Fourier 01 marcelo bj 23 análise de Fourier 01 marcelo bj 24 Propriedades da série de Fourier  Sejam dois sinais periódicos x(t) e y(t) e períodos iguais.  período T0 e frequência w0 = 2/T0 tais que: SF xt    ak SF yt    bk 1. Linearidade: zt   Axt   Byt    ck  Aak  Bbk SF A e B constantes 2. Deslocamento no tempo: SF yt   xt  td    bk  e  jkw0td ak  OBS: |bk| = |ak|  somente a fase é alterada. análise de Fourier 01 marcelo bj 25 3. Reversão no tempo: SF yt   x t    bk  ak 4. Compressão / expansão: yt   xt    SF   yt   ak e jkwot k    Muda somente a frequência fundamental ( w0 ) e os valores dos harmônicos ( kw0 ). Os coeficientes permanecem os mesmos: bk  a k 5. Multiplicação de sinais:  SF z t   xt yt    ck  a b l k l l   análise de Fourier 01 marcelo bj 26 6. Conjugado complexo: SF yt   x* t    bk  a*k 7. Integração e diferenciação: 1 yt   x d   bk  ak  jkw0  t SF d SF y t   xt    bk  jkw0 ak dt 8. Relação de Parseval: 1 Pm  T0 análise de Fourier 01  T0 | xt  | dt  2  a 2 k k   marcelo bj 27 Espectro densidade de potência:  A relação de Parseval relaciona a energia no domínio do tempo com o da frequência. Elas devem ser as mesmas.  O gráfico do módulo ao quadrado dos coeficientes com a frequência é chamado de espectro densidade de potência.  Pm    ak a*k  k    | ak |2 k   Pm a24 a23 a22 a 21 -3f0 -2f0 -f0 análise de Fourier 01 a 02 a12 f0 marcelo bj a 22 2f0 a 32 3f0 a 42 f 28 9. Simetria da função:  Função par:  os coeficientes ak são reais.  Função impar  os coeficientes ak são imaginários.  Observação: Para um sinal real qualquer  Os coeficientes ak  complexos conjugados  |ak|  função par  Fase de ak  função ímpar. exercícios: análise de Fourier 01 marcelo bj 29 análise de Fourier 01 marcelo bj 30 análise de Fourier 01 marcelo bj 31 Série trigonométrica de Fourier  Para sinais reais os coeficientes ak aparecem na forma de números complexos conjugados tais que: ak  Ak e jk e ak  Ak e  jk  O módulo permanece o mesmo.  Portanto x(t) pode ser escrita na seguinte forma:  A xt   A0  2 k coskw0t   k  k 1 em que: A0  a0 forma compacta análise de Fourier 01 marcelo bj 32  Considerando os coeficientes ak na forma retangular, isto é, a k  Bk  jC k então:  B xt   a0  2 k coskw0t   Ck senkw0t  k 1 1 Bk  T0  T0 xt  coskw0t dt 1 Ck  T0  T0 xt  sen kw0 t dt k  1, 2 , k  1, 2 ,  relação com os coeficientes da série exponencial: A0  a0 ; Ak  análise de Fourier 01 Bk2  Ck2 marcelo bj  Ck ;  k  arctan  Bk     33  Exercício 5: x(t)   xt   cos t  2  -5  2 1 k ak   1     2k  12k  1   -3 -1 0 1 3 t 5 2 a0   os coeficientes ak são reais  como a função é par temos somente termos em cossenos, os coeficientes bk são nulos. análise de Fourier 01 marcelo bj 34 Espectro de amplitude e de fase  É o gráfico dos coeficientes da série de Fourier em função da frequência (harmônicos).  |ak|  espectro de amplitude  k  espectro de fase  1 jw0t xt   cosw0t   e  e  jw0t 2 unilateral  bilateral 1 1/2 0 w0 -w0 espectro unilateral série trigonométrica análise de Fourier 01 0 w0 espectro bilateral série exponencial marcelo bj 35 espectro de amplitude |ak|   xt   sen w0t   cos w0t    2   1 j w0t  / 2   j w0t  / 2  e e 2 unilateral  bilateral 1 1/2 0 w0 -w0 0 w0 espectro de fase k /2 /2 0 análise de Fourier 01 w0 -w0 marcelo bj 0 w0 36 exercícios: análise de Fourier 01 marcelo bj 37 análise de Fourier 01 marcelo bj 38 análise de Fourier 01 marcelo bj 39 bibliografia complementar  Joaquim, M. B. e Sartori, J. C., Análise de Fourier, CD-ROM, EESC-USP, 2003. análise de Fourier 01 marcelo bj 40