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Inclusão para a vida
Matemática B
AULA 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
2. Radiciação 2.1. Definição
1. Potenciação
b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.
1.1. Definição Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que: am = a. a. a. a. a..... a. m fatores
2.2. Representação n
a
2.3. Nomenclatura Em
Casos Particulares
= b bn = a
n
a
= b, temos: n é o índice a é o radicando b é a raiz
a0 = 1 para a 0 a1 = a a-n =
1 an
2.4. Condição de existência Em a , se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero. n
1.2. Propriedades Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se:
Se n for ímpar então
n
a
sempre existe.
2.5. Propriedades
am.an = am + n m
a m n n a a
(am)n = am.n (a.b)n = an.bn
an a n b b
n a .n b n a.b na a n n b b m n m na a n m n.p m.p a a
n
1.3. Potência de base 10 0
Sabe-se que: 10 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 Então 10n = 100...........00 n zeros
1 = 0,1 10 1 = 0,01 10-2 = 10 2 1 10-3 = = 0,001 10 3
Observe ainda que: 10-1 =
Então 10–n = 0,000.............001 n casas decimais
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nm
a n.m a
n
am a n
m
2.6. Racionalização de denominadores Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente a primeira sem no entanto com o radical no denominador. n
m
1º CASO: O denominador é do tipo a Neste caso multiplica-se numerador e denominador pelo fator:
n
anm
.
2º CASO: O denominador é do tipo a b Neste caso multiplica-se numerador e denominador Pelo fator:
a b
1
Matemática B
Exercícios de Sala
Inclusão para a Vida
a) d)
01) Calcule: a) 24 d) 17
2 3
g) 3-2 h)
b) – 24 e) 03 4
d)
6
34
e)
0,25
b)
125
d)
9
2
4
=
f)
0,01 3
64
5 5
c)
3 5 2
d)
2 5 3
5 3 2
d)
03) Sendo A = 2100, obtenha: a) sucessor de A c) quádruplo de A e) metade de A
c) 104
1 8
2
3
2 5
b)
d) 105
1 800
c)
e) 10
2
d)
3 8 10
e)
09) ( FGV-SP ) Qual o valor da expressão
a b 2 a 1 b 2 a b 1 4
a b a b 3
2
1
a
1
b) 102
2
b
quando a = 103 e
c) 103
2 n 4 2 n 2 2 n 1 2 n 2 2 n 1
d) 109
e) 107
temos:
i) 24 + 1201 + 03 + 40 3 a)
k)
2 3
2
3 2
1
02) Transforme cada expressão em uma única potência de base 2. 2 .2 .2
2 3 5
10) ( FGV-SP ) Simplificando a expressão c) (– 3)4 f) 5000
3
7
b) 103
2
a) 106
b) – 34 e) 080
4 2 3 ( 2) (2 ) j) 4 2
a)
c)
b = 102
01) Determine o valor das expressões:
3
0,125
3
08) (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?
5
a) 102
50 32 2 2 242
Tarefa Mínima
5 2
f)
3 06) O valor da expressão 100.(0,1) é equivalente a: 0,01
1 80
a) 34 d) 1201
0
81 16
6 3
b)
a)
b)
g) 4-2 h)
5 2
3 2
5
01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é zero. 08. A metade de 48 + 84 é 17.211
04) Racionalize:
a)
e)
c)
07) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
2
03) Calcule:
3
1
32
c) (34)2 =
c)
3
5
Tarefa Complementar
a) 3 . 3 . 3 =
a)
b)
a)
2 5 3 .3 b) = 3 3
-5
625
05) Racionalize:
c) (– 2)4 f) 2140
02) Transforme cada expressão em uma única potência de base 3. 7
4
b)
(23 ) 2 .23 4
4
82 c)
4
34 d)
3
3
11) ( Cesgranrio ) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então (abc)12 vale: a) 9912 d) 9988
b) 9921/2 c) 9928 e) 9999
2
b) o dobro de A d) quadrado de A f) raiz quadrada de A
04) Usando a definição, calcule o valor de cada uma das raízes:
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87 b)
12) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
45 20 80 é 5
01. A expressão equivalente a 02. O valor de
3 15
2 2 2 2 4 é2
2
Inclusão para a vida 1
Matemática B RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
1
8 3 16 2 é 4 4 obtém-se 2 2 08. Racionalizando 2 04. O valor de
3 5 5 3
16. A expressão
13) Calculando
313 312 25 : 23
a) 32 d) 38
b) 34 e) n.d.a.
é igual a
8 15 15
SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Sendo assim, temos que:
, acha-se: c) 36
1 1 1é 2 2 2 2
14) ( UEL-PR ) A expressão equivalente a:
sen =
b a
cos =
c a
tg =
b c
Observação: Se + = 90° tem-se que sen = cos
a) – 1 d)
2 2
b)
2
–1
e)
–2
c)
2 +2 Tabela de arcos notáveis
+1
15) ( UEL-PR ) Seja o número real x=
500 3 20 2 2 5 . Escrevendo x na 5 1
forma x = a + b a) 5 d) 8
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Observe, agora, o quadrado. Nele traça-se a diagonal e obtém-se
c , tem-se que a + b + c é igual a: b) 6 e) 9
c) 7
AULA 02
dois triângulos retângulo isósceles
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo ABC Em resumo, temos:
Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: ____
___
AC e AB são os catetos
BC é a hipotenusa B e C são os ângulos agudos
___
Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos são complementares, ou seja,
B C = 90º
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3
Matemática B Exercícios de Sala
Inclusão para a Vida
a) 55 metros c) 45 metros e) 51 metros
01) ( FUVEST ) Obter o valor de x na figura:
b) 15 metros d) 42 metros
03) ( UFSC ) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. 04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
02) No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 90°
e) n.d.a.
03) ( UFSC ) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos BP1P2 = e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância entre as margens (em metros) é:
Tarefa Mínima
Tarefa Complementar
05) Com base na figura abaixo é correto afirmar:
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x 01. h =
a)
2m
02. h =
04. a = (1 + 3 ) m 08. O triângulo ACD é isósceles
12
X
3m
30°
____
16. O lado
AC
mede 6m
06) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)
b) 6
60° X
c)
07) Determine o valor de x e y na figura abaixo: x 5 45°
02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)
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08) ( Unicamp-SP ) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
4
Inclusão para a vida
Matemática B TEOREMA DOS SENOS Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
a) b cos d) b tg
b) a cos c) a sen e) b sen
Exercícios de Sala
09) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância
01) Determine o valor de x na figura abaixo:
___
AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto. ___
01.
AC = 10km
02.
AD
___
= 2,5 km
02) ( FUVEST ) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo
____
04.
BC
=5
3 km BAˆ D mede 60°
08. O ângulo 16. A velocidade média do barco é de 15km/h
03) Determine o valor de x na figura abaixo
10) ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x B
60°
30°
C
D
A
AD = x
DC= x - 38
04) Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo abaixo, é:
BD = y
AULA 03 TEOREMA DOS CO-SENOS Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo coseno do ângulo formado por eles.
Tarefa Mínima
01) Determine o valor de x na figura abaixo:
02) ( UFSC ) Na figura, a medida do lado AC é 75 cm. A medida, em cm, do lado AB será:
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2 5
Matemática B
Inclusão para a Vida
A
ângulo L Aˆ C = 30°. Após navegar 4 milhas até B,
ˆ C = 75°. Quantas milhas verifica o ângulo L B separam o farol do ponto B? 45°
30° C
B
03) O triângulo ABC está inscrito na circunferência de
a) 2
2
b)
c) 2
3 2
d) 3
e) 4
centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:
3 2
09) Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = 6cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.
A
75°
10) ( FUVEST ) No quadrilátero dado a seguir,
ˆ C = 60° e BC = CD = 3cm, AB = 2cm, A D
O
ˆ C = 90°. AB
60° C
B
D
C
01. O triângulo ABC é equilátero 02. o raio da circunferência vale 2cm ___
04. AB = 2 2 cm 08. O comprimento da circunferência é 4 cm
04) ( PUC-SP ) Dois lados consecutivos de um paralelogramo
B
A
O perímetro do quadrilátero, em cm, é: a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
medem 3 2 cm e 5cm e formam um ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede:
AULA 04 e 05 a) 4 d)
b)
13
e) 4
11 2
c) 3
05) ( FUVEST ) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: a) 5/6 d) 2/3
b) 4/5 e) 1/8
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 1. ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
c) 3/4
Tarefa Complementar
06) ( CESGRANRIO ) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: a) ½ d) 4/5
b) 2/3 e) 5/6
c) 3/4
07) ( FUVEST-SP ) Numa circunferência está inscrito um
Arco de uma circunferência é cada uma das partes que fica dividida uma circunferência por dois quaisquer de seus pontos.
___
triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo B Aˆ C mede: a) 15° c) 36° e) 60°
b) 30° d) 45°
08) ( ITA-SP ) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e mede o
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6
Inclusão para a vida
Matemática B Exemplo:
1) 30º, 390º, 750º, 1110..........
Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e diferem apenas no número de voltas. A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira determinação positiva. A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k . 360º, com k Z. A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui vértice no centro da circunferência).
Se um arco mede radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k . 2, com k Z.
Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.
Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo comprimento é 1 do comprimento da circunferência. igual a 360 Logo a circunferência tem 360º. Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: 1º = 60'
1'= 60''
SENO e CO-SENO DE UM ARCO 1. Definição Considere o arco que possui extremidades na origem do ciclo trigonométrico e no ponto M ao qual corresponde o ângulo central .
Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido. Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos. Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos.
Portanto:
360º
2 rad
180º
rad
2. CICLO TRIGONOMÉTRICO
Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela extremidade M do arco sobre o eixo y. Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x
Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo trigonométrico. Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes denominadas quadrantes.
Anti Horario Positivo ORIENTAÇÃO Horario Negativo
2. Sinais
3. ARCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 360º.
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7
Matemática B
Inclusão para a Vida
3. Tabela
x a 2k (congruos) cos x = cos a x a 2k (suplementares)
Exercícios de Sala
01) Expressar em radianos os seguintes arcos: a) 300º
b) 60º
c) 12º
02) Um arco de 200° equivale em radianos a: Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1
OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos do 2º, 3º e 4º quadrantes
4. Equações trigonométricas num intervalo dado Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros. São exemplos de equações trigonométricas: 1) sen x = 1 2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0 Não é possível estabelecer um método para resolver todas equações trigonométricas, pois existe uma infinidade, para isso apresentaremos alguns tipos básicos.
x a 2k (congruos) sen x = sen a x a 2k (suplementares)
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a)
2 3
b)
5 2
c) 4
d)
10 9
e) 6
03) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) 930º
b)
23 rad 6
04) Determine o valor de: a) b) c) d) e) f)
sen 150° cos 150° sen 210° cos 210° sen 330° cos 330°
05) Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 admite solução. a) b) c) d) e)
-1m1 -2m5 2m3 2 0 e cos x < 0, então x é um arco do:
13) ( UFPA ) O menor valor positivo que satisfaz a equação 2 sen x = 1 é: a) /6 d) /2
a) 1º quadrante b) 2º quadrante c) 3º quadrante d) 4º quadrante e) n.d.a.
c) /3
14) ( UM-SP ) O menor valor positivo de x para o qual 9- cos x =
1 é: 3
6
b)
05) A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: a) b) c) d) e)
b) /4 e) n.d.a.
a)
2m3 1m4 -1 m 1 2 cos x para
16. Se tg x =
3 4
x
4
3
e x
sen x – cos x é igual a
5
4
.
, então o valor de
2
1
.
32. Se sen x 0, então cosec x 0. 64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0 x 2 é x =
09) ( UFSC ) Dado sen x =
6
3 5
A cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado (x, y).
5
ou x =
6
.
0 2 , calcule o
ex
Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número real yp é chamado ordenada do ponto. OBSERVAÇÕES
Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua
valor numérico da expressão:
sec 2 x cotgx cosecx tgx 6 senx cosec 2 x
1
10) ( FATEC ) Se x e y são números reais tais que y=
e x e xtg 4 x , então: sec x tg 2 x.sec x
a) y = ex
b) y = ex(1 + tg x) x
c) y =
e cos x
x
d) y =
e sec x
e) n.d.a.
ordenada é nula. P (xp, 0) Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua abscissa é nula. P (0, yp) Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais xp = yp Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então suas coordenadas são simétricas. xp = - yp
1. Distância entre dois pontos Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:
AULAS 08 e 09 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO O sistema cartesiano ortogonal como já vimos em funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas e a reta y é denominada eixo das ordenadas. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes numerados no sentido anti-horário.
O triângulo ABC é retângulo em C, então:
AB 2 AC 2 BC 2
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12
Inclusão para a vida
Matemática B
Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos: OBSERVAÇÕES: 2
d AB xB x A y B y A
2
2. Ponto Médio de um Segmento Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as coordenadas de A e B. Observe a figura:
xA O determinante xB xC
yA
1
yB
1 foi tomado em módulo, pois
yC 1
a área é indicada por um número positivo.
Se o determinante
xA
yA
1
xB
yB
1
xC
yC 1
for nulo, dizemos que
os pontos estão alinhados.
Exercícios de Sala 01) Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: a) distância entre A e B Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo no eixo x tem-se: xM xA = xB xM
xM
xA xB 2
no eixo y tem-se: yM yA = yB yM
yM
y A yB 2
Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terá as seguintes coordenadas
x xB y A yB M A 2 2
3. Área de um Triângulo conhecendo as coordenadas do vértice Considere o triângulo abaixo:
B
C
yC
xB
xC
x
Quando se conhece as coordenadas dos vértices A, B e C pode-se demonstrar que a área desse triângulo é dada por:
xA
A=
1 . xB 2 xC
03) Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo ABC é: a) 3 d) 6
b) 4 c) 7
c) 5
04) Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de um triângulo ABC. Calcular a área desse triângulo.
Tarefa Mínima 01) ( Mack-SP ) Identifique a sentença falsa:
e) o ponto ( 3 + 1, quadrantes pares.
yA A xA
02) Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontos A(3,1) e B(2,4). Calcular a abscissa a do ponto P.
a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x. c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.
y yB
b) Ponto Médio do segmento AB
yA 1 yB 1 yC 1
02) ( Cesgranrio ) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: 03) ( UFRGS ) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é: a) -1 d) -1 ou 10
b) 0 c) 1 ou 13 e) 2 ou 12
04) ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas, eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é: a) A(2,0) d) D(0,2)
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3 + 1) pertence à bissetriz dos
b) B(5,0) e) E(4,0)
c) C(3,0)
13
Matemática B
Inclusão para a Vida x
05) Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, 7) e C(2, 1)
A, B e P estão alinhados se e só se: xA
xB
Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2), determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos pontos A e B.
Logo:
09) ( UFJF-MG ) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices?
10) ( UCP-RJ ) A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (-2,-7) e (-4,1) é: d) 1
e) 3
b) 2,5
c) 2
d) 4
1
ax + by + c = 0
temos:
equação geral da reta.
a c a c substituindo por m e por n temos: b b b b
y = mx + n
Equação Reduzida da Reta
onde o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e n o coeficiente linear da reta.
2
11) ( Mack-SP ) A área de um triângulo é 25/2 e os seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: a) 3
1
2. Equação Reduzida da Reta
y
c) -3
yA 1 0 yB 1
yB
Pode-se obter a equação reduzida da reta isolando-se na equação geral y. Veja: ax + by + c = 0 by = ax c
a) (-1,2), (5,0), (7,4) b) (2,2), (2,0), (4,4) c) (1,1), (3,1), (5,5) d) (3,1), (1,1), (3,5)
b) 2
xA xB
yA 1 0
(yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0 a b c
b) escaleno d) retângulo
08) ( PUC-SP ) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:
a) 3
y
1
x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0
07) ( FCC-BA ) O triângulo cujos vértices são os pontos (1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: a) eqüilátero c) isósceles e) n.d.a.
Desenvolvendo
x
y
e) 5
12) A área do polígono, cujos vértices consecutivos são: A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em unidades de área, é:
3. Coeficiente Angular e Linear da Reta Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta. Vejamos, agora, o significado geométrico deles.
COEFICIENTE LINEAR O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eixo y.
AULA 10
COEFICIENTE ANGULAR
ESTUDO DA RETA Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. Com tal equação pode-se determinar se um ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque: A Equação Geral e A Equação Reduzida
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo , onde indica a inclinação da reta em relação ao eixo x.
1. Equação Geral da reta A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de alinhamento de 3 pontos. Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
m = tg ou m
yB y A xB x A
14
Inclusão para a vida CASOS PARTICULARES
Matemática B 03) Determine a equação da reta representada pela figura abaixo:
Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a 0, logo o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.
Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a 90º, logo o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é definido.
Tarefa Mínima 01) Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, - 3), determine: a) b) c)
equação geral equação reduzida coeficiente angular e linear da reta
02) Considere a reta r indicada pela figura abaixo
4. Equação do Feixe de Retas Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso usase a relação: y yo = m(x xo)
Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
Exercícios de Sala
01. A equação da reta r é y = x – 1 02. o coeficiente linear da reta r é – 1 04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é 45o 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3) 16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de coordenadas (1,0) 03) Determine a equação da reta r indicada abaixo
01) Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e B(4, 9), determine: a) b) c)
equação geral equação reduzida coeficiente angular e linear da reta
02) Determine o coeficiente angular das retas abaixo: a)
r: 2x + 3y + 1 = 0
b)
04) ( FGV-SP ) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: a) 3 d) 2
c)
c) 2
13
05) ( Fac. Moema-SP ) O coeficiente linear e angular da reta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente: a) 2 e 3 c) 2/3 e 1/3 e) n.d.a.
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
b) 3,25 e) 9
b) 2/3 e 1 d) 1/3 e 2/3
15
Matemática B Tarefa Complementar
Inclusão para a Vida Considere as retas r e s de equações: r = m1x + n1
06) A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem coeficiente angular 3. 07) Considere as retas r e s indicadas abaixo:
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0 04. o ponto de interseccão das retas r e s possui coordenadas (2, 1) 08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)
e
s = m2x + n2
Assim, podemos ter as seguintes situações:
PARALELAS DISTINTAS: m1 = m2
PARALELAS COINCIDENTES: m1 = m2 e n1 = n2
CONCORRENTES m1 m2
CONCORRENTES E PERPENDICULARES: m1 . m2 = 1
2. Distância de ponto à reta Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela expressão:
08) ( UFSC ) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0, e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo ponto P(a,b). O valor de a + b é:
09) Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.
10) ( UFPR ) No plano cartesiano os pontos A(1, -1), B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um quadrado. É correto afirmar que: 01. a origen do sistema de coordenadas está no interior do quadrado. 02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente angular 1/2 04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a diagonal BD do quadrado. 08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto (0, -4) 16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta r de equação 5x + 2y 6 = 0.
Resolução:
d
5 .4 2 .3 6 4 2 32
d
20 d 4 5
Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades
Exercícios de Sala 01) Considere a reta r indicada pela figura abaixo:
AULA 11 ESTUDO DA RETA 1. Posição relativa entre 2 retas No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:
Concorrentes Paralelas Coincidentes PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
16
Inclusão para a vida
Matemática B Tarefa Complementar
Determinar: a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é paralela à reta r b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é perpendicular à reta r
02) Determinar a distância do ponto A(2, 3) à reta r de equação y = 2x + 5
06) ( UFSC ) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. 07) ( UFSC ) De acordo com o gráfico abaixo, assinale a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
03) ( UFSC ) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky -5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto (1, -2) é 17. 02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam no ponto
7 0 5
é 25/7.
04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 . 08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0. 16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta r é 20.
abscissa
Tarefa Mínima
.
3 10
08) ( UFRGS ) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A equação da reta suporte da outra diagonal é:
03) ( Cesgranrio-RJ ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax + 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale: d) 6
2
unidades de área.
b) – 5x + y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0
c) – 6
2
coordenadas cartesianas à reta r é de
s e pelo eixo das abscissas é igual a
02) A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é paralela à reta de equação 5x + y = 0 é:
b) 2
5
unidades. 16. A área da região do plano limitada pelas retas r,
a) são paralelas b) são coincidentes c) são concorrentes mas não perpendiculares. d) interceptam-se no 1º quadrante e são perpendiculares. e) interceptam-se no 4º quadrante e são perpendiculares.
a) – 2
4
08. A distância da origem do sistema de
01) ( UFRGS ) As retas com equações respectivas 4x + 2y - 4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0
a) 5x + y + 10 = 0 c) 5x – y + 10 = 0 e) – 5x + y – 10 = 0
01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. 02. A reta s e a reta r são perpendiculares. 04. As retas r e s se interceptam no ponto de
e) – 3
a) 2x - 3y - 1 = 0 b) 2x + 3y - 7 = 0 c) 3x + 2y - 8 = 0 d) 3x - 2y - 4 = 0\ 09) A medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é: 10) ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:
04) Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e C(4,1). A altura em relação à base BC mede:
05) ( UEL-PR ) A distância entre as retas de equações x - y + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a somente se: a) k = 0 d) k = 0 ou k = 8
2
b) k = 4 e) k = -4 ou k = 8
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
se, e
c) k = 8
17
Matemática B
Inclusão para a Vida
01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0). 02. o ponto C é (0,
3 2
).
04. a distância entre r e s é 3. 08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, respectivamente,
1 2
,
1 2
e –2.
16. a equação da reta t é y = –2x + 6. 32. a equação da reta horizontal que passa por A é x = 0. 64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.
AULA 12 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
Logo, a equação procurada é: (x 2)2 + (y 5)2 = 9 CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir centro na origem então a equação (x )2 + (y )2 = R2 fica reduzida a: x2 + y2 = R2
2.2. Equação Geral: A Equação Geral da circunferência obtém-se desenvolvendo a equação reduzida. Veja:
(x a)2 + (y b)2 = R2 x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2 x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 R2 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 onde:
A = 2a; B = 2b; C = a2 + b2 R2
Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5)
1. Definição Denomina-se circunferência ao conjunto de pontos de um plano que eqüidistam de um ponto C denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência.
Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x 2)2 + (y 5)2 = 32 (x 2)2 + (y 5)2 = 9 x2 4x + 4 + y2 10y + 25 9 = 0 Logo, a equação geral é x2 + y2 4x 10y + 20 = 0
R
3. Condição de existência
C
2. Equação da circunferência
Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma equação do 2º grau completa. x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0 Sendo assim essa equação só irá representar a equação de uma circunferência se e só se:
Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero. Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0. A2 + B2 4AC > 0
4. Posições relativas da circunferência 4.1. Ponto e Reta
Seja C(a, b) o centro da cir cunferência e P(x, y) um ponto genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência. Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes formas:
Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência (x )2 + (y )2 = R2. Em relação a circunferência, o ponto P pode assumir as seguintes posições:
2.1. Equação Reduzida:
(x a)2 + (y b)2 = R2 Exemplo: Determinar a equação da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5) Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x 2)2 + (y 5)2 = 32
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
Para determinar a posição do ponto P em relação a circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da circunferência. Assim, podemos ter:
(xP )2 + (yP )2 R2 < 0 P interior à circunferência (xP )2 + (yP )2 R2 = 0 P pertence à circunferência (xP )2 + (yP )2 R2 > 0 P exterior à circunferência
18
Inclusão para a vida
Matemática B
4.2. Reta e Circunferência
Tarefa Mínima
Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma circunferência (x )2 + (y )2 = R2 . Em relação à circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:
01) A equação da circunferÍncia de centro C(-2,2) e tangente aos eixos coordenados é: a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2 e) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4
b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
02) ( ACAFE-SC ) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: Para determinar a posição da reta r em relação a circunferência, substitui-se a equação da reta na equação da circunferência. Assim, teremos uma equação do 2º Grau. Então, se:
< 0 reta externa (não existe ponto de intersecção) = 0 reta tangente (existe um ponto de intersecção) > 0 reta secante (existe dois pontos de intersecção) Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por um sistema de equações.
Exercícios de Sala 01) Determinar a equação da circunferência na forma reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: a) C(4, 7) e R = 2 c) C(3, 0) e R = e) C(0, 0) e R = 3
d) C(0, 3) e R =
5
02) A soma das coordenadas do centro da circunferência de equação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é: a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
03) ( UFSC ) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente. 02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 8. 04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes. 08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio
2
é tangente externamente à circunferência C. 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, podese afirmar que o ponto P é exterior à C.
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
b) – 3 e) – 1
c) 3
03) O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é um ponto localizado no: a) primeiro quadrante c) terceiro quadrante e) eixo x
b) segundo quadrante d) quarto quadrante
04) ( UECE ) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro, então a equação de C1 é: a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0 b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0 c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0 d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0 05) ( PUC-SP ) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 - 4x = 0. Determinar a área da região limitada por . a) 4 d) 3
b) C(2, -3) e R = 5
5
a) 2 d) – 2
b) 2 e) n.d.a.
c) 5
Tarefa Complementar 06) ( Mack-SP ) O maior valor inteiro de k, para que a equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma circunferência, é: a) 10 d) 15 e) 16
b) 12
c) 13
07) ( UFRGS ) O eixo das abscissas determina no círculo x2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento 08) ( FGV-SP ) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de comprimento igual a: a) 3 d) 6
3 e) 2 2
b)
c) 2 3
09) Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência. a) 16 d) 32
b) 4 e) n.d.a.
c) 2
19
Matemática B
Inclusão para a Vida AULA 6
10) ( UFSC ) Considere a circunferência C:
x 4 y 3 2
2
16 e a reta
r: 4x + 3y 10 = 0.
2 2 2) 00 3 4 5) a) 4) , b) 3 3 1)
Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. r C = . 02. O centro de C é o ponto (3, 4). 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto. 08. A distância da reta r ao centro de C é menor do que 4. 16. A função y dada pela equação da reta r é decrescente.
6) 01
7) 01
8)
3) 00
4) 01
3 7 0, , , 4 4 2
9) b
10) d
2) a
3) 25
8) 86
9) 12
10) c
3) e 10) e
4) e 11) a
5) 16 12) 81
AULA 7
GABARITO – MAT B
1) a) 2
b) 2
6) 01
7) a
c) – 1
4) e
5) 41
6) 08
7) c
AULAS 8 e 9
AULA 1 1) a) 81
b) – 81
1 16 15
h)
g)
13
c) 81
8 125
d) 1
i) 18
e) 0
j) – 5
5) a) 5 2 2 6) e 12) 31
b)
2 3
7) 15 13) c
c) 2 25 5
8) c 14) d
1) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7 c) – 5 e 7 50
2
4) x = 2 y = 2
3
7) x = 100
2
c) 5
3 -2
4) c 9) 90
5) d 10) 20
1) c
2) a
3) c
4)
6) 04
7) 09
8) d
9) 02
10) 90
2) c 8) c
3) a 9) a
4) a 10) 28
5) a
6) y = 3x – 2
AULA 11
9) d 15) e
10) e
11) e
AULA 2 1) a) 6 b) 3
3) y = x 8) 55
2) 23 7) 07
3 2)
d) 5(
2) 13 9) a
AULA 10
k) 35/12
b) 2 2) a) 2 100 101 102 200 99 3) a) 2 + 1 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4 f) – 0,5 3
1) e 8) 03
f) 1
2) e
3
5) 14
6) 180 m
y = 100
8) e
9) 31
5 2 2
5) d
AULA 12
3) 30°
1) a 7) 08
6) c
10) 57
AULA 3 1) 4 5) e
2
2) 75 6) b
9) 2
7
10) b
3) 14 7) b
4) d 8) a
AULAS 4 e 5 1) a) 120° 4) b 6)
2) a
5) a
a) S =
c) S =
7) c 13) c
b) 30°
2 7 33 , 6 18
8) c 14) c
9) b 15) 04
3) 2
3 , 2 2 7 , 4 4
b) S =
d)
10) c
11) b
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC
12) 13
20
